1 Didactique des mathématiques : la théorie anthropologique du didactique (Y. Chevallard) 1ère partie Maggy Schneider Université de Liège

11

Didactique des mathématiques :Didactique des mathématiques :la théorie anthropologique du la théorie anthropologique du

didactique (Y. Chevallard)didactique (Y. Chevallard)1ère partie1ère partie

Maggy SchneiderMaggy Schneider

Université de LiègeUniversité de Liège

22

Anthropologique ?Anthropologique ?

S’inscrit dans un projet de modélisation des « pratiques S’inscrit dans un projet de modélisation des « pratiques humaines » : activité mathématique ou actions humaines humaines » : activité mathématique ou actions humaines de nature didactiquede nature didactique

Accentue la posture non prescriptive de la TSD en Accentue la posture non prescriptive de la TSD en cherchant à « briser l’illusion de naturalité des choix cherchant à « briser l’illusion de naturalité des choix didactiques » mais parti-pris plus récent contre un didactiques » mais parti-pris plus récent contre un enseignement « monumentaliste » des mathématiquesenseignement « monumentaliste » des mathématiques

Postule, comme la TSD, que « le mystère est dans les Postule, comme la TSD, que « le mystère est dans les mathématiques », d’où le questionnement de celles-ci mathématiques », d’où le questionnement de celles-ci qui doivent être considérées comme « non qui doivent être considérées comme « non transparentes »transparentes »

33

Anthropologique ?Anthropologique ?

Approche systémique qui prend en compte le triangle Approche systémique qui prend en compte le triangle didactique « complet » : savoir, élève, professeur : « La didactique « complet » : savoir, élève, professeur : « La singularité originaire de la didactique consiste à prendre singularité originaire de la didactique consiste à prendre comme objet premier à étudier […] non pas le sujet comme objet premier à étudier […] non pas le sujet apprenant ou le sujet enseignant, mais le savoir apprenant ou le sujet enseignant, mais le savoir mathématique qu’ils sont censés étudier ensemble » (M. mathématique qu’ils sont censés étudier ensemble » (M. Bosch et Y. Chevallard),Bosch et Y. Chevallard),

D’où l’importance du concept de situation fondamentale D’où l’importance du concept de situation fondamentale qui modélise le savoir mathématique visé à travers ses qui modélise le savoir mathématique visé à travers ses « vraies raisons d’être »« vraies raisons d’être »

44

La TAD : un cadre pour penser les La TAD : un cadre pour penser les aspects institutionnels de la TSDaspects institutionnels de la TSD

Situations didactiques :Situations didactiques :caractère fondamental éventuelcaractère fondamental éventuelcaractère adidactique éventuel caractère adidactique éventuel

(milieu adidactique pour permettre la dévolution)(milieu adidactique pour permettre la dévolution)

55

La relativité institutionnelle La relativité institutionnelle du caractère fondamentaldu caractère fondamental

Caractère fondamental d’une situation : le Caractère fondamental d’une situation : le savoir visé est une réponse optimale à la savoir visé est une réponse optimale à la question posée. Dans la TAD, on parle question posée. Dans la TAD, on parle des « vraies raisons d’être » des savoirs des « vraies raisons d’être » des savoirs

Postulat de la TSD : Postulat de la TSD : « Il existe pour tout « Il existe pour tout savoir une famille se situations susceptibles de savoir une famille se situations susceptibles de lui donner un sens correct»(lui donner un sens correct»(G. Brousseau)G. Brousseau)

66

La relativité institutionnelle La relativité institutionnelle du caractère fondamentaldu caractère fondamental

« Ce sens « Ce sens [ du savoir ][ du savoir ] est correct par rapport à est correct par rapport à l’histoire de ce concept, par rapport au contexte l’histoire de ce concept, par rapport au contexte social, par rapport à la communauté social, par rapport à la communauté scientifique »scientifique » (G. Brousseau) (G. Brousseau)

La réponse donnée à une question est relative à La réponse donnée à une question est relative à une « institution » (Y. Chevallard). Le savoir une « institution » (Y. Chevallard). Le savoir n’est pas absolu : il existe différents rapports n’est pas absolu : il existe différents rapports institutionnelsinstitutionnels au même savoir qui transparais- au même savoir qui transparais-sent à travers des pratiques diversessent à travers des pratiques diverses

77

Rapport institutionnel au savoirRapport institutionnel au savoir

On ne s’autorise pas dans toutes les institutions On ne s’autorise pas dans toutes les institutions des résolutions graphiques d’équations ou des des résolutions graphiques d’équations ou des calculs tels que :calculs tels que : 2/2/20243222 −=−=⇒−=⇒=+⇒=+ yxdxdyxdxydyydyxdxyx m/s 2,4s 36m 150s 6060m 1000150h 1km 1150h 1km 150 km/h 150 ==××=×==

∫∫ =⇒+=⇒+=⇒==⇒=⇒= xkeyCxyCdxydydxy

dyydxdyydxdy ln

88

Transposition et écologieTransposition et écologie

Les pratiques mathématiques, les organisations Les pratiques mathématiques, les organisations praxéologiques sont propres aux institutionspraxéologiques sont propres aux institutions

En particulier les institutions « scolaires » se En particulier les institutions « scolaires » se démarquent des institutions savantes, d’où le démarquent des institutions savantes, d’où le concept de concept de transposition didactique transposition didactique et les et les phénomènes associés gouvernés par l’écologie phénomènes associés gouvernés par l’écologie des savoirsdes savoirs

99

Rapport institutionnel au savoirRapport institutionnel au savoir

D’où l’intérêt de se polariser autant sur les D’où l’intérêt de se polariser autant sur les techniques utilisées et les discours qui les techniques utilisées et les discours qui les justifient que sur les concepts justifient que sur les concepts

Et donc, de modéliser l’activité Et donc, de modéliser l’activité mathématique en termes de praxéologiesmathématique en termes de praxéologies

1010

Modélisation de l’activité mathématiqueModélisation de l’activité mathématique en termes de praxéologies en termes de praxéologies

Tâches ou types de tâchesTâches ou types de tâches

TechniquesTechniques qui rendent les tâches faciles à faire qui rendent les tâches faciles à faire

TechnologiesTechnologies : discours technologique qui légitime : discours technologique qui légitime l’usage de la technique eu égard au type de tâches l’usage de la technique eu égard au type de tâches concerné, rend la technique intelligible et explore son concerné, rend la technique intelligible et explore son champ d’opérationnalitéchamp d’opérationnalité

ThéoriesThéories : fédèrent des technologies en un tout : fédèrent des technologies en un tout organiséorganisé

1111

Exemple des équations du second degréExemple des équations du second degré

Une technique « exotique » pour résoudreUne technique « exotique » pour résoudre

XX22 + 10x = 39 + 10x = 39 Diviser 10 par 4 : 2,5Diviser 10 par 4 : 2,5 Elever 2,5 au carré et multiplier par 4 : 2,5Elever 2,5 au carré et multiplier par 4 : 2,522 x 4 = 25 x 4 = 25 Ajouter 39 : 25 + 39 = 64Ajouter 39 : 25 + 39 = 64 Prendre la racine de 64 : √64 = 8Prendre la racine de 64 : √64 = 8 Retrancher 2 fois 2,5 : 8 - 2 x 2,5 = 3Retrancher 2 fois 2,5 : 8 - 2 x 2,5 = 3

1212

Exemple des équations du second degré : Exemple des équations du second degré : recherche d’une intelligibilité de la méthoderecherche d’une intelligibilité de la méthode

1313

Exemple des équations du second degréExemple des équations du second degré

Intérêt de l’étude préalable de certaines Intérêt de l’étude préalable de certaines équations du second degré qui ont une « bonne équations du second degré qui ont une « bonne forme »forme »

Nécessité d’un discours qui montre que le but Nécessité d’un discours qui montre que le but est de « ramener » d’autres équations à cette est de « ramener » d’autres équations à cette « bonne forme »« bonne forme »

D’où l’intelligibilité des manipulations D’où l’intelligibilité des manipulations algébriques faites pour démontrer les formules algébriques faites pour démontrer les formules de résolution d’une équation générale du de résolution d’une équation générale du second degrésecond degré

1414

Rôle du discours technologiqueRôle du discours technologique

Justifier l’efficacité de la technique eu Justifier l’efficacité de la technique eu égard à la tâche viséeégard à la tâche visée

Rendre la technique intelligible ce qui est Rendre la technique intelligible ce qui est indispensable si l’on veut savoir dans indispensable si l’on veut savoir dans quelles conditions l’utiliser et savoir quelles conditions l’utiliser et savoir l’adapter le cas échéant (connaissances l’adapter le cas échéant (connaissances conditionnelles de J. Tardif)conditionnelles de J. Tardif)

1515

Praxéologies mathématiquesPraxéologies mathématiques

Exemple des automorphismes de solidesExemple des automorphismes de solides Exemple des équations du second degréExemple des équations du second degré Exemple des fonctions homographiquesExemple des fonctions homographiques Exemple des limites aux infinis des fractions rationnellesExemple des limites aux infinis des fractions rationnelles Exemple du calcul de limitesExemple du calcul de limites

1616

La dynamique des praxéologiesLa dynamique des praxéologies

Tâches complexes a priori, rendues routinières Tâches complexes a priori, rendues routinières par la technique en payant le prix de la théorie par la technique en payant le prix de la théorie (ou du discours technologique); d’où une (ou du discours technologique); d’où une économie de penséeéconomie de pensée

Le discours technologique ou la théorie Le discours technologique ou la théorie permettent de cerner le champ d’efficacité de la permettent de cerner le champ d’efficacité de la techniquetechnique

1717

L’exemple des techniques L’exemple des techniques de proportionnalitéde proportionnalité

Si 6 bonbons coûtent 15 francs, combien coûtent 10 Si 6 bonbons coûtent 15 francs, combien coûtent 10 bonbons ?bonbons ?

Une technique discursive : Si 6 bonbons coûtent 15 Une technique discursive : Si 6 bonbons coûtent 15 francs, 1 bonbon coûte francs, 1 bonbon coûte 6 fois moins6 fois moins, soit 15 : 6 = 2,5 , soit 15 : 6 = 2,5 francs. Si un bonbon coûte 2,5 francs, 10 bonbons francs. Si un bonbon coûte 2,5 francs, 10 bonbons coûtent coûtent 10 fois plus10 fois plus, soit 10 x 2,5 = 25 francs, soit 10 x 2,5 = 25 francs

Une technique algébrique basée sur la propriété Une technique algébrique basée sur la propriété Le Le produit des moyens est égal au produit des extrêmesproduit des moyens est égal au produit des extrêmes : :

6/10 = 15/x ou x = 10 x 15/6 = 256/10 = 15/x ou x = 10 x 15/6 = 25

1818


Utilisation d’un tableau :Utilisation d’un tableau :

Une technique de modélisation fonctionnelle :Une technique de modélisation fonctionnelle : Fonction du type y = axFonction du type y = ax En remplaçant x par 6 et y par 15, on trouve a = 2,5En remplaçant x par 6 et y par 15, on trouve a = 2,5 On cherche l’image de 10On cherche l’image de 10

1919


Le peu de succès à l’école élémentaire d’un traitement Le peu de succès à l’école élémentaire d’un traitement algébrique des problèmes de proportionnalité s’explique algébrique des problèmes de proportionnalité s’explique par certaines habitudes culturelles : « le traitement par certaines habitudes culturelles : « le traitement algébrique aurait précipité la disparition d’un champ de algébrique aurait précipité la disparition d’un champ de problèmes très apprécié culturellement, devenu le problèmes très apprécié culturellement, devenu le symbole des mathématiques élémentaires enseignées » symbole des mathématiques élémentaires enseignées » (Bosch)(Bosch)

2020

Des praxéologies aux ostensifsDes praxéologies aux ostensifs

La « courbe du maçon » est-elle une parabole ?La « courbe du maçon » est-elle une parabole ?

2121

Des praxéologies aux ostensifsDes praxéologies aux ostensifs

Deux systèmes de points modélisés par Deux systèmes de points modélisés par un même ostensif algébrique :un même ostensif algébrique : Courbe du maçon modélisé par deux Courbe du maçon modélisé par deux

ensembles paramétrés d’équations : x = m et ensembles paramétrés d’équations : x = m et y = mx et donc par l’équation y = xy = mx et donc par l’équation y = x22

Modèle algébrique des paraboles d’axe Oy et Modèle algébrique des paraboles d’axe Oy et de sommet (0,0) : y = axde sommet (0,0) : y = ax22; directrice y = - a/4 ; directrice y = - a/4 et foyer (a/4,0)et foyer (a/4,0)

2222

La dynamique des praxéologies liée à La dynamique des praxéologies liée à l’instrumentalité des ostensifsl’instrumentalité des ostensifs

Ostensifs : tout ce qui s’appréhende par Ostensifs : tout ce qui s’appréhende par les sens (notations, mots, gestes, …)les sens (notations, mots, gestes, …)

Non - ostensifs : idées, concepts, … Non - ostensifs : idées, concepts, … associés aux ostensifs associés aux ostensifs

2323

Rôle des ostensifs dans Rôle des ostensifs dans l’activité mathématiquel’activité mathématique

Exemple des multiples notations Exemple des multiples notations associées au concept de fonction :associées au concept de fonction :

2424


Difficultés associées à la notation « f(x) »Difficultés associées à la notation « f(x) »

Valence sémiotiqueValence sémiotique des ostensifs : pouvoir des ostensifs : pouvoir d’évoquer, en certaines institutions, les non-d’évoquer, en certaines institutions, les non-ostensifs associésostensifs associés

2525


Valence instrumentale de la notation « équation » : Valence instrumentale de la notation « équation » :

Valence instrumentaleValence instrumentale des ostensifs : ce sont des des ostensifs : ce sont des instruments qui facilitent la mise en œuvre de techniques instruments qui facilitent la mise en œuvre de techniques pour réaliser des tâchespour réaliser des tâches

2626


Retour aux transformations graphiquesRetour aux transformations graphiques

Exercice sur les notations diverses de la dérivéeExercice sur les notations diverses de la dérivée

Débat sur « rigueur et notations »Débat sur « rigueur et notations »

2727

Un regard praxéologique sur les fonctionsUn regard praxéologique sur les fonctions

Chez Archimède :Chez Archimède :

La quadrature du segment de parabole et laLa quadrature du segment de parabole et la

cubature de la pyramide sont des problèmes cubature de la pyramide sont des problèmes différents bien que relevant tous deux de la différents bien que relevant tous deux de la méthode d’exhaustionméthode d’exhaustion

2828


2929


C’est le même problème : primitive d’une C’est le même problème : primitive d’une fonction du second degré ou limite de sommes fonction du second degré ou limite de sommes de Riemann de même structure de Riemann de même structure

La détermination d’une aire sous une courbe est La détermination d’une aire sous une courbe est un modèle « standard » des problèmes relevant un modèle « standard » des problèmes relevant d’une intégrale d’une fonction d’une variabled’une intégrale d’une fonction d’une variable

Une classification algébrique …Une classification algébrique …

3030


« Mais pour qu’on ait le droit de voir là un « Mais pour qu’on ait le droit de voir là un “ calcul intégral ”, il faudrait y mettre en “ calcul intégral ”, il faudrait y mettre en évidence, à travers la multiplicité des évidence, à travers la multiplicité des apparences géomé-triques, quelque ébauche de apparences géomé-triques, quelque ébauche de classification des problèmes suivant la nature de classification des problèmes suivant la nature de “ l’intégrand ” sous-jacent. Au XVII“ l’intégrand ” sous-jacent. Au XVIIee siècle, nous siècle, nous allons le voir, la recherche d’une telle allons le voir, la recherche d’une telle classification devient peu à peu l’un des classification devient peu à peu l’un des principaux soucis des géomètres » (Bourbaki)principaux soucis des géomètres » (Bourbaki)

3131


Catégoriser des phénomènes d’après le type de fonction Catégoriser des phénomènes d’après le type de fonction mobilisée en standardisant les notations : variables et mobilisée en standardisant les notations : variables et paramètres paramètres

3232


Regard conceptuel sur les fonctions : les ensembles et relations Regard conceptuel sur les fonctions : les ensembles et relations (fonctionnelles) sont les concepts premiers de la théorie des (fonctionnelles) sont les concepts premiers de la théorie des ensembles dans un projet d’axiomatisation, de fondement et de ensembles dans un projet d’axiomatisation, de fondement et de synthèse de toutes les mathématiquessynthèse de toutes les mathématiques

Mais les fonctions sont aussi des outils de catégorisation des Mais les fonctions sont aussi des outils de catégorisation des phénomènes qui vont permettre d’enclencher les techniques de phénomènes qui vont permettre d’enclencher les techniques de dérivation et de primitivation pour résoudre des problèmes variés dérivation et de primitivation pour résoudre des problèmes variés (mais les coniques permettent la même économie de pensée)(mais les coniques permettent la même économie de pensée)

Quel point de vue à quel niveau ?Quel point de vue à quel niveau ?

A rapprocher des outils d’évaluation sur la modélisation A rapprocher des outils d’évaluation sur la modélisation fonctionnelle (travail sur les paramètres, …)fonctionnelle (travail sur les paramètres, …)

Documents

1 Didactique des mathématiques : la théorie anthropologique du didactique (Y. Chevallard) 1ère partie Maggy Schneider Université de Liège