1

dal progetto Innovadidattica

20 settembre 15 ottobre 2009

una tovaglia, due tavoli

22

alcune riflessioni di fondo

• una esperienza didattica che possa produrre competenze “… Si ha un esercizio quando la risoluzione prevede che si debbano utilizzare

regole e procedure già apprese, … si ha invece un problema quando una o più regole o una o più procedure non sono ancora bagaglio cognitivo del risolutore;… a volte è la successione stessa delle operazioni risolventi a richiedere un atto creativo da parte del risolutore». (D’Amore, 1999)

• la scelta metodologica di procedere per problemi “Per stimolare il pensiero e la sua maturazione servono questioni, dette anche

situazioni-problema. Il bambino-ragazzo nell’affrontarle mobilita le sue competenze per acquisire nuove conoscenze; le conoscenze migliorano le competenze e ne sviluppano di nuove. (L. Grugnetti)

• al fine di promuovere apprendimento strategico e comunicativo La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo

nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese; è un processo che comporta anche difficoltà linguistiche e che richiede un’acquisizione graduale del linguaggio matematico.”

33

il problema

LA TOVAGLIA Nella sala da pranzo della casa di Luca c’è un tavolo

quadrato che si può allungare e diventa rettangolare. Quando il tavolo è allungato, la sua lunghezza è doppia della larghezza e una tovaglia cala di 25 centimetri da ogni lato.

La stessa tovaglia sistemata sul tavolo quadrato, cala di 65 cm da ciascuno dei lati dai quali sono state tolte le prolunghe.

Quali sono le dimensioni della tovaglia? Spiegate come avete trovato la vostra risposta. (dal Rally Matematico Transalpino)

44

Analisi a priori del problema

Ambito concettualeGeometria: quadrato, rettangolo. Aspetti concettuali di perimetro (misura del contorno); area (misura della superficie); variazione area e perimetro.

Aritmetica: operazioni con numeri naturali.

Algebra: equazioni di primo grado

Riflessioni didattico disciplinariNon si tratta di “problema di applicazione” (esercizio), destinato a rinforzare e a verificare conoscenze La situazione presentata si avvicina a quelle di “problema aperto”:

senso della sfida, piacere della ricerca e aspetti ludici, parte integrante del programma di matematica (comprensione e interpretazione, avvio al metodo scientifico, sviluppo dell’autonomia, organizzazione di una ricerca, comunicazione dei risultati attraverso un linguaggio specifico)

55

Analisi a priori del problema

Compito soluzione del problema

interpretare la situazione in termini geometrici, con disegni del tipo di quelli a fianco, rendendosi conto che per passare da un quadrato ad un rettangolo di lunghezza doppia della larghezza,

per via aritmetica: differenza di segmenti

per via algebrica: avendo indicato con x la misura del lato del tavolo quadrato, in cm, scrivere un’ equazione

66

Analisi a priori del problema

Canovaccio metodologicoPrima parte (gruppo classe, tempi. circa 1 ora, in classe)

dalla situazione problematica …. al problema 1. senza tradire il significato didattico, l’insegnante propone la situazione problematica verbalmente e in modo accattivante, così da motivare gli alunni alla

soluzione del problema.

2. Gli studenti, in piccolo gruppo, stendono il testo del problema in linguaggio naturale.

Seconda parte (piccolo gruppo, tempi circa un’ora, in classe)

modellizzazione del problema 1. L’insegnante offre stimoli e input adattandoli agli stili di lavoro di ogni gruppo: “avete mai incontrato un problema simile? Quali le parole chiave’? Visualizza il

problema, gli oggetti matematici in gioco, fai un disegno .. “

2. discussione e condivisione dei lavori

77

Terza parte (lavoro singolo, tempi: variabile, a casa; circa un’ora, in classe)

verso la soluzione 1. Ricerca della soluzione

2. Commento e riflessione guidata

Griglia scheda studente

88

Narrazione della situazione

Al telefono i ragazzi del liceo Banfi e la loro prof. ….:

“ …per la giornata finale, di comunicazione allargata del percorso-progetto, ci servirà un tavolo “duplice nell’uso e nella forma”: inizialmente di forma quadrata dovrà potersi allungare, assumere al bisogno una forma rettangolare, doppia del quadrato di partenza e, in un’ottica di spesa contenuta, dovrà essere ricoperto da una tovaglia i cui bordi dovranno pendere non più di 20 – 25 cm per lato, .... “

In itinere …

8

99

dalla situazione problematica …

stendiamo la tavoglia appoggiandola bene, in modo che penda allo stesso modo da qualunque parte”

Il lavoro operativo per capire

“ con il tavolo quadrato la stessa tovaglia pende troppo da una parte, dobbiamo centrarla…”

9

“avviciniamo due tavoli quadrati, così si ottiene il tavolo rettangolare…”

1010

… al problema

la formulazione di un testo condiviso

“ …Un tavolo quadrato opportunamente allungato assume

una forma rettangolare di area doppia.

La tovaglia sul tavolo rettangolare pende 20-25 cm da ogni lato, distesa sul tavolo quadrato

pende 60 cm dalla parte dei bordi

che non variano.

Quanto dovrà essere lungo e largo il tavolo?

E la tovaglia?”

1111

L’insegnante sottolinea le necessità della situazione,

gli studenti manifestano una certa perplessità

Una scuola deve commissionare per il laboratorio di scienze dei tavoli e delle tovaglie. Il tavolo deve essere quadrato e all’occorrenza si deve poter allungare fino a raggiungere il doppio della sua superficie e una forma rettangolare. La tovaglia sul tavolo quadrato dovrà pendere dai due lati di 60/65 cm, mentre su quello allungato 20/25 cm. Determinare le misure del tavolo e della tovaglia.

“Il tavolo è uno o due?” “Ma le misure le ha dette?” “Ma sono 20 o 25 cm?” “I dati sono solo quelli che ha detto lei? (20 e 60 cm?)”

domande, chiarimenti, precisazioni

il testo

2^ liceo… al problema

1212

la modellizzazione del problema

la lezione partecipata, il gruppo classe …

alla lavagna:

- l’individuazione e la condivisione delle parole chiave

- la costruzione di una mappa

- il problema geometrico “immaginato”

- la comprensione della richiesta:

“Che dimensioni deve avere il tavolo? E la tovaglia?”

3^ media3^ media

1313

la modellizzazione del problema

Lavoro autonomo, nel piccolo grupposi chiariscono dubbi e incomprensioni, …

2^ liceo

141414

… si tratteggiano disegni che esemplificano la situazione, alcuni artistici, altri imprecisi, ma già funzionali per una buona strategia risolutiva

2^ liceo

1515

verso la soluzione…

Si mobilitano le competenze

Serena, Alice, Veronicasi aiutano con un modellino concreto perfettamente in scala:

“il piano del tavolo è un quadrato che si

ribalta, la tovaglia è un rettangolo-foglio di

carta, …”

che le ragazze centrano opportunamente dopo aver tracciato le diagonali.

3^media

1616

Nathan, Gianluca, Gabriele:

costruiscono il tavolo-

quadrato e il tavolo-

rettangolo suddividendo il

quadrato in due metà che

posizionano e rendono mobili con

delle mollette

“metà quadrato + il quadrato + metà quadrato fanno il rettangolo”.

3^media

1717

Sara …. imposta una soluzione algebrica … con gli stuzzicadenti

Per Alice, Sara, Martina:Il problema diventa un indovinello numerico :

“prof, e’ come dire ….Il doppio di un numero aumentato di 50 è uguale allo stesso numero aumentato di 130_____|__________:__________|_____ Tovaglia e tavolo rettangolare25 x x 25__________|_____:_____|__________ Tovaglia e tavolo quadrato65 x 65

Equazione: 2x + 50 = x + 130 Soluzione per tentativi

2 x 80 + 50 = 80 + 130

3^media

1818

Fra “i non risolutori”:

Marco e Riccardo hanno delle incertezze nella interpretazione; la

richiesta di trovare le “dimensioni della

tovaglia”, è tradotta in “determinazione del suo perimetro”.

Alcuni rinunciano a qualunque tipo di rappresentazione con conseguente perdita di controllo delle informazioni e/o della loro gestione

altri presentano difficoltà a gestire la situazione problematica per l’incapacità di modellizzare la tovaglia con un rettangolo: rimangono ancorati all’immagine reale, con disegni del tavolo in prospettiva, con la tovaglia che “pende”, i disegni dei “rettangoli” con bordi “ondulati”

Charaf e Mohamed costruiscono due tavoli .. generici, “uno è quadrato e uno è rettangolare”,ma fra i due tavoli non sembra non esserci alcuna

relazione, neppure nel materiale di costriuzione.

3^media

1919

3^media

Eduard, Simone e Antonio:non riescono a passare dallo spazio al piano, presentano un progetto grafico non coerente (un tavolo e una tovaglia disegnata in volo!)

Non formulano nessuna ipotesi di soluzione

2020

il problema è per lo più risolto correttamente,

per via aritmetica, per via algebrica

2^ liceo

2121

L’esperienza è una buona pratica di insegnamento-apprendimento per competenze:

Porsi e risolvere problemiEssere capace di rappresentare, descrivere, modellizzare la realtà: - scegliere, adattare, utilizzare schematizzazioni matematiche per affrontare problemi di varia natura in contesti diversi - realizzare costruzioni geometriche utilizzando strumenti diversificati. - impostare e risolvere semplici problemi modellizzabili attraverso espressioni, equazioni

Introduzione al pensiero razionale - formarsi di un linguaggio matematico, nei suoi diversi aspetti, verbale e simbolico; - acquisire consapevolmente le forme del ragionamento verbale; - acquisire consapevolmente un pensiero strategico, elaborare comportamenti e scelte compiute in base al tipo di informazioni disponibili.

Argomentare e congetturare Essere in grado di giustificare con argomenti ragionevolmente fondati ogni affermazione

Analisi a posteriori

2222

ai ragazzi : ha permesso di “fare matematica” nel risolvere un problema;

ha stimolato la “ricomposizione” delle conoscenze possedute.

ha rappresentato un avvio al metodo scientifico, sviluppo dell’autonomia, organizzazione di una ricerca, comunicazione dei risultati attraverso un linguaggio specifico;

ha sviluppato la capacità di lavorare in gruppi cooperativi in modo responsabile e finalizzato

ha consentito il confronto con i compagni nel gruppo e con i gruppi all’interno della classe

2323

l’insegnante :

ha osservato gli allievi, in attività di gruppo non strutturate

ha potuto valutare la capacità organizzativa degli alunni e avere l’occasione per discutere di matematica

ha introdotto elementi di rinnovamento nell’insegnamento e realizzato scambi con altri insegnanti su problemi stimolanti.

ha visto il progetto come momento di continuità, anche metodologica, fra la scuola secondaria di I grado e la scuola secondaria di II grado.