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lucette-guillaume
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3. L’échantillonnage des signaux
C’est une nécessité pour le traitement numérique :On ne sait traiter que des données quantifiées
Comment reconstituer le signal à temps continu (« analogique ») à partir des échantillons ?
Les conditions de Nyquist/Shannon
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5
0
1.5
.
quelques diapos d’illustration (mouvement stroboscopique)
temps
2image sous échantillonnée : ‘moiré’ image haute définition
illustration d’un échantillonnage insuffisamment dense en numérisation d’image
http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem
3
Représentation correcte du signal échantillonné(cohérence avec les formalismes mathématiques)
C’est une suite d’impulsions de Dirac modulées en amplitude
ATTENTION : Ne pas confondre avec la sortie d’un bloqueur d’ordre 0 (interprétation erronée courante en traitement d’images !)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5
0
1.5
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5
0
1.5
.
temps
temps
4
3.1 Interprétation de l’échantillonnage dans le domaine des fréquences
- Conditions pour que l’information contenue dans le signal ne soit pas perdue :
Théorème de Nyquist Shannon
- Méthode de reconstruction du signal à temps continu : Interpolation idéale à partir des échantillons
5
T période fixe d’échantillonnage
dtTnttxTnx ).()().(
Formalisation de l’opération d’échantillonnage en utilisant les impulsions de Dirac
).(.).()( TntTnxtyn
produit de x(t) et de s(t)
n
Tntts ).()(
)().()( tstxty
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5
0
1.5
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5
0
1.5
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5
0.5
1.5
.
s(t)
x(t)
y(t)x(t)
t
t
t
T
T
suite régulière d’impulsions de Dirac (‘peigne de Diracs’))(ts
6
n
Tntts ).()(
D’après la définition de l’impulsion de Dirac, la transformée S() de s(t) est une fonction périodique de la fréquence : harmoniques de même amplitude aux fréquences multiples de 2/T
k T
kS
..2)(
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5
0.5
1.5
.
s(t)
t
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5
0.5
1.5
.
S()
2/T
T
dtT
tkt
T
kS
T
T)
...2exp()()
..2(
2/
2/
s(t) : séquence périodique d’impulsions de Dirac (‘peigne’) ;
Calcul de la transformée de Fourier du peigne d’impulsions
7
).()..()( TntTnxtyn
produit de x(t) et de s(t) n
Tntts ).()( )().()( tstxty
Dans le domaine temporel
dans le domaine des fréquences, le produit se traduit par une convolution
dSXY )()()(
k T
kS
..2)(
transformée de Fourier
Calcul de la transformée de Fourier du signal échantillonné
8
dans le domaine temporel : produit de x(t) par le peigne d’impulsions de Dirac s(t)
dans le domaine des fréquences : convolution de leurs transforméesde Fourier X() et de S()
la convolution de X() par une impulsion (-) décalée de est X(-)
la convolution par le peigne d’impulsions de Dirac (somme d’impulsions décalées) est la somme des répliques décalées : la T.F. du signal échantillonné est la périodisation de la T.F. X() du signal x(t)
X()
(-)
X(-)
X(-)
S()
9
La transformée de Fourier du produit est une convolution
dSXY )()()(
dT
kXY
k
..2)()(
on remplace S() par son expression
dT
kXY
k
..2)()(
d’après la définition de l’impulsion de Dirac
k T
kXY
..2)(
La transformée de Fourier d’un signal échantillonné est la sommedes répliques décalées de la transformée de Fourier du signal à temps continu
k T
kS
..2)(
Interprétation de l’échantillonnage dans le domaine des fréquences
X(-)
10
128 96 64 32 0 32 64 96 1280
2
4
6
.
128 96 64 32 0 32 64 96 1280
1.5
.
128 96 64 32 0 32 64 96 1280
0.2
0.4
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5
0
1.5
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5
0
1.5
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5
0.5
1.5
.
temps fréquence
impulsions d’échantillonnage T.F. de l’opérateur d’échantillonnage
T.F. périodique du signal échantillonnésignal échantillonné
signal à temps continu T.F. du signal à temps continu
11
analyse de l’échantillonnage effet stroboscopique
comment observer un mouvement rapide périodique :en ne visualisant qu’une image sur N
12
fréquence faibleFréquence de la rotation
24 fois plus petite que la fréquence
d’échantillonnage
0 1 2 24 Hz.
tempsfréquence
0 1 s
13
Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)
14
Changement de signe : fréquence négative
15
fréquence moitiéFréquence de la rotation 2 fois plus petite que la fréquence
d’échantillonnage
0 1 2 12.
tempsfréquence
Le sens de rotation n’apparaît plus
0 1 s24 Hz
16Le sens de rotation n’apparaît plus
17
un peu en dessous de la fréquence d ’échantillonnage
23
Fréquence de la rotation légèrement pluspetite que la fréquence d’échantillonnage :
le mouvement apparaît inversé
0 1 2-1
.
temps
fréquence
0 1 s
24 Hz
18
Au lieu de la fréquence ,
on observe la fréquence - ech
qui est négative
- ech
voir l’effet stroboscopiquecinema télévision
19
référencesEffet stroboscopique : Plateau, von Stampfer (1830)Analyse du mouvement, Chronophotographie : Muybridge, Marey (1870)Cinématographe : Edison, Lumière (1890)Théorie de l’échantillonnage pour les transmissions : Nyquist (1928), Shannon (1948)
Consultez les différents sites qui leur sont consacrés !
http://www.essi.fr/~leroux/listen_to_aliasingUne illustration sonore du repliement
20
Joseph Antoine Ferdinand Plateau Simon von Stampfer
persistance rétinienne
21
Jules Janssen, astronome, 1874Le revolver photographique
Etienne Jules Marey, 1881
Louis Aimée Augustin LE PRINCE 1888
Eadweard J. Muybridge, 1878
Roundhay Garden Scene
22
Reconstitution idéale du signal à temps continu
128 96 64 32 0 32 64 96 1280
2
4
6
.
128 96 64 32 0 32 64 96 1280
0.2
0.4
.
éliminer les répliques par filtrage passe bas
condition : elles ne doivent pas se chevaucher
X()=0 pour ||> fréquence d’échantillonnage (signaux réels)
plus généralement largeur du support inférieure à la fréquenced’échantillonnage (signaux complexes)
Théorème de Nyquist Shannon (whittaker, kotelnikov)
remarque : phénomène de Gibbs si le filtrage crée une discontinuité dans la T.F du signal
fréquence
23
La fréquence d’échantillonnage est insuffisanteles répliques de X() se chevauchent
X()
Y()
l’augmentation de la fréquence d’échantillonnage va supprimerce chevauchement des répliques et permettre la reconstructiondu signal à temps continu
Y()
ech
ech
transformée de Fourierdu signal échantillonné
24
128 96 64 32 0 32 64 96 1280
2
4
6
.
128 96 64 32 0 32 64 96 1280
0.2
0.4
.
réalisation du filtre passe bas dans le domaine temporel
sa réponse impulsionnelle est la transformée de Fourier inversedu créneau
t
tdtjth
.
.sin)..exp(.1
2
1)(
(cas où la période ‘échantillonnage vaut 1)
fréquence
25
Réponse impulsionnelle du filtre : transformée inverse du créneau
ech
ech
Tt
Ttth
/.
)/.sin()(
n
echechech
echech nTxTTnt
TTnttx )(.
/)..(
/).(sin)(
16 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 160.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
.
reconstitution du signalà temps continu
le résultat du filtrage est une somme de fonctions h(t) décalées de nTech
et modulées en amplitude par les valeurs des échantillons x(nTech)
temps
26
n
echechech
echech nTxTTnt
TTnttx )(.
/)..(
/).(sin)(
Aux instants d’échantillonnage nTech
toutes les composantes de la somme sont nulles sauf une qui a pour valeur celle de l’échantillon x(nTech)
8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 80.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
.
reconstitution du signalà temps continu
temps
27
En pratique
bloqueur d’ordre zéro, interpolation linéaireinterpolation plus élaborée (splines, courbes de Bézier, etc ...)
8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 80.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
.
Inconvénients : Coût, convergence lente
temps
28
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.2
0
0.2
0.4
0.6
DISTORSION APPORTEE PAR DIFFERENTES INTERPOLATIONS
RECONSTRUCTION EXACTE (SINC)
BLOQUEUR (CRENEAU)
INTERPOLATION LINEAIRE (TRIANGLE)
temps
fréquence
½ fréquence d’échantillonnage
période d’échantillonnage
29
Echantillonnage d’un signal sinusoïdal
difficulté à interpréter l’allure temporelle d’un signal échantillonné « complexe » sauf parfois dans le domaine des basses fréquences (variations très lentes)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 501
0
1
.
Ceci est une sinusoïde de fréquence 0.97(les conditions de Shannon sont vérifiées)
on y voit plutôt le battement avec la 1/2 fréquenced’échantillonnage et guère la forme originale
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0.93
0
.
temps
temps
30
Quantification (p. ex. complément à 2), précision
128 bits (jeux video) permettent de mesurer (en angströms =10-10 m) le diamètre de l’univers visible (13,7×109 x 2 années-lumière (1,3×1026 m) )
écart type de l’erreur de quantification pour une précision q : 0.29xq
100
101
110
111
000
001
010
011
offset qerreur de quantificationaprès soustraction del’offset
valeurs quantifiées
diamètre de l'univers visible en angstrom
30 109 3 10
8 365 24 3600 1010 2.838 10
36 . 2128
3.403 1038 .
donnée analogique
31
codage en virgule fixe
entiers ? fractionnaires ?
multiplication de 2 nombres de N bits : résultats sur 2.N bits
On n’en conserve que N
poids fort : fractionnaires (entre -1 et +1)
poids faibles : entiers
x
xx
,,
,
,,
,
32
codage en « double » IEEE
64 bits
mantisse m 53 bits (avec signe) exposant E 11 bits
x=m*2E
permet d’éviter les débordements au détriment de la précision
attention à l’addition de deux nombres d’ordres de grandeur très différents et à la soustraction de deux nombres très proches
précision 10-15 dynamique 10 300