1

ELECTROMAGNETISME

B - MAGNETOSTATIQUE

Ne pas confondre avec

2

B-I Éléments de courant

B-I.1 Circuits électriques élémentaires

Nous ne traiterons pas ici du transport du courant électrique (Cours de L2). Nous sommes pour l’instant concernés par des courants électriques constants dans le temps, on dit aussi continus, circulant dans des fils métalliques de sections très petites par rapport à leurs longueurs. On les appelle des circuits filiformes.

De tels circuits sont bien pratiques car ils représentent des domaines mathématiques à une dimension. Il est possible de se localiser le long de la boucle C grâce à un seul paramètre et également d’appuyer sur ces circuits une surface S comme une bulle de savon sur un anneau.

Seuls les circuits fermés sur eux-mêmes ont un sens physique. Les courants forment des boucles fermées.

Afin de traiter des circuits de formes quelconques il est commode de décomposer un circuit filiforme en éléments vectoriels infinitésimaux orientés dans le sens du courant.

Un tel élément, qui ne peut être isolé de l’ensemble du circuit que par la pensée, placé en un point M du circuit, est le pendant élémentaire en magnétostatique de la charge ponctuelle de l’électrostatique.

M

CI

Représentation d’un circuit filiforme

I

M

CI

IMq

M

CI

Représentation d’un circuit filiforme

S

Électrostatique

Magnétostatique

3

Justification de l’articulation du cours

En Électrostatique, après la présentation des propriétés des charges électriques, nous avons directement exposé la loi de force entre ces charges : la loi de Coulomb.

La difficulté mathématique de la loi de force existant entre deux circuits nous incite à présenter les différentes grandeurs physiques de la Magnétostatique dans un ordre quelque peu inverse en commençant par le champ magnétique et seulement après la loi de force entre les circuits.

Remarque sur les dessins des circuits

Sauf cas très spécifique, supraconductivité, un générateur électrique est nécessaire au maintien d’un courant constant dans un circuit. Pour des raisons de simplification nous sacrifions à la coutume de ne pas représenter ces générateurs. Ils seront représentés lorsqu’il faudra tenir compte de l’énergie qu’ils vont échanger avec le circuit.

Remarque sur la mathématisation du cours

Dans ce cours il est fait appel à de nombreux résultats mathématiques non encore connus et prouvés à des étudiants du premier cycle universitaire. Ils sont indispensables pour établir certaines propriétés des grandeurs physiques concernées par ce cours. Ils doivent être acceptés ici comme des ouvre-boîtes donnant accès à des lois physiques présentant le plus souvent un caractère fondamental.

4

B-II Champ magnétique

B-II.1 Définition

Par définition le champ magnétique créé par le circuit filiforme (C , I) au point M de l’espace est donné par

C’est une grandeur bien décrite par un vecteur, bien que ce « vecteur » ait des propriétés spéciales.

C 3o

MI,C r

r x

4

IB

C 3o

MI,C r

r x

4

IB

M’ I

Circuit filiforme

C

I

M

M'Mr

MI,CB

Propriétés du champ magnétique

La formule ci-dessus est la formule de Biot et Savart

Elle n’est qu’un moyen commode de calculer des champs plus compliqués par intégration d’éléments différentiels.

Le champ magnétique a des propriétés d’un vecteur dit axial.

Pour un vecteur classique l’inversion des axes du repère change

Par contre pour un vecteur tel que l’inversion des axes du repère ne change pas le vecteur.

Un tel vecteur est dit axial. Le champ magnétique est de ce type.

L’unité du champ magnétique est le Tesla. (sous-unité le Gauss = 10-4 T)

kAjAiAA zyx

AA

B x AC

Biot Savart

5

B-II.2 Flux du champ magnétique

Soit un circuit C parcouru par un courant I créant un champ magnétique dont on cherche à calculer le flux à travers une surface S, ici fermée.

Par définition

L’unité de flux est le Weber.

Montrons que le flux de à travers la surface fermée est nul. C’est une propriété fondamentale du champ magnétique.

M’ I

Circuit filiforme

C

I

M2M

B S

B

SSBdS.B

d BdivdS.BSSB

B

Transformons l’expression du flux à l’aide de la formule d’Ostrogradski

Nous avons d’autre part

Calculons la divergence de au point M

Les dérivées de la divergence portent sur l’extrémité M du vecteur et ne concerne pas la variable d’intégration M’. Nous pouvons ainsi écrire (sous réserve de la convergence uniforme de l’intégrale)

C 3o

r

r x

4

I)M(B

B

C 3Mo

M r

r x div

4

I)M(Bdiv

r

C 3M

1oM r

r x div

4

I)M(Bdiv

M'Mr

6

Utilisons la formule ici

Comme n’est pas concerné par ce qui se passe en M et que

Nous obtenons la relation locale, propriété fondamentale du champ magnétique, propriété qu’il ne faudra pas retoucher même dans les champs variables dans le temps

vrot.uurot.v )v x u(div 3MM33M r

rrotrot.

r

r

r

r x div

0r

rrot

3M

0)M(BdivM

0)M(BdivM

Cette propriété locale se traduit par une propriété intégrée sur un domaine fini de l’espace:

La flux du champ magnétique à travers toute surface fermée est nul.

On dit aussi que le champ magnétique est à flux conservatif. 0dS.BS

0dS.BS

Remarque: Nous avions trouvé, avec le théorème de Gauss, que le flux du champ électrique à travers une surface fermée, n’était pas nécessairement nul mais dépendait de l’existence de charges électriques à l’intérieur du volume délimité par S. Les propriétés de et de ne sont donc pas équivalentes. On traduit également cette différence par la non existence de pôles magnétiques séparables, équivalence physique de la nécessité de courants électriques fermés sur eux-mêmes.

B

E

7

B-II.3 Circulation du champ magnétique – Théorème d’Ampère

M1

Circuit filiforme 1

C1

1I

M2

r

B

2

Considérons au point M2 le champ magnétique créé par le circuit C parcouru par le courant I .

Considérons la circulation élémentaire de le long de

Donnée par

L’intégrale porte sur la variable M1 non concernée par qui est une constante pour l’intégration. Il est alors possible

d’écrire en vertu des

B

B

2

21C 31

o2 .

r

r x

4

I.B

2

3

1C 21o

2 r

r. - x

4

I.B

propriétés du produit mixte. La quantité vectorielle

représente un élément de surface.

La circulation élémentaire peut s’écrire

Nous connaissons la quantité qui représente l’élément d’angle

solide sous lequel de M2 on voit la surface .

21 - x S I

21

C1

S

1C 3

o2 r

S.r

4

I.B

3r

S.r-

S2

I

8

Lors de l’intégration le long de C1

L’intégrale donne l’angle solide sous lequel de M2 est vu le bandeau de surface obtenu en déplaçant C1 de .

Si on appelle l’angle solide sous lequel de M2 est vue la surface du circuit C1 dans la position initiale et l’angle solide

sous lequel est vue la même surface déplacée de alors

est la variation de l’angle solide sous lequel est vue la surface du circuit C1 lorsque ce dernier se déplace de .

Or déplacer le circuit de revient à le garder fixe mais à déplacer le point d’observation M2 de .

Il vient alors le résultat important suivant : la circulation élémentaire du vecteur sur est égale à

étant la variation d’angle solide sous lequel est vue la surface du circuit C1 créant , lors du déplacement .

I

2 1C1

S

r

M2

M1

2

1C

2o3

1C 21o

2 4

I

r

r. - x

4

I.B

2

4

I.B o

2

1

2

212

2

22

B

2

B

2

C1

M2

r

B

2

1I M1

1

2

1

2

I

Circuit f

iliform

e 1

9

La circulation élémentaire de n’est qu’une étape vers le théorème d’Ampère. Considérons maintenant la circulation de le long d’un parcours fermé C2 .

Deux cas sont à envisager

La courbe C2 n’intercepte pas toute surface S appuyée, comme une bulle de savon, sur C1.

Lors de la circulation de sur C2 l’angle solide varie continûment de la valeur qu’il a en M2 à cette valeur retrouvée après un tour complet sur C2 . Donc la circulation de sur la courbe C2 qui n’intercepte pas I est nulle.

La courbe C2 intercepte toute surface S appuyée sur C1.

B

B

M’2

C2

Parcours ferméM2

M1

I

C1

2

B

)M( 2

C1

Circuit filif

orme

Surface appuyée sur

C1

S

B

Lors de la circulation de sur C2 l’angle solide Ω varie continûment jusqu’au point P au-dessus de la surface S, juste avant de la traverser. En P l’angle solide est égal à Ω(P). En P’, après avoir traversé la surface, l’angle devient Ω(P’). Ces deux angles sont reliés.

B

B

C2Parcours fermé

M2

M1

I

C1

2

B)M( 2

C1

Circuit filif

orme

Surface appuyée sur

C1

S M’2

PP’

10

En premier lieu il nous faut définir l’orientation d’une surface appuyée sur un circuit parcouru par un courant. Une telle surface est orientée par convention.

S

I

Face Nord

Face Sud

I

N SI

Il est alors possible d’expliciter la relation entre Ω(P) et Ω(P’). Un dessin en coupe est plus explicite. Compte tenu de l’orientation de la surface, en P est vue dans le sens inverse et l’angle solide Ω(P) est négatif. A l’inverse l’angle Ω(P’) est positif. L’angle négatif Ω(P) peut être remplacé par l’angle 4π - Ω(P), son complémentaire à tout l’espace. Le passage de P à P’ se traduit par une variation d’angle solide, lorsque les deux points sont confondus avec la surface

S Face Nord

Face Sud

PP’

Ω(P)

Ω(P’)S

4)P(4)'P(lim)P()'P(SM'P,P

Dessin en coupe

11

Il en résulte pour la circulation de sur C2 qui traverse S portée par C1

Ceci constitue le théorème d’Ampère :

La circulation du champ magnétique créé par un ensemble de courants le long d’une courbe fermée est égale à , étant la somme des courants encerclés lors de cette circulation.

B

I4

I.B o

1C

o

2C 2

encerléso I encerlésI

Les courants qui ne sont pas encerclés ne participent pas à cette sommation.

Cette sommation est algébrique, il y a lieu de ternir compte du sens du courant dans chaque circuit encerclé, la surface étant orientée en fonction de ce courant.

2parC encercléso

2C 2 I.B

2parC encercléso

2C 2 I.B

12

Symétries où le théorème d’Ampère est applicable

C par encerclésoCI.B

Fil infiniment long

I

CI

C

Solénoïde infiniment long

Plan infiniment long

I

C

I

C

Tore régulier

L’application du théorème d’Ampère est réservée à quelques cas particuliers à haute symétrie. Il conviendra d’examiner attentivement si le théorème est applicable au problème posé.

13

B-II.5 Lignes de champ – Tubes de flux

Lignes de champ

Comme pour le champ électrique les lignes du champ magnétique sont localement tangentes au champ. Elles définissent ce que l’on appelle le spectre. Comme principale propriété elles constituent des boucles fermées.

Courant

Courant

14

Fluide générateur en mouvement

Simulation

numérique

Champ magnétique terrestre

Trouve son origine dans le mouvement de la matière qui entoure le cœur central

Pôle Nord géographique Pôle Sud magnétique

Boussole

Pôle Nord magnétique Pôle Sud géographique

15

Tubes de flux

Ensemble de lignes de champ formant une sorte de tube à section généralement variable le long duquel le flux est constant

16

B-II.6 Calcul des champs magnétiques

Les cas de circuit où le champ magnétique peut se calculer analytiquement jusqu’au bout sont très limités.

Nous donnons ici quelques exemples classiques et montrons comment les calculs deviennent moins classiques hors de ces quelques cas d’école.

N°1- Fil rectiligne très grandI

O

z

M’

M

a

dz

r

B

ru

uzu

θ

Un fil rectiligne très grand, on dit aussi indéfini pour ne pas dire infini, de section négligeable, est parcouru par un courant I. Il est nécessaire que le fil se referme sur lui-même par une portion de circuit située quelque part à très grande distance et dont on peut supposer que l’effet au point M est négligeable. On cherche le champ magnétique à la distance a = OM du fil. On applique directement la définition à partir de la formule de Biot et Savart

Nous avons

C 3o

r

r x

4

I)M(B

zr uzuar

zudzd

cos

ar tg.az

d.

cos

adz

2

2/

2/

o

fil 3o

fil 3zr

zo dcosu

a4

I

r

dzu

4

Ia

r

uz-ua x udz

4

I)M(B

ua2

I)M(B o

17

Application du théorème d’Ampère

Par symétrie il est facile de montrer que est tangent aux cercles centrés sur le fil, de module ne dépendant que de a.

Soit directement

I

aO

M

B

C

Ia2.BdB.B oCC

ua2

I)M(B o

Courant entrant

B

18

Une formule très utile est celle d’un fil rectiligne fini. Cette formule sera utilisée dans des cadres carrés comme représentant le champ de chaque côté.

Le fil est vu à la distance a sous les angles et qui ont une

mesure algébrique. Sur la figure et

Le calcul mené pour le fil très long reste valable jusqu’à

Ce qui donne

N°2- Fil rectiligne fini

1 2

I

A

B

Oa M

2 B

1

02 01

2

1

o dcosua4

I)M(B

usinsina4

I)M(B 12

o

19

N°3- Spire circulaire sur son axe

Une spire circulaire filiforme de rayon R de centre O est parcourue par un courant I. On cherche le champ magnétique en un point M de son axe tel que OM = x. On utilise la formule de Biot et Savart

C 3o

r

r x

4

I)M(B

Nous avons

r = Cte . Il vient directement

wsinRvcosRuxr wcosvsinRdd

2

03o2

03o RdwsinxvcosxuR

r4

IwsinRvcosRux x wcosvsinRd

r4

I)M(B

ur2

IRu2R

r4

IudR

r4

I)M(B

3

2o2

3o2

0

2

3o

Les deux intégrales des fonctions circulaires sont nulles

Sous cette forme la variable r n’est pas commode.

On lui préfère les deux expressions suivantes

R

I M’

M

O

d

d

r

?)M(B

u

v

w

x

uR2

sinI)M(B

3o

uRx2

IR)M(B 3/222

2o

Remarques

Le champ est porté par l’axe

Le champ au centre vaut uR2

I)O(B o

20

Champ magnétique dans le plan d’une spire circulaire

On cherche à estimer le champ en un point M, à la distance x, dans le plan de la spire circulaire de rayon R, parcourue par le courant I . Ce champ est donné par

l’expression

u)x,R(f4

IRud

cosxR2Rx

cosxR

4

IRB o2

0 2/322

o

dwcosRvsinRd

wsinRv)cosRx(r

C 3o

r

r x

4

IB

Cette intégrale n’admet pas de solution analytique simple et fait appel à des fonctions calculables mais pas connues des étudiants de premier cycle.

-1 -0.5 0.5 1

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5f(R,x) – f(R,0)

R = 1-1 -0.5 0.5 1

50

100

150

200

f(R,x) – f(R,0)

R = 1

Deux enseignements sont à tirer de cet exemple:

Même dans un système très simple les calculs ne le sont pas

Au voisinage du circuit filiforme le champ diverge

MO

θ

M’

dθ R

x

d

r

v

w

I

C

u

21

N°4- Bobines de HelmholtzII

2a

R R

O M

αx

R

II

aa

Deux bobines identiques de rayon R, parcourues par des courants dans le même sens de même axe situées à la distance 2a l’une de l’autre. En utilisant le résultat obtenu pour une spire circulaire le champ magnétique total au point M de l’axe tel que OM = x est

Le champ au centre est donné par

Nous cherchons la relation entre R et a qui provoque les plus faibles variations du champ au voisinage du centre.

La fonction B(x) étant paire son développement en série ne comprend que des termes polynomiaux pairs

La dérivée d’ordre deux s’annule pour R = 2a (faire le calcul)

3/2 223/2 22

2o

Rxa

1

Rxa

1

2

IR)x(B

3/2 22

2o

Ra

IR)0(B

)x(xx

B

!2

1)0(B)x(B 42

o

2

2

22

N°4- Bobines de Helmholtz (suite)

-6 -4 -2 2 4 6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

)0(B

)x(B

x

Posi

tion

de

la b

obin

e 1

Posi

tion

de

la b

obin

e 2

a-a

B(a)

B(0)

99%B(0)

Espace où B varie de 1%

Cas où la distance 2a entre les bobines est égale à leur rayon R

La fonction B(x) démarre donc du centre avec ses trois premières dérivées nulles, donc présente un profil très plat.

23

N°4- Bobines de Helmholtz (suite)

-6 -4 -2 2 4 6

0.6

0.7

0.8

0.9

)0(B

)x(B

x

Posi

tion

de

la b

obin

e 1

Posi

tion

de

la b

obin

e 2

a-a

B(a)

B(0)101%B(0)

99%B(0)

Espace où B varie à ± 1%

Cas où la distance 2a entre les bobines est égale à 10/9 du rayon R

Si on accepte une fluctuation de ± de B(x) autour de sa valeur centrale il est encore possible d’augmenter la zone de faible variation de B pour R voisin de 9/5 de a.

24

N°5- Solénoïde

Soit un solénoïde de rayon R, longueur , de N spires jointives parcourues chacune par un courant i. On cherche à calculer le champ magnétique au point M à la distance x du centre O, et duquel les deux extrémités du solénoïde sont vues sous les angles et .

On découpe le solénoïde en tranches de spires circulaires à la distance de O et d’épaisseur . Une telle spire porte le

courant . Elle crée au point M un champ

OM

θ2 θ1

P

θ

x

χdχ

dθ

i

N spires

R

θ1 θ2

χ dχ

dNi

dI

dR2

sin.Ni

R2

sin.didB

3o

3o

Choisissons comme variable d’intégration l’angle alorsθ

tg

Rx

0d avec dsin

Rd

2

d2

sin.NidB o

Soit après intégration porté par l’axe 12o coscos2

.NiB

12o coscos2

.NiB

25

N°5- Solénoïde (suite)

26

Champ magnétique en z dans le plan médian qui coupe le solénoïde en deux

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5 y=1.01 R=1

2/a

Bz

a2 4 6 8 10

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

a

y=2Bz

2 4 6 8 10

4

6

8

10

12

y=0

a

Bz

2 4 6 8 10

8

9

10

11

12

a

y=0.99

Bz

y

za

R = 1

O

N°5- Solénoïde (suite)

On remarque que le champ magnétique à l’extérieur tend vers zéro lorsque le solénoïde devient très long.

Dans le solénoïde le champ magnétique est quasiment constant

0.2 0.4 0.6 0.8 1

9.5

10.5

11

11.5

12

12.5

Bz

y

R = 1

a = 10R

27

N°5- Solénoïde (suite)

Pour un solénoïde très long à spires jointives θ10 et θ2π et le champ devient au voisinage du centre

si n est le nombre de spires par unité de longueur

Si on a remarqué que le champ était nul à l’extérieur et constant à l’intérieur, il est possible d’appliquer le théorème d’ampère sur un rectangle abcd (voir figure) et de retrouver directement le résultat donné ci- dessus.

ni.Ni

B oo ni

.NiB o

o

28

N°6- Tore

29

N°7- Sphère chargée en surface en rotation

Une sphère de rayon R, chargée en surface par Q > 0, tourne à la vitesse angulaire ω = Cte autour d’un de ses axes. On cherche à déterminer le champ magnétique en un point M de l’axe à la distance OM = x du centre. Une tranche de sphère perpendiculaire à l’axe définie par les angles θ et θ+d θ porte une charge avec la

densité de charges par unité de surface

et la surface élémentaire de révolution autour de l’axe

La spire de rayon ainsi définie porte un courant dI de part la rotation de cette charge dQ

Le champ créé par cette spire au point M est

Il est possible d’exprimer

Soit l’intégrale suivante pour le champ

O P M

α

R

Q en surface

θ

dθ

ω

dIdQ

dS.dQ

2R4

Q

sinR2.d.RdS

sinR2

4

d.sinQ

2

dS

2

dQ

T

dQdI

d.sin

R8

Qsin

sinR2

dIdB 3o3o

d.

cosRx2xR

sin

8

QRB

0 2/322

32o

2/122 cosRx2xR

sinRsin

30

N°7- Sphère chargée en surface en rotation (suite)

Après une intégration laborieuse mais du niveau d’un étudiant de DEUG on trouve

Pour x > R sur l’axe

Pour x < R sur l’axe

3

2o

x 6

QRB

R 6

Q)x(B o

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

x

B

R

Champ magnétique d’une sphère chargée en surface en rotation

31

N°8- Sphère chargée en volume en rotation

O M

R

Q en volume

ω rdrLa sphère de rayon r d’épaisseur dr porte la charge

Elle crée au point M tel que OM = x un champ donné par l’exemple précédent

Soit pour l’induction totale à l’extérieur de la sphère

drrR

Q3drr4

R4

Q3dQ 2

3

2

3

drrx R 2

Q.

x 6

r.dQ.)x(dB 4

33o

3

2o

3

2o

x 10

QR.)x(B

O M

R

Q en volume

ω rdr

x

Pour un point M tel que OM = x à l’intérieur, deux zones sont à considérer: 0 < r < x et x < r < R

Pour la première zone 0 < r < x , le point M est considéré comme extérieur et la formule ci-dessus est applicable avec

et soit

Pour la deuxième zone x < r < R, le point M est à l’intérieur

de couches sphériques successives, on utilise

R10

Qx.)x(B

3

2o

1

3

3x

R

Q)x(QQ xR

R 6

Q)x(B o

32

N°8- Sphère chargée en volume en rotation (suite)

Avec et il vient

Soit

Le champ magnétique total à l’intérieur s’écrit

Aussi pour 0 < r < R

Pour x > R

drrR

Q3dQQ 2

3 rR rdr

R

Q

2r 6

dQ)x(dB

3oo

2

22

3oR

x3o

2 xRR

Q

4rdr

R

Q

2)x(B

2

R

2

x

5

x

R2

Q.xR

R

Q

4 R10

Qx.)x(B

222

3o22

3o

3

2o

5

x3R

R4

Q.)x(B

22

3o

3

2o

x 10

QR.)x(B

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.02

0.04

0.06

0.08

x

B

R

Champ magnétique d’une sphère chargée en volume en rotation