1. 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征， 知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数 类型增长的含义 .

2. 了解函数模型 ( 如指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 )

的广泛应用 .

　　三种函数模型的性质

　 　 　　　　　　　函数　　 　 　性质

y＝ ax(a＞1)

y＝ logax(a＞ 1)

y＝ xn(n＞ 0)

在 (0，＋∞ )上的增减性

增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳

单调递增 单调递增 单调递增

　 　 　　　　　　　函数　　 　 　性质

y＝ ax(a＞1)

y＝ logax(a＞1)

y＝ xn(n＞0)

图象的变化随 x 增大逐

渐表现为与 y轴

随 x 增大逐渐表现为与 x 轴 随 n 值变化

而不同

值的比较 存在一个 x0 ，当 x＞ x0 时，有 logax＜ xn

＜ ax

平行一样 平行一样

[ 思考探究 ]

　　以上三种函数都是单调增函数，它们的增长速度相同吗？在 (0 ，＋∞ ) 上随着 x 的增大，三种函数的函数值间有什么关系？提示：三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在 (0 ，＋∞ ) 上，

总会存在一个 x0 ，使 x＞ x0 时有 ax＞ xn＞ logax.

1. 下列函数中随 x 的增大而增大速度最快的是 ( 　 )

A.y ＝ 　　　　　　 B.y＝ 100lnx

C.y＝ x100 D.y＝ 100·2x解析：因为指数函数的增大速度较快，故可排除 B、 C.

又∵ e＞ 2＞ 1 ，∴ y ＝ 的增大速度要比 y＝

100·2x 的增大速度要快 .

答案： A

2. 在一定范围中，某种产品的购买量 y 吨与单价 x 元之间满 足 一次函数关系，如果购买 1 000 吨，每吨为 800 元， 如果购买 2 000 吨，每吨为 700 元，一客户购买 400 吨， 单价应该是 ( 　　 )

A.820元

B.840 元 C.860元

D.880 元

解析：设 y＝ ax＋ b ，则 解得

∴ y ＝－ 10x＋ 9 000 ，由 400 ＝－ 10x＋ 9 000得 x＝

860(元 ).答案： C

3.2006年 7月 1日某人到银行存入一年期款 a 元，若年利率为 x ，按复利计算，则到 2011年 7月 1 日可取款 ( 　 )

A.a(1＋ x)5元 B.a(1＋ x)6 元 C.a＋ (1＋ x)5元 D.a(1＋ x5) 元

解析：因为年利率按复利计算，所以到 2011年 7月 1 日可取款 a(1＋ x)5.

答案： A

4. 某出租车公司规定“打的”收费标准如下： 3 公里以内为起 步价 8元 ( 即行程不超过 3 公里，一律收费 8元 ) ，若超过 3 公 里除起步价外，超过部分再按 1.5元 / 公里收费计价，若某 乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客 下车时乘车里程数为 7.4 公里，则乘客应付的车费是　 .

解析：乘车里程数为 7.4 ，则付费应为 8＋ 1.5×4.4＝ 14.6 ，四舍五入后乘客应付的车费为 15元 .

答案： 15 元

5. 有一批材料可以建成 200 m 的围墙， 如果用此材料在一边靠墙的地方 围成一块矩形场地，中间用同样的 材料隔成三个面积相等的矩形 ( 如图 所示 ) ，求围成的矩形最大面积 ( 围 墙厚度不计 ).

解：设矩形的长为 x m ，宽为 ，

则 S ＝

当 x＝ 100 时， Smax＝ 2 500 m2.

答：围成矩形最大面积为 2 500 m2.

1. 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次

函数模型，其增长特点是直线上升 ( 自变量的系数大于

0)

或直线下降 ( 自变量的系数小于 0).

2. 很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给

出，而是由几个不同的关系式构成分段函数 . 如出租车

票

价与路程之间的关系，就是分段函数 .

[ 特别警示 ] 　分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的

规律不同，可以先将其当几个问题，将各段的变化规律分

别找出来，再将其合到一起 . 要注意各段变量的范围，特别

是端点值 .

某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超

过 4 吨时每吨为 1.80 元，当用水超过 4 吨时，超过部分每

吨 3.00 元，某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两

户该月用水量分别为 5x,3x(吨 ).

(1)求 y 关于 x 的函数；

(2) 若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两

户该月的用水量和水费 .

[ 思路点拨 ]

[课堂笔记 ] (1) 当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5x≤4 ，乙的用水量也不超过 4 吨， y＝ 1.8(5x＋ 3x)＝ 14.4x；当甲的用水量超过 4 吨，乙的用水量不超过 4 吨，即 3x≤4且 5x＞ 4 时，y＝ 4×1.8＋ 3x×1.8＋ 3(5x－ 4)＝ 20.4x－ 4.8.

当乙的用水量超过 4 吨，即 3x＞ 4 时，y＝ 2×4×1.8＋ 3×[(3x－ 4)＋ (5x－ 4)]＝ 24x－ 9.6.

所以 y ＝

(2) 由于 y＝ f(x) 在各段区间上均单调递增 .

当 x∈ [0 ， ] 时， y≤f( )＝ 11.52；

当 x∈ ( ， ] 时， y≤f( )＝ 22.4；

当 x∈ ( ，＋∞ ) 时，令 24x－ 9.6＝ 26.4 ，解得 x＝

1.5.

所以甲户用水量为 5x＝ 7.5 吨，

付费 S1＝ 4×1.8＋ 3.5×3＝ 17.70(元 )；

乙户用水量为 3x＝ 4.5 吨，

付费 S2＝ 4×1.8＋ 0.5×3＝ 8.70(元 ).

保持两户用水比例不变，若两户用水均不超过 4 吨，则两户共交水费的最大值是多少？

解：只要甲户不超过 4 吨，则乙户一定不超过 4 吨，∴ 5x≤4 ，即 x≤ ，

∴ ymax＝ 1.8×(4＋ 3× )＝ 11.52(元 ).

　　有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、

利润问题、产量问题等 . 一般利用函数图象的开口方向和对

称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极

易出错 .

某人要做一批地砖，每块地砖 ( 如图 1 所示 ) 是

边长为 0.4米的正方形 ABCD ，点 E、 F 分别在边 BC和

CD 上，且 CE＝ CF ，△ CFE 、△ ABE和四边形 AEFD 均

由单一材料制成，制成△ CFE 、△ ABE和四边形 AEFD 的

三种材料的每平方米价格之比依次为 3∶ 2∶ 1. 若将此种

地砖按图 2 所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分

成四边形 EFGH.

(1) 求证：四边形 EFGH 是正方形；(2)E、 F 在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？

[ 思路点拨 ]

[课堂笔记 ] (1)图 2 是由四块图 1 所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转 90°， 180°， 270° 后得到，∴ EF＝ FG＝ GH＝ HE ，∴△CFE 为等腰直角三角形，∴ 四边形 EFGH 是正方形 .

(2)设 CE＝ x ，则 BE＝ 0.4－ x ，每块地砖的费用为 W ，制成△ CFE 、△ ABE和四边形 AEFD 三种材料的每平方米价格依次为 3a、 2a、 a(元 ) ，

W ＝ ·3a ＋ ×(0.4－ x)×0.4×2a＋ [0.16 － －

×0.4×(0.4－ x)]a

＝ a(x2－ 0.2x＋ 0.24)

＝ a[(x－ 0.1)2＋ 0.23](0＜ x＜ 0.4) ，

由 a＞ 0 ，当 x＝ 0.1 时， W 有最小值，即总费用最省 .

答：当 CE＝ CF＝ 0.1米时，总费用最省 .

指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增

长率相结合进行考查 . 在实际问题中有人口增长、银行利率、

细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示 .通常可表

示为 y＝ a·(1＋ p)x( 其中 a 为原来的基础数， p 为增长率，

x 为时间 ) 的形式 .

某城市现有人口总数为 100万人，如果年自然增长率为 1.2% ，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数 y(万人 ) 与年份 x(年 ) 的函数关系式；(2) 计算 10 年以后该城市人口总数 (精确到 0.1万人 )；(3) 计算大约多少年以后，该城市人口将达到 120万人 (精确到 1年 )；(4) 如果 20 年后该城市人口总数不超过 120万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127， lg1.2≈0.079， lg2≈0.3010， lg1

.012≈0.005， lg1.009≈0.0039)

[ 思路点拨 ]

[课堂笔记 ] (1)1 年后该城市人口总数为y＝ 100＋ 100×1.2%＝ 100×(1＋ 1.2%).

2 年后该城市人口总数为y＝ 100×(1＋ 1.2%)＋ 100×(1＋ 1.2%)×1.2%

＝ 100×(1＋ 1.2%)2.

3 年后该城市人口总数为y＝ 100×(1＋ 1.2%)2＋ 100×(1＋ 1.2%)2×1.2%

＝ 100×(1＋ 1.2%)3.

x 年后该城市人口总数为：

y＝ 100×(1＋ 1.2%)x.

(2)10 年后人口总数为

100×(1＋ 1.2%)10≈112.7(万人 ).

(3)设 x 年后该城市人口将达到 120万人，

即 100×(1＋ 1.2%)x＝ 120 ，

x＝ log1.012 ＝ log1.0121.20≈16(年 ).

(4)由 100×(1＋ x%)20≤120 ，得 (1＋ x%)20≤1.2 ，

两边取对数得 20 lg(1＋ x%)≤lg1.2＝ 0.079 ，

所以 lg(1＋ x%)≤ ＝ 0.00395 ，

所以 1＋ x%≤1.009 ，得 x≤0.9% ，

即年自然增长率应该控制在 0.9%.

　　　高考数学应用题的命题背景常常关注一些与现实生活中密切相关的人文性问题，人口现状、失学儿童的求助、世界环保、人文与社会，这些源于生活而应用于生活的命题形式，是高考命题的首选 .09 年浙江高考以与居民生活密切相关的生活用电问题为背景考查了函数在实际问题中的应用，是高考的一个新的考查方向 .

　 [ 考题印证 ]

(2009·浙江高考 ) 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价 . 该地区的电网销售电价表如下：

高峰时间段用电价格表高峰月用电量 (单位：千瓦

时 )高峰电价 (单位：元 /千瓦

时 )50及以下的部分 0.568

超过 50至 200的部分 0.598超过 200的部分 0.668

低谷时间段用电价格表低谷月用电量 (单位：千瓦

时 )低谷电价 (单位：元 /千瓦

时 )50及以下的部分 0.288

超过 50至 200的部分 0.318

超过 200的部分 0.388

若某家庭 5月份的高峰时间段用电量为 200千瓦时，低谷时间段用电量为 100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为　　　　元 ( 用数字作答 ).

【解析】　高峰时段电费 a＝ 50×0.568＋ (200－ 50)×

0.598＝ 118.1(元 ).

低谷时段电费 b＝ 50×0.288＋ (100－ 50)×0.318 ＝

30.3(元 ). 故该家庭本月用电量为 a＋ b＝ 148.4(元 ).

【答案】 148.4

[ 自主体验 ]

据调查，某地区 100万从事传统农业的农民人均年收入为 3 000 元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作 .据估计，如果有x(x＞ 0)万农民进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高 2x% ，而进入企业工作的农民的人均年收入为 3 000a元 (a＞ 1).

(1) 在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年

总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求 x 的

取值范围；

(2)在 (1) 的条件下，当地政府应该如何引导农民 (即 x

多

大时 ) ，能使这 100万农民的人均年收入达到最大 .

解： (1) 由题意得 (100－ x)·3000·(1＋ 2x%)≥100×3000 ，即

x2－ 50x≤0 ，解得 0≤x≤50 ，

又∵ x＞ 0 ，∴ 0＜ x≤50.

(2) 设这 100万农民的人均年收入为 y 元，

则 y ＝

＝

＝－ [x－ 25(a＋ 1)]2＋ 3 000＋ 375(a＋ 1)2(0＜

x≤50).

又∵ a＞ 1 ，∴ 25(a＋ 1)＞ 50 ，

又函数 y在 (0,50] 上单调递增，∴当 x＝ 50 时， y 最大 .

答：安排 50万人进入企业工作，才能使这 100万人的人均年收入最大 .

1. 某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻 t( 单位：分 )

与细 胞数 n( 单位：个 ) 的部分数据如下：t 0 20 60 140

n 1 2 8 128

根据表中数据，推测繁殖到 1 000 个细胞时的时刻 t 最接近于 ( 　 )

A.200 　　　　　　　　　　　　 B.220

C.240 D.260解析：由表格中所给数据可以得出 n与 t 的函数关系为 n

＝ ，令 n＝ 1 000 ，得 ＝ 1 000 ，又 210＝ 1 024 ，所以时刻 t 最接近 200分 .答案： A

2. 某企业去年销售收入 1000万元，年成本分为年生产成

本 500 万元与年广告费成本 200万元两部分 . 若利润的

P% 为国税且年广告费超出年销售收入 2% 的部分也必

须按 P% 征国税， 其他不纳税，已知该企业去年共纳

税 120万元，则税率 P% 为 ( 　　 )

A.10% B.12%

C.25% D.40%

解析： (1000－ 500－ 200)P%＋ (200－ 1000×2%)P%＝ 120 ，

所以 P%＝ 25%.

答案： C

3. 某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对

象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：

其中 x代表拟录用人数， y代表

面试对象人数 . 若应聘的面试对象人数为 60人，则该公

司拟录用人数为

( 　 )

A.15 B.40

C.25 D.30

解析：根据分段函数关系，面试对象人数为 60 即

y＝ 60 ，则应用 y＝ 2x＋ 10＝ 60 ，可得 x＝ 25 ，

即

该公司拟录用人数为 25.答案： C

4. 某超市销售一种奥运纪念品，每件售价 11.7 元，后来，此 纪念品的进价降低了 6.4% ，售价不变，从而超市销售这种 纪念品的利润提高了 8%. 则这种纪念品的原进价是　 　元 .

解析：设原进价为 x 元，则依题意有 (11.7－ x)(1＋ 8%)

＝ 11.7－ (1－ 6.4%)x ，解得 x＝ 6.5.

答案： 6.5

5. 一辆汽车在某段路程中的行驶 速度 v 与时间 t 的关系如图所 示，则该汽车在前 3 小时内行驶 的路程为　　　 km ，假设这辆 汽车的里程表在汽车行驶这段 路程前的读数为 2 008 km ，那么 在 t∈ [1,2] 时，汽车里程表读数 S 与时间 t 的函数解析式为　　　　　　　 .

解析：汽车在前 3 小时内行驶的路程为三个矩形的面积50×1＋ 80×1＋ 90×1＝ 220；当 t＝ 1 时，汽车的里程表读数为 2 008＋ 50＝ 2 058 ，则 t∈ [1,2] 时，汽车的里程表读数为S＝ 2 058＋ 80(t－ 1)＝ 80t＋ 1 978 ，故 t∈ [1,2] 时，汽车的里程表读数 S 与时间 t 的函数解析式为 S＝ 80t＋ 1 978.

答案： 220 S＝ 80t＋ 1 978

6.(2010·淄博模拟 )甲乙两人连续 6 年对某县农村鳗鱼养殖业的 规模 ( 总产量 )进行调查，提供了两个方面的信息，分别得 到甲、乙两图：

甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第 1年 1万条鳗鱼上升到第 6年 2万条 .

乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第 1年 30 个减少到第 6年 10个 .

请你根据提供的信息说明：(1)第 2 年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数 .

(2) 到第 6 年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第 1 年扩大了还是缩小了？说明理由 .

(3)哪一年的规模 ( 即总产量 ) 最大？说明理由 .

解：由题意可知，图甲图象经过 (1,1)和 (6,2) 两点，

从而求得其解析式为 y 甲＝ 0.2x＋ 0.8 ，

图乙图象经过 (1,30)和 (6,10) 两点 .

从而求得其解析式为 y 乙＝－ 4x＋ 34.

(1)当 x＝ 2 时， y 甲＝ 0.2×2＋ 0.8＝ 1.2， y 乙＝－ 4×2

＋ 34

＝ 26， y 甲 ×y 乙＝ 1.2×26＝ 31.2

所以第 2 年鱼池有 26 个，全县出产的鳗鱼总数为 31.2万条 .

(2)第 1 年出产鱼 1×30＝ 30(万条 ) ，第 6 年出产鱼 2×10

＝ 20(万条 ) ，可见第 6 年这个县的鳗鱼养殖业规划比第 1

年缩小了 .

(3) 设当第m 年时的规模，即总出产是量为 n ，

那么 n＝ y 甲 ·y 乙＝ (0.2m＋ 0.8)(－ 4m＋ 34)

＝－ 0.8m2＋ 36m＋ 27.2

＝－ 0.8(m2－ 4.5m－ 34)

＝－ 0.8(m－ 2.25)2＋ 31.25

因此，当 m＝ 2 时， n 最大值为 31.2.

即当第 2 年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为 31.2万条 .