1 Didactique des mathématiques : la théorie des situations didactiques (G. Brousseau) Maggy Schneider Université de Liège

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Didactique des mathématiques :Didactique des mathématiques :la théorie des situations la théorie des situations

didactiques (G. Brousseau)didactiques (G. Brousseau)

Maggy SchneiderMaggy Schneider

Université de LiègeUniversité de Liège

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La TSD : un réseau de quatre conceptsLa TSD : un réseau de quatre concepts

Situation adidactiqueSituation adidactique Dévolution et institutionnalisationDévolution et institutionnalisation Dialectique dDialectique d’’action, de formulation, de validationaction, de formulation, de validation

Milieu adidactiqueMilieu adidactique

Contrat didactiqueContrat didactique Effet « Topaze »Effet « Topaze » Effet « Jourdain »Effet « Jourdain »

ObstaclesObstacles Epistémologiques et didactiquesEpistémologiques et didactiques OntogéniquesOntogéniques (Psychologiques)(Psychologiques)

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Situation et milieu adidactiquesSituation et milieu adidactiques

Examen des exemples originels :Examen des exemples originels :

Exemple des feuilles de papier Exemple des feuilles de papier Exemple de lExemple de l’’agrandissement dagrandissement d’’un puzzleun puzzle

44

Les feuilles de papier : situation adidactique Les feuilles de papier : situation adidactique dd’’introduction aux fractions-mesuresintroduction aux fractions-mesures

« Vous allez essayer « Vous allez essayer dd’’inventer un moyen pour inventer un moyen pour désigner et reconnaître des désigner et reconnaître des différents types de papier et différents types de papier et pour les distinguer, seulement pour les distinguer, seulement dd’’après leur épaisseur. Vous après leur épaisseur. Vous êtes groupés par équipes êtes groupés par équipes concurrentes. Dès que vous concurrentes. Dès que vous aurez trouvé un moyen de aurez trouvé un moyen de désigner les épaisseurs de désigner les épaisseurs de feuilles, vous lfeuilles, vous l’’essaierez dans essaierez dans un jeu de communication »un jeu de communication »

5 tas d5 tas d’’environ 200 feuilles de environ 200 feuilles de meme format, meme couleur, meme format, meme couleur, mais dmais d’’épaisseurs différentesépaisseurs différentes

Groupes « émetteurs » et Groupes « émetteurs » et groupes « récepteurs » groupes « récepteurs » séparés par un écranséparés par un écran

Pied à coulisse ou double-Pied à coulisse ou double-décimètresdécimètres

Élèves qui ne connaissent pas Élèves qui ne connaissent pas les nombres fractionnairesles nombres fractionnaires

55


Désarroi devant lDésarroi devant l’’impossibilité de mesurer une feuilleimpossibilité de mesurer une feuille Idée de prendre plusieurs feuilles et premiers messages: Idée de prendre plusieurs feuilles et premiers messages:

p.ex. « 52 feuilles; 7 mm »p.ex. « 52 feuilles; 7 mm » Difficultés, disputes, preuves pragmatiquesDifficultés, disputes, preuves pragmatiques Réfutation intellectuelle de certains messages et Réfutation intellectuelle de certains messages et

émergence démergence d’’un modèle mathématique un modèle mathématique

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19 feuilles; 3 mm : type A et 19 feuilles; 3 mm : type B 19 feuilles; 3 mm : type A et 19 feuilles; 3 mm : type B Ca ne va pas car, si les feuilles sont de types différents, à un meme nombre de Ca ne va pas car, si les feuilles sont de types différents, à un meme nombre de feuilles doivent correspondre des épaisseurs différentesfeuilles doivent correspondre des épaisseurs différentes

30 feuilles; 2 mm : type C et 30 feuilles; 3 mm : type C30 feuilles; 2 mm : type C et 30 feuilles; 3 mm : type CCa ne va pas car, pour un meme type de feuilles, au meme nombre de feuilles Ca ne va pas car, pour un meme type de feuilles, au meme nombre de feuilles correspond la meme épaisseurcorrespond la meme épaisseur

30 feuilles; 3 mm : type C et 15 feuilles; 1 mm : type C30 feuilles; 3 mm : type C et 15 feuilles; 1 mm : type CCa ne va pas car, sCa ne va pas car, s’’il y a 2 fois plus de feuilles, lil y a 2 fois plus de feuilles, l’’épaisseur est 2 fois plus épaisseur est 2 fois plus grandegrande

19 feuilles; 3mm : type C et 20 feuilles; 4 mm : type C19 feuilles; 3mm : type C et 20 feuilles; 4 mm : type CCa ne va pas parce quCa ne va pas parce qu’’une feuille ne peut pas mesurer 1 mmune feuille ne peut pas mesurer 1 mm

77


Modèle des couples équivalents et classement des Modèle des couples équivalents et classement des couples appartenant à une même classe dcouples appartenant à une même classe d’’équivalenceéquivalence

Introduction, par le professeur, dIntroduction, par le professeur, d’’une notation et dune notation et d’’une une terminologie en tant que conventions sociales :terminologie en tant que conventions sociales :

Type C : (50, 4) ≈ (25, 2)Type C : (50, 4) ≈ (25, 2)

4/50 = 2/254/50 = 2/25

« 4 mm pour 50 feuilles » ou « 4 cinquantièmes de mm par feuille »« 4 mm pour 50 feuilles » ou « 4 cinquantièmes de mm par feuille »

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Agrandissement dAgrandissement d’’un puzzle : situation adidactique un puzzle : situation adidactique des rationnels en tant qudes rationnels en tant qu’’opérateurs linéairesopérateurs linéaires

« Voici des puzzles. Vous allez en « Voici des puzzles. Vous allez en fabriquer de semblables, plus fabriquer de semblables, plus grands que les modèles, en grands que les modèles, en respectant la règle suivante : le respectant la règle suivante : le segment qui mesure 4 cm sur le segment qui mesure 4 cm sur le modèle devra mesurer 7 cm sur modèle devra mesurer 7 cm sur votre reproduction. Je donne un votre reproduction. Je donne un puzzle par équipe de 5 ou 6, mais puzzle par équipe de 5 ou 6, mais chaque élève fait au moins 1 pièce chaque élève fait au moins 1 pièce ou un groupe de 2 en fait 2. Lorsque ou un groupe de 2 en fait 2. Lorsque vous aurez fini, vous devez pouvoir vous aurez fini, vous devez pouvoir reconstituer les mêmes figures reconstituer les mêmes figures ququ’’avec le modèle »avec le modèle »

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Premières stratégies calquées sur le modèle additif : de Premières stratégies calquées sur le modèle additif : de 4 à 7, on ajoute 3. Donc, on ajoute 3 à toutes les 4 à 7, on ajoute 3. Donc, on ajoute 3 à toutes les dimensionsdimensions

Autres idées :Autres idées :4 4 7 = 2 x 4 - 1 7 = 2 x 4 - 1

5 5 9 = 2 x 5 - 1 9 = 2 x 5 - 12 2 3 = 2 x 2 - 1 3 = 2 x 2 - 1

Mais, dans la classe, le modèle additif sMais, dans la classe, le modèle additif s’’imposeimpose Les morceaux ne se recollent pas : accusations, Les morceaux ne se recollent pas : accusations,

disputes, tricheriesdisputes, tricheries

1010


Interventions du Interventions du professeur : attire professeur : attire ll’’attention sur un attention sur un puzzle particulier et puzzle particulier et propose de compléter propose de compléter un tableau numériqueun tableau numérique

1111


• Mise en cause progressive du modèle additif et Mise en cause progressive du modèle additif et émergence du modèle linéaireémergence du modèle linéaire

2 2 2 + 3 = 5 2 + 3 = 54 4 4 + 3 = 7 4 + 3 = 76 6 6 + 3 = 9 et pourtant 9 6 + 3 = 9 et pourtant 9 5 + 7, alors que 6 = 4 + 2 ! 5 + 7, alors que 6 = 4 + 2 !Si 4 devient 7, alors 8 doit devenir 14 et 12 = 4 + 8 doit devenir 7 + Si 4 devient 7, alors 8 doit devenir 14 et 12 = 4 + 8 doit devenir 7 +

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• LL’’image de 1 :image de 1 : « Il faudrait l« Il faudrait l’’image de 1; oui, ça permettrait de trouver toutes les autres. Pour image de 1; oui, ça permettrait de trouver toutes les autres. Pour cela, il faut partager 4 en 4 parties, il faut diviser 7 en 4 aussi »cela, il faut partager 4 en 4 parties, il faut diviser 7 en 4 aussi »

• Correction de lCorrection de l’’ajout :ajout :1 1 1 + 3/4 1 + 3/4 6 6 6 + 6.3/4 6 + 6.3/4 11 11 11 + 11.3/4 11 + 11.3/4 (a + a.3/4= 7a/4)(a + a.3/4= 7a/4)

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Les situations adidactiquesLes situations adidactiques

« Situations à l« Situations à l’’occasion desquelles le occasion desquelles le professeur peut abdiquer de son intention professeur peut abdiquer de son intention dd’’enseigner pour fonder lenseigner pour fonder l’’apprentissage de apprentissage de ll’’élève sur une confrontation des actions de élève sur une confrontation des actions de celui-ci avec un celui-ci avec un milieumilieu. Pour un temps, la . Pour un temps, la question, le problème ne sont plus ceux du question, le problème ne sont plus ceux du professeur, mais ceux de lprofesseur, mais ceux de l’’élève. Célève. C’’est le est le processus de processus de dévolution.dévolution. » » (G. Brousseau) (G. Brousseau)

1313

Les situations adidactiques et le milieuLes situations adidactiques et le milieu

CC’’est lest l’’existence dexistence d’’un un milieu adidactiquemilieu adidactique qui permet la qui permet la dévolution. dévolution. Grâce au milieu, le professeur peut ne « pas Grâce au milieu, le professeur peut ne « pas vendre la mèche », ce qui nvendre la mèche », ce qui n’’empêche pas quempêche pas qu’’il puisse il puisse injecter des idéesinjecter des idées

Le milieu a des facettes diverses : « matérielles », Le milieu a des facettes diverses : « matérielles », sociales, cognitives : la situation et ses variables sociales, cognitives : la situation et ses variables didactiques (impossibilité de mesurer ldidactiques (impossibilité de mesurer l’’épaisseur dépaisseur d’’une une feuille de papier, dimensions des pièces du puzzle, idée feuille de papier, dimensions des pièces du puzzle, idée intuitive dintuitive d’’agrandissement, échanges entre élèves, agrandissement, échanges entre élèves, interventions du professeur qui renvoient au milieu sans interventions du professeur qui renvoient au milieu sans dénaturer le sens de la situation, connaissances dénaturer le sens de la situation, connaissances antérieures qui vont faire obstacle, …)antérieures qui vont faire obstacle, …)

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Dialectiques dDialectiques d’’action, action, de formulation, de validationde formulation, de validation

Grâce au milieu, les situations adidactiques enclenchent Grâce au milieu, les situations adidactiques enclenchent ll’’une ou plusieurs des dialectiques dune ou plusieurs des dialectiques d’’action, de action, de formulation ou de validationformulation ou de validation

Une dialectique dUne dialectique d’’actionaction

Succession dSuccession d’’interactions entre linteractions entre l’’élève et le milieu élève et le milieu (théorèmes en acte de Vergnaud)(théorèmes en acte de Vergnaud)

Une dialectique de formulationUne dialectique de formulation

mise au point dmise au point d’’un langage intelligible par autrui et un langage intelligible par autrui et qui explicite les modes dqui explicite les modes d’’actionaction

(situations de « communication »)(situations de « communication »)

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Dialectiques dDialectiques d’’action, action, de formulation, de validationde formulation, de validation

Dialectique de validationDialectique de validation« L« L’’élève doit établir la validité délève doit établir la validité d’’une assertion, il doit une assertion, il doit ss’’adresser en tant que sujet susceptible dadresser en tant que sujet susceptible d’’accepter ou de accepter ou de refuser ses assertions, de lui demander drefuser ses assertions, de lui demander d’’administrer administrer des preuves de ce qudes preuves de ce qu’’il avance, de lui opposer dil avance, de lui opposer d’’autres autres assertions »assertions » (G. Brousseau) (G. Brousseau)

Il existe plusieurs types de validation : pragmatique, Il existe plusieurs types de validation : pragmatique, empirique, syntaxique. Lempirique, syntaxique. L’’expérience permet aussi expérience permet aussi « d« d’’invalider »invalider »

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InstitutionnalisationInstitutionnalisation

Le processus dLe processus d’’institutionnalisationinstitutionnalisation fait pendant au fait pendant au processus de dévolution :processus de dévolution :« Quelqu« Quelqu’’un dun d’’extérieur vient pointer dans les activités extérieur vient pointer dans les activités de lde l’’élève celles qui ont un intérêt, un statut culturel »élève celles qui ont un intérêt, un statut culturel »

Les situations adidactiques sLes situations adidactiques s’’inscrivent donc résolument inscrivent donc résolument dans une perspective de dans une perspective de transmission dtransmission d’’un savoirun savoir jugé jugé important par la sociétéimportant par la société

LL’’institutionnalisation suppose la institutionnalisation suppose la décontextualisationdécontextualisation du du savoir et la savoir et la dépersonnalisationdépersonnalisation

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Décontextualisation, dépersonnalisationDécontextualisation, dépersonnalisation

DécontextualisationDécontextualisationSituation des feuilles de papier conjuguée avec dSituation des feuilles de papier conjuguée avec d’’autres autres situations : distinguer des clous de poids différents, des situations : distinguer des clous de poids différents, des baguettes de différentes longueurs, des verres de baguettes de différentes longueurs, des verres de diverses capacités, … ldiverses capacités, … l’’étalon étant à chaque fois trop étalon étant à chaque fois trop grand pour mesurer une entitégrand pour mesurer une entité

DépersonnalisationDépersonnalisationChanger les élèves dChanger les élèves d’’équipes : il néquipes : il n’’y a que les stratégies y a que les stratégies qui sont « perdantes » ou « gagnantes »qui sont « perdantes » ou « gagnantes »

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Les situations-problèmes quLes situations-problèmes qu’’on rencontre sur le terrain on rencontre sur le terrain sont-elles des situations adidactiquessont-elles des situations adidactiques ??

Cela dépend Cela dépend

Examen de quelques exemples :Examen de quelques exemples : cas de similitude des trianglescas de similitude des triangles dérivéedérivée pentagonespentagones equilatervilleequilaterville ombresombres

Il existe une « vulgate » des situations-problèmesIl existe une « vulgate » des situations-problèmes

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Quelques caractéristiques des Quelques caractéristiques des situations adidactiquessituations adidactiques

Elles visent lElles visent l’’acquisition dacquisition d’’un savoir mathématique et celui-un savoir mathématique et celui-ci constitue la réponse optimale à la question posée et aux ci constitue la réponse optimale à la question posée et aux questions de même type (décontextualisation)questions de même type (décontextualisation)

Il y a une vraie question et les élèves peuvent comprendre Il y a une vraie question et les élèves peuvent comprendre a prioria priori la question dévolue et commencer à agir avec la question dévolue et commencer à agir avec leurs propres connaissancesleurs propres connaissances

LL ’’enjeu majeur est la mise à lenjeu majeur est la mise à l’’épreuve de ces épreuve de ces connaissances, leurs limites et les intuitions dconnaissances, leurs limites et les intuitions d’’élèves, élèves, fausses mais persistantesfausses mais persistantes

2020

Quelques caractéristiques des Quelques caractéristiques des situations adidactiquessituations adidactiques

La solution optimale au problème « peut être trouvée et La solution optimale au problème « peut être trouvée et prouvée par quelques élèves dans un temps raisonnable prouvée par quelques élèves dans un temps raisonnable dans une classe ordinaire et très vite partagée et vérifiée dans une classe ordinaire et très vite partagée et vérifiée par les autres »par les autres »(processus collectif et non entraînement individuel à la (processus collectif et non entraînement individuel à la compétence de résolution de problèmes; dépersonna-compétence de résolution de problèmes; dépersonna-lisation) lisation)

Les élèves peuvent constater dLes élèves peuvent constater d’’eux-mêmes, grâce au eux-mêmes, grâce au milieu, le succès ou lmilieu, le succès ou l’’échec des stratégies quéchec des stratégies qu’’ils ils proposent par tentatives successives mais lproposent par tentatives successives mais l’’anticipationanticipation doit être favoriséedoit être favorisée

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Deux caractéristiques séparablesDeux caractéristiques séparables

Situations adidactiques :Situations adidactiques :Caractère fondamental qui peut être aussi celui Caractère fondamental qui peut être aussi celui

dd’’un exposé introductif mettant en évidence les un exposé introductif mettant en évidence les « raisons d« raisons d’’être du savoir »être du savoir »

Existence dExistence d’’un milieu adidactique qui va un milieu adidactique qui va permettre la dévolutionpermettre la dévolution

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Situation fondamentaleSituation fondamentale

Caractère fondamental dCaractère fondamental d’’une situation une situation adidactique : le savoir visé apporte une réponse adidactique : le savoir visé apporte une réponse optimale à la question posée et aux questions optimale à la question posée et aux questions du même typedu même type

« Chaque connaissance peut se caractériser par « Chaque connaissance peut se caractériser par une (ou des) situation adidactique qui en une (ou des) situation adidactique qui en préserve le sens et que nous appelerons préserve le sens et que nous appelerons situation fondamentale »situation fondamentale » (Brousseau) (Brousseau)

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Le caractère fondamental dLe caractère fondamental d’’une situation doit une situation doit primer sur dprimer sur d’’autres critères si lautres critères si l’’on cherche une on cherche une quelconque « autonomie » des élèves :quelconque « autonomie » des élèves :

- - Caractère concret (vie de tous les jours, nature, …)Caractère concret (vie de tous les jours, nature, …)

- Occasion de modélisation- Occasion de modélisation

- Côté « œuf de Colomb » (obstacles psychologiques)- Côté « œuf de Colomb » (obstacles psychologiques)

- Possibilité de « faire voir » aux élèves- Possibilité de « faire voir » aux élèves

2424

La TSD se distingue des idéologies inhérentes La TSD se distingue des idéologies inhérentes aux programmes :aux programmes :

Une pédagogie de la recherche (programmes FESeC); caractéristiques d’une situation d’apprentissage :

Elle constitue un défi, suscite un étonnement, crée une surprise, Elle invite l’élève à faire quelque chose (compter - faire un dessin -

calculer - couper …), Elle laisse à l’élève une certaine liberté quant au choix de sa

méthode et de ses conjectures et met en œuvre sa créativité Elle est issue du terrain de l’élève Elle met en œuvre une réflexion qui dépasse l’utilisation immédiate

de résultats antérieurs Elle permet de rencontrer plusieurs notions différentes Elle conduit l’élève à rédiger sa démarche, son raisonnement

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La conception ou lLa conception ou l’’analyse de situations analyse de situations adidactiques ayant un caractère fondamental adidactiques ayant un caractère fondamental suppose une analyse suppose une analyse a prioria priori épistémologique et épistémologique et didactique : distinguer ce qui relève du didactique : distinguer ce qui relève du prévisible, du nécessaire et du contingentprévisible, du nécessaire et du contingent

Exemple des fractions dont les sens sont Exemple des fractions dont les sens sont multiples : mesures, opérateurs de similitude, multiples : mesures, opérateurs de similitude, partages, recherche dpartages, recherche d’’une commune mesure une commune mesure entre deux grandeurs, nombresentre deux grandeurs, nombres

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Trouve un prolongement dans la modélisation Trouve un prolongement dans la modélisation de lde l’’activité mathématique en termes de activité mathématique en termes de praxéologies :praxéologies :

Tâche, technique, technologie, théorieTâche, technique, technologie, théorie

où la tâche est dictée par les « vraies raisons où la tâche est dictée par les « vraies raisons dd’’être » du savoir mathématique (TAD dêtre » du savoir mathématique (TAD d’’Y. Y. Chevallard)Chevallard)

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« […] on est parfois tenté de considérer que, « […] on est parfois tenté de considérer que, dans la théorie des situations, la notion de dans la théorie des situations, la notion de situation fondamentale sert, avant tout, à décrire situation fondamentale sert, avant tout, à décrire et à fabriquer des situations det à fabriquer des situations d’’enseignement enseignement […]. On oublie alors que cette notion constitue - […]. On oublie alors que cette notion constitue - aussi et surtout - laussi et surtout - l’’instrument-clé que propose instrument-clé que propose cette théorie pour caractériser les cette théorie pour caractériser les connaissances mathématiques »connaissances mathématiques » (M. Bosch et (M. Bosch et Y. Chevallard)Y. Chevallard)

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TSD et non TSATSD et non TSA

Les situations adidactiques sont un dispositif Les situations adidactiques sont un dispositif « extrême » qui permet de mettre en évidence « extrême » qui permet de mettre en évidence des phénomènes ddes phénomènes d’’apprentissage et apprentissage et dd’’enseignement susceptibles, à leur tour, de enseignement susceptibles, à leur tour, de comprendre le fonctionnement de situations comprendre le fonctionnement de situations didactiquesdidactiques

Documents

1 Didactique des mathématiques : la théorie des situations didactiques (G. Brousseau) Maggy Schneider Université de Liège