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CAPITULO 3: MODELOS UNITARIOS
INTERTEMPORALMENTE NO SEPARABLES
José Alberto MolinaDepartamento de Análisis Económico
Facultad de Economía y EmpresaUniversidad de Zaragoza
José Alberto Molina
Facultad de Economía y
Empresa de la Universidad de
Zaragoza
Microeconomía
“Modelos Unitarios Intertemporalmente
No Separables”
Prof. José Alberto Molina
MásterUniversitarioInvestigación
Economía
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ÍNDICE
3.1.El sistema intertemporalmente no separable 3.1.1 Modelo teórico 3.1.2 Evidencia empírica
3.2.El modelo lineal: bienes adictivos 3.2.1.Modelo teórico 3.2.2. Evidencia empírica
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1. EL SITEMA INTERTEMPORALMENTE SEPARADO
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Zaragoza1.1 EL MODELO TEÓRICO
Observamos que el AIDS, como otros modelos anteriores, presenta la limitación de que se formula en
un contexto de preferencias intertemporalmente separables.
Ahora bien, a pesar de que la separabilidad aditiva en el tiempo se trata de un supuesto de general aceptación,
¿está realmente justificada en los modelos de comportamiento del consumidor?
Vamos a presentar a continuación un modelo que mantiene las dependencias temporales y que
constituye la generalización intertemporal del Sistema de Demanda Casi Ideal.
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Se trata del sistema de demanda intertemporalmente no aditivo (SNAP) derivado de las preferencias
denominadas simple nonadditive preferences definidas en Browning (1991).
De acuerdo con estas preferencias no aditivas, las funciones de demanda del consumidor dependen de los precios corrientes así como de los precios de un período
anterior y de un período posterior.
En este sentido, la estructura SNAP permite que un bien pueda ser complementario o sustitutivo de si mismo en los períodos inmediatamente anterior e inmediatamente
posterior del corriente. Para facilitar el tratamiento, Browning introduce lo que
denomina efectos auto, acuñando el término de autocomplementario para un bien que es complementario
de si mismo en el período anterior y de forma análoga para los bienes sustitutos o independientes consigo
mismos.
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Según Browning, las preferencias SNAP se definen como aquél tipo de estructura en la cual la función de
beneficio intertemporal adopta la siguiente forma:
siendo y los vectores de precios en t y t+1, respectivamente, descontados al período inicial.
Donde cada t(.) es una función cóncava y homogénea lineal en (pt, pt+1, r) y creciente en (pt, pt+1). Se trata, en
definitiva, de una función de pérdidas, es decir, la negativa de una función de beneficio, que, para cada período, presenta una estructura derivada directamente de la
función de beneficio intratemporal .
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1
1
11T
t
tttT )r,p,p(Φ)p,...,p(
pd
rpalog
pd
rlogp,rπ
1
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Bajo este planteamiento, obtengamos las funciones de demanda frischianas, desarrollando el sumatorio:
y recordamos que las funciones frischianas pueden expresarse, genéricamente, como
, siendo t el gradiente de la función de beneficio con respecto a los precios del período t.
En el caso particular de las preferencias SNAP:
Comprobando que cantidades corrientes dependen de los precios correspondientes a un período anterior, a un
período posterior y al mismo período, además, del precio de la utilidad r,
r,p,...,pπq T1t
t
r,p,pΦr,p,pΦq 1tttt
t1t1tt
t
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r,p,pΦr,p,pπ 1tt1T
1t
tT1
r,p,pΦ...r,p,pΦr,p,pΦ...r,p,pΦ T1T1T1tttt1t1t211
r,p,p,pqq 1tt1ttt
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Estas preferencias SNAP permiten derivar un sistema de demanda marshalliana que mantiene las dependencias intertemporales. Para obtenerlo, partimos de la función
de beneficio intratemporal:
A partir de la cual derivamos la función de pérdida correspondiente , incorporando los precios del período anterior con el fin de eliminar la separabilidad
intertemporal:
Donde f(pt-1) es un función homogénea de grado cero.
r,p,pΦ t1t1t
t1t-t
tt1t1t
pd
rp f log1ploga
pd
rlogr,p,pΦ
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pd
r1ploga
pd
rlogr,pπ
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Ahora bien, en este modelo SNAP se deben considerar las consecuencias de la existencia de incertidumbre, la cual
provoca una serie de diferencias en las funciones de demanda frischianas respecto a las obtenidas en un
ambiente con información perfecta. Estas diferencias se derivan de que, en incertidumbre, el agente va a disponer, conforme transcurra el tiempo, de nueva información que
incorporará en el parámetro rt y que lo irá modificando sucesivamente.
Así, las cantidades dependen, a diferencia de lo que sucedía con información perfecta, de los precios corrientes de los bienes y del precio de la utilidad que varia con el tiempo.
Consiguientemente, las nuevas funciones de demanda frischianas correspondientes a las preferencias SNAP serán:
donde rt se refiere a un período concreto t y el resto de los precios de los bienes también son corrientes.
t1ttttt
t1t1tt
t r,p,pΦr,p,pΦq
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La función relativa a un bien concreto, el i-ésimo:
(i = 1, ..., n)
Para obtener la función de demanda marshalliana correspondiente a las preferencias SNAP, comenzamos adoptando las siguientes expresiones para los precios:
log a(pt) = o + αk log pkt +
log d(pt) = log β0 + β k log pkt
log f(pt) = θk log pkt
it
t1ttt
it
tt1t1t
it p
r,p,pΦ
p
r,p,pΦq
jtk j
ktkj logplogpγ2
1k
k
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k
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Por tanto, las funciones de pérdidas correspondientes a los períodos t-1 y t quedan como:
t-1(pt-1, pt, rt) = - [log rt - log d(pt) - log a(pt) -1 + log f(pt-1)]
y, por otro lado
t (pt, pt+1, rt) = -[log rt - log d(pt+1) - log a(pt+1) -1 + log f(pt)]
tt
d
r
p
κ
1kt0ο1ktκ
k0t logpααlogpβlogβlogr
ktk0 logpβlogβ
t1kt
kk
k jjtktkj
e
rlogpθ1logplogpγ
2
1
tt
d
r
p
κ
1kt0ο1ktκ
k0t logpααlogpβlogβlogr
1ktk0 logpβlogβ
tkt
kk1jt
k j1ktkj
e
rlogpθ1logplogpγ
2
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Calculemos ahora las derivadas que aparecen en la función frischiana relativa al bien i-ésimo:
[log rt-log d(pt)-log a(pt)-1+log f(pt-1)]] =
(i = 1, ..., n)
(i = 1, ..., n)
ktk0 logpβlogβ
tjt
jijii
it
tt1-t1-t
e
rlogpγαβ
logp
r,p,pΦ
2ktlogpkβ0logβ
ktlogpkβ0logβ
e
rβe ti
t
ti1ttt
ttjtj
ijii
pd
rβplogf1plogaplogdlogrrlogpγα[β
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Sabiendo que:
(i = 1, ..., n)
y recordando que, como en el AIDS, sustituimos el parámetro inobservable rt por yt d(pt), nos queda:
(i = 1, ..., n)
it
tt1-t1-t
p
r,p,pΦ
it
ti1tt
ttjtj
ijii
p
yβplogf1plogdlogyylogpγα[β
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itit
tt1-t1-t
it
tt1-t1-t
p
1
logp
r,p,pΦ
p
r,p,pΦ
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Por otro lado, directamente:
(i = 1, ..., n)
itit
t1ttt
it
t1ttt
p
1
logp
r,p,pΦ
p
r,p,pΦ
it1t
tt
iit
logpβlogβ
ti ppd
pdyθ
p
1
e
rθ
ktk0
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La suma de estas dos derivadas constituye la expresión completa de la función marshalliana en términos de
cantidades que corresponde a este tipo de preferencias SNAP. Si deseamos expresarla en participaciones:
(i = 1, ..., n)
con las expresiones de los precios indicadas anteriormente.
Este modelo SNAP puede reescribirse como:
(i = 1, ..., n)
Lo cual supone cierta relajación en el sentido de que los coeficientes de los índices de precios futuros (i) no tienen
porqué coincidir necesariamente con los parámetros correspondientes a los precios pasados (k).
1t
t
i1ktk
kij
tt
ijtijiit pd
pdθlogpθβ
pa
ylogβlogpγαw
1t
t
i1ktk
kij
tt
ijtijiit pd
pdδlogpθβ
pa
ylogβlogpγαw
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Por tanto, el sistema intertemporalmente no aditivo para n bienes incluye n ecuaciones con 2n+3 parámetros por ecuación, coincidiendo algunos coeficientes en distintas
ecuaciones:
Vemos que esta ecuación constituye un AIDS excepto por los dos últimos términos que son los que, en
definitiva, caracterizan la no separabilidad intertemporal.
Consiguientemente, el SNAP puede considerarse como una extensión del AIDS en el que hemos relajado la
hipótesis de aditividad intertemporal de las preferencias.
1t
t
n1t11ntt
nt11nnnt
1t
t
21t112tt
2t1212t2
1t
t
11t111tt
1t1111t1
pd
pdδ...logpθβ
pa
ylogβ...logpγαw
...pd
pdδ...logpθβ
pa
ylogβ...logpγαw
pd
pdδ...logpθβ
pa
ylogβ...logpγαw
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En el sistema SNAP las participaciones vienen dadas en términos de precios pasados y futuros, además de
contemporáneos, por lo que debemos tener en cuenta esta característica a la hora de abordar las implicaciones que las propiedades teóricas tienen sobre los parámetros
del sistema.
La primera de las condiciones es la de agregación que, al igual que en el AIDS, en el modelo SNAP implica:
(j = 1, ..., n)1αn
ii 0θβγ
n
i
n
i
n
kkiij
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La propiedad de homogeneidad supone una doble restricción en el SNAP. La primera se refiere a variables contemporáneas, mientras que la segunda se formula en
términos de los precios del período anterior:
Homogeneidad contemporánea: (i = 1, ..., n)
Homogeneidad retardada:
La simetría también impone una doble restricción. La primera es idéntica a la del modelo estático AIDS,
mientras que la segunda supone que los cambios en los precios corrientes producen los mismos efectos sobre las cantidades demandadas en el período inmediatamente
anterior y posterior al de la modificación del precio:
simetría intratemporal: ij = ji (i≠j, i, j = 1, ..., n)
simetría intertemporal: i = - i (i = 1, ..., n)
0γn
jij
n
kk 0θ
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Además de estas restricciones que establece la teoría neoclásica del comportamiento del consumidor,
podemos considerar otras que nos parecen de interés en el marco intertemporal en el que se define el modelo
SNAP.
Una primera será sencillamente un test de aditividad intertemporal. Su aceptación anula los dos últimos términos del modelo y, por lo tanto, acepta la
separabilidad intertemporal que preside su comportamiento
i = i = 0 (i = 1, ..., n)
Una segunda restricción adicional es un test de miopía futura. La aceptación de esta hipótesis rechaza la
influencia de los precios futuros como variables explicativas de la conducta corriente del consumidor:
i = 0 (i = 1, ... , n)
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Obtengamos las elasticidades.
Veamos, las elasticidades precio contemporáneas:
Recordando en AIDS que y además:
Donde:
Obtenemos la elasticidad precio marshalliana contemporánea:
jt
it
jt
tij
jt
it
jt
it
jt
t
jt
itijt logp
logw
logp
logyδ
logp
logp
logp
logw
logp
logy
logp
logqe
0logplogy jtt
it
1tjt
t
ijt
t
iijitjt
it
jt
it
w
1
pb
1
logp
pbδ
logp
plogaβγ
w
1
logp
w
logp
logw
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k
n
kkjj
jt
t
logpγαlogp
)ploga( tj
t
jt
t
jt
t
pbβpblogp
plogb
logp
pb
1it1t
t
jik
n
kkjjiijij
yijt w
pb
pbβδlogpγαβγδe
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Veamos ahora las elasticidades precio directas correspondientes a un período anterior y posterior.
En primer lugar:
dado que:
En segundo lugar:
t1-it
1tii
it
1-it
it
1-it
it
1-it
it
1-t
it
1-ity1iit pbw
pbβδ
logp
logw
logp
logp
logp
logw
logp
logy
logp
logqe
2t
1-it
1ttii
it
1-it
pbw
pbpbβδ
logp
w
1it
ii
it
1it
it
1ity1iit w
θβ
logp
logw
logp
logqe
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De forma inmediata podemos obtener la elasticidad renta:
y la elasticidad hicksiana a través de la ecuación de Slutsky:
jtityijt
uijt weee
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it
i
t
it
t
itit w
β1
logy
logw1
logy
logqe
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1.2.- EVIDENCIA EMPÍRICA
French annual time-series of non-durable goods expenditures obtained from OECD National
Accounts, Vol. II (Detailed Tables) for the period 1964-1992 were used to estimate the empirical
model. All data are expressed in billions. Current and constant expenditures were divides into six
categories:
Group 1: Food
Group 2: Beverages
Group 3: Clothing and footwear
Group 4: Gross rent, fuel and power
Group 5: Medical expenses
Group 6: Other non-durable goods
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Table 1: Descriptive analysis
Budget Shares (%)1964 1970 1975 1980 1985 1992 Mean
Food 29 25 22 20 19 16 22
Beverages 5 4 3 3 2 2 3
Clothing and footwear 11 9 9 8 7 6 8
Gross rent, fuel and power 12 16 18 20 21 22 18
Medical expenses 9 11 9 8 9 11 10
Other non-durable goods 31 32 37 39 38 39 36
Rates of inflation (%)1965-
691970-
731974-
781979-
851986-
891990-
921965-
92
Food 3.38 6.58 9.11 9.52 3.17 2.09 6.20
Beverages 3.33 7.59 9.85 9.70 3.05 4.42 6.53
Clothing and footwear 2.48 5.33 10.79 9.94 5.15 2.94 6.66
Gross rent, fuel and power 7.20 6.74 10.06 11.84 4.00 4.12 8.02
Medical expenses 4.57 2.12 2.15 7.99 2.29 0.82 4.16
Other non-durable goods 4.80 5.36 10.51 10.37 3.57 2.83 7.04
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Table 2: Specification tests
Breusch-Godfrey Engle
Food 0.590 0.557
Beverages 0.631 0.001
Clothing and footwear -0.124 0.399
Gross rent, fuel and power
-0.673 0.037
Medical expenses 1.757 2.035
Other non-durable goods 0.367 0.070
Critical values: standard normal at the 5% level: 1.96; 2
0.051 3.84
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2 2
0.05 0.051 3.84, 5 11.07 2 2 2
0.05 0.05 0.05, 16 12.59, 15 24.99, 20 31.41.
Table 3: Hypotheses tests
Wald
Current homogeneity (5 d.f.) 59.39*
Lagged homogeneity (1 d.f.) 1.37
Homogeneity (6 d.f.) 63.64*
Intratemporal symmetry (15 d.f.) 550*
Intertemporal symmetry (5 d.f.) 25.58*
Symmetry (20 d.f.) 634*
Intertemporal separability (5 d.f.) 28.28*
Myopic behaviour (5 d.f) 494*
* Rejected theoretical hypotheses at the 5% level. Critical values:Microeconomía
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* Rejected non-individual significance at the 5% level, t-rates at the 5% level: 1.96
i 1i 2i 3i 4i 5i 6i i i i i i ie iie
1.793 0.121 -0.045 0.033 -0.002 -0.011 -0.088 -0.123 0.240 -0.634 -0.029 0.44 -0.13 Food
(9.3)* (6.5)* (-2.1)* (2.4)* (-0.9) (-1.7) (-3.1)* (-15)* (1.7) (-3.4)* (-1.7) (12)* (-1.7) 0.204 -0.008 0.026 0.015 0.016 -0.004 -0.047 -0.021 -0.184 -0.007 0.003 0.40 0.13
Beverages (3.2)* (-1.4) (3.9)* (4.6)* (2)* (-2.2)* (-5.5)* (-8.5)* (-3)* (-0.1) (2.8)* (5.7)* (3.5)* -0.276 -0.015 0.052 0.026 -0.079 -0.014 0.025 -0.025 0.100 0.551 -0.002 0.72 -0.03
Clothing (-2)* (-0.9) (3.2)* (3.3)* (-3.9)* (-3.2)* (1.1) (-3.9)* (1.1) (4.2)* (-1.1) (10)* (-1.2)
-0.476 -0.056 0.050 -0.037 0.104 -0.008 -0.057 0.054 -0.267 0.261 -0.014 1.29 -0.08 Gross, rent, fuel and power
(-1.3) (-1.6) (1.2) (-2.1)* (2)* (-0.1) (-1.1) (3.4)* (-3.8)* (0.8) (-2.5)* (15)* (-2.6)* 0.054 -0.038 0.001 0.092 0.184 0.085 -0.317 0.023 -0.098 -0.133 -0.002 1.23 -0.02
Medical expenses (0.2) (-1.3) (0.1) (6.9)* (5.3)* (11)* (-8.6)* (2.4)* (-2.2)* (-0.5) (-1.6) (13)* (-1.6)
-0.299 -0.003 -0.086 -0.130 -0.223 -0.054 0.485 0.092 0.209 -0.037 0.019 1.25 0.05 Other non-durable goods
(-0.8) (-0.1) (-2.2)* (-7.2)* (-4.6)* (-5.1)* (9.7)* (6.4)* (1.1) (-0.1) (1.1) (31)* (1.2)
Table 4: Parameters and elasticities
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2.- EL MODELO LINEAL:BIENES ADICTIVOS
2.1- EL MODELO TEÓRICO
Gran interés por los bienes adictivos debido a:
i) necesidades financieras cada vez mayores de los gobiernos, lo que les obliga a buscar impuestos socialmente
aceptables y
ii) las implicaciones sobre la salud de dichos bienes, lo que lleva a intentar reducir el consumo.
Bien adictivo: aquel bien cuyo consumo pasado aumenta la preferencia por el consumo presente. Características:
i) Tolerancia: cada vez se requiere más cantidad del bien para alcanzar un determinado nivel de utilidad.
ii) Refuerzo: el consumo pasado aumenta la utilidad marginal del consumo presente y, por tanto, la
preferencia por dicho bien.
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Zaragoza
Los estudios revelan la existencia de dos visiones respecto a la adicción:
i) Dominante hasta los años 80, consideraba el consumo de bienes adictivos como una conducta irracional y, por tanto, fuera del campo de estudio de los economistas.
ii) Considera la adicción como una conducta compatible con la maximización de la utilidad. Se distingue entre
adicción miope y adicción racional, según que los consumidores tengan en cuenta o no las efectos futuros
de sus decisiones corrientes.
C3210 P d 1)C(t d 1)-C(t d d C(t) Microeconomía
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No Separables”
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Economía
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2.2. EVIDENCIA EMPÍRICA
Series temporales de Tabacalera S.A. (1964-1995)
Estimación de la ecuación de demanda
0d1d5% 10% 20%
d00.1675* 0,1675* 0.1675*
(6.221) (6.191) (6.139)
d10.1543* 0.1577* 0.1640*
(2.134) (2.123) (2.100)
d20.1469* 0.1434* 0.1367*
(2,134) (2,123) (2,100)
d3-0.00076* -0.00076* 0.00076*
(-6.571) (-6.545) (-6.497)
* Indica significatividad al 5%Microeconomía
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Elasticities
5% 10% 20%
CA -0.6166 -0.6163 -0.6158
CNA -0.6020 -0.6017 -0.6013
PPA -0.0974 -0.0995 -0.1034
PPNA -0.0951 -0.0971 -0.1009
PFA -0.0927 -0.0905 -0.0861
PFNA -0.0905 -0.0883 -0.0841
CPA -0.7259 -0.7224 -0.7160
CPNA -0.7086 -0.7053 -0.6991
LP -0.8416 -0.8412 -0.8402
* All significants at the 1% levelMicroeconomía
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Results from the model of rational addiction (IJCS, 2001)
Country C(t-1) C(t+1) Pc(t) Rational addicts?
0.1767** 0.1606** -0.4161* Germany (1.87) (1.87) (-4.50)
YES
0.4288* 0.3898* -3.0374 Belgium
(3.51) (3.51) (-0.781) YES
0.4963* 0.4512** -0.1157 France
(18.10) (18.10) (-1.25) YES
0.3293* 0.2994* -0.7516* Netherlands
(5.58) (5.58) (-3.69) YES
0.4144* 0.3768* -0.2875* Italy
(3.15) (3.15) (-2.86) YES
0.3692* 0.3356* -0.5058 Denmark
(2.35) (2.35) (-1.48) YES
0.2539* 0.2308* -2.2339* Ireland
(2.466) (2.466) (-2.61) YES
0.5694* 0.5176* -0.0252 United Kingdom (6.24) (6.24) (-0.49)
YES
0.5046* 0.4587* -3.4755 Greece
(29.11) (29.11) (-1.18) YES
0.4961* 0.4510* -2.2830* Spain
(17.13) (17.13) (-1.97) YES
0.4551* 0.4138* -0.832** Austria
(10.04) (10.04) (-1.71) YES
0.2786* 0.2533* -0.7133* Finland
(2.62) (2.62) (-2.01) YES
0.1117* 0.1015* -1.1493* Sweden
(2.11) (2.11) (-1.99) YES
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