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Inferenza Statistica

Le componenti teoriche dell’Inferenza Statistica sono:

la teoria dei campionila teoria della probabilità la teoria della stima dei parametrila teoria della verifica delle ipotesi

Il concetto di probabilità è espresso di frequente nella pratica quotidiana: un cliente ha la

probabilità di stare bene in un albergo a 5 stelle 95 volte su 100, una compagnia aerea 9 volte su

10 è puntuale… etc.

Probabilità

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Incertezza e Probabilità

• esperienza relativa alle condizioni del tempo dei giorni precedenti

• tempo previsto nella stagione considerata

• previsioni meteo • saranno fatte valutazioni

probabilistiche per minimizzare possibili errori di previsione

Probabilità: l’accadere di un certo evento è più o meno verosimile in relazione ad altri eventi

Devono rientrare delle navi, come sarà il tempo?

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Incertezza e Probabilità

Prova: esperimento in cui si riscontra incertezza nel risultato

Evento aleatorio: uno dei possibili risultati di una prova

la realizzazione delle prove darà poi luogo ad uno e ad un solo risultato tra i possibili previsti (modalità disgiunte) es. lancio di una moneta, dado, etc...

al momento in cui l’esperimento è compiuto,

il risultato possa essere noto, oppure no al ricercatore

Evento certo: si verifica sicuramente

Evento impossibile: non può mai realizzarsi

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1) POSITIVITA’ : P(E)≥0

2) CERTEZZA: P(E)=1 se E vento certo

3) UNIONE: se A e B sono due eventi incompatibili (mutuamente esclusivi)

P(AUB)= P(A)+ P(B)

Impostazione Assiomatica (Kolmogorov)

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In conclusione:

0 ≤ P(A) ≤ 1

la probabilità del verificarsi di due o più eventi incompatibili è pari alla somma delle singole probabilità

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Si consideri il lancio di un dado di caratteristiche ignote e si calcoli la

probabilità che si verifichi l’evento (un qualsiasi possibile risultato del lancio):

“uscita di una faccia contraddistinta da un numero pari”

dall’osservazione del fenomeno risulta che:

al ripetersi dei lanci, le facce contraddistinte da numeri pari escono circa la metà delle volte rispetto alle facce dispari e che sempre più, al progressivo ripetersi del numero dei lanci, nell’uscire, tendono a stabilizzarsi sulla metà tendono a stabilizzarsi sulla metà delle voltedelle volte

allora si può affermare che:

al ripetersi dei lanci “sempre sotto le medesime condizioni”,

la probabilità (compresa tra 0 e 1)(compresa tra 0 e 1) che esca una faccia contraddistinta da un numero pari sarà 0,500,50

APPROCCIO FREQUENTISTA

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Scuola frequentista

L’evento E è un possibile risultato di un esperimento ripetibile

n = numero di prove effettuate

m = numero di eventi che si sono verificati

F= frequenza assoluta

Al tendere del tempo all’infinito, m/n si stabilizza, esprimendo la probabilità di verificarsi dell’evento

n

EFEP n

n

)(lim)(

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Variabile casuale

VARIABILE CASUALE X: qualsiasi caratteristica si presenti con modalità diverse x1, x2, x3,…, da soggetto a soggetto o, nello stesso soggetto, da un momento all’altro

Modalità: tutti i valori che la variabile può assumere

Variabile casuale: quantitativa (continua, discreta)

qualitativa (nominale, ordinale)

prima di una data prova, può assumere in ciascuna osservazione un valore qualsiasi, dopo la prova, essa assumerà, in ciascuna osservazione, uno ed un solo valore, detto “determinazione della variabile casuale”

VARIABILE DETERMINISTICA: variabile casuale dopo una determinata prova.

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Distribuzione di probabilità

I valori possibili (modalità) di una variabile casuale sono riassunti in una distribuzione, definita “distribuzione di probabilità”

Nella distribuzione di probabilità sono mostrati tutti i possibili valori di una variabile casuale con le rispettive probabilità di verificarsi

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Distribuzioni di frequenza e distribuzioni di probabilità

Una distribuzione di

frequenza mostra il risultato di ogni evento e la sua relativa frequenza

Una distribuzione di probabilità elenca ogni valore possibile con la relativa probabilità

Alcune distribuzioni di probabilità

Variabili discrete

Variabili continue

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Binomiale

Poisson

Normale

Normale Standardizzata

t di Student

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Distribuzione Binomiale

Variabile casuale discreta dicotomica

assume 1= successo con probabilità p

0= insuccesso con probabilità q=1-p uno ed un solo risultato tra i due possibili; la probabilità è la stessa per ogni prova tutte le prove sono indipendenti

Funzione di probabilità:

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Distribuzioni di Poisson

p = probabilità che l’evento si verifichin = numero delle prove

p < 0,05 n > 100

Funzione di probabilità

Dove λ è il numero medio di eventi per intervallo di tempo

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Distribuzione Normale

Variabile casuale continua

Molti dei dati rilevati tendono a distribuirsi secondo le caratteristiche della normalità

Più numerose saranno le osservazioni sulla variabile, più numerosi saranno i rettangoli componenti l’istogramma più il grafico si approssimerà ad una curva a campana

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Distribuzione Normale e Normale standardizzata

Funzione di densità

Probelma:

Distribuzioni Probabilità del verificarsi di un evento

L’evento segue una distribuzione di probabilità

Come si calcola la probabilità?

La velocità di consegna da parte di un’azienda con sede a Barcellona, segue una distribuzione normale ed ha una media di 185,7 giorni ed una deviazione standard di 14,6 giorni. Qual’è la probabilità che se faccio un ordine questo sia in sede dopo 200 giorni?

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19

Distribuzione Normale Standardizzata

den

sità

Esempio - Punteggi Standardizzati

La velocità di consegna ha una media di 185,7 giorni ed una deviazione standard di 14,6 giorni

ii

xz

Valori critici

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Esempio - Punteggi Standardizzati

Ad un test, la media della durata di una batteria è 72 ore e la deviazione standard è 15 ore. Qual è la probabilità che acquistando una batteria, questa si scarichi dopo 60 ore ma prima di 90?

4,115

7293 ;8,0

15

7260

;

9360

zz

xz ii

Valori critici

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Distribuzione t

la distribuzione t di Student è una distribuzione simmetrica,

con media 0 e con deviazione standard, caratterizzata dai

gradi di libertà.

Al variare della numerosità campionaria, varia il numero dei

gradi di libertà e, conseguentemente, varia la forma della

distribuzione

Gradi di libertà

1920: Fisher introduce i gradi di libertà

Esprimono il numero minimo di dati sufficienti a

valutare la quantità d'informazione contenuta.

Quando un dato non è indipendente, l'informazione

che esso fornisce è già contenuta implicitamente

negli altri. È possibile quindi calcolare le statistiche

utilizzando soltanto il numero di osservazioni

indipendenti, consentendo in questo modo di

ottenere una maggiore precisione nei risultati.

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23

100 gradi di

libertà

9 gradi di libertà

95 %

95 %

SD96,1

SD262,2

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Confronto tra la distribuzione t di Student e la curvaNormale Standardizzata

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