1. 鶴亀算に挑戦！

［問題］

キジとウサギあわせて頭が60で，足の数

を合わせると150本です。

それぞれ何羽（何匹）いるのでしょうか？

『算法闕疑抄』より

簡単だよね？

1. 鶴亀算の答え

［答えと解法］

全部キジだとすると足は120本となりま

すが，合計はそれよりも30本多いですね。

30本は，キジより2本足数の多いウサギ

の分と考えられますで，ウサギの数は

30÷2=15 となります。

キジとウサギの数をそれぞれｘ，ｙとし

て，連立方程式で記述すれば，

ｘ+ｙ=60

2ｘ+4ｙ=150

となり，同等の計算ができます。

15匹（15羽）

45羽

はじめ鶴亀算は，この例題のように雉（キ

ジ）と兎（ウサギ）を用いていましたが，

のちに鶴と亀を用いるようになり，現在は

「鶴亀算」という名前でよばれています。

縁起よいもの勝ち！

2. 盗人算に挑戦！

［問題］

橋の下で絹盗人が絹を分けあっている声

が聞こえます。

「7反ずつ取れば8反余り」

「8反ずつ取れば7反足らず」

さて、盗人の人数と絹の反数はいくらで

しょうか？7反とった時から、

次に1反ずつ取っていって7反足りなくなったのだか

ら．．．

2. 盗人算の答え

［答えと解法］

7反ずつ取った時から、全員が1反ずつ取っ

ていって、7反足りなくなったのだから、

盗人の人数は 8反 ＋ 7反 となります。

これを図に示すと右のようになります。

盗人の人数 ＝ 8反 ＋ 7反

絹の反数 ＝ 15人 × 7反 ＋ 8反 ＝ 113反

15人

113反

この「過不足算」は、和算では「盈

（えい）不足算」または「盈じく」と

いいました。

不足の 7反

人数

７反ずつ

８反ずつ

余りの 8反

余りからさらにひとり1反ずつとると

3. 馬乗り算に挑戦！

［問題］

6里の道のりを4人で旅するとき、馬3頭

に平等に交代で乗るとしたら、ひとり当た

り何里づつ乗ればよいでしょうか。

馬3頭で何里歩く

ことになるのかな？

何回乗りかえれば

よいのじゃろう？

3. 馬乗り算の答え

［答えと解法］

3頭の馬が歩く道のりの合計は18里。

3頭 × 6里 ＝ 18里

これを4人で乗るから、一人あたり馬

に乗る道のりは4.5里となります。

18里 ÷ 4人 ＝ 4.5里

乗りかえが3回あるので、一回当たり

の道のりは1.5里となります。

4.5里 ÷ 3回 ＝ 1.5里

道のりを3里として、旅人が3人、馬が2頭

とすると、さらに容易に理解できます。

2頭の馬が歩く道のりの合計は6里。

2頭 × 3里 ＝ 6里

これを3人で乗るから、一人あたり馬に乗

る道のりは2里となります。

6里 ÷ 3人 ＝ 2里

3里 2里 1里

4. ねずみ算に挑戦！

［問題］

正月に，ねずみの父母が子どもを12匹生ん

で，親子とも14匹になるとします。

この14匹のねずみが，2月には7組の父母

として12匹づつ生むと，全部で98匹となり

ます。

このように月に一度づつ，親も子も孫もひ

孫も12匹づつ生むとしたら，12月には何匹

になるでしょうか？

正月

2月

上の14匹が父母となりそれぞれ12匹を生む

4. ねずみ算の答え

［答え］

276億8257万4402匹。

［解法］

等比級数的に増えることを，ねずみ算的に

増えるという語源になった数学遊戯。

1月は 2×7=14

2月は 2×72=98

3月は 2×73=686 と数式化すると，

12月は 2×712 となります。

『塵劫記』より

1匹の体長10cmで全部つながると

なんと地球69周分！すごいでしょ

5. 俵算に挑戦！

［問題］

俵が図のように，上から1俵，2俵，3俵と

積み上げられ，一番下が13俵に並ぶよう積

み上げられています。

俵は，全部あわせると何俵となるでしょう

か？

13俵

5. 俵算の答え

［答えと解法］

① まず全体の形を，下図のように俵を

左に寄せてみます。

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

●●●●●●●●●●●●●　●●●●●●●●●●●●　　●●●●●●●●●●●　　　●●●●●●●●●●　　　　●●●●●●●●●　　　　　●●●●●●●●　　　　　　●●●●●●●　　　　　　　●●●●●●　　　　　　　　●●●●●　　　　　　　　　●●●●　　　　　　　　　　●●●　　　　　　　　　　　●●　　　　　　　　　　　　●

② もう一つ同じ量の俵をもってきます。

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

●●●●●●●●●●●●●　●●●●●●●●●●●●　　●●●●●●●●●●●　　　●●●●●●●●●●　　　　●●●●●●●●●　　　　　●●●●●●●●　　　　　　●●●●●●●　　　　　　　●●●●●●　　　　　　　　●●●●●　　　　　　　　　●●●●　　　　　　　　　　●●●　　　　　　　　　　　●●　　　　　　　　　　　　●

（13+1）

13

③ こうすると，全体の数は右の

図の半分となります。

13 ×（13+1）÷ 2 = 91俵

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

13

13

これは三角数を利用した計算で，ｎ番目の三角数は ｎ(ｎ+1)÷2となります。

6. 木の高さ積りに挑戦！

［問題］

右の図のようにして、木にとまっている鳥

の高さを測るため、目の位置に折り紙を半分

に折り、一辺に重りをつけて斜辺の先が鳥の

高さとなるような位置に立ちました。

この時、木の根本までの距離は7間、高さ

を測っている鳥の背の高さは 1尺とします。

木にとまっている鳥の高さはいかほど？

木の根まで7間

6. 木の高さ積りの答え

［答えと解法］

折ったおりがみは二等辺三角形ですから、

目の高さから木の鳥までの高さは、木の根本

までの長さと等しくなります。

これに測っているものの背の高さを加えれ

ば、求める高さの 7間1尺となります。

７間

7間

１尺

１尺

7. 方陣に挑戦！

［問題］

図のように，9個の場所のある正方形のそ

れぞれの場所に，１から9までの数字を入

れて，たて・よこ・斜めの列の和が，すべ

て等しくなるように並べてください。

魔方陣ともいわれて

いるのだ！

魔法陣ではないぞー

7. 方陣の答え

［答えと解法］

次のようにすると，簡単に方陣を作る

ことができます。

この方陣は，たてよこ3マスの3方陣で，マ

スが増えるごとに4方陣，5方陣というよう

によばれます。

894

753

612

① 下のような順で数を並べる

894

753

612

② 2と8の位置を交換する

294

753

618

③ どの列の合計も15となる

『算法闕疑抄』では19方陣の遺題が提示

され，『算俎』がそれに解答をあたえてい

ます。

でも，

魔法のようじゃろ

8. 油分け算に挑戦！

［問題］

桶に10升の油が入っています。これを7

升マスと3升マスの2つのマス使って，5升

ずつに分けるには，どうすればよいでしょ

うか。

どちらの方法でも

できマス

10升桶

3升マス

7升マス

10升桶 3升マス

7升マス

8. 油分け算の答え

［答え］

次のような手順で，5升ずつ

に分けることができます。

23510升桶から3升マスに

5053升マスから7升マスに

2083升マスから7升マスに

0287升マスから10升桶に戻す

7213升マスで3杯くみ，7升マスが一杯になるまで注ぐ

0010はじめの状態

7升

マス

3升

マス

10升

桶

解法

3527升マスから3升マスに

3升マスから10升桶に

10升桶から7升マスに

7升マスから3升マスで3杯くみ，10升桶に戻す

7升マスに注ぐ

はじめの状態

別法

055

172

109

073

0010

3升

マス

7升

マス

10升

桶

［解法（油分けの法則）］

第1条件 マスBが空いたら桶Aから注ぐ

第2条件(1) マスCがいっぱいでなければ，Bから注ぐ

(2) Cがいっぱいになったら，Aに戻す繰り返す

［解説］

左の解法は，桶から3升マスでくみ出す回数をx，7升

マスで10升桶に戻す回数をyとすると，3x – 7y = 5

の整数解を求めることと対応します。（x=4，ｙ=1）

右の別法は，7x – 3y = 5 の整数解を求

めることと対応します。（x=2，ｙ=3）

9. 倍増し算に挑戦！

［問題］

大豆1粒を毎日2倍にすれば、30日目に

は何粒になるでしょうか。大体の予想で考

えてください。1日目は1粒

2日目は倍で2粒

3日目はその倍で4粒

と計算するのじゃ

9. 倍増し算の答え

［答え］

5億3千6百87万9百12粒（536,870,912）。

［解法］

2日目から2倍になるので、合計29回、2倍

の計算をすることになります。

1 × 229 = 536,870,912

［類する話］

その昔、そろり新左衛門という秀吉に可

愛がられたお伽衆（話相手）がいて、

「望みのものを与えよう」と秀吉にいわ

れたところ、「今日一文、明日2文、次ぎ

の日4文というように、毎日2倍の銭を一

か月頂きたい」といった逸話が残されて

います。

秀吉はこれを承知したとされますが、そ

の後この褒美は無かったとのことです。芥子の実やお米、

まんじゅうなどでの

問題もあります

10. 継子立（ままこだて）の不思議前編： 継子の危機！

先妻の子（継子）15人と実子15人を円

形に並べ，10番目にあたる子どもを除い

て，最後に残る1人に家督を譲るといわ

れ，継母が下図のように子どもを並べ，

数え始めました。

1

2

6

9

１３

11

4

1

7１５

2

10

１２

5

8

１４

3

開始点

始めの10人目

次の10人目

数えすすめると，継子ばかり続けて

14人除かれ，もう1回数えると，継子が

すべて除かれることとなってしまいまし

た。

実子

継子

最後の継子

後編：継子の逆転！

この時，1人残った継子は「あまりに片

寄りすぎなので，これからは私から数え

てください」といったところ，受入れら

れて，最後の継子から再度数え始めまし

た。

1

2

1 4

13

15

10

14

3

62

7 12

8

5

911

再開点

すると今度は，実子ばかり続けて10

番目に該当し実子が15人除かれ，なん

と最後には継子が残って家督を継ぐこと

になったとさ。

継子が残った！

始めの10人目

次の10人目

今よりは我れより

数へられ候へ

鶴亀算盗人算馬乗り算ねずみ算俵算木の高さ積り方陣油分け算倍増し算継子立