Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto de Matematica

Departamento de Matematica

Campos Vetoriais Conservativos- parte I e parte II -Angela Biazutti-2019/01

1 Campos Conservativos - parte I

1.1 Definicao

E importante lembrar que um campo vetorial ~F e uma funcao que a cada ponto P de uma regiaode IR3 associa um unico vetor ~F (P ) de IR3, com ponto inicial em P (em particular ~F tambem

pode associar P em uma regiao de IR2 a um vetor ~F (P ) de IR2). Em termos de aplicacao, podeser um campo de velocidades em um fluido que se desloca, um campo eletrico, um campo deforcas, etc.

Ja foram estudados anteriormente o conceito e propriedades de integral de linha vetorial,em que a funcao a integrar e exatamente um campo vetorial e a regiao de integracao e umacurva no plano ou no espaco. Um Teorema e Corolario ”facilitadores”para calcular este tipo deintegral e o Teorema de Green. Entretanto estes dois resultados so podem ser utilizados se certascondicoes sao verdadeiras. Caso contrario, para calcular o valor da integral de linha vetorial emuma curva, torna-se necessario parametrizar esta curva. Isto pode ser complicado de fazer.

Foram descobertos alguns resultados ”facilitadores”do calculo de integrais de linha vetori-ais, validos para determinados campos vetoriais, chamados campos vetoriais conservativos(ou campos vetoriais gradientes). Para poder utilizar tais resultados, torna-se essencial saberexatamente o que e um campo especial como este.

Alguns termos que ja apareceram antes vao ser mencionados nesta secao e em outras, taiscomo: curva simples, que e aquela sem pontos de auto-intersecao (a lemniscata nao e uma curvasimples); regiao conexa, na qual, quaisquer dois pontos podem ser ligados por uma poligonaltotalmente contida na regiao; regiao aberta, que nao contem nenhum ponto de sua fronteira;regiao simplesmente conexa, e aquela em que toda curva fechada(ponto inicial=ponto final)contida na regiao e fronteira de uma superfıcie totalmente contida na regiao tambem (no casode regiao simplesmente conexa em IR2, intuitivamente e uma regiao sem ”buracos”); funcao declasse C1, e a que for contınua com todas as suas derivadas contınuas.

Definicao 1.1 Seja ~F : M ⊂ IR3 −→ IR3 um campo de vetores contınuo na regiao abertaconexa M , ou seja todas as componentes de vecF sao funcoes contınuas em cada ponto de M .~F e dito conservativo em M quando, dados A, ponto inicial e B, ponto final de duas curvassimples γ1 e γ2 pertencentes a M , tivermos

∫γ1~F .~dl =

∫γ2~F .~dl, ou seja, o valor da integral se

conserva, mesmo mudando a curva (desde que a curva esteja em M), se forem mantidos o pontoinicial e final. (mudando os pontos inicial e final, teremos um novo valor para a integral, masque se mantem fixo se mudarem as curvas que ligam os novos pontos). A integral de linha de~F entao e dita independente do caminho em M (vale a definicao em particular substituindo IR3

por IR2 em todo lugar onde aparecer).

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1.2 Teoremas e Corolarios

Teorema 1.1 Seja ~F : M ⊂ IR3 −→ IR3 um campo de vetores contınuo na regiao aberta conexaM . Tem-se entao: ~F e conservativo em M se e somente se

∮γ~F .~dl = 0, para cada curva

simples fechada γ de M (vale o teorema em particular substituindo IR3 por IR2 em todo lugaronde aparecer).

Prova: Decorre da definicao 1.1, da propriedade da integral de linha vetorial, segundo a qual,ao inverter o sentido de percurso da curva, o valor da integral de linha vetorial muda de sinal eda propriedade de aditividade da integral. De fato:

Seja γ curva simples fechada, γ = γi∪γs pertencente a M , orientada no sentido anti-horario,sendo γi a parte de γ inferior indo de A ate B e γs a parte de γ superior indo de A para B. Se ~Fe conservativo em M entao

∫γi~F .~dl =

∫γs~F .~dl. Trocando-se o sentido da segunda integral, de B

para A, teremos a mudanca de sinal, ou seja∫γi~F .~dl = −

∫γs−

~F .~dl. Passando a segunda integral

para o primeiro membro da equacao teremos∫γi~F .~dl+

∫γs−

~F .~dl = 0. Utilizando a propriedade

de aditividade a soma das duas integrais se torna∮γ~F .~dl = 0. Como γ foi escolhida de forma

geral, conseguimos verificar que isto vale para cada curva fechada simples γ de M .

Para provar a recıproca e so comecarmos da ultima igualdade da parte anterior da prova,separarmos a curva γ em duas, usando a propriedade de aditividade primeiro, a de mudanca desinal e a definicao e teremos o resultado.

Como consequencia imediata do resultado anterior temos o seguinte:

Corolario 1.1 Seja ~F : M ⊂ IR3 −→ IR3 um campo de vetores contınuo na regiao abertaconexa M . Se existir pelo menos uma curva simples fechada γ em M tal que

∮γ~F .~dl 6= 0, entao

~F nao e conservativo em M (vale o corolario em particular substituindo IR3 por IR2 em todolugar onde aparecer).

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Exemplo 1.1 Considere o campo vetorial ~F (x, y) =(−y

x2+y2, xx2+y2

). Verifique se ~F e conser-

vativo em M = IR2 − {(0, 0)}.

Solucao: Valem as hipoteses do corolario 2.1, isto e, M e aberto conexo, ~F e contınuo em M .Alem disso, ja foi calculado anteriormente que

∮γ~F .~dl = 2π, quando γ e a curva simples fechada

formada pelos lados de um quadrado determinado pelos segmentos x = 1, x = −1, y = 1 ey = −1, orientada no sentido anti-horario e tambem

∮γ~F .~dl = −2π quando γ e a curva simples

fechada, x2 + y2 = 4, orientada no sentido horario (bastava ser diferente de zero em uma curva).

Portanto, segue-se do Corolario 2.1 que ~F nao e conservativo na regiao M escolhida.

Exemplo 1.2 Considere o campo vetorial ~F (x, y) =(−y

x2+y2, xx2+y2

). Verifique se ~F e conser-

vativo em M = {(x, y);x > 0, y > 0}.

Solucao: E impossıvel testar o valor da integral caso a caso, para cada curva simples fechada γem M . Precisamos de um ”atalho”que permita mostrar que obteremos o valor zero utilizandotoda curva simples fechada em M , sem particularizar a curva. Um simples calculo nos fornece∂F2

∂x(x, y) = ∂F1

∂y(x, y) = y2−x2

(x2+y2)2, para cada (x, y) 6= (0, 0).

Consideremos uma curva simples fechada arbitraria γ, na regiao M , orientada no sentidoanti-horario. Teremos entao uma regiao fechada, limitada, conexa e simplesmente conexa D,com ∂D = γ, sendo D ⊂ M , assim ~F sera de classe C1 em D ∪ γ (porque o unico problema

com ~F ocorre em (0, 0) que nao pertence a M , logo nao ha problema em D tambem). Assim

podemos aplicar o Teorema de Green e obter∮γ~F .~dl =

∫D

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dA =

∫D

0 dA = 0

Como γ nao foi particularizada, provamos que isto ocorrera para cada γ. Podemos agoraaplicar o Teorema 2.1 e concluir que ~F e conservativo em M .

Observacao 1.1 Podemos observar dos dois exemplos anteriores que a propriedade de umcampo vetorial ~F ser conservativo esta associada a uma regiao M onde o campo esta definido.Ele pode vir a ser conservativo numa regiao mais restrita e nao ser conservativo em uma regiaomaior! Veremos ainda que pode ocorrer de um campo vetorial nao ser conservativo em nenhumaregiao M , ou ser conservativo na maior regiao possıvel (IR3 ou IR2, dependendo do domınio dedefinicao do campo vetorial).

O que foi feito no exemplo anterior pode ser aproveitado para mostrar que outros cam-pos vetoriais definidos em IR2 sao conservativos, desde que preencham as condicoes que foramnecessarias para resolver o exemplo. Vejamos o teorema a seguir.

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Teorema 1.2 Seja ~F : M −→ IR2, de classe C1 na regiao aberta conexa e simplesmente conexaM ⊂ IR2. Suponha que ∂F2

∂x(x, y) = ∂F1

∂y(x, y) para cada (x, y) ∈ M . Entao ~F e conservativo em

M .

Prova: Considere γ curva simples fechada arbitraria em M , orientada no sentido antihorario.Entao existira D regiao fechada, limitada, conexa e simplesmente conexa, contida em M , tal que∂D = γ e tambem teremos ~F de classe C1 em D e ∂F2

∂x(x, y) = ∂F1

∂y(x, y) para cada (x, y) ∈ D.

Poderemos entao aplicar o Teorema de Green para calcular∮γ~F .~dl = 0. Como γ arbitraria,

provamos este resultado para toda possıvel γ, logo, pelo Teorema 2.1, teremos ~F conservativoem M .

E importante observar que a hipotese de M ser simplesmente conexa foi importante, porque,sem ela, nao seria possıvel garantir que o interior de cada curva fechada γ estaria contido emM . O resultado a seguir e uma ”especie de recıproca”do teorema anterior. Nao e uma recıprocaporque exatamente a hipotese de M ser simplesmente conexa nao aparece. Atencao para naocolocar a hipotese no teorema errado!

Teorema 1.3 Seja ~F : M −→ IR2, de classe C1 na regiao aberta conexa M ⊂ IR2. Suponhaque ∂F2

∂x(P∗) 6= ∂F1

∂y(P∗) para pelo menos um P∗ ∈M . Entao ~F e nao e conservativo em M .

A prova do Teorema 2.3 sera feita mais tarde, quando ele e tambem o Teorema 2.2 foremgeneralizados para campos vetoriais em IR3, na secao sobre Campos Conservativos, parte II.

Exemplo 1.3 Seja ~F (x, y) = (20(x + 2y)19, 40(x + 2y)19 − kx). Determine, caso exista, um

valor para a constante real k, para que ~F seja conservativo em IR2.

Solucao: M = IR2, ~F e polinomial, logo e de classe C1 em M e M e aberto/fechado, conexo,simplesmente conexo. Portanto as hipoteses dos Teoremas 2.2 e 2.3 sao quase todas validas,so falta verificar a hipotese sobre as derivadas parciais. Se forem iguais em todo ponto de M ,valera o Teorema 2.2 e o campo ~F sera conservativo em M . Se existir algum ponto de M ondeelas nao forem iguais, entao ~F nao sera conservativo em M .

∂F2

∂x= 40.19(x+ 2y)18 − k e ∂F1

∂y= 40.19(x+ 2y)18.

Comparando as duas expressoes, teremos que a identidade entre elas ocorrera se e somentese k = 0. Logo podemos concluir, do Teorema 2.3, que o campo nao e conservativo quandok 6= 0 e, do Teorema 2.2, que o campo e conservativo quando k = 0, na regiao M = IR2.

Supondo que saibamos que um campo ~F e conservativo em uma regiao M , se γ for uma curvasimples fechada em M , saberemos o valor de

∮γ~F .~dl = 0. Mas e se γ for uma curva aberta?

Neste caso, por conta da definicao de campo conservativo, teremos como calcular o valor daintegral utilizando outra curva mais simples γ, ligando os mesmos pontos inicial e final quea curva γ, desde que esta outra curva γ tambem esteja na regiao M . Qual a vantagem destaestrategia? Trocar uma curva complicada, difıcil de parametrizar, ou que complique a resolucaoda integral de linha, por outra mais simples.

Mas ainda assim teremos que parametrizar alguma curva. O ultimo teorema sobre estetopico vai fornecer uma forma de calcular integral de linha de campos conservativos sem precisarparametrizar curva nenhuma. Qual sera o preco a pagar para ter esta vantagem? Veremos que

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sera preciso usar derivacao parcial e integral em relacao a uma variavel, duas ou tres vezes,dependendo se o campo ~F for de IR2 ou de IR3. A melhor estrategia sera sempre a mais simplesde ser utilizada para aquele problema particular, ou seja, depende do problema.

Teorema 1.4 Seja ~F : M −→ IR3, contınua em M ⊂ IR3 regiao aberta e conexa. Tem-se entaoque ~F e conservativo em M se e somente se existir uma funcao de valor real definida em M ,(chamada funcao potencial de ~F em M), U : M → IR, tal que U satisfaz as seguintes condicoes:

U e de classe C1 em M e ~∇U(P ) = ~F (P ), em cada ponto P ∈ M . Alem disso, quando ~F forconservativo em M , se γ for qualquer curva em M com ponto inicial A e ponto final B, teremos∮ BA~F .~dl = U(B) − U(A) ( o teorema continua valido se trocar IR3 por IR2 em cada lugar onde

aparecer).

Prova: Se existir U com estas caracterısticas teremos∮ B

A

~F .~dl =

∮ B

A

~∇U(P ).~dl =

∮ B

A

{Ux dx+ Uy dy + Uz dz} =

∮ B

A

dU = U(B)− U(A),

utilizando o Teorema Fundamental do Calculo. Como o valor da integral sera o mesmo paracada curva γ, pela definicao 1.1 teremos que o campo ~F sera conservativo.

Para mostrar a recıproca, e necessario exibir uma funcao U e verificar que ela satisfaz ascondicoes apontadas. Tal funcao e definida como sendo

U(x, y, z) =

∫ (x,y,z)

(x0,y0,z0)

{F1 dx+ F2 dy + F3 dz},

sendo o caminho para ir de P0(x0, y0, z0) a P (x, y, z) pontos arbitrarios de M , com P0 fixado,sendo da forma poligonal, variando somente uma das componentes de cada vez. Utilizando oTFC chega-se ao resultado.

Exemplo 1.4 Seja ~F (x, y) = (20(x+2y)19, 40(x+2y)19) campo conservativo em IR2 (verificadono exemplo 2.3). Determine o valor das seguintes integrais:

(a)∮γ~F .~dl, onde γ e a elipse x2

4+ y2

9= 1.

(b)∫γ~F .~dl, onde γ e a curva com parametrizacao ~σ(t) = (2 cos t, t+ 2 sin t), 0 ≤ t ≤ π.

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Solucao: (a) Como γ e fechada, pelo Teorema 2.1 o valor da integral e zero.

(b) Ponto inicial de γ e A = σ(0) = (2, 0) e ponto final e B = σ(π) = (−2, π). Como ~F econservativo em IR2, pelo Teorema 2.4 tem-se que o valor da integral sera

U(B)− U(A) = U(−2, π)− U(2, 0).

Precisamos achar entao uma funcao potencial U . Sabemos que Ux = F1 = 20(x + 2y)19, logo,integrando em relacao a x obteremos U = (x+ 2y)20 + g(y). Derivando em relacao a y teremosUy = 20(x+ 2y)19.2 + g′(y) = F2 = 40(x+ 2y)19, logo g′(y) = 0, g(y) = c. Nesse caso

U = (x+ 2y)20 + c

e a famılia de candidatas a funcoes potenciais. Podemos notar que todas sao de classe C1 emIR2 e, derivando parcialmente, ~∇U = ~F , para cada ponto de IR2, logo cada uma delas e funcaopotencial de ~F em M = IR2. Tomemos a mais simples, com c = 0. Entao o valor da integral delinha sera U(−2, π)− U(2, 0) = (−2 + 2π)20 − (2)20.

Exemplo 1.5 Seja ~F (x, y, z) = (2xy+ y3, x2 + 3xy2, 2z+ x). Verifique se ~F e conservativo em

IR3. Em caso afirmativo, determine uma funcao potencial para ~F em IR3.

Solucao: Se ~F for conservativo em IR3 entao existira U tal que U ∈ C1(IR3) e ~∇U(P ) = ~F (P )para cada P ∈ IR3. Nesse caso Ux = F1 = 2xy + y3. Integrando em relacao a x dos doislados teremos U = x2y + y3x + g(y, z). Derivando em relacao a y dos dois lados teremosUy = x2 + 3y2x + ∂g

∂y(y, z). Igualando a Uy = F2 = x2 + 3xy2 teremos, obrigatoriamente, que

encontrar ∂g(y,z)∂y

= 0, logo, integrando em relacao a y teremos g(y, z) = h(z). Substituindo

na expressao de U teremos U(x, y, z) = x2y + y3x + h(z). Derivando em relacao a z tere-mos Uz = h′(z). Comparando com Uz = F3 = 2z + x teremos que obter obrigatoriamenteh′(z) = 2z + x. Integrando em relacao a z obteremos h(z) = z2 + xz + k. Substituindo naexpressao de U ja obtida teremos finalmente U = x2y + y3x + z2 + xz + k. Concluimos entaoque, se ~F for conservativo, as unicas funcoes potenciais teriam que ser da forma obtida. Verifi-quemos agora se satisfazem as condicoes para serem funcoes potenciais: todas sao de classe C1

em M = IR3. Mas, ao verificarmos se ~∇U = ~F , veremos que Ux = 2xy+y3 +z 6= F1 = 2xy+y3.Entao nenhuma das candidatas possıveis e realmente funcao potencial, logo ~F nao e conservativoem IR3.

Exemplo 1.6 Seja ~F (x, y, z) = (2xy + y3, x2 + 3xy2, 2z). Sabendo-se que ~F e conservativo em

IR3, determine o valor do trabalho realizado por ~F para mover um objeto ao longo da helice comparametrizacao ~σ(t) = (2 cos t, sen t, 5t), 0 ≤ t ≤ π.

Solucao: Ja sabemos que ~F e conservativo. Entao podemos escolher duas estrategias: ouachamos uma funcao potencial U e utilizamos o teorema 2.4, ou utilizamos a definicao de campoconservativo, isto e, escolhemos uma curva mais simples com o mesmo ponto inicial e o mesmoponto final que a helice, ja que o valor da integral sera o mesmo (desde que a nova curva esteja

na regiao onde o campo e conservativo). O ponto inicial sera A = ~σ(0) = (2, 0, 0) e o ponto

final B = ~σ(π) = (−2, 0, 5π). Podemos escolher, por exemplo, o segmento de reta AB, cujaparametrizacao sera σ(t) = (2− 4t, 0, 5πt), 0 ≤ t ≤ 1. Nesse caso teremos:∮ B

A

~F .~dl =

∫ 1

0

~F (σ)(t). ~σ′(t)dt =

∫ 1

0

(0, (2− 4t)2, 10πt).(−2, 0, 5π)dt =

∫ 1

0

50π2t dt = 25π2.

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1.3 Estrategias para resolver uma integral de linha vetorial- parte I

Considere um problema de calcular∫γ~F .~dl. Devemos observar logo o campo vetorial ~F , se e

de IR2 ou de IR3, se e contınuo sempre, se tem derivadas parciais contınuas sempre, e, casocontrario, em que pontos apresenta problemas. Devemos observar se a curva γ e aberta oufechada. Temos varias estrategias a considerar para calcular esta integral:

opcao 1: e a da ”forca bruta”. Parametrizamos a curva γ, obtendo σ(t) = (x(t), y(t), z(t)),a ≤ t ≤ b. Identificamos o sentido de percurso da curva associado ao parametro t,verificando a trajetoria dos pontos de γ quando t cresce de a para b, se γ e fechada ouachando A = σ(a) sendo o ponto inicial e B = σ(b) sendo o ponto final, se ela for aberta.Em seguida e so usar o Teorema 2 de integrais de linha vetorial:∫

γ

~F .~dl =

∫ b

a

~F (σ(t)). ~σ′(t) dt

e depois calcular a integral de uma variavel obtida.

opcao 2: caso γ seja fechada e ~F seja contınuo numa regiao conexa M que contenha γ, tentarprovar que ~F e conservativo em M (verificar quais dos resultados da secao anterior podemser utilizados para tal). Em caso afirmativo, pelo Teorema 1.1 teremos que o valor daintegral sera zero.

opcao 3: caso γ seja fechada mas ~F nao seja conservativo (verificado utilizando algum dosresultados da secao anterior), verificar se valem as hipoteses do T. de Green e utiliza-lo.Caso ele nao possa ser utilizado, utilizar a opcao 1.

opcao 4: caso γ seja aberta e ~F seja contınuo numa regiao conexa M que contenha γ, tentarprovar que ~F e conservativo em M (verificar quais dos resultados da secao anterior podemser utilizados para tal). Em caso afirmativo, ou utilizar a funcao potencial para calcular ovalor da integral (Teorema 1.4) ou usar uma curva mais simples e usar a opcao 1 (decisaodepende das contas)

opcao 5: caso γ seja aberta e ~F seja contınuo numa regiao conexa M que contenha γ, tentarprovar que ~F e conservativo em M (verificar quais dos resultados da secao anterior podemser utilizados para tal). Se o campo nao for conservativo, uma opcao possıvel e fechar acurva com outra curva auxiliar mais simples e tentar utilizar (se for possıvel) o Teoremade Green. Caso nao seja possıvel, utilizar a opcao 1.

2 Campos Conservativos - parte II

Esta secao apresenta generalizacao dos seguintes resultados da secao anterior: Teoremas 1.2 e 1.3,que so podiam ser utilizados em campos ~F (x, y) = (F1, F2), e curvas γ de IR2. A demonstracaoda generalizacao do Teorema 2.2 utiliza o Teorema de Stokes, logo esta parte da materia eestudada DEPOIS do Teorema de Stokes.

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2.1 Regiao simplesmente Conexa e Teorema de Stokes

Foi visto na secao 1.1, que uma regiao aberta simplesmente conexa M (de IR2 ou IR3) e aquelaem que, para cada curva simples fechada γ ∈ M , existe pelo menos uma superfıcie S ⊂ M , talque ∂S = γ.

No caso em que M ⊂ IR2, intuitivamente e uma regiao sem ”buracos”. A regiao M =IR2 − {(0, 0)}, por exemplo, nao e simplesmente conexa em IR2.

Entretanto, M = IR3 − {(0, 0, 0)} e uma regiao simplesmente conexa em IR3. A regiaoM = IR3 − N , onde N e uma semi-reta, isto e, N = {(x0 + at, y0 + bt, z0 + ct) , onde t ≥ 0}e tambem simplesmente conexa em IR3. Ja M = IR3 − N , onde N e uma reta, isto e, N ={(x0 + at, y0 + bt, z0 + ct) , onde t ∈ IR}, nao e uma regiao simplesmente conexa de IR3.

Uma outra forma intuitiva: se e possıvel aplicar o Teorema de Green em toda curva fechadade uma regiao do IR2, esta regiao e simplesmente conexa em IR2; da mesma forma, se e possıvelaplicar o Teorema de Stokes em toda curva fechada de uma regiao de IR3, esta regiao serasimplesmente conexa em IR3.

Recordemos o Teorema de Stokes tambem, porque ele sera utilizado na demonstracao dageneralizacao do Teorema 1.2.

Teorema 2.1 Seja ~F (x, y, z) = (F1, F2, F3) e seja γ curva simples fechada de IR3. Suponha queexista S, superfıcie conexa, limitada, regular e orientada, tal que ∂S = γ. Suponha γ orientadade forma induzida por S e ~F de classe C1 em S. Entao

∮γ~F .~dl =

∫Srot(~F ). ~dS, sendo o vetor

rotacional do campo ~F definido da forma a seguir:

rot(~F ) =

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z,∂F1

∂z− ∂F3

∂x,∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)

2.2 Generalizacao de dois teoremas de campos conservativos

Apos revermos os topicos da secao anterior, poderemos provar o seguinte resultado, que gene-raliza o Teorema 1.2 da secao 1 destas notas.

Teorema 2.2 Seja ~F : M −→ IR3, de classe C1 na regiao aberta, conexa e simplesmente conexaM de IR3. Suponha que rot(~F )(P ) = (0, 0, 0), em cada P ∈M . Entao ~F e conservativo em M .

Prova: Considere γ curva simples fechada arbitraria em M . Como M e conexa e simplesmenteconexa, entao existira S superfıcie, limitada, conexa, regular e orientada, contida em M , tal que∂S = γ e tambem teremos ~F de classe C1 em S. Consideremos γ com a orientacao induzidapor S. Poderemos entao aplicar o Teorema de Stokes para calcular

∮γ~F .~dl =

∫Srot(~F ). ~dS =∫

Srot(~F ).~n dS = 0, porque rot(~F )(P ) = (0, 0, 0). Como γ arbitraria, provamos este resultado

para toda possıvel γ em M , logo, pelo Teorema 1.1, teremos ~F conservativo em M .

Exemplo 2.1 Considere ~F =

(yz + x√

x2+y2+z2, xz + 8y + y√

x2+y2+z2, 1 + xy + z√

x2+y2+z2

).

(a) Verifique se ~F e conservativo em alguma regiao aberta conexa M . Caso afirmativo, deter-mine a maior M possıvel.

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(b) Determine o trabalho de ~F ao longo de γ1 = S1 ∩ S2, onde S1 e a esfera x2 + y2 + z2 = 4 eS2 e o plano y = 1.

(c) Determine o trabalho de ~F ao longo de γ2 = S3∩S2, onde S3 e a semiesfera x2+y2+z2 = 4,com z ≥ 0 e S2 e o plano y = 1.

Solucao: (a) Seja M = IR3 − {(0, 0, 0)}. Entao M e aberta, conexa e simplesmente conexa de

IR3. Tem-se ~F de classe C1 em M . Calculando o rot(~F ) obtem-se (0, 0, 0), em cada P ∈ M .

Entao, pelo Teorema 2.2, tem-se ~F conservativo em M , a maior regiao onde as hipoteses saocumpridas.

(b)γ1 e uma circunferencia sobre a esfera S1, portanto curva simples fechada em M . Como F e

conservativo em M , segue-se do Teorema 1.1 da secao anterior que∮γ~F .~dl = 0.

(c) γ2 e uma semi-circunferencia sobre a semi-esfera S3, portanto e uma curva aberta. Pode-se

resolver o problema determinando uma funcao potencial para ~F em M , que sera U(x, y, z) =xyz+ 4y2 + z+

√x2 + y2 + z2. As extremidades da curva γ2 tocam o plano xy(portanto z = 0)

e pertencem ao plano y = 1. Substituindo y = 1 e z = 0 na equacao da semi-esfera obtemosx =√

3 e x = −√

3. Portanto podemos considerar como ponto inicial de γ2 o ponto A(−√

3, 1, 0)e como ponto final o ponto B(

√3, 1, 0). Do teorema 1.4 teremos que o valor da integral de linha

de ~F em γ2, indo de A para B, sera igual a U(B)− U(A) = 6− 6 = 0.Outra maneira de resolver o problema e utilizando a definicao de campo conservativo, vista

na secao 1. O valor da integral sera o mesmo, tanto utilizando γ2 como outra curva aberta γ3,arbitraria, que comece em A e termine em B, desde que tambem esteja em M . Podemos escolhercomo γ3 o segmento de reta AB, que pertence a M , cuja parametrizacao sera σ(t) = (t, 1, 0),

com −√

3 ≤ t ≤√

3. Assim∫ BA~F .~dl =

∫ √3−√3(~F (σ(t))).σ′(t)dt =

∫ √3−√3

t√t2+1

dt = 0.Uma terceira forma de resolver e juntar as curvas γ2 e γ3, formando uma curva fechada

simples γ. Esta curva sera a fronteira de uma superfıcie S em M , formada pela parte do planoy = 1 acima do plano xy e situada no interior da semi-esfera. Orienta-se S e depois γ deforma induzida, aplica-se Teorema de Stokes, obtendo o valor zero para a integral em γ, gracasao rot(F ) = (0, 0, 0). Usando a propriedade de aditividade para integrais de linha vetoriais,separa-se a integral de linha em duas, uma em γ2 e outra em γ3, cuja soma e zero. Com asorientacoes para Stokes respeitadas, acaba-se re-encontrando a definicao de campo conservativo,ou seja, recai-se na segunda maneira de resolver, ja discutida acima.

Sera apresentado agora a generalizacao do Teorema 1.3, que e tambem uma ”especie”de recıprocado teorema anterior.

Teorema 2.3 Seja ~F : M −→ IR3, de classe C1 na regiao aberta conexa M ⊂ IR3. Suponhaque rot(~F )(P∗) 6= (0, 0, 0) para pelo menos um P∗ ∈M . Entao ~F e nao e conservativo em M .

Prova: O processo e de reducao ao absurdo, isto e, supoe-se que a tese e falsa. Utilizandopropriedades ja estabelecidas desenvolve-se o raciocınio ate chegar a uma situacao que implicana falsidade de alguma hipotese. Como as hipoteses sao verdadeiras, segue-se que nao e possıvelnegar a tese, e assim fica provado o teorema.

Suponhamos entao que valem as hipoteses, mas ~F e conservativo em M . Neste caso vale oTeorema 1.4 da secao anterior. Por este teorema, se ~F era contınuo em M , existiria uma funcaopotencial de classe C1 em M . Como nosso ~F e de classe C1, a funcao potencial sera de classe

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C2 em M , com ∇U(P ) = ~F (P ), em cada P ∈M . Assim rot(∇U(P )) = rot(~F (P )). Utilizandoa definicao do rotacional, obteremos rot(∇U(P )) = (Uyz − Uzy, Uzx − Uxz, Uxy − Uyx). ComoU e de classe C2 em M , pode-se utilizar teorema ja estudado em Calculo II, que estabeleceque as derivadas parciais de segunda ordem nao se alteram ao trocar a ordem de derivacao,desde que a funcao seja de classe C2. Portanto o valor do vetor obtido sera (0, 0, 0). Assim

rot(~F (P )) = (0, 0, 0) em cada ponto de M , o que implica na falsidade da hipotese. Portantochegamos a um absurdo, ao negar a validade da tese. Assim ela tem de ser verdadeira.

Exemplo 2.2 Seja ~F (x, y, z) = (x2 + 2z,−3x + ey, y + sen z). Verifique se ~F e conservativoem alguma regiao aberta conexa de IR3.

Solucao: ~F e de classe C1 em IR3, sendo formado por funcoes polinomiais, funcao exponenciale seno; rot(~F ) = (1, 2,−3) em cada ponto de IR3. Logo, em cada regiao aberta conexa M

arbitraria de IR3, ~F cumprira as condicoes do Teorema anterior, assim ~F nao sera conservativoem nenhuma regiao M .

2.3 Estrategias para resolver integrais de linha vetoriais - parte II

Considere um problema de calcular∫γ~F .~dl. Devemos observar logo o campo vetorial ~F , se e

de IR2 ou de IR3, se e contınuo sempre, se tem derivadas parciais contınuas sempre, e, casocontrario, em que pontos apresenta problemas. Devemos observar se a curva γ e aberta oufechada. Temos mais estrategias a considerar para calcular esta integral, apos as generalizacoesde resultados obtidas nesta segunda parte:

opcao 1: e a da ”forca bruta”. Parametrizamos a curva γ, obtendo σ(t) = (x(t), y(t), z(t)),a ≤ t ≤ b. Identificamos o sentido de percurso da curva associado ao parametro t,verificando a trajetoria dos pontos de γ quando t cresce de a para b, se γ e fechada ouachando A = σ(a) sendo o ponto inicial e B = σ(b) sendo o ponto final, se ela for aberta.Em seguida e so usar o Teorema 2 de integrais de linha vetorial:∫

γ

~F .~dl =

∫ b

a

~F (σ(t)). ~σ′(t) dt

e depois calcular a integral de uma variavel obtida.

opcao 2: caso γ seja fechada: Tentar provar que ~F e conservativo em alguma regiao abertaconexa M que contenha γ. Verificar quais os resultados que podem ser utilizados, de-pendendo de ~F ser ou nao de classe C1 em M , e de M ser ou nao simplesmente conexa(Teorema 1.2, Teorema 2.2, Teorema 1.4). Em caso afirmativo, pelo Teorema 1.1 teremosque o valor da integral de linha sera zero.

opcao 3: caso γ seja fechada mas ~F nao for conservativo (utilizando Teorema 1.3, 2.3 ou Te-orema 1.4) em regiao M que contenha γ, verificar se valem as hipoteses do T. de Green(se estivermos em IR2) ou do T. de Stokes (se estivermos em IR3) e, em caso afirmativo,utiliza-lo. Caso ele nao possa ser utilizado, utilizar a opcao 1.

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opcao 4: caso γ seja aberta e ~F seja contınuo numa regiao aberta conexa M que contenha γ,tentar provar que ~F e conservativo em M . Verificar quais os resultados que podem serutilizados, dependendo de ~F ser ou nao de classe C1 em M , e de M ser ou nao simplesmenteconexa (Teorema 1.2, Teorema 2.2, Teorema 1.4). Em caso afirmativo, ou utilizar a funcaopotencial para calcular o valor da integral (Teorema 1.4) ou usar uma curva mais simplese usar a opcao 1 (decisao depende das contas)

opcao 5: caso γ seja aberta e ~F seja contınuo numa regiao aberta conexa M que contenha γ,tentar provar que ~F e conservativo em M (verificar quais dos resultados da secao anteriorpodem ser utilizados para tal). Se o campo nao for conservativo (utilizando Teorema 1.3,2.3 ou Teorema 1.4), uma opcao possıvel e fechar a curva com outra curva auxiliar maissimples e tentar utilizar (se for possıvel) o Teorema de Green (se estiver em IR2) ou o deStokes(se estiver em IR3). Caso nao seja possıvel, utilizar a opcao 1.

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