1. DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Las distribuciones de probabilidad de variable continua son idealizaciones de las distribuciones estadísticas de variable continua. Estas se obtienen empíricamente (experimentando u observando). Aquellas son distribuciones teóricas. Las distribuciones de probabilidad de variable continua se definen por medio de una función y = f(x) que se llama función de probabilidad o función de densidad. Ha de ser f (x) ≥ 0 para todo x. Las probabilidades vienen dadas por el área bajo la curva. Por tanto, el área encerrada bajo la totalidad de la curva es 1. Es decir, tomamos como unidad el área bajo la curva completa. Se dice que una función f(x) definida sobre la recta real es función de densidad de una variable aleatoria continua X si cumple las siguientes condiciones:

• f (x) ≥ 0 ,paratodoxnúmeroreal. • Elárealimitadaporlagráficayelejedeabscisases1.

Si f(x) es la función de densidad de una variable aleatoria continua, entonces:

P(a ≤ x ≤ b) = f (x)dxa

b

∫

Lasprobabilidadesdesucesospuntualessoncero: P(x = a) = 0 Portanto:P(a ≤ x ≤ b) = P(a < x < b) Dada una variable aleatoria continua X, la función que indica la probabilidadacumuladahastaelvalorX=xsedenominafuncióndedistribucióndelavariableX.F (x) = P(X ≤ x)

2. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL La campana de Gauss o curva normal es una función de probabilidad continua , simétrica, cuyo máximo coincide pues con la media µ .Para cada valor de µ (media) y cada valor de σ (desviación típica) hay una curva normal, que se denomina N (µ , σ ).

La distribución normal con media µ = 0 y desviación típicaσ =1 se llamadistribuciónnormalestándar.

CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN N (0,1)

En la distribución N(0,1), a la variable se le suele representar por la letra z. La tabla nos da las probabilidades P(Z ≤ a) para valores de a de 0 a 4, de centésima en centésima. La función de distribución de la variable Z se denota por φ(z) . La tabla de la página

389 del libro de texto recoge valores de φ(z) cuando z ≥ 0 .Para buscar en la tabla las probabilidades P(Z ≤ a) sia ≥ 0 , primero seredondeaalascentésimasa,yseseleccionaenlaprimeracolumnadelatablalasunidadesydécimasyenlaprimerafila,lascentésimas.ElnúmeroqueapareceenlainterseccióneslaprobabilidadP(Z ≤ a) .

1. LasprobabilidadesP(Z ≤ a) = P(Z < a)paraa ≥ 0seencuentrandirectamenteenlatabla.

2. LasprobabilidadesP(Z ≥ a) = P(Z > a) paraa ≥ 0se

calculanteniendoencuentaqueeláreabajolacurvaes1:P(Z > a) =1− P(Z ≤ a)

3. Las probabilidadesP(Z ≤ a) = P(Z < a) paraa < 0 se hallan

fácilmenteutilizandolasimetríadelafuncióndedensidad: P(Z ≤ −a) = P(Z ≥ a) =1− P(Z ≤ a)

4. Las probabilidades P(Z ≥ a) = P(Z > a) para a < 0 se hallantambiénutilizandolasimetríadelafuncióndedensidad:

P(Z ≥ −a) = P(Z ≤ a) ,queseencuentradirectamenteenla tabla.

5. Lasprobabilidadesdeintervalosfinitosdelarectarealsecalculanteniendoencuentatodoloanterior:

P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b)− P(Z ≤ a) Ejemplos

• P(Z ≤ 0,67) = 0,7486 • P(Z ≥ 0,67) =1− P(Z ≤ 0,67) =1−0,7486 = 0,2514

• P(Z ≤ −0,67) =1− P(Z ≤ 0,67) =1−0,7486 = 0,2514

• P(Z ≥ −0,67) = P(Z ≤ 0,67) = 0,7486 • P(−0,67 ≤ Z ≤ 0,67) = P(Z ≤ 0,67)− P(Z ≤ −0,67) = 0,7486−0,2514 = 0,4972

CÁLCULO DE VALORES CORRESPONDIENTES A UNA PROBABILIDAD DADA

Se trata ahora de obtener el valor de a mediante la tabla conociendo la probabilidad P(Z ≤ a) = p .1. Laprobabilidadvieneenlatabla,esdecir, p > 0,5.EjemploSabemosqueP(Z ≤ a) = 0,8686 .Queremossabercuálesa .Buscamosestenúmeroenlatabla.Vemosquecorrespondealafilade1,1yalacolumnade0,02.Portanto,a =1,12 .2. Laprobabilidadnovieneenlatabla,esdecir, p ≤ 0,5 .EjemploSabemosqueP(Z ≤ a) = 0,0594 .Queremossabercuálesa .Hacemos esta operación: P(Z ≥ a) =1−0,0594 = 0,9406 .

Buscamosestevalor en la tabla.Obtenemosa =1,56 . Como tenemosqueP(Z ≤ a) = 0,0594 y no P(Z ≥ a) , tenemos que utilizar lafórmula:P(Z ≤ −a) = P(Z ≥ a) =1− P(Z ≤ a) .Esdecir,quea < 0 .Porlotanto,a = −1,56 .

3. DeterminacióndeunintervaloP(−a ≤ Z ≤ a) = p .P(−a ≤ Z ≤ a) = P(Z ≤ a)− P(Z ≤ −a) = P(Z ≤ a)− (1− P(Z ≤ a)) = 2P(Z ≤ a)−1⇒ P(Z ≤ a) = 1+ p

2Buscandoestevalorenlatablaseobtienea .EjemploSabemosqueP(−a ≤ Z ≤ a) = 0,9854 .Calculaelvalordea .Tenemos:P(−a ≤ Z ≤ a) = 2P(Z ≤ a)−1= 0,9854 Despejamos:2P(Z ≤ a) = 0,9854+1=1,9854

P(Z ≤ a) = 1,98542

= 0,9927 .Buscamosestaprobabilidaden

latablayobtenemos:a = 2,44 .

3. TIPIFICACIÓN DE LA VARIABLE NORMAL Las distribuciones normales que se manejan en la práctica no son estándar. La transformación de una variable aleatoria X que sigue una distribución normal N (µ,σ ) en una variable aleatoria Z que sigue una distribución normal

N (0,1) se conoce con el nombre de tipificación. La tipificación de la variable X consiste en realizar el siguiente cambio de variable:

Z = X −µσ

De esta manera, podemos calcular probabilidades de cualquier distribución normal a partir de la tabla N (0,1) .

CÁLCULO DE PROBABILIDADES DE UNA DISTRIBUCIÓN N (µ,σ )

Para calcular las probabilidades de cualquier distribución normal N (µ,σ ) seaplicalafórmuladelatipificacióndelavariable:

P(X ≤ x) = P(Z ≤ x −µσ)

EjemploSiunvariableXsigueunadistribuciónnormalN (10,2) ,paracalcular,porejemplo,laprobabilidadP(X ≤11) ,procedemosatipificarlavariableX,

conloqueZ = X −102

.Deestaformadeducimosque:

P(X ≤11) = P Z ≤ 11−102

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= P(Z ≤ 0,5) = 0,6915

De la misma forma, para calcular la probabilidad de que la variable tomecualquiervalorenunintervalodelarectarealsepuedeexpresar:

P(a ≤ X ≤ b) = P a−µσ

≤X −µσ

≤b−µσ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= P

a−µσ

≤ Z ≤ b−µσ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

EjemploCalcula la P(−2 ≤ X ≤ 2) donde X sigue una distribución normal

N (0,8) . Tipificando la variable X, tenemos queZ = X −08

=X8

,

dondeZsigueunadistribuciónnormalestándarN (0,1) .Portanto:

P(−2 ≤ X ≤ 2) = P −28≤ Z ≤ 2

8⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= P(−0,25≤ Z ≤ 0,25) =

= P(Z ≤ 0,25)− P(Z ≤ −0,25) = 2 ⋅P(Z ≤ 0,25)−1= 0,1974

INTERVALOS CENTRADOS EN LA MEDIA

Si X es una variable aleatoria que tiene una distribución N (µ,σ ) ,laprobabilidaddel intervalo(µ − kσ ,µ + kσ ) conk > 0 solo depende del valor de k ynodelosvaloresdelamediaolavarianzadeladistribución:

P(µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ ) = 2P(Z ≤ k)−1

EjemploCalcula la probabilidad de que la variable X que sigue una distribuciónN (µ,σ ) pertenezca a un intervalo centrado en su media y de radio kdesviacionestípicasconk=2.P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ ) = 2P(Z ≤ 2)−1= 2 ⋅0,9772−1= 0,9544

4. APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL POR LA NORMAL

Para ciertos valores de n y p, las distribuciones binomiales tienen un extraordinario parecido con las correspondientes distribuciones normales.

En general, una binomial B(n,p) se parece a una curva normal tanto más, cuanto mayor es el producto np (o nq si q < p) Cuando np y nq son ambos mayores que 3, la aproximación es bastante buena. Y si superan a 5, la aproximación es casi perfecta. Naturalmente, la curva normal a la cual se aproxima tiene la misma media y la misma desviación típica que la binomial, es decir: µ = np , σ = npq .

Cuanto más grande sea n y más próximo a 0,5 esté el valor p, mejor será la aproximación, cuyo buen uso depende de la precisión que se desee. Es habitual utilizar la aproximación cuando np > 5 y nq > 5.

CORRECCIÓN POR CONTINUIDAD

Si Y es B(n, p) y se parece mucho a X, N np, npq( ) , el cálculo de

probabilidades de Y puede hacerse a partir de X del siguiente modo:

P(Y = k) ≈ P(k −0,5≤ X ≤ k +0,5)

P(Y ≤ k) ≈ P(X ≤ k +0,5)

P(Y < k) ≈ P(X ≤ k −0,5)

P(Y ≥ k) ≈ P(X ≥ k −0,5)

P(Y > k) ≈ P(X ≥ k +0,5)

P(a ≤Y < b) = P(a−0,5< X < b−0,5)

P(a <Y ≤ b) = P(a+0,5< X < b+0,5)

Ejemplo

En un dado trucado, la probabilidad de obtener un 6 es solo 0,1. Calcula la probabilidad de sacar al menos doce veces 6 en 100 lanzamientos.

Se considera la variable Y: "número de veces que sale el 6 en 100 lanzamientos", que sigue una distribución binomial B(100;0,1) . Hay que calcular P(Y ≥12) .

Como n es grande y np = 10 y nq = 90, se puede aproximar la distribución de Y B(100;0,1) por la de X N (10,3) .

Hemos calculado µ = np =100 ⋅0,1=10

σ = npq = 100 ⋅0,1⋅0,9 = 9 = 3

Calculamos ahora:

P(Y ≥12) ≈ P(X ≥11,5) = P Z ≥ 11,5−103

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= P(Z ≥ 0,5) =1− P(Z ≤ 5) =1−0,6915= 0,3085