1 Działania na zbiorach -

Algebra liniowa z geometrią, /Maciej Karpicz

Zbiór zadań

1 Działania na zbiorach

Zadanie 1.1. Czy działanie ∆: R×R→ R określone wzorem (x1, x2)∆(y1, y2) := (x1y1 − x2y2, x1y2 +x2y1) jest przemienne?

Zadanie 1.2. W dowolnym zbiorze X określamy działanie ∆ w następujący sposób: a∆b = b. Wykazać,że jest to działanie łączne.

Zadanie 1.3. Zbadać własności działania ∆:

(a) określonego w zbiorze Z wzorem a∆b := a2 + b− 1;

(b) określonego w zbiorze R wzorem a∆b := a+ b+ ab.

Zadanie 1.4. Określić za pomocą tabelki takie działanie w zbiorze {a, b, c, d}, które nie ma ani własnościłączności, ani przemienności.

Zadanie 1.5. W zbiorze A jest określone przemienne, łączne i posiadające element neutralny e działanie∆. W zbiorze 2A wszystkich podzbiorów zbioru A wprowadzamy działanie ◦:

B ◦ C = {a ∈ A | a = b∆c ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C}

dla dowolnych zbiorów B, C ∈ 2A.

Zadanie 1.6. Czy następujące działania są łączne, przemienne, mają element neutralny?

(a) Działanie ∆: A×A→ A określone wzorem:

a∆b :={

0, gdy a+ b jest liczbą parzystą,1, gdy a+ b jest liczbą nieparzystą.

(b) Działanie ∆: R2 × R2 → R2 określone wzorem:

(x1, x2)∆(y1, y2) := (x1 + y1, x2 − y1).

Zadanie 1.7. W zbiorze Z określamy działania następujące działania:

a� b := ab+ a+ b oraz a⊕ b := a+ b+ 1.

Zbadać własności tego działania. Ponadto, czy:

(a) działanie � jest rozdzielne względem działania ⊕,

(b) działanie � jest rozdzielne względem działania �,

(c) działanie ⊕ jest rozdzielne względem działania �,

(d) działanie ⊕ jest rozdzielne względem działania ⊕?

1


Zbiór zadań

2 Grupy, ciała

Zadanie 2.1. Które z następujących struktur są grupami: (N,+), ({0, 1, 2, 3, 4},+), (Z,+), (nZ,+) dladowolnego n ∈ Z, (Q,+), (R\Q,+), ((R\Q)∪{0},+), ({−1, 1}, ·), ({−1, 0, 1}, ·), (R+, ·), (R, ·), (R\{0}, ·)oraz ({z ∈ C | |z| = 1}, ·), gdzie · jest zwykłym mnożeniem, a + zwykłym dodawaniem.

Zadanie 2.2. Czy dwójka (X,∆) tworzy grupę, gdzie

(a) X = Z, a ∆ określona jest wzorem a∆b := a+ b+ 2?

(b) X = R, a ∆ określona jest wzorem a∆b := a+b2 ?

(c) X = N, a ∆ określona jest wzorem a∆b := max{a, b}?

(d) X jest zbiorem wszystkich naturalnych dzielników liczby 6, a ∆ określona jest wzorem a∆b =NWD(a, b)?

Zadanie 2.3. Czy dwójka (Z2 × Z2, ◦) tworzy grupę, gdzie działanie ◦ określone jest wzorem (x, y) ◦(x′, y′) := (x+2 x

′, y +2 y′)?

Zadanie 2.4. Pokazać, że Z[√

2] = {a+ b√

2 ∈ R | a, b ∈ Z} z dodawaniem jest grupą.

Zadanie 2.5. Czy zbiór wszystkich liczb wymiernych z działaniem dodawania i mnożenia liczb jestciałem?

Zadanie 2.6. W zbiorze Q[√

2] = {a + b√

2 ∈ R | a, b ∈ Q} działania dodawania i mnożenia określonotak jak na liczbach rzeczywistych. Czy jest to ciało?

Zadanie 2.7. W ciele Q[√

2] rozwiązać równania:

(a) x2 + x− 7 + 6√

2 = 0; (b) x2 − x− 3 = 0.

Zadanie 2.8. W zbiorze liczb rzeczywistych R określamy dodawanie i mnożenie w następujący sposób

a⊕ b := a+ b+ 1, a� b := a+ b+ ab.

Czy jest to ciało?

Zadanie 2.9. W zbiorze Q2 określamy działania dodawania i mnożenia w następujący sposób

(a, b)⊕ (c, d) := (a+ c, b+ d), (a, b)� (c, d) := (ac, bd).

Czy jest to ciało?

Zadanie 2.10. W zbiorze R2 określamy działania dodawania i mnożenia w następujący sposób

(a, b)⊕ (c, d) := (a+ c, b+ d), (a, b)� (c, d) := (ac− bd, ad+ bc).

Czy jest to ciało?

Zadanie 2.11. Znajdź wszystkie elementy odwracalne w pierścieniu Z28 (odp. Z40). Oblicz odwrotnośćreszt 19 oraz 11 w Z28 (odp. 23 oraz 29 w Z40).

Zadanie 2.12. Udowodnić, że pierścień Zp jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy p jest liczbą pierwszą.

Zadanie 2.13. Udowodnić, że w ciele K o charakterystyce p:

(a) jest spełniona tożsamość(x+ y)p

m

= xpm

+ ypm

,

gdzie m jest liczbą natrulną;

(b) jeśli ciało K jest skończone, to odwzorowanie ϕ : K → K, dane wzorem ϕ(x) = xp, jest automorfi-zmem.

Zadanie 2.14. Rozwiąż równania i układy równań:

2


Zbiór zadań

(a) 2x = 5 nad Z7;

(b) 5x+ 19y = 1 nad Z23;

(c){x+ (a+ 3)y = 1

6ax+ 2y = 1nad Z7 w zależności od pa-

rametru a ∈ Z7;

(d){

2x+ 17y = 17x+ y = 2

nad ciałem Z23;

(e)

x+ 2y + 3z = 04x+ y = 0

3x+ y + z = 1nad ciałem Z5;

(f)

x+ 2z = 1y + 2z = 22x+ z = 1

nad Z5 (Z3);

(g)

x+ z = 1y + z = 2

2x+ y = 1nad Z5 (Z3)

oraz wypisz wszystkie rozwiązania.

Zadanie 2.15. Znaleźć taki wielomian f(X) stopnia nie większego niż 3 i o współczynnikach z ciała Z5,że

f(0) = 3, f(1) = 3, f(2) = 0, f(4) = 4.

3


Zbiór zadań

3 Liczby zespolone

Zadanie 3.1. Wykonać działania na liczbach zespolonych:

(a) (2 + i) + (−3 + 5i),

(b) 2+i−3+5i ,

(c) (3 + 7i)(−2 + i) + (−5 + 2i)(−1 + 7i),

(d) 43+7i2−3i ,

(e) ( 12 −

√3

2 i)3,

(f) (1−i)2+(2+3i)2

(1+i)2+(1−i)3 .

Zadanie 3.2. Pokazać, że dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2 zachodzą zależności:

(a) z1 + z2 = z1 + z2,

(b) z1 − z2 = z1 − z2,

(c) z1 · z2 = z1 · z2,

(d) ( z1z2 ) = z1z2

,

(e) |z1 · z2| = |z1| · |z2|,

(f) |z1 + z2|2 = |z1|2 + 2<(z̄1z2) + |z2|2.

Zadanie 3.3. Pokazać, że dla dowolnych liczb zespolonych z, u, zachodzą następujące równości:

(a) <z = 12 (z + z̄),

(b) =z = − i2 (z − z̄),

(c) <(z + u) = <(z) + <(u),

(d) =(z + u) = =(z) + =(u).

Zadanie 3.4. Pokazać, że dla dowolnej liczby zespolonej z 6= −1 spełniony jest warunek:

<(z − 1z + 1

)= 0 ⇐⇒ |z| = 1.

Zadanie 3.5. Naszkicować na płaszczyźnie R2 (utożsamianej z C) zbiory

(a) {z ∈ C | |z| = 1},

(b) {z ∈ C | |z| = i},

(c) {z ∈ C | 0 < |z − 1| ¬ 1},

(d) {z ∈ C | |z − 1− 2i| < 3},

(e) {z ∈ C | |z − i| = |z + i|},

(f) {z ∈ C | z = −z̄},

(g) {z ∈ C | =( iz+iz̄−1 ) ¬ 1},

(h) {z ∈ C | | z−3z+1 | 1},

(i) {z ∈ C | 0 ¬ <(iz) < 1}.

Zadanie 3.6. Znaleźć na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów z spełniających warunek

|z − z1|2 + |z − z2|2 = 2a2,

gdzie z1, z2 ∈ C oraz a ∈ R są ustalone.

Zadanie 3.7. Rozwiązać w ciele liczb zespolonych równanie

(1− i)z = (3− i)z + 2 + 3i.

Zadanie 3.8. Rozwiązać układy równań z dwiema niewiadomymi

(a) rzeczywistymi x i y:

x2− i3 + i

+ y

(4 + i

1 + 3i

)2

= 1− i;

(b) zespolonymi u i w:

(a){

(4− 2i)u+ i(3 + 2i)w = 5− 4i(3 + i)u+ (4− 2i)w = 2− 6i

, (b){

(4− 3i)z + (2 + i)w = 5(1 + i)(2− i)z − (2 + 3i)w = −(1 + i)

.

Zadanie 3.9. (a) Obliczyć pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonych

4


Zbiór zadań

(a) 1− i√

3, (b) 3 + 4i, (c) 15− 8i.

(b) Rozwiązać następujące równania z niewiadomą zespoloną z:

(a) z2 − 3z + 3− i = 0,(b) z4 + 10z2 + 169 = 0,

(c) z4 − (18− 4i)z2 + 77 + 36i = 0.

Zadanie 3.10. Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone:

(a) 1,

(b) i,

(c) −i,

(d) 1 + i,

(e) 1− i,

(f) −1 + i,

(g)√

3 + i,

(h) −√

3− i,

(i) 1− i√

3,

(j) (2− 2i)(√

3 + i),

(k) sin(α) + i cos(α),

(l)√

3−i1+i .

Zadanie 3.11. Obliczyć:

(a) (1 +√

3i)12, (b) (−1 + i)2008, (c) ( 1+i√

3i1−i )20.

Zadanie 3.12. Obliczyć (wykorzystując wzory de Moivre’a):

(a) 3√

1,

(b) 6√i,

(c) 3√−i,

(d)√−3− 4i,

(e) 4

√− 1

2 + i√

32 ,

(f) 3

√ √3−i

−2+2i .

Zadanie 3.13. Udowodnić, że jeśli z spełnia równość z + 1z = 2 cosϕ, to spełnia równość zn + 1

zn =2 cosnϕ.

Zadanie 3.14. Dla trzech liczb zespolonych, o tym samym różnym od zera module, udowodnić, żeich suma jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy są one wierzchołkami trójkąta równobocznego. Czypodobne twierdzenie jest prawdziwe dla czterech liczb i kwadratu?

Zadanie 3.15. Udowodnić, że jeśli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikachrzeczywistych, to liczba z też jest pierwiastkiem tego wielomianu. Czy jest tak dla wielomianów o współ-czynnikach zespolonych? Uzasadnić, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych jest iloczynemczynników stopnia co najwyżej dwa.

Zadanie 3.16. (a) Obliczyć wszystkie pierwiastki zespolone szóstego stopnia z liczby −1.

(b) Wykazać, że zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych n-tego stopnia z 1 tworzy grupę ze względuna mnożenie. Czy jest ona izomorficzna z jakąś znaną grupą?

(c) Udowodnić, że dla n > 2 suma wszystkich pierwiastków zespolonych n-tego stopnia z 1 wynosi 0.

(d) Czemu jest równy iloczyn wszystkich pierwiastków zespolonych n-tego stopnia z 1?

(e) Wykazać, że zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych z 1 wszystkich możliwych stopni natural-nych n 1 tworzy grupę ze względu na mnożenie.

Zadanie 3.17. Wyprowadzić wzory:

(a) cos 2nx =n∑k=0

(2n2k

)(−1)k cos2(n−k) x sin2k x,

(b) sin 2nx =n−1∑k=0

( 2n2k+1

)(−1)k cos2(n−k)−1 x sin2k+1 x

dla dowolnej liczby naturalnej n.

5


Zbiór zadań

4 Macierze

Zadanie 4.1. Wykonać działania na macierzach.

(a)[1 n0 1

]·[1 m0 1

];

(b)[cosα − sinαsinα cosα

]·[cosβ − sinβsinβ cosβ

];

(c)

3 −4 52 −2 11 2 3

·1 2

2 30 −3

;

(d)[1 5 32 −3 1

]·

2 −3 5−1 4 −23 −1 1

.

Zadanie 4.2. Obliczyć:

(a)[

cosα sinα− sinα cosα

]n; (b)

([2 15 3

]·[1 01 1

]·[

3 −1−5 2

])n.

Zadanie 4.3. Za pomocą macierzy dopełnień algebraicznych obliczyć macierz odwrotną do macierzy

(a) [ 4 93 7 ], (b) [ 4 3

11 8 ], (c)[

2 4 53 5 74 9 11

], (d)

[3 4 24 5 37 9 7

].

Zadanie 4.4. Za pomocą operacji elementarnych na wierszach znaleźć macierz odwrotną do macierzy

(a)[

1 2 32 5 73 7 9

], (b)

[4 5 21 2 13 7 4

], (c)

[1 0 1 11 1 1 10 1 1 11 1 0 1

], (d)

[1 3 3 12 7 7 22 7 7 10 1 2 −1

].

Zadanie 4.5. Dla jakiego parametru t ∈ R dana macierz jest odwracalna? Znajdź macierz odwrotną.

(a) [ 1 t0 1 ]. (b) [ t t1 0 ]. (c)

[t t2 t3

0 t2 t3

0 0 t3

]. (d)

[0 t 3 0t 3 0 03 0 t 00 0 3 t

].

Zadanie 4.6. Udowodnij, że jeśli A ∈ Mn(R) i A2 + A − I = 0, to istnieje macierz A−1 i przy tymA−1 = A+ I.

Zadanie 4.7. Za pomocą minorów obejmujących i operacji elementarnych wyznaczyć rzędy następują-cych macierzy:

(a)[ 8 2 2 −1 1

1 7 4 −2 5−2 4 2 −1 3

];

(b)[ 1 7 7 9

7 5 1 −14 2 −1 −3−1 1 3 5

];

(c)[ 4 1 7 −5 1

0 −71 −3 −53 4 5 −3 22 5 3 −1 3

];

(d)

[77 32 6 5 332 14 3 2 16 3 1 0 05 2 0 1 04 1 0 0 1

].

Zadanie 4.8. Wyznaczyć, w zależności od wartości parametru λ, rząd podanych macierzy:

(a)[

7−λ −12 610 −19−λ 1012 −24 13−λ

];

(b)

λ 1 2 ··· n−1 11 λ 2 ··· n−1 11 2 λ ··· n−1 1...

......

. . ....

...1 2 3 ··· λ 11 2 37··· n 1

;

(c)[ 1 λ −1 2

2 −1 λ 51 10 −6 1

].

(d)

1 λ λ2 ··· λn

2 1 λ ··· λn−12 2 1 ··· λn−2...

......

. . ....

2 2 2 ··· 1

.

Zadanie 4.9. Udowodnić, że:

(a) rząd iloczynu macierzy jest nie większy od rzędu każdego z czynników tego iloczynu;

(b) rząd macierzy (A | B), otrzymanej przez dopisanie do macierzy A macierzy B, jest nie większy odsumy rzędów macierzy A i B;

(c) rząd sumy macierzy jest nie większy od sumy rzędów tych macierzy.

6


Zbiór zadań

Zadanie 4.10. Niech A i B będą macierzami o wyrazach rzeczywistych i jednakowej liczbie wierszy.Wykazać, że

rz [ A 2B2A 6B ] = rzA+ rzB.

Zadanie 4.11. Wykazać, że za pomocą operacji elementarnych na wierszach, każdą macierz nieosobliwąmożna sprowadzić do postaci 1 0 ··· 0 0

0 1 ··· 0 0...

.... . .

......

0 0 ··· 1 00 0 ··· 0 d

.Zadanie 4.12. Zbadać nieosobliwość macierzy

(a)

a i 0i a 00 0 1

, (b)

a 0 ii a 00 i a

w zależności od parametru a ∈ C.

Zadanie 4.13. Rozwiązać następujący układ równań liniowych

(a)

1 + i 3 + i 2 + 3i2 + 2i 7 + 3i 4 + 6i2− 3i 2− i 1− i

z1

z2

z3

=

12−i

(b)

1 + i 3 + i 2 + 3i2 + 2i 7 + 3i 4 + 6i1 + i 4 + 2i 2 + 3i

z1

z2

z3

=

121

nad Q[i] = {a + bi | a, b ∈ Q} (pokazać, że ten zbiór tworzy ciało) oraz nad C. Porównać oba zbiory

rozwiązań. Uzasadnić, że jeśli wszystkie współczynniki pewnego nieosobliwego układu równań liniowychnależą do mniejszego ciała K ⊆ C, to rozwiązanie tego układu ma wszystkie współrzędne w K.

7


Zbiór zadań

5 Przestrzenie liniowe

Zadanie 5.1. Czy zbiór liczb rzeczywistych R z działaniami ⊕, � jest przestrzenią wektorową, jeżeli:

(a) x⊕ y = 2x+ 2y, α� x = αx, gdzie α, x, y ∈ R;

(b) x⊕ y = x+ 2y, α� x = αx, gdzie α, x, y ∈ R?

Zadanie 5.2. Pokazać, że jeśli (K,+, ·) jest ciałem, to K jest przestrzenią liniową nad K.

Zadanie 5.3. Zbadać, które z następujących struktur są przestrzeniami wektorowymi nad R:

(a) zbiór ciągów o wyrazach rzeczywistych z działaniami x + y := (x1 + y1, x2 + y2, . . .), αx :=(αx1, αx2, . . .) dla x = (x1, x2, . . .), y = (y1, y2, . . .) oraz α ∈ R;

(b) zbiór liczb rzeczywistych dodatnich z działaniami określonymi następująco: x+ y := xy, αx := xα

dla x, y, α ∈ R.

Zadanie 5.4. Czy są przestrzeniami liniowymi:

(a) Va = {f ∈ F[0,1] | f( 12 ) = 0} nad R;

(b) Va = {f ∈ F[0,1] | f( 12 ) = 1} nad R?

(Przypomnijmy, że F[0,1] jest zbiorem funkcji o dziedzinie [0, 1] i przeciwdziedzinie R. Działanie dodawa-nia, dla f , g ∈ F[0,1], określone jest następująco (f + g)(x) = f(x) + g(x), a mnożenie przez skalar λ ∈ Rokreślamy wzorem (λf)(x) = λf(x).)

Zadanie 5.5. Jakie aksjomaty przestrzeni liniowej spełnia grupa (R2,+), z dodawaniem po współrzęd-nych, w której określamy mnożenie przez skalar λ ∈ R według wzoru λ(x, y) := (λx, 0)?

Zadanie 5.6. Udowodnić następujące własności przestrzeni liniowej V nad ciałem K:

(a) ∀λ∈K λ0 = 0;

(b) ∀x∈V 0x = 0;

(c) ∀λ∈K∀x∈V [λx = 0 ⇐⇒ (λ = 0 ∨ x = 0)];

(d) ∀λ∈K∀x∈V λ(−x) = (−λ)x = −λx;

(e) ∀λ∈K∀x,y∈V λ(x− y) = αx− αy;

(f) ∀λ∈K∀x,y∈V [λ = 0 ∧ λx = λy]⇒ x = y.

Zadanie 5.7. Z ilu wektorów składa się przestrzeń liniowa (Z35,+5, ·5)?

8


Zbiór zadań

6 Podprzestrzenie liniowe

Zadanie 6.1. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Udowodnić poniższe własności prze-strzeni V .

(a) Część wspólna podprzestrzeni liniowych przestrzeni V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V .

(b) Suma V1 + V2 := {v + w ∈ V | v ∈ V1 ∧ w ∈ V2} podprzestrzeni V1, V2 przestrzeni liniowej V jestjej podprzestrzenią liniową.

Zadanie 6.2. Sprawdzić czy zbiór:

(a) {(1, x2) ∈ R2 | x2 ∈ R)} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R2 nad R;

(b) {(x1, x2) ∈ R2 | 2x1 + x2 = 0} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R2 nad R;

(c) {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x2 = x3 − 5x1} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R3 nad R.

Zadanie 6.3. Który z poniższych podzbiorów przestrzeni liniowej Rn (nad R) jest jej podprzestrzeniąliniową:

(a) {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | x1 ∈ Z};(b) {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | x1 = 0 ∨ x2 = 0}?

Zadanie 6.4. Niech K będzie dowolnym ciałem. Sprawdzić, które z podanych niżej podzbiorów prze-strzeni liniowej K4 (nad K) są podprzestrzeniami liniowymi:

(a) {(t, t+ 1, 0, 1) ∈ K4 | t ∈ K};(b) {(t, u, t+ u, t− u) ∈ K4 | t, u ∈ K};

(c) {t(0, 1, 1, 0) + u(0, 0, 1, 0) ∈ K4 | t, u ∈ K};(d) {(tu, 0, tu, 0) ∈ K4 | t, u ∈ K}.

Zadanie 6.5. Niech K będzie dowolnym ciałem. Sprawdzić, które z określonych niżej podzbiorów prze-strzeniK[X] (wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach w cieleK) są podprzestrzeniami liniowymi:

(a) {F ∈ K[X] | F (2) = 0};

(b) {F ∈ K[X] | deg(F ) ¬ 6};

(c) {F ∈ K[X] | deg(F ) = 6};

(d) {F ∈ K[X] | F jest podzielny przez X2 +1}

Zadanie 6.6. Udowodnić, że podzbiór {(0, 0, 0), (1, 2, 1), (2, 1, 2)} ⊂ Z33 jest podprzestrzenią liniową

przestrzeni Z33.

9


Zbiór zadań

7 Kombinacje liniowe wektorów, liniowa niezależność, baza iwymiar

Zadanie 7.1. Zapisać wektor v w postaci kombinacji liniowej wektorów v1 oraz v2, gdzie:

(a) v = [ 12 ], v1 =

[−10

], v2 = [ 0

7 ];

(b) v = [ 27 ], v1 = [ 3

1 ], v2 =[−6−2

];

(c) v = [ 34 ], v1 = [ 1

0 ], v2 = [ 07 ].

Zadanie 7.2. Niech v1 =[

1i0

], v2 =

[0

1−i2i

]oraz v3 =

[1

2−i1

]. Wyznaczyć wektory:

(a) 2v1 − iv2; (b) iv1 + (1 + i)v2 − (i+ 3)v3.

Zadanie 7.3. Dla jakich wartości parametru a wektor[

1a3

]daje się jednoznacznie przedstawić w postaci

kombinacji liniowej wektorów[a13

]oraz

[2−a1

]?

Zadanie 7.4. Czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów vi, gdzie

(a) v =[

32−5

], v1 =

[220

], v2 =

[100

],

(b) v(t) = t2 + t+ 52 , v1(t) = 2t2 + 1, v2(t) = t+ 1,

(c) v = [ 1 03 5 ], v1 = [ 1 0

1 2 ], v2 = [ 1 02 3 ].

Zadanie 7.5. Liniowa niezależność wektorów.

(a) Zbadać liniową zależność wektorów nad ciałem R:

(i) v = [ 34 ], w =

[−12

],

(ii) v = [ 10 ], w =

[−31

], u = [ 7

1 ],

(iii) v =[−3

12

], w =

[101

], u =

[6−24

],

(iv) v =[

111

], w =

[232

], u =

[412

](v) v =

[1321

], w =

[2233

], u =

[1−503

].

(b) Zbadać liniową zależność wektorów nad ciałem C:

(i) v =[

012

], w =

[1i−i

], u =

[i11

], (ii) v =

[2i−i

], w =

[2i−11

], u =

[123

].

(c) Dane są wektory v1 =[

102

], v2 =

[ab0

]i v3 =

[0c1

]w przestrzeni R3. Czy można tak dobrać wartości

a, b, c, by wektory v1, v2, v3 tworzyły zbiór liniowo niezależny?

(d) W przestrzeni R3 dane są wektory v1 =[

111

]oraz v2 =

[201

]. Znaleźć takie wektory v3 oraz v4, że

wektory v1, v2, v3 tworzą zbiór liniowo niezależny zaś wektory v1, v2, v4 zbiór liniowo zależny.

(e) Wykazać, że wektory v =[v1v2v3

]i w =

[w1w2w3

]są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją

dwa różne indeksy i, j ∈ {1, 2, 3} takie, że viwj − vjwi 6= 0. Czy ta równoważność zachowa się, gdy3 zastąpimy inną liczbą naturalną?

Zadanie 7.6. Baza i wymiar.

(a) Czy zbiór B jest bazą przestrzeni V , gdy:

(i) B = {[ ii ] , [ 0i ]}, V = C2,

(ii) B = {[ 1 00 1 ] , [ 0 1

1 0 ] , [ 0 10 0 ] , [ 1 1

0 1 ]}, V = M2×2(R).

(b) Niech X będzie podzbiorem przestrzeni R4 złożonym z następujących elementów:

a1 =[

02−12

], a2 =

[1103

], a3 =

[2−112

], a4 =

[ 2−42−2

], a5 =

[4208

], a6 =

[1012

].

Znaleźć podzbiór Y zawarty w X będący bazą przestrzeni 〈X〉.(c) Niech ei, dla i = 1, . . . , n, będą elementami bazy standardowej Kn. Znaleźć wymiar i bazę podprze-

strzeni rozpiętej przez wektory ei + ej dla 1 ¬ i, j ¬ n, i 6= j, jeśli

10


Zbiór zadań

(i) K = Q, (ii) K = Z2.

(d) Udowodnić, że jeśli wektory u, v oraz w tworzą bazę pewnej przestrzeni liniowej, to wektory u, u−voraz u− v − w też tworzą bazę tej przestrzeni.

(e) Znaleźć wymiar przestrzeni U wszystkich n × n macierzy górnotrójkątnych o współczynnikach wciele k.

(f) Niech U1 (odp. U2 i U3) będzie podzbiorem U (z punktu (e)) złożonym ze wszystkich macierzyA = [ai,j ]1¬i,j¬n ∈ U takich, że a1,1 = a2,2 = . . . = an,n = 0 (odp. a1,1 = a2,2 = . . . = an,n = λ ∈ ki a1,1 + a2,2 + · · · + an,n = 0). Uzasadnić, że U1, U2 i U3 są podprzestrzeniami U oraz znaleźćwymiary tych podprzestrzeni.

(g) Wykazać, że funkcje en dla n ∈ N, zadane wzorem en(m) = δm,n dla dowolnego m ∈ N, tworzązbiór wektorów liniowo niezależnych w k-przestrzeni F(N, k). Czy jest to baza tej przestrzeni? Opiszpodprzestrzeń generowaną przez ten zbiór.

Zadanie 7.7. Przedstawianie wektora w zadanej bazie.

(a) Sprawdzić, że wektory v1 =[

132

], v2 =

[121

]i v3 =

[233

]stanowią bazę przestrzeni R3. Znaleźć

współrzędne w tej bazie następujących wektorów:

(i)[

486

], (ii)

[−1−2−1

], (iii)

[233

], (iv)

[xyz

].

(b) Wektor v przedstawić w bazie f1, . . . , fn przestrzeni Qn, gdzie:

(i) f1 =[

111

], f2 =

[112

], f3 =

[123

]oraz v =

[6914

],

(ii) f1 =[

21−3

], f2 =

[32−5

], f3 =

[1−11

]oraz v =

[62−7

],

(iii) f1 =[ 1

2−1−2

], f2 =

[230−1

], f3 =

[1214

], f4 =

[13−10

]oraz v =

[714−10

].

(c) Dana jest baza {1, x+ 2, (x+ 2)2, (x+ 2)3} przestrzeni Fw,3(R,R). Przedstawić w postaci liniowejkombinacji wektorów bazy następujące funkcje wielomianowe:

(i) 3x3 + 2x2 + 7x, (ii) x3 + 2x− 13.

(d) Dana jest funkcja wielomianowa anxn + . . . + a1x + a0 ∈ Fw(R,R). Znaleźć jej przedstawienie wbazie 1, (x− a), (x− a)2, . . ., gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą.

Zadanie 7.8. Dane są dwie bazy F = {f1, f2, f3} i G = {g1, g2, g3} przestrzeni K3 oraz wektor v =x1f1 + x2f2 + x3f3. Znaleźć jego przedstawienie w bazie G, jeśli

(a) f1 =[

101

], f2 =

[121

], f3 =

[023

], g1 =

[111

], g2 =

[123

], g3 =

[021

], x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, a K = Z5,

(b) f1 =[

101

], f2 =

[112

], f3 =

[122

], g1 =

[110

], g2 =

[101

], g3 =

[011

], x1 = 4, x2 = 2, x3 = 2, a K = Q.

Zadanie 7.9. Niech Fw,n := Fw(R;R)n oznacza podzbiór zbioru Fw(R,R) złożony ze wszystkich funkcjiwielomianowych zadanych przez wielomiany stopnia mniejszego bądź równego n (n ∈ N).

(a) Wykazać, że funkcje f1, f2, f3 zadane przez wielomiany −2, 2x+ 1, 3x2 + 1 tworzą bazę przestrzeniFw,2. Znaleźć współrzędne wektorów, które są funkcjami zadanymi przez wielomiany x2 +1, 3x+1,1, ax2 + bx+ c.

(b) Dana jest podprzestrzeń przestrzeni Fw,3 generowana przez funkcje wielomianowe zadane przezwielomiany 4x3 +5x2 +6x+7, 3x3 +4x2 +5x+6, 2x3 +3x2 +4x+5, x3 +2x2 +3x+4. Znaleźć bazętej podprzestrzeni złożoną z funkcji wielomianowych należących do podanego zbioru generatorów.

(c) Uzupełnić do bazy przestrzeni Fw,5 ciąg funkcji wielomianowych f1, f2, f3, f4 zadanych odpowiednioprzez wielomiany x5 − x4, x5 + 3x3, x5 − 2x2, x5 + x.

(d) Niech f ∈ Fw,n będzie dowolną funkcją, n ∈ N. Znaleźć warunek dostateczny i wystarczający nato, by zbiór funkcji {f, f ′, f ′′, . . . , f (n)} był zbiorem liniowo niezależnym.

11


Zbiór zadań

8 Układy równań

Zadanie 8.1. Rozwiąż, metodą eliminacji Gaussa, układy równań nad ciałem liczb rzeczywistych:

(a){

2x1 + x2 + x3 = 4x1 − 2x2 + x3 = 7

;

(b){

2x1 + x2 + x3 = 4x1 + 1

2x2 + x3 = 7;

(c){

2x1 + x2 + x3 = 4x1 + 1

2x2 + 12x3 = 7

;

(d)

−x1 + x2 + x3 = 05x1 + x2 − 2x3 = 4−2x1 − 2x2 + x3 = −3

;

(e)

x1 + 2x2 − x3 = 23x1 + x2 + x3 = 45x1 + 5x2 − x3 = 8

;

(f)

−x1 + x2 + x3 + x4 = 05x1 + x2 − 2x3 + x4 = 2−2x1 − 2x2 + x3 + x4 = −3

;

(g)

−9x1 + 6x2 + 7x3 + 10x4 = 3−6x1 + 4x2 + 2x3 + 7x4 = 7−3x1 + 2x2 − 11x3 − 15x4 = 1

;

(h)

8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 213x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 104x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 83x1 + 3x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

;

(i)

−6x1 + 9x2 + 3x3 + 2x4 = 4−2x1 + 3x2 + 5x3 + 4x4 = 2−4x1 + 6x2 + 4x3 + 3x4 = 3

;

(j)

2x1 + 5x2 + 2x3 = 15x1 + 9x2 + 7x3 = 3x1 − 8x2 + 7x3 = 1

;

(k){

3x1 + 4x2 + 2x3 − 3x4 = 62x1 + 3x2 − 4x3 + 2x4 = 3

.

Zadanie 8.2. Zbadać układ równań liniowych i znaleźć jego rozwiązanie ogólne, w zależności od para-metru λ ∈ R:

(a)

−6x1 + 8x2 − 5x3 − x4 = 9−2x1 + 4x2 + 7x3 + 3x4 = 1−3x1 + 5x2 + 4x3 + 2x4 = 3−3x1 + 7x2 + 17x3 + 7x4 = λ

; (b)

2x1 + 5x2 + x3 + 3x4 = 24x1 + 6x2 + 3x3 + 5x4 = 44x1 + 14x2 + x3 + 7x4 = 42x1 − 3x2 + 3x3 + λx4 = 7

;

(c)

λx1 + x2 + x3 = 1x1 + λx2 + x3 = 1x1 + x2 + λx3 = 1

.

Zadanie 8.3. Za pomocą wzorów Cramera rozwiązać następujący układ równań nad ciałem liczb rze-czywistych:

(a){

2x1 − x2 = 1x1 + 16x2 = 17

; (b){

2x1 + 5x2 = 13x1 + 7x2 = 2

;(c)

2x1 + x2 + x3 = 3x1 + 2x2 + x3 = 0x1 + x2 + 2x3 = 0

.

Zadanie 8.4. Znaleźć taki wielomian f , o współczynnikach rzeczywistych, że

(a) deg f ¬ 2 oraz f(1) = 8, f(−1) = 2, f(2) = 14.

(b) deg f ¬ 3 oraz f(−2) = 1, f(−1) = 3, f(1) = 13, f(2) = 33.

Zadanie 8.5. Rozwiąż układy równań nad ciałem liczb zespolonych:

(a){

(4− 2i)u+ i(3 + 2i)w = 5− 4i(3 + i)u+ (4− 2i)w = 2− 6i

; (b){

(4− 3i)z + (2 + i)w = 5(1 + i)(2− i)z − (2 + 3i)w = −(1 + i)

.

Zadanie 8.6. Udowodnić, że układ równań liniowych o współczynnikach całkowitych ma rozwiązaniew liczbach całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej k największe wspólnedzielniki wszystkich minorów stopnia k macierzy układu i macierzy rozszerzonej układu są równe.

12


Zbiór zadań

9 Przekształcenia liniowe

Zadanie 9.1. Które z poniższych odwzorowań są przekształceniami liniowymi?

(a) f : R→ R, f(x) = 0.

(b) f : R→ R, f(x) = 2x+ 3.

(c) f : R→ R2, f(x) = (2x,−x).

(d) f : C→ C, f(z) = =(z) + iz, gdzie C jest przestrzenią liniową nad R (C).

(e) f : C→ C, f(z) = z̄, gdzie C jest przestrzenią liniową nad R (C).

Zadanie 9.2. (a) Podać przykład funkcji f : R2 → R2, która nie jest liniowa, ale f(av) = af(v) dlaa ∈ R oraz v ∈ R2.

(b) Podać przykład funkcji z jednej przestrzeni liniowej w drugą, która jest addytywna, ale nie jestliniowa.

Zadanie 9.3. Pokazać, że poniższe funkcje są przekształceniami liniowymi. Wyznaczyć jądro i obrazoraz odpowiedzieć na pytanie, które z tych przekształceń są izomorfizmami liniowymi.

(a) f : R2 → R, f((x, y)) = 3x− y.

(b) f : R3 → R2, f((x1, x2, x3)) = (x3, x1 − x2).

(c) f : R2 → R3, f((x, y)) = (x, y, 2x+ y).

(d) f : R3 → R3, f((x1, x2, x3)) = (x3, x1, x2).

(e) f : R3 → R3, f((x1, x2, x3)) = (x1 + x2, x2 − x3, 0).

(f) f : R3 → R3, f((x1, x2, x3)) = (2x1, 2x2, 4x3).

(g) f : C2 → C2, f((z1, z2)) = (z1 + z2, 2z1 + 2z2).

Zadanie 9.4. Wyznaczyć wymiar i bazę jądra przekształcenia f .

(a) f : R3 → R2, f(x1, x2, x3) = (2x1, x2 + x3).

(b) f : R2 → R2, f(x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2).

(c) f : R3 → R3, f(x1, x2, x3) = (x1 − x2, 0,−x1).

Zadanie 9.5. Czy jest możliwe, by jądrem pewnego endomorfizmu przestrzeni R2 był zbiór:

(a){

[ x1x2 ] ∈ R2 : x1 = 0 ∨ x2 = 0}

,

(b) Q2,

(c){

[ x1x2 ] ∈ R2 : x1 + x2 = 0}

,

(d) {[ 11 ]},

(e) {[ 00 ]},

(f) R2?

Zadanie 9.6. Pokazać, że przekształcenie liniowe ϕ : V → V , gdzie V jest przestrzenią liniową nad Ktaką, że dimK V = 1, jest postaci ϕ(v) = λv dla pewnego λ ∈ K i każdego v ∈ V .

Zadanie 9.7. Pokazać poniższe własności odwzorowań liniowych.

(a) Przekształcenie liniowe f : V →W jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Ker f = {0}.

(b) Niech f : V →W będzie przekształceniem liniowym. Wówczas f(〈a1, . . . , an〉) = 〈f(a1), . . . , f(an)〉.

(c) Złożenie dwóch monomorfizmów (odpowiednio epimorfizmów, izomorfizmów) liniowych między prze-strzeniami liniowymi jest monomorfizmem (odpowiednio epimorfizmem, izomorfizmem) liniowym.

(d) Odwzorowanie odwrotne do izomorfizmu liniowego jest izomorfizmem liniowym.

Zadanie 9.8. Czy poniższe przestrzenie liniowe są izomorficzne?

13


Zbiór zadań

(a) (Q[√

2],Q,+, ·) i (Q[√

3],Q,+, ·).

(b) (M2×3(Q),Q,+, ·) i (R6,R,+, ·).

(c) (R4,R,+, ·) i (Fw,3(R,R),R,+, ·).

(d) (Q[√

2],Q,+, ·) i (R,Q,+, ·).

14


Zbiór zadań

10 Macierz przekształcenia liniowego

Zadanie 10.1. Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego w bazach standardowych. Znaleźć jądroi obraz. Czy jest to izomorfizm liniowy?

(a) f : R3 → R2, f((x1, x2, x3)) = (2x1, x2 + x3).

(b) f : R2 → R2, f((x1, x2)) = (x2, x1).

(c) f : R2 → R2, f((x1, x2)) = (x1 − x2, x1 + x2).

(d) f : C2 → C2, f((z1, z2)) = (iz1 − z2, z1 + iz2).

Zadanie 10.2. Przekształcenie liniowe ϕ : R3 → R2 określone jest w bazach standardowych macierząAϕ =

[ 1 −1 20 1 −2

].

(a) Podać wzór na ϕ.

(b) Obliczyć ϕ(3e2 − e3).

(c) wyznaczyć ϕ(〈e1 + e2, e2 − 3e3〉).

(d) Czy wektory 2e2 + e3, e1 − 2e2 − e3 należą do Kerϕ.

Zadanie 10.3. Znaleźć macierz przekształcenia liniowego f : Fw,3(R,R)→ R3 w bazach standardowychzadanego wzorem

f(t) =[

(f ′−f)(1)(f ′+f)(1)

(f ′+f)(−1)

], dla f ∈ Fw,3(R,R).

Zadanie 10.4. Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego f : R2 → R2 danego wzorem f((x1, x2)) =(x1 + x2,−x1 + x2) w bazach:

(a) standardowych,

(b) (e2, e1), (e3, e1, e2),

(c) (e1 + e2, e1 − e2), (e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3).

Zadanie 10.5. Przekształcenie liniowe T = TA : R3 → R4 zadane jest w bazach standardowych macierzą:

A =[

2 0 11 1 22 3 31 1 4

]. Znaleźć bazę podprzestrzeni T−1(V1) oraz T−1(V2), jeżeli

(a) V1 = 〈{b1, b2, b3}〉, gdzie b1 =[

4111

], b2 =

[−5133

], b3 =

[3355

],

(b) V2 = 〈{c1, c2, c3}〉, gdzie c1 =[

2599

], c2 =

[ 1−2−4−4

], c3 =

[431−1

].

15


Zbiór zadań

11 Macierz przejścia

Zadanie 11.1. Dla podanych baz A i B przestrzeni liniowej Rn znaleźć macierz przejścia od bazy A dobazy B.

(a) A =([

1−2

],[

1−1

]), B = ([ 3

1 ] , [ 52 ]).

(b) A =([

10−1

],[

201

],[

010

]), B =

([001

],[

010

],[

100

]).

(c) A =([

010

],[

001

],[

100

]), B =

([−123

],[

2−31

],[

001

]).

(d) A =([

121

],[

232

],[

371

]), B =

([314

],[

251

],[

11−6

]).

Zadanie 11.2. Niech A = (X1, . . . , Xn) i B = (Y1, . . . , Yn) będą bazami przestrzeni liniowej V nadciałem K. Pokazać, że PAB · PBA = IdV , gdzie PAB jest macierzą przejścia od bazy A do bazy B.

Zadanie 11.3. Niech PAB będzie macierzą przejścia od bazy A do bazy B. Znaleźć współrzędne wektoraX w bazie A, gdzie

(a) PAB =[−2 −1

3 −3

], a wektor X ma w bazie B współrzędne

[3−2

].

(b) PAB =[ 2 −3 0

3 1 1−1 2 0

], a wektor X ma w bazie B współrzędne

[1−12

].

Zadanie 11.4. Dla podanych baz A i B przestrzeni liniowej Fw,2(R,R) znaleźć macierz przejścia odbazy A do bazy B oraz od bazy B do bazy A.

(a) A = (1, X,X2), B = (X2, 1, X).

(b) A = (X2, 1, X), B = (X2 +X,X + 1, 2).

Zadanie 11.5. Znaleźć macierz przejścia od bazy B = (e1, e2) do bazy B′ =([ 23 ] ,[−1

2

]). Wyznaczyć

współrzędne wektora [ 58 ] w bazie B′.

Zadanie 11.6. Wyznacz macierz przejścia od bazy ([ 1 00 0 ] , [ 0 0

1 0 ] , [ 0 00 1 ] , [ 0 1

0 0 ]) do bazy ([ 1 10 1 ] , [ 1 0

1 0 ] , [ 0 01 1 ] , [ 0 1

0 0 ])przestrzeni liniowej M2(R).

Zadanie 11.7. Wektor b ma w bazie B = (a1, a2, a3) współrzędne[

021

]. Pokazać, że B′ = (a1, a2, b) jest

też bazą i wyznaczyć macierz przejścia od bazy B do bazy B′.

Zadanie 11.8. Przekształcenie liniowej przestrzeni V w bazie (e1, e2, e3, e4) ma macierz[ 0 1 2 3

5 4 0 −13 2 0 36 1 −1 7

].

Wyznaczyć macierz tego przekształcenia w bazach:

(a) (e4, e3, e2, e1),

(b) (e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3, e1 + e2 + e3 + e4).

Zadanie 11.9. Niech[

0 0 10 1 01 0 0

]będzie macierzą endomorfizmu liniowego przestrzeni Fw,2(R,R) w bazie

(1, X,X2). Wyznaczyć macierz tego przekształcenia w bazie (3X2 + 2X + 1, X2 + 3X + 2, 2X2 +X + 3).

Zadanie 11.10. Niech A =([ 11 ] ,[−1

0

])oraz A′ =

([ 10 ] ,[−1

1

])będą bazami przestrzeni liniowej R2,

a B =([

100

],[

011

],[

0−10

])oraz B′ =

([100

],[

010

],[

0−11

])bazami przestrzeni liniowej R3. Ponadto niech

Mf =[ 2 −3

3 1−1 2

]będzie macierzą przekształcenia liniowego f : R2 → R3 w bazach A i B.

(a) Znajdź macierz przekształcenia f w bazach A′ i B′.

(b) Znajdź macierz przekształcenia f w bazach standardowych.

Zadanie 11.11. Dane jest przekształcenie liniowe T : R2 → R2 zadane w bazie standardowej przezmacierz MT =

[ 7 −310 −4

]. Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazie f1 = [ 1

2 ], f2 = [ 35 ]. Czy T jest

automorfizmem?

16


Zbiór zadań

Zadanie 11.12. Przekształcenie liniowe f : V → W w bazach BV = (v1, v2, v3, v4), BW = (w1, w2, w3)

zadane jest macierzą Mf =[ 0 1 −1 0

1 2 −1 0−1 −1 0 1

]. Znaleźć macierz f w bazach B′V = (v1,−2v2, v3 + v1, v4),

B′W = (w2, w3 − w1, w1).

Zadanie 11.13. Niech P będzie macierzą przejścia od bazy B = (e1, e2) do bazy B′ = ([ 34 ] , [ 8

11 ]).Przekształcenie liniowe h ma w bazie B macierz Mh = [ 2 1

5 2 ], a przekształcenie liniowe g ma w bazie B′

macierz Mg = 2P−1. Wyznacz macierz przekształcenia h ◦ g w bazie B′.

Zadanie 11.14. Niech A =([ 11 ] ,[−1

0

])oraz A′ =

([ 10 ] ,[−1

1

])będą bazami przestrzeni liniowej R2,

a B =([

100

],[

011

],[

0−10

])oraz B′ =

([100

],[

010

],[

0−11

])bazami przestrzeni liniowej R3. Ponadto niech

Mf =[ 1 2−1 02 −3

]będzie macierzą przekształcenia liniowego f : R2 → R3 w bazach A i B, a Mg =

[ 1 0 −12 −1 0

]macierzą przekształcenia liniowego g : R3 → R2 w bazach A′ i B′. Znajdź macierz przekształcenia linio-wego g ◦ f w bazach standardowych.

17


Zbiór zadań

12 Wartości i wektory własne

Zadanie 12.1. Znaleźć podprzestrzeń niezmienniczą przekształcenia f : R3 → R3 zadanego macierząMf =

[1 1 00 1 00 0 2

]w bazie

([100

],[

111

],[

010

]).

Zadanie 12.2. Znaleźć wielomian charakterystyczny, wartości własne i wektory własne przekształcenialiniowego danego macierzą:

(a) [ 1 22 1 ],

(b)[

0 10 −1

],

(c) [ 2 30 2 ],

(d)[ 2 −1 2

5 −3 3−1 0 −2

],

(e)[ 0 1 0−4 4 0−2 1 2

],

(f)[ 4 −5 2

5 −7 36 −9 4

].

Zadanie 12.3. Wyznacz wektory i wartości własne

(a) operatora różniczkowania w przestrzeni Fw,n(R,R),

(b) przekształcenia liniowego T : Cn → Cn zadanego w bazie (e1, . . . , en) następująco T (e1) = e2,T (e2) = e3, . . . ,T (en) = e1,

(c) przekształcenia liniowego f : R2 → R2 danego wzorem f(x, y) = (x+ 2y, x− y).

Zadanie 12.4. Zbadać czy macierze A i B są podobne, gdzie

(a) A = [ 1 20 1 ], B = [ 1 1

0 1 ],

(b) A = [ 1 10 2 ], B = [ 1 1

0 1 ].

Zadanie 12.5. Które z poniższych macierzy można sprawdzić do postaci diagonalnej przez wprowadzenienowej bazy nad ciałem R lub nad ciałem C:

(a)[−1 3 −1−3 5 −1−3 3 1

], (b)

[ 4 7 −5−4 5 01 9 −4

], (c)

[ 4 2 −56 4 −95 3 −7

].

Zadanie 12.6. Znaleźć ogólny wzór na an, dla n = 1, 2, . . . , jeżeli:

(a) a1 = −1, a2 = 3, an+2 = an+1 + an,

(b) a1 = 1, a2 = 1, an+2 = 2an+1 + 3an.

Zadanie 12.7. Rozważmy ciąg zadany następująco: a0 = 0, a1 = 12 , . . . , an+2 = 1

2 (an+1 + an). Znajdźwzór jawny na an dla dowolnego n ∈ N i oblicz limn→∞ an.

Zadanie 12.8. Znajdź limn→∞ Pn, gdzie Pn =[ 1212

1323

].

18


Zbiór zadań

13 Formy kwadratowe

Zadanie 13.1. Sprawdź, które z poniższych odwzorowań są formami dwuliniowymi na odpowiednichprzestrzeniach liniowych:

(a) f(X,Y ) = x2x′ + xy′ + z′, X, Y ∈ R3;

(b) f(X,Y ) = xx′ + 2yz′ + zz′, X, Y ∈ R3;

(c) f(X,Y ) = xy′ + 3, X, Y ∈ R3;

(d) f(X,Y ) = 0, X, Y ∈ R3;

(e) f(A,B) = AtB, A, B ∈ kn;

(f) f(A,B) = tr(AB), A, B ∈Mn(R);

(g) f(A,B) = tr(AB −BA), A, B ∈Mn(C);

(h) f(A,B) = tr(A+B), A, B ∈Mn(R);

(i) f(A,B) = det(AB), A, B ∈Mn(C);

(j) f(u, v) = Re(uv), u, v ∈ C, a C rozpatrujemy jako przestrzeń liniową nad R,

gdzie X =[xyz

], Y =

[x′

y′

z′

], jest formą dwuliniową.

Zadanie 13.2. Znajdź macierz formy dwuliniowej f : R3 × R3 → R (w bazach standardowych) zadanejwzorem:

(a) f(X,Y ) = xx′ + 2yy′ + zz′,

(b) f(X,Y ) = xx′ + 2xz′ + 3yy′ + yz′ + zx′,

(c) f(X,Y ) = xx′ + xy′ + 2xz′ + yx′ + yy′ + zx′ + zz′,

(d) f(X,Y ) = xx′ + xy′ + 2yy′ + 2xz′ + 3yz′,

(e) f(X,Y ) = xx′ − yx′ + xy′ + yy′,

gdzie X =[xyz

], Y =

[x′

y′

z′

]. Które z powyższych form są symetryczne, które niezdegenerowane, a które

antysymetryczne.

Zadanie 13.3. Wykaż, że funkcja d : Fw,2×Fw,2×V → R dana wzorem d(f(X), g(X)) =1∫−1f(X)g(X)dx

jest symetryczną, niezdegenerowaną formą dwuliniową. Zajdź macierz formy d w bazach standardowych.

Zadanie 13.4. Sprawdź, które z poniższych form kwadratowych, o dwóch zmiennych, określonych nadR, są dodatnio określone, ujemnie określone, dodatnio półokreślone oraz nieokreślone.

(a) x2 + 2xy,

(b) −x22 + 4xy − 4y2,

(c) −x2 + 2xy − 3y2,

(d) 4x2 + 8xy + 5y2,

(e) −x2 + xy − 3y2.

Zadanie 13.5. Sprowadź poniższe formy kwadratowe do postaci kanonicznej metodą Lagrange’a lub,o ile to możliwe, metodą Jacobiego:

19


Zbiór zadań

(a) x21 + x2

2 + 3x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3;

(b) x21 + 2x2

2 + x23 + 2x1x2 + 4x1x3 − 6x2x3;

(c) x21 − 3x2

3 − 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2x3;

(d) x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4.

Zadanie 13.6. Wykorzystując kryterium Sylvestera sprawdź, które z poniższych form są dodatnio okre-ślone:

(a) x21 + x2

x + x23 + x2

4 − x1x2 − x1x3 − x2x4 − x3x4 + x1x4;

(b) x21 + x2

2 + x23 + x2

4 − x1x2 + x1x3 − x1x4 − x2x3 + x2x4 − x3x4;

(c) x21 + x2

2 + x23 − x1x2 + x1x3 + x2x3;

(d) x21 + x2

2 + x23 + x2

4 − x1x2 − x1x3 − x2x4 − x3x4 + 2x1x4.

20


Zbiór zadań

Literatura

[1] I. Nabiałek J. Klukowski. Algebra dla studentów. Wydwanictwa Naukowo-Techniczne, 1999.

[2] A. I. Kostrikin. Zbiór zadań z algebry. Wydawnictwo naukowe PWN, 2005.

[3] A. Szlachtowski S. Przybyło. Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach. Wydaw-nictwa Naukowo-Techniczne, 1994.

21

Documents

1 Działania na zbiorach -