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Der Satz des Pythagoras
PYTHAGORAS
570 v. Chr. wurde Pythagoras auf der ionischen Insel Samos geboren. Als 20-jähriger ging er in Milet bei Thales und Anaximander in die Lehre, das waren damals echte Profis in der Philosophie und Mathematik. Später lernte er auch bei ägyptischen Priestern und soll sogar bis nach Babylon gereist sein, um seine Neugierde zu stillen. Mit etwa 40 Jahren kehrte er nach Samos zurück. Pythagoras starb um 500 v. Chr.
Sein ganzes Lebens lang galt sein Interesse vor allem der Mathematik, und hier hatte er den Ägyptern etwas ganz Besonderes abgeschaut.
22
Der Satz des Pythagoras
Feldvermessung bei den ÄgypternDie Felder Ägyptens wurden jedes Jahr vom Nil überschwemmt und mussten neu ausgemessen werden. Die Leute dort benutzten dazu eine geschlossene Schnur mit 12 Knoten, die dadurch in 12 gleich lange Strecken unterteilt war.So wie diese hier:
Wenn sie eine solche Schnur zu einem Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 spannten, erhielten sie einen rechten Winkel mit 90 Grad, denn es entstand ein rechtwinkliges Dreieck.Ein erstaunlicher Trick, aber er funktioniert immer!
Rechter Winkel = 90 Grad
Den rechten Winkel brauchten sie für die Feldvermessung.
33
Der Satz des Pythagoras
Überlegungen des Pythagoras 1
3 · 3 = 32 = 9
4 · 4 = 42 = 16
5 · 5 = 52 = 25
Neue Zahlen, Quadratzahlen:
9, 16 und 25.
Vor Aufregung sprang er aus dem Bett.
Als begeisterter Mathematiker war Pythagoras ein Zahlenfreund und die Zahlen 3, 4 und 5 ließen ihn nicht mehr los. Computerspiele gab es noch nicht, also spielte er mit den Zahlen.
In einer schlaflosen Nacht multiplizierte er sie einmal mit sich selbst und spielte dann mit den Ergebnissen weiter. Das sah dann so aus:
44
Der Satz des Pythagoras
Überlegungen des Pythagoras 2
Was war passiert?
Er hatte 9 und 16 addiert, der Grund seiner Aufregung war das Ergebnis: 25 !Als Mathematiker prüfte er sofort nach, was er da entdeckt hatte und mit steigernder Aufregungstellte er fest:
25 - 9 = 16
9 + 16 = 25
25 - 16 = 9
Stimmt.
Stimmt !
Stimmt auch !!!
55
Der Satz des Pythagoras
Überlegungen des Pythagoras 3
Nutzlose Kunst und sinnlose Spielerei? Nicht ganz. Man muss nur etwas weiterdenken.
Wenn das Quadrieren und Rechnen mit einfachen Zahlen funktioniert, warum dann nicht auch mit Flächen?
Probieren wir es doch einmal aus:
Nehmen wir das große Quadrat des Pythagoras,das mit der Seitenlänge 5 cm.
5 cm · 5 cm = 25 cm2
Das Quadrat hat also einen Flächeninhalt von 25 cm2.
25 cm2
Und dieses Quadrat soll genauso groß sein, wie die beiden anderen 9 cm2 und 16 cm2 zusammen?
66
Der Satz des Pythagoras
Überlegungen des Pythagoras 4
3cm · 3cm + 4cm · 4cm = 5cm · 5cm
Kleines Quadrat + mittelgroßes Quadrat = großes Quadrat ?????
=
Also:
+
9 cm2 + 16 cm2 = 25 cm2
?
Lassen wir doch einen kleinen Film ablaufen!
77
Der Satz des Pythagoras
Überlegungen des Pythagoras 5
Nehmen wir uns zuerst das Dreieck der Ägypter her und erinnern uns:
Es hat einen rechten Winkel, die Seiten sind 3, 4 und 5 Einheiten lang. So sieht es aus.
Hier ist der rechte Winkel.
Über einer Seite zeich-nen wir das mittelgroße Quadrat.
Es hat eine Fläche von 16 cm2.
Über dieser Seite wird das kleine Quadrat errichtet.
Es hat eine Fläche von 9 cm2.
Nun lassen wir die Teilflächen der oberen Quadrate wie in einer Sanduhr in die untere, große Fläche rieseln.
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Der Satz des Pythagoras
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
16 9
0
So sieht unsere „Sanduhr“ aus.
Hier sind „Zählwerke“.
Noch ein Klick,dann läuft die „Sanduhr“ automatisch los !!!
99
Der Satz des Pythagoras
oooo o
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
16 9
0
1010
Der Satz des Pythagoras
oooo o
ooo
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o ooo
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oooo
oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
15 9
0
1111
Der Satz des Pythagoras
oooo o
ooo
ooo
o o
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
14 9
2
1212
Der Satz des Pythagoras
oooo o
ooo
ooo
o o
ooo
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oooo
oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
13 9
3
1313
Der Satz des Pythagoras
oooo o
ooo
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o
o
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oooo
oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
12 9
4
1414
Der Satz des Pythagoras
oooo o
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o
ooo
oo
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
11 9
5
1515
Der Satz des Pythagoras
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
10 9
6
1616
Der Satz des Pythagoras
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
9 9
7
1717
Der Satz des Pythagoras
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
8 9
8
1818
Der Satz des Pythagoras
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
7 9
9
1919
Der Satz des Pythagoras
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
6 9
10
2020
Der Satz des Pythagoras
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
5 9
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2121
Der Satz des Pythagoras
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
4 9
12
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2222
Der Satz des Pythagoras
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ooo
oo
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
3 9
13
o
2323
Der Satz des Pythagoras
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o
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o
o
oo
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oo
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
2 9
14
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2424
Der Satz des Pythagoras
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
1 9
15
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2525
Der Satz des Pythagoras
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oo
oo
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
--- 9
16
o
2626
Der Satz des Pythagoras
Nun geht es mit dem anderen weiter!
Achtung !!!
Ein Quadrat ist jetzt leer.
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oooa b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
--- 9
16
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2727
Der Satz des Pythagoras
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a b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
--- 8
17
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2828
Der Satz des Pythagoras
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a b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
--- 7
18
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2929
Der Satz des Pythagoras
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a b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
--- 6
19
o
3030
Der Satz des Pythagoras
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o
oo
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a b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
--- 5
20
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3131
Der Satz des Pythagoras
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o
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oo
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oo
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a b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
--- 4
21
o
3232
Der Satz des Pythagoras
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o
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oo
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o
o
ooo
a b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
--- 3
22
o
3333
Der Satz des Pythagoras
oo
o
o
o
o
o
o
oo
o
o
ooo
oo
o
o
oo
ooo
a b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
--- 2
23
o
3434
Der Satz des Pythagoras
oo
o
o
o
o
o
o
oo
o
o
ooo
o
o
o
o
oo
ooo
a b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
--- 1
24
o
3535
Der Satz des Pythagoras
Es stimmt tatsächlich.
Die Flächen der kleineren Quadrate passen genau in das große Quadrat.
oo
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o
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oo
o
o
oo
ooo
a b
c
a = 4 cmb = 3 cm
a2 = 16 cm2
b2 = 9 cm2
--- ---
25
o
3636
Der Satz des Pythagoras
a2 + b2 = c2 a b
c
a2b2
c2
also auch ... c2 - b2 = a2 c2 - a2 = b2 und ...
... Das heißt:
In Worten:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten inhaltsgleich dem Quadrat über der Hypothenuse.
3737
Der Satz des Pythagoras
Überlegung des Pythagoras 6
Wenn man durch Quadrieren den Flächeninhalt eines Quadrates berechnen kann, dann kann man durch Wurzelziehen aus dem Flächeninhalt die Länge einer Seite errechnen.
Quadrieren: 3 · 3 = 9
Wurzelziehen: 9 = 3
Wurzelzeichen:
Sprich: Wurzel aus 9 ist 3.
3838
Der Satz des Pythagoras
Voraussetzungen für die Anwendung
Was brauchen wir?
90°
Kathete
Kathete
Hypotenuse
Ein rechtwinkliges Dreieck.
Dies benennen wir so:Die Hypotenuse ist die längste Seite, sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die kürzeren Katheten sind Schenkel des rechten Winkels.
Merke:
3939
Der Satz des Pythagoras
Rechnerische Anwendung
Aufgabe:
1. Schritt: Skizze zeichnen
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse?
Kathete
Kathete
Hypotenuse
rechter Winkel
4040
Der Satz des Pythagoras
Rechnerische Anwendung
Aufgabe:
2. Schritt: Maße angeben
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse?
Kathete
Kathete
Hypotenuse
a = 5 cm
b = 12 cm
c = ??? cm
4141
Der Satz des Pythagoras
Rechnerische Anwendung
Aufgabe:
3. Schritt: In Formel einsetzen
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse?
Kathete
Kathete
Hypotenuse
a = 5 cm
b = 12 cm
c = ??? cm
a2 + b2 = c2
52 + 122 = c2
4242
Der Satz des Pythagoras
Rechnerische Anwendung
Aufgabe:
4. Schritt: Ausrechnen
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse?
Kathete
Kathete
Hypotenuse
a = 5 cm
b = 12 cm
c = ??? cm
a2 + b2 = c2
52 + 122 = c2
5·5 + 12·12 = c2
25 + 144 = c2
169 = c2
4343
Der Satz des Pythagoras
Rechnerische Anwendung
Aufgabe:
5. Schritt: Wurzelziehen
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse?
Kathete
Kathete
Hypotenuse
a = 5 cm
b = 12 cm
c = ??? cm
a2 + b2 = c2
52 + 122 = c2
5·5 + 12·12 = c2
25 + 144 = c2
169 = c2
13 = c
4444
Der Satz des Pythagoras
Rechnerische Anwendung
Aufgabe:
6. Schritt: Ergebnis feststellen
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse?
Kathete
Kathete
Hypotenuse
a = 5 cm
b = 12 cm
c = ??? cm
a2 + b2 = c2
52 + 122 = c2
5·5 + 12·12 = c2
25 + 144 = c2
169 = c2
13 = cAntwort: Die Hypotenuse ist 13 cm lang. Das war´s.
Es folgen die Lernziele.
