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Asesorıa de Algebra Prof. Carlos Torres

Repaso I

Solucionario

1. Simplifique55.15.486.352

210.66.107.49

a) 30 b) 10 c) 50d) 4 e) 40

Resolucion:

En este problema aplicaremos las leyes de expo-nentes para descomponer las bases de las poten-cias, ası:

55.3.5.36.26.218.72.52

210.36.26.27.57.72

Luego, cancelamos los factores equivalentes:

��55.3.5.��3

6.��26.��2

18.��72.��5

2

��210.��3

6.��26.��2

7.��57.��7

2= 3.5.2 = 30

Clave a

2. Si a es una cero del polinomio:

P(x) = x2 − 12x+ 35

donde a, 3a + 3 y 3a + 4 son las medidas de loslados un triangulo rectangulo. Halle el valor queasume a

a) 7 b) 3 c) 5d) -7 e) -5

Resolucion:

Como a es un cero del polinomio P(x), hallamosdichas ceros, tambien denominados raıces. Paraesto factorizamos el polinomio utilizando el aspasimple.

P(x) = x2 − 12x+ 35

= (x− 7) (x− 5) = 0

De lo ultimo las raıces seran x1 = 7 y x2 = 5.Entonces, los posibles valores de a son 7 y 5.Ahora, hallamos las supuestas medidas del

triangulo sustituyendo los valores de a en: a,3a+ 3 y 3a+ 4.

Si a = 7 ⇒ 7, 24, 25. (1)

Si a = 5 ⇒ 5, 18, 19. (2)

Ahora para (1) verificamos si el triangulo existe,aplicando la prueba de existencia de un triangu-lo.

25− 24 < 7 < 24 + 25 → 1 < 7 < 49

24− 7 < 25 < 24 + 7 → 17 < 25 < 31

25− 7 < 24 < 25 + 7 → 18 < 24 < 32

Se observa que verifica la existencia del triangu-lo.Lo mismo hacemos para (2):

19− 18 < 5 < 19 + 18 → 1 < 5 < 37

19− 5 < 18 < 19 + 5 → 14 < 18 < 24

18− 5 < 19 < 18 + 5 → 13 < 19 < 23

Se observa que tambien verifica la existencia deltriangulo.En consecuencia, los valores que puede asumir ason 7 y 5.

Clave a y b

3. Si en la ecuacion:

x (x− 1)− (m− 1)

(x− 1) (m− 1)=

x

m

las raıces son iguales. Halle el valor de m.

a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4d) 1/3 e) 1/2

Resolucion:

Multiplicando en aspa, hallamos el equivalentede la ecuacion:

x (x− 1)− (m− 1)

(x− 1) (m− 1)=

x

m→ x2−x−m2+m = 0

Luego, como las raıces de la ecuacion son realese iguales el discriminate ∆ = 0, es decir:

∆ = (−1)2−4 (1)(

−m2 +m)

= 4m2+4m+1 = 0

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De donde hallamos el valor de m:

4m2 + 4m+ 1 = 0 → (2m+ 1)2 = 0 → m = −1

2

Finalmente, para que la ecuacion tenga raıces

reales, el valor de m = −1

2

Clave No hay clave

4. Hallar la menor raız de la ecuacion en x:

(a− 2)x2 − (2a− 1)x = 1− a

sabiendo que su discriminante es 25.

a) 3/4 b) 1/2 c) 1/4d) 1/5 e) 1/6

Resolucion:

La ecuacion equivale a :

(a− 2)x2 − (2a− 1)x+ a− 1 = 0

De donde se define su discriminante como:

∆ = (2a− 1)2 − 4 (a− 2) (a− 1)

=��4a2 − 4a+ 1���−4a2 + 12a− 8

= 8a− 7

Ahora, por dato el discriminante de la ecuaciones 25. Entonces:

∆ = 8a− 7 = 25 → a = 4

Sustituimos este valor en la ecuacion original:

(a− 2)x2−(2a− 1)x+a−1 = 0 → 2x2−7x+3 = 0

Esta ultima ecuacion se resuelva factorizando, es-to es:

2x2 − 7x+ 3 = 0

(2x− 1) (x− 3) = 0

Luego el las raıces de la ecuacion son: x1 =1

2y

x1 = 3, de donde la menor raız es1

2.

Clave b

5. Dado la ecuacion x2 − 2(cosα)x+1 = 0, admiti-mos que r es una de sus raıces, donde

r6 +1

r6= 2

En estas condiciones, cual de los valores abajomencionados puede ser asumido por α.

a)5π

3b)

π

6c)

5π

6

d)π

12e)

7π

12

Resolucion:

Como r es solucion de la ecuacion, evaluamosx = r:

x2 − 2(cosα)x+ 1 = r2 − 2(cosα)r + 1 = 0

de donde:

r2 − 2(cosα)r + 1 = 0 → r2 + 1 = 2(cosα)r

Dividiendo por r a ambos miembros de la igual-dad, se obtiene:

r +1

r= 2cosα

De lo anterior, formamos la expresion r3 +1

r3,

para tal fin, elevamos al cubo a ambos miembrosde la igualdad, es decir:

(

r +1

r

)3

= (2cosα)3 (3)

r3 +1

r3+ 3

(

r +1

r

)

= 8 cos3 α (4)

r3 +1

r3+ 3 (2 cosα) = 8 cos3 α (5)

r3 +1

r3= 8 cos3 α− 6 cosα (6)

Por otro lado, por dato sabemos que:

r6 +1

r6= 2

sumando 2 a cada miembro de la igualdad, seobtiene:

r6 + 2 +1

r6= 2 + 2 →

(

r3 +1

r3

)2

= 4

Ahora por (6), la expresion equivale a:(

r3 +1

r3

)2

=(

8 cos3 α− 6 cosα)2

= 4

Luego:(

8 cos3 α− 6 cosα)2

= 4

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que a su vez equivale a:

(

2.4 cos3 α− 2.3 cosα)2

= 4

4(

4 cos3 α− 3 cosα)2

= 4

Entonces:

�4(

4 cos3 α− 3 cosα)2

= �4(

4 cos3 α− 3 cosα)2

= 1

Ahora, de las alternativas, evaluamos el cosαpara cada una de las alternativas que cumpla lacondicion anterior.Finalmente la unica alternativa que lo verifica es

α =5π

3, ya que:

cos

(

5π

3

)

= cos(

2π − π

3

)

= cos5π

3=

1

2

que verifica la igualdad:

(

4 cos3 α− 3 cosα)2

=

(

4

(

1

2

)3

− 3

(

1

2

)

)2

=

(

1

2− 3

2

)2

= 1

Clave a

6. El valor absoluto de la suma de las menores raıcesde la ecuacion

x2 +1

x2+ x+

1

x= 4

es:

a) 2 b) 3 c) 4

d)4−

√3

2e) 6

Resolucion:

De la ecuacion,completamos cuadrados:

x2 +1

x2+ x+

1

x= 4

x2 + 2 +1

x2+

(

x+1

x2

)

− 6 = 0

(

x+1

x

)2

+

(

x+1

x

)

− 6 = 0

Hacemos un cambio de variable, a = x+1

x, luego

la ecuacion equivale a:

a2 + a− 6 = 0

que resolviendo por factorizacion

a2 + a− 6 = 0 → (a+ 3) (a− 2) = 0

de donde las soluciones de la ecuacion son a1 =−3 y a2 = 2.Luego, reemplanzado la variable original:

x+1

x= −3 (7)

x+1

x= 2 (8)

Resolviendo para (1) por formula general:

x+1

x= −3 → x2 + 3x+ 1 = 0

x1;2 = −3

2±

√5

2

Resolviendo para (2) por factorizacion:

x+1

x= 2 → x2 − 2x+ 1 = 0

(x− 1)2 = 0 → x = 1

Entonces, analizando las soluciones se observaque las menores soluciones de la ecuacion son:

x1 = −3

2+

√5

2(9)

x2 = −3

2−

√5

2(10)

Luego, tomando valores absolutos y sumandoobtenemos:

|x1|+ |x2| =∣

∣

∣

∣

∣

−3

2+

√5

2

∣

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

−3

2−

√5

2

∣

∣

∣

∣

∣

=3

2+

√5

2+

3

2−

√5

2= 3

∴ |x1|+ |x2| = 3.

Clave b

7. Determine todos los valores de m de manera quelas raıces de la ecuacion:

x2 − 2mx+m2 − 1 = 0

tenga una raız menor que 2 y otra mayor que 2.

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a) < −1; 2 > b) < 0; 3 > c) < 1; 3 >

d) [3;∞ e) < 3; 10 >

Resolucion:

La ecuacion reducida por factorizacion equivalea:

x2−2mx+m2−1 = 0 → (x− (m+ 1)) (x− (m− 1)) = 0

Las raıces seran:

x1 = m+ 1 ∧ x2 = m− 1

Por condicion, x2 < 2 y x1 > 2, que se reduce a:

m− 1 < 2 ∧m+ 1 > 2 → m < 3 ∧m > 1

Luego, se desprende que:

1 < m < 3

∴ m ∈ 〈1; 3〉.

Clave c

8. Determine el valor de k

(2k + 2)x2 + (4− 4k)x+ k − 2 = 0

sabiendo que las raıces de la ecuacion son recıpro-cas.

a) 5 b) 82/9 c) 10d) 13 e) 15

Resolucion:

Recordemos que para la ecuacion

ax2 + bx+ c = 0

de raıces recıprocas se cumple que c = a. Luego,en el problema:

k − 2

2k + 2= 1 → k − 2 = 2x+ 2 → k = −4

∴ k = −4

Clave b

9. Senale el numero de enunciados incorrectos en:

I. x2 −√2x + π = 0 presenta raıces imaginarias

y conjugadas.

II. 3x2 −√2x − π = 0 presenta raıces reales y

diferentes.

III. x2 − 2x + 2√2 = 0 presenta raıces reales e

iguales.

IV. x(x+1)−x−3 = 0 presenta raıces simetricas.

a) 3 b) 0 c) 1d) 2 e) 4

Resolucion:

Para la enunciado I analizamos sudiscriminante (∆):

√22 − 4 (1) (π) = 0 → ∆ = 2− 4π < 0

entonces le ecuacion presenta raıces imagi-narias y conjugadas.

Para el enunciado II tambien analizamos sudiscriminante (∆):

√22 − 4 (3) (−π) = 2 + 12π > 0

entonces la ecuacion presenta raıces realesy diferentes.

Para el enunciado III analizamos sudiscriminante (∆)

(−2)2 − 4 (1)(

2√2)

= 4− 8√2 < 0

donde la ecuacion NO presenta raıces realese iguales.

Para el enunciado IV resolvemos laecuacion:

x(x+ 1)− x− 3 = 0 → x2 +�x−�x− 3 = 0

x2 + 0x− 3 = 0 → x2 − 3 = 0

de donde las raıces son simetricas ya que lasuma de sus raıces es 0.

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