1. Algebra Teo-pract-Toda La Materia

8/18/2019 1. Algebra Teo-pract-Toda La Materia

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Modalidad Tutorial a Distancia

Á lgebra

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Departamento de Ciencias Exactas

Materia: Álgebra

Tutor de Materia: Licenciada Nancy Stanecka

Tutor de Carrera:

Director de Departamento: Ingeniero Mario Marí n


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1- Datos del Tutor

· Licenciada en Matemática egresada de la Universidad Nacional Córdoba.

· Profesora Programática de Álgebra en la Universidad Empresarial Siglo 21.

· Profesora de Seminarios en Álgebra, Estadística I y Matemática en la Universidad

Empresarial Siglo 21.

· Docente de Introducción a la Matemática, Matemática I e Investigación Operativa en la

Facultad de Ciencias Económicas de la U. N. C.

· Tesista del Magister de Estadística Aplicada de la U. N. C.


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2- Carta al alumno

Estimado alumno,

Como docente tutor de la modalidad a distancia me es muy grato darle la bienvenida a esta

Asignatura.

Quiz á s se pregunte ¿ Por qué Á lgebra.?

Á lgebra es una materia bá sica, herramental y a la vez formativa. La incorporación de esta

asignatura en la carrera, que Ud. ha elegido, tiene como objetivo contribuir a la formación matemática

bá sica de un estudiante universitario, es decir que, a travé s del conocimiento de elementos del Á lgebra Lineal se pretende brindar parte del marco teórico- pr áctico necesario para acceder a distintos conceptos,

t écnicas y métodos que se desarrollar án en materias subsiguientes. Ademá s, la experiencia nos indica que laejercitación, la correcta formalización l ó gico-simbólica de las ideas y la transferencia de los contenidosteóricos a situaciones problemáticas constituyen parte de la labor indispensable que se requiere para lograr cierta ductilidad en el manejo algebraico pero lo má s importante es que estos aspectos contribuyen al

desarrollo estructural, l ó gico y cr í tico de cualquier estudiante en formación.

Se pretende no sólo que acumule conceptos y t écnicas de cálculo, sino también se aprenda ainterrelacionar contenidos y en eso deseamos que se ponga el má ximo empeño.

La educación a distancia es una modalidad de estudio seguramente diferente a la que Ud. ha

desarrollado hasta hoy, pero igualmente efectiva cuando hay esfuerzo, tiempo y dedicaci ón. Es importante

tener presente que cada uno de nosotros sigue un recorrido propio en esto de aprender, y por lo tantonuestros tiempos de comprensión, desarrollo y asimilación también son distintos. Sin embargo en esta

propuesta no estar á solo, tendr á el apoyo de permanente de tutores y Directores de Carrera que lo apoyar án

y lo guiar án.

Para orientar su aprendizaje cuenta con la Guí a de la Asignatura, la cual contiene introducción acada una de las unidades , contenidos, objetivos, sugerencias bibliogr á ficas, organigrama de estudio,

palabras claves, etc. pero ademá s existen las actividades tutoriales y los foros de participación donde podr á

efectuar consultas o subsanar dudas. .

Comienza hoy una nueva etapa, es un nuevo desaf í o, una especie de viaje. En este viaje el lugar dedestino lo eligió Ud. , pero como en todo viaje puede que la ruta no sea del todo predecible. Seguramente

tendr á una valija de ilusiones pero también una gran cantidad de preguntas y dudas.¡ No se preocupe!estaremos muy cerca suyo, a la distancia, para ayudarlo a transitar ese camino, algunas veces recto, otras

sinuoso, con trayectos que requerir án má s esfuerzo que otros, pero con su dedicación y nuestro apoyo

arribar á a la meta final.

Por todo ello sólo me resta pedirle que nos exija y se exija mucho esfuerzo.

É xitos y comencemos.

Su tutor.


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3- Introducción General de la Asignatura

Como se estableció al comienzo Álgebra es una materia básica, herramental y a la vez formativa.

Básica porque contiene elementos matemáticos simples, que deben ser de conocimiento del futuro

profesional. Herramental pues sirve como conocimiento previo a diferentes métodos y técnicas, y es por si

sola una elemento importante en la esquematización de la toma de decisiones. Finalmente formativa porque

es una de las primeras asignaturas que permite el desarrollo, la transferencia y la interrelaci ón de contenidos,

lógicos, simbólicos y conceptuales.

El tema central es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de una simple

pero potente herramienta denominada “Matriz”, no obstante también se incorporarán elementos que nos

permitan resolver inecuaciones. Así el estudio comenzará con un repaso de sistemas de ecuaciones y de los

métodos de resolución elementales vistos en el colegio secundario, pero poniendo especial énfasis en la

interpretación gráfica y en planteos de distinta índole. A continuación se abordará un estudio exhaustivo de

matrices y vectores que nos permitirá presentar el método de resolución más utilizado y de mayor potencial

matemá

ticamente hablando, el mé

todo de Gauss-Jordan. Finalmente aprovechando el reconocimiento grá

ficode la solución a las ecuaciones introducimos la resolución de inecuaciones, punto de partida para los

problemas de Optimización Lineal, uno de los temas más importantes en la toma de decisiones y que también

requiere del Método de Gauss-Jordan , como se verá en otra materia de la carrera.

A lo largo de la guía encontrará distintos tipos de ejercicios, problemas, preguntas, frases

incompletas, etc. que complementan los contenidos teóricos, interrelacionan conceptos y rescatan

conclusiones, elementos que le servirán para lograr el conocimiento.

Para lograr nuestro objetivo, encontrará en cada unidad una lista de conceptos claves que servirán

para introducirnos en el vocabulario de la matemática y más específicamente del Álgebra, ya que es

indispensable el manejo de la terminología pues de ello depende en gran medida la interpretación de las

consignas y por ende la comprensión de los ítems que constituyen la evaluación.

Cada unidad posee su esquema conceptual que le permite tener una visión anticipadora del

contenido a tratar, como así también revisar el grado de esclarecimiento alcanzado luego del estudio.

Cuenta, además, con actividades sugeridas que reforzarán su conocimiento y actividades obligatorias

que facilitarán su evaluación. Para el logro de lo planteado le recomendamos respetar los tiempos dededicación personal requeridos para la formación interna de los conceptos básicos, realizando las actividades

en la oportunidad que son planteadas.


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4- Objetivo General del Aprendizaje

En primer lugar, que el alumno conozca los elementos básicos del Álgebra lineal como herramental para

otras materias posteriores y en particular los utilice en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. En

segundo lugar, que se familiarice con la visualización gráfica de ecuaciones e inecuaciones, como punto de

partida para la resolución de problemas de optimización lineal.


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Objetivos Particulares

q Profundizar el conocimiento de los métodos elementales de resolución de sistemas de ecuaciones linealesy sus aplicaciones;

q Lograr ductilidad en la operatoria matricial y vectorial;

q Rescatar conceptos importantes vinculados a las matrices tales como determinante, rango y matriz

inversa.

q Aplicar el álgebra lineal en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales;

q Desarrollar habilidades para el planteo y la solución de problemas cuya estructura responde a un sistema

de ecuaciones lineales.

q Reconocer el valor instrumental del Álgebra Lineal.

q Desarrollar habilidades para el planteo y la solución gráfica de problemas de optimización lineal con dos

variables.


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5- Esquema Conceptual General de la Asignatura

El siguiente esquema presenta los conceptos fundamentales y sus relaciones:

SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES. (Unidad 1)

MATRICES(Unidad 2)

DETERMINANTE

(Unidad 3)INVERSA

(Unidad 4)RANGO

(Unida

VECTORES

Unidad 2

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE

SISTEMAS DE ECUACIONES

(Unidad 6)

INECUACIONES

(Unidad 7)


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ÍNDICE DE CONTENIDOS

Unidad 1: ECUACIONES (8 hs.)

1.Ecuaciones: concepto, clasificación, solución.

2.Ecuación lineal con dos incógnitas, representación gráfica de las soluciones.

3.Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Concepto, solución gráfica. Clasificación.

4.Métodos de resolución convencionales.

5. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas.

6. Aplicaciones prácticas.

UNIDAD 2: MATRICES (8 hs.)

1- Matrices: Definición, matrices especiales.

2- La matriz como representación de un problema económico

3- Operaciones con matrices y sus propiedades.

4- Vectores. Concepto. Operaciones con vectores.

5- Dependencia e independencia lineal de vectores.

UNIDAD 3: DETERMINANTES (6 hs. )

1- Definición de determinante de una matriz

2- Cálculo de determinantes. Regla de Sarrus

3- Propiedades. Aplicaciones

UNIDAD 4: MATRIZ INVERSA (8 hs.)

1- Matriz inversa: Definición y Propiedades.

2- Operaciones elementales. Matrices elementales. Propiedad fundamental.

3- Matrices equivalentes.

4- Matriz escalonada y matriz reducida.5- Cálculo de la inversa de una matriz. Método de Jordan.

UNIDAD 5:RANGO DE UNA MATRIZ (6 hs. Cátedra)

1- Rango de una matriz: Definición.

2- Propiedades.

3- Cálculo del rango matricial

UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (10 hs )

1- Sistemas Lineales: Sistemas homogéneos y no homogéneos.

2- Soluciones de un sistema lineal.

3- Teorema de Equivalencia.4- Teorema de ROUCHE-FROBENIUS.

5- Resolución de sistemas. Método de GAUSS-JORDAN.

6- Otros métodos de resolución: Método de la Inversa. Regla de Cramer.


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UNIDAD 7: INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL (10 hs )

1- Inecuaciones con una incógnita: concepto, solución gráfica.

2- Inecuaciones con dos incógnitas: concepto, solución gráfica.

3- Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución gráfica.

4- Optimización lineal. Características del problema de Programación Lineal. Método gráfico.

5- Aplicaciones.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: 1. CHECA J.C.; “Álgebra Lineal para economía y administración’; Ed.;

BIBLIOGRAF Í A AMPLIATORIA:

1. ANTON H. ; ”Introducción al Álgebra Lineal” ; Ed. Limusa; 1998.

2. AYRE F. “Matrices- Teoría y Problemas”. Ed. Mc Graw Hill. 1969.

3. GROSSMAN S. I. “Álgebra Lineal”. Ed. Mc Graw Hill.4. KLEIMAN A.: “Matrices” Ed. Limusa. 1995.


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7- Importancia de la Bibliograf í a

La bibliograf ía principal es el libro ‘ALGEBRA LINEAL PARA ECONOMÍA Y

ADMINISTRACIÓN’; 1 ª EDICIÓN; DE JUAN CARLOS CHECA.De este texto se estudiará parte de los temas que se presentan desde el Capítulo 2 al Capítulo 7

(ambos incluidos) . El mismo cubre gran parte de la materia, aunque no la contempla en su totalidad.

Efectivamente la Unidad 1 (Ecuaciones) no es tema de estudio en este texto y la unidad 7 del programa

(Optimización Lineal), se analiza parcialmente en el capítulo 7 del libro, por estos motivos será necesario

complementar esta bibliograf ía básica con alguno de los textos de la bibliograf ía ampliatoria ó con el material

elaborado a tal efecto que se encuentra en la página virtual.

Cabe aclarar que del temario del texto básico, rescataremos los puntos y métodos que serán de

nuestro interés, así si un punto figura en texto pero no es explicitado en el programa ó sugerido en la guía de

apoyo, es porque el mismo no será susceptible de evaluación.


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8- Orientación General del Aprendizaje

Esta asignatura deberá cubrir las nociones elementales del Álgebra matricial que le permita el

desarrollo adecuado de otros temas que estudiará en su carrera.Comenzamos con ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales con un triple enfoque algebraico,

gráfico y aplicado, rescatando métodos y técnicas conocidas por los estudiantes. Es importante que en

esta instancia logre superar las dificultades que implica despejar incógnitas, establecer la relación entre

un sistema de ecuaciones y su visualización gráfica, cuando ello sea posible, y finalmente aprender a

plantear los problemas. Este último ítem es quizá el mayor desaf ío de la Unidad 1, ya que no es algo

estructurado, no se puede estandarizar, plantear ecuaciones en cierta forma es un arte.

En la unidad siguiente nos encontramos con temas como matrices y vectores donde las definiciones,

las propiedades y las reglas de trabajo son claras y precisas. En esta etapa es necesario familiarizarse con

la simbología respetando dentro de lo posible formatos, tipo de letras, subíndices, etc. ya que ellos hacen

al lenguaje matemático universalmente aceptado.

Las unidades 3, 4 y 5 hacen a características propias de las matrices. El cálculo de determinante no

ofrece grandes dificultades, pero la determinación de la matriz inversa y del rango matricial requieren del

uso de las llamadas Operaciones elementales por filas, constituyendo la aplicació

n de las mismas unatécnica sencilla, que debe ser practicada hasta lograr cierta habilidad .

Con todos estos elementos bien firmes arribamos a la unidad 6 donde implementamos las

herramientas estudiadas con el objetivo de resolver sistemas de ecuaciones a través de métodos

estructurados, como lo son el Método de Gauss-Jordan, el Método de la Inversa y la regla de Cramer. De

estos tres métodos el de mayor aplicabilidad es el primero. En este cap ítulo podrá interrelacionar distintos

conceptos, analizar situaciones particulares que surgen de la forma matricial de los sistemas e inferir

conclusiones basadas en estos nuevos conocimientos algebraicos.

Finalmente el contenido de la unidad 7 pretende ser una introducción a uno de los problemas que

plantea la toma de decisiones, que se conoce con el nombre de Optimización o Programación Lineal, En

este caso nos referimos al problema desde una visión gráfica, apoyados en el conocimiento de

inecuaciones lineales y de la ecuación de la recta. Posiblemente por ser la última unidad es un tema que

ofrece alguna dificultad, es por ello importante , darle el tiempo y la dedicación que el mismo requiere.

Con esta información, se ha pretendido dar una breve reseña de los contenidos y orientación de la

asignatura.Por último, y antes de avanzar sobre los tiempos de esta orientación. digamos que en todo el proceso de

aprendizaje de esta asignatura habrá que tener en cuenta lo siguiente:

“El manejo algebraico se logra haciendo, pero previo al “hacer” hay que saber “como” hacerlo. Es decir, que

es indispensable tener conceptos claros para poder aplicarlos, por ello el conocimiento teórico es tan

importante como la destreza en el cálculo y el análisis de los resultados ó conclusiones.”


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9- Cronograma

Este recurso le brinda una ponderación porcentual aproximada de los tiempos necesarios para realizar el aprendizaje de cada unidad y resolver algunas de las actividades propuestas en

cada una de ellas, no obstante el reafirmar conceptos, revisar cálculos y realizar má s ejercitación posiblemente le demande tiempo adicional.

Unidad Nombre

Porcentaje de

Tiempo

Estimado (hs.)

Tiempo

Estimado

1 ECUACIONES 17 %10 hs

2 MATRICES 13 %

8 hs

3 DETERMINANTE 10 %6 hs

4 MATRIZ INVERSA 13%8 hs

5 RANGO 13%8 hs

6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 17 %10 hs

7 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN

LINEAL

17 %10hs

EXAMEN FINAL


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UNIDAD 1 : Ecuaciones

1- IntroducciónEste capítulo sirve de repaso ó revisión de una de las herramientas más importante de la Matemática,

la ecuación. Cualquiera sea la rama de la ciencia que se estudie, una palabra se incorpora de manera sutil, la

palabra “incógnita”. Cuando en un problema concreto, que contiene incógnitas, se pueda describir

algebraicamente la situación a través de lo que llamamos ecuación, será necesario aplicar las técnicas de

resolución de las mismas que nos permitan dar respuesta a esos problemas. En tal sentido veremos algunos de

los muchos modos de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales, sin embargo, en esta unidad elmayor empeño se pondrá en el planteo de problemas.

2- Objetivo General

Afianzar la mecánica y los métodos conocidos de resolución de ecuaciones, como así también su

interpretación gráfica y lograr ductilidad en el planteo de problemas que involucren ecuaciones.

3- Objetivos particulares

Al finalizar esta unidad usted será capaz de:

§ Resolver sistemas de ecuaciones por los métodos convencionales.

§ Interpretar gráficamente sistemas de ecuaciones lineales con una y dos incógnitas.

§ Diferenciar entre incógnitas y datos en un problema.

§ Traducir un problema que involucre incógnitas al lenguaje algebraico, es decir, generar las ecuaciones,

a partir de un caso cuando esto sea factible.


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4- Orientación del Aprendizaje: Esquema Conceptual de la Unidad 1

Observe este esquema, lo ayudará a entender la relación entre los contenidos principales a tratar en

esta unidad como así también muestra la conexión y orden lógico de tratamiento.

5- Claves de Autoaprendizaje

Resulta importante que al final de esta unidad sea capaz de definir con sus propias palabras los

siguientes conceptos:

· Ecuación

· Incógnita

· Ecuación Lineal

· Sistema de Ecuaciones Lineales.

· Solución

· Sistema compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible.

También es necesario que demuestre destreza en:

· La resolución de ecuaciones lineales con una incógnita.

· La resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas.

· Reconocer gráficamente la solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

· El planteo de problemas de aplicación.

ECUACIONES

Ecuaciones lineales

con una incógnita

Ecuación lineal con

dos incógnitas

Sistemas de

ecuaciones

lineales

Planteo de

problemas

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN:

-Por sustitución

-Por igualación

Solución gráfica y

analítica


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6- Claves de Autoevaluación.

Luego de consultar la bibliograf ía y el material adicional si resuelve los siguientes ejercicios, se considera

que ha concluido el aprendizaje de los contenidos de la Unidad 1 exitosamente

1) Responda:

a) ¿ A qué se denomina ecuación?b) ¿Qué tipo de ecuaciones conoce?c) ¿Cuándo se dice que una ecuación es lineal?

d) ¿ A qué se denomina solución en una ecuación?e) ¿ En qué casos se dice que un sistema es compatible determinado, compatible indeterminado e

incompatible respectivamente?

2) Complete:

a) La solución a la ecuación2

42

3

1 +=+

- x xes x= ...........

b) Despejando adecuadamente la incó gnita y de la siguiente ecuación2

234

2

52 +=+

+ x y se obtiene

y = ...................

c) Si se tienen dos ecuaciones lineales con dos incó gnitas cuya visualización gr á fica consiste de dos rectas

de distinta inclinación ó pendiente, entonces podemos estar seguros de que el sistema es.........................................

d) Si se tienen dos ecuaciones lineales con dos incó gnitas cuya visualización gr á fica consiste de dos rectas

coincidentes, entonces podemos estar seguros de que el sistema es .........................................

e) Si se tienen dos ecuaciones lineales con dos incó gnitas cuya visualización gr á fica consiste de dos rectas

paralelas, entonces podemos estar seguros de que el sistema es .........................................

f) La solución del sistema

2 x – 3 y = 0

x + y = 0 es .................................

g) La solución del sistema

4 x – 2 y = 22 x – y = 1 es .................................

h) La solución del sistema

3 x – 2 y = 12 x + 3 y = 1 es .................................


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i) El sistema

3 x – 2 = y – 6 x + 3 y = 1 es .................................

j) La solución del sistema

x – 2 y = z 2 x + 3 y – z = 6

-x + y +3 z = -3es .................................

3) Seleccione la alternativa correcta

3.1 ¿Cuál de las siguientes expresiones representa una ecuación lineal?

a) 2 x2 + y = 3 d) 5 x + y x = -1b) – 2 (x / y) + y = 2 e) 2(y/5) + 1 – x =3c) 5/x + 5/y = 1

3.2 El sistema

4 x – 2z = 4 y x – 3 + z = y tiene:

– x + y = 0

a) una única solución “ x = 0 ; y = 0 ; z = 0”b) una única solución “ x = – 1 ; y = – 1; z = 0”c) una única solución “ x = 1 ; y = 1; z = 3”

d) infinitas soluciones;e) ninguna solución;

3.3 Gr á ficamente el conjunto solución de la ecuación c x + d = y , siendo c y d constantes, es:

a) infinitos puntos en el plano que forman una recta;

b) un punto o infinitos puntos dependiendo de si el valor de c es 0 ó distinto de cero;

c) un punto en el plano;d) dos puntos en el plano;

e) el conjunto vací o;

3.4 El sistema

3 x – z = y x – y = 0

2 x + 2 y + 2 z = 0

tiene:

a) una única solución “ x = 1 ; y = 1; z = 0”b) una única solución “ x = 0 ; y = 0 ; z = 0”c) una única solución “ x = – 1 ; y = – 1; z = 0”d) infinitas soluciones;e) ninguna solución;


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3.5 Una viner í a gast ó $1.000 en la compra de vinos económicos y de buena calidad. Se logr ó así lacompra de un total de 395 botellas. Cada vino económico cost ó $2 y cada vino de buena calidad $5.Con esta información podemos asegurar que se compraron:

a) 250 vinos económicos y 145 vinos de buena calidad.b) 150 vinos económicos y 245 vinos de buena calidad.

c) 325 vinos económicos y 70 vinos de buena calidad.

d) 305 vinos económicos y 90 vinos de buena calidad.e) 200 vinos económicos y 195 vinos de buena calidad

3.6 Si X1 representa cantidad a producir de un producto I y X2 cantidad a producir de un producto II, y se impone que la cantidad a producir del II represente el 10% de la cantidad a producir del I,

entonces se puede afirmar que algebraicamente esto se expresa como:

a) X1 - 10 X2 = 0 d) X1 = X2 + 10

b) X1 = 10% X2 e) X1 - 0,10 X2 = 0

c) 0,10 X1 - X2 = 0


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UNIDAD 2 : Matrices

1- IntroducciónE n l a búsqueda de formas simples de describir situaciones matemáticas, económicas, f ísicas,

administrativas, etc. se encontró la estructura matricial, la que, siendo básicamente un arreglo rectangular de

números, ha permitido estructurar procesos de cálculo y a la vez hacerlos viables computacionalmente. En

esta unidad definiremos conceptos, implementaremos simbología y operatoria de trabajo ligadas a las

matrices y a los vectores para en capítulos subsiguientes rescatar aspectos relacionados con los mismos.

2- Objetivo General

· Lograr ductilidad en el cálculo matricial y vectorial, la operatoria

algebraica ligada a ellos.



§ Operar con matrices y vectores.

§ Considerar los distintos tipos de matrices.

§ Interpretar simbólicamente los elementos de una matriz o de un vector.

§ Analizar la dependencia ó independencia lineal de vectores.


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PROPIEDADES

MATRICES

VECTORES

Matrices especiales

Suma y producto

por un escalar

Multi licación Matricial

Combinación lineal de

vectores

Vectores

· Linealmente Independientes

· Linealmente Dependientes


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· Matriz

· Orden de una matriz

· Suma matricial, producto por un escalar, producto matricial

· Vector

· Independencia lineal


· Cálculos que involucren matrices y vectores.

· Aplicación de propiedades.

· Manejo simbólico.

· Determinación de la dependencia ó independencia Lineal de vectores




1) Responda:a) ¿ A qué se denomina matriz y orden de una matriz?b) ¿Qué tipo de matrices especiales conoce y como las definir í a en t érminos de los aij?c) ¿Cuáles son las operaciones matriciales que se definen y que propiedades tienen?

d) ¿Que se define como matriz transpuesta?

e) ¿ A qué se denomina vector de n componentes? f) ¿ En qué consiste una combinación lineal de vectores? g) ¿ En qué caso se dice que un conjunto de vectores es linealmente independiente?

2) Complete:

a) Para que dos matrices se puedan sumar es necesario que..............................................................

b) Para que dos matrices se puedan multiplicar es necesario que..............................................................

c) El producto matricial no goza de la propiedad .........................................

d) Si A, B y C son matrices la propiedad asociativa afirma que (A . B).C = ................

e) Si I es la matriz identidad A.I = ........

f) El elemento neutro de la suma de matrices es la matriz ...................

g) Si un conjunto de vectores contiene al vector nulo entonces el conjunto es linealmente .......................

h) Cualquier conjunto de 5 vectores de tres componentes es linealmente............................


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i) Todo subconjunto de un conjunto Linealmente Independiente de vectores es linealmente......................

j) Todo conjunto de vectores que posee un subconjunto L.D. es ....................................

3) Seleccione la alternativa correcta en cada caso:

1 -2 3 2 -2 -4

3.1 ¿Cuál debe ser el valor de k para que - =

-4 3 k 2 3 k 1

a) 1/3 b) 1 c) – 1/3 d) – 1 e) No existe valor de k para el cual se verifique la igualdad.

3.2 Dada la operación matricial

(2 Ai x j + B 4x k ) C2 x m = Dn x 7

¿qué valores deben tener i, j, k, m, n respectivamente para que la igualdad tenga sentido?

a) 4, 2, 2, 7, 4

b) 2, 2, 2, 7, 4

c) 4, 2, 2, 4, 7

d) 4, 4, 4, 7, 2

e) la igualdad nunca tiene sentido.

3.3 Si C es la matriz que resulta de efectuar el producto de las siguientes matrices:

1 2 0 1 1 0 0

1 -1 0 1 x -1 1 2 = C

1 3 3 -2 -1 4 1

0 1 -2

entonces el elemento c21 es:

a) 2 b) – 2 c) – 3 d) 3 e) 0

3.4 Si se tiene una matriz A cuyos elementos aij son iguales a cero para i > j entonces se puede asegurar quela matriz A es:

a) Triangular superior.

b) Diagonal.

c) Triangular inferior.

d) Igual a la Identidad

e) Todas las anteriores son incorrectas.

3.5 ¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores es L.I. (linealmente independiente)?

a) {(1 ,0 ,0 ) ; (0,1,0); (2 ,1 ,0 )}

b) {(1 ,2 , -1 ); (0 ,1 ,2 )}

c) {(1 ,1 ,0 ) ; (2 , -1, 1 ); (0 ,0 ,0 ) }

d) {(1 ,1); (2 ,1 ); (-5 , 4) }

e) {(0 ,0 , 0 )}


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3.6 ¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores es L.D. (linealmente dependiente)?

a) {(1 ,0 ,0 ) ; (0 ,1 ,0 ); (0,0 ,1 )}

b) {(1 ,2 , 0 ); (3 ,1 ,2 )}

c) {(1 ,1 ,0 ) ; (2 , -1, 1 ); (3 ,0 ,1 ) }

d) {(1 ,1); (2 ,1 )}

e) {(0 ,0 , 1 )}


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UNIDAD 3: Determinantes

1- Introducció

nEn esta unidad verá una de las características de las matrices más interesantes de las matricescuadradas, es decir, de aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas. Nuestro enfoque sobre

el tema, apuntará específicamente a aplicarlo en el cálculo de lo que llamamos matriz inversa y para resolver

sistemas de ecuaciones con igual cantidad de incógnitas que de ecuaciones.

Si bien el estudio de los determinantes en nuestro caso será básico, la profundidad y el grado de

aplicación que se le puede dar, sobre todo en desarrollos teóricos, justifica ampliamente que como alumno

universitario tenga conocimiento de su existencia.

2- Objetivo General

Conocer que para cada matriz cuadrada existe un único número asociado a ella que la caracterizamás allá de los valores particulares que la misma contenga.



· Calcular determinantes de matrices de orden 2 y de orden 3.

· Aplicar propiedades que le permitan obtener el determinante de matrices de mayor orden.

· Interrelacionar determinante de una matriz con la dependencia o independencia lineal de vectores.




CÁLCULO PROPIEDADES

MATRICES

APLICACIONES:

UNIDADES 4 Y 6

Determinante


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Al final de esta unidad, es necesario que Ud.:

· Sea capaz de definir con sus propias palabras el concepto de Determinante de una matriz.

· Demuestre destreza en el cálculo de determinantes de matrices de orden 2 y de orden 3.

· Utilice las propiedades de los determinantes para el cálculo de determinantes de matrices de mayor orden.




1) Exprese las f órmulas de cálculo del determinante para matrices de orden 2 y de orden 3.

2) ¿Cuándo una matriz se dice no singular ó regular?

3) Establezca en forma simbólica y en lenguaje usual las propiedades de los determinantes.

4) Encuentre el valor del determinante de la siguiente matriz.

3 1 5

A= -3 -1 0

2 2 1

5) Encuentre el valor del determinante de la siguiente matriz.

3 1 5

B= 0 -1 0

0 0 1

6) Siendo A y B las matrices de los ejercicios 4) y 5) respectivamente y aplicando propiedades , cuando ello se factible, encuentre el valor de los siguientes determinantes:

a) ÷ 2 A÷b) ÷ A + B÷c) ÷ - A÷d) ÷ 3 AB÷

7) Encuentre el valor de k para que el determinante de la siguiente matriz sea cero.

1 2 0

C = -2 1 4

1 k 3


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8) Si A y B son matrices de orden 3, tales que ÷A÷ =3 y ÷B÷=-1/3 , OBTENGA ÷ 2 AB÷ especifique las propiedades que aplica.

9) Aplicando propiedades , cuando ello sea factible, encuentre el valor de los determinantes de las siguientes matrices:

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

-=

0140

0111

0110

0123

A

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

-

-=

8220

0110

4110

0123

B

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

-=

0143

0100

0110

4000

C


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Á lgebra

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UNIDAD 4: Matriz Inversa

1- Introducció

nLa matriz inversa es otra herramienta matricial de aplicación en economía, estadística, f ísica etc. Sibien es posible obtener la matriz inversa a través del uso de determinantes, nosotros insistiremos en el método

de Jordan, introduciendo previamente lo que denominamos Operaciones elementales por filas, esto nos

permitirá lograr la habilidad de cálculo necesaria para abordar las unidades siguientes. La aplicación de

propiedades también será de interés.

2- Objetivo General

Reconocer la existencia de la matriz inversa, como un instrumento que será utilizado para la

resolución de sistemas de ecuaciones lineales.



· Establecer la existencia ó no de la matriz inversa a partir del cálculo de su determinante.

· Realizar operaciones elementales por filas sobre una matriz.

· Aplicar las operaciones elementales con el objetivo de encontrar la matriz inversa


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Á lgebra

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Observe este esquema, lo ayudará a entender la relación entre los contenidos principales a tratar en esta

unidad como así también muestra la conexión y orden lógico de tratamiento.


Resulta importante que al final de esta unidad sea capaz de definir adecuadamente los siguientes

conceptos:

· Operaciones elementales por filas.

· Matriz elemental

· Matriz Inversa

También es necesario que demuestre habilidad en:

· El cálculo de la matriz inversa a través del Método de Jordan.

· Aplicación de propiedades de la matriz inversa.

MATRICES

No sin ulares

APLICACIONES:

UNIDAD 6

Matriz inversa

Matrices

elementales

Operaciones

elementales por

CALCULO DE

LA INVERSA

PROPIEDADES

DE LA INVERSA


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1) Defina y y de la condición de existencia de la matriz inversa.

2) Enuncie y simbolice las propiedades de la matriz inversa.

3) Demuestre que si existe la matriz inversa entonces es única.

4) Explique y de un ejemplo de cada una de las posibles operaciones elementales por filas.

5) Defina matriz elemental por filas y enuncie su propiedad fundamental.

6) ¿Qué relación existe entre el determinante de una matriz no singular y el determinante de sucorrespondiente matriz inversa?. Demuestre.

1 -2

7) Obtenga la inversa de la matriz B =-1 4

8) Encuentre la matriz inversa de la siguiente matriz.

3 1 5

A= -3 -1 0

2 2 1

9) ¿Cuál debe ser el valor de” h” para que la siguiente matriz posea inversa?

2 4 0

C= -1 h 01 2 1

10) Siendo A, B y C matrices con A inversible, I la matriz identidad y k constante establezca la veracidad ó

falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) A .A’ = A’ . A

b) A . B = C è B = C . A-1

c) El determinante de una matriz inversible es siempre igual a 1.

d) El determinante de una matriz inversible es el orden de la matriz.

e) ( k A) -1= k A-1


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f) Si una matriz es no singular entonces es inversible.

g) I = A-1. A

h) La matriz inversa si existe es única.

i) Si A.B = I = B . A ===> B = A-1

j) (A + C). A-1

= I + C . A-1


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UNIDAD 5: Rango

1- IntroducciónEn esta Unidad se presenta otra característica matricial que permite analizar los sistemas de

ecuaciones Lineales “ el rango ”. Se introducen más conceptos ligados a estructuras matriciales como

matrices equivalentes por filas y matrices escalonadas , conceptos que se vinculan a temas vistos en unidades

anteriores tales como independencia lineal y operaciones elementales por filas. Finalmente seguimos

insistiendo en la aplicación de propiedades como un complemento en el desarrollo del tema.

2- Objetivo General

Lograr una conceptualización adecuada del rango de una matriz y establecer una técnica para su

cálculo.



· Calcular el rango de una matriz a partir del escalonamiento de la misma.

· Realizar operaciones elementales por filas sobre una matriz con objetivos determinados (escalonar y/ o

reducir una matriz).

· Aplicar propiedades de rango.


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· Matrices equivalentes por filas.

· Matriz escalonada por filas.

· Matriz reducida por filas

·

Rango de una matriz


· La generación de matrices equivalentes por filas.

· La obtención de matrices escalonadas.

· El reconocimiento de la matriz reducida escalonada de una matriz dada.

· El cálculo del rango de una matriz.

· Aplicación de las propiedades de rango.

Rango matricial

APLICACIONES:UNIDAD 6

Propiedades del

rango

Matrices Equivalentes

por filas

Operaciones

elementales por

fila

Matriz escalonada

por filas

CALCULO DEL

RANGO


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1) Establezca cuándo dos matrices se dicen equivalentes por filas.

2) Explique y de ejemplos de matrices reducidas escalonadas por filas

3) Defina rango de una matriz y enuncie sus propiedades.

4) Enuncie y simbolice las propiedades de rango de matrices.

1 -2 0

5) Obtenga el rango de la matriz B =-1 4 3

6) Encuentre la matriz reducida y escalonada por filas correspondientes a la siguiente matriz y determine

su el rango.

3 1 5 2 0 1

A= -3 -1 0 3 0 4

0 0 1 1 0 1

7) ¿Cuál debe ser el valor de” k ” para que la siguiente matriz tenga rango igual a uno?

2 4 0

C= -1 -2 0

1 2 k

8) Siendo A, B y C matrices con A inversible, I la matriz identidad y k constante establezca la veracidad ó

falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) r( A .B) = r(A).r(B)

b) r( A .B) = r(A) , si B es no singular.

c) Si r(A ) = r(C) y r( B) = r (C) è r(A) = r(B)

d) El rango de una matriz inversible de orden n es siempre igual a 1.

e) r( k A) = r(A) , si k es distinto de cero.

f) Si una matriz es de orden 3x5 su rango puede ser 4.

g) r(A + C) = r( A ) + r(C)


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h) El rango de una matriz es siempre menor o igual que el mí nimo entre el número de filas y el número decolumnas.


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UNIDAD 6: Sistemas de Ecuaciones Lineales

1- IntroducciónHemos llegado al capítulo en el cual deberá utilizar lo visto en las unidades anteriores. Con distintas

técnicas se pretenderá un único objetivo general: resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Los métodos de resolución que veremos son: Método de Gauss-Jordan; Método de la inversa y Regla

de Cramer.

En el caso del Método de Gauss- Jordan partimos de un sistema de ecuaciones, lo expresamos en su

forma matricial, lógicamente usamos matrices y vectores. A través de las operaciones elementales por filas y

usando las propiedades de equivalencia transformamos el sistema de ecuaciones original en un sistema mucho

más simple de analizar pero equivalente y utilizamos análisis de rangos.

Los métodos de la Inversa y de Cramer son sólo aplicables a sistemas de ecuaciones lineales con

igual cantidad de ecuaciones que de incógnitas y para su aplicación se requiere de la matriz inversa ó del

determinante respectivamente.

2- Objetivo General

Resolver sistemas de ecuaciones lineales a través de las herramientas matriciales trabajadas en

unidades anteriores, esto nos permitirá comparar distintas alternativas de resolución.



· Resolver sistemas de ecuaciones lineales de una forma organizada y estructurada.

· Establecer conclusiones válidas con respecto a la compatibilidad de un sistema.

· Distinguir entre distintos tipos de soluciones.

· Aplicar el método de Gauss-Jordan a sistemas de cualquier cantidad de ecuaciones y de incógnitas.

· Utilizar estas técnicas en problemas de aplicación práctica.


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SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES

MÉTODO DE LA

INVERSA

REGLA DE

CRAMER

Forma

Matricial

RANGO

MÉTODO DE

GAUSS-JORDAN

INVERSA

DETERMINANTE

MÉTODOS DERESOLUCIÓN MATRICIAL

Clasificación deacuerdo al vector de

términos indep.

Homogéneos

No

homogéneos


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Resulta importante que al final de esta unidad sea capaz de definir con sus propias palabras lossiguientes conceptos relacionados con los sistemas de ecuaciones lineales:

· Matriz de coeficientes.

· Vector de términos independientes.

· Matriz ampliada.

· Matriz reducida .

· Sistemas equivalentes de Ecuaciones.

También es necesario que demuestre acabado conocimiento de:

· La resolución de sistemas de ecuaciones lineales a través del método de Gauss-Jordan.

· La clasificación de los sistemas mediante la aplicación del Teorema de Rouché-Frobenius.

· La factibilidad y la metodología de resolución de ecuaciones haciendo uso de la matriz inversa.· La factibilidad y la metodología de resolución de ecuaciones utilizando el concepto de determinante.




1) Especifique ¿cuál es la forma matricial de un sistema de ecuaciones definiendo adecuadamente sus

elementos? ?

2) Explique en qué consiste el M étodo de Gauss-Jordan.

3) Enuncie el Teorema de Rouché-Frobenius.

4) ¿Cuándo se dice que un sistema es homog éneo y cual es su principal caracter í stica?

5) Revise en la Unidad 2 en que casos se utilizaron sistemas de ecuaciones lineales homog éneos.

6) Dado un sistema de ecuaciones lineales con n incó gnitas, Ax=B , tal que r(A) = r(A|B) < n qué se puedeconcluir con respecto al sistema

7) Establezca bajo que condiciones se puede asegurar, utilizando el método de la inversa ó la Regla deCramer, que un sistema es compatible determinado.

8) Resuelva por los tres métodos estudiados los siguientes sistemas de ecuaciones:

A) – 2 X + Y – 5 = 0

2 X – 4 Y = – 1


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B) – X + Y + Z = 0

2 X – 2 Y = – 1

3 X + Z = 4

9) Resuelva por el método de Gauss-Jordan el siguiente sistema de ecuaciones:

– X + Y + Z = 0

2 X – 2 Y = – 1

3 X + Z = 4

10) La siguiente matriz corresponde a la ampliada de un sistema de ecuaciones lineales a la cual se le han

efectuado operaciones elementales por filas:

1 5 0 1

A B = 0 1 1 00 0 0 1

0 0 0 0

se puede afirmar que el sistema es:a) Incompatible.

b) Compatible determinado, pues posee 3 incó gnitas y el rango de la matriz de coeficientes es 3.

c) Compatible indeterminado, pues posee 3 incó gnitas y el rango de la matriz de coeficientes es 2.d) Compatible determinado, pues posee 3 incó gnitas y el rango de la matriz ampliada es 3.

e) Compatible indeterminado, pues posee 4 incó gnitas y el rango de la matriz ampliada es 3.

11) Luego de realizar algunas operaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada de un sistema de

ecuaciones lineales se obtuvo:

1 0 8 0

A B = 0 1 3 0

0 1 3 0

0 0 0 0

Entonces se puede concluir que el sistema:

a) Incompatible.

b) Compatible determinado con única solución, la trivial.c) Compatible indeterminado, con vector solución ( 8z, 3z, z); con z perteneciente a los reales.

d) Compatible indeterminado, con vector solución ( -8z, -3z, z); con z perteneciente a los reales.e) Compatible indeterminado, con vector solución ( 8z, 3z, 0); con z perteneciente a los reales.


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12) Luego de realizar algunas operaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada de un sistema de

ecuaciones lineales se obtuvo:

1 0 2 0

A B = 0 1 1 2

0 0 k 0

Establezca como es este sistema si k es cero ó k es distinto de cero.


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Á lgebra

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UNIDAD 7: Introducción a la Programación Lineal

1- Introducción

En esta unidad veremos inicialmente desigualdades que involucran incógnitas, a las que llamaremos

inecuaciones. Comenzaremos con inecuaciones con una única incógnita y luego extenderemos el análisis a

situaciones con dos incógnitas, en este último caso recurrimos a la resolución gráfica y con ello tendremos el

marco visual necesario para introducir problemas aplicados en donde existen restricciones que pueden ser

expresadas como inecuaciones y un único objetivo a optimizar que también se puede representar

algebraicamente como una relación lineal.

Esto es una introducción a un tema mucho más amplio denominado Programación Lineal, el cual

será parte de otra materia de la carrera.

2- Objetivo General

Afianzar la mecánica y los métodos conocidos de resolución de inecuaciones, como así también su

análisis gráfico.



§ Resolver inecuaciones lineales con una incógnita.

§ Resolver gráficamente sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

§ Encontrar la solución óptima a un problema de Optimización lineal con dos incógnitas.§ Traducir un problema que involucre incógnitas al lenguaje algebraico, es decir generar las

inecuaciones, a partir de un caso cuando esto sea factible.


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· Inecuación

· Inecuación Lineal

· Solución factible

· Región factible

· Función Objetivo

·

Solución Óptima


· La resolución de inecuaciones lineales con una incógnita.

· La resolución gráfica de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas (Región Factible).

· Resolver gráficamente problemas de optimización lineal con dos variables.

· El planteo de problemas de aplicación.

INECUACIONES

Inecuaciones con

una incógnita

Inecuación lineal con

dos incógnitas

Sistemas de

inecuaciones

lineales

Planteo de

problemas

Problemas de

O timización lineal

Solución gráfica


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6-Claves de Autoevaluació

n.



1) Conceptualmente a qué se denomina inecuación.

2) Gr á ficamente y en notación de intervalos ¿cuál es el conjunto solución de las siguientes inecuaciones

a) x - 2 £ - x +3

b)

2

2

3

1 +£

- x x

3) Si la siguiente es la gr á fica correspondiente a la ecuación y = – x + 2 , ¿cuál es la región solución a la

inecuación y ³ – x + 2?

Y

x

4) Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones

x - y ³ 0

x + y ³ 2

5) Encuentre la región solución al siguiente problema, con dos variables y dos restricciones, las cuales serepresentan gr á fica y algebraicamente como sigue:

E (1) Restricciones: y ( 2)

B (1) 622 £+ x y

(2) 222 £- x y

x³ 0 y ³ 0 O F G x


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Á lgebra

6) Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones

2 x - 4 y ³ 0

x + y ³ 23 x – y £ 5

x ³ 0 ; y³ 0

7) ¿Cuál es la estructura que caracteriza un problema de programación Lineal (Optimización lineal) y que

es la solución ó ptima?

8) Muestre gr á ficamente un problema de programación lineal con una única solución ó ptima.

9) Muestre gr á ficamente un problema de programación lineal con infinitas soluciones ó ptimas

10) Muestre gr á ficamente un problema de programación lineal sin soluciones posibles (inconsistente).

11) Considere un problema de Optimización lineal de maximización con dos variables, cuya funciónobjetivo es tal que en A vale 800, en B vale 850, mientras que en C y D vale 780.

Determine donde se encuentra la solución ó ptima si la región factible se representa gr á ficamente como

sigue:

y

B

A C

D

X

12) Considere un problema de Programación lineal de maximización con dos variables, cuya región factible y función objetivo para z=10, se representan gr á ficamente como sigue:

y En base al mismo se puede establecer que:

a) el má x. se alcanza en el vértice A B b) el má x. se alcanza en el vértice B

A C c) el má x. se alcanza en el vértice C d) el má x. se alcanza en el vértice De) tiene infinitos ó ptimos.

D

x Z = 10

13) En el ejercicio anterior cambie la pendiente de la función objetivo y analice nuevamente sus resultados.¿Qué ocurre con el ó ptimo?

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1. Algebra Teo-pract-Toda La Materia