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Atelier de formation : MAT - 5104

optimisation II (les graphes).

MARTIN FRANCOEUR

conseiller en évaluation

( La société GRICS )

martin.francoeur@grics.qc.ca

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Présentation du programme

• Au secteur des jeunes, le programme de mat 068-514 est divisé en trois parties :– Favoriser chez l ’élève l’utilisation d ’outils

d ’optimisation 50 %– Accroître chez l’élève l’habileté à analyser des

données statistiques ou probabilistes 30 %– Amener l ’élève à analyser des situations

géométriques 20 %

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suite

• Au secteur des adultes, le programme de 514 est divisé en 4 cours :

– Mat 5101 : optimisation I (Mat 5083)– Mat 5102 : statistique III (nouveau cours)– Mat 5103 : probabilités II (Mat 5084 +)– Mat 5104 : optimisation II (les graphes)

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Définitions

Graphe

Un graphe est une structure comportant un ensemble de points appelés sommets et un ensemble de lignes appelées arêtes reliant certains ou tous ces sommets deux à deux.

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Exercice 1

Exercices complémentaires

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Boucle

• Pour indiquer qu’une arête part d’un sommet et revient à ce même sommet sans relier ce sommet à un autre, nous utilisons une boucle.

• Dans un graphe, il peut y avoir plus d’une boucle par sommet.

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Degré

• Dans un graphe (avec ou sans boucle), le degré d’un sommet c’est le nombre de fois qu’une arête touche à ce sommet. On note le degré d’un sommet s par d(s).

• Une boucle sur un sommet augmente de deux le degré du sommet, car les deux extrémités de la boucle touchent au même sommet.

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Graphe orienté

• Un graphe orienté est un ensemble de sommets avec des arcs (prenant la forme de flèches) reliant certains ou tous ces sommets entre eux.

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Exercice 2

• Exercices complémentaires

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Chaîne et cycle

• Une chaîne dans un graphe est une suite de sommets qui comporte toujours une arête entre deux sommets consécutifs. La suite est alors décrite de la manière suivante :

(a, b, c, e, …).

• où chaque lettre est un sommet de la chaîne et le fait que deux lettres se suivent indique qu’il y a une arête reliant ces deux sommets.

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Chaîne et cycle (suite)

• Un graphe est connexe si pour toute paire de sommets distincts a et b dans ce graphe, il existe une chaîne qui va de a à b.

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Chaîne et cycle (suite)

• Un cycle est une chaîne qui revient à son point de départ.

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Chaîne et cycle (suite)

• Un cycle simple est un cycle dont toutes les arêtes sont différentes les unes des autres.

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Exercice 4

• Voir document : exercices complémentaires.

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Graphe eulérien

• Dans un graphe eulérien, il existe un cycle qui passe par chacune des arêtes du graphe une et une seule fois seulement.

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Exercices 7 et 8

• Voir document : exercices complémentaires.

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Théorème 1

• Si un graphe connexe est eulérien, alors tous les sommets de ce graphe sont de degré pair. Réciproquement, si tous les sommets d ’un graphe connexe sont de degré pair, alors ce graphe est eulérien.

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Graphe hamiltonien

• Un graphe hamiltonien est un graphe pour lequel il existe un cycle qui passe par chacun des sommets du graphe une et une seule fois.

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Exercice 9

• Voir document : exercices complémentaires.

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Graphe valué

• Un graphe valué est un graphe pour lequel on associe un nombre plus grand que zéro à chaque arête.

• Quand cela a du sens, la valeur d’une chaîne dans un graphe valué est la somme des valeurs de chacune des arêtes constituant cette chaîne.

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Exercice 10

• Voir document : exercices complémentaires.

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Graphe orienté valué et réseau

• Lorsqu’on assigne un nombre plus grand que 0 à chaque arc d’un graphe orienté donné, on dit alors que ce graphe orienté est valué. Ce type de graphe orienté porte un nom spécial.

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Graphe orienté valué et réseau (suite)

• La méthode pour trouver le chemin le plus court pour exécuter un projet s’appelle la recherche du chemin critique.

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Graphe orienté valué et réseau (suite)

• Un chemin dans un graphe orienté est une suite de sommets du graphe composée uniquement d’arcs se suivant dans ce graphe. La suite est alors décrite de la manière suivante :

[a, b, c, d, …]

• où a, b, c, d, … sont des sommets du chemin et (a, d), (b, c), (c, d),… sont toujours des arcs du graphe.

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Graphe orienté valué et réseau (suite)

• La valeur d’un chemin est la somme des valeurs attribuées à chaque arc du chemin.

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Graphe orienté valué et réseau (suite)

• La démarche suivante permet de trouver le chemin critique dans un réseau.

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Graphe orienté valué et réseau (suite)

• faire une liste de tous les chemins qui vont du début D à la fin F;

• calculer la valeur de tous ces chemins;

• prendre le chemin (ou un chemin s’il y en a plusieurs) de longueur optimale.

Le chemin trouvé est le (ou un) chemin critique.

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Un peu d’exercices

• Voici quelques exemples d’optimisation

• Exercice 18

• Exercice 19

• Exercice 23

• Exercice 26