1) Conjuntos Numéricos

Fatela Preuniversitarios

Conjuntos Numéricos- 1 -13

MATEMÁTICA: Guía N° 1 : CONJUNTOS NUMÉRICOS

Aquí tenemos un panorama general de los conjuntos numéricos que existen:

Naturales : Son los números enteros positivos. Son los primeros números con los que trabajó el ser humano. El cero en general no se considera como un número natural. Cuando se quiere incluir el cero, al

conjunto natural con el cero se lo suele indicar 0� .

La suma en � es “cerrada” o cumple la ley de cierre, lo cual quiere decir que dados dos números cualquiera pertenecientes a � su suma también pertenece a� .

Pero la diferencia o resta no es “cerrada” en� , pues es posible hallar números en � tal que su resta no pertenezca a � .

� : Naturales : {1,2,3,...}

0 : Cero

−� : Enteros Negativos

{−1,−2,−3, ...}

� : Enteros

Decimales

Exactos : 2

35,1 =

Periódicos :

3

26.0...666,0 ==�

� : Racionales

b

a

I : Irracionales { ,,3,2 π e,...}

� : Reales

ℑ : Imaginarios puros { 4− = 2i, −5i, 2 i, 4

3 i,…}

� COMP L E J O S

(a + b.i)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

Recta Numétrica



Ejemplo : 3 − 5 = −2 ∉� . Para que la diferencia sea “cerrada” en un conjunto, es preciso trabajar

con un conjunto más amplio que es el de los números enteros.

Enteros negativos: −� Son útiles para representar deudas en balances

o para trabajar con valores inferiores al cero en escalas con cero (por ejemplo temperatura bajo cero, altitud por debajo del nivel del mar, etc.).

Enteros : Es el conjunto � y abarca tanto los enteros positivos como negativos y el cero. En este conjunto tanto la suma como la diferencia cumplen la ley de cierre.

OPERACIONES EN �

Repasemos ahora “la suma algebraica” en � , término genérico que se usa para denotar la suma de dos números enteros y que abarca la así llamada suma, la diferencia y otras posibilidades.

A menudo resulta más práctico para estas operaciones sencillas de

suma algebraica razonar en términos de “debo y tengo”, dando el carácter de deuda a los números negativos y de haberes a los positivos.

Ahora bien, la multiplicación es “cerrada” en � , pues siempre que multiplicamos dos números enteros, su resultado es otro entero.

1) Si los dos números a sumarse “algebraicamente” tienen igual signo se suman sus valores absolutos o módulos y se le coloca igual signo al resultado.

+ 2 + 5 = +7

− 2 – 5 = −7

Suma Algebraica

2) Si los dos números a sumarse “algebraicamente” tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y se le coloca al resultado el signo del número

de mayor valor absoluto.

+ 3 – 7 = − 4

− 5 + 9 = + 4



En cambio la división no es “cerrada”. Por ejemplo: 4:3 =

3

4 no es

entero. Para hallar un conjunto numérico donde la división sea “cerrada” debe trabajarse con el conjunto � de los números racionales.

Además de los enteros � , existen los números decimales o números con coma decimal, del cual hay dos tipos:

1) Los decimales exactos : Son aquellos en los cuales las cifras decimales son finitas, o sea tienen fin. Para convertir un número decimal exacto a fracción deben dividirse todas las cifras sin coma, por una potencia de diez con tantos ceros como cifras decimales haya. Luego se simplifica de ser posible. No deben dejarse fracciones sin reducir, siempre debe llegarse a la fracción irreducible. Por ejemplo:

2) Los decimales periódicos : Son aquellos que tienen infinitas cifras decimales y que se repiten regularmente formando el llamado período que se indica con un arco superior sobre las cifras del mismo.

La regla general para convertirlos a fracción es la siguiente:

En el numerador se escribe la resta entre todas las cifras sin coma, menos las cifras que no forman parte del período, sean éstas enteras o decimales (o sea las que no están debajo del arco). Luego se divide esto por tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica (aquí se consideran solo las cifras decimales no periódicas o sea las que están detrás de la coma sin el arco arriba).

Por ejemplo:

Multiplicación y División

Para multiplicar y dividir debe seguirse la regla de los signos:

+ . + = + + . −−−− = −−−−

−−−− . + = −−−− − − − − . − − − − = +

Por ejemplo:

5.(−2) = −10

−2.(−3) = 6

4 . 5 = 20

15:(−3) = −5

−8:(−2) = 4

20 : 4 = 5

0,25 = 100

25 =

4

1 13,5 =

2

27

10

135=



Por tanto todos los números decimales sean estos exactos o periódicos

pueden y en general “deben” llevarse a la forma fraccionaria. Son los llamados números racionales� , los cuales también incluyen a los números

enteros� .

OPERACIONES EN �

Los denominadores 8 y 12 se factorean o descomponen en sus factores

primos conjuntamente. Luego al multiplicar estos factores primos entre sí surge el M.C.M. que será el denominador común. Se procede a dividir dicho denominador común por cada uno de los denominadores de las fracciones y a multiplicar esto por los numeradores de las mismas. Finalmente se realiza la suma algebraica del numerador y de ser posible se simplifica con el denominador.

21

10

7

5.

3

2−=

−

Para multiplicar dos fracciones, se procede a multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores también

entre sí.

Multiplicación de Fracciones

24

13

24

103

12

5

8

1=

+=+

8 12 2 4 6 2 2 3 2 1 3 3 1 1

M.C.M = 2.2.2.3 = 24

Suma Algebraica de Fracciones

La suma algebraica de fracciones se realiza obteniendo previamente el llamado Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores, el cual se puede obtener en forma práctica haciendo el factoreo

conjunto de dichos denominadores, como se indica a continuación:

225

242

900

968

900

1071075507,1 ==

−=�



Como vemos en el conjunto de los racionales � , tanto la suma algebraica como la multiplicación y división son operaciones que cumplen la ley de cierre: al operar dos fracciones bajo estas operaciones, se arriba a otra fracción.

Pero al intentar obtener raíces cuadradas de números racionales (y enteros) generalmente obtenemos numeros irracionales.

Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales y todas son distintas, no formándose nunca un período. Por esto, dada la imposibilidad de "razonar" como se formaría un número así, Pitágoras los llamó números irracionales.

Las operaciones exactas con números irracionales, las veremos un poco más adelante en el curso.

Ahora haremos un repaso básico de potencias y raíces, recordando las propiedades distributivas que tienen estas operaciones.

7

10

7

5.

1

2

7

5.2 −=

−=

−

Si un número entero se multiplica por una fracción, se debe considerar a dicho número entero como una

fracción de denominador igual a 1, y realizar la multiplicación como es

habitual.

7

5

14

10

7

5.2 −=−=

−

Nunca debe distribuirse el número entero, multiplicándolo por el

numerador y el denominador de la fracción. En ese caso la fracción no se

alteraría.

División Para dividir dos fracciones, se da vuelta la fracción del divisor (la que aparece en segundo término, luego del signo dividido) sin alterar su signo, y la división se transforma

en multiplicación.

15

14

5

7.

3

2

7

5

3

2−=

−=

−÷



POTENCIAS

2

5

a

a=

aa

aaaaa

.

....= a . a . a = a3

Se define la potencia de exponente "n" como la multiplicación sucesiva de la base "a" por sí misma un total de "n" veces.

a n = a . a . a . a ... a

base

exponente

"n" veces

Signos de las potencias

Exponente Par 22 = 4 Potencia + Base Positiva

Exponente Impar 23 = 8 Potencia +

Exponente Par (−2)2 = 4 Potencia + Base Negativa

Exponente Impar (−2)3 = −8 Potencia −−−−

Propiedades de Potencias de Igual Base

1) Producto de Potencias de Igual Base

a2 . a

3 = a . a . a . a . a = a

5

32

5

aa

a=

a2 . a

3 = a

5

Los exponentes se suman

2) Cociente de Potencias de Igual Base

Los exponentes se restan

3) Potencia de Potencia

( ) 622232 ....... aaaaaaaaaaa ===

( ) 632 aa =

Los exponentes

se multiplican



Potencias de Exponente Cero:

3

3

a

a= 1

..

..0 ==aaa

aaaa 10 =a

Cualquier número "a" elevado a la cero es igual a 1.

Potencias de Exponente Negativo:

5

2

a

a= 3

3 1

....

.

aaaaaa

aaa ==−

n

n

aa

1=−

La potencia de exponente negativo se puede colocar

con el exponente positivo en el denominador.

Base Fraccionaria elevada a Exponente Negativo:

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

a

b

a

b

a

b

b

a

b

a

b

ab

a

===÷=

÷=

=

−

.1111

nn

a

b

b

a

=

−

Cuando una fracción está elevada a un exponente negativo, se da vuelta la base (sin cambiar su signo) y cambia el signo del

exponente, quedando positivo.

Propiedad Distributiva de la Potencia : a) Respecto de la Multiplicación:

(a . b)n = a

n . b

n

Distributiva

Asociativa

La potencia es distributiva respecto de la multiplicación.

Igualmente cumple la propiedad asociativa.



b) Respecto de la División:

n

nn

b

a

b

a=

Distributiva

Asociativa

La potencia es distributiva respecto de la división. Igualmente cumple la propiedad asociativa.

( ) nnnbaba +=+

( ) nnnbaba −=−

La potencia no es distributiva con respecto a

la suma y a la resta.

Radicación: Se define como la operación inversa de la potencia.

abba nn =⇔=

Índice Par 4 2= Raíz + Radicando Positivo

Índice Impar 283 = Raíz +

Índice Par =− 4 ∄ No tiene en � Radicando

Negativo Índice Impar 283 −=− Raíz −−−−

Signos de las Raíces

Radicando Raíz

Símbolo Radical Índice

La radicación tiene las mismas propiedades distributiva con respecto a la multiplicación y a la división que la Potencia.



a) Respecto de la Multiplicación:

nnn baba .. =

Distributiva

Asociativa

La radicación es distributiva respecto de la multiplicación.

Igualmente cumple la propiedad asociativa.

nnn baba +=+ La radicación no es distributiva con respecto a

la suma y a la resta.

Propiedad Distributiva de la Radicación:

b) Respecto de la División:

n

n

n

b

a

b

a=

Distributiva

Asociativa

La radicación es distributiva respecto de la división. Igualmente cumple la propiedad asociativa.

nnn baba −=−

Potencia de Exponente Fraccionario:

( ) 12

1.2

2

12 333 ==

12 33 =

nn aa

1

=

( ) ⇒=== n

m

nm

nmn maaaa

1.

1

n

m

n maa =

En la Potencia de Exponente Fraccionario el numerador corresponde al exponente de la potencia y el denominador al índice de la raíz.



Otra propiedad fundamental en Matemática:

Propiedad Distributiva de la la Multiplicación respecto de la suma:

Estructuras algebraicas de uso frecuente

( a + b ) . ( a − b ) = a2 − b2

Producto de la Suma por la Diferencia de dos números

( a + b ). ( a − b ) = a2 − a.b + a.b − b2

Diferencia de

Cuadrados

Diferencia de Cuadrados

( a + b )2 = a2 + 2.a.b + b2 Cuadrado de un binomio

( a + b )2 = ( a + b ). ( a + b ) = a2 + a.b + a.b + b2

Trinomio Cuadrado Perfecto

Cuadrado de un Binomio

a. ( b +c ) = a . b + a . c

Distributiva

Sacar Factor Común

Otra Propiedad de Raíces : “Raíz de raíz”

En la raíz de raíz se multiplican los

índices.

2864 33 ==

26464 63 ==

63 aa =



Trabajo Práctico Nº 1:

Resolver los siguientes ejercicios combinados de operaciones en “�”.

1) ( ) =

−++

−−−

1

311

8

1.329.1,1

� 14/15

2) =

−−−

−

−

4

13,0.6

2

1 2 � 3/2

3) =

−

−−

1

22

43

40.10

1

125

1.512.2.

25

1

32/625

4) =

−−++

+

−−

113

2

2

11

3

1

3

5.

3

21 -4/3

5) =

32

3

27

1.

5

1.625.729 1/32 805

6) =

3

1

5332

4.2

1:2.

4

1

1516

7) ( ) =−++−−

2

304,03,0.2

8

71

13 1/4

8) =

−

+

+

−

−

16

37

4

73

8

9

4.

6

518

1

2

1.

9

10

3

5 1

5/6



9) =

+

−+−

−

2

58

7

2

1

4

3

16

38:

4

12 3/4

10)

( )=

−+

−

−

−

39

2.

2

3

9

4

3

7

2.3

10.

5

4.

4

3

3

2

2

11) =

−

+

−

−

+

−

74

12

6

11

13

12.

4

13

2

1

-34/15

12) =

−

−

−

−

2.2

1

7

1.2.5

3

2

5

13

1

1

-25/4

13) =

−

+

−

−

3

3

2

2

2

1

3

11

3

8.2

64

14) =−

−+−

−

3

22

1.

2

1

3

22

4

33.

2

1 2

9/16



15) =

−

+

−

+

−

−

−

9

1

3

2.

2

1

3

2

53

2

5

1

3

21

2

2

1

2

24

16) =−

+

−+

−

−

3

5.

11

1

39

1.5.

3

21

3

2

4

3.21.

4

1

6

5 1

53/66

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