(1) ( ) ( )A BP AP

(2) ( ) ( )B AP CA P

( )(1) ( )

( )

P A BP B A

AP

( ) ( ) ( )P A B P P BA A 。

( )(2) ( )

( )

P C A BAP C

PB

A B

( ) ( ) ( )AP A BB P PB AC C

( ) 0 ( ) 0P A P A B 其中 ， 。

( ) ( ) ( )A A A BP P B P C

( )P B A ( )P BC A

( ) ( ) 0P A P AB ，其中 。

1. 條件機率的乘法原理：設 A 、 B 、 C 為三個事件，則：一、條件機率的乘法原理：一、條件機率的乘法原理：

證明：

To be continued To be continued 範 例範 例

3

10 1

15 。

37

10 9 7

30 。

範例：籤筒的 10 支籤中 3 支有獎， AB 兩人先後各抽 1 支籤，抽完後不放回，兩人都中獎的機率為多少？

解： A 中， B 也中

2

9

馬上練習 . 承上例，求只有 B 中獎的機率。

解： A 不中， B 中

＃＃

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

3

5 所求

1

5 。

2. 範例：設袋中有 3 紅球， 2 白球。

(1) 若取出的球「不」放回，求依次取出紅、白、紅球的機率。(2) 若取出的球放回，求依次取出紅、白、紅球的機率。

解： (1) 不放回：紅、白、紅 2

4 2

3

3

5 所求 18

125 。(2) 放回放回：紅、白、紅 2

53

5

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

今從袋中每次取一球連取 3 次，求

2

3

1

2

紅去白回

馬上練習 . 設 A 袋內有紅球 1 個，白球 1 個；B 袋內有白球 2 個。

今從 A 袋中取出一球放入 B 袋，再從 B 袋中取出一球放回 A 袋。求操作完後 A 袋恰有 2 白球的機率。

解：1

3 。

＃＃

3

5 所求 3

10 。

範例：設袋中有 3 紅球， 2 白球。求： (1) 若取出的球「不」放回，求依次取出紅、白機率。

(2) 若取出的球放回，求依次取出紅、白的機率。

解： (1) 不放回：紅、白 2

4

今從袋中每次取一球連取兩次，

( ) ( ) ( )P P P 白 紅 白紅 紅

3

5 所求

6

25 。(2) 放回放回：紅、白 2

5

( ) ( ) ( )P P P 白 紅 白紅 紅 ( ) ( )P P 白紅

獨立事件獨立事件

A P AB P BP 當 時，稱 A 與 B 為 獨立事件獨立事件。

To be continued To be continued 圖 解圖 解

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( ) ( ) ( )P PA BAB P

2(

1)P A

3(

1)P B

( )P A B

1

2

若 A 、 B 獨立獨立

1

3

( ) ( ) ( ) ( )A AB BP P A BP P

( ) ( ) ( ) ( )A AB BP P A BP P

2(

1)P A

3(

1)P B

( )P A B

1

32)

1(A BP

若 A 、 B 不獨立

本段結束本段結束

二、二獨立事件二、二獨立事件1. 兩事件的獨立：

A P AB P BP 時，

(1) BA 、 為獨立事件

(2) A 、 必為獨立事件。

|

|

P B P

P AB BP

A A 。

0P A AP P P 。

0P PA B AP P B 。

當兩事件 A 與 B 滿足

稱 A 與 B 為 獨立事件獨立事件，否則稱為相關事件。

(3) 若 A 與 B 均為非空事件，且 A 、 B 為互斥事件 ( AB = ) ，

則 A 、 B 為相關事件。

本段結束本段結束

1 1( ) ( ) ( )

2 3P A P B P A B 已知 ， ，求 。

( ) ( ) ( ) ( )P P PA B A B BAP

( ) ( ) ( ) ( )P P PA BAB P

1 1

3 3

1 1

2 2

2. 範例：設 A ， B 為樣本空間 S 中的兩獨立事件，

解：

2

3 。

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

(1) ( ) 1P A B (2) ( ) 0.2P A B (3) ( | ) 1P A B

(4) ( | ) ( | )P A B P B A

(1)(2) ( )) ( )(A P AP P AB P B B

( ) 0.2BP A

( )(3) (

()

)

P BB

B

AP

PA

( )(4) (

()

)

P BB

B

AP

PA

解：

(5) A , B 是獨立事件

馬上練習 . 符號 P(C) 代表事件 C 發生的機率，符號 P(CD) 代表在事件 D 發生的條件下，事件 C 發生的機率。

已知 P(A) = P(B) = 0.6 。請選出正確的選項。今設 A , B 為樣本空間中的兩個事件，

0.66 )0. (P BA

1P A B 。

( )

0.6

P BA 。

( )

( )

BP

AP

A

( )

0.6

BP A ( )P B A 。

(5) , BA 為獨立事件

故選 故選 (4)(4) 。。(( ) ( ))A PP AB P B

= 0.36 。

<100 數乙 >

= 0.6 0.6

＃＃

A AA BB

( )P A P A BP A B

( ) P AA B BP P A

( )( )) (P AP A P B

( ) 1 ( )P A P B

( ) ( )P A P B

AB

BA

AB

3. 獨立事件的性質：當事件 A 與 B 為獨立事件時，則事件 A 與 BB'' 也是獨立事件。

證明：

以及事件 A' 與 BB'' 也都是獨立事件。

同理，事件 A' 與 B ，A

A'

B'Ba

b

1yx

ay

bybx

ax

To be continued To be continued 範 例範 例

1 1

4 3

各為 ， ，

(1) ( ) ( ) ( )P P P 甲 乙 甲 乙 1(1 )

4

1(1 )

3

(2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P P P P P P 乙 乙 甲乙甲甲 甲 乙

2

3

1 1

4 3

3

4

1 ( ) 1 ( ) ( )P P P 甲 乙所 甲 乙求3

123

4

1 11

2 2 。

2

3

1

2

3

4 。

5

12 。

範例：甲，乙二人射擊同一靶，設甲，乙射擊的命中率

且兩人命中靶面的事件為獨立事件。今兩人各射擊 1 發，求

(1) 兩人都沒打中的機率。 (2) 靶面恰中 1 發的機率。

解：

馬上練習 . 承上例，靶面至少中一發的機率是多少？

解：＃＃

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

都沒有命中都沒有命中

2

3全公司有 為男性員工，

1

4 全公司的 ，

1

6 全公司的 。

1

6

2

3

1

4To be continued To be continued 詳 解詳 解

合計乙甲

男

女

1合計

4. 範例：某公司分成甲、乙兩部門，主管查閱兩部門人事資料

得知：甲部門的員工占

且甲部門的男性員工占

(1) 甲部門聘用的員工

(2) 乙部門的女員工

是否與性別有關 ?

占全公司的幾分之幾 ?

1

61

22

3

1

121

41

3

1

4

3

4

((1) ( )

( )

PP

P甲部門 )男生

甲男 甲

4

16

1

2( )

3P 男 又 ，

(2) 獨立事件

1( )

4P 故 女 乙 。

1 1 1

6 2 2( )

1P 乙 女

(1) 甲部門聘用的員工是否與性別有關 ?

(2) 乙部門的女員工占全公司的幾分之幾 ?

解：

所以聘用與性別為獨立事件。

合計乙甲

1合計

女

男2

3 ，

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

A

A'

B'Ba

b

1yx

ay

bybx

ax

4 18 40

4 18

x

x

y

y

18

72

x

x

y

y

12

6 2

6

1

y y

x x

或 2

6

1

x

y

男 (因 生較少)。

馬上練習 . 學校某社團社員共 40 人，年級別與性別的雙向表如下，

已知年級別與性別獨立，而且二年級女生人數比一年級發現其中部分汙損，以致於不知道人數。

男生人數多，求一年級男生與二年級女生各有多少人 ?

故男生有 6 人，女生有 12 人。

解：二年級一年級

男

女 y

18x

4

＃＃

三、三獨立事件三、三獨立事件

(1) AP PAB BP ，

(2) B C P CP BP A P A 。

A P AC P CP 。

B P BC P CP ，

1. 三事件的獨立：對任意三事件 A ， B ， C ，當下列條件均成立時，稱 A ， B ， C 事件獨立。

注意：當 A 、 B 、 C 為獨立事件時，

則 A 、 B 、 C 為獨立事件 ；

A 、 B 、 C 為獨立事件。

A 、 B 、 C 為獨立事件。本段結束本段結束

(1) ( ) ( ) ( ) ( )P P P P 乙 乙甲丙甲 丙

(2) 1 ( )P 甲 乙 求 丙所

00.4 0.61 .5

0.50. 0.6 4

2. 範例：設甲、乙、丙三人獨立解出某問題的機率分為

0.6 ， 0.5 與 0.4 。且各人解題互不影響。則 (1) 三人都解出此問題的機率為多少？(2) 至少有一人解出此問題的機率為多少？

解：= 0.12 。

= 0.88 。

1 ( ) ( ) ( )P P P 乙 丙甲

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

都沒有解出都沒有解出

(1) 1 ( )P 甲 乙 求 丙所

00.8 0.81 .8

(2) 21 人有副作用 另 人， 無副作用

223 (0.2)(0.8)C 所求

馬上練習 . 已知病人對某種藥物會有副作用的機率為 0.2 。

今有 3 病人服用此藥，設 3 人是否有副作用為獨立事件，求 (1) 至少有一位病人有副作用的機率。

(2) 恰 1 人有副作用的機率。

解：

= 0.488 。

= 0.384 。

1 ( ) ( ) ( )P P P 乙 丙甲

＃＃

都沒有副作用都沒有副作用

2( ) ( ) ( ) 0.05 0.1 0.125BP P PA C

( ) ( ) ( ) 0.025P P P CA B

(2) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )B BC CPA AP P P 所求

0.75 0.0.8 051 .7 。

( ) ( ) ( ) 0.05P P PB BA A ( ) ( ) ( ) 0.1P P PCA CA ( ) ( ) ( ) 0.125P P PC CB B

( ) 0.2P A ( ) 0.25BP ( ) 0.5P C

解： (1)

(2) 此小時內至少有一台儀器需要照顧的機率 ?

(1) ABC 每台儀器在這小時內需要照顧的機率分別是多少 ?

的機率為 0.125 ，設 3 儀器是否須要照顧為獨立事件，求的機率為 0.05 ， AC 都需要照顧的機率為 0.1 ， BC 都需要照顧

3. 範例：某人操作 ABC 三台儀器，已知一小時內， AB 都需要照顧

＃＃

1 3 7

2 5 10分別為 ， ， ，

1 3 7 1 3 7

2 5 10 2 5 10

79

100 。

L R

A

C

B

4. 範例：右圖的電路圖中， A ， B ， C 三個電子開關接通的機率

= P(A)P(B) + P(C) P(A)P(B)P(C)

= P(AB) + P(C) P[ (AB) C ]

求 L 與 R 之間電路接通的機率。且各開關的操作獨立，

解： P( 電路接通 )

= P[ (AB) C ]

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

2( )5

5

1000n

log 2 log5 log5 log1000n

log 2 1 log 2 1 log 2 3n

2.301

0.398n 5. 。

(0.4)1 0.995n

5. 範例：設某陣地發射高射砲射擊飛機時，每門砲的命中率都是 0.6 ，現在要同時獨立的發射 n 門砲彈射擊陣地附近的飛機，欲使命中的機率超過 0.995 ，至少要發射幾門砲彈 ?

解：有命中 = 全 均沒中

故所求為 6 。

本 節 結 束本 節 結 束

To be continued To be continued 注 意注 意

(1) 0f

(2) 0f

總複習 第九章 結束總複習 第九章 結束

To be continued To be continued 範 例範 例

結 束結 束

離 開離 開

＃＃

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !本段結束本段結束

23