Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
OPERÁCIÓKUTATÁS
Tóth Georgina Nóra
1-2. gyakorlat
TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS
Ipari forradalom hatása a vállalatokra
II. világháború
Katonai hadműveletek (operációk)
Kutatók alkalmazása
Lendületes fejlődés
Számítástechnika robbanásszerű fejlődése
OPERÁCIÓKUTATÁS CÉLJA,
JELENTŐSÉGE
Forráselosztás
Bonyolultsági és szakosodási problémák
megoldása
Optimalizálási problémák
OPERÁCIÓKUTATÁS JELLEGZETESSÉGEI
Operációkra (műveletekre) vonatkozó kutatás
Vállalaton belüli tevékenységek/műveletek
összehangolására alkalmazzák
Tudományos megközelítés
Vállalattól függetlenül alkalmazható
Folyamat modell kialakítása lényeges vonások
alapján
Optimális megoldás keresése
MÓDSZEREK, SZABVÁNYOS
ESZKÖZÖK
Lineáris programozás
Szimplex módszer (George Dantzig 1947)
Dinamikus programozás
Sorbanállás elmélete
Raktározási problémák elmélete
OPERÁCIÓKUTATÁS DEFINICIÓJA
A döntéshozás olyan tudományos
megközelítéseként írhatjuk le, amely szervezeti
rendszerek működésével áll kapcsolatban.
„operációkra vonatkozó kutatás”
OPERÁCIÓKUTATÁS DEFINICIÓJA 2.
Az operációkutatás a valóságos életből eredő
determinisztikus és sztochasztikus rendszerek
modellezésével és ezekre vonatkozó döntések
meghozatalával foglalkozik.
PROBLÉMA MEGFOGALMAZÁSA
Gyakorlati életben zavaros problémák
Fontos tanulmányozni a rendszert
Célok meghatározása
Kényszerfeltételek
Vizsgálandó és egyéb területek közötti kapcsolatok megadása
Lehetséges cselekvéssorok
Időkorlátok
Cél: a probléma egy jól definiált megfogalmazása!
MATEMATIKAI MODELL FELÉPÍTÉSE
Probléma átfogalmazása, hogy elemzésre
alkalmas legyen
Idealizált reprezentációk
n összefüggő döntés ->”döntési változók”
x1,x2, ….xn
A hatékonyságot a döntési változók függvényeként
fejezzük ki.
„CÉLFÜGGVÉNY”
MATEMATIKAI MODELL FELÉPÍTÉSE
Döntési változókra vonatkozó megszorítások „KÉNYSZERFELTÉTELEK”
CÉLFÜGGVÉNY + KÉNYSZERFELTÉTELEK
ÁLLANDÓI
BEMENETI vagy MODELLPARAMÉTEREK
FELADATTÍPUSOK
Termékek olyan keverékének
meghatározása, amely maximalizálja a
hasznot
A földterület különböző termények vetésére
vonatkozó olyan szétosztása, amely
maximalizálja a nettó visszatérülést
Szennyeződés kiküszöbölésére irányuló
módszerek olyan kombinációja, amelynek
segítségével a levegő minőségére vonatkozó
szabvány a lehető legkisebb költséggel érhető
el
A MODELL MEGOLDÁSÁNAK
LEVEZETÉSE
Cél: a modellből levezetni a probléma egy
megoldását
Szabványos algoritmusok
Programcsomagok
Idealizált modell
Nem biztos, hogy a megoldás a valós problémánál
optimális
A MODELL MEGOLDÁSÁNAK
LEVEZETÉSE
Optimális megoldás -> kielégítő megoldás
(Matematikai modell) (VALÓSÁG)
A MODELL ÉS A BELŐLE SZÁRMAZÓ
MEGOLDÁS KIPRÓBÁLÁSA
Modell helyességének ellenőrzése
(helytelen interpretáció, rossz bemenő
paraméter értékek)
Paraméter értékek megváltoztatása a
hatás figyelemmel kísérése mellett
Visszatekintő ellenőrzés (történeti
adatok+rekonstrukció)
Jelentős-e a javulás?
Hátránya: a múlt hűen reprezentálja a
jövőt?
A MEGOLDÁSRA VONATKOZÓ
ELLENŐRZÉSEK LÉTREHOZÁSA
CÉL: A valóság változásainak követése
Rendszeres eljárások létrehozása
Kritikus paraméterek azonosítása (érzékenység
vizsgálat)
Paraméterek statisztikailag szignifikáns
változásának nyomon követése (folyamat
ellenőrzési táblázatok, szabályozó kártyák)
Cselekvéssor kiigazítása
A MEGOLDÁS MEGVALÓSÍTÁSA
(„ÜZEMBE HELYEZÉS”)
Kritikus fázis
A siker függ a felső vezetés támogatásának
mértékétől
Támogatás mellett a részvétel is fontos
A MEGOLDÁS MEGVALÓSÍTÁSÁNAK
LÉPÉSEI („ÜZEMBE HELYEZÉS”)
Bevezetendő megoldás, változtatás
ismertetése
Felelősség megosztása a bevezetést illetően
Érintett munkavállalók oktatása (operatív
vezetés)
Változtatások elvégzése
Szükség esetén módosítás
Sikeres megoldás esetén periodikus
alkalmazás
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI MODELL
Célfüggvény
Korlátozó
feltételek
LINEÁRIS
A modellben szereplő összes függvény
lineáris!
LINEÁRIS PROGRAMOZÁS
LEGGYAKORIBB ALKALMAZÁSA
Korlátozottan rendelkezésre álló források optimális elosztása egymással konkuráló célokat szolgáló
tevékenységek között
Pl.: termelőerők elosztása, nemzeti kincsek elosztása, kötvénycsomagok (portfolio)
kiválasztása, logisztikai feladatok, szállítmányozás megszervezése, egészségügy
(besugárzási terápia)
SZIMPLEX MÓDSZER
Hatékony eljárás
Lehetővé teszi óriási méretű lineáris
programozási feladat megoldását
1. PÉLDA – WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ
TÁRSASÁG
Gyártott termékek:
Üvegajtó
Ablak
3 üzemben történik a gyártás:
1. üzem Alumínium keretek, szerelvények
2. üzem Fakeretek
3. üzem Üveg alkatrészek
1. PÉLDA – WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ
TÁRSASÁG
Veszteség miatt több termék gyártását
beszűntetik
Felszabadult kapacitás 2 új termék
gyártására fordítják
1. termék 2m magas alumínium keretes ajtó
2. termék Fakeretes dupla ablak (1x1,5m)
Mindkét termék gyártása leköti a 3. sz.
üzem bizonyos kapacitását.
1. PÉLDA – WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ
TÁRSASÁG
Milyen arányban keveredjék ennek a két
terméknek a gyártása a legnagyobb profit elérése
érdekében?
1. PÉLDA – WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ
TÁRSASÁG
Operációkutató csoport meghatározta:
1. Mindkét új termékre nézve a rendelkezésre álló százalékos kapacitást mind a három üzemben
2. Mindkét új termék esetében az egységnyi termék/perc termeléshez szükséges százalékos arányt
3. Egységnyi profitot mindkét termék esetén
1. PÉLDA – WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ
TÁRSASÁG
Üzem Termék Szabad kapacitás
1. termék 2. termék
1. 1 0 4
2. 0 2 12
3. 3 2 18
Profit/egység 3€ 5€ -
1. PÉLDA – WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ
TÁRSASÁG (MATEMATIKAI MODELL
MEGFOGALMAZÁSA)
Jelölések:
x1, x2 – 1. ill. a 2. termék percenként termelt
egységeinek száma / döntési változók
Z – percenkénti profithozzájárulás
Célfüggvény: Z=3 x1 +5 x2 max
Üzem Termék Szabad kapacitá
s 1.
termék 2.
termék
1. 1 0 4
2. 0 2 12
3. 3 2 18
Profit/ egység
3€ 5€ -
1. PÉLDA – WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ
TÁRSASÁG (MATEMATIKAI MODELL
MEGFOGALMAZÁSA)
Megszorítások:
Az 1 termék minden percenként megtermelt
egysége az 1,. Üzem 1% kapacitását venné el a
rendelkezésre álló 4-ből
x1≤4
Hasonlóan a 2. üzemre:
2x2≤12
x2≤6 Üzem Termék Szabad
kapacitás
1. termék
2. termék
1. 1 0 4
2. 0 2 12
3. 3 2 18
Profit/ egység
3€ 5€ -
1. PÉLDA – WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ
TÁRSASÁG (MATEMATIKAI MODELL
MEGFOGALMAZÁSA)
Hasonlóan a 3. üzemre:
3x1 + 2x2≤18
A termelés nem lehet negatív, tehát:
x1≥0
x2≥0
Üzem Termék Szabad kapacitá
s 1.
termék 2.
termék
1. 1 0 4
2. 0 2 12
3. 3 2 18
Profit/ egység
3€ 5€ -
MATEMATIKAI MODELL
MEGFOGALMAZÁSA
Z=3 x1 +5 x2 max
Feltéve, hogy
x1 ≤4
x2≤6
3x1 + 2x2≤18
x1 ≥0
x2≥0 Üzem Termék Szabad
kapacitás
1. termék
2. termék
1. 1 0 4
2. 0 2 12
3. 3 2 18
Profit/ egység
3€ 5€ -
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI MODELL
ÁLTALÁNOSAN
Jelölések:
m db korlátozott forrás (1, 2,…,m)
n db egymással konkuráló tevékenység (1,2,…,n)
Döntési változó xj (j=1,2,…n)
Z –együttes eredményesség megválasztott mértéke
Cj – Z azon növekedése, amely xj egységnyi növelése okozna (j=1,2,…n)
bi – i. forrásból rendelkezésre álló mennyiség (i=1,2,…n)
aij- i-ik forrásnak az egységnyi j-ik tevékenység által felhasznált mennyisége(i=1,2,…m)(j=1,2,…n)
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI MODELL
ADATAI
Forrás Tevékenység Szabad forráskapacitás
1 2 ….. n
1 a11 a12 …….. a1n b1
2 a21 a22 ………. a2n b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
……..
.
.
…….
.
.
.
m am1 am
2 amn bm
ΔZ/egységnyi tevékenység
c1 c2 ………. cn
Tevékenység szintje
x1 x2 xn
A MODELL EGY STANDARD ALAKJA
,0x,.....,0x,0x
és
bxa...xaxa
bxa...xaxa
bxa...xaxa
hogy,feltéve
maxxc... xcxcZ
n21
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
nn2211
Célfüggvény
Megszorításo
k/
funkcionális
feltételek
Nem-
negatívitási
feltételek
SZIMPLEX MÓDSZER
Kezdő lépés
Iteratív lépés
Optimalitási vizsgálat
Elértük a kívánt eredményt?
Nem
STOP
Igen
SZIMPLEX MÓDSZER
Lehetséges csúcspontmegoldások tulajdonságai: a) ha pontosan egy optimális megoldás létezik,
akkor az szükségszerűen egy lehetséges csúcspontmegoldás
b) ha egyszerre több optimális megoldás létezik, akkor kell lennie közöttük legalább két szomszédos lehetséges csúcspontmegoldásnak
A lehetséges csúcspontmegoldások véges sokan
vannak. Ha egy csúcspontmegoldás legalább olyan jó Z
szempontjából mint a szomszédos lehetséges csúcspontmegoldások, akkor legalább olyan jó vagy jobb, mint az összes többi lehetséges csúcspontmegoldás, azaz optimális megoldás.
MEGOLDÁSOK KERESÉSE
x1
x2
4
6
9
6
3x1+2x2≤18
Lehetséges
megoldások halmaza
Célfüggvény
Z=3 x1 +5 x2
Üzem Termék Szabad kapacitá
s 1.
termék 2.
termék
1. 1 0 4
2. 0 2 12
3. 3 2 18
Profit/ egység
3€ 5€ -
LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELŐFELTÉTELEI
Arányosság
Külön-külön minden egyes tevékenységre
N db tevékenységből válasszunk egyet (k.)
xj =0, minden j=1,2,…..,n esetén és (j≠k)
(1) Z kifejezhető ck xk módon
(2) i-ik forrás felhasználása aik xk
Mindkét mennyiség arányos a k. tevékenység szintjével (minden k=1,2,….,n esetén)
LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELŐFELTÉTELEI
Additivitás
Összes tevékenységre együtt vizsgáljuk
Lehetséges kölcsönhatások vizsgálata
Követelmény:
Bármely x1 , x2 ,…., xn ) tevékenységi szintek
mellett mind a hatékonyság mértéke (Z), mind a
források teljes felhasználása a megfelelő
mennyiségek összegeként legyen kifejezhető (ne
legyenek kevert tagok!)
LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELŐFELTÉTELEI
Oszthatóság
Valóságban a döntési változók értéke bizonyos
esetekben csak egész értéket vehetnek fel.
Sokszor az optimális eredményhez kapott számok
nem egész értékek.
Oszthatósági szabály: a tevékenységek egységei
bármilyen arányban oszthatók, a döntési
változók pedig tört értékeket is felvehetnek.
LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELŐFELTÉTELEI
Bizonyosság
Az összes paraméter (aij, bi, cj) mind ismert
konstansok.
Valós problémák esetében ritka
Érzékenységi vizsgálat
TOVÁBBI PÉLDA LÉGSZENNYEZÉS-
SZABÁLYOZÁS
Nori&Leets Társaság – Steeltown
Légszennyezési probléma megoldása
Legjelentősebb légszennyező anyagok
Szennyező Éves kibocsájtás előírt
csökkentése (millió
pound)
Por 60
Kéndioxidok 150
Szénhidrogének 125
LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA)
2 okozója a légszennyezésnek:
1. Olvasztókemencék
2. Nyílt-tüzelésű kohók
Légszennyezés csökkentéséhez lehetőségek:
(1) Kémények magasságának megnövelése
(kétséges)
(2) Szűrő (gázcsapdák) a kéményekben
(3) Különböző hatásfokú tisztító anyagok keverése
a kohók üzemanyagaihoz
LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA)
Magasabb
kémények
Szűrők Jobb
tüzelőanyagok
Olvasz-
tóke-
mence
Nyílt-
tüzelésű
kohó
Olvasz-
tóke-
mence
Nyílt-
tüzelésű
kohó
Olvasz-
tóke-
mence
Nyílt-
tüzelésű
kohó
Por 12 9 25 20 17 13
Kéndioxid 35 42 18 31 56 49
Szénhidrogé
n
37 53 28 24 29 20
A fenti megoldások az előző táblázatba foglalt határig bármilyen
kapacitással alkalmazhatók. Együttes alkalmazása lehetséges.
2. táblázat Az egyes módszerek korlátai
LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA)
Módszer Olvasztókemence Nyílt-tüzelésű
kohó
Magasabb kémények 8 10
Szűrők 7 6
Jobb tüzelőanyagok 11 9
3. táblázat Az egyes módszerek éves költségei teljes
kihasználtság mellett (millió $)
LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA)
Mikor az adatokat megvizsgálták, világossá vált,
önmagában egyik módszer sem elegendő.
Mindhárom módszer teljes kapacitásának
bevetése, több mint elfogadható eredménnyel
járna. (Nagyon magas költségek mellett.)
Kombinációkat kell vizsgálni.
LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA)
Módszer Olvasztókemence Nyílt-tüzelésű
kohó
Magasabb kémény x1 x2
Szűrő x3 x4
Jobb tüzelőanyag x5 x6
Döntési változók
LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA)
Hat döntési változó: xj (j=1,2,…,6)
Matematikai modell:
Min Z=8 x1 +10 x2 +7 x3 +6 x4 + 11x5 +9 x6
1. Szennyezés csökkentése:
12 x1 +9 x2 +25 x3 +20 x4 + 17 x5 +13 x6 ≥ 60
35 x1 +42 x2 +18 x3 +31 x4 + 56 x5 +49 x6 ≥ 150
37 x1 +53 x2 +28 x3 +24 x4 + 29 x5 +20 x6 ≥ 125
LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA)
2. Technológia:
xj ≤1 minden (j=1,2,…,6) esetén
3. Nemnegatívitás:
xj ≥0 minden (j=1,2,…,6) esetén
LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA)
Módszer Olvasztókemence Nyílt-tüzelésű
kohó
Magasabb kémény x1 x2
Szűrő x3 x4
Jobb tüzelőanyag x5 x6
Döntési változók
Megoldás:
(x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6)= (1, 0.623, 0.343, 1, 0.048, 1)
Érzékenységi vizsgálatot végeztek, majd a programot
megvalósították.
SZÁLLÍTÁSI FELADAT
Speciális lineáris programozási feladat
Gyakori valós problémák
Nagyszámú feltétel
Sok döntési változó
Sok 0 van a változók között (aij többsége)
Speciális szerkezet
SZÁLLÍTÁSI FELADAT
Feltételek és együttható
táblázata/mátrixa
A=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
......
......
......
21
222
.
.21
11211
SZÁLLÍTÁSI FELADAT
MINTAPÉLDA
Borsókonzerv
A termelés 3 konzervgyárban folyik
szállítás tehervonattal
4 értékesítő helyre
Fő kiadás a szállítási költség
Cél: szállítási költség csökkentése
SZÁLLÍTÁSI FELADAT
MINTAPÉLDA
Megbecsülték:
A következő szezonra várható termelést
Kihelyezés mennyiségét az adott árukból
Egy tehervagonra eső szállítási költségét
A P&T TÁRSASÁG SZÁLLÍTÁSI ADATAI
Áruház Terme
-lés
1 2 3 4
Kon
zerv
gyár 1 464 513 654 867 75
2 352 416 690 791 125
3 995 682 388 685 100
Kihelyezés 80 65 70 85
SZÁLLÍTÁSI FELADAT
MINTAPÉLDA
Z a teljes szállítási költség
Xij (i=1,2,3 ; j=1,2,3,4 ) az i-ik konzervgyárból a j-ik
áruházba szállítandó
Célfüggvény:
min
685388682995791690
416352867654513464
343332312423
222114131211
Z
xxxxxx
xxxxxxZ
SZÁLLÍTÁSI FELADAT
MINTAPÉLDA
Feltételek:
=75
=125
=100
=80
=65
=70
=85
14131211 xxxx
24232221 xxxx
34333231 xxxx
11x
12x
13x
14x
21x
22x
23x
24x
31x
34x
33x
32x
Konzerv-
gyár
feltételei
Az
áruház
feltételei
SZÁLLÍTÁSI FELADAT
MINTAPÉLDA
343332312423222114131211 xxxxxxxxxxxx
111
111
111
111
1111
1111
1111
A
SZÁLLÍTÁSI FELADAT
MINTAPÉLDA
A feladat optimális megoldása:
55,0,20,0 14131211 xxxx
0,0,45,80 24232221 xxxx
30,70,0,0 34333231 xxxx
SZÁLLÍTÁSI FELADAT MODELLJE
TERMINOLÓGIA
Mintapélda Általános feladat
Egy vagon borsókonzerv Egységnyi áru
Három konzervgyár m tárolóhely
Négy áruház n felvevőhely
Az i-ik konzervgyár termelése si, az i-ik tárolóhely készlete
A j-ik áruháznak történő
juttatás
dj , a j-ik felvevőhely kereslete
Vagononkénti szállítási
költség az i-ik konzervgyárból
a j-ik áruházba
cij, egységnyi áru szállítási
költsége az i-ik tárolóhelyről a
j-ik felvevőhelyre
SZÁLLÍTÁSI FELADAT MODELLJE
Z-a teljes szállítási költség
xij az i-ik tárolóhelyről a j-ik felvevőhelyre
szállítandó egységek mennyisége
re-j és re-iminden 0
és ,,....2,1, ,,....2,1,
, ,
11
1 1
ij
m
ijij
n
jiij
m
i
n
jijij
x
njdxmisx
hogyfeltévexcZ
SZÁLLÍTÁSI FELADAT MODELLJE
Felvevőhely Készle
t
1 2 … n
Táro
lóh
ely
1 c11 c12 … c1n S1
2
.
.
.
.
.
.
m
cm1
cm2
… cmn
sm
Kereslet
d1
d2
…
dn
SZÁLLÍTÁSI FELADAT MODELLJE
mnmmmnn xxxxxxxxxxxx ......... 32122322211131211
111
111
111
111
1..111
...1..111
1..111
A
SZÁLLÍTÁSI FELADAT MODELLJE
Csak akkor létezik megengedett
megoldása a modellnek ha
m
i
n
jij
n
jj
m
ii
n
jj
m
ii
xds
ds
1 111
11
egyenlő és
hogy ik,megkövetel feltételekA
OPERÁCIÓKUTATÁS
OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK
A matematikai (számoló) modell elkészítése Paraméterek elhelyezése
Feltételezett megoldás(ok) elhelyezése
Számoló cellák elkészítése
(Kívánt értékek elhelyezése)
Solver – Megoldáskereső használata – Paraméterek megadása Célcella megadása
Max, Min, vagy konkrét érték
Változó cellák megadása
Korlátozó feltételek
Az eredmény, - ha van, - értékelése, magyarázata