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5. Griechische Mathematik

5.1 Allgemeine Geschichte5.2 Das griechische Zahlensystem5.3 Thales von Milet5.4 Die Pythagoreer

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5.1 Allgemeine Geschichte Griechenlands

• Ab dem 3.Jahrtausend: Indoeuropäische Wanderungen• Ab 2000 mykenische Kultur (Kreta)• 1200-1000 Dorische Wanderung: Nordwestgriechen

(Dorier) dringen nach Süden vor. Trojanischer Krieg• Bis 700 Tradition mdl. Dichtung, Abschluss in den Epen

des Homer (olympische Mythologie)• Bis 700 Entstehung der Stadtstaaten (Polis). Einheit

Griechenlands: olympische Spiele, Orakel von Delphi• Bis 600 Kolonisierung des Mittelmeerraums. Handel der

ionischen Städte (griechische Städte an der Westküste der heutigen Türkei) mit Syrien, Ägypten, Mesopotamien, Indien

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Entwicklungen im vorderen Orient, die Griechenland beeinflussen

• Um 600 wird das seit 1400 bestehende Assyrerreich zerstört; neubabylonisches Reich

• 560-546 Lyder unter Krösos unterwerfen alle ionischen Städte außer Milet

• 546 Perserkönig Kyros II unterwirft die Lyder, die ionischen Städte und Ägypten.

• 500-479 Perserkriege: die griechischen Stadtstaaten verhindern unter der Führung Athens eine Eroberung Griechenlands durch Persien

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5.2 Das griechische Zahlensystem

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Aus Ifrah

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Drei Prinzipien

• Akrophones Prinzip: Anfangsbuchstaben der Zahlwörter

• Thesis-Prinzip: die 24 Buchstaben des griechischen Alphabets entsprechen den Zahlen von 1 bis 24

• Milesisches Prinzip: das um drei Zeichen erweiterte Alphabet liefert die 27 Zahlen 1, 2, … 9, 10, 20, … 90, 100, 200, … 900. Man kann nun alle Zahlen von 1 bis 999 darstellen. Für höhere Zahlen gibt es Erweiterungen

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Milesisches Prinzip

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Exkurs: Das hebräische Zahlenalphabet

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5.3 Thales von Milet

• geboren um 640, gestorben in der 58. Olympiade, also 548-545• lebte in der Stadt Milet in Kleinasien und betätigte sich dort politisch

(einer der „sieben Weisen“); unternahm wahrscheinlich eine Reise nach Ägypten

• gilt als erster der Mathematiker im heutigen Sinn und zugleich als erster der Philosophen; „gemeinsamer Ursprung“ von Mathematik und Philosophie

• unser Wissen über Thales und sein Werk beruht ausschließlich auf späteren Quellen:– Herodot– Aristoteles in der Metaphysik– Geschichte der Geometrie von Eudemos (um 300; verloren, aber häufig zitiert;

Eudemos stammt aus der Schule des Aristoteles)– Diogenes Laertius (um 200 n.Chr.)– Proklos (Neuplatoniker um 450 n.Chr., Kommentar zum 1. Buch von Euklids

Elementen)

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Zugeschriebene Leistungen

• Naturwissenschaft– Vorhersage der Sonnenfinsternis vom 28. Mai 585

(Schlacht zw. Lydern und Medern)– Erklärung der Nilhochwasser durch Nordwinde

• Philosophie und Kosmologie– Das Wasser ist der Ursprung von allem– Die Erde schwimmt auf dem Wasser– In zweiterer These erstmals ein Versuch, ein

Naturphänomen rational zu erklären: dies (und nicht der Zorn der Götter) sei auch die Ursache von Erdbeben; zusätzlicher Beleg: bei Erdbeben tritt Wasser aus Erdspalten

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Zugeschriebene mathematische Leistungen

• Höhenmessung der Pyramiden mit dem Strahlensatz (bezeugt von Diogenes Laertius und Plinius)

• Bestimmung der Entfernung eines Schiffes, das sich auf hoher See befindet, mit Kongruenz- oder Ähnlichkeitssätzen

• Einige Sätze erstmals allgemein formuliert und vermutlich auch begründet:– Der Durchmesser teilt den Kreis in zwei gleiche Teile– Bei sich schneidenden Geraden sind die Scheitelwinkel gleich– Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich– Der Kongruenzsatz „SWS“

• „Satz des Thales“

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Der Satz des Thales

• Diogenes Laertius: „Er hat, wie Pamphile berichtet, zuerst das rechtwinklige Dreieck in den Kreis eingezeichnet“

• Pamphile Schriftstellerin zur Zeit des römischen Kaisers Nero (1. Jhdt.n.Chr.)

• Bei Proklos nicht erwähnt, da im 3. und nicht im 1. Buch des Euklid behandelt

• Hat Thales seinen Satz bewiesen? Er hätte dann wohl auch den Satz von der Winkelsumme im Dreieck kennen müssen, wenn man davon ausgeht, dass Euklids Beweis der Originalbeweis ist.

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Was hat Thales neu beigetragen?

• Die Angabe allgemeiner Sätze (bisher nur - etwa zeitgleich - in den Sulbasutras)

• Ungewiss: die Idee, allgemeine Sätze zu beweisen– Pro: Thales könnte aufgefallen sein, dass die

Überlieferungen widersprüchlich sind (verschiedene Werte für π bei Ägyptern und Babyloniern)

– Proklos spricht ihm nur in einem Fall (Durchmesser) eine Begründung zu, die aber eher eine Plausibilitätsbetrachtung als ein Beweis ist, und liefert den ausdrücklich als „mathematisch“ bezeichneten Beweis selbst nach.

• Den allgemeinen Begriff des Winkels

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Allgemeiner Satz vs. Vorschrift: ein didaktischer Impuls

• „In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich ...“ vs. „Wenn Du die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ausrechnen willst, musst Du ...“

• Vorschrift dadurch gerechtfertigt, dass sie das richtige Ergebnis liefert; das merkt man in der praktischen Anwendung. Satz bedarf zur Rechtfertigung der Logik/des Beweises.

• Wie vermittelt man den Übergang von der Vorschrift zum Satz (mit Beweisbedarf) didaktisch?

• Was lernen wir aus der Geschichte über diesen Übergang? Bisher beste Antwort: das Gefühl für den Beweisbedarf entstand dadurch, dass widersprüchliche Überlieferungen von Werten (z.B. für π) vorlagen.

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5.4 Die Pythagoreer

• Pythagoras von Samos (um 580-um 500 v.Chr.) unternahm angeblich Reisen nach Ägypten und Babylonien

• verließ seine Heimat wegen des Tyrannen Polykrates und ging in die griechischen Kolonien Süditaliens (Kroton, Syrakus, Tarent)

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Zur Geschichte der Pythagoräer

• Pythagoras gründet in Süditalien eine nach Art eines Ordens organisierte Gemeinschaft (später als Pythagoräer bezeichnet)• Nicht in erster Linie Mathematiker, sondern eher religiöser Prophet• Gemeinsamer Besitz, Glaube an Seelenwanderung, vegetarische Ernährung• Hauptthese: „Alles ist Zahl“• Pythagoras erkannte gewissermaßen als erster, dass die Zahl nicht nur für praktische Dinge taugt, sondern voller Geheimnisse steckt• Entdeckung der Proportionen (Zahlenverhältnisse) der musikalischen Intervalle, der Legende nach beim Vorbeigehen an einer Schmiede, wo verschieden schwere Hämmer verschieden hohe Töne erzeugten• Einführung des „Quadriviums“ oder der Einteilung der Mathematik in die „vier pythagoräischen Wissenschaften“• Auch politische Aktivitäten• Ende der Gemeinschaft durch einen Anschlag: politische Gegner zünden das Haus der Gemeinschaft an, wobei Pythagoras und ein Großteil seiner Anhänger ums Leben gekommen sein sollen.

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Das Quadrivium

• Von lat. „quatuor“ = vier und „via“ = Weg, also „die vier Wege“ (Boethius, 500 n.Chr.)

• Die vier „pythagoräischen Wissenschaften“: Arithmetik, Musik, Geometrie, Astronomie

• Inhaltliche Gliederung nach Proklos' Euklidkommentar: nächste Folie• Bis ins abendländische Mittelalter gültige Einteilung der vier höheren

der „septem artes liberales“ („sieben freien Künste“; eigentlich „sieben Künste eines freien Mannes“)

• Im mittelalterlicher höherer Schulausbildung geht dem Quadrivium das Trivium („die drei Wege“) voraus: Grammatik, Rhethorik, Dialektik (daher stammt unser Wort „trivial“: nur Grundkenntnisse voraussetzend). Wer die septem artes absolviert hatte, wurde M.A. (magister artium). Anschließend konnte man Theologie, Jura oder Medizin studieren.

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Proklos zum Quadrivium

• Zerlegung der mathematischen Wissenschaft in vier Teile

• Die eine Hälfte betrifft das „Wie viel“, die andere Hälfte das „Wie groß“

• Das „Wie viel“ (die Zahl) kann für sich betrachtet werden (Arithmetik) oder im Verhältnis zu einer anderen Zahl (Harmonielehre); die Größe kann in Ruhe (Geometrie) oder in Bewegung sein (Astronomie)

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Übersicht zum Quadrivium

• Zahl für sich• Zahl im Verhältnis

zu anderer Zahl• Größe in Ruhe• Größe in

Bewegung

Arithmetik Musik

(Harmonielehre) Geometrie Astronomie