センター試験 40 分模試

第 1 回

数学Ⅱ・数学 B

第１問 (配点 30 点)

［1］ 0≦ 2 の範囲で関数 123 1

2 cossinf を考える。

tsin とおけば

2ウ

イア tcos

であるから， fy とおくと

ク

キカ

オ

エ ウ tty

である。したがって， y の最大値は サ

ケコであり，最小値は

ス

シ である。

また， が 2

0 を満たす角で

27 38

f のとき

6

チ

タソセ

sin

である。

2

［2］ 不等式

82 1

2 xx loglog ≦2

5 ……（＊）

が成り立つような xの値の範囲を求めよう。

(1) 不等式(＊)において， xは対数の底であるから

ツx かつ テx

を満たさなければならない。また

xx

2

8

loglog

ト

である。

(2) 不等式（＊）は

テツ x のとき

22

2 ヌニナ xx loglog ≧0

テx のとき

22

2 ヌニナ xx loglog ≦0

と変形できる。したがって，求める xの値の範囲は

x ツ ≦

ノ

ネ ， x テ ≦ ハ

である。

3

第２問 (配点 43 点)

tk， を実数とし，座標平面上に点 P（ 1 0 2t， ）をとる。曲線

kxxxy 32 23

をCとする。

(1) 点 Q（ ktttt 32 23， ）における曲線Cの接線が点 P を通るとすると

1 23 ttk イア

が成り立つ。

1 23 tttp イア)(

とおくと，関数 )(tp は

ウt で極大値 エ をとり，

オt で極小値 カ をとる。

したがって，点 P を通る曲線Cの接線の本数がちょうど 2 本となるのは， kの値が

キ または ク のときである。（ただし， キ ＜ ク とする）

4

(2) 0k とする。このとき，曲線Cを原点に関して対称移動して得られる曲線をD，

x軸方向に－1， y 軸方向に6平行移動して得られる曲線を Eとする。

曲線Dを表す式は

xxxy 23 コケ

であり，曲線 Eを表す式は

23 シサ xxxy

である。したがって，曲線Dと曲線 Eの交点の x座標は

スセx ， ソ

である。よって，曲線D， Eと直線 2x ， y 軸で囲まれた二つの図形の面積の和は

タ

である。

5

第３問 (配点 27 点)

数列 na は 3 から始まり 2 ずつ増えていく自然数の列である。これを次のように群に

分ける。

・・・，｜，，，，，，｜，，，，｜，， 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3

第 1 群 第 2 群 第 3 群

ここで，一般に第 n群は 12 n 個の項からなるものとする。第 n群の末項を nb で表す。

(1) アイ，，， 4321 31 17 7 bbbb である。

一般に，第 k群の末項 kb は

2 オエウ kkbk 3 2 1 ，，，k

と表せる。

よって，2011 は第 カキ 群の小さい方から クケ 番目の項である。

6

(2) 数列 nb と na の第 n項の差をとった数列 nn ab を数列 nc とする。

nncn 2 サコ

であるから

1

ソセス

シ

nnncn

k

k （ただし， セ ＜ ソ とする）

また，

1

1

1

1

チタ nncn

であるから

)(

1

1 テツ

nn

c

n

k k

である。

7

センター試験 40 分模試 第 1 回

問題番号

(配点) 設問 解 答 記 号 正 解 配点 採点

第１問

(30)

[1]

ウイア t 221 t 3

ク

キカ

オ

エ ウ tt 22 22

3 3t t 3

サ

ケコ

310 3

ス

シ

32 3

チ

タソセ

6223 3

小 計 点

[2]

ツ 0 2

テ 1 2

x2

log

ト

x2

3log

2

22

2 ヌニナ xx loglog 352 22

2 xx loglog 3

ノ

ネ

22 3

ハ 8 3

小 計 点

第２問

(43)

1 23 tt イア 132 23 tt 3

ウ 0 3

エ 1 3

オ 1 3

カ 0 3

キ 0 4

ク 1 4

xxx 23 コケ xxx 32 23 4

23 シサ xxx 2423 xxx 4

スセ －2 4

ソ 1 4

タ 3 4

小 計 点

第３問

(27)

アイ 49 3

2 オエウ kk 142 2 kk 3

カキ 31 3

2

クケ 45 3

nn 2 サコ nn 22 2 3

ソセ

ス

シ nnn 21

3 2 nnn 4

1

1

1

チタ nn

1 1

1

2 1

nn 4

)( テツ nn

12 nn 4

小 計 点

合 計 点

第１問

［1］2 倍角の公式から 22 21212 t sincos …（答）

であるから 32

232

12131

2 22 ttttfy …（答）

65

23

32 2

t

0≦ 2 のとき 1 ≦ sin ≦1 ⇔ 1 ≦ t≦1

であるから， 右のグラフより

1t のとき最大値 3

1032

232

y …（答）

1t のとき最小値 32

32

232

y …（答） また， 2738

f のとき

2738

32

232 2 tt ⇔ 010279 2 tt ⇔ 013103 tt ⇔

31

3

10，t

1 ≦ sin ≦1 であるから 31

sint また 2

0 より 0cos

よって 3

2291

11 2 sincos 加法定理を用いて

6

22321

322

23

31

666

・・

sincoscossinsin …(答)

［2］(1) 対数の底の条件から 0x かつ 1x …（答）

また，底の変換の公式から xxx

22

2 388

loglog

loglog …（答）

(2) 不等式（＊）は x

x2

23

21

loglog ・ ≦

25

(ⅰ) 02 xlog すなわち 10 x のとき

32 22 )(log x ≧ x25 log ⇔ 352 2

22 xx loglog ≧0 …（答）

⇔ 312 22 xx loglog ≧0

O

3

条件より x2log ≦21

⇔ x0 ≦ 21

2

22

(ⅱ) 02 xlog すなわち 1x のとき

312 22 xx loglog ≦0

条件より x20 log ≦3 ⇔ x1 ≦ 823

(ⅰ)(ⅱ)より x0 ≦22， x1 ≦8 …（答）

第２問

(1) kxxxy 32 23 より 343 2 xxy だから，点 Q における接線の傾きは 343 2 tt

となり，接線の方程式は

txttkttty 34332 223

である。これが点 P 21 0 t， を通るとき

tttktttt 0343321 2232 ⇔ 132 23 ttk …（答）

が成り立つ。 132 23 tttp )( とおくと

1666 2 tttttp )( ， 10 )(p ， 01 )(p

だから，増減表は次のようになる。

これより， 0t で極大値 1， 1t で極小値 0

をとる。 …（答）

次に， 132 23 tty と ky の共有点を考える。

共有点の数だけ接線を決定する tの値があるので，

右図より，接線が 2 本となるのは

0k または 1 のときである。 …（答）

(2) 0k のときCは， xxxy 32 23 である。

Dを表す式は， yx， の代わりに yx ， を代入して

xxxy 32 23 ⇔ xxxy 32 23 …（答）

Eを表す式は， yx， の代わりに 6 1 yx ， を代入して

131216 23 xxxy

⇔ 2423 xxxy …（答）

したがって，Dと Eの交点の x座標は

2432 2323 xxxxxx

を解いて， 1 2，x …（答）

10 ≦≦ x の範囲では， EがDの上方にあり， 21 ≦≦ x

の範囲では，Dが Eの上方にあるので，求める面積は

dxxxxxxx 1

0

2323 3224 dxxxxxxx 2

1

2323 2432

… … …

O

O

4

dxxxdxxx 2 2 2

1

21

0

2

2

1

231

0

23 2 2

1 3

12

2 1

3 1

xxxxxx

32 2

1 3

142

3 8

2 2

1 3

1

…（答）

第３問

(1) もとの数列 na は，初項 3，公差 2 の等差数列だから 12123 nnan である。

また，初項から第 4 群の末項までにある項数は

244 15 4 2

1 212

4

1

・・・・k

k

だから， 49124 2244 ・ab …（答）

一般に，初項から第 k群の末項までにある項数は

kkkkkmk

m

21 2

1 212 2

1

・・

だから， 142122 2222 kkkkabkkk …（答）

これを用いて， 1921130 430 2 230 ・・b ， 2047131 431 2 2

31 ・・b

だから，2011 は第 31 群に属している。

第 31 群は初項 1923，公差 2 の等差数列だから，これを nd とおくと

19212121923 nndn

201119212 n とおくと 45n

すなわち，2011 は第 31 群の 45 番目の項である。 …（答）

(2) nnnnnabc nnn 2212142 22 …（答）であるから

1 2

1 2121

6 1

2221

2

1

nnnnnkkcn

k

n

kk ・・

21 3

2 312 1

3 1

nnnnnn …（答）

また

1 1

1

2 1

1 1

2 1

22

1

12 nnnnnncn

・ …（答）

であるから

1 1

1

2 1

1

11 kkc

n

k

n

k k

1 1

1

4

1 3

1 3

1 2

1 2

11

2 1

nn・・・

＝ 12 1 2 1

1 1

1 2

1

n

n

n

n

n・ …（答）

5