1 (2) ANÁLISIS MATEMÁTICO II...PREFACIO El presente libro es la recopilación de los apuntes de clase de la asignatu-ra «Análisis Matemático II» dictada por el profesor Mat

ANÁLISIS MATEMÁTICO IIAPUNTES DE CLASE

2. TEOREMAS FUNDAMENTALES EN

ESPACIOS DE BANACH

PROYECTO CLAVEMAT

1 (2)

Fascículos de Matemática

del Proyecto CLAVEMAT

FASCÍCULOS DE MATEMÁTICA

DEL PROYECTO CLAVEMAT

PROYECTO CLAVEMAT

ANÁLISIS MATEMÁTICO IIAPUNTES DE CLASE

2. Teoremas fundamentales en espacios de Banach

Fascículo de Matemática No. 1 (2)

ANÁLISIS MATEMÁTICO II: APUNTES DE CLASE

2. TEOREMAS FUNDAMENTALES EN ESPACIOS DE BANACH

PROYECTO CLAVEMAT

Escrito por: Andrés Merino - Andrés Miniguano

Responsable de la Edición: Andrés Merino

Revisión Académica: el texto aún no cuenta con revisión académica de pares

Registro de derecho autoral No.ISBN: 978-0000-111-22

Publicado por el proyecto CLAVEMAT de la Escuela Politécnica Nacional, Ladrón deGuevara E11-253, Quito, Ecuador.

Primera edición: 2016Primera impresión: 2016

c© Proyecto CLAVEMAT 2016

ÍNDICE GENERAL

2. Teoremas fundamentales en espacios de Banach 3

2.1. Lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3. Teorema de la acotación uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4. Teorema de la aplicación abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5. Teorema del grafo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6. Tópicos adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.1. Operadores adjuntos en espacios de Banach . . . . . . . 27

2.6.2. Reflexividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6.3. Convergencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.4. Teorema de Hahn-Banach, versiones geométricas . . . . 34

2.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.8. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

III

PREFACIO

El presente libro es la recopilación de los apuntes de clase de la asignatu-ra «Análisis Matemático II» dictada por el profesor Mat. Andrés Merino en lacarrera de Matemática de la Escuela Politécnica Nacional, y recopilados por elestudiante Andrés Miniguano, el cual cursó la asignatura en el semestre refe-rencial 2014-B.

Esta asignatura aborda los temas de Espacios de Hilbert, Teoremas Clásicosdel Análisis y Cálculo en Espacios de Banach.

1

FASCÍCULO 2

TEOREMAS FUNDAMENTALES EN ESPACIOS

DE BANACH

En este capítulo se estudiarán los Teoremas clásicos y fundamentales delos espacios de Banach, los cuatro Teoremas más importantes de este capítuloson: Teorema de Hahn-Banach, Teorema de Acotación Uniforme, Teorema dela Aplicación Abierta y Teorema del Grafo Cerrado.

El Teorema de Hahn-Banach trata sobre la extensión de funcionales lineales.Para esto, es preciso utilizar el Lema de Zorn, el cual es un resultado impor-tante de Teoría de Conjuntos.

2.1. Lema de Zorn

El Lema de Zorn es un resultado fuerte sobre conjuntos bien ordenados,en esta sección se presentará este resultado, sin demostración, para lo cual sonprecisas las siguientes definiciones.

Sea E un conjunto. Un orden parcial ≤ sobre E es una relación sobre E sipara todo x, y, z ∈ E se cumple:

• x ≤ x;

• x ≤ y y y ≤ x implica x = y; y

• x ≤ y y y ≤ z implica x ≤ z.

DEFINICIÓN 2.1: Orden Parcial

A un conjunto E, junto a un orden parcial ≤, se lo denomina conjunto parcial-

mente ordenado. El calificativo de “parcial” viene dado ya que pueden existirelementos x y y de E tales que no se cumpla x ≤ y ni y ≤ x. A este tipo de

3

4 Teoremas fundamentales en espacios de Banach

elementos se los denomina incomparables. En cambio, si x y y son elementos deE tales que

x ≤ y o y ≤ x,

se dice que son comparables.

Si todos par de elementos de E son comparables, se dice que es un orden

total. A un conjunto con dicho orden, se lo denomina conjunto totalmente orde-

nado. Además, en un conjunto parcialmente ordenado, se tiene el siguiente tipoespecial de subconjuntos.

Sean C ⊆ E, donde E es un conjunto parcialmente ordenado. C se diceuna cadena si C es totalmente ordenado.

DEFINICIÓN 2.2: Cadena

Finalmente, se tiene los siguientes elementos destacables de un conjuntoparcialmente ordenado.

Sean M ⊆ E, E parcialmente ordenado y u ∈ E. Se dice que u es cotasuperior de M si x ≤ u para todo x ∈ M.

Se dice que u es maximal si para x ∈ M:

u ≤ x implica u = x.

DEFINICIÓN 2.3: Cota superior, Maximal

Con estas definiciones, se puede enunciar exactamente el Lema de Zorn.

Sea M 6= ∅ un conjunto parcialmente ordenado. Supóngase que toda ca-dena de M tiene cota superior, entonces M tiene al menos un elementomaximal.

TEOREMA 2.1: Lema de Zorn

OBSERVACIÓN. Este resultado es equivalente al Axioma de elección, el cualdice que si (Ai)i∈I una familia de conjuntos no vacíos, con I 6= ∅, entonces

∏i∈I

Ai =

f : I →

⋃

i∈I

Ai : f (i) ∈ Ai, para todo i ∈ I

6= ∅.

A continuación, veamos un ejemplo del uso de este resultado en el siguienteejercicio.

2.2 Teorema de Hahn-Banach 5

EJERCICIO 2.1. Demostrar que todo espacio de Hilbert tiene una base deHilbert.

Demostración. Sean H un Hilbert y

M = M ⊆ H : M es ortogonal.

Este conjunto es no vacío pues, para x ∈ H, x ⊆ M. Además, es parcialmen-te ordenado por el orden ⊆. Probaremos que cumple la hipótesis del Lema deZorn.

Sea C ⊆ M una cadena. Tomemos

M =⋃

C∈C

C.

Se tiene que M es ortogonal, pues sean x, y ∈ M tales que x 6= y. Entoncesexisten C1, C2 ∈ C tales que

x ∈ C1 y y ∈ C2.

Como C es una cadena, podemos suponer que C1 ⊆ C2, entonces x, y ∈ C2, porlo tanto x ⊥ y. Es decir, M ∈ M, además, por la forma el la que está definidoM, se tiene que es una cota superior.

Por lo tanto, se puede utilizar el Lema de Zorn, es decir, existe M un ele-mento maximal de M. Con esto, se tiene que M es ortogonal. Debemos de-mostrar que también es total.

Supongamos que M⊥ 6= 0, entonces existe x ∈ H con x 6= 0 tal quex ⊥ M. Sea

M′ = M ∪ x

este conjunto es elemento de M y es claro que M M′, lo cual contradice queM es maximal. Por lo tanto, M es total. Es decir, M es base de Hilbert.

2.2. Teorema de Hahn-Banach

El Teorema de Hahn-Banach es un Teorema de extensión de funcionaleslineales en espacios normados. Este Teorema nos darán herramientas potentespara trabajar con los espacios duales. Para esto necesitamos un cierto tipo deacotación, que será dada por funcionales sublineales. Por lo tanto, se tiene la


siguiente definición.

Sea E un espacio vectorial real. Una función p : E → R se dice

• subaditiva si p(x + y) ≤ p(x) + p(y), para todo x, y ∈ E;

• positiva-homogénea si p(αx) ≤ αp(x), para todo x ∈ E y todo α ∈

R+ ∪ 0; y

• sublineal si es subaditiva y positiva-homogénea.

DEFINICIÓN 2.4

Además, dado un espacio vectorial E, F y G dos subespacios vectoriales de E

y f : F → R, g : G → R funciones lineales, se dirá que f extiende a g o que f esuna extensión lineal de g si F ⊆ G y f (x) = g(x) para todo x ∈ F. Con esto, setiene el enunciado del siguiente teorema.

Sean E un espacio vectorial real, p : E → R una función sublineal, F ⊆ E

subespacio vectorial y f : F → R una función lineal tales que

f (x) ≤ p(x)

para todo x ∈ F. Entonces, existe f : E → R una extensión lineal de f talque

f (x) ≤ p(x),

para todo x ∈ E.

TEOREMA 2.2: Hahn-Banach, extensión de funcionales

Demostración. Definamos

E = g : dom(g) → R : g extiende a f y g(x) ≤ p(x), para todo x ∈ dom(g).

Definimos en E un orden parcial. Para g1, g2 ∈ E , decimos que g1 ≤ g2 si ysólo si g2 extiende a g1.

Verifiquemos que E cumple las hipótesis del Lema de Zorn. Para ello, seaC ⊆ E una cadena y sea

g :⋃

g∈C

−→ R

x 7−→ g(x) = g1(x)


con x ∈ dom(g1) para algún g1 ∈ C . Tenemos las siguientes propiedades:

• g es función: Si x ∈ dom(g1) y x ∈ dom(g2), para g1, g2 ∈ C , se tieneque g1 ≤ g2 pues C es una cadena; es decir, g1 extiende a g2; por lo tantog1(x) = g2(x).

• g es lineal: Sean x, y ∈ dom(g) y α ∈ R.

• Tenemos que αx ∈ dom(g) para algún g ∈ C y entonces g(αx) =

g(αx) = αg(x) = αg(x).

• g(x+ y) = g1(x+ y) = g1(x)+ g1(y) = g(x)+ g(y), esto se hace sinpérdida de generalidad puesto que si x ∈ dom(g1) y y ∈ dom(g2),entonces basta suponer g1 ≤ g2.

• g es una extensión de f : Sea g1 ∈ C , se tiene que

F ⊆ dom(g1) ⊆⋃

g∈C

dom(g) = dom(g),

y si x ∈ F; entonces x ∈ dom(g1) para algún g1 ∈ C ⊆ E , entonces g

extiende a f ; de donde

g(x) = g1(x) = f (x).

• g está acotada por p: Sea x ∈ dom(g), entonces x ∈ dom(g1), para algúng1 ∈ C ⊆ E . Luego

g(x) = g1(x) ≤ p(x),

por lo tanto g(x) ≤ p(x).

Con esto, se concluye que g ∈ E y es cota superior de C , por lo tantopodemos aplicar el Lema de Zorn a E .

Sea f un elemento maximal de E . Veremos que dom( f ) = E, para lo cualsupongamos que dom( f ) 6= E, es decir, supongamos que existe y1 ∈ E tal quey1 /∈ dom( f ). Definimos F1 = span

(dom( f ) ∪ y1

), así obtenemos que si

x ∈ F1, este puede escribirse como

x = y + αy1,

donde y ∈ dom( f ) y α ∈ R.

Seag : F1 −→ R

x 7−→ g(x) = f (y) + αc,


donde c ∈ R es una constante a determinar. Es inmediato que g es lineal.Observemos que g extiende a f , es claro que

F ⊆ span(

dom(

f)∪ y1

)= F1.

Además, si x ∈ F, tenemos que x ∈ dom(

f)

, por tanto g(x) = f (x). Es decir,

en efecto g es extensión de f .

Ahora, busquemos un valor adecuado de c para que g(x) ≤ p(x) para todox ∈ F. Sean u, v ∈ dom( f ), tenemos que

f (u)− f (v) = f (u − v)

≤ p(u − v)

= p(u + y1 − y1 − v)

≤ p(u + y1) + p(−y1 − v),

de donde−p(−y1 − v)− f (v) ≤ p(u + y1)− f (u);

y dado que u y v son arbitrarios, se tiene que

supv∈dom( f )

[−p(−y1 − v)− f (v)

]

︸︷︷︸m0

≤ ınfu∈dom( f )

[p(u + y1)− f (u)

]

︸︷︷︸m1

.

Tomemos c ∈ R tal que m0 ≤ c ≤ m1. Luego, para todo z ∈ dom( f ), setiene que

−p(−y1 − z)− f (z) ≤ c

yc ≤ p(z + y1)− f (z).

Sea x ∈ F1, recordemos que x = y+ αy1, con y ∈ dom( f ) y α ∈ R. Tenemoslos siguientes casos:

• Si α < 0 entonces α−1y ∈ dom( f ), obteniendo

−p(−y1 − α−1y)− f (α−1y) ≤ c,

de dondeαp(−y1 − α−1y) + α f (α−1y) ≤ −αc,


es decirf (y) + αc ≤ −αp(−y1 − α−1y) = p(y + αy1),

por lo tantog(x) ≤ p(x).

• Si α = 0 entonces g(x) = f (y) ≤ p(x).

• Si α > 0 entoncesc ≤ p(α−1y + y1)− f (α−1y)

yαc ≤ αp(α−1y + y1)− α f (α−1y)

de donde obtenemos que

g(x) = f (y) + αc ≤ p(y + αy1) = p(x).

Así, obtenemos que g ∈ E y extiende a f , lo cual no es posible dado que f esmaximal. Por tanto, necesariamente se tiene que dom( f ) = E.

En el anterior Teorema, es necesaria una función sublineal, la cual sólo estádefinida en un espacio vectorial real. Ahora, vamos a generalizar este Teoremaa un K espacio vectorial, donde ya no tendremos una función sublineal.

Sean E un espacio vectorial, p : E → R subaditiva tal que

p(αx) = |α|p(x),

para todo x ∈ E y α ∈ K. Además, sean F ⊆ E subespacio vectorial yf ∈ F× tal que ∣∣ f (x)

∣∣ ≤ p(x)

para todo x ∈ F. Entonces existe f ∈ E× una extensión lineal de f , tal que∣∣∣ f (x)

∣∣∣ ≤ p(x),

para todo x ∈ E.

TEOREMA 2.3: Hahn-Banach, generalizado

Demostración.

• Caso real:


Notemos que p es sublineal, pues para todo x ∈ F:

f (x) ≤∣∣ f (x)

∣∣ ≤ p(x).

Por Hahn-Banach, existe f ∈ E×, una extensión de f , tal que f (x) ≤ p(x),para todo x ∈ E.

Luego,− f (x) = f (−x) ≤ p(−x) = |−1|p(x) = p(x),

entonces −p(x) ≤ f (x). Por lo tanto, | f (x)| ≤ p(x).

• Caso complejo:

Notemos que a f la podemos separar en su parte real e imaginaria:

f (x) = f1(x) + i f2(x),

donde fi : FR → R para i ∈ J1, 2K, y es claro que f1 ∈ F×R

.

Por Hahn-Banach, existe f1 ∈ E×R

que extiende a f1 y

f1(x) ≤ p(x),

para todo x ∈ E.

Determinemos una relación entre f1 y f2. Para ello, consideremos la ex-presión anterior para f . Al hacer el producto con la unidad imaginaria setiene que

− f2(x) + i f1(x) = i[

f1(x) + i f2(x)]= i f (x) = f (ix) = f1(ix) + i f2(ix),

por lo tanto f2(x) = − f1(ix).

Ahora, seaf : E −→ C

x 7−→ f (x) = f1(x)− i f1(ix)

Esta función tiene las siguientes propiedades:

• f es lineal:

Sean x, y ∈ E. Tenemos que

f (x + y) = f1(x + y)− i f1(ix + iy)

= f1(x) + f1(y)− i f1(ix)− i f (iy)

= f (x) + f (y),


pues f ∈ E×. Además, para α = a + ib ∈ C, con a, b ∈ R:

f (αx) = f1(α)(x)− i f1(iαx)

= f1(ax + ibx)− i f1(iax − bx)

= a f1(x) + b f1(ix)− ai f1(ix) + ib f1(x)

= (a + ib) f1(x)− (a + ib)i f1(ix)

= (a + ib)[

f1(x)− i f1(ix)]= α f (x).

• p mayora a f :

Recordemos que para todo z ∈ C, se tiene que z = |z|eiθ. Luego

f (x) =∣∣∣ f (x)

∣∣∣ eiθ,

de donde∣∣∣ f (x)

∣∣∣ = e−iθ f (x) = f(

e−iθx)= f1

(e−iθx

)− i f1

(ie−iθx

)

pero i f1(ie−iθx

)es cero pues

∣∣∣ f (x)∣∣∣ ∈ R. Por lo tanto

∣∣∣ f (x)∣∣∣ ≤ p

(e−iθx

)=∣∣∣e−iθx

∣∣∣ p(x) = p(x),

de donde se sigue el resultado.

A continuación veremos la primera aplicación del Teorema de Hahn-Banachen el dual de un espacio vectorial.

Sean E un espacio vectorial normado, F un subespacio vectorial de E yf ∈ F∗. Entonces existe f ∈ E∗, extensión de f , tal que

∥∥∥ f∥∥∥

E∗= ‖ f‖F∗ .

TEOREMA 2.4: Hahn-Banach, espacios normados

Demostración. Si F = 0, entonces f = 0 y su extensión es la aplicación nula.Por otro lado, si F 6= 0, entonces existe z ∈ F \ 0 tal que

∣∣ f (z)∣∣ ≤ ‖ f‖F∗‖z‖.

Definamos p(x) := ‖ f‖F∗‖x‖ pE roso x ∈ E, se tiene que p es subaditiva yp(αx) = |α|p(x).


Por Hahn-Banach, existe f ∈ E× tal que f extiende a f y | f (x)| ≤ p(x),para todo x ∈ E. Por lo tanto

∣∣∣ f (x)∣∣∣ ≤ ‖ f‖F∗‖x‖,

entonces f ∈ E∗ y∥∥∥ f∥∥∥

E∗≤ ‖ f‖F∗ .

Por definición, tenemos que ‖ f‖F∗ = supx∈F,‖x‖=1

| f (x)|, entonces

∥∥∥ f∥∥∥

E∗= sup

x∈E,‖x‖=1

∣∣∣ f (x)∣∣∣ ≥ sup

x∈F,‖x‖=1

∣∣∣ f (x)∣∣∣ = sup

x∈F,‖x‖=1

∣∣ f (x)∣∣ = ‖ f‖F∗ .

Luego∥∥∥ f∥∥∥

E∗≥ ‖ f‖F∗ y finalmente se tiene que

∥∥∥ f∥∥∥

E∗= ‖ f‖F∗ .

Gracias a este Teorema podemos demostrar que existen funcionales linealesno triviales en un espacio vectorial de cualquier dimensión.

Sean E un espacio vectorial normado y x0 ∈ E \ 0, entonces existe f ∈

E∗ tal que ∥∥ f∥∥ = 1 y f (x0) = ‖x0‖.

TEOREMA 2.5

Demostración. Sean F = span(x0) = αx0 : α ∈ K y

f : F −→ K

x 7−→ f (x) = α‖x0‖.

Es claro que esta función es lineal. Además, para todo x ∈ F, existe α ∈ K talque ∣∣ f (x)

∣∣ = |α|‖x0‖| = ‖αx0‖ = ‖x‖,

por tanto ‖ f‖F∗ = 1. Luego, por Hahn-Banach, existe f ∈ E∗ tal que fF = f y

‖ f‖E∗ = ‖ f‖F∗ = 1.

Por último, es claro que f (x0) = f (x0) = ‖x0‖.

A continuación tenemos un corolario que es de utilidad en varias áreas dela matemática, como es el caso del análisis convexo.

2.3 Teorema de la acotación uniforme 13

COROLARIO 2.6 (Vector no nulo). Sea E un espacio vectorial normado,entonces para todo x ∈ E:

‖x‖ = supf∈E∗

f 6=0

| f (x)|

‖ f‖.

Además, si f (x) = 0 para todo f ∈ E∗, entonces x = 0.

Demostración. Sea f ∈ E∗ \ 0, se tiene que

∣∣ f (x)∣∣ ≤ ‖ f‖‖x‖,

por tanto

supf∈E∗

f 6=0

∣∣ f (x)∣∣

‖ f‖≤ ‖x‖.

Ahora, para x ∈ E \ 0, sabemos que existe f ∈ E∗ tal que ‖ f ‖ = 1 y f (x) =

‖x‖, luego

supf∈E∗

f 6=0

| f (x)|

‖ f‖≥

| f (x)|

‖ f ‖=

‖x‖

1= ‖x‖.

Obteniéndose así el resultado.

Cabe recalcar que en ninguno de estos Teoremas se impuso condicionessobre la completitud del espacio; es decir, los Teoremas de Hahn-Banach secumplen para cualquier espacio vectorial. Además, el último resultado nos re-vela el dualismo entre E, un subespacio vectorial, y E∗ en la forma de calcularnormas, pues, para x ∈ E y f ∈ E∗, se tiene:

‖x‖E = supf∈E∗

f 6=0

| f (x)|

‖ f‖y ‖ f‖E∗ = sup

x∈Ex 6=0

| f (x)|

‖x‖E.

2.3. Teorema de la acotación uniforme

Sean X 6= ∅ un espacio métrico y M ⊆ X.

DEFINICIÓN 2.5


1. M se dice denso en ninguna parte (raro o diseminado) si M no tienepuntos interiores; es decir, si

int(M) = ∅.

2. M se dice de primera categoría si es la unión numerable de conjun-tos densos en ninguna parte.

3. M se dice de segunda categoría si no es de primera categoría.

EJEMPLO 2.1. En R tenemos los siguientes conjuntos que ilustran estos con-ceptos:

• Para x ∈ R, x es denso en ninguna parte.

• Para (xi)i∈J0,nK en R,n⋃

i=0

xi es denso en ninguna parte; es decir, todo

conjunto finito es denso en ninguna parte.

•

1n : n ∈ N

es denso en ninguna parte.

• N es denso en ninguna parte.

• El conjunto triádico de Cantor es denso en ninguna parte.

•⋃

x∈Q

x = Q es de primera categoría, pero Q no es denso en ninguna

parte.

• R es de segunda categoría.

• Un conjunto es denso en sí mismo pero no es denso en ninguna parte desí mismo, puesto que en un espacio métrico

int(X) = X.

A continuación veremos el Teorema de la categoría de Baire. El resultado loveremos desde una perspectiva de espacios métricos, pero cabe mencionar queexisten generalizaciones a cierta clase de espacios topológicos.

Si X 6= ∅ es un espacio métrico completo, entonces es de segunda catego-

TEOREMA 2.7: Categoría de Baire, espacios métricos


ría. Es decir, si X =⋃

k∈N

Mk, con Mk cerrados, entonces al menos uno de

los Mk tiene interior no vacío.

Demostración. Supongamos que X es de primera categoría; es decir,

X =⋃

k∈N

Mk

con Mk densos en ninguna parte. Por tanto int(

Mk

)= ∅ para todo k ∈ N,

pero int(X) = X 6= ∅, por lo que, en particular int(

M1)6= int(X); de donde

M1 6= X y se tiene que M1c

es un conjunto abierto y no vacío.

Sea p1 ∈ M1c. Sabemos que existe ε > 0 tal que p1 ∈ B(p1; ε) ⊆ M1

c, por lo

que podemos tomar ε1 = mınε/2, 1/4 y es claro que

p1 ∈ B(p1; ε1) ⊆ M1c.

Definimos B1 := B(p1; ε1), este conjunto no está contenido en M2 pues sa-bemos que int(M2) = ∅, entonces B (p1; ε1/2) 6⊆ M2. Luego M2

c∩ B (p1; ε1/2) 6=

∅ es abierto. Por lo tanto, existen p2 ∈ X y ε2 > 0, con ε2 < mınε1/2, 1/4 talesque

p2 ∈ B (p2; ε2) ⊆ M2c∩ B (p1; ε1/2)

Por recursión finita, definimos Bk := B (pk; εk/2), luego Bk ∩ Mk = ∅ ypk+1 ∈ Bk+1 ⊆ B

(pk; εk

2

)= Bk, con εk < 1/2k.

Así, hemos encontrado una sucesión (pn)n∈N en la sucesión de conjuntos(Bn)n∈N y para m > n tenemos que Bm ⊆ Bn y además

d(pn, pm) <12

εn <1

2n+1 → 0,

entonces (pn)n∈N es de Cauchy.

Por lo tanto, existe p ∈ X tal que pn → p. Además

d(pm, p) ≤ d(pm, pn) + d(pn, p) <12

εm + d(pn, p).

Entonces, cuando n → +∞, se tiene d(pm, p) ≤ εm/2 < εm. Luego p ∈ Bm,lo cual implica que p /∈ Mm para todo m ∈ N. Por lo tanto, tenemos quep /∈

⋃

m∈N

Mm = X lo cual es imposible.

Luego, X es de segunda categoría.


A continuación, veremos la aplicación más conocida del Teorema de Baire.

Sean X un espacio de Banach, Y un espacio normado y (Tn)n∈N una suce-sión en L(X, Y) tal que, para cada x ∈ X, existe cx > 0 tal que

‖Tnx‖ < cx,

para todo n ∈ N. Entonces, existe c ∈ R tal que

‖Tn‖ < c,

para todo n ∈ N.

TEOREMA 2.8: Acotación uniforme

Demostración. Para k ∈ N, definimos

Ak := x ∈ X : ‖Tnx‖ ≤ k, ∀n ∈ N.

Tenemos que X =⋃

k∈N

Ak, pues si x ∈ X, entonces ‖Tnx‖ < cx para todo

n ∈ N, luego‖Tnx‖ < cx < k0,

para todo n ∈ N y para algún k0 ∈ N; entonces x ∈ Ak0 .

Veamos que los conjuntos Ak son cerrados. Sean k ∈ N y (xj)j∈N una suce-sión en Ak tal que xn → x ∈ X. Se tiene que para todo n, j ∈ N

∥∥Tnxj

∥∥ ≤ k,

por lo que, si j → +∞,‖Tnx‖ ≤ k.

Luego, x ∈ Ak y, por tanto, Ak es cerrado.

Entonces X es un espacio completo expresado como unión numerable decerrados. Por el Teorema de la categoría de Baire, al menos uno de estos debetener interior no vacío. Sea k0 ∈ N, tal que int(Ak0) 6= ∅, entonces existex0 ∈ Ak0 y r > 0 tales que B(x0; r) ⊆ Ak0 .

Sea x ∈ X \ 0, definimos

z := x0 + γx, donde γ =r

2‖x‖.


Se tiene que

‖z − x0‖ = ‖γx‖ =r

2‖x‖‖x‖ =

r

2< r,

por tanto z ∈ B(x0; r) y luego para todo n ∈ N tenemos que

‖Tnx‖ =

∥∥∥∥Tn

(1γ(z − x0)

)∥∥∥∥ =1γ‖Tnz − Tnx0‖

y usando la desigualdad triangular

‖Tnx‖ ≤1γ

(‖Tnz‖+ ‖Tnx0‖

)

pero teníamos que x0, z ∈ B(x0; r) ⊆ Ak0, por lo tanto

‖Tnx‖ ≤1γ(k0 + k0) =

2k0

γ=

4k0

r‖x‖.

Entonces ‖Tn‖ ≤ 4k0r , para todo n ∈ N.

Veremos a continuación un ejemplo práctico de la utilidad de este teorema alresolver el siguiente ejercicio.

EJERCICIO 2.2. Sea X el espacio de los polinomios reales, R[x], con la nor-ma

‖p‖ =

∥∥∥∥∥n

∑i=0

αixi

∥∥∥∥∥ = max0≤i≤n

|αi|.

¿Es X completo?

Solución. Sea (Tn)n∈N una sucesión de funciones de R[x] en R tales que Tn(0) =0 y que para todo n, m ∈ N

Tn

(m

∑i=0

αixi

)=

n−1

∑i=0

αi.

Esta sucesión tiene las siguientes propiedades.

1. Para todo n ∈ N, se tiene que Tn ∈ R[x]∗. Sea n ∈ N. En efecto, paratodo p, q ∈ R[x] y β ∈ R, con p = ∑

mi=0 αix

i y q = ∑mi=0 cix

i; tenemos que

Tn(βp+ q) = Tn

(m

∑i=0

βαixi + cix

i

)=

n−1

∑i=0

(βαi + ci

)= β

n−1

∑i=0

αi +n−1

∑i=0

ci = βTn(p)+T


Por lo tanto, Tn es lineal.

Ahora, supongamos que p ∈ R[x], con p =Np

∑i=0

αixi. Tenemos que, to-

mando Mp = mınn − 1, Np,

‖Tn p‖ =

∣∣∣∣∣n−1

∑i=0

αi

∣∣∣∣∣ =Mp

∑i=0

|αi| ≤Mp

∑i=0

max0≤j≤Np

|αj| ≤ Mp max0≤j≤Np

|αj| ≤ Mp‖p‖.

Luego, como esto sucede para cada p ∈ R[x], se sigue que ‖Tn‖ ≤ Np + 1ó ‖Tn‖ ≤ n. Es decir, Tn ∈ X∗ y por tanto ‖Tn p‖ ≤ Mp, para todo n ∈ N.

2. Para todo c ∈ R, existe n ∈ N tal que ‖Tn‖ > c. En efecto, sean n ∈ N y

pn =n

∑i=0

xi ∈ R[x]. Es claro que ‖p‖ = 1 y además

|Tn pn| = n.

Luego

supp∈Xp 6=0

∣∣Tn(p)∣∣

‖p‖≥

|Tn pn|

‖pn‖= n.

Por tanto ‖Tn‖ ≥ n, lo cual implica que X no es completo.

Ahora, utilicemos este teorema para la resolución de un par de ejercicios.

EJERCICIO 2.3. Sean E un espacio vectorial normado y (xn)n∈N una su-cesión en E tal que

(f (xn)

)n∈N

es acotada para toda f ∈ E∗. Demostrarque

(‖xn‖

)n∈N

es acotada.

Demostración. Para xn ∈ E, tomamos gn ∈ E∗∗ tal que gn( f ) = f (xn). Además,se tiene que

‖gn‖ = supf∈E∗

f 6=0

∣∣gn( f )∣∣

‖ f‖= sup

f∈E∗

f 6=0

∣∣ f (xn)∣∣

‖ f‖= ‖xn‖ .

Por otro lado, para f ∈ E∗,(

f (xn))

n∈Nes acotada; es decir, existe c f ∈ R tal

que ∣∣ f (xn)∣∣ < c f ,

2.4 Teorema de la aplicación abierta 19

para todo n ∈ N. Esto es equivalente a

∣∣gn ( f )∣∣ < c f ,

para todo n ∈ N. Luego, como x∗ es de Banach, por el Teorema de acotaciónuniforme,

(‖gn‖

)n∈N

es acotado, lo cual implica que(‖xn‖

)n∈N

es acotado.

EJERCICIO 2.4. Sean E un espacio de Banach, Y un espacio normado y(Tn)n∈N una sucesión en L(X, Y) tal que ‖Tn‖ → +∞. Demostrar queexiste x ∈ X tal que ‖Tnx‖ → +∞.

Demostración. Supongamos que no existe dicho x, entonces los términos ‖Tnx‖

están acotados para todo n ∈ N. Por el Teorema de la acotación uniforme,(Tn)n∈N está acotada, lo cual es contradictorio.

2.4. Teorema de la aplicación abierta

En esta sección demostraremos el conocido Teorema de la aplicación abier-ta. Este teorema es de gran utilidad para demostrar cuándo la inversa de unaaplicación continua también es continua. Para ello necesitaremos la siguientedefinición.

Sean E, F espacios vectoriales normados. Una aplicación T : E → F se diceabierta si para todo abierto A ⊆ E, se tiene que T(A) es abierto en F.

DEFINICIÓN 2.6

Recordemos que si E es un espacio vectorial normado, A ⊆ E, x ∈ E y α ∈ K,se pueden definir de manera natural los siguientes conjuntos

αA := αx : x ∈ A

yx + A := x + a : a ∈ A.

OBSERVACIÓN (Notación). En adelante, para r > 0, notaremos a la bola BE(0E; r)

por BE(r).

Además, es fácil ver que, para α ∈ K \ 0,

αBE(r) = BE

(|α|r

),


pues, dado que

αx : x ∈ BE(r)=

αx : ‖x‖E < r

, tenemos que

αBE(r) =

y :∥∥∥∥

1α

y

∥∥∥∥ < r

=

y : ‖y‖ < |α|r= BE

(|α|r

).

También, es bueno notar que, para x ∈ E,

BE(x; r)− x = BE(r),

puesto que BE(x; r)− x =

a − x : a ∈ BE(x, r)

y entonces

BE(x; r)− x = a − x : ‖x − a‖ < r = y : ‖y‖ < r = BE(r).

Para facilitar la demostración del teorema principal de esta sección, se em-pezará con la demostración del siguiente lema.

LEMA 2.9. Sean E, F espacios de Banach y T ∈ L(E, F) sobreyectiva. En-tonces T

(BE(1)

)contiene una bola abierta alrededor de cero; es decir, exis-

te ε > 0 tal que BF(ε) ⊆ T (BE(1)).

Demostración. Dividiremos la demostración en tres pasos:

1. T(

BE(1/2))

tiene interior no vacío:

Sabemos que E =⋃

n∈N

BE(n/2). Entonces F := T(E) =⋃

n∈N

T(

BE(n/2)).

Como F es completo entonces, por el Teorema de la categoría de Baire,existe n ∈ N tal que

int(

T(

BE(n/2)))

6= ∅

lo que equivale a decir que existen y ∈ F y ε > 0, tales que

BF (y; ε) ⊆ T(

BE (n/2)).

PeroT(

BE(n/2))= T

(nBE(1/2)

)= nT

(BE(1/2)

),

por lo tanto, tenemos que

1n

y ∈ BF

(1n

y;1n

ε

)⊆ T

(BE(1/2)

).

2. BF(y0; ε)− y0 ⊆ T(

BE(1)):

2.4 Teorema de la aplicación abierta 21

Tomemos y0 = 1n y y ε = 1

n ε. Se tiene que

y0 ∈ BF(y0; ε) ⊆ T(

BE(1/2)),

de dondeBF(y0; ε)− y0 ⊆ T

(BE(1/2)

)− y0.

Demostremos que T(

BE(1/2))− y0 ⊆ T

(BE(1)

). Sea z ∈ T

(BE(1/2)

),

vamos a demostrar que z − y0 ∈ T(

BE(1)).

Por ser z elemento de la clausura, sabemos que existe una sucesión(zn)n∈N en T

(BE(1/2)

)tal que zn → z. Luego, por el Axioma de elección,

construimos (xn)n∈N, en BE(1/2), tal que zn = Txn, para n ∈ N.

Además, existe una sucesión (vn)n∈N en T (BE (1/2)) tal que vn →

y0 y, nuevamente, tomamos vn = T(un), para n ∈ N, y encontramos(un)n∈N en ∈ BE(1/2).

Se tiene que, para n ∈ N,

‖xn − un‖ ≤ ‖xn‖+ ‖un‖ <12+

12= 1

por tanto xn − un ∈ BE(1). De donde T(xn − un) ∈ T(

BE(1)). Luego, por

linealidad

T(xn − un) = T(xn)− T(un) = zn − vn → z − y0,

entonces z− y0 ∈ T(

BE(1)). Por tanto BF(y0; ε)− y0 = BF(ε) ⊆ T

(BE(1)

).

3. BF(ε/2) ⊆ T(BE(1)

):

Sea y ∈ BF(ε/2), notemos que, por el paso anterior, se tiene que BF (ε/2n) ⊆

T(

BE(1/2n)), para todo n ∈ N. Como y ∈ BF (ε/2), entonces y ∈ T

(BE(1/2)

),

de donde, existe v1 ∈ T(BE(1/2)

)tal que

‖y − v1‖ <ε

4=

ε

22 .

Elegimos v1 tal que v1 = T(x1), con x1 ∈ BE (1/2) y luego

∥∥y − T(x1)∥∥ <

ε

22

entoncesy − T(x1) ∈ BF (ε/22) ⊆ T

(BE(1/22)

);


luego existe v2 ∈ T(

BE(1/22))

tal que

∥∥y − T(x1)− v2∥∥ <

ε

8=

ε

23 ,

con v2 = T(x2) y x2 ∈ BE (1/4) y entonces

y − (T(x1) + T(x2)) ∈ BF

( ε

23

).

De donde, nuevamente existe v3 ∈ T(

BE(1/8))

tal que v3 = T(x3), x3 ∈

BE(1/8) y

‖y − Tx1 − Tx2 − Tx3‖ <ε

24 .

Recursivamente, existe (xn)n∈N en E tal que xn ∈ BE (1/2n) y∥∥∥∥∥y − T

(n

∑k=1

xk

)∥∥∥∥∥ <ε

2n.

Sea zn =n

∑k=1

xk, se tiene que (zn)n∈N es una sucesión en E. Además, para

n > m, tenemos que

‖zn − zm‖ =

∥∥∥∥∥n

∑k=m+1

xk

∥∥∥∥∥ ≤n

∑k=m+1

‖xk‖ <

n

∑k=m+1

12k

<

+∞

∑k=m+1

12k

→ 0,

cuando m → +∞. Como E es completo, existe x ∈ E tal que zn → x, dedonde

T(zn) → Tx = y.

Además

‖x‖ = lım ‖zn‖ = lım

∥∥∥∥∥n

∑k=1

xk

∥∥∥∥∥ ≤ ‖x1‖+ lımn

∑k=2

12k

≤ ‖x1‖+12<

12+

12= 1.

Luego,x ∈ BE(1)

entonces y = T(x) ∈ T(

BE(1))

y por tanto BF(ε/2) ⊆ T(

BE(1)).

Con esto, demostraremos el siguiente teorema.

Sean E, F espacios de Banach y T ∈ L(E, F) sobreyectiva, entonces T esabierta.

TEOREMA 2.10: Aplicación abierta

2.5 Teorema del grafo cerrado 23

Demostración. Sean A un abierto de E y y ∈ T(A). Entonces existe x ∈ A talque y = Tx y, como A es abierta, existe r > 0 tal que x ∈ BE(x; r) ⊆ A. Además,

BE(r) = BE(x; r)− x ⊆ A − x,

entonces1r

BE(r) = BE(1) ⊆1r(A − x),

de dondeT(

BE(1))⊆

1r

(T(a)− Tx

).

Por el lema anterior, sabemos que existe ε > 0 tal que

BF(ε) ⊆ T (BE(1)) ⊆1r

(T(A)− Tx

),

y dado que r > 0rBF(ε) ⊆ T(A)− Tx.

Esto último equivale a BF(Tx; rε) ⊆ T(A), de donde

y ∈ BF(y, rε) ⊆ T(A),

por tanto T(A) es abierto.

En el siguiente corolario, cuya demostración es inmediata, se alcanza el objeti-vo de esta sección.

COROLARIO 2.11. Sean E, F de Banach y T ∈ L(E, F) biyectiva, entoncesT−1 ∈ L(F, E).

Así, se tiene que, en espacios de Banach, toda aplicación lineal biyectiva esbicontinua.

2.5. Teorema del grafo cerrado

En esta sección obtendremos el Teorema del grafo cerrado como consecuen-cia del Teorema de la aplicación abierta. Cabe mencionar que es posible demos-trar una equivalencia entre estos dos Teoremas aunque no la abarcaremos aquí.Para enunciar el Teorema, es necesario ver la siguiente definición.


Sean E, F espacios vectoriales normados y T : dom(T) ⊆ E → F un ope-rador lineal. Se dice que T es cerrado si el conjunto

graf(T) = (x, y) ∈ E × F : x ∈ dom(T), y = Tx,

denominado grafo de la aplicación, es cerrado considerando la topologíaproducto inducida por la norma

‖(x, y)‖E×F = ‖x‖E + ‖y‖F ,

para (x, y) ∈ E × F.

DEFINICIÓN 2.7

Antes de abordar el teorema, trabajaremos con la definición anterior.

PROPOSICIÓN 2.12. Todo operador lineal y continuo es cerrado.

Demostración. Sean E, F espacios vectoriales normados, T ∈ L(E, F) y (xn, yn)n∈N

una sucesión en graf(T); es decir, yn = Txn, tal que (xn, yn) → (x, y). Puestoque T ∈ L(E, F), se tiene que xn → x ∈ E y yn = Txn → Tx.

Luego, se obtiene que (x, y) ∈ graf(T).

A continuación, veremos un ejemplo de una aplicación lineal y no acotadacuyo grafo es cerrado.

EJERCICIO 2.5. Muestre que la siguiente aplicación es cerrada:

T : C1[0, 1] −→ C [0, 1]x 7−→ Tx = x′

Demostración. Sea (xn, yn)n∈N una sucesión en graf(T) tal que (xn, yn) → (x, y).Tenemos que xn ∈ C1[0, 1] y xn → x. Luego, yn es de la forma yn = Txn = x′ny además yn → y ∈ C [0, 1].

Sabemos, por otro lado, que toda función continua es integrable en un com-pacto. Por lo tanto, para t ∈ [0, 1]

∫ t

0y(s) ds =

∫ t

0lım yn(s) ds =

∫ t

0lım x′n(s) ds

2.5 Teorema del grafo cerrado 25

y, por convergencia dominada,

∫ t

0y(s) ds = lım

∫ t

0x′n(s) ds = lım (xn(t)− xn(0)) ,

de donde ∫ t

0y(s)ds = x(t)− x(0),

entonces podemos expresar a x como

x(t) = x(0) +∫ t

0y(s) ds,

por lo tanto, x ∈ C1[0, 1]. Además

x′(t) =

(∫ t

0y(s) ds

)′

= y(t).

Entonces graf(T) es cerrado.

La siguiente propiedad nos dará una condición necesaria para que el grafode una aplicación lineal y continua sea cerrado.

PROPOSICIÓN 2.13. Sean E, F espacios vectoriales normados, M ⊆ E unsubespacio vectorial denso tal que M 6= E y T ∈ L(M, F), entonces T noes cerrado.

Demostración. Supongamos que T es cerrado, entonces graf(T) es cerrado enE × F. Sea (x, y) ∈ graf(T); existe una sucesión en graf(T), (xn, yn)n∈N, tal que(xn, yn) → (x, y) en graf(T). Pero esto no es posible ya que existe u ∈ E tal queu es límite de una sucesión en M, pero u /∈ M.

Previo a enunciar el Teorema, veamos un poco de notación.

Sean E, F espacios vectoriales normados. Definimos el siguiente conjunto

C (E, F) =

T : dom(T) ⊆ E → F : T es lineal y cerrado

,

denominado el espacio de los operadores cerrados.

DEFINICIÓN 2.8

Nótese que por lo anterior L(E, F) ⊆ C (E, F); pero si M E, entonces lainclusión L(M, F) ⊆ C (E, F) no necesariamente se cumple.


Sean E, F espacios de Banach y T ∈ C(E, F

). Si dom(T) es cerrado, enton-

cesT ∈ L

(dom(T), F

).

TEOREMA 2.14: Grafo cerrado

Demostración. Nótese que al ser E de Banach y dom(T) cerrado, entonces dom(T)

es de Banach. SeaP : graf(T) −→ dom(T)

(x, Tx) 7−→ x.

Esta es una función entre espacios normados completos que cumple lo siguien-te.

• P es lineal.

• P es biyectiva: En efecto, por un lado, sean (u, Tu), (v, Tv) ∈ graf(T),tenemos que P(u, Tu) = P(v, Tv) implica que u = v, entonces Tu = Tv ypor tanto (u, Tu) = (v, Tv).

Por otro lado, sea x ∈ dom(T), entonces (x, Tx) ∈ graf(T) y por tantoP(x, Tx) = x.

• P es continua: pues, dado x ∈ dom(T), tenemos que

‖p(x, Tx)‖ ≤ ‖x‖+ ‖Tx‖ = ‖(x, Tx)‖ .

Por el Teorema de la aplicación abierta P−1 es acotada, de donde∥∥∥P−1x

∥∥∥ =∥∥(x, Tx)

∥∥ ≤ M ‖x‖ ,

entonces‖Tx‖ ≤ ‖x‖+ ‖Tx‖ ≤ M ‖x‖ .

Luego T ∈ L(

dom(T), F).

La siguiente proposición nos da condiciones necesarias y suficientes paraque un operador lineal sea cerrado.

PROPOSICIÓN 2.15. Sean E, F espacios vectoriales normados y T ∈ L(

dom(T), F)

con dom(T) ⊆ E.

2.6 Tópicos adicionales 27

1. Si dom(T) es cerrado, entonces

T ∈ C (E, F).

2. Si T ∈ C (E, F) y F es completo, entonces dom(T) es cerrado.

Demostración.

1. Sea (xn, yn)n∈N una sucesión en graf(T) tal que (xn, yn) → (x, y), con(x, y) ∈ E× F. Entonces, xn → x. Como (xn)n∈N está en dom(T) y este escerrado, tenemos que x ∈ dom(T). Luego yn → y y por continuidad de T

es claro que yn = Txn → Tx. De donde Tx = y; es decir, (x, y) ∈ graf(T)

y entonces graf(T) es cerrado.

2. Sean (xn)n∈N una sucesión en dom(T) tal que xn → x y (yn)n∈N =

(Txn)n∈N. Tenemos que (yn)n∈N es una sucesión en F, veremos que esde Cauchy. Para ello, vemos que para todo n, m ∈ N se tiene que

‖yn − ym‖ = ‖Txn − Txm‖ =∥∥T(xn − xm)

∥∥ ≤ M ‖xn − xm‖ → 0,

cuando n, m → +∞. Luego, (yn)n∈N es de Cauchy y por tanto, existey ∈ F tal que yn → y.

Finalmente se tiene que (xn, yn) → (x, y), pero (xn, yn) ∈ graf(T) y en-tonces (x, y) ∈ graf(T), de donde se obtiene que

x ∈ dom(T).

2.6. Tópicos adicionales

2.6.1. Operadores adjuntos en espacios de Banach

A continuación, introduciremos brevemente el concepto de un operadoradjunto en espacios no necesariamente reflexivos, como es el caso de los espa-cios de Banach. En el siguiente capítulo veremos cómo este concepto se rela-ciona con los adjuntos en espacios de Hilbert.

Sean E, F espacios vectoriales normados y T ∈ L(E, F). El operador ad-

DEFINICIÓN 2.9


junto (o traspuesto) de T se define como

T× : F∗ −→ E∗

g 7−→ T×g = g T.

Ahora, observemos algunas propiedades del operador adjunto.

Sean E, F espacios vectoriales normados y T ∈ L(E, F). Entonces T× ∈

L(F∗, E∗). Además ‖T×‖L(F∗,E∗) = ‖T‖L(E,F).

TEOREMA 2.16

Demostración. Demostraremos el Teorema en tres partes.

1. T× es lineal pues la composición de funciones lineales es lineal.

2. Sea g ∈ F∗, dado que trabajamos en el dual, se tiene que

‖T×g‖E∗ = supx∈Ex 6=0

|T×g(x)|

‖x‖E;

además, para x ∈ E,

∣∣T×g(x)∣∣ = |g(Tx)| ≤ ‖g‖F∗‖Tx‖F ≤ ‖g‖F∗‖T‖L(E,F)‖x‖E,

entonces ∥∥T×g∥∥

E∗ ≤ ‖T‖L(E,F) ‖g‖F∗ ,

luego, T× ∈ L(F∗, E∗) y además ‖T×‖L(F∗,E∗) ≤ ‖T‖L(E,F).

3. Sea x ∈ E tal que Tx 6= 0, por Hahn-Banach, existe gx ∈ F∗ tal que

‖gx‖F∗ = 1 y gx(Tx) = ‖Tx‖F .

Así, para todo x ∈ E, tenemos que

‖Tx‖F =∣∣gx(Tx)

∣∣ =∣∣T×gx(x)

∣∣ ≤∥∥T×

∥∥L(F∗,E∗) ‖x‖E ‖gx‖F∗ =

∥∥T×∥∥L(F∗,E∗) ‖x‖E ;

luego, ‖T‖L(E,F) ≤ ‖T×‖L(F∗,E∗).

OBSERVACIÓN (Linealidad). Es fácil ver que

• (S + T)× = S× + T×.


• (ST)× = T×S×.

•(T−1)× = (T×)

−1.

Mediante esta observación, podemos ver que el conjunto de los operadoresadjuntos (de operadores con inversa) forma un grupo con respecto a la com-posición.

2.6.2. Reflexividad

A continuación veremos un par de propiedades sobre la reflexividad deun espacio vectorial normado. . Para esto, recordemos la definición de espacioreflexivo.

Sea E un espacio vectorial normado, se dice reflexivo si

ϕ : E −→ E∗∗

x 7−→ ϕ(x),

dondeϕ(x) : E∗ −→ K

f 7−→ ϕ(x)( f ) = f (x),

es un isomorfismo.

DEFINICIÓN 2.10: Espacio reflexivo

PROPOSICIÓN 2.17. Sea E un espacio vectorial normado, se tiene que

‖ϕ(x)‖E∗∗ = ‖x‖E ,

para todo x ∈ E.

Demostración. Sea x ∈ E, tenemos, por Hahn-Banach, que

∥∥ϕ(x)∥∥

E∗∗ = supf∈E∗

f 6=0

∣∣ϕ(x) f∣∣

‖ f‖E∗= sup

f∈E∗

f 6=0

∣∣ f (x)∣∣

‖ f‖E∗= ‖x‖E.

Esta propiedad nos indica que ϕ es una isometría.


COROLARIO 2.18. Sea E un espacio vectorial normado, se tiene que

1. ϕ : E → ϕ(E) es una isometría.

2. E es reflexivo si y sólo si ϕ(E) = E∗∗

2.6.3. Convergencias

En esta parte vamos a discutir diferentes definiciones de convergencia queexisten en un espacio vectorial normado.

Sean E un espacio vectorial normado y (xn)n∈N una sucesión en E.

1. Se dice que (xn)n∈N converge fuertemente si ‖xn − x‖ → 0 y se lonota

xn → x.

2. Se dice que (xn)n∈N converge débilmente a x ∈ E si f (xn) → f (x),para toda f ∈ E∗. Se lo nota

xnw→ x o xn x.

DEFINICIÓN 2.11

Observemos que la convergencia débil cumple algunas propiedades similaresa la convergencia normal.

PROPOSICIÓN 2.19. Sea E un espacio vectorial normado, (xn)n∈N en E yx ∈ E tal que xn x. Entonces

1. El límite es único.

2. (xn)n∈N está acotada.

Demostración.

1. Supongamos que xn y. Entonces para toda f ∈ E∗ se tiene que f (xn) →

f (x) y f (xn) → f (y), entonces f (x) = f (y), por lo tanto f (x − y) = 0.Luego

supf∈E∗

f 6=0

| f (x − y)|

‖ f‖= 0,


de donde tenemos que ‖x − y‖ = 0; es decir, x = y.

2. Sabemos que f (xn) → f (x) para toda f ∈ E∗. Luego(

f (xn))

n∈Nes

acotada para toda f ∈ E∗. Por el Teorema de acotación uniforme se tieneque entonces (xn)n∈N está acotada.

El siguiente resultado nos indica cómo se relacionan los dos tipos de conver-gencia.

PROPOSICIÓN 2.20. Sea E un espacio vectorial normado, (xn)n∈N en E yx ∈ E tal que xn → x. Entonces xn x y el recíproco en general no secumple.

Demostración.

• Sea f ∈ E∗. El resultado es directo dado que

∣∣ f (xn)− f (x)∣∣ =

∣∣ f (xn − x)∣∣ ≤ ‖ f‖‖xn − x‖ → 0.

• En ℓ2(C) tomemos (en)n∈N la sucesión de término general en =(δn

i

)n∈N

y sea f ∈ ℓ2(C)∗. Al ser este espacio un Hilbert, se tiene que existe z ∈

ℓ2(C) tal quef (en) = 〈en, z〉 = zn → 0 = f (0),

pues+∞

∑n=0

|zn|2< +∞; luego, zn → 0, por lo tanto en 0. Pero, por otro

lado, tenemos que ‖en − 0‖ = ‖en‖ = 1 6→ 0.

A continuación veremos que en el espacio de operadores lineales y acotados,tenemos no dos sino tres tipos diferentes de convergencia.

Sean E, F espacios vectoriales normados y (Tn)n∈N una sucesión de ope-radores en L(E, F).

1. Se dice que (Tn)n∈N converge uniformemente a T si

‖Tn − T‖L(E,F) → 0.

2. Se dice que (Tn)n∈N converge fuertemente a T si

‖Tnx − Tx‖F → 0,

DEFINICIÓN 2.12


para todo x ∈ E.

3. Se dice que (Tn)n∈N converge débilmente a T si

∣∣g(Tnx)− g(Tx)∣∣→ 0,

para todo x ∈ E y para toda g ∈ F∗.

OBSERVACIÓN. Es fácil notar que convergencia uniforme implica fuerte y con-vergencia fuerte implica débil.

PROPOSICIÓN 2.21. Sean E, F espacios vectoriales normados, E espaciode Banach, (Tn)n∈N una sucesión en L(E, F) tal que (Tn)n∈N convergefuertemente a T, entonces T ∈ L(E, F).

Demostración. Sea x ∈ E, por definición Tnx → Tx. Luego (Tnx)n∈N es unasucesión en F acotada y, por el Teorema de acotación uniforme, tenemos que(‖Tn‖)n∈N está acotada; es decir, existe c > 0 tal que ‖Tn‖ < c, para todon ∈ N.

Luego‖Tnx‖ ≤ ‖Tn‖ ‖x‖ < c ‖x‖ ,

para todo n ∈ N. Entonces

lım ‖Tnx‖ ≤ c ‖x‖ ,

de donde‖Tx‖ ≤ c ‖x‖ ,

lo cual implica que T ∈ L(E, F).

Para culminar este apartado, veremos dos tipos de convergencia que existenen el dual de un espacio vectorial normado.


Sean E un espacio vectorial normado y ( fn)n∈N una sucesión en E∗.

1. Se dice que ( fn)n∈N converge fuertemente a f si

‖ fn − f‖E∗ → 0

y notamos fn → f .

DEFINICIÓN 2.13


2. Se dice que ( fn)n∈N converge débil-∗ a f (se lee que converge débilestrella) si ∣∣ fn(x)− f (x)

∣∣→ 0,

para todo x ∈ E; y notamos fn∗ f .

2.6.4. Teorema de Hahn-Banach, versiones geométricas

A continuación se provarán las dos versiones geométricas del Teorema deHahn-Banach para separación de conjuntos convexos en espacios normados.

En lo siguiente E denotará un espacio vectorial normado real(E, ‖ · ‖

).

Un hiperplano afín es un subconjunto H de E de la forma

H =

x ∈ E : f (x) = α

,

donde f es un funcional lineal sobre E, no idénticamente nulo, y α ∈ R.

Escribimos H = [ f = α] y decimos que H es el hiperplano de ecuaciónf = α.

DEFINICIÓN 2.14

Veremos cuándo un hiperplano cualquiera es o no cerrado.

PROPOSICIÓN 2.22 (Hiperplano cerrado). El hiperplano H = [ f = α] escerrado si y sólo si f es continua.

Demostración. Supongamos que f es continua y notemos que H = f−1(α

).

Como el conjunto α es cerrado, entonces H es cerrado.

Recíprocamente, supongamos que H es cerrado. Entonces su complementoHc, es abierto y no vacío, puesto que f 6≡ 0. Sea x0 ∈ Hc, supongamos quef (x0) < α y sea r > 0 tal que B(x0; r) ⊆ Hc.

Se tiene quef (x) < α, (2.1)

para todo x ∈ B(x0; r), en efecto, si existiera un x1 ∈ B(x0, r) tal que f (x1) > α,dado que el segmento

[x0, x1] =

xt = (1 − t)x0 + tx1 : t ∈ [0, 1]


está totalmente contenido en B(x0, r), entonces [x0, x1] 6⊂ H y f (xt) 6= α, paratodo t ∈ [0, 1].

Por otro lado, supongamos que existe t ∈ [0, 1] tal que f (xt) = α, entonces,al ser combinación convexa, tenemos que

α = f (x0)− t f (x0) + t f (x1),

de donde

t =f (x0)− α

f (x0)− f (x1)=

α − f (x0)

f (x1)− f (x0).

Luego, sabemos que f (x0) < α < f (x1), entonces 0 < α − f (x0) < f (x1) −

f (x0) y también f (x1)− f (x0) > 0, por lo cual

0 < t =α − f (x0)

f (x1)− f (x0)<

f (x1)− f (x0)

f (x1)− f (x0)= 1.

Por tanto, t ∈ [0, 1] y entonces xt ∈ B(x0, r) y xt ∈ H, lo cual es absurdo. Portanto (2.1) se mantiene.

Por otro lado, es fácil ver que todo elemento de B(x0, r) puede ser escritocomo x0 + rz, con z elemento de la bola BE(1) pues

‖x0 + rz − x0‖ = r‖z‖ < r.

Luego, f (x0 + rz) = f (x0) + r f (z) < α para todo z ∈ BE(1); de donde

f (z) <1r

(α − f (x0)

),

para todo z ∈ B(0E, 1). Tomando el supremo de estos z, se tiene que

‖ f‖ = supz∈E

‖z‖≤1

f (z) ≤1r

(α − f (x0)

).

Por tanto, f es acotada y entonces es continua.

Veremos que lo anterior nos sirve para definir el concepto de separabilidad enun espacio vectorial normado.

Sean A, B ⊆ E. Decimos que el hiperplano H = [ f = α] separa a A y B en

DEFINICIÓN 2.15


sentido amplio si verifica

f (x) ≤ α y f (y) ≥ α,

para todo x ∈ A y para todo y ∈ B.

Por otro lado, decimos que H separa a A y B en sentido estrico si existeε > 0 tal que

f (x) ≤ α − ε y f (y) ≥ α + ε

para todo x ∈ A y para todo y ∈ B.

OBSERVACIÓN. Geométricamente la separación significa que los conjuntos A

y B se encuentran «de un lado y de otro de H».

Recordemos además que A se dice convexo si

tx + (1 − t)y ∈ A,

para todo x, y ∈ A y para todo t ∈ [0, 1].

LEMA 2.23 (Funcional de Minkowski de un convexo). Sea C ⊆ E un con-vexo abierto con 0E ∈ C. Para todo x ∈ E definimos

p(x) = ınf

α > 0 : α−1x ∈ C

. (2.2)

(p es llamado el funcional de Minkowski de C.) Se tiene que p es una aplica-ción sublineal y además cumple con lo siguiente.

1. Existe M > 0 tal que

0 ≤ p(x) ≤ M‖x‖, (2.3)

para todo x ∈ E.

2. C está caracterizado por

C =

x ∈ E : p(x) < 1

. (2.4)

Demostración.

• p es positiva homogénea: Sean x ∈ E y β > 0. Se tiene que

p(βx) = ınf

α > 0 : α−1βx ∈ C


= β ınf

α > 0 : α−1x ∈ C

= βp(x).

• p cumple (2.3): Como C es abierto, existe r > 0 tal que BE(r) ⊆ C. Paratodo x ∈ BE(r) se tiene que

p(x) = ınf

α > 0 : α−1x ∈ BE(r)

≤ sup

α > 0 : α−1x ∈ BE(r)=

1r‖x‖.

Luego, puesto que E es espacio vectorial normado, se cumple (2.4).

• p cumple (2.4): Sea x ∈ C, como C es abierto, existe ε > 0 lo suficiente-mente pequeño tal que (1 + ε)x ∈ C, entonces

p(x) ≤1

1 + ε< 1.

Por otro lado, si p(x) <1, entonces existe α ∈ (0, 1) tal que α−1x ∈ C yluego x = α(α−1x) + (1 − α)0 ∈ C.

• p es subaditiva: Sean x, y ∈ E y ε > 0. Por definición de aplicación subli-neal y de (2.4), es claro que x

p(x)+ε∈ C y y

p(y)+ε∈ C. Luego, por convexi-

dadtx

p(x) + ε+

(1 − t)y

p(y) + ε∈ C,

para todo t ∈ [0, 1] y en particular, para t =p(x) + ε

p(x) + p(y) + 2ε, se tiene

quex + y

p(x) + p(y) + 2ε∈ C.

Luegop(x + y) < p(x) + p(y) + 2ε,

para todo ε > 0. De donde se sigue la subaditividad de p. Por tanto, p essublineal.

Utilizaremos este lema para probar dos más antes de enunciar el primer Teo-rema importante de este apartado.

LEMA 2.24. Sean C ⊆ E convexo, abierto, no vacío y x0 ∈ Cc. Existe f ∈ E∗


tal que f (x) < f (x0), para todo x ∈ C. En particular el hiperplano deecuación H =

[f = f (x0)

]separa x0 de C en sentido amplio.

Demostración. Por traslación, podemos suponer que 0E ∈ C e introducir el fun-cional de Minkowski de C, p. Consideremos el subespacio vectorial G = 〈x0〉

y el funcional lineal g, definido en G por

g(tx0) = t,

para todo t ∈ R. Se tiene que

g(x) ≤ p(x),

para todo x ∈ G, pues todo x ∈ G puede expresarse como tx0 para algún t

real. Si t ≤ 0, es claro que g(x) ≤ p(x) pues p es estrictamente positivo. Porotro lado, si t > 0, por el lema anterior, al ser p sublineal tenemos que p(x) =

tp(x0). Entonces dado que C cumple (2.4), vemos que p(x) = tp(x0) ≥ t.

Por el Teorema de Hahn-Banach, existe f ∈ E∗ extensión de g y

f (x) ≤ p(x),

para todo x ∈ E, en particular, tomando t = 1, se tiene que f (x0) = 1 y f

es continua por (2.3). Por (2.4) vemos que f (x) < 1 para todo x ∈ C, por loque el hiperplano de ecuación H = [ f = f (x0)] separa x0 de C en sentidoamplio.

LEMA 2.25. Sean A, B ⊆ E convexos, no vacíos y disjuntos. Entonces C =

A − B es convexo.

Demostración. Sean a1, a2 ∈ A, b1, b2 ∈ B y t ∈ [0, 1]. Tenemos que

ta1 + (1 − t)a2 ∈ A

ytb1 + (1 − t)b2 ∈ B.

De las ecuaciones anteriores obtenemos que

t(a1 − b1) + (1 − t)(a2 − b2) ∈ A − B.

Por lo tanto C es convexo.


Procedemos a continuación con los resultados importantes de este aparta-do.

Sean A, B ⊆ E dos conjuntos convexos, no vacíos, disjuntos, tal que A

es abierto. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa A de B ensentido amplio.

TEOREMA 2.26: Hahn-Banach, primera forma geométrica

Demostración. Sea C = A − B, entonces C es convexo por el lema anterior.Además, es abierto puesto que C =

⋃

y∈B

A − y y cada uno de los conjuntos

A − y es abierto para todo y ∈ B. Por otro lado 0E /∈ C, puesto que A ∩ B =

∅. Luego, por el segundo lema de este apartado, existe f ∈ E∗ tal que

f (z) < 0,

para todo z ∈ C; por tanto, para todo x ∈ A y y ∈ B, tenemos

f (x − y) = f (x)− f (y) < 0,

de dondef (x) < f (y).

Sea α tal quesupx∈A

f (x) ≤ α ≤ ınfy∈B

f (y).

Es claro que el hiperplano con ecuación [ f = α] separa ampliamente A deB.

Sean A, B ⊂ E dos conjuntos convexos, no vacíos, disjuntos, A cerrado yB compacto. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa A de B ensentido estricto.

TEOREMA 2.27: Hahn-Banach, segunda forma geométrica

Demostración. Sea C = A \ B, de forma que C es convexo. Además, es cerradopuesto que A ⊆ Bc. Además es claro que 0E /∈ C1. Entonces existe r > 0 talque BE(r) ∩ C = ∅. Luego, por el Teorema anterior, existe un hiperplano que

1Aquí entra en juego la compacidad de B que da la posibilidad de encontrar sucesiones conver-gentes a 0 si se considera que 0 ∈ C.


separa BE(r) de C. Por tanto, existe f ∈ E∗ tal que

f (x − y) ≤ f (rz),

para todo ∀x ∈ A, y ∈ B y z ∈ B(0E, 1). Luego, para cualquier z ∈ BE(1) con−z ∈ BE(1)2 y para todo x ∈ A y y ∈ B

f (x − y) ≤ f (−rz),

entoncesf (x − y) ≤ −r f (z).

Por tantof (x − y) ≤ −r‖ f‖,

para todo x ∈ A y y ∈ B. Sea ε = 12 r‖ f‖ se tiene por linealidad que

f (x) + ε ≤ f (y)− ε,

para todo x ∈ A y y ∈ B. Luego, es claro que existe un α tal que

supx∈A

f (x) + ε ≤ α ≤ ınfy∈B

f (y)− ε,

por tanto el hiperplano de ecuación [ f = α] separa estrictamente A de B.

Es importante resaltar que para un par de conjuntos no vacíos, convexos ycon intersección vacía, si no se toma una mayor asumsión sobre los conjuntospuede ser casi imposible separar a los conjuntos [1, p. 7]. Esto a excepción deespacios de dimensión finita como se explica en la misma referencia.

COROLARIO 2.28. Sea F ⊂ E subespacio vectorial tal que F 6= E. Existef ∈ E∗, f 6≡ 0, tal que

f (x) = 0,

para todo x ∈ F.

Demostración. Sea x0 ∈ Fc. Usando la segunda forma geométrica con A = F y

B = x0, sabemos que existe un hiperplano de ecuación [ f = α] que separaestrictamente F y x0. Luego tenemos que

f (x) < α < f (x0),

2Al menos cero lo está.


para todo x ∈ F. Se sigue que f (x) = 0 para todo x ∈ F puesto que f (λx) < α

para todo λ ∈ R.


2.7. Ejercicios propuestos

1. Sean T ∈ C (E, F) y (xn)n∈N, (xn)n∈N sucesiones en dom(T) tales quexn → x y xn → x con x ∈ F. Si Txn → y y Txn → y con y, y ∈ F, entoncesy = y.

2. Sean E un espacio vectorial y p un operador sublineal. Demuestre que

a) p(0) = 0.

b) p(−x) ≥ −p(x).

c) M = x ∈ E : p(x) ≤ γ con γ > 0 es convexo.

3. Sean E un Hilbert y x0 ∈ E \ 0, entonces existe f ∈ E∗ tal que

‖ f‖ = 1 y f (x0) = ‖x0‖.

4. Sea E un espacio vectorial normado, si E tiene un conjunto de n vectoreslinealmente independientes, entonces E∗ también posee un conjunto den vectores linealmente independientes.

5. Sean E, F de Banach y T ∈ L(E, F) biyectiva, entonces existen α, β > 0tales que

α‖x‖ ≤ ‖Tx‖ ≤ β‖x‖,

para todo x ∈ E.

6. Si L(E, F) es Banach, entonces F es Banach.

7. Sean X, Y de Banach y (Tn)n∈N una sucesión en L(X, Y) mostrar que lassiguientes proposiciones son equivalentes:

a)(‖Tn‖

)n∈N

es acotada.

b)(‖Tnx‖

)n∈N

es acotada, para todo x ∈ X.

c)(∣∣g(Tnx)

∣∣)

n∈Nes acotada, para todo x ∈ X, g ∈ Y∗.

8. Sean X, Y espacios normados, T1 ∈ C (X, Y) y T2 ∈ L(X, Y). Demuestreque T1 + T2 ∈ C (X, Y).

9. Sean X1 =(X, ‖ · ‖1

)y X2 =

(X, ‖ · ‖2

)espacios de Banach. Si existe c

tal que ‖x‖1 ≤ c‖x‖2, para todo x ∈ X. Demostrar que existe k tal que‖x‖2 ≤ k‖x‖1, para todo x ∈ X.

2.7 Ejercicios propuestos 43

10. Sean T ∈ L(E, F), A ⊆ E. Demuestre lo siguiente:

a) T(αA) = αT(A), para todo α ∈ K.

b) αA = αA, para todo α ∈ K.

c) B(y, ε) ⊆ nA entonces B(

1n y, ε

n

)⊆ A, n > 0.

11. Sean X1 =(C [0, 1], ‖ · ‖1

)con ‖x‖1 = max

t∈[0,1]

∥∥x(t)∥∥, X2 =

(C [0, 1], ‖ · ‖2

)

con ‖x‖2 =

(∫ 1

0x2(t) dt

)1/2

y T : X1 → X2 tal que Tx = x. Demuestre

que T es continua. ¿T−1 es continua?

12. Sean E, un espacio vectorial normado y x0 ∈ E \ 0. Mostrar que existe

f ∈ E∗ tal que ‖ f‖ =1

‖x0‖y f (x0) = 1.

13. Sean E, F espacios de Banach y T ∈ L(E, F) biyectiva. Demostrar queT−1 : img(T) → E es continua si y sólo si img(T) es cerrada.

14. Sean E, F espacios vectoriales normados con F compacto y T : E → F

cerrado. Demostrar que T es acotado.

15. Sean E un espacio vectorial normado y x0 ∈ E tal que para todo f ∈ E∗,con ‖ f‖ = 1, se tiene que

∣∣ f (x0)∣∣ ≤ 1. Demostrar que ‖x0‖ ≤ 1.


2.8. Ejercicios resueltos

EJERCICIO 2.6. Sean E un espacio vectorial cerrado y F un subespacio pro-pio cerrado de E. Demostrar que existe f ∈ E∗ tal que f (x) = 0 para todox ∈ F, pero f 6= 0. (Sugerencia: el operador f es tal que f (x0) = ınf

y∈F‖x0 − y‖, para algún

x0 ∈ E adecuado.)

Demostración. Como F es un subespacio propio, existe x0 ∈ E tal que x0 6∈ F.Tomemos

δ = ınfy∈F

‖x0 − y‖.

Como F es cerrado y x0 6∈ F, se tiene que δ > 0.

Consideremos el espacio V = F ⊕ spanx0, todo elemento de este espaciose puede escribir de manera única como y + αx0, con y ∈ F y α ∈ K.

Definamos el operador

g : V −→ K

y + αx0 7−→ αδ.

Este operador es lineal pues para y1 + α1x0 y y2 + α2x0 en V tenemos que

g(y1 + α1x0 + y2 + α2x0) = g(y1 + y2 + (α1 + α2)x0

)

= (α1 + α2)δ

= α1δ + α2δ

= g(y1 + α1x0) + g(y2 + α2x0),

además g es continuo puesto que

∣∣g(y + αx0)∣∣ = |α|δ = |α|| ınf

y∈F‖x0 − y‖,

como y ∈ F, si α 6= 0, se tiene que − 1α y ∈ F, por lo tanto

∣∣g(y + αx0)∣∣ = |α|| ınf

y∈F‖x0 − y‖ ≤ |α|

∥∥∥∥x0 +1α

y

∥∥∥∥ = |y + αx0‖,

esta desigualdad se sigue cumpliendo cuando α = 0 pues∣∣g(y)

∣∣ = 0 ≤ ‖y‖.Por lo tanto, se tiene que ∣∣g(x)

∣∣ ≤ ‖x‖,

para todo x ∈ V; es decir, g ∈ V∗.

2.8 Ejercicios resueltos 45

Por el Teorema de Hahn-Banach para espacios normados existe f ∈ E∗ talque f extiende a g y con esto, se tiene un operador f ∈ E∗ tal que para todox ∈ F

f (x) = g(x) = 0

y ademásf (x0) = g(x0) = δ = ınf

y∈F‖x0 − y‖ 6= 0,

por lo tanto f 6= 0.

EJERCICIO 2.7. Sea E un espacio de Banach, F un espacio normado y pa-ra cada n ∈ N, Tn : E → F, operadores lineales y acotados, tales quesupn∈N

‖Tn‖ = +∞. Demostrar que existe x0 ∈ E tal que supn∈N

‖Tn(x0)‖ =

+∞.

Demostración. Supongamos que sup ‖Tn(x)‖ < +∞. para todo x ∈ E. Con estose tiene que para todo x ∈ E, existe cx > 0 tal que

∥∥Tn(x)∥∥ ≤ cx

para todo n ∈ N. Puesto que E es un espacio de Banach, usando el Teorema deacotación uniforme, se tiene que existe c > 0 tal que

‖Tn‖ ≤ c

para todo n ∈ N. Lo cual contradice que supn∈N

‖Tn‖ = +∞.

Por lo tanto, existe x0 ∈ E tal que supn∈N

‖Tn(x0)‖ = +∞.

EJERCICIO 2.8. Sean E1 =(E, ‖ · ‖1

)y E2 =

(E, ‖ · ‖2

)espacios de Banach

tales que la convergencia en E1 implica la convergencia en E2. Demostrarque las normas ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 son equivalentes.

Demostración. SeaT : E1 −→ E2

x 7−→ Tx = x.

Esta función es lineal, biyectiva y continua, pues sea (xn)n∈N una sucesión en


E que converge a x en E1, se tiene por hipótesis que

‖xn − x‖1 → 0,

entonces‖Txn − Tx‖2 = ‖xn − x‖2 → 0;

es decir, (Txn)n∈N converge a Tx en E2, por lo que T es continua.

La continuidad implica acotación, por lo que existe c > 0 tal que

‖x‖2 = ‖Tx‖2 ≤ c‖x‖1,

para todo x ∈ E. Luego, por el Teorema de la aplicación abierta se tiene queT−1 es también continua y por tanto existe b > 0 tal que

‖x‖1 = ‖T−1x‖1 ≤ b‖x‖2,

para todo x ∈ E. Por lo tanto

1b‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ c‖x‖1,

para todo x ∈ E; es decir, las normas son equivalentes.

EJERCICIO 2.9. Sea E un espacio espacio vectorial normado y M ⊆ E talque para f ∈ E∗, f (x) = 0 para todo x ∈ M implica f = 0. Demostrar queM es total.

Demostración. Supongamos que M no es total; es decir, span M 6= E. Por lotanto span M es un subespacio propio de E; es decir, existe u ∈ E tal que u 6∈

span M. Por el primer ejercicio de esta sección, existe f ∈ E∗ tal que f (x) = 0para todo x ∈ span M, pero f 6= 0 pues f (u) 6= 0. Esto contradice la hipótesissobre M que dice que f = 0 pues f (x) = 0 para todo x ∈ F y ya que M ⊆

span M, entonces f (x) = 0 para todo x ∈ M. Por tanto, M es total en E.

EJERCICIO 2.10. Sean E, F espacios normados y T : E → F un operadorlineal cerrado. Demostrar que el núcleo de T es un conjunto cerrado.

Demostración. Sea (xn)n∈N una sucesión en ker(T) tal que xn → x. Se tiene queTxn = 0 para todo n ∈ N, por lo tanto Txn → 0 y con esto se tiene que

(xn, Txn) → (x, 0).

2.8 Ejercicios resueltos 47

Además (xn, Txn) ∈ graf(T), para todo n ∈ N; es decir,(xn, Txn

)n∈N

es unasucesión en graf(T) que converge a (x, 0). Dado que T es cerrado, graf(T) escerrado y por lo tanto (x, 0) ∈ graf(T); de donde x ∈ ker(T).

Finalmente, ker(T) es cerrado.

NOTACIÓN

Símbolo Descripción

Ac Complemento del conjunto A.Ar B Diferencia entre el conjunto A y el conjunto B.E× Conjunto de operadores lineales de E en sí mismo. Dual alge-

braico.E∗ Espacio de todos los operadores lineales y continuos de E en sí

mismo. Dual topológico.L(E, F) Espacio de todos los operadores lineales y continuos de E en F.ER Proyección del espacio vectorial complejo, E, visto como un es-

pacio vectorial real.int(X) Interior del espacio topológico X.X Clausura del espacio topológico X.B(x, r) Bola de centro x y radio r.B(r) Bola de centro 0 y radio r.span(M) Conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de

M.dom( f ) Dominio de la función f .img( f ) Imagen de la función f .graf(T) Grafo de la aplicación lineal T.Jm, nK Intervalo de números enteros entre m y n.[a, b] Segmento cerrado entre a y b.]a, b[ Segmento abierto entre a y b.〈x, y〉 Producto interno entre x y y.‖x‖ Norma del vector x.x ⊥ y x es ortogonal a y.M⊥ Complemento ortogonal de M.T∗ Operador adjunto de A en un espacio de Hilbert.T× Operador adjunto de A en un espacio de Banach.Tn Composición del operador T consigo mismo n veces.(xn)n∈N Sucesión de elementos en el espacio métrico X.xn → x La sucesión (xn)n∈N converge a x cuando n tiende a +∞.

49


Símbolo Descripción

lım xn = x El límite de la sucesión (xn)n∈N, cuando n tiende a +∞, es x.Tx Imagen de x bajo el operador lineal T.C(Ω) Espacio de funciones continuas definidas sobre el conjunto Ω.C1(Ω) Espacio de funciones con una derivada continua definidas so-

bre Ω ⊆ R.L p[a, b] Completación del espacio C [a, b] con la norma

‖u‖ =(∫ b

a u(x)p dx)1/p

, para 1 ≤ p < +∞.

ℓp(K) Espacio de sucesiones de elementos en K con la norma

‖u‖ =(

∑+∞i=0 u

pi

)1/p

, para 1 ≤ p < +∞.

BIBLIOGRAFÍA

[1] H. Brézis. Análisis funcional. Alianza Editorial S.A., 1984.

[2] H. Brézis. Functional analysis, Sobolev spaces and Partial Differential Equations.Springer, 2010.

[3] G. Chirstol, A. Cot, y C. Marle. Calcul différentiel. Mathématiques pour le2E cycle. ellipses, 1997.

[4] E. Kreyszig. Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley, 1978.

[5] L. Todjuhounde. Calcul différentiel: cours et exercise corrgés. Cépaduès–éditions, 2004.

51

ÍNDICE ALFABÉTICO

Aplicación abierta, 19

C (E, F): espacio de los operadores ce-rrados, 25

Conjunto de primera categoría, 14Conjunto de segunda categoría, 14Conjunto denso en ninguna parte, 14Convergencia

Débil, 30Fuerte, 30Operadores

Débil, 32Débil-∗, 34Fuerte, 31Uniforme, 31

Espacioreflexivo, 29

Función positiva-homogénea, 6Función subaditiva, 6Función sublineal, 6

Grafo, 24

HiperplanoCerrado, 34Hiperplano afín, 34Separación en sentido amplio, 36Separación en sentido estrico, 36

Lema: Funcional de Minkowski de unconvexo, 36

Lema de Zorn, 4

Operador cerrado, 24

OrdenCadena, 4Comparables, 4Cota superior, 4Maximal, 4Parcial, 3Total, 4

Teorema: Acotación uniforme, 16Teorema: Aplicación abierta, 22Teorema: Grafo cerrado, 26Teorema de Hahn-Banach

Espacios normados, 11Extensión de funcionales, 6Generalizado, 9Primera forma geométrica, 39Segunda forma geométrica, 39Vector no nulo, 13

Teorema de la categoría de Baire, 14Transpuesta de una aplicación lineal

Operador adjunto, 27

53

El presente fascículo recolecta las principales definiciones, proposiciones yteoremas, sobre los Teoremas Clásicos del Análisis, vistos en el curso de“Análisis Matemático II”, dictado en la carrera de Matemática de la EscuelaPolitécnica Nacional. Además, presenta un compendio de ejercicios propues-tos y resueltos referente a este tema. Este trabajo se lo realizó en base a losapuntes de clase de la asignatura por el profesor Mat. Andrés Merino en lacarrera de Matemática de la Escuela Politécnica Nacional, y recopilado por elestudiante Andrés Miniguano.Cualquier corrección, propuesta de cambio o mejora del presente trabajo sela puede realizar al correo: [email protected] .

9 780000 111227

ISBN 978-0000-111-22-7

Proyecto CLAVEMAT

Análisis Matemático II

[email protected]

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1 (2) ANÁLISIS MATEMÁTICO II...PREFACIO El presente libro es la recopilación de los apuntes de clase de la asignatu-ra «Análisis Matemático II» dictada por el profesor Mat