1. 復習 2. 3. ブロッホ・ベクトルと光照射 4. 計算例誘電分極 ...1. ブロッホ・ベクトル（Bloch vector）を利用して二準位系の電子状態を記述する。

付録「ブロッホ・ベクトルと誘電分極」（２） 1. 復習 2. 二準位系の強励起 3. ブロッホ・ベクトルと光照射 4. 計算例 5. 誘電分極：絵解き説明 6. 自由誘導減衰

暫定版修正・加筆の可能性あり

付録（４１７、４１８）のアプローチ：半古典論 1. ブロッホ・ベクトル（Bloch vector）を利用して二準位系の電子状態を記述する。 2. 電子は量子的、電磁波（光）は古典的に扱う。 3. 電磁波（光）を照射したときに誘起される電気双極子の伸縮運動をブロッホ・ベクトルの歳差運動で記述する。 4. 誘電分極：「振動電場Ｅに誘われて伸縮する電気双極子の集団運動」 5. 電磁波（光）と電子の相互作用に話題を限定。 6. NMR（nuclear magnetic resonance）やESR（electron spin resonance）等で取り扱う、核磁気双極子や電子スピンに関す

るブロッホ・ベクトルについては対象外。

４１８－1

４１８－2

密度行列の運動方程式（３）

運動方程式：密度行列

( )

( )

aaa aa ba ab ba ab

bba aa ba ab ba ab

i V Vt

i V Vt

ρ γ ρ ρ ρ

ρ γ ρ ρ ρ

∂= − − −

∂∂

= − −∂

現象論的に付加：自然放出遷移率 spontaneous emission rate

縦緩和時間：longitudinal relaxation time 自然放出寿命： spontaneous emission lifetime

11 aT γ

−=

横緩和時間：transverse relaxation time 電気双極子減衰率：dipole decay time

12 abT γ

−=( ) ( )i t

ab abab ab aa bb

iV eit

νρ γ ω ν ρ ρ ρ∂ = − + − + − ∂

現象論的に付加：電気双極子減衰率（dipole decay rate）

二準位系：two-level system

エネルギー差

ω

a

b

モデル：二準位系は完全に孤立 • 半古典論では電磁波（光）は古典扱いなので、自然放出遷

移率は既知として現象論的に付加 • 電気双極子減衰率も既知として現象論的に付加

• 一般に「上記の不等式」が成立するが、縦・横緩和時間と

もに原子の種類や遷移、原子数等（相状態：気体、固体）に大きく依存するので、詳細説明は省く。

11 aT γ

−=

自然放出寿命

1 2 a abT T γ γ≥ → ≤

参考：415-4

復習：対角要素：定常状態（２）

運動方程式：密度行列の対角要素（定常状態）

( ) ( )2

2

2 abaa bb aa

a ab

VLρ ρ ρ ω ν

γ γ= − −

ローレンツ関数： Lorentz(ian) function

回転波近似：参照415-6

( ) 222

4 1aba ab a ab

V EI

Zγ γ γ γ

℘= =

光強度：無次元

( )( )

2

22ab

ab

L v γωγ ω ν

− =+ −

( ) ( )exp2abi ZE Z tK

Vν−

℘

( ) ( )1 1 2 1aa bb bb aa aa bb aaI Lρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ω ν+ = → − = − = − − −

密度行列の対角要素：両者の差

( )1

1bb aa ILρ ρ

ω ν− =

+ −

定常状態：密度行列の対角要素の差

参考：415-12

４１８－3

４１８－4

復習：ブロッホ・ベクトルの歳差運動（１）

ブロッホ球：Bloch sphere

U軸

V軸

W軸

$$$

φ

θa

Ｗ：上準位占有確率と下準位占有確率の差：吸収媒質の場合

0aa bbW ρ ρ= − <

Ｕ、Ｗ：物理的な意味 •振動電場Ｅに誘われて伸縮する電気双極子の挙動をブロッホ・ベクトル（図中：黒矢印）の歳差運動で表現。

•歳差運動は

•歳差角周波数は光の角周波数νに等しい。 •上準位占有確率と下準位占有確率が等しいとき、電気双極子の伸縮運動（分極振動）が最大になる。

•このとき、ブロッホ・ベクトルのUV平面への射影ベクトル（図中：青矢印）の長さが最大（＝１）になる。

•逆に考えると、射影ベクトルの長さから電気双極子の伸縮運動（分極振動）の大小を見積もることができる。 •長い射影ベクトル：分極振動大 •短い射影ベクトル：分極振動小

( ),Z t t ZKφ ν δ= − −

注意： •上準位占有確率と下準位占有確率が等しいとき、誘電分極（分極振動）を最大にできる。 •個々の原子に対して上準位占有確率と下準位占有確率が50%である重ね合わせ状態が要求される。例えば

•原子の半分相当が上準位を占有して、残り半分相当が下準位占有している確定状態ではない。

( ) 2a b+

歳差運動

cos baU iVθ ρ= + ∝a

復習：ブロッホ・ベクトルの歳差運動（２）

誘電分極（分極振動）を最大にする条件

0aa bbaa bb

WI

ρ ρρ ρ

= − =→∞ →

定常状態：密度行列の対角要素の差反転分布（ population inversion ）は不可参照：417-7

( )1

1bb aa

Iaa bb

ILρ ρ

ω ν

ρ ρ→∞

− =+ −

→ ≤照射光強度を最大にすればよいのですが… 密度行列の運動方程式の定常解から得た電気感受率を眺めてみますと

屈折率変化：複素電気感受率の実部（417-7）

( )( )

2

220

' ' 0bb aabb aaab

N ρ ρω νχ ρ ρ χε γ ω ν

=℘ −= − → =+ −

( )( )

2

220

'' '' 0bb aaabbb aaab

N ρ ργχ ρ ρ χε γ ω ν

=℘= − → =+ −

損失：複素電気感受率の虚部（417-８）

予測：密度行列の運動方程式の定常解とは無縁のようです。非定常解（ある時点で照射をやめる！）を求める必要があります。

４１８－5

二準位系の強励起

aa bbρ ρ

● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ●

励起準位（準位２）：E2

基底準位（準位１）：E1 ● ● ● ● ● ● ●

0aaρ =

二準位系：反転分布不可 • 励起・基底準位にある電子数が同じになった時点で定常状態。物質は完全透明状態。 • 直感的に考えても、透明物質の「電気感受率」真空中と同じで「零」になる。

光強度定常状態

参考：301-16

a

b

ブロッホ・ベクトルのUV平面へ射影（参照：417-18）

透明状態：複素電気感受率は零扱い。

( ) ( ), , 0,0,0U V W =

ブロッホ・ベクトル：消滅（原点）ブロッホ・ベクトルの長さの持つ物理的な意味？

0 0U Vχ = → = =

0aa bb Wρ ρ → =

強励起：定常状態

1bbρ =

無励起

４１８－6

( ) ( )expU iV i tE Z KZχ ν δ+ ∝ − −

ブロッホ・ベクトルと光照射（１）

( ) 222

4 1aba ab a ab

V EI

Zγ γ γ γ

℘= =


( )1

1bb aaW

ILρ ρ

ω ν− = = −

+ −



11 aT γ

−=


12 abT γ

−=エネルギー差

ω

a

bν

電磁波（光）

縦横緩和時間比：一般に下記の不等号が成立

1

2

1aba

TkT

γγ

≡ = ≥

４１８－7


( )( )

2

22ab

ab

L v γωγ ω ν

− =+ −

ブロッホ・ベクトルと光照射（２）

UV平面へ射影ベクトルの大きさ

1cos1

ILU iVILk

θ = + =+

a

計算例：418-11

ブロッホ・ベクトル長

2 2 2U V W= + +a

４１８－8

1k =

5k = 10k =1k =

5k = 10k =

最大値

1IL =

注意：射影ベクトルの長さから電気双極子の伸縮運動（分極振動）の大小を見積もることができる。 • 射影ベクトルが最長：電気双極子の伸縮が最大 • ブロッホ・ベクトルが最長の位置は励起光強度が零。射影ベクトルが最長の位置とは異なる。 • 励起光を増大するとブロッホ・ベクトル長は単調減少する。

４１８－9

ブロッホ・ベクトルと光照射（３）

やや分かりにくいと思いますがブロッホ球で考えるとブロッホ球：Bloch sphere

U軸

V軸

W軸

$$$

φ

歳差運動

南極

原点

射影ベクトル：青矢印

ブロッホ・ベクトル：黒矢印南極

励起光強度：増大

$$$

1IL =

0IL =

IL = ∞

注意：のとき歳差運動領域（左図：黒点線円の半径）が小さくなる。

12

W = −

縦横緩和時間が等しい場合

最大半径 1 2

1 2T T=

1 2T T>2 2 2U V W= + +a

cosθa

強励起

弱励起


４１８－10

ブロッホ・ベクトルと光照射（４）

$$$

0L =

12

W = −

最大半径 1 2

一例：光強度一定のとき

1 2

1IT T==

注意：電子遷移角周波数ωと光の角周波数νの差に依存 •ブロッホ・ベクトルの向きと大きさ •射影ベクトルの長さ •光照射中、ブロッホ・ベクトルの歳差角周波数は光の角周波数νと常に一致


U軸

V軸

W軸

$$$

φ

歳差運動

南極

原点


cosθa

ブロッホ・ベクトル：黒矢印電子遷移角周波数ωと光の角周波数νが一致するとき射影ベクトルの長さが最大、電気双極子の伸縮運動（分極振動）も最大になる。

1,L ω ν= =

ブロッホ・ベクトル：茶矢印

1,L ω ν< ≠

計算例（１）

( ) 222

4 1aba ab a ab

V EI

Zγ γ γ γ

℘= =


( )1

1bb aa ILρ ρ

ω ν− =

+ −



11 aT γ

−=


12 abT γ

−=エネルギー差

ω

a

bω ν=

電磁波（光）


４１８－11

1

2

1aba

TkT

γγ

≡ = ≥


( )( )

2

22ab

ab

L v γωγ ω ν

− =+ −

計算例（２）

( ) ( )21a ab

a ab

I IE Z E Z

γ γγ γ

℘ ℘= → =

光強度：無次元ブロッホ・ベクトル：Ｗ成分

11aa bb

WIL

ρ ρ= − = −+

2 abU iV ρ± =

UV平面への射影ベクトルの大きさ

( ) ( ) ( )( )

( )22

exp2

121 1

ab

a

aa bbab

ab

ka abbb aa

ababab

E ZK

E

ii Z t

i

I L ILIL ILk

Z γγ

ρ ρρ νγ ω ν

γ γρ ρργγ ω ν

≡

℘ −= −

+ −

℘ −= = →

+ ++ −

密度行列の非対角要素：参照415-8

４１８－12


( )( )

2

22ab

ab

L v γωγ ω ν

− =+ −

計算例（３）

UV平面への射影ベクトル（右図：青矢印）の大きさ

1cos 21ab

ILU iVILk

θ ρ= ± = =+

a

ブロッホ・ベクトル：Ｗ成分

11 101 2

ILaa bbW WIL

ρ ρ == − = − ≤ → = −+


U軸

V軸

W軸

$$$

φ

歳差運動

南極

原点


注意：ブロッホ・ベクトルは南半球側に存在する。北半球は「反転分布領域」になる。

112

IL k U iV= = → ± =

分極振動：最大条件

ブロッホ・ベクトル：黒矢印

４１８－13


1

2

1aba

TkT

γγ

≡ = ≥

cosθa

2 2 2U V W= + +a

４１８－14

誘電分極：絵解き説明（１）

位置：Ｚ

シート状の原子集団：電子遷移角周波数ω

U軸

V軸

W軸

$$$

φ

歳差運動

南極

原点


ブロッホ・ベクトル：歳差角周波数

cosθa( )( ) ( )

*

exp

,Xi

E Z t

Z KE t Zν= −

電磁波（光）：複素数表示（complex conjugate）

( ),Z t t ZKφ ν δ= − −

４１８－15

誘電分極：絵解き説明（２）

ν

簡単のため：三個のみ

光の角周波数

1ω

2ω

3ω

$$$

$$$

$$$

1 2 3ω ω ω= =

$$$

$$$

集団としての分極振動（誘電分極）を大きな歳差運動で表現！

•共鳴条件： •位相の揃った電気双極子の集団的伸縮運動 •原子集団全体：大きな歳差運動、誘電分極 •歳差角周波数は光の角周波数νと常に一致

均一な原子集団

1 2 3ν ω ω ω= = =

電子遷移角周波数

４１８－16

誘電分極：絵解き説明（３）

ν

光の角周波数

$$$

$$$

$$$

1 2 3ω ω ω≠ ≠

$$$

$$$

•非共鳴条件： •位相の揃った電気双極子の集団的伸縮運動 •原子集団全体：やや大きな歳差運動、誘電分極 •歳差角周波数は光の角周波数νと常に一致


電子遷移角周波数

1ω

2ω

3ω

不均一な原子集団

1 2 3ν ω ω ω≠ ≠ ≠

誘電分極をやや大きな歳差運動（茶矢印）で表現！

４１８－17

自由誘導減衰（１）：free induction decay

光照射を終了：定常状態から過渡状態へ

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

exp,

2

,

aaa aa ba ab ba ab ab

bba aa ba ab ba ab

i ti tab ab

abab ab aa bb ab

i Z ti V V Vt

i V Vt

iV ei e

E Z K

t

νν

νρ γ ρ ρ ρ

ρ γ ρ ρ ρ

ρ γ ω ν ρ ρ ρ ρ ρ −

−∂= − − − ℘

∂∂

= − −∂∂

= − + − + − = ∂

運動方程式：密度行列（418-4）

( )

0abaa

a aa

bba aa

abab ab

V

t

t

it

ρ γ ρ

ρ γ ρ

ρ γ ω ν ρ

=∂

= −∂∂

=∂∂

= − + − ∂

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

0 exp

1 0 exp

0 exp exp

aa b

aa aa a

bb aa a

ab ab ab

t t

t t

t t

t t i t

ρ ρ

ρ ρ γ

ρ ρ γ

ρ ρ γ ω

+ =

= −

= − −

= − −

時刻ｔ＝０：光照射終了

密度行列の非対角要素：電子遷移角周波数ωで振動

４１８－18

自由誘導減衰（２）：free induction decay

ブロッホ・ベクトル：Ｗ成分

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2 1

2 0 exp 1

aa bb

aa

aa a

W t t t

t

t

ρ ρ

ρ

ρ γ

= −

= −

= − −


11 aT γ

−=


12 abT γ

−=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2 0 exp exp

2 0 exp cos

2 0 exp sin

ab

ab ab

ab ab

ab ab

U t iV t t

t i t

U t t t

V t t t

ρ

ρ γ ω

ρ γ ω

ρ γ ω

− =

= − −

= −

= −

UV平面へ射影ベクトルの大きさ

光照射終了後：ブロッホ・ベクトルの歳差運動 •Ｗ成分は縦緩和時間で指数関数的に減衰 •U、V成分は横緩和時間で指数関数的に減衰

•歳差運動も緩和により指数関数的に減衰 •歳差角周波数は電子遷移角周波数ωと一致

•最終状態は

•即ち、電子は上準位から下準位へ緩和する。

( ) 1W ∞ = −

( ) 1bbρ ∞ =自由誘導減衰：NMR（nuclear magnetic resonance）では横緩和による歳差運動の減衰を磁気共鳴信号で検出する。

４１８－19

自由誘導減衰：絵解き説明（１）

簡単のため：原子（電気双極子）一個

ν

光の角周波数電子遷移角周波数

ω $$$

ν ω≠

$$$

時間経過

• 光照射中光の角周波数νで歳差運動 UV平面へ射影ベクトル：青矢印 • 光照射終了電子遷移角周波数ωで歳差運動減衰しながらも電子遷移角周波数ωで歳差運動射影ベクトルも減衰縦緩和：Ｗ成分横緩和：射影ベクトル（U、Ｖ） • 最終状態：下準位射影ベクトルは消滅ブロッホ・ベクトルは南極を向く

エネルギー差

ω

a

bν

電磁波（光）

$$$

南極

縦緩和：Ｗ横緩和：U、V

自由誘導減衰（横緩和） 1.歳差運動の減衰 2.射影ベクトルの減衰 3.電気双極子の伸縮運動（分極振動）の減衰

ν

ω

ω

４１８－20

自由誘導減衰：絵解き説明（２）

位置：Ｚ

ν



1ω

2ω

3ω

$$$

$$$

$$$

1 2 3ω ω ω= =

$$$

光照射終了後：均一な原子集団の場合 •位相の揃った電気双極子の伸縮運動は減衰 •原子集団全体の歳差運動、誘電分極も減衰 •歳差角周波数は電子遷移角周波数ωと一致

$$$

歳差運動の減衰・消滅

南極

均一な原子集団

４１８－21

位置：Ｚ

ν


1ω

2ω

3ω

$$$

$$$

$$$

1 2 3ω ω ω≠ ≠

光照射終了後：不均一な原子集団の場合 •各原子の歳差角周波数はバラバラ

•原子集団として、位相の揃った電気双極子の伸縮運動を実現できない。 •原子集団全体としての歳差運動、誘電分極は急激に減衰、消滅 •均一（homogeneous）な原子集団の横緩和時間

•不均一（inhomogeneous）な原子集団の横緩和時間

•関係式

•固体等、隣接原子間距離が短く、お互いに干渉し合う状況下では縦・横緩和時間とも不均一性を考慮しなければならない。 •密度行列の運動方程式に現象論的に付加する縦・横緩和時間にも均一性・不均一性を反映させる。（参照：418-4）

自由誘導減衰：絵解き説明（３）

1 2 3ω ω ω≠ ≠

homo2T

inhomo2T

inhomo homo2 2T T≤

1ω

2ω

3ω

簡単のため：三個のみ不均一な原子集団

スライド番号 1スライド番号 2スライド番号 3スライド番号 4スライド番号 5スライド番号 6スライド番号 7スライド番号 8スライド番号 9スライド番号 10スライド番号 11スライド番号 12スライド番号 13スライド番号 14スライド番号 15スライド番号 16スライド番号 17スライド番号 18スライド番号 19スライド番号 20スライド番号 21

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1. 復習 2. 3. ブロッホ・ベクトルと光照射 4. 計算例 誘電分極 ...1. ブロッホ・ベクトル（Bloch vector）を利用して二準位系の電子状態を記述する。

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