Upload
maher309
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 1/56
Curs 3 - 6.
METODE NUMERICE DE SOLUŢIONARE ASISTEMELOR DE ECUAŢII SPECIFICE
INGINERIEI ELECTRICE
Prof. dr. ing. mat. Dan D. MICU
Director - Laborator de Cercetare în Metode Numerice
Departamentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică E-mail: [email protected]
Metode Numerice
Inginerie Electrica an II
2015-2016
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 2/56
Exemple de aplicații din ingineria electrică care implică rezolvareaunor sisteme de ecuaţii liniare sau neliniare de mari dimensiuni
Localizarea obiectelor inaccesibile din subteran, prin măsurători
ale câmpului magnetic reflectat; model integral discretizat într -unsistem de ecuaţii şi rezolvat numeric prin descompunere după
valorile singulare;
Proiectarea dispozitivelor de stimulare magnetică a ţesuturilor
nervoase; Optimizarea poziţionării bobinelor de radiofrecvenţă din cadrul
dispozitivelor de imagistică medicala
Diagnosticarea non-distructivă a gradului de coroziune a
structurilor metalice din construcţiile de beton armat – poduri;
Minimizarea costurilor de producţie prin CAM (computer aidedmanufacturing) în fabricaţia aparatelor de iluminat;
Identificarea spaţială a curenţilor de întoarcere ai trăsnetelor din
măsurători ale câmpului electric şi magnetic în momentul
impactului;
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 3/56
Proiectarea optimală a unui motor electric de curent continuu fără
perii colectoare (brushless DC drive);
Diagnosticarea defectelor de izolaţie din maşinile electrice pe baza
aproximării inducţiei câmpului magnetic din întrefier, prin
măsurarea câmpului magnetic de suprafaţă;
Proiectarea separatoarelor magnetice – determinarea configuratiei
şi numarului de spire ale bobinelor de separare magnetică;
Identificarea depunerilor de distribuţie de sarcină electrică în zona
punctului triplu din întreruptoarele automate de medie tensiune; Proiectarea bobinelor de tratament magnetic;
Circuitele electrice neliniare sau circuitele în regim tranzitoriu se
reduc în final la rezolvarea unor circuite electrice liniare
Proiectarea bobinelor shunt pentru compensarea energiei reactive
capacitive a cablurilor;
Proiectarea senzorilor inductivi de poziţie de pe utilajele de
prelucrare mecanică, CNC;
Proiectarea senzorilor inductivi de viteză.
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 4/56
Modelul matematic corespunzător este constituit dintr -un sistem de n ecuaţii neliniare
complexe (n+numărul nodurilor din SEN) de forma
n , , ,i ,*S U Y *U U Y *U f i
n
i j j
j jiiiiiii2100
1
Calculul circulatiilor de puteri intr-un sistem electroenergetic
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 5/56
Considerând nodul 4 - nod de echilibrare a bilanţului de puteri (pentru care se
cunoaşte modulul şi faza tensiunii, necunoscute fiind puterile generate, activă şi reactivă), se cere să se determine modulul şi faza tensiunii pentru restul nodurilor,
puterea activă şi cea reactivă generată în nodul de echilibrare, circulaţiile de puteri
pe laturi şi consumul propriu tehnologic (pe ansamblu şi pe fiecare element în parte).
Problema enunţată reprezintă analiza regimului permanent sau calculul circulaţiei
de puteri pentru sistemul electroenergetic considerat.
Modelul matematic este constituit dintr-un sistem de ecuaţii de mari dimensiuni,
care se soluţionează cu metode numerice (vor fi prezentate în Cursul 5).
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 6/56
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 7/56
Analiza stabilităţii la mici perturbaţii a sistemelor electroenergetice
Se consideră un sistem electroenergetic, format din 3 generatoare, 3 transformatoare, 6 linii
electrice aeriene (220 kV) şi 3 consumatori.
Se cunosc parametrii elementelor de sistem şi caracteristicile unui regim concret de funcţionare.
Se cere să se analizeze stabilitatea naturală a sistemului la mici perturbaţii (perturbaţia constă
dintr-un şoc de putere activă de valoare relativ redusă într -unul din nodurile sistemului).
Stabilitatea naturală presupune analiza comportării dinamice a sistemului electroenergetic în
absenţa sistemelor de reglare automată (a excitaţiei şi a vitezei) a generatoarelor sincrone
(modelate printr-o tensiune constantă în spatele unei reactanţe)
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 8/56
P44 3 2
0 00948 257 5560 1249447 13960 2 0( ) , , , ,
12
3 4
0 00233 13 416
0 00251 8 807
,
,
, ,
, ,
j
jvalorile proprii
2 perechi de valori proprii complexe conjugate, cu partea reală negativă. În consecinţă, sistemul este stabil natural la perturbaţia de intensitate redusă
considerată.
Pulsaţiile naturale de oscilaţie sunt: 13,416 rad/s şi 8,807 rad/s , ceea ce
corespunde unor frecvenţe de aproximativ 2,14 Hz (perioadă de 0,47 s ) , respectiv
1,40 Hz (perioadă de 0,71 s ).
0)A()A( IIdet P 4
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 9/56
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 10/56
Rezolvarea unui circuit complex de mari dimensiuni
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 11/56
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
1 0 0 0 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 1 -1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 -1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 0
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 12/56
Curs 3.
Chestiuni speciale de electrotehnică care conduc la
sisteme de ecuatii compatibile determinate
METODE DE REZOLVARE MATRICIALA A CIRCUITELOR
ELECTRICE DE MARI DIMENSIUNI
dr. ing. mat. Dan D. MICU
Director - Laborator de Cercetare în Metode Numerice
Departamentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică E-mail: [email protected]
Metode Numerice
Inginerie Electrica an II
2013-2014
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 13/56
Model fizic(Circuitul electric)
Model matematic
(Ecuaţiile matriciale)
Rezolvare model
matematic(Metode numerice)
Etapele modelării în studiul circuitelor electrice
Exista 2 mari tipuri de probleme din IE care se reduc la un model matematic de forma
unui sistem de ecuatii compatibil determinat (solutie unica):
Analiza circuitelor electrice si analiza campului electromagnetic
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 14/56
Graful - reprezinta un desen simplificat al unui circuit electric care contine toate
laturile si toate nodurile fara a se preciza continutul lor
Graful orientat – se obtine f ăcând abstracţie de natura elementelor şi înlocuindu-le
prin segmente orientate în sensul de referinţă al curentului se obţine.
Liniile care se obţin se numesc laturile grafului, iar extremităţile lor, nodurile
grafului.
Sensurile laturilor din graful orientat corespund cu sensurile de referinţă ale curenţilor din laturile reţelei
Bucla sau ochiul este format din una sau mai multe linii închise
Subgraful este o porţiune dintr-un graf care conţine o parte din nodurile şi laturile
grafului, iar un subgraf care conţine toate nodurile circuitului şi nu formează nici obuclă închisă se numeşte arbore.
Subgraful complementar arborelui se numeşte coarbore, iar laturile coarborelui se
numesc corzi, se reprezintă cu linie punctată şi sunt în număr de (o-numărul de
ochiuri independente). Laturile arborelui se numesc ramuri şi se reprezintă cu linie
continuă, iar numărul lor este (n – numărul de noduri).
Rezolvarea matriciala a circuitelor electrice prin grafuri de circuit
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 15/56
Aplicatie 1. Rezolvarea circuitelor. Teorema matriciala Kirchhoff.
Parametrii topologici primari ai reţelei sunt cele n=4 noduri (puncte de conexiune a
bornelor elementelor) şi laturile l=6 (elementele conectate între două noduri)
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 16/56
Proprietăţile topologice ale schemelor electrice, respectiv ale grafurilor corespunzătoare,
sunt descrise de matricile de circuit:
[A] – matricea de incidenţă a laturilor la suprafaţele Σ care sunt suprafeţe închise
care intersectează o singură ramură, iar sensul pozitiv al normalei la Σ este dat de
sensul ramurii; numărul de suprafeţe Σ este (numărul de ramuri); Numărul de linii al
lui [A] este numărul suprafeţelor Σ şi numărul de coloane este numărul de laturi din
graf.
[B] – matricea de apartenenţă a laturilor la contururile Γ care trec printr-o buclă
şi au sensul corzii din bucla respectiva. Numărul de contururi este dat de numărul decorzi. Numărul de linii ale lui [B] este numărul de contururi Γ, iar numărul de coloane
este numărul de laturi ale grafului.
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 17/56
[U] – matricea coloana a tensiunilor laturilor (vector) - elementele de pe linii sunt
tensiunile laturilor, în ordinea din graf, cu semnul (+) dacă coincid cu sensul laturii;
[E] – matricea coloană a tensiunilor electromotoare de pe laturi - cu semnul (+)
dacă sensul sursei este în sensul laturii;
[I] – matricea coloană a curenţilor , având pe linii curenţii de pe laturi - toţi curenţii au sensul laturilor din graf (prin convenţie).
[Z] – matricea impedanţă - matrice pătratică cu numărul de linii egal cu numărul de
coloane şi egal cu numărul laturilor din circuit. Pe diagonala principală-impedanţele
proprii ale laturilor, iar dacă între două laturi există cuplaj mutual apar şi aceste
elemente la intersecţia liniei cu coloana şi se iau cu semnul (+) dacă sensurile
laturilor sunt orientate la fel faţă de bornele marcate ale bobinelor cuplate mutual.
Demonstratie 1 – Forma matricială a teoremelor lui Kirchhoff- pe tabla
l l l l l l
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 18/56
1 2 3 4 5 6
1
2
3
0 0 0 1 1 1
[A] 1 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 1
l l l l l l 1 2 3 4 5 6
1
2
3
1 0 0 1 1 0
[B] 1 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 1
l l l l l l
1
2
3
4
5
6
I
I
I[I]
I
I
I
1
2
3
4
5
6
U
U
U[U]
U
U
U
1
2
6
E
E
0[E]0
0
E
.
1 2 3 4 5 6
1 1
2 2 25
3 3
4 4 4 45
5 25 45 5 56
6 56 6 6
R 0 0 0 0 0
0 j L 0 0 j L 0
0 0 1 j C 0 0 0Z
0 0 0 R j L j L 0
0 j L 0 j L j L j L
0 0 0 0 j L R j L
l l l l l l
l
l
l
l
l
l
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 19/56
Să se calculeze curenţii din laturi prin metoda curenţilor ciclici sub formă
matricială. Date numerice: 1e (t) 10 2 sin t , 2e (t) 20 2 sin t2
,
1
R 2 ,
4 5R R 1 ,
2C2
1X 1
C
,
3L 3X L 1 ( ,
54L L
X X 2 .
j j011 11
j j2 2
2 22
e (t) 10 2 sin t E E e 10 e 10(cos 0 jsin 0) 10 V ;
e (t) 20 2 sin t E E e 20 e 20 cos jsin 20j V .2 2 2
Demonstratie 2 pe tabla- Metoda curenţilor ciclici sub formă matricială (metoda
curentilor de coarda)
Aplicatie 2. Rezolvarea circuitelor. Teorema matriciala curenti ciclici.
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 20/56
1
2
3
4 4
5 5
R 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0
0 1 j C 0 0 0 0 0 j 0 0 0 0
0 0 j L 0 0 0 0 0 j 0 0 0[Z]
0 0 0 R j L 0 0 0 0 0 1 j2 0 0
0 0 0 0 R j L 0 0 0 0 0 1 j2 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
[B]
1 2 3 4 5 6
1
2
3
1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 0 1 .
0 0 1 0 1 1
l l l l l l
[E]
10
0
0
0
0
j20
Matricea impedantelor specifică metodei curenţilor ciclici:
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 21/56
Matricea impedantelor specifică metodei curenţilor ciclici:
Vectorul curenţilor ciclici este:
Vectorul curenţilor reali din circuit este:
1
2
3T 1
4
5
6
I 18 j40
I 27 j125
I 53 j1510[I] [B] [Z '] [B] [E]I 45 j8574
I 35 j25
I 80 j110
T[Z'] [B] [Z] [B]
2 j j
j 1 j j
j 0 1 j3
.
1C[I ] [Z '] [B] [E]
18 j4010
45 j8574
35 j25
Dacă dorim să transformăm în instantaneu de exemplu:
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 22/56
1 1 11
2 2
1
10I 18 j40 i (t) I 2 sin( t );
74
10 10
I ( 18) 40 5,92[A];74 74
1
40tg
18
0
1
40arctg 115
18
01i (t) 5, 92 2 sin( t 115 )
Dacă dorim să transformăm în instantaneu, de exemplu:
lucrăm în cadranul II;
Aplicatie 3 Rezolvarea circuitelor Teorema matriciala potentiale noduri
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 23/56
Demonstratie 3 pe tabla - Metoda potentialelor de noduri matriceal (metoda
tensiunilor ramurilor)
Să se rezolve circuitul cu metoda tensiunilor ramurilor (metoda potenţialelor
nodurilor matricial). Date numerice: 1L 2 ; 2
L 1 ; 3R 3 ;
4R 1
; 4
1
2C ; 5L 3
; 5R 4
; 2E 10j V
; 5E 20j V
.
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
.. ..
A : .
Aplicatie 3. Rezolvarea circuitelor. Teorema matriciala potentiale noduri
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 24/56
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
.. ..
A : .
r 3[U ] [U ]
1
2
3
44
5 5
j L 0 0 0 0
0 j L 0 0 0
0 0 R 0 0[Z]
10 0 0 R 0 j C
0 0 0 0 R j L
2 j 0 0 0 0
0 j 0 0 0
[Z] ;0 0 3 0 0
0 0 0 1 2 j 0
0 0 0 0 4 j3
0
10 j
0
0
20
[E] =
.
1
0.5j 0 0 0 0
0 j 0 0 0
Z 0 0 0,33 0 0
0 0 0 0, 2 0, 4 j 0
0 0 0 0 0,16 0,12j
[E] =
0
10 j
00
20
.
1 T jDeci:
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 25/56
1 T[A] [Z] [A] 0, 69 j 1, 22
1[A] [Z] [E] 13,2 j 2,4
Deci:
.1 T 1
r [A] [Z] [A] [U ] [A] [Z] [E]
înlocuind în relaţia:
3(0,69 j 1,22) U 13,2 j 2,4 3U 6,13 j 7,33 V
Deci matricea tensiunilor este
Din legea lui Ohm rezultă curenţii din circuit
T3[U] [A] [U ]
6,13 7,33j
6,13 7,33j
6,13 7,33j
6,13 7,33j
6,13 7,33j
1 1[I] [Z] [U] [Z] [E]
1
2
3
4
5
I
I
I
I
I
=
3,66 3,06j
2,66 6,13j
2,04 2,44j
1,70 3,92j
1,33 2,83j
ALGORITMI NUMERICI IMPLEMENTAŢI ÎN MATHCAD
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 26/56
Se vor aplica metodele matriciale de rezolvare a circuitelor electrice (metoda matriciala Kirchhoff,metoda matriciala a curentilor ciclici, metoda matriciala a potentialelor nodurilor) generand, printr-ometoda originala implementata in MathCAD, matricea A de incidenta a latorilor la suprafetele () si
matricea B de apartenenta a laturilor la contururile ().
Sistemul liniar de ecuatii obtinut se va rezolva cu diverse metode numerice (Gauss, Aproximatii
succesive, Jacobi) implementate printr-unalgoritm propriu in programul MathCAD.
E1 48 V E2 76 V E3 35 V E4 6 V E5 8
R 1
2 R 2
5 R 3
3
R 4 3 R 5 5 R 6 4
A
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
B
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
ALGORITMI NUMERICI IMPLEMENTAŢI ÎN MATHCAD
2 0 0 0 0 0
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 27/56
R
2
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
4
E
48
76
35
6
18
0
Vol
M
1
1
0
2
0
0
1
0
1
0
5
0
0
1
1
0
0
3
0
0
1
0
3
3
1
0
0
2
2
0
0
1
0
4
0
4
[A]*[I]= [0]
[B]*[R]*[I]= [B]*[E
Pentru a forma un sistem de ecuatii, sub forma matriceala, se unesc intr-o singura matrice, matricele [A] si [Bse utilizeaza functia Mathcad stack:
M stack A B R ( )
Generarea unui vector cu elemente nule, care va fi adaugat inaintea vectorului tensiunilor, pentru a forma vecttermenilor liberi in sistemul de ecuatii matriceale scris anterior:
O
Oi 0
i 0 rows A( ) 1for
O
O
0
0
0
0
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 28/56
Formarea cu functiastack a vectorului termenilor libeT stack O B E( ) T
0
0
30
52
29
Vol
M I T
M -- matricea coeficientilor, formata din m atricea [A] s i matricea produs [B]*[R];
T - vectorul tensiunilor, adaugat cu vectorul nul;
I M 1
T
M 1
0.246
0.133
0.058
0.192
0.621
0.188
0.375
0
0.25
0.25
0.375
0.375
0.088
0.2
0.275
0.525
0.288
0.188
0.19
0.067
0.096
0.029
0.123
0.094
0.067
0.133
0.067
0.067
0.067
0
0.096
0.067
0.158
0.092
0.029
0.063
mh
Scrierea s istemului matriceal format din ambele ecuatii matriceale corespunzatoare teoremelor lui Kirc
Rezolvarea sistemului cu necunoscute curenti electrici, prininversare matriceala:
I
5
3
4
7
8
1
Amper
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 29/56
E4
2 V E8
6 V R 1
8 R 2
2 R 3
12 R 4
4
R 5
8 R 6
8 R 7
4 R 8
8
S1 5 6 8( ) S2 1 2 5( ) S3 1 3 4( ) S4 4 7 8( )
N 4 --> numarul de noduri de calcul;
Matricea de incidenta a laturilor la noduri )
Generarea unui vector de elemente nule:
vector linii( ) A 0
A stack A 0( )
i 0 linii 2for
A
vector 8( )
0
0
0
0
0
0
0
0
Să se rezolve circuitul cu metoda potenţialelor la noduri matricial.
Calculul numarului de laturi din circuit: Generarea unei matrice de elemente nule:
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 30/56
nr laturi maxim 0
X 0
X augment X Si
i 0 rows S( ) 1for
maxim max X( )
maxim
nr laturi 8
matrice linii coloane( ) A vect or linii( )
A augment A vector linii( )( )
i 0 coloane 2for coloane 1if
A
matrice N 8( )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Compara un numar cu elementele unui vector orizontal:
apartine nr vector orizontal a 0
a 1 nr vector orizontal0 i
if
i 0 cols vector orizontal 1for
a
Incarca cu elemente zero matricea de incidenta a laturilor la nod
matrice rows S( ) 1 nr laturi
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Se compara fiecare element (latura) din fiecare numar structural cu toate laturile; in functie de incident
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 31/56
noduri a laturilor se inlocuiesc in matricea initializata ca nula, valorile + 1 sau - 1 :
Constr S( ) A matrice rows S( ) 1 nr laturi 1
Ai j 1 apartine j Si 1 1if
Ai j 1 apartine j Si 1 1if
j 0 cols A( ) 1for
i 0 rows A( ) 1for
A
Aq Constr S( ) Aq
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
Elimina prima coloana din matricea de incidenta, aceasta fiind necesara doar incalculele intermediare:
A T Aq 1
T augment T Aq j
j 2 cols Aq( ) 1for
T
Afisarea rezultatului final, adica matricea de incidenta a laturilor la noduri pentru circuitul conside
A
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
Rezolvarea matriceala prin metoda potentialelor nodur
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 32/56
Rezolvarea matriceala prin metoda potentialelor nodur
Transpusa matricea A de incidenta a laturilor la noduri:
AT
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
Matricea condu ctantelor din circuitul de curent continuu cons iderat
G
1
R 1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
R 2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
R 3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
R 4
0
0
0
0
0
0
0
0
1
R 5
0
0
0
0
0
0
0
0
1
R 6
0
0
0
0
0
0
0
0
1
R 7
0
0
0
0
0
0
0
0
1
R 8
SiemensG
0.125
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0.083
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0.125
0
0
0
0
0
0
0
0
0.125
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0.125
S
E
0
0
0
E4
0
0
0
E8
E
0
0
0
2
0
0
0
6
V
Ecuatiile potentialelor la noduri scrisa matriceal: A G AT
V A G E
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 33/56
Ecuatiile potentialelor la noduri scrisa matriceal: A G A V A G E
Se fac notatiile: B A G E A A G AT
Pentru rezolvarea sistemului liniar de ecuatii se va utiliza metoda numericaGauss (de triangularizare) a
matricei coeficientilor. Metoda es te parcursa pas cu pas , fiind detaliate toate aspectele care conduc lobtinerea solutiei. In matricea coeficientilor se anuleaza toate elementele de sub diagonala principal
ORIGIN 1 \\ ridicarea ordinului de pornire a indicilor de la 0 la 1;
n cols A( ) n 4
n last A
1
w A
R A
wi j Ai jAk 1 j
Ak 1 k 1
Ai k 1
j k 1 nfor
i k nfor
k 2 nfor
w
\\ declararea numarului de
elemente de pe prima coloana amatricei A;\\ incarcarea matricei interne w cmatricea A;\\ inceperea instructiunii f o r pentru k;\\ inceperea instructiunii f o r
pentru i;\\ inceperea instructiunii deiterare f o r pt j;\\ recalcularea elementelor w ,dupa elementele matricei A;(f ormula iterata realizeazatriunghiularizarea);
\\ programul returneaza matriceaw recalculata;
0.375 0.125 0 0.125
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 34/56
\\ afisarea numerica amatricei triunghiularizate;
0
0
0
0.708
0
0
0.125
0.436
0
0.042
0.257
0.429
S
j n 1XnBn
n n Xn 0.5827V \\ ultima variabila a sis temului dedusa din
forma triunghiularizata;i n 1
Xi
Bi
j
if j i i j X j 0
i i
X
1.70673
0.29717
1.48977
0.58265
V
Observatie: solutionarea prin acest algoritm incepe in sis temul triunghiularizat din sus, adica de la ultima variabila la prima, prin procedee iterative.
I
Pot3 Pot2
R 1
Pot3
R 2
Pot2
R 3
Pot4 Pot3 E4
R 4
Pot2 Pot1R 5
Pot1
R 6
Pot4
R 7
Pot1 Pot4
E8
R 8
I
0.149
0.745
0.025
0.273
0.25
0.213
0.146
0.464
amp
Să se rezolve matricial circuitul utilizând metoda curenţilor ciclici
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 35/56
E1
40 V E2
20 V
R 1
2 R 2
2 R 3
1
R 4
8 R 5
4 R 6
6
B T Bq 1
T augment T Bq j
j 2 cols Bq( ) 1for
T
B
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
Să se rezolve matricial circuitul utilizând metoda curenţilor ciclici
Rezolvarea matriceala prin metoda curentilor ciclici
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 36/56
p
BT
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
R
R 1
0
0
0
0
0
0
R 2
0
0
0
0
0
0
R 3
0
0
0
0
0
0
R 4
0
0
0
0
0
0
R 5
0
0
0
0
0
0
R
6
Ohm R
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
8
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
6
E
E1
E2
0
0
0
0
E
40
20
0
0
0
0
V
Ecuatia matriceala a curentilor ciclici: B R BT
Iciclici
B E
M B R BT
T B
M
11
1
8
1
7
4
8
4
18
T
40
20
0
V
Se notează:
Sistemul de ecuatii obtinut se va rezolva cu metodaaproximatiilor succesive. In acest sens, mai jost t it l it li t l d d d l ti i
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 37/56
este construit un algoritm care aplica etapele de deducere a solutiei.mas M T( ) N 50
m last M 0
Ci i 0
Ci jMi j
Mi i
j iif
j 0 mfor
C
i 0 mfor
DiTi
Mi i
D
i 0 mfor
x 0 D
x k 1
C x k
D
x
k 0 Nfor
x N
\\ numarul de aproximaripropuse;\\ indicele ultimului element dpe o coloana a matricei A;\\ formarea, cu ajutorulinstructiuniif o r , a unei matricicu diagonala principala nulasi celelalte elemente calculatca raport intre elementelematricei A;
\\ matricea C incarcata;
\\ formarea unui vector cuelemente calculate ca raportintre elementele lui B si a lu i
\\ vectorul D incarcat;
\\ initializarea primeiaproximatii cu valoareavectorului D;\\ formula de recurenta asis temului m atriceal;\\ program ul returneazarezultatul numeric al ultimei
iteratii;
Valorile curentilor reali din circuit:
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 38/56
Iciclici mas M T( ) Iciclici
5
1
2
A
Valorile curentilor reali din circuit:
I BT Iciclici I
5
1
6
3
3
2
A
Se verifica bilantul puterilor :
Pg ET I Pg 220( ) W \\ puterea generata;
PR IT
R I PR 220( ) W \\ puterea absorbita
Iciclici lsolve M T( ) Iciclici
5
1
2
A
Funcţie predefinită în MathCad:
Să se rezolve matricial circuitul utilizând metoda potenţialelor nodurilor
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 39/56
E1
3 V E2
12 V E5
10 V E6
4 V
R 2
3 R 3
6 R 4
4 R 5
4
r 1
0.2 r 6
0.18 \\ rezis tentele interne ale surselor 1 si
R
r 1
0
0
0
0
0
0
R 2
0
0
0
0
0
0
R 3
0
0
0
0
0
0
R 4
0
0
0
0
0
0
R 5
0
0
0
0
0
0
r 6
Ohm R
0.2
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0.18
E
E1
E2
0
0
E5
E6
E
312
0
0
10
4
V
A
1
0
0
11
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
Ecuatiile potentialelor la noduri scrisa matriceal:A R 1
AT
Ur
A R 1
E
R 1
5
0
0
0
0
0
0
0.333
0
0
0
0
0
0
0.167
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
5.556
S
p ţ
Se fac notatiile: T A R 1
E M A R 1
AT
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 40/56
Se fac notatiile: T A R E M A R A
T
11
26.222
24.722
amp M
5.5
0.5
0
0.5
6.056
5.556
0
5.556
6.056
mh
--> se pune sis temul sub forma:X X care poate fi apoi considerata recurenta;
Pentru solutionarea numerica a sistemului rezultat se folosestemetoda lui Jacobi de a roximare a solutiilor.
ai j 0 i jif
ai jMi j
Mi i otherwise
j 0 cols M( ) 1for
i 0 rows M( ) 1for
a
\\ inceperea instructiunilorfor deiterare pentru trans formareamatricei ;
\\ elementele de pe diagonala
principala se fac 0;
\\ celelalte elemente se s criudupa raportul dat;
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 41/56
0
0.083
0
0.091
0
0.917
0
0.917
0
\\ afisarea numeric al matricei;
bi
Ti
Mi i
i 0 last T( )for
b
\\ procedeu analog decalcul pentru vectorultermenilor liberi,;
2
4.33
4.083
V
x 1
Ei i
i 0 last for
E
\\ initializarea primeiaproximatii, cu valorilevectorului (fiecare
element din seincarca s i in x);
x 1
2
4.33
4.083
V
m 250 i 1 m \\ numarul de iteratii propuse pentru determinareasolutiei; se reduce pana la valoarea la care solutia sestabilizeaza, fapt se observa din afisul numeric alprocesului de iterare (convergent);
x i
x i 1
\\ formula de recurenta;
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 42/56
x x \\ formula de recurenta;
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
1
2
0 -2 -2. 394 -2. 068 -2. 402 -2. 126 -2. 41 -2. 175 -2. 416 -2. 217
0 -4. 33 -0. 75 -4. 42 7 -1. 387 -4. 50 9 -1. 928 -4. 579 -2. 38 7 -4. 639
0 -4. 083 -0. 11 -3. 395 -0. 021 -2. 81 0. 055 -2. 314 0. 119 -1. 893
V
sol
x k
x k 1
k 1 mfor
x m
\\ extragerea ultimeiiteratii, care seadopta ca solutie asistemului matricealde ecuatii;
sol
2.45205479
4.97260273
0.47945205
V
U AT
Ur U
2.452
2.521
2.521
0.479
0.479
4.493
V
I1
I2
I3
I4
I5
I
6
R 1
U E( )
I1
I2
I3
I4
I5
I
6
2.74
3.16
0.42
0.12
2.62
2.74
A
Aplicaţie practică
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 43/56
p ţ p
Aplicând T. Kirc. şi punând condiţiile iniţiale sistemul se rezolvă în Mcad:
x 10 r 1 R 1 I b 1 Ia 1
Given
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 44/56
2 50 x Ia 40 200 0
40 R I b
r 50 x( ) I b R I b r 50 x( ) I b 300 0
R Ia 40
r x Ia R Ia r x Ia 200 0
x
r
I b
Ia
R
Find x r I b Ia R
x
r
I b
Ia
R
19.048
50
0.084
0.084
476.19
x - distanţa până ladefect
Grafuri duale. Circuite duale – MASTER!!!
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 45/56
[A] [B]
[B] [A]
[I] [U]
1[Z] [Z]
sc[E] [ I ]
Clasic - Dual
Egalând expresiile clasic şi dual avem corespondenţa
[A] [I] 0
[B] [Z] [I] [B] [E]
[B] [U] 0
1sc[A] [Z] [U] [A] [ I ]
1
sc[Z] [E] [I ]
Aplicatie. Circuitul din figură are următoarele date numerice: E1=3[V]; E2=12[V];
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 46/56
E5=10[V]; E6=4[V]; R2=3[Ω]; R3=6[Ω]; R4=4[Ω]; R5=4[Ω]. Să se afle circuitul dual şi să se
scrie teoremele lui Kirckhhoff pentru circuitul dual şi cel clasic.
Circuitul dat conţine: - nr. noduri: n = 4
- nr. ochiuri o = 3.
n~
o~
Circuitul dual: - nr noduri: =o+1=4
=n-1=3
În interiorul fiecărui ochi al circuitului se alege câte un nod al circuitului dual, iar în
exterior se mai alege un nod.Se unesc nodurile aflate în ochiuri alăturate şi nodul exterior cu laturi ale circuitului dual
pe care se pun conductanţe dacă pe latura tăiată se află rezistenţe şi surse de curent
având valoarea în amperi numeric egală cu a sursei de tensiune în volţi de pe latura
circuitului dat şi cu semn schimbat. Analog se procedează dacă circuitul dat conţine
conductanţe sau surse de curent (analog in curent alternativ condensatoare-bobine)
- nr. ochiuri:
Circuitul dualCircuitul clasic
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 47/56
̃1 ̃
̃ ̃
̃ ̃
̃4
J2 G
2
J1
J6
J5G
5
̃
̃
̃
̃
G3
2
G4
3
̃
Se transformă sursele reale de curent în surse de tensiune rezultand o altă formă a
i it l i d l t
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 48/56
circuitului dual este.
V4R
E
G~J~
E~
2
2
2
2
2 V
2
5
R
E
G~J~
E~
5
5
5
55
~
J1
~
E2
~
G2
~
G3
~
G4
~
G5
~
E5
~
~
~
1
4
~
2
~
3
J6
]~
[][ A B
̃1 ̃
̃ ̃
̃ ̃
̃4
J2 G
2
J1
J6
J5G
5
̃
̃
̃
̃
G3
2
G4
3
̃
Pentru determinarea sensului surselor, se va ţine seama că matricea de incidenţă a
laturilor la suprafeţele închise Σ pentru circuitul dual este egală cu matricea B de
apartenenţă a laturilor la contururile Γ pentru circuitul iniţial.
Graful circuitului iniţial
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 49/56
011000
101101
000110
llllll
Γ
Γ
ΓB
654321
3
2
1
011000
101101
000110
l~
l~
l~
l~
l~
l~
Σ
Σ
ΣA~
654321
3~
2~
1~
]~
[][ A B
Graful circuitului dual se formează din circuitul dual cu observaţia că ramurile şi corzile
din graful circuitului iniţial se schimbă între ele în graful circuitului dual!!!
Sensul laturilor din circuitul dual
f â d4
~
4
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 50/56
se face cunoscând
BA~
2
1
3
n3
n2
n1
l6
l3
l4
l2
l1
l5
~
J1
~
E2
~
G2
~
G3
~
G4
~
G5
~
E5
~
~
1
~
2
~
3
J6
Deci, 2l
~
şi 3l
~
care au în matrice (+1) şi (+1) vor rezulta că ies din nod 1~Σ .
011000
101101
000110
l~l~l~l~l~l~
Σ
Σ
ΣA~
654321
3~
2~
1~
Se alege aleator sensul pozitiv al suprafeţei (cel al normalei exterioare)1~Σ
Cum3l~
intră în2~Σ şi în matrice are semnul (-) => sensul normalei pentru
2~Σ este
spre exterior etc
Acum se pot determina sensurile surselor din circuitul dual.
Dacă în circuitul dat sensurile surselor coincid cu sensul laturilor atunci şi în circuituldual sensul surselor corespunzătoare vor coincide cu sensurile laturilor determinate în
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 51/56
dual sensul surselor corespunzătoare vor coincide cu sensurile laturilor determinate în
graful dual.
Dacă sensurile surselor în circuitul iniţial sunt invers faţă de sensurile laturilor acest
lucru se va păstra şi în circuitul dual.
1
2
3
~
~
~
G4
~
G3
~
G2
~
E2
~
~
J6
~
J1
E5
~
G5
~
55445
443361
33222
541
632
321
U~
G~
U~
G~
J~
U~
G~
U~
G~
J~
J~
U~
G~
U~
G~
J~
0U~
U~
U~
0U~
U~
U~
0U~
U~
U~
ochi I~
I~I
I~
II
nod ( 1~
)
( 2~
)
( 3~
)
Ecuaţiile lui Kirckhhoff pentru circuitul dual se vor scrie considerând necunoscuteletensiunile laturilor orientate în sensul laturilor din graf, luând un sens de parcurgere al
ochiurilor din circuitul dual
(de exemplu în bucla ( 321 l~,l
~,l
~) alegem sensul invers lui
1l~
).
Observaţie : Curentul se ia cu “+” dacă sensul său, respectiv sensul laturii
corespunzătoare, intră în nod, iar termenii K K U
~
G
~
se iau cu “+” dacă sensultensiunii care corespunde cu sensul laturii din graf iese din nod.
Dacă se ţine seama căK K
G~R (numer ic) şiK K
J~E~ (numeric) se observă că
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 52/56
ecuaţiile sunt identice, adică curenţilor din circuitul iniţial le corespund tensiunile
din circuitul dual : U~
I .
nod (1)
(2)
(3)
ochi (1)
(2)
(3)
44555
443361
33222
541
632
321
IR IR E
IR IR EE
IR IR E
0III
0III
0III
55445
443361
33222
541
632
321
U
~
G
~
U
~
G
~
J
~
U~
G~
U~
G~
J~
J~
U~
G~
U~
G~
J~
0U~
U~
U~
0U
~
U
~
U
~
0U~
U~
U~
ochi I~
I
~
I
I~
II
nod ( 1~
)
( 2~
)
(3~
)
1
2
3
~
~
~
G4
~
G3
~
G2
~
E2
~
~
J6
~
J1
E5
~
G5
~
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 53/56
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 54/56
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 55/56
7/21/2019 1 (3)
http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 56/56
MIT concept…