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Capítulo 3

3.1 Modelo Molecular de um Gás Ideal 3.2 Capacidade Calorífica Molar de um Gás Ideal3.3 Processos Adiabáticos para um Gás Ideal

Ludwing Boltzmann

(1844-1906)

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3.1 Modelo Molecular de um Gás Ideal Dum ponto de vista macroscópico, a representação matemática do modelo do gás ideal é a lei do gás ideal:

nRTPV As propriedades macroscópicas podem ser compreendidas com base no que está acontecendo na escala atómica

Examinaremos também a lei do gás ideal em termos do comportamento das moléculas individuais que formam o gás

Modelo estrutural de um gás mantido num recipiente

• O número de moléculas no gás é muito grande e a separação média entre as moléculas é grande quando comparada com suas dimensões

• As moléculas obedecem às leis do movimento de Newton, mas como um todo movem-se aleatoriamente

• As moléculas interagem somente por meio de forças de curto alcance durante colisões elásticas

• As moléculas colidem elasticamente com as paredes do recipiente

• O gás é puro, o que significa que todas as suas partículas são idênticas

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xivdt 2

xixixixi mvmvmvp 2)(

dmv

vdmv

tmvF xi

xi

xixii

2

/222

dmv

dmvFF xixi

i

22

parede a sobre i,

xip momento linear final – momento linear inicial

Interpretação Molecular da Pressão de um Gás Ideal

A componente pxi do momento da molécula é mvxi antes da colisão, a variação no momento da molécula na direcção x é

O intervalo de tempo entre duas colisões com a mesma parede

Pelo Teorema impulso – momento: xixi mvptF 2i

Uma das moléculas de um gás ideal, de massa m move -se numa caixa cúbica de lado d, com uma velocidade vxi na direcção do eixo x (i refere-se a partícula i)

Onde Fi é a força da parede sobre a molécula

Pela terceira lei de Newton a componente da força que a molécula exerce sobre a parede é

4

N

ixi

N

i

xi vdm

dmv

F1

2

1

2

Considerando as N moléculas do gás ideal no recipiente de volume V

A força média total F exercida sobre a parede do recipiente pelo gás

A força constante, F, sobre a parede devido às colisões moleculares tem o valor

N

ixivd

mF1

2

N

vv

N

ixi

x

1

2

2 2xvNd

mF Pelo teorema de Pitágoras:

2222ziyixii vvvv

22 3 xvv

A força total sobre a parede é

dvmNvN

dmF

22

33

Obtemos a pressão exercida sobre a parede, dividindo F pela área da parede (A=d2). Nota: V=Ad=d3

2

31 vmVNP

A pressão é proporcional ao número de moléculas por unidade de volume e à

energia cinética translacional média das moléculas 2

21 vm

e

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Interpretação Molecular da Temperatura de um Gás Ideal

TNkPV B

RTNNnRTPV

A

2310022.6 ANonde Número de Avogadro

J/K 1038.1 23

AB

NRk Constante de Boltzmann

TNkVvmVN

B2

21

32

2

31 vmVNP Substituindo obtemos

2

B 21

32 vmk

T

A temperatura de um gás é uma medida directa da energia cinética translacional média das moléculas

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Rescrevendo a equação anterior de outra forma Tkvm B2

23

21

é a energia translacional média por molécula TkB23

22

31 vvx como Tkvm x B

2

21

21

Teorema de equipartição de energia

A energia de um sistema em equilíbrio térmico está igualmente dividida entre todos os graus de liberdade

“Graus de liberdade” refere-se ao número de maneiras independentes pelas quais uma molécula pode ter energia.

No caso do gás ideal cada molécula têm 3 graus de liberdade uma vez que se movimentam na direcção dos eixos x,y e z

TNvmNK B2

totalnaltranslacio 23

21

A energia cinética translacional total de N moléculas de gás é simplesmente N vezes a energia translacional média por molécula = Energia interna de um gás monoatómico

UnRTK 23

totalnaltranslacio

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3.2 Capacidade Calorífica Molar de um Gás IdealA quantidade de gás ideal é medida pelo número de moles n, em vez da massa m

if TTT

O gás é submetido a diversos processos

fi 'fi ''fi

com a mesma variação de temperatura

Umesmo

Pelo primeiro princípio da termodinâmica

WUQ

W para cada trajectória é diferente Q diferente para cada trajectória

Logo a energia necessária para produzir cada variação de temperatura não tem um valor único

(área sob a curva diferente)

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Essa dificuldade é resolvida definindo-se as capacidades caloríficas para dois processos que ocorrem com mais frequência: o processo isocórico e o processo isobárico

tmcQ Escrevemos em moles

tnCQ VVolume constante

tnCQ PPressão constante

fi Processo isocórico

Processo isobárico 'fi

CV é a capacidade calorífica molar a volume constante

CP é a capacidade calorífica molar a pressão constante

Modificamos a equação

9

No processo isocórico V = constante 0PdVW

TnRUQ 23

Do primeiro princípio da termodinâmica

nRnCV 23

KJ/mol 5.1223

RCV para todos os gases monoatómicos

TnCU V

• válida para qualquer processo no qual há variação de temperatura , não apenas para um processo isocórico

• verdade também para gases monoatómicos e poliatómicos

dTdU

nCV

1Para variações infinitesimais

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No processo isobárico P = constante VPTnCWQU P

TnRVP TnCU V

TnRTnCTnC PV

RCC PV esta expressão se aplica a qualquer gás ideal

KJ/mol 8.2025

RCP

V

P

CC

35

2325

RR

CC

V

P grandeza sem dimensão

para um gás monoatómico 67.1

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3.3 Processos Adiabáticos para um Gás IdealEm três processos, uma variável de estado é mantida constante

P = constante para um processo isobárico

V = constante para um processo isocórico

T = constante para um processo isotérmico

Um quarto processo especial é o processo adiabático

Há algo constante nesse processo?

constantePV

ffii VPVP

1TV = constante

11 ffii VTVT

A combinação de algumas variáveis permanece constante