1 22 - INTRODUÇÃO A TEORIA DE FILAS (representação) População Proc. de chegada Fila de Espera Servidores Disc. de serviço Partida nqnq nsns n s w r Tempo

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22 - INTRODUÇÃO A TEORIA DE FILAS (representação)

População

Proc. de chegada

Fila de Espera

Servidores

Disc. de serviço

Partida

nq

ns

n

sw

rTempo

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INTRODUÇÃO A TEORIA DE FILAS

1.1 Notação de Kendal

A/S/m/B/K/SD;

A: Distribuição do Tempo entre chegadas;

S: Distribuição do Tempo de Serviço;

Distribuições mais comuns são:

M(exponencial),Ek(Erlang), Hk(Hiperexponencial),D(Determinística),G (Geral)

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INTRODUÇÃO A TEORIA DE FILAS

m: Número de Servidores;

B:Capacidade do Sistema, ou número de buffers (se não for explicitado é considerada infinita);

K: Tamanho da População (se não for explicitado é considerada infinita);

SD: Disciplina de Serviço, comuns são: FIFO, LCFS, ... (se não for explicitado é considerada FIFO);

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REGRAS GERAIS A razão média de chegada é dada por =1/E[]. Onde é o tempo entre duas chegadas sucessivas;

A razão média de partida é dada por =1/E[s]. Onde s é o tempo de serviço;

ns é o número de clientes em serviço;

nq é o número de clientes esperando por serviço;

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REGRAS GERAIS n é o número médio de clientes no sistema, também chamado de comprimento da fila. Ele inclui os clientes em serviço e aqueles que estão esperando por serviço;

n=ns+nq E[n]= E[ns]+E[nq]

s é o tempo de serviço;

w é o tempo de espera por serviço;

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REGRAS GERAIS r é o tempo de resposta ou tempo no sistema. Ele inclui tempo de espera por serviço e o tempo de serviço;

r=s+w E[r]= E[s]+E[w]

Condição de estabilidade diz que a razão média de chegada deve ser menor que a razão com a qual o sistema as processa ou <m;

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REGRAS GERAIS Lei de Little ou fórmula de Little diz:

Número médio de clientes no sistema= razão de chegada X tempo médio de resposta

Se aplica a qualquer parte do sistema. Assim:

E[n]=E[t]

E[nq]=E[w]

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PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE

Caso especial de um Processo de Markov;

As transições somente ocorrem entre os estados adjacentes;

A chegada de um cliente aumenta a população do sistema (nascimento);

A partida de um cliente diminui a população do sistema (morte);

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0 N+121 NN-1N-2

0 NN-1N-2

1

1

2

N-1

N N+1

.... ....

Estados:

Equilíbrio:Fluxo de entrada = fluxo de saída

10


Estados fluxo de entrada = fluxo de saída

0 1p1 = 0p0

1 0p0 + 2p2 = (1 + 1) p1

2 1p1 + 3p3 = (2 + 2) p2

.... ...................

N-1 N-2pN-2 + NpN = (N-1 + N-1) pN-1

N N-1pN-1 + N+1pN+1 = (N + N) pN

.... ...................

11


Estados:

0: p1 = (0 / 1) p0

1: p2 = (1 / 2) p1 + (1p1 - 0p0) / 2

= (1 / 2) p1 + (1p1 - 1p1) / 2

= (1 / 2) p1

=0

12

01 P

12


Estado n-1:

n-1: pn = (n-1 / n) pn-1 + (n-1pn-1- n-2pn-2) / n

= (n-1 / n) pn-1 + (n-1pn-1- n-1pn-1) / n

= (n-1 / n) pn-10

11-nn

02-n1-n P

13


N-ésimo estado:

N: pn+1 = (n / n+1) pn+ (npn - n-1pn-1) / n+1

= (n / n+1) pn

01n1n

01-nn P

,2,1,01

0 10

nppn

i i

in

14


0

1n

np

1

1

0 1

0

1

1

n

n

i i

i

p

Condição de estabilidade 0<p01

Implica que i/i+1<1. Assim, para que exista o equilibro, a razão com o qual os clientes chegam, deve ser menor que a razão com que o sistema os processa. Caso contrário, o sistema é instável

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A FILA M/M/1

A=Mtempo entre as chegadas é uma v.a distribuída exponencialmente;

S=M tempo de serviço é uma v.a distribuída exponencialmente

M=1 um servidor

B fila infinita; K população infinita;

SD FIFO;

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A FILA M/M/1

Diagrama de transição de estado

,2,1,0, nn

,2,1, nn

0 1 n..

.

.n+1

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A FILA M/M/1

1

000

1

0 10 0

n

i

nn

i i

in npppp

n

nn

n

i i

i

p

11

1

0 1

0

1

1

1

1

Aplicando a solução do processo de nascimento e morte;

A série somente converge se <1, onde = /, ;

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A FILA M/M/1

11

11

10p

nnp )1(

Probabilidade do estado de equilíbrio

é chamado intensidade de tráfego

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A FILA M/M/1

Número médio de clientes no sistema

)1()1(

)1(

)1()1(

)1(][

2

0

1

0

00

n

n

n

n

n

n

nn

nn

nnpnE

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A FILA M/M/1

Lei de Little][][ tEnE

)1(

1

)1(

)1(

][][

nEtE Tempo de

resposta

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A FILA M/M/1-EXERCÍCIO As medidas mostram que em um gateway de uma rede, os pacotes chegam com uma razão média de 125 pps (pacotes por segundo), e o gateway gasta 2 milisegundos para processa-los. Usando o modelo M/M/1, analise o gateway. Qual é a prob. de ocorrer um transbordo no buffer se o gateway tem 13 buffers ? Quantos buffers são necessários para manter a perda de pacote abaixo de 1 pacote por milhão.

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A FILA M/M/1-EXERCÍCIO

Solução:

Razão de chegada =125 pps;

Razão de serviço =1/0.002 = 500 pps;

Utilização do gateway U== / =0.25;

Probabilidade de n pacotes no gateway=(1-) n=0.75(0.25)n

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A FILA M/M/1-EXERCÍCIO

Número médio de pacotes no gateway

= /(1- )=0.25/0.75=0.33;

Tempo de resposta do gateway

= /(1- )=(1/500)/(1-0.25)

=2.66 milisegundos;

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A FILA M/M/1-EXERCÍCIO Probabilidade de transbordo do buffer=P(ter mais que 13 pacotes no gateway)= 13

=1.49x10-8=15 pacotes por bilhão de pacotes

Para a prob de perda ser menor que 10-6, tem-se

13 10-6 ou n>log(10-6)/log(0.25)=9.96

Assim para a manter a probabilidade de perda abaixo de 10-6 é necessário 10 buffers

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A FILA M/M/m


S=M tempo de serviço é uma v.a distribuída exponencialmente;

m=m m servidores;

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A FILA M/M/m

m m

0 m+121 mm-1m-2

(m-1)

... ...3

,2,1,0, nn

mnnn ,2,1,

mnmn ,

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A FILA M/M/m

;,...,1,!

;1,...,2,1!

)(

0

0

mmnm

mp

mnn

mp

pn

n

n

Aplicando a solução do processo de Nascimento e morte, tem-se:

= /m é chamado intensidade de tráfego

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A FILA M/M/m

Novamente a condição de existência do equilíbrio <1 ou <m;Para que fila M/M/m seja estável, a razão com a qual os clientes chegam deve ser menor que a razão com que os m servidores podem processa-los;Caso contrário, o sistema é instável;

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00 1

1

!

)(

!

)(

m

n

nn

m

m

n

mp

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A FILA M/M/m Medidas de pertinência:

1

1

!

)(][ 0 m

mpfilaP

m

Fórmula de Erlang C, largamente empregada no modelamento de sistemas de espera;

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A FILA M/M/m -EXERCÍCIOOs estudantes chegam em um centro de computação de uma universidade de forma Poissoniana com parâmetro 10 por hora. O tempo de serviço de cada terminal é dist. Exponencialmente. Cada estudante gasta na média 20 minutos em cada terminal. O centro atualmente tem 5 terminais. Alguns estudantes tem reclamado que os tempos de espera estão muito longos. Analise tal sistema, usando o modelo de fila adequado.

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A FILA M/M/m -EXERCÍCIO

O centro é uma fila M/M/5 com razão de chegada 1/6 minutos e razão de serviço 1/20 minutos

Intens. de tráfego =/m=0.167/(5x0.05)

p0=[1+(5X0.67)5/5!(1-0.67) + (5X0.67)1/1! +

(5X0.67)2/2!+ (5X0.67)3/3! (5X0.67)4/4!]-1

= 0.0318;

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A prob. de todos os terminais estarem ocupados = = p0(m )m/m!(1- )

=0.0318x(5x0.67)5/5!(1-0.67)=0.33;

Utilização média do terminal =0.67;

Número médio de estudantes em cada centro E[n]=m+ /(1-)=0.67x0.33/(1-0.67)=4.0

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A FILA M/M/m -EXERCÍCIOA média e a variância do tempo gasto no centro:

E[r]= 1/[1+ /m(1- )]=1/0.05[1+ 0.33/5(1-0.67)]=24

Var[r]=1/2[1+ (2- )/m2(1- )2]=1/0.052[1+ 0.33(2- 0.33)/52(1-0.67)2]=479

Cada estudante gasta 24 minutos no centro. Desses 20 minutos são em serviço, e 4 são esperando por serviço;

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90% do tempo de fila é:

(E[w]/)x ln(10)=14 minutos;

35

A FILA M/M/m/B


S=M tempo de serviço é uma v.a distribuída exponencialmente;

m=m m servidores;

B buffer finito

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A FILA M/M/m/B

...

m

0 B21 mm-1

m

...3

1,,2,1,0, Bnn

1,2,1, mnnn

Bmmnmn ,...,1,,

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A FILA M/M/m/B

Bmmnm

mp

mnn

mp

pnm

n

n

,...,1,!

;1,...,2,1!

)(

0

0

Aplicando a solução do processo de Nascimento e morte, tem-se:

= /m é chamado intensidade de tráfego

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A FILA M/M/m/B

Esse sistema é sempre estável para todo <infinito;Isso acontece pois essa fila tem capacidade limitada;Assim, uma vez que o sistema está cheio, ele não absorve mais clientes;

39

A FILA M/M/m/B

Para B=m, ou seja, a capacidade do sistema são os próprios servidores;Medida de relevância Fórmula de Erlang B. Largamente usada no modelamento de sistemas de perda como os as redes móveis 1.G e 2.G FDMA/TDMA;

!][ 0 m

ppbloqueioP

m

mnn

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A FILA M/M/m/B-EXERCÍCIO Considere o gateway do exemplo 31.1. Analise tal gateway considerando que ele tem somente 2 buffers.

Razão de chegada =125 pps;

Razão de serviço =1/0.002 = 500 pps;

m=1 e B=2;

Intensidade de tráfego = /m =0.25;

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A FILA M/M/m/B-EXERCÍCIO

As prob de estado são:

p1=p0=0.25p0

p2= 2p0=0.625p0

p0+p1+p2=1 p0=0.76 p1=0.19,p2=0.0476

Número médio de clientes no sistema29.00476.02191][1

B

nnnpnE

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A FILA M/M/m/B-EXERCÍCIO

Número médio de jobs na fila de espera

0476.00476.0)12()(][

B

mnnq pmnnE

Razão efetiva de chamadas

’=(1-PB)=125(1-p2)=125(1-0.0476)=119pps

Razão de pacotes perdidos - ’=

125-119=6pps

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