1. 4. Elementos característicos de los polígonos regulares · 2020. 8. 30. · Ejercicio propuesto 10.44: Hallar el valor de un ángulo interior y central de un decágono regular

UNIDAD DIDÁCTICA 10. GEOMETRÁ PLANA (PARTE V). MATEMÁTICAS 3º ESO

MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA 1

¡¡Hola chic@s!! Desde esta semana no será obligatoria la entrega de

ninguna tarea. Aquellos alumnos que las continúen entregando,

evidentemente verán reconocido el esfuerzo y en junio aumentará su

nota media de las evaluaciones anteriores.

Aquellos alumnos que tengan alguna evaluación suspensa también

pueden no entregar material, en el caso de que su nota media no

alcanzase el 5, se presentarán al examen de la evaluación

correspondiente en junio, presencial si es posible o vía online, en caso

contrario.

La entrega de material en aquellos alumnos con notas muy bajas,

evidentemente, no asegura en ningún caso el aprobado. Pero es

necesario que trabajen dichas tareas de repaso, se entreguen o no,

para obtener el aprobado en el examen correspondiente de junio.

Resolvemos primero de forma detallada los ejercicios que os propuse

de la cuarta parte de la unidad 10. Tenéis que comparar los resultados

que os explico a continuación con los desarrollos que realizasteis

vosotros. Ojo: hay que dedicar algún tiempo a esa tarea:

1. 4. Elementos característicos de los polígonos regulares

Ejercicio propuesto 10.39: Calcular el número total de diagonales que se pueden

trazar en un decágono.

Solución: Por ser un decágono un polígono regular de diez lados, N = 10, para determinar

el número total de diagonales que pueden trazarse, usamos la fórmula:

D=N.(N-3)

2=

10.(10-3)

2=

70

2= 35 diagonales

Y obtenemos que un polígono de 10 lados tiene 35 diagonales.

Ejercicio propuesto 10.40: ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 14

diagonales en total?

Solución: Para este problema, lo que sabemos es el número total de diagonales de un

polígono que son 14. Entonces necesitamos calcular N:



D=N.(N-3)

2 ⇒ 14=

N.(N-3)

2=

N2 -3N

2 ⇒ N

2-3N-28=0

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

N=3±√32+4.1.28

2.1=

3±√9+112

2=

3±√121

2=

3±11

2= {

N=7N=-4

Las raíces son 7 y -4. Descartamos la raíz negativa, ya que no puede tener un número

negativo de lados.

El polígono buscado tiene 7 lados, se trata entonces de un heptágono.

Ejercicio propuesto 10.41: En un polígono regular de 9 vértices. ¿Cuánto mide

uno de sus ángulos exteriores?

Solución: Luego en un polígono regular de nueve lados, cada ángulo interior medirá:

α =180º.(N-2)

N=

180º.(9-2)

9=

180º. 7

9=140º medida de cada ángulo interior

entonces, cada ángulo exterior mide: 180º-140º= 40º

Ejercicio propuesto 10.42: ¿Cómo se llama el polígono cuya suma de ángulos

interiores es 720º?

Solución: Sabemos la suma de los ángulos interiores, de su fórmula despejamos N:

Suma de los ángulos interiores = (N - 2) · 180º = 720º →

→ N-2= 720º/180º → N-2= 4 → N= 4+2= 6 lados

Entonces en un hexágono.

Ejercicio propuesto 10.43: Si un polígono tiene un total de 20 diagonales

¿Cómo se llama ese polígono?

Solución: Para este problema, lo que sabemos es que el número total de diagonales de un

polígono está dado es igual a 14. Entonces necesitamos calcular N:

D=N.(N-3)

2 ⇒ 20=

N.(N-3)

2=

N2 -3N

2 ⇒ N

2-3N-40=0

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

N=3±√32+4.1.40

2.1=

3±√9+160

2=

3±√169

2=

3±13

2= { N=8

N=-5

Las raíces son 8 y -5. Descartamos la raíz negativa, ya que no puede tener un número negativo

de lados. El polígono buscado tiene 8 lados, se trata entonces de un octógono.



Ejercicio propuesto 10.44: Hallar el valor de un ángulo interior y central de un

decágono regular.

Solución: Por ser un polígono regular, con 10 lados, tenemos que sustituir N=10, en cada

una las fórmulas, por tanto:

a) Ángulo central =360º

N=

360º

10= 36º

b) Ángulo interior:

α =180º.(N-2)

N=

180º.(10-2)

10=

180º.8

10= 144º

Ejercicio propuesto 10.45: Hallar el ángulo interior y exterior de un polígono

regular con ángulo central de 18º.

Solución: Sabemos que es un polígono regular, con N lados, y cómo dato tenemos que

ángulo central 18º, por tanto:

ángulo central =360º

N⇒ 18º=

360º

N ⇒ N= 20 lados

Luego cada ángulo interior medirá:

α =180º.(N-2)

N=

180º.(20-2)

20=

180º.18

20= 162º medida de cada ángulo interior

Por tanto: ángulo exterior= 180º-ángulo interior= 180º-162º=18º

Ejercicio propuesto 10.46: Calcula las medidas de los ángulos: A, B y C de

las siguiente figura.

Solución:

El ángulo A es el ángulo central del octógono, su valor es:


N=

360º

8=45º

El ángulo B es el ángulo interior del octógono, su valor es:

α =180º.(N-2)

N=

180º.(8-2)

8=

180º.6

8= 135º

El ángulo C se corresponde a la resta: C = 360º-B → C = 360º-135º = 225º

Ejercicio propuesto 10.47: Averigua cuánto miden los ángulos señalados en

el siguiente pentágono:



Solución:

El ángulo A es el ángulo central del pentágono, su valor es:


N=

360º

5= 72º

El ángulo D es el ángulo interior del pentágono, su valor es:

α =180º.(N-2)

N=

180º.(5-2)

5=

180º.3

5= 108º

El ángulo B es la mitad del ángulo interior del pentágono, es decir, el ángulo D. Su

valor es: 108º

2= 54º

EL ángulo C se corresponde a la resta: C = 360º - D → C = 360º - 108º = 252º

Ejercicio propuesto 10.48: Si el ángulo interior es el triple del ángulo exterior

de un polígono regular. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

Solución: Como tenemos que: , entonces:

x=3(180º-x) → x=540º-3x → 4x=540º → x=540º/4= 135º es el ángulo interior

Por ello tenemos un polígono regular con N lados del que sabemos que el ángulo

interior mide 135º, así usando su fórmula, podemos despejar N:

α =suma de los ángulos interiores

N=

180º.(N-2)

N=135º ⇒ 180º.(N-2)=135º.N ⇒

⇒ 180º.N- 360º=135º.N ⇒ 45ºN=360º ⇒ N=8 lados

Tenemos entonces que nuestro polígono es un octógono.

Ejercicio propuesto 10.49: La diferencia entre un ángulo interior y un ángulo

exterior de un polígono regular es de 60º. Halla el número de lados del

polígono.

Solución: Como tenemos que: , entonces:

Podemos suponer que el interior es mayor que el exterior:

x-(180º-x)=60º → 2x-180º = 60º → 2x=240º → x=240º/2= 120º es el ángulo interior.

Como el ángulo interior mide 120º, así usando su fórmula, podemos despejar N:




N=

180º.(N-2)

N=120º ⇒ 180º.(N-2)=120º.N ⇒

⇒ 180º.N- 360º=120º.N ⇒ 60ºN=360º ⇒ N=6 lados

Tenemos entonces que nuestro polígono es un hexágono.

O bien, podemos suponer que el exterior es mayor que el interior:

(180º-x)-x=60º → 180º -2x= 60º → 2x=120º → x=120º/2= 60º es el ángulo interior.

Como el ángulo interior mide 60º, así usando su fórmula, podemos despejar N:


N=

180º.(N-2)

N=60º ⇒ 180º.(N-2)=60º.N ⇒

⇒ 180º.N- 360º=60º.N ⇒ 120ºN=360º ⇒ N=3 lados

Tenemos entonces que nuestro polígono es un triángulo equilátero

Continuamos con la geometría plana, vamos a trabajar la última la

última figura plana de la unidad 10, el círculo y su contorno que es

la circunferencia: Estos ejercicios son voluntarios para todos los

alumnos de 3º:

2. Circunferencia y Círculo

La circunferencia

Una circunferencia es una línea curva, cerrada y plana cuyos puntos están a la misma

distancia de un punto interior llamado centro.

Elementos de la circunferencia

• Centro punto del interior de la circunferencia tal que la distancia desde él a cualquier

punto de la circunferencia es la misma.

• Radio es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.

• Diámetro es el segmento que tiene por extremos dos puntos de la circunferencia y que

pasa por el centro. El diámetro es el doble del radio. D = 2·R



• Cuerda es el segmento que une dos puntos cuales quiera de la circunferencia. La cuerda

mayor de una circunferencia es el diámetro.

• Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.

• Semicircunferencia es cada una de las partes en que un diámetro divide a una

circunferencia, es decir, media circunferencia.

Ojo: No confundas nunca un círculo y una circunferencia:

El círculo

El círculo es la superficie del plano limitada por la circunferencia. Es decir, está formado

por todos los puntos de la circunferencia y todos los puntos del plano en su interior.

Elementos del círculo:

• Semicírculo: una de las dos partes iguales que delimita un diámetro.

• Sector circular: es la parte del círculo comprendida entre dos radios y su arco.

• Segmento circular: es la parte delimitada por un arco y su cuerda.

• Corona circular: es el espacio comprendido entre dos circunferencias con el mismo

centro y distinto radio (concéntricas)

Círculo:

Elementos: Área del círculo = π.r2

r → Radio Longitud de la circunferencia = L= 2π.r

Ejemplo: Un aspersor que da una vuelta completa, tiene un alcance de 5 m. ¿Qué

superficie de césped se riega?



Nos están diciendo en el enunciado que alcance es 5 m, es decir nos dan el radio. Así:

{ Área = π.r2 =π.52 = 25π m2

Longitud = L = 2π.r = 2π.5 = 10π m

Ejemplo: La longitud de una circunferencia es 62,8 cm. ¿Cuál es el área del círculo?

Necesitamos el radio de la circunferencia r, para poder calcular su área. El único dato que

tenemos es la longitud de la circunferencia, entonces, se supone que de la expresión de la

longitud obtendremos lo que necesitamos:

62,8 cm =Longitud = 2π.r ⇒ 2π.r = 62,8 cm ⇒ r = 62,8

2π= 9,99 cm ≈ 10 cm

Por tanto: Área = π.r2 ≈ π.102 = 100π cm2

Ejemplo: Si los lados del rectángulo son de 15 cm y de 20 cm,

¿cuánto mide el área de la circunferencia siguiente? ¿y su

longitud?

Si calculamos la diagonal del rectángulo, tendremos el diámetro de la

circunferencia, así por el teorema de Pitágoras, tenemos que:

d2=202+152=625 ⇒ d= √625= 25 cm

Entonces el radio es: R=d/2=25/2=12,5 cm, por tanto:

{Área = π.r2 = π.12,52 = 156,25π cm2 = 490,87 cm2

Longitud = 2π.r = 2π.12,5 = 25π cm = 78,53 cm

Ejemplo: Un posavasos circular tiene 12 cm de diámetro. ¿Cabe en él un vaso de

34,54 cm de contorno?

En el enunciado nos indican que el diámetro del posavasos es 12 cm,

entonces, como sabemos que el diámetro es el doble del radio, resulta

que el radio del posavasos es rposavasos=6 cm.

Ahora como el contorno del vaso, es decir la longitud de la circunferencia que define al

vaso es de 34,54 cm, entonces:

34,54 cm=Longitud = L = 2π.r ⇒ 2π.r = 34,54 ⇒ r=34,54

2π ⇒ rvaso=5,49 cm

Por ello: rvaso=5,49 cm < 6 cm=rposavasos , así, el posavasos tiene más radio que el vaso,

por tanto, el vaso sí cabe en el posavasos.



Ejemplo: Un jardín circular tiene 5 m de radio. En el centro hay una estatua de base

circular de 2 m de radio. ¿Cuánto mide el área ocupada por las plantas?

Tenemos que trabajar con dos círculos:

a) El pequeño dedicado a la estatua con radio 2m, por tato:

Área del círculo pequeño = π.r2 =π.22 = 4π m2

b) El grande es de radio 5 m, y es que nos da el total del jardín:

Área del círculo grande = π.r2 =π.52 = 25π m2

Si restamos las áreas de ambos círculos tenemos el área que nos queda para plantar:

Área del círculo grande - Área del círculo pequeño = 25π - 4π = 21π m2

Ejemplo: Un ciclista entrena en una pista circular cuyo radio es 50

m. Si diariamente debe recorrer 15,7 Km, ¿cuántas vueltas debe dar

a la pista?

Veamos cuanto recorre el ciclista en una vuelta completa, es decir, vamos a calcular la

longitud de la circunferencia:

Longitud = L = 2π.r = 2π.50 = 100π m = 314,15 m

El ciclista tiene que recorrer en total: 15,7 km = 15700 metros, que si dividimos por 314,15 m

y obtenemos el número de vueltas:

15700/314,15 = 49,976 vueltas

Es decir, tendrá que dar aproximadamente 50 vueltas.

Ejemplo: Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia

de 6 cm de radio. Halla el área del recinto comprendido entre

ambas figuras.

Tenemos que hallar el área rosa de la figura y lo haremos calculando el área del círculo de

radio 6 cm y restando el área del hexágono:

a) Área del círculo = π.r2 =π.62 = 36π cm2= 113,04 cm2

b) Para hallar el área del hexágono, sabemos que su radio 6 cm coincide con su lado y por

tanto:

perímetro= 6.6= 36 cm



usando Pitágoras, tenemos que: 62=32+a2 ⇒ a= √62-32=√27 = 5,2 cm apotema,

entonces:

Área del hexágono = perímetro. apotema

2 =

𝟑𝟔 . 𝟓,𝟐

𝟐 = 93,6 cm2

Si restamos las áreas obtenemos el área que nos piden:

Área del círculo - Área del hexágono = 93,6 - 36π = 19,44 cm2

Ejemplo: Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 20π cm de

longitud.

Si llamamos r al radio de la circunferencia y D el diámetro de la circunferencia (que

coincide con la diagonal del cuadrado)

Longitud = L = 2π.r = 20π ⇒ r = 10 ⇒ D = 20 cm

por Pitágoras: 202= L2+L

2 ⇒ 400 =2L

2 ⇒ L

2=200 ⇒ L = √200 = 14,14 cm

Entonces: Área del cuadrado=L.L= 200 cm2

Ejercicio propuesto 10.50: Paula está decorando una tarta para el

cumpleaños de su primo Víctor. Le quiere poner gominolas en todo el

borde de la tarta, que tiene un diámetro de 30 cm. Sabiendo que cada

gominola tiene un radio de 1,25 cm. ¿Cuántas gominolas va a necesitar

Paula?

Solución: 37 gominolas

Ejercicio propuesto 10.51: Una mesa de comedor tiene la forma de la figura. Si

sabemos que el precio del m2 de madera es de 180 €. Determinar los costes de la

mesa.

Solución: 592,2 €

Ejercicio propuesto 10.52: ¿Cuántas vueltas da la rueda de una bicicleta de 56 cm de

radio al recorrer un kilómetro?

Solución: 284 vueltas



Ejercicio propuesto 10.53: Calcula el área y perímetro de las figuras coloreadas:

a)

Solución: Área: 10,51 mm2 y perímetro: 49,99 mm

b)

Solución: Área 161π m2 y perímetro 46π m

Ejercicio propuesto 10.54: Halla el área y perímetro de:

Solución: Área 52,81 cm2 y perímetro 28,56 cm2

Ejercicio propuesto 10.55: Un aro da 40 vueltas para recorrer 31,40 m. Calcula el

diámetro del aro.

Solución: 24,98 cm

Ejercicio propuesto 10.56: Un cuadrado de 100 m2 de superficie está inscrito en una

circunferencia. Calcula el área del círculo asociados a dicha circunferencia.

Solución: 50π m2

Ejercicio propuesto 10.57: Calcula el área de un octógono regular

de 4 m de lado inscrito en una circunferencia cuyo círculo

asociado tiene 20π m2 de área.

Solución: 64 m2

Ejercicio propuesto 10.58: Calcular el área de la región de color

negro del siguiente taijitu (símbolo del yin y del yang) inscrito en

un cuadrado de lado 2m

Solución: π/2 m2



Vamos a trabajar ahora a modo de repaso, la unidad didáctica 4. Para que

todos los alumnos puedan alcanzar las competencias mínimas de las

matemáticas académicas de 3º de la ESO. Por tanto, será de especial interés

para aquellos alumnos que no aprobaron la 1ª evaluación.

Tenéis que repasar nuestro boletín teórico y de ejercicios relativos a esta

unidad 4, mostrando especial atención a ejercicios del tipo:

Progresiones aritméticas

Definición:

Ejemplo: Determina si estas sucesiones son o no progresiones aritméticas:

a) 7, 11, 15, 19, 23, 27,...

b) 10, 7, 4, 1, -2, -5, ...

c) 3, 5, 8, 10, 13, 15, ...

Como:

Vemos por tanto que los dos primeros apartados se tratan de progresiones

aritméticas mientras que el tercero no lo es.



Fórmula del término general de una progresión aritmética:

Ejemplo: Encuentra el término general de esta progresión aritmética:

5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ... ¿Cuál es el término 12?

1º) El primer término de la progresión aritmética es: a 1 = 5

2º) La diferencia es: d = a2 - a1 = 8 - 5 = 3

3º) Por tanto, sustituyendo en la expresión del término general, tenemos que:

an = a1+ (n - 1)·d = 5 + (n - 1 ) · 3

El término a12 lo obtenemos sustituyendo n=12 en el término general:

a12 = 5 + (12 - 1) · 3 = 5 + 33 = 38

Ejemplo: Halla el término general de una progresión aritmética sabiendo

que a5 = 19 y a11 = 43.

Al ser una progresión aritmética, el término general es: an = a1 + (n -1)·d.

Sustituyendo los datos del enunciado tenemos:

a5 = 19 ⟶ 19 = a1+(5-1) .d⟶ 19 = a1+4 d

a11 = 43 ⟶ 43 = a1+(11-1) .d⟶ 43 = a1+10d} ⇒⏟

resolviendo el sistema

⇒ a1 = 19-4d

43 = (19-4 d)+10d} ⇒

a1 = 19-4d

d = 246

=4} ⇒

a1 = 3

d = 4}

Por tanto, el término general de la progresión aritmética es:

an = 3 + (n - 1)·4

Ejemplo: Sabiendo que a5 = -1 y a9 = 1, calcular el término general de dicha

progresión geométrica.

Al ser una progresión aritmética, el término general es: an = a1 + (n -1)·d.

Sustituyendo los datos del enunciado tenemos:



a5 = -1 ⟶ -1 = a1+(5-1) .d ⟶ -1 = a1+4 d

a9 = 1 ⟶ 1 = a1+(9-1) .d ⟶ 1 = a1+8 d} ⇒⏟


⇒ a1 = -1-4d

1 = (-1-4 d)+8d} ⇒

a1 = -1-4d

d = 24

=12

} ⇒ a1 = -3

d = 12

}

El término general de la sucesión es: an = - 3 + ( n - 1 ) ·1/2

Ejemplo: El primer término de una progresión aritmética es: 11 y la

diferencia es: -4. ¿Qué lugar ocupa el término an=-45 ? ¿Y el am=- 17 ?

Cómo el término general de la progresión aritmética es: an =11 + (n - 1)·(- 4).

Entonces:

an = -45 ⟶ -45 = 11+(n-1) .(-4) ⟶ -45 = 11-4n+4⟶ n = 604

=15

am = -17 ⟶ -17 = 11+(m-1) .(-4) ⟶ -17 = 11-4m+4⟶ m = 324 =8

El término que vale -45, es el término que ocupa la posición 15 en la progresión y el

término que vale -17, es el término que ocupa la posición 8 en la progresión.

Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión

geométrica:

Ejemplo: Dada la progresión aritmética de término general: an = 7+(n - 1)·5.

Calcula la suma de los 20 primeros términos.

Cómo la fórmula se la suma de los n primeros términos de una progresión

aritmética viene dada por:

Sn = (a1+an).n

2⟶ S20 =

(a1+a20).20

2

entonces: a1 = 7+(1-1).5=7

a20 = 7+(20-1).5=102 } ⇒ S20=

(7+20).20

2= 270

Ejemplo: Calcula la suma de los 15 primeros términos de la progresión

aritmética: 6, 10, 14, 20, 24, 30, ...

Cómo la fórmula se la suma de los n primeros términos de una progresión

aritmética viene dada por:



Sn = (a1+an).n

2⟶ S15 =

(a1+a15).15

2

Necesitamos tener los términos a1 y a15 de la progresión aritmética. Nos van el

primer término de ella, así sabemos que: a1 =6.

Vamos entonces a hallar el término general, para obtener después a 15

La diferencia de esta progresión es cómo dice la teoría, la diferencia entre dos

términos consecutivos, por ejemplo, entre a1 y a2, así: d= a2-a1=10-6=4 diferencia

de la progresión.

Por ello, el término general es: an = a1+(n-1)d=6+(n-1)4 → a15= 6+(15-1)4=62 y

tenemos la suma pedida:

Sn = (a1+an).n

2 ⟹ S15 =

(6+62).15

2= 510

Ejemplo: Calcula la suma de los 25 primeros términos de una progresión

aritmética sabiendo que a4 = 7 y a10 = 25.

Calcularemos en primer lugar el término general de la progresión, para

posteriormente determinar a1 y a25:

a4 = 7 ⟶ 7 = a1+(4-1).d ⟶ 7 = a1+3.d

a10 = 25 ⟶ 25 = a1+(10-1).d ⟶ 25 = a1+9.d} ⇒⏟


⇒ a1 = 7-3d

25 = (7-3d)+9d} ⇒

a1 = 7-3d

25 = 7+6d} ⇒

a1 = 7-3d

d = 186 =3

} ⇒ a1 = -2

d = 3}

El término general de la sucesión es: an=-2 +(n - 1)·3 → a25= -2+(25-1)3=70 y

tenemos la suma pedida:

Sn = (a1+an).n

2 ⟹ S25 =

(-2+70).25

2= 850

Ejemplo: Calcula la suma de los términos de una progresión aritmética desde

a8 hasta a32 . Sabiendo que el término general es: an = -10 + (n - 1)· 2.

Podemos utilizar la fórmula se la suma de los n primeros términos de una

progresión aritmética para calcular esta suma, del modo siguiente:

Sn = (a1+an).n

2⟶



⟶ Sn elemntos consecuticos = (primer elemento+último elemento).(número de elementos que sumamos)

2

entonces:

a8 = -10+(8-1).2 = 4

a32 = -10+(32-1).2 = 52 } ⇒ S25 elementos=

(a8+a32).25

2=

(4+52).25

2= 700

Ejemplo: Alicia quiere comprarse una bicicleta, y para ello ahorra la primera

semana 5 € y cada una de las siguientes semanas ahorra 5 € más que la

semana anterior. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de 20 semanas?

Partimos de un ahorro inicial de a1=5€, y además cada semana suma 5€ más, así d=5,

por tanto, tenemos una progresión aritmética de término general:

an = a1+(n-1)d=5+(n-1)5

esta expresión nos daría el ahorro en cada semana n. Si queremos saber cuanto

ahorra en total al llegar a la semana 20, tenemos que sumar el ahorro desde la semana

1 hasta la 20 incluida. Así:

Sn = (a1+an).n

2 ⟹ S20 =

(a1+a20).20

2

Obtenemos a20: a20= 5+(20-1)5=100 y tenemos la suma pedida:

Sn = (a1+an).n

2 ⟹ S20 =

(a1+a20).20

2=

(5+100).20

2= 1050 €

Progresiones geométricas

Definición:

Ejemplo: Determina si la sucesión dada es una progresión geométrica:

a) 7, 21, 63, 189 ,567, 1701, ...

b) 3, -12 , 48, -192 , 768 , -3072, ...

c) 8, 4, 2, 1 , 1/2 , 1/4 , ...

d) 4, 8, 10, 20, 22, 44, ...

Como:



Vemos por tanto que los tres primeros apartados se tratan de progresiones

geométricas mientras que el cuarto no lo es.

Fórmula del término general de una progresión geométrica:

Ejemplo: Si tienes una progresión geométrica en la que el primer término

vale 4 y la razón es 3. Indica su término general.

Tenemos que: a1 = 4 y r = 3. Usando la fórmula del término general:

an =a1. rn-1 ⟹ an = 4. 3n-1

Ejemplo: Determina los seis primeros términos de una progresión

geométrica si los dos primeros términos son: 2 y 5.

Tenemos que: a1 = 2 y a2 = 5. Usando la definición de progresión geométrica,

sabemos que: a2 = r. a1 , por lo que la razón de la progresión geométrica es:

r=a2

a1=

5

2

El término general, según nos indica la teoría es:

an =rn-1. a1 ⟹ an =2.(5

2)

n-1

=5n-1

2n-2

por tanto, los términos de la progresión geométrica que nos piden son:



Ejemplo: El quinto término de una progresión geométrica es: 9 y su razón

es: 3. Calcula el valor del primer término.

Aplicando la expresión del término general de una progresión geométrica tenemos

que:

an =a1. rn-1 ⟹ a5 = a1. 35-1 ⟹ 9 = a1. 3

4 ⟹ 9 = a1. 81 ⟹ a1= 9

81=

1

9

Ejemplo: El tercer término de una progresión geométrica es: 12 y el sexto

término es: 96. Calcula la expresión del término general de dicha progresión.

El término general, según nos indica la teoría es: an =rn-1. a1

por tanto, necesitamos calcular los valores del primer término a 1 y de la razón r.

Por los datos del enunciado tenemos que: a3 = 12 y a6 = 96. Sustituyendo en la

fórmula del término general, tenemos:

a3 = 19 ⟶ 12 = a1.r3-1 ⟶ 12 = a1.r

2

a6 = 43 ⟶ 96 = a1.r6-1 ⟶ 96 = a1.r

5 } ⇒⏟resolviendo el sistema

⇒ a1 =

12r2

96 = (12r2).r5

} ⇒ a1 =

12r2

96 = 12.r3} ⇒

a1 = 12r2

r = √83

} ⇒ a1 = 3

r = 2}

Por tanto, el término general de la progresión geométrica es:

an =a1 .rn-1 ⟹ an = 3. 2n-1

Ejemplo: Determinar la expresión del término general de una progresión

geométrica cuyo cuarto término es: 1 y el séptimo término es: 64 .

Del enunciado sabemos que a4 = 1 y a7 = 64. Entonces sustituyendo en la

fórmula del término general, tenemos:

a4 = 1 ⟶ 1 = a1.r4-1 ⟶ 1 = a1.r

3

a7 = 64 ⟶ 64 = a1.r7-1 ⟶ 64 = a1.r

6 } ⇒⏟resolviendo el sistema

⇒ a1 =

1r3

64 = (1r3).r6

} ⇒ a1 =

1r3

64 = r3} ⇒

a1 = 1r3

r = √643

} ⇒ a1 =

164

r = 4}

Por tanto, el término general de la progresión geométrica es:

an =a1 .rn-1 ⟹ an =

1

64. 4n-1=

1

43 . 4n-1= 4n-4



Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión

geométrica:

Ejemplo: Halla la suma de los 10 primeros términos de una progresión

geométrica cuya razón es dos y su primer término es cinco.

Vamos a aplicar la fórmula de la suma de los n términos de la progresión, para n=10:

Sn =a1 . r𝑛 − 1

r-1 ⟹ S10 =5.

210-1

2-1=5. 1023= 5115

Ejemplo: Halla la suma de los ocho primeros términos de la progresión

geométrica: ¼, ½, 1, ….

Tenemos que: a1 = 1/4 y a2 = 1/2. Usando la definición de progresión geométrica,

sabemos que: a2 = r. a1 , por lo que la razón de la progresión geométrica es:

r=a2

a1=

12⁄

14⁄

=4

2= 2

Así la suma de los 8 primeros términos de la progresión, una vez halla la razón y el

primer término, es:

Sn =a1. r𝑛 − 1

r-1 ⟹ S8 =

1

4.

28-1

2-1=

1

4. 255= 63,75



Instrucciones de trabajo para esta semana:

1. Los alumnos de 3º podéis enviarme de forma totalmente voluntaria, hasta del

domingo 17 de mayo, los “ejercicios propuestos” en este boletín correspondientes a

la parte V de la unidad 10 “Geometría plana” al correo:

[email protected]

2. Además durante toda la semana, estarán disponibles tareas relativas a todo lo

repasado hasta ahora de la 1ª evaluación (unidades didácticas 1, 2 y 3)

Disponible en la plataforma “thatquiz.org”, con el enlace:

3º A: https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a5678cdef125a

3º B: https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a03567abf125c

Usáis la misma contraseña personal que os envié y trabajáis “tareas de repaso 1, 2 y

3”.

3. Además esta semana, para aquellos que tienen la 1ª evaluación suspensa os propongo

que repaséis la unidad 4.

Os recuerdo que todo este trabajo es voluntario. En función de

esto, ajustaremos notas. Y aquellos alumnos con alguna

evaluación suspensa que opten por no trabajen los ejercicios de

repaso correspondientes a la evaluación que tengan suspensa

para subir nota, podrán ir directamente al examen de junio.

¡¡Ánimo chicos!!

mailto:[email protected]

https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a5678cdef125a

https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a03567abf125c

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1. 4. Elementos característicos de los polígonos regulares · 2020. 8. 30. · Ejercicio propuesto 10.44: Hallar el valor de un ángulo interior y central de un decágono regular