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1(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
FEM: Fehlerquellen und Fehler
• Die Studierenden sollen Fehlerquellen bei FEM kennen und Möglichkeiten zur Fehlerminimie-rung nutzen können.
2(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Vom physikalische Problem zum Rechenmodell
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Quelle: S. Bischoff, Stuttgart
3(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
FE-Methode
• Systemzerlegung und Zusammenbau• Element- und Systemsteifigkeiten• Lasten und Randbedingungen• Lösung des Gleichungssystems und
Rückrechnung
4(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Approximationen
• bei der Aufgabenstellung– Die Wahl der einzelnen finiten Elemente bedingt die
Form des Gebietes (z.B. FE bei Kreisscheibe)
• bei der Lösung– Formfunktionen– isoparametrisches Konzept– numerische Integration
5(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Isoparametrische Konzept
Die Geometrie und die Verschiebungen, also die unverformte und die verformte Geometrie werden mit denselben Formfunktionen approximiert.
6(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie
Prinzip der virtuellen Verschiebungen Wenn sich ein Körper im Gleichgewicht befindet, ist
für beliebige, infinitesimal kleine, virtuell auf den Körper einwirkende Verschiebungen, die die Auflagerbedingungen erfüllen, die gesamte innere virtuelle Arbeit gleich der äusseren virtuellen Arbeit.
7(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Anforderungen an die Ansätze der FEM
• Konsistenz = Vollständigkeit + Kompatibilität• Stabilität = ausreichende Integrationsordnung +
reguläre Elementformen
8(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Konvergenzrate und Genauigkeit
• Konvergenzrate: sagt aus, wie schnell eine bestimmte Fehlergrösse mit Netzverfeinerung gegen Null strebt.
• Genauigkeit: Der absolute Fehler sollte bei erträglichen Rechenzeiten unterhalb einer bestimmten Grenze liegen.
9(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Locking
bezeichnet das Phänomen einer von einem bestimmten Parameter abhängenden, reduzierten Konvergenzrate bei groben Netzen.
reduzierte Konvergenzrate: bei Netzverfeinerung ist die Verbesserung der Lösung geringer, als es die mathematische Theorie vorhersagt.
10(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
FEM-Näherungslösungen
• Die FEM-Näherung ist bei gleichmässiger Elementgrösse im Bereich geringerer Spannungsgradienten besser als im Bereich höherer Spannungsgradienten.
• Die Elementspannungen sind in Elementmitte deutlich genauer als am Elementrand.
• Der Spannungssprung zwischen zwei Elementen ist ein Mass für die Genauigkeit an der betreffenden Stelle.
11(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Fehlermöglichkeiten bei Stabwerkberechnungen
• Fehler im Berechnungsmodell• Eingabefehler• numerische Fehler• Programmfehler
(Werkle S. 157)
12(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Kontrolle von Stabwerksberechnungen
• Grobkontrolle– Graphische Darstellung des Systems– Kontrolle der Summe der Lasten jedes Lastfalls– graphische Darstellung der Verformungen– graphische Darstellung massgebender Schnittgrössen
• Prüfung der Eingabedaten auf Vollständigkeit• Kontrollen bei singulärer Steifigkeitsmatrix• Feinkontrolle
13(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Dokumentation der BerechnungenEingabewerte:• alle relevanten Eingabewerte• Numerierung der Knotenpunkte und Elemente• Knotenpunktkoordinaten• Querschnitts-, Material- und Bemessungskennwerte• Auflager- und Gelenkdefinitionen• Lasten• graphische Darstellung aller Lastfälle• Summe der Lasten• Vorschrift zur Lastfallüberlagerung
14(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Dokumentation der BerechnungenErgebnisse:• Auflagerkräfte (einzeln und Summe
lastfallweise)• graphische und tabellarische Darstellung der
Schnittgrössen• graphische und tabellarische Darstellung der
Durchbiegungen• Bemessungskennwerte und Bemessung bzw.
sonstige statische Nachweise
15(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Näherungscharakter der FEM
Lesen und bearbeiten Sie im Buch Werkle FEM die Kapitel:
– 4.3.1 Eindimensionales Erläuterungsbeispiel– 4.3.2 Analytische Lösung– 4.3.3 FEM-Näherungslösung mit linearem
Verschiebungsansatz
16(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Fachwerkstab mit veränderlicher Querschittsfläche
17(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Analytische Lösung
18(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
FEM-Näherungslösung mit linearem Verschiebungsansatz
19(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Vergleich FEM-Näherung und exakte Lösung
20(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Beispiel 4.2
21(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Forderung an exakte Lösung
• An der Grenzlinie benachbarter Elemente müssen die Verschiebungsgrössen beider Elemente übereinstimmen.
• An der Grenzlinie müssen die Kraftgrössen beider Elemente die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen.
• An gelagerten Rändern sind die Auflagerbedingungen zu erfüllen.
• An freien Rändern ist das Gleichgewicht zwischen Randlasten und Schnittgrössen zu erfüllen.
22(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
FEM-Näherungslösungen
• Die FEM-Lösung nähert die exakte Lösung an. Ihre Genauigkeit wird durch eine Vergrösserung der Elementzahl bzw. eine Verringerung der Elementgrösse erhöht.
• Elemente mit höheren Ansatzfunktionen sind genauer als Elemente mit niedrigeren.
• Bei Finiten Elementen, die ausschlieslich auf Verschiebungsansätzen beruhen, sind die angenäherten Knotenverschiebungen im Mittel zu klein, d.h. das System verhält sich aufgrund des Näherungsansatzes zu "steif".
23(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Eigenschaften der FEM-Näherungslösung
• Genauigkeit wird durch Vergrösserung der Elementzahl erhöht.
• Elemente mit höhern Ansatzfunktionen sind genauer.• Bei Verschiebungsansätzen sind die
Knotenverschiebungen im Mittel zu klein.• bessere Genauigkeit im Bereich geringer
Spannungsgradienten.• Elementspannungen in der Mitte genauer als am Rand.• Spannungsprung zwischen zwei Elementen ist Mass für
die Genauigkeit.
24(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Eigenschaften der FEM mit Verschiebungsansätzen
• Verschiebungsgrössen stimmen an den grenzen benachbarter Elemente überein.
• Die Gleichgewichtsbedingungen für Kraftgrössen werden an den Grenzlinien nicht erfüllt.
• Die Auflagerbedingungen werden an gelagerten Rändern erfüllt.
• An freien Rändern wird das Gleichgewicht zwischen Randlasten und Schnittgrössen nicht erfüllt.
25(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Numerische Integration
Für die Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix K und des Vektors F der konsistenten Knotenlasten müssen Integrale gelöst werden.In FEM-Programmen wird die Integration in der Regel numerisch ausgeführt, meist nach Gauss. Dabei wird das Integral durch eine Summe von Funktionswerten multipliziert mit einem Gewichtsfaktor ersetzt.
26(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Numerische Integration nach Gauss-Legendre
1-dimensional
2- dimensionale Gebiete€
f (ξ )−1
1
∫ dξ = f (ξ i)i=1
n
∑ ⋅ωi
€
f (ξ ,η )−1
1
∫−1
1
∫ dξdη ≈ f (ξ i,η j )j=1
nη
∑i=1
nξ
∑ ⋅ωi ⋅ω j
27(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Kondition einer Matrix
Abhängigkeit der Lösung eines Problems von der Störung der Eingangsdaten. Die Konditionszahl stellt ein Mass für diese Abhängigkeit dar; sie beschreibt den Faktor, um den der Eingangsfehler im ungünstigsten Fall verstärkt wird. Sie ist unabhängig von konkreten Lösungsverfahren.
28(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Kondition einer Matrix
Eine positiv definite Matrix hat nur positive Eigenwerte k , k = 1 . . . n. Die Konditionszahl einer solchen Matrix ist der Quotient von grösstem und kleinsten Eigenwert:
Ist k gross, so ist die Matrix schlecht konditioniert. €
k = λ max
λ min
29(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Faustregel
Die Grössenordnung der Konditionszahl gibt die Anzahl der Stellen in den Ergebnissen angibt, die nicht mehr genau berechnet werden können. Ist beispielsweise k ≈ 107 , dann kann bei einem real*4-Ergebnis mit 8 Stellen nur eine Ziffer sinnvoll ausgewertet werden.
30(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Bandbreite von Matrizen
31(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Bandbreite von Matrizen
Die Matrix K ist meist schwach besetzt, d.h. bis auf die Hauptdiagonale und wenige Nebendiagonalen besteht die Matrix nur aus Nullelementen. -> Bandmatrix, entsteht nur bei günstiger, d.h. fortlaufender Numerierung der Knoten.Charakteristisch ist die halbe Bandbreite einer n n-Matrix. Sie ist
o(i) = Position des ersten Nichtnullelements der i-ten Zeile
€
max2≤ i≤n
i − o i( )( )
32(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Iterative Lösungsverfahren für Gleichungssysteme
• Jakobi-Verfahren• Gauss-Seidel-Verfahren• konjugiertes Gradientenverfahren
33(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Weitere Probleme
• Thermische Veränderungen– Temperaturgradient– unterschiedliches Materialverhalten