1 Aufgaben ‘‘Wie funktioniert ein Computer’’mzwebserver.ldv.ei.tum.de/ct/cs/Skript/Mitschrift_081-114.pdf · eine Harvard- als auch eine von Neumann-Architektur haben? Harvard:

81

1 Aufgaben ‘‘Wie funktioniert ein Computer’’

Netzteil

a) Welche Spannungen werden von PC-Netzteilen bereitgestellt?

b) Warum können PC-Netzteile hohe Leistungen liefern, obwohl die eingebauten

Transformatoren nur relativ klein sind?

c) Wie sind Schaltnetzteile aufgebaut? Skizzieren Sie ein Blockschaltbild!

3,3 V , 5 V, 12 V

,-5 V

,-12W

Schalt hetz teil i hohe Frequenz ⇒ hohe

Leistung übertragen

23in ¥ü¥ →-

LI → JE →

¥ü¥→ ¥ I "

€ Fein, ←needy

]

82 1 Aufgaben ‘‘Wie funktioniert ein Computer’’

Grafikkarten

a) Was sind die Hauptaufgaben einer Grafikkarte?

b) Was ist ein ‘‘Back-Buffer’’, was ist ein ‘‘Front-Buffer’’?

Optische Laufwerke

a) Was sind Pits und Land?

b) Was reflektiert Licht: Pits, Land oder beides?

c) Welche Tiefe müssen die Pits haben, damit man die mit Pits und Land gespeicherte

Information sinnvoll auslesen kann? Warum?

- Schnittstelle zwischen PC und Display- Beschleunigung von Grafik - Operationen

Front - Buffer wird am Bildschirm

dargestellt , während in den Buchhaltergeschrieben wird

Land : Reflektierende OberflächePits : Eindeckungen I Vertiefungen

beide

If Wellenlänge Laser

¥ + ¥ = Iz ⇒ destruktive hier ferenz( dunkel )

83

Festplatte

a) Was ist eine Festplatten-Spur?

b) Was ist ein Festplatten-Zylinder?

c) Was ist ein Festplatten-Sektor?

d) Was sind typische Sektor-Größen?

e) Was für Informationen werden in Sektoren neben den Nutzdaten noch zusätzlich

abgespeichert?

Kreis , den die Schreibt Lesehöpfe auf

der Platte abfahren , wenn sich

der Kopf nicht bewegt

Menge der Spuren ,die gleichzeitig

gelesen I geschrieben werden

kleinste adressiert are Einheit .

Dort werden die Daten gespeichert

\ 512 byhi, 4 KBYK

Verwaltungs - tutor nationen

Beispiele : Pnüfsummen ,Start - und Ende -

Uuarhi errungen , Zylinder - ID


f) Skizzieren Sie grob einen Regelkreis der zur Positionierung des Festplatten-Arms

verwendet werden kann.

soll -

positionIöfwo Regelung-

o aspnlenstnmist -

Positionschreibe / . GespeicherteLesehopf positions daten

85

Prozessor

a) Aus welchen logischen Grundeinheiten besteht ein Prozessor?

b) Welche Schritte führt ein Prozessor aus, wenn er den nächsten Befehl aus dem

Speicher lädt?

c) Wo können die Operanden eines Befehls generell abgelegt sein?

. Rechen werk / ALU

. Register. Steuerwerte I Leitwerk

- Befehls kgiskr BRIIR- Befehls zähler Bz Ipc

- Flags. Bustreiber

° Caches. Einheit zur A dress - Übersetzung 1

virtueller Speicher

- Wert von Befehls zähler auf Adressbus legen- vom Speicher bereitgestelltes Daten Wort ein lesen und

- im Befehlskgister ablegen

- Register- Speicher- direkt im Befehls Wort C Direkt operand )


Bussystem

a) In welche drei Busse lässt sich ein Bussystem oft aufgliedern?

b) Was ist die Funktion dieser drei Busse?

c) Welche dieser Busse sind unidirektional, welche bidirektional?

- Adressbns : adressiert Speicher zellen

oder Geräte

;unidirectional

- Daten bus : Übertragung der Daten

; bidinhtiuual

- Steuerungs bus : Info ob schreiben I lesen /timing

;unidirectional

:o .

87

Rechner-Architekturen

a) Was ist der Haupt-Unterschied zwischen einer Harvard- und einer von Neumann-

Architektur?

b) Wie kann man die Aussage verstehen, dass heutige Rechnersysteme oft sowohl

eine Harvard- als auch eine von Neumann-Architektur haben?

Harvard : Getrennte Speicher für Befehle und Daten

v. Neumann : Befehle und Daten liegen im selben Speicher

gemeinsamer Speicher für Befehle und

Daten ( RAM ) , jedoch oft getrennteCaches für Befehle und Daten


2.1 Bits, Byte, Datenworte und Logikpegel 89

2 Darstellung von Zahlen und Zeichen

Computer- bzw. Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf

Ausgaben Y abbilden, d.h. Y = f (X ).

Programm

ProzessorEingabe X Ausgabe Y

Die Art und Weise, wie diese Transformationen durchgeführt werden, ist durch die

Programme festgelegt, die von einem Prozessor ausgeführt werden. Beispiele:

• Dokument drucken:

• X: Dokument bzw. Datensatz in einer Applikation

• Y: Befehle/Daten, die an den Drucker geschickt werdenmüssen, damit

dieser das (durch X repräsentierte) Dokument druckt

• Programm: Applikation, aus der heraus das Dokument gedruckt wird

(z.B. Textverarbeitungsprogramm) sowie der Druckertreiber

• Rastern von Grafiken: X = Repräsentation eines Objekts (z.B. Linie);

Y = Farbintensitätswerte von Pixeln

Linie von (x1, y1) nach (x2, y2),Dicke: d, Farbe: RGB = (0, 0, 0),Hintergrund: weiß

0

00

190

190190

255

255255

X Y

• Berechnungen: Y aus X berechnen; z.B. X = zwei Vektoren, Y = Skalarprodukt

321

10

30

20 = 1·10 + 2·20 + 3·30 =

X Y

140·

X und Y sind Daten, die als Zahlen oder als Zeichen interpretiert werden können. Sie

werden in Computersystemen durch sog. Bits repräsentiert.

.

90 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen

2.1 Bits, Byte, Datenworte und LogikpegelDaten werden in Computersystemen durch Bits dargestellt bzw. als Bits verarbeitet. Der

Begriff Bit steht für binary digit und meint Binärziffer, d.h. Ziffern, die nur Werte 0 und

1 annehmen können. Bei der Verarbeitung von Daten durch elektrische Schaltungen

entspricht ‘‘0’’ oft dem sog. Low-Pegel, z.B. -0,3 ... +1,3 Volt, und ‘‘1’’ dem sog.

High-Pegel, z.B. +2,3 ... +5,3 Volt.

5V

0V

High

Low

Darüber hinaus findet man auch andere Zuordnungen/Spannungsbereiche. Bei der

seriellen Schnittstelle RS-232 beispielsweise entsprechen Spannungen zwischen +3 V

... +15 V dem Low-Pegel, während Spannungen zwischen -15 V ... -3 V High-Pegel

darstellen.

Mit einem einzelnen Bit können nur zwei Zustände, High und Low, dargestellt werden.

Um mehr als zwei Zustände gleichzeitig abzubilden, werden mehrere Bits zu einem

Datenwort zusammengefasst. Mit einem Datenwort der Breite n Bits lassen sich 2n

verschiedene Low-/High-Kombinationen darstellen.

Nachfolgende Abbildung zeigt ein Datenwort der Breite n = 32 Bit sowie die entspre-

chende Darstellung in Hexadezimal-Schreibweise.

11111011100000000011101011000010

B3C 82 0 FA0 x

32 Bit breites Datenwort:

Hexadezimale Darstellung:Prefix

Die hexadezimale Darstellung wird häufig verwendet, da hier immer vier Bits (sog.Nibble)

zu einer einzelnen Ziffer zusammengefasst werden:

C: 1100B: 1011 D: 11019: 1001 F: 1111E: 11108: 1000 A: 1010

4: 00103: 0011 5: 01011: 0001 7: 01116: 01100: 0000 2: 0010

2.1 Bits, Byte, Datenworte und Logikpegel 91

So lassen sich auch längere binäre Datenworte ohne großen Platzbedarf darstellen.

Gleichzeitig kann durch die feste 4-zu-1-Abbildung der Wert der einzelnen Bits direkt

extrahiert werden.

Zur Kennzeichnung einer hexadezimalen Codierung wird das Prefix ‘‘0x’’ verwendet,

d.h. hexadezimal codierten Zahlen wird ‘‘0x’’ vorangestellt.

Seltener findet man oktale Codierungen. Hier wird das Prefix ‘‘0’’ verwendet. Bei oktaler

Codierung werden immer 3 Bits zu einer Ziffer zusammengefasst.

100011110101111000110001

376 61 5 400

24 Bit breites Datenwort:

Oktale Darstellung:Prefix

1: 001 2: 010 6: 1103: 011 5: 1014: 010 7: 1110: 000

In Computersystemen werden häufig Worte der Breite 8, 16, 32 oder 64 Bit verwendet.

Datenworte mit der Wortbreite 8 Bit werden Byte genannt. Ein Byte wird dabei oft

als elementare Datenwortgröße angesehen. Alle anderen Datenworte sind dann ein

ganzzahliges Vielfaches eines Bytes.

Nachfolgende Abschnitte zeigen, wie in Computersystemen mit solchen binären Daten-

worten Zahlen und Zeichen dargestellt werden. Die darauf folgenden Kapitel zeigen, wie

diese Datenworte/Zahlen/Zeichen von Prozessoren verarbeitet werden.


2.2 ZeichenZeichen sind Symbole (z.B. ‘a’, ‘b’, ‘c’, ...), mit deren Hilfe Dinge beschrieben werden

können. Zur Darstellung von Texten werden Zeichen zu Zeichenketten (Worte) kombi-

niert und Zeichenketten in Anordnungen (Sätze) gruppiert. Die ‘‘Beschreibung’’ findet

dadurch statt, dass unser Gehirn beim Lesen lernen die Bedeutung der verschiedenen

Zeichenketten (Symbol-Kombinationen) sowie die Bedeutung verschiedener Anord-

nungen gelernt hat. In Computersystemen werden Zeichen durch Bits repräsentiert.

Nachfolgende Tabelle zeigt die Codierung von Zeichen gemäß ASCII-Standard.

6

w

b

{

d

n

c

SYN

S3

E

&

W

0x2…

q

Z

0x1…

N

EOT

DLE

…2 DC2

…F

!

…6

s

\

O _

;

HT

BS

ACK F

U

…0

a

VT

L

ENQ

NUL

0x6…

h

'

<

ETB…7

o

z…A : J

)

e

0x4…

SO

…8

?

ESC

V

m]

DC4

0x5…

…3

…9

CAN x

…4

%

9

p

2

~

…C

H

}

SUB

/

"

X

@

…E

#

u

l

D

SOH

NP

i

DEL

r

…B

CR

ETX

Q

0x7…

^

0x3…

g

EM

$

BEL

5

tT

I

v

K

GS

FS

j

B

Y

DC1

…5

,

`

C

k

(

M

SI

-

4

f

8

=

0x0…

G

0

|

DC3

R

>

…D

[

…1

*

A

SP

.RS

STX

1

NL

P

NAK

+

7

US

y

l G'

=

Oz÷Steuerzeichen druck bare Zeichen

2.2 Zeichen 93

‘‘ASCII’’ (oft auch US-ASCII) steht für American Standards Code for Information In-

terchange und ist ein weit verbreiteter Standard zur Codierung von 128 ausgewählten

Zeichen durch 7 Bit breite Datenworte.

Druckbare Zeichen, d.h. Zeichen, die auch am Bildschirm/Drucker ausgegeben werden

können, befinden sich ab Bitkombination 0x20, d.h. Zeichen 33 - 128.

Die unteren 32 Zeichen, d.h. Bitkombinationen 0x00, 0x01, ... , 0x1F definieren sog.

Steuerzeichen. Steuerzeichen wurden früher dafür verwendet um Fernschreiber anzu-

steuern.

0x0F (SI): Shift in 0x1F (US): Unit separator

0x0E (SO): Shift out 0x1E (RS): Record separator

0x0D (CR): Carriage return 0x1D (GS): Group separator

0x1C (FS): File separator0x0C (FF): Form feed; new page

0x0B (VT): Vertical tab 0x1B (ESC): Escape

0x0A (LF): Line feed; new line 0x1A (SUB): Substitute

0x09 (HT): Horizontal tab 0x19 (EM): End of medium

0x18 (CAN): Cancel0x08 (BS): Backspace

0x17 (ETB): End of transmission block0x07 (BEL): Bell

0x16 (SYN): Synchronous idle0x06 (ACK): Acknowledge

0x05 (ENQ): Enquiry 0x15 (NAK): Negative acknowledge

0x04 (EOT): End of transmission 0x14 (DC 4): Device control 4

0x03 (ETX): End of text 0x13 (DC 3): Device control 3

0x12 (DC 2): Device control 20x02 (STX): Start of text

0x11 (DC1): Device control 10x01 (SOH): Start of header

0x10 (DLE): Data link escape0x00 (NUL): Null

Die meisten Steuerzeichen werden heute nur noch selten verwendet. Häufig verwendet

wird beispielsweise 0x00 wird, um das Ende von Zeichenketten anzuzeigen, 0x0A um

einen Zeilenumbruch zu markieren, 0x09 für Tabulatoren.


Der ASCII-Code definiert ausschließlich die Codierung der in Amerika häufig verwen-

deten Zeichen. Codierungen für international verwendete Zeichen wie bspw. deutsche

Umlaute ‘‘ä’’, ‘‘ö’’ und ‘‘ü’’ sowie ‘‘ß’’ etc. werden nicht definiert. Dazu muss der ASCII-

Zeichensatz erweitert werden. Beispiele hierzu sind der Standard ISO 8859-1 (Latin-1)

oder Zeichentabellen, wie sie unter MS-DOS eingesetzt wurden (z.B. Codepage 850 für

Westeuropa).

Heute wird häufig der Unicode-Zeichensatz verwendet. Dieser hat zum Ziel, jedem auf

der Welt verwendeten Schriftzeichen eine eindeutige Zahl zuzuweisen.

Zur Codierung dieser Zahlen werden häufig UTF-8 und UTF-16 eingesetzt. Diese

Verfahren codieren den Unicode-Zeichensatz in variable Wortbreiten. So können zur

Codierung häufig vorkommender Zeichen geringere Wortbreiten verwendet werden als

zur Codierung seltener vorkommender Zeichen. Diese Form der Komprimierung sorgt

dafür, das Text aus Sprachen, die auf dem lateinischen Alphabet basieren, effizient

abgespeichert bzw. über das Internet übertrag werden können.

Nachfolgende Abbildung zeigt die Codierung gemäß UTF-8.

Unicode-ZeichenCodierung

0x080 - 0x7FF

11110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx

1110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx

0xxxxxxx

0x0800 - 0xFFFF

110xxx 10xxxxxx

0x010000 - 0x10FFFF

0x00 - 0x7F (entspricht ASCII)

Im Gegensatz dazu wird in UTF-32 jedes Unicode-Zeichen mit 32 Bit codiert. Vorteil:

Einfach zu codieren; Nachteil: Hoher Speicherbedarf für Texte.

÷×

2.3 Zahlen 95

2.3 Zahlen

Zahlen dienen zur Darstellung vonGrößen/Beträgen. Siewerden durch Ziffern dargestellt.

Ziffer

1 0 2 4

Ziffer Ziffer Ziffer

Zahl:

Ziffern sind Zeichen, die jedem Element einer Symbol-Menge (z.B. {‘0’, ‘1’, ‘2’, ‘3’, ‘4’,

‘5’, ‘6’, ‘7’, ‘8’, ‘9’} ) ein Vielfaches eines Grundbetrags als Wert zuordnen. Beispiel: ‘0’ ist

‘‘nichts’’ bzw. keinmal der Grundbetrag, ‘1’ ist der Grundbetrag, ‘2’ ist zweimal so viel

wie der Grundbetrag; ‘3’ ist dreimal so viel wie der Grundbetrag, etc.

4 :=

3 :=

2 :=

1 :=

0 :=

9 :=

8 :=

7 :=

6 :=

5 :=

Die Menge der in einem Zahlensystem vorgesehenen Symbole wird Basis b genannt.

Beispiel: Im Zahlensystem zur Basis b = 2 gibt es nur zwei Symbole: ‘0’ und ‘1’.

Mit einer Ziffer können nur b verschiedene Dinge/Werte dargestellt werden. Um mehr

als b verschiedene Werte abzubilden werden mehrere Ziffern aneinandergereiht. Dabei

erhöht sich mit jeder weiteren Ziffer die Anzahl unterschiedlicher Symbol-Kombinationen

um den Faktor b. Durch Aneinanderreihung von n Ziffern zu einer n Stellen langen Zahl

lassen sich b · b · ... · b| {z }n mal

= b

n verschiedene Symbolkombinationen und damit b

n verschie-

dene Werte/Beträge darstellen.

Nachfolgende Abbildung zeigt die Symbole zur Darstellung von Beträgen mit zwei Ziffern

aus der Symbolmenge ‘0’, ‘1’, ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’, ‘6’, ‘7’, ‘8’, ‘9’.


65

7874

35

68

28

00

52

76

92

45

69

44

07

67

71

95

42

0803

63

34

58

13

86

60

33

11

41

88

99

73

17

55

26

53

05

12

29

15

94

24

98

64

51

32

91

02

84

37 38

9390

43

25 2720

36

46

10 19

31

82

48

23

87

18

97

21

83

22

16

39

72

49

30

14

5754 59

89

77

62

81 8580

79

40

04

70

96

0601

56

61

75

50

47

66

09

• Der kleinste Wert wird dadurch repräsentiert, dass alle Ziffern das Symbol des

niedrigsten Werts darstellen.

• Ausgehend vom kleinsten Wert wird der nächst höhere Wert stets dadurch

repräsentiert, dass bei der rechtesten Ziffer das dem nächst höheren Ziffern-

Wert entsprechende Symbol ausgewählt wird.

• Ist bei einer Ziffer bereits das werthöchste Symbol ausgewählt, wird bei dieser

Ziffer das wertniedrigste Symbol ausgewählt. Gleichzeitig wird die links an-

grenzende Ziffer durch das dem nächst höheren Ziffern-Wert entsprechende

Symbol ersetzt.

Durch dieses Vorgehen haben die einzelnen Ziffern-Positionen unterschiedliche Wertig-

keiten. Numeriert man die Ziffern-Positionen i von rechts nach links durch, beginnend

mit i = 0, dann hat jede Ziffernposition den Wert b

i . Beispiel mit b = 10:

103=1000

1 0 2 4

102=100

101=10

100=1

Zahl:

Stellen-Wertigkeit:

Der Wert der Zahl ergibt sich zu 1 · 1000 + 0 · 100 + 2 · 10 + 4 · 1 = 1024.

Irak

-i

. i.

i ri

2.3 Zahlen 97

Im Gegensatz zu Ziffern-Positionen links von i = 0 stellen Ziffern-Positionen rechts

von i = 0, d.h. i < 0, nicht ein Vielfaches des Grundelements dar, sondern einen

Bruchteil des Grundelements. Nachfolgende Abbildung zeigt am Beispiel b = 10, wie

die Stellenwertigkeit von links nach rechts auf b

i , d.h. b

�1, b

�2, b

�3, ... reduziert wird.

Grundelement b0 = 1

b-1 = 0,1 b-2 = 0,01 b-3 = 0,001

i

Aufteilen des Grund-elements in b = 10 gleich große Teile

Sind Stellen i < 0 vorhanden, so wird der Übergang (i = 0) ! (i < 0) durch das

Komma-Symbol gekennzeichnet.

52,1 0 2 4Zahl:

Stellen-Wertigkeit:

10-2

= 0,0110-1

= 0,1Komma103

= 1000102

= 100101

= 10100

= 1

Da es unendlich viele Zahlen gibt, verfügen Zahlen (theoretisch) über unendlich viele

Stellen vor bzw. nach dem Komma. Für in der Praxis auftretende Zahlen werden in der

Regel jedoch nur wenige Stellen vor und wenige Stellen nach dem Komma benötigt.

Die restlichen (unendliche vielen) führenden bzw. nachlaufenden Nullen werden nicht

dargestellt.


2.4 Codierung von FestkommazahlenFestkommazahlen sind Zahlen, bei denen das Komma an einer zuvor vereinbarten, d.h.

festen Position steht. Nachfolgende Abbildung zeigt eine solche Festkommazahl:

Y Y … Y X X X X X X X X ,

n Stellen zur Aufnahme von n Ziffern; X = 0…b-1; führende Nullen werdenbei Darstellungen oft weggelassen

Annahme unendlich vieler füh-render Stellen, die nicht dar-gestellt/abgespeichert werden

Komma nach derEiner-Stelle

Annahme unendlich vieler nachfolgender Nullen, die nicht dar-gestellt/abgespeichert werden

0 0 … 00n-1

X steht für die Ziffern 0, 1, ... , b-1, wobei b die Basis des verwendeten Zahlensystems

darstellt (z.B. b = 2 für Binärzahlen, b = 10 für Dezimalzahlen, ...).

n ist die Wortbreite, d.h. es stehen n Bits zum Abspeichern der Zahl zur Verfügung.

Y steht für die unendlich vielen Stellen, die nicht mit abgespeichert werden.

Festkommazahlen funktionieren nach dem zuvor beschriebenen Prinzip ‘‘Vielfaches ei-

nes Grundelements’’. Aus diesemGrund sind die Abstände zwischen zwei benachbarten

Zahlen stets gleich groß (Äquidistanz).

0

Vorzeichenlose Festkommazahlen

Vorzeichenlose Festkommazahlen haben kein Vorzeichen, d.h. sie sind stets positiv. Der

Wert v (v = value) einer vorzeichenlosen Festkommazahl ergibt sich zu:

v = (an�1 · b

n�1 + · · · + a1 · b

1 + a0 · b

0) · b

r

• n ist die Stellenzahl, d.h. die maximale Menge an Ziffern, die zur Darstellung

bzw. Abspeicherung der Zahl vorgesehen ist. In Prozessoren wird häufig eine

Stellenzahl von n = 8, 16, 32 oder 64 (Binär-) Stellen verwendet.

In der Mathematik gibt es keine begrenzte Stellenzahl; dort gilt n ! 1.

• b ist die Basis des Zahlensystems, z.B. 10 für das Dezimalsystem (Ziffern

0 ... 9) oder 2 für Binärzahlen (Ziffern 0 und 1). Ziffern an der Stelle i haben die

Wertigkeit b

i . In Prozessoren wird aufgrund der Darstellung von Werten durch

<Worlbreikn

>

←r = radix

Position desKommas

2.4 Codierung von Festkommazahlen 99

Logik-Pegel ‘‘Low’’ und ‘‘High’’ als Basis b = 2 verwendet.

• Die Koffizienten a

i

sind die Ziffern an den Stellen i . Die Werte der Ziffern liegen

im Bereich 0...(b � 1) und geben an, wie oft die Wertigkeit der jeweiligen Stelle

zum Wert der Zahl beiträgt.

• Der Wert von r (r = radix) legt die Position des Kommas fest:

• r = 0: Dieser Fall ist der Normalfall: DurchMultiplikationmit br = b

0 = 1

bleibt v = a

n�1 · b

n�1 + · · · + a1 · b

1 + a0 · b

0. Das Komma steht hinter

der Einer-Stelle und wird weggelassen. Es werden ganze Zahlen mit

den Werten 0, 1, ... , bn � 1 dargestellt.

• r > 0: Durch Multiplikation mit b

r können größere Zahlen dargestellt

werden, jedoch auf Kosten geringerer Genauigkeit. Die Ziffern der Zahl

werden um r Stellen nach links geschoben, die frei werdenden Posi-

tionen werden mit Nullen aufgefüllt. Das Komma wird weggelassen.

Darstellungsbeispiel einer Festkommazahl für n = 8 und r = 3:

xxxxxxxx000. Die Zeichen ‘‘x’’ stehen dabei jeweils für eine der Ziffern

a

n�1 ... a0.

• r < 0: Da r < 0, entspricht die Multiplikation mit b

r einer Division

durch b

|r |, d.h. das (nach der Einer-Stelle implizit stehende) Komma

wird um r Stellen nach links geschoben. Die Genauigkeit erhöht sich

auf Kosten der größtmöglich darstellbaren Zahl. Darstellungsbeispiel

für n = 8 und r = �3: xxxxx,xxx.

Im folgendenwerden nur noch Dezimalzahlen (b = 10) und Binärzahlen (b = 2) betrachtet.

.


Nachfolgender Zahlenring zeigt die Zuordnung von Binär- zu Dezimalzahlen für diese

Codierung:

0151

2

3

4

56

7

1413

12

11

109

8

000011110001

0010

0011

0100

0101

011001111000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

RichtungsteigenderWerte

Die Darstellung zeigt, dass die Richtung steigender Werte bei beiden Codierungen (Binär

und Dezimal) identisch ist. Als Folge können bei dieser Darstellung für die gewählte

Binärcodierung dieselben Rechenregeln angewendet werden, wie bei Dezimalzahlen.

Beispiel:

• 210 + 110 = 310

• 00102 + 00012 = 00112

3 0 3 0 3 0

1111 + 0001 = 10000

www.tbfite1

]


Aufgaben

Die folgenden Aufgaben betrachten Binärzahlen, d.h. b = 2.

a) Welches ist die kleinste darstellbare vorzeichenlose Festkommazahl?

b) Wieviele unterschiedliche vorzeichenlose Festkommazahlen können mit n Bit dar-

gestellt werden?

c) Geben Sie für r = 0 den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl in

Abhängigkeit von n an.

d) Geben Sie für n = 8 und r = 2 den Wert der größten vorzeichenlosen Festkomma-

zahl an.

e) Betrachten Sie den Zahlenring. Wie kann man bei Binärdarstellung einen Überlauf

von vorzeichenlosen Zahlen feststellen?

f) Sind alle Abstände vorzeichenloser Binärzahlen zum nächst kleineren und nächst

größeren Nachbarn äquidistant? Skizzieren Sie für r = �2 und n = 3 die entspre-

chenden Werte auf dem Zahlenstrahl.

0

:"

2"

- 1

1111 1111 00 = 1020

( zu . 1) . 2T = zur - zr = 28+2-4=1020

Carryout , d. h.

Bit an Stelle nth istgesetzt

Jaiäqwi distant .

vlztvt5175KI.lt % HAT


Im Folgenden gilt n = 8 und r = 0.

g) Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um.

Dezimal Binär vorzeichenlos

0

75

127

128

255

256

h) Wandeln Sie folgende hexadezimale Zahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um.

Hexadezimal Binär vorzeichenlos

0x52416352

0x7A8F23DE

i) Berechnen Sie 24 + 17 = 3 im Binärsystem.

0000 0000

01001011

0111 1111

10000000

11111111-

010100100100 UUUA . .-

.

41x

24 00011000

+1-7+OVG10001

41 00101001.


Im Folgenden gilt n = 6 und r = �3

j) Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um.


0

0,125

1,75

3,375

5

k) Berechnen Sie 2,25 + 4,375 im Binärsystem.

000000

000001

001 110

011 011

101 000

010 010

100 011

110 1101 = 6,625


Aufgaben Tutorium

Im Folgenden gilt n = 8, r = 0.

T a) Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um.


0

5

67

126

253

T b) Berechnen Sie 17 + 23 im Binärsystem.


T c) Geben Sie für n = 6 und r = 3 den Wert der größten vorzeichenlosen Festkomma-

zahl an.

Im Folgenden gilt n = 8 und r = �3

T d) Wandeln Sie die angegebenen Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um.


0

0,375

7,25

10

12,5

17,625

T e) Berechnen Sie 1,75 + 3,125 im Binärsystem.


Vorzeichenbehaftete Festkommazahlen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, binäre vorzeichenbehaftete Festkommazahlen dar-

zustellen:

• Vorzeichen und Betrag

• Einer-Komplement

• Zweier-Komplement

Vorzeichen und Betrag

Bei dieser Darstellung werden Vorzeichen und Betrag der Zahl separat abgespeichert:

• Das Vorzeichen wird repräsentiert durch das höherwertigste Bit: Hat das Bit

den Wert 0, ist die Zahl positiv, hat das Bit den Wert 1, ist die Zahl negativ.

• Der Betrag der Zahl wird durch die restlichen Bits dargestellt.

Ob eine Zahl positiv oder negativ ist, kann direkt am MSB abgelesen werden. Zur

Negation einer Zahl muss nur das höherwertigste Bit geändert werden.

Ein Problem bei dieser Darstellung ist die doppelte Null:

• 00 ... 0002 ) +0

• 10 ... 0002 ) �0

Nachfolgende Abbildung zeigt für n = 4 die Zuodnung von Binär- zu Dezimalzahlen.

• Für positive Zahlen ist die Richtung steigender Werte für Binär- und Dezimal-

zahlen die selbe.

• Für negative Zahlen ist die Richtung jedoch unterschiedlich; Beispiel:

• 10102 + 00012 = 10112: Bewegung im Uhrzeigersinn

• �210 + 110 = �110: Bewegung gegen den Uhrzeigersinn

• Ergebnis falsch: �110 6= 10112


0-71

2

3

4

5

67

-6-5

-4

-3

-2

-1-0

000011110001

0010

0011

0100

0101

011001111000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

positivnegativ

Aufgaben

a) Welche Auswirkungen hat es, dass für negative Zahlen die Richtung steigender

Werte nicht übereinstimmt?

b) Ist der Wertebereich symmetrisch? Begründung!

↳ e.

Zahlen in den beiden Darstellungs arten

können nicht in gleicher Art und Weise

behandelt werden


c) Geben Sie den Wertebereich für r = 0 in Abhängigkeit von n an.

d) Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär in die Darstellung

‘‘Vorzeichen und Betrag’’.

Dezimal Binär

-10

0

20

e) Codieren Sie für n = 6 und r = �2 die folgenden Zahlen in die binäre Darstellung


Dezimal Binär

-2,25

0

5,5

10001010

00000000

00010100

101001

000000

010110


Aufgaben Tutorium

T a) Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär in die Darstellung


Dezimal Binär

-17

-5

17

T b) Codieren Sie für n = 6 und r = �2 die angegebenen Zahlen in die binären

Darstellung ‘‘Vorzeichen und Betrag’’.

Dezimal Binär

-3,75

-0,5

7,25


Einer-Komplement

Bei dieser Darstellung werden zur Negierung einer Zahl alle Bits invertiert. Um eine

eindeutige Unterscheidung zwischen positiven und negativen Zahlen zu gewährleisten,

ist der Betrag der Zahlen auf 2n�1 � 1 beschränkt. Dadurch kann das Vorzeichen der

Zahl wieder direkt am MSB abgelesen werden (0 ) positiv; 1 ) negativ).

Der Vorteil dieser Darstellung im Vergleich der Darstellung ‘‘Vorzeichen und Betrag’’

liegt darin, dass die Codierung der negativen Zahlen in derselben Richtung erfolgt wie

die Codierung der positiven Zahlen, so dass positive und negative Zahlen auf die gleiche

Art und Weise addiert (bzw. subtrahiert) werden können.

0-01

2

3

4

5

67

-1-2

-3

-4

-5

-6-7

000011110001

0010

0011

0100

0101

011001111000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

positivnegativ

f.. od


Aufgaben

a) Geben Sie den Wertebereich der Einer-Komplement-Darstellung für r = 0 in

Abhängigkeit von n an.

b) Geben Sie den Wertebereich der Einer-Komplement-Darstellung allgemein in

Abhängigkeit von r und n an.

c) Geben Sie den Wertebereich der Einer-Komplement-Darstellung für r = �2 und

n = 8 an.

d) Ist der Wertebereich asymmetrisch?

e) Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär im Einer-Komplement.

Dezimal Binär

-10

0

20

- 31,75 . . . .

+ 31,75

Nein , symmetrisch

11110101

00000000

00010100


f) Codieren Sie für n = 6 und r = �2 die folgenden Zahlen im Einer-Komplement.

Dezimal Binär

-2,25

0

5,5

g) Zeigen Sie an einem Beispiel, wie sich bei dieser Codierung zur Addition von Binär-

zahlen derselbe Algorithmus verwenden lässt wie zur Addition von Dezimalzahlen

– sowohl bei positiven als auch bei negativen Werten.

h) Wann gibt es bei Verwendung der Einer-Komplement-Codierung Probleme bei der

Addition?

i) Wie könnte man das Problem lösen?

1101 10

0000 00

010 1 10

pos : 2,0+3,0=510 0010 toque=0101

ueg : - Grot Zeo = -4,0 1001+0010=1011

Doppelte Null : - 2. + 3. = Mo f- 1101+0.411=0000

andere Codierung verwenden,

so dass

die doppelte Null verschwindet

1111 → -1 no

1110 → -2 so

iii. → ....FI::S.nu#u

addieren⇒ Zer Kompliment


Aufgaben

T a) Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär im Einer-Komplement.

Dezimal Binär

-17

-5

17

T b) Codieren Sie für n = 6 und r = �2 die folgenden Zahlen binär im Einer-

Komplement.

Dezimal Binär

-3,75

-0,5

7,25


Zweier-Komplement

Beim Zweier-Komplement wird zunächst das Einer-Komplement gebildet und dann

noch binär der Wert 1 addiert. Auf diese Weise wird die doppelte Null vermieden. Der

Wertebereich wird asymmetrisch, was jedoch kein Problem darstellt. Berechnungen

können in dieser Codierung mit demselben Algorithmus durchgeführt werden wie im

Dezimalsystem. Aus diesem Grund werden vorzeichenbehaftete Festkomma-Zahlen in

der Regel im Zweier-Komplement codiert.

0-11

2

3

4

5

67

-2-3

-4

-5

-6

-7-8

000011110001

0010

0011

0100

0101

011001111000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

positivnegativ

<

g- Überlaut vorzeichen lose

Zahlen

.no

• →

*überlaut im

Zer - Kompliment

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1 Aufgaben ‘‘Wie funktioniert ein Computer’’mzwebserver.ldv.ei.tum.de/ct/cs/Skript/Mitschrift_081-114.pdf · eine Harvard- als auch eine von Neumann-Architektur haben? Harvard: