Embed Size (px)
Citation preview
1 ELS NOMBRES NATURALS
Per conservar els resultats dels recomptes, és a dir, per expressar els nombres, cada cultura ha inventat codis diferents que han anat simplificant-se i perfeccionant-se al llarg de la història.
Com devia escriure un home primitiu el nombre 12?
Sabent que el símbol xinès significa 8, podries dir quins són aquests nombres?
En aquestes taules s’han escrit els nombres 28, 53 i 129 en el codi dels maies. Sabries quin hi ha a cadascuna?Explica la teva resposta.
Per què creus que utilitzem el sistema de numeració decimal en comptes de qualsevol altredels molts inventats en el passat?
ELS ORDRES D’UNITATS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓ DECIMAL
1 D = 10 U1 C = 10 D = 100 U1 UM = 10 C = 100 D = 1 000 U
COM OPERAR AMB SUMES I RESTES
A un dipòsit que contenia 3 507 litres de gasoil, s’hi ha afegit un bidó amb 256 litres.Després se n’han extret 2 936 l. Quant gasoil queda al dipòsit?
Calcula: a) 1 585 + 648 – 937 b) 5 742 – 1570 – 625
REFLEXIONA ET CONVÉ RECORDAR
3 5 0 7+ 2 5 63 7 6 3
3 507 + 256 – 2 936 = 827
Solució: Hi queden 827 litres.
3 7 6 3– 2 9 3 6
0 8 2 7
COM DESCOMPONDRE UN NOMBRESEGONS ELS DIFERENTS ORDRES D’UNITATS
35 247 → 3 DM 5 UM 2 C 4 D 7 U
Descompon els nombres següents en diferentsordres d’unitats:
a) 8 020 b) 57 040 c) 5 111
COM ESCRIURE I LLEGIR QUANTITATS
208 005 → Dos-cents vuit mil cinc3 054 600 → Tres milions cinquanta-quatre mil sis-cents
a) Escriu amb lletres: b) Escriu amb nombres:
1 101 001 cinc milions cinquanta mil cinquanta
1 01 0 0
1 0 0 0
UM C D U a) Quantes desenes hi haen una desena de miler?
b)Quantes centenes hi ha en 30 desenes?
COM MULTIPL ICAR, DIVIDIR I RELACIONAR LES DUES OPERACIONS
Calcula: a) 584 × 27 b) 15 768 : 27 c) 15 768 : 584
Un comerciant compra 35 televisors a 247 €cadascun. Quant li costen en total?
Un comerciant compra 35 televisors per 8 645 €. A quant li surt cadascun?
8 6 4 5 3 51 6 4 2 4 7
2 4 50 0
2 4 7× 3 5
1 2 3 57 4 18 6 4 5
247 × 35 = 8 6458 645 : 35 = 247
F
G
DM UM C D U
A LA CAVERNA
SISTEMA XINÈS
SISTEMA MAIA
SISTEMA ROMÀ
SISTEMA DECIMAL
A LA CAVERNA… MÉS ENDAVANT
Treball en grup per a l’exposició de murals sobre
EL LLEGAT CULTURALDELS NOSTRES AVANTPASSATS
2 5 0 4
1
12
ORIGEN I EVOLUCIÓ DELS NOMBRES 1
Els nombres sorgeixen de la necessitat de comptar coses.
Podem imaginar l’home primitiu comptant les cabres del seu ramat i ano-tant-ho, mitjançant osques, en un os o en l’escorça d’un arbre. D’aquestamanera es poden controlar quantitats petites.
Quan la societat evoluciona (intercanvis, comerç…) es fa necessari expres-sar nombres més grans. I així es van inventar els símbols.
Per exemple, significa 5 i significa 20 (els 20 dits d’una persona).
Amb el pas del temps, els símbols evolucionen. S’arriba així als sistemes denumeració.
SISTEMES ADDITIUS
Els egipcis tenien els símbols següents:
U DEU CENT MIL
És un sistema additiu perquè la quantitat total s’aconsegueix afegint els valors dels signes que hi intervenen. Per tant, com pots veure, no hi cal elzero.
El sistema romà ja el coneixes. Utilitza aquests signes:
I V X L C D MU CINC DEU CINQUANTA CENT CINC-CENTS MIL
Els nombres s’escriuen de forma additiva, excepte 4, 9, 40, 90… (enaquests es resta el signe menor col·locat a l’esquerra).
Per exemple: M C C C L X X → 1 370
C M X L I X → 949
SISTEMA DE NUMERACIÓ DE TIPUS POSICIONAL
Nosaltres utilitzem el sistema de numeració decimal, que va néixer a l’Ín-dia el segle VII i va arribar a Europa a través dels àrabs.
Com saps, utilitza només deu símbols:
Cada símbol adquireix un valor diferent segons la posició que ocupa. Peraixò diem que és un sistema posicional.
Els diferents llocs que pot ocupar un símbol (xifra) són els diferents ordreso categories d’unitats.
9876543210
1.1 En un sistema de numeració additiu, els signes
són (u), (cinc), (vint).
Escriu els nombres 13, 40 i 46.
1.2 Escriu en el sistema egipci els nombres:
a) 639 b) 3 527
c) 2 002 d) 2 200
1.3 Escriu en el sistema romà els nombres:
a) 630 b) 638
c) 639 d) 640
e) 2 425 f ) 2 525
g) 3 001 h) 3 520
1.4 Intenta explicar per què el nostre sistema denumeració no és additiu.
ACTIVITATS
1.5 Observa, pensa i contesta:
a) Quantes unitats hi ha en cinc desenes de mi-ler?
b) Quants milers són 300 desenes?
c) Quantes desenes hi ha en un miler?
d) Quants milers hi ha en tres milions?
e) Quantes centenes de miler hi ha en dos mi-lions i mig?
1.6 Escriu tots els nombres de quatre xifres que tin-guin dos cincs i dos zeros.
1.7 Escriu un nombre capicua de cinc xifres en elqual:
• La suma de totes les xifres és 6.• La xifra de les desenes és una unitat major que
la de les unitats.• La xifra de les centenes és zero.
1.8 Escriu el nombre nou-cents noranta-nou en elsistema decimal i en el sistema egipci.
Explica algun dels avantatges que ofereix el sistemadecimal respecte a d’altres sistemes de numeració.
ACTIVITATS
85
10 1011
272
UNIT
ATS
DESE
NES
CENTEN
ES
UNIT
ATS
DE
MIL
ER
DESE
NES
DE
MIL
ER
CENTEN
ESD
EM
ILER
UNIT
ATS
DE
MIL
IÓDESE
NES
DE
MIL
IÓ
En aquest sistema, deu unitats d’un ordre qualsevol fan una unitat de l’ordre immediat superior. Per això, una xifra no té sempre el mateix valor.
2 7 2 5 8
Val 20 000 unitats Val 200 unitats
DM
2
2
0
7
7
0
0
2
2
0
0
0
5
5
0
0
0
0
8
8
UM C D U
5
5
0
0
{∫∫∫∫∫∫“}↓
{∫∫∫∫∫“|}↓
{∫∫∫∫“|\}↓
{∫∫∫“|\∞}Observa que en escriure unnombre a la calculadora, cadavegada que hi introdueixes unaxifra, les que ja tens a la pantallaes desplacen un lloc a l’esquerra,és a dir, es multipliquen per 10.
CALCULADORA
7
6
5
HH
M
3
2
0
5
5
0
0
3
1
0
CM DM UM
0
0
0
C
0
0
0
D
0
U
13
1
QUÈ FEM AMB ELS NOMBRES?2
Amb els nombres naturals fem diverses tasques: comptar, ordenar, expres-sar codis, calcular… Vegem, amb alguns exemples, aquestes utilitats.
COMPTAR
Podem dir que els nombres naturals s’han inventat per poder comptar elselements d’un conjunt, els casos possibles d’una situació, el nombre devegades que ocorre un fet…
EXEMPLE
Quants cubs formen la construcció que veus a l’esquerra?
PRIMER PIS SEGON PIS TERCER PIS
Solució: En total hi ha 19 cubs.
ESTIMAR (COMPTAR APROXIMADAMENT)
A vegades, no podem o no ens interessa comptar amb precisió, però volemfer-nos una idea aproximada i ràpida d’una quantitat o de la solució d’unproblema. Aquesta tasca, l’anomenem estimar.
EXEMPLE
Quantes persones assisteixen a una manifestació en un carrer o unaplaça pública?
Solució: Estimem que assistixen a la manifestació unes 7 500 persones.
ESTIMACIÓ DEL NOMBRE DE PERSONES
• En 1 m2 → 3
• En 2 500 m2 → 2 500 · 3 = 7 500
DADES ESTIMADES
• En un metre quadrat hi hatres persones.
• La manifestació ocupa unasuperfície de 2 500 m2.
15131513
1513
1.9 Compta: Quants quadratsveus en aquesta figura?
(Atenció! N’hi ha més dels quesembla.)
1.10 Estima el nombre de batecs que t’ha fet el cordes del dia del teu naixement.
1.11 Estima el nombre de grans d’arròs que hi haen 20 quilos.
ACTIVITATS
ORDENAR
En associar un nombre natural a cadascun dels elements d’un conjunt,aquest queda ordenat. Aquests són els noms que reben els nombres quanexpressen ordre (ordinals):
I a més:
21 → vint-i-unè… 29 → vint-i-novè
30 → trentè… 40 → quarantè… 50 → cinquantè…
EXPRESSAR CODIS
A vegades, els nombres naturals s’utilitzen per identificar persones, objec-tes, llocs, entitats, arxius, comptes bancaris…, és a dir, com a símbols d’uncodi amb el qual catalogar i diferenciar els diferents elements d’un con-junt.
Per comprendre un codi, cal conèixer-ne les claus d’identificació.
A les taules de l’esquerra tens els codis assignats pel Servei de Correus i Telègrafs a algunes províncies i localitats.
Les dues primeres xifres d’un codi postal identifiquen la província.
PROVÍNCIA CODI
GIRONA 17............... .....LLEIDA 25
LOCALITAT CODI POSTAL
CADAQUÉS 17488FIGUERES 17600LLANÇÀ 17490ROSES 17480................. ............
POBLACIONS DE L’ALT EMPORDÀ
CODIS
1.12 Si estàs en una cua al lloc trenta-sisè, quantespersones tens davant? Quin lloc ocupa el qui enté 32 més al davant?
1.13 Un cotxe porta la placa de matrícula següent:
Quants cotxes porten una matrícula més antigaamb les lletres BCB?
Quants cotxes es matricularan encara amb lesmateixes lletres?
1.14 Ordena les paraules ELEFANT, SOL, TAULA, LLI-BRE, CABELL, MALETA de tres maneres:
a) Alfabèticament.
b) Segons el nombre de lletres.
c) Segons el pes d’allò que expressen.
1.15 La data de naixement de la mare d’en Carles,la representa el nombre 16-08-57.
Quin és el dia del seu aniversari? Quants anys téen l’actualitat?
ACTIVITATS
14 15
Els nombres naturals es repre-senten ordenats en la rectanumèrica.
ORDRE EN ELS NOMBRESNATURALS
0 10 20 30 40
Din
ovè
Div
uitè
Dis
setè
Setz
è
Qui
nzè
Cat
orzè
Tret
zè
Dot
zè
Onz
è
Des
è
Nov
è
Vui
tè
Setè
Sisè
Cin
què
Qua
rt
Terc
er
Sego
n
Prim
er
Vin
tè
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
2830-BCB
La successió de nombres naturals creix indefinidament, sense límit, i elnostre sistema de numeració permet representar quantitats tan grans comcalgui.
Per expressar aquestes grans quantitats s’utilitzen ordres d’unitats supe-riors als emprats habitualment:
Aproximadament…
• Un any té trenta-un milions i mig de segons.
• La Terra té cinc mil milions (5 miliards) d’habitants.
• Un any llum equival a nou bilions i mig de quilòmetres.
1
N. DE SEGONS QUEHI HA EN UN ANY 3 1 5 3 6 0 0 0
5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 4 6 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0
s s s C D U
N. D’HABITANTS DE LA TERRA
N. DE QUILÒMETRES EN UN ANY LLUM
ä
BILIONS
ä
MILIARDS
ä
MILIONS
ä
MILERS
1.16 Observa la taula i contesta:
Quants milions té un bilió? I quants miliards?
1.17 Escriu amb xifres:
a) Cinc milions vuit-cents mil.
b) Tres miliards.
c) Dos bilions i mig.
d) Nou-cents noranta-nou mil milions.
e) Un milió cent mil u.
1.18 Escriu com es llegeixen:
a) 7 300 000 b) 99 999 991
c) 100 100 100 d) 6 800 000 000
1.19 Expressa en bilions, miliards, milions i milersaquesta quantitat:
2 500 000 000 000
ACTIVITATS
APROXIMACIÓ D’UN NOMBRE A UN DETERMINATORDRE D’UNITATS
Quan un nombre té moltes xifres, és difícil de recordar i d’operar. Per això,solem substituir-lo per un altre de més manejable de valor aproximat.
Per exemple, si llegim en el cens municipal que una població té 127 491 ha-bitants, en manejar aquesta dada segurament direm que té:
TRUNCANT → 120 000 habitants
ARRODONINT → 130 000 habitants
En ambdós casos hem aproximat valorant només les desenes de miler i menyspreant els ordres d’unitats inferiors.
Observa que, de les dues aproximacions, és més exacte l’arrodoniment, jaque el nombre es troba més a prop de tretze que de dotze desenes de miler.
EXEMPLE
Aproximem a les centenes, per truncament i per arrodoniment, elsnombres següents:
a) 27 640 b) 3 850
TRUNCAMENT → 27 600 TRUNCAMENT → 3 800
ARRODONIMENT → 27 600 ARRODONIMENT → 3 900
TRUNCAR: és substituir les xifres per zeros fins a un ordre d’unitatsdeterminat.
ARRODONIR: és substituir el nombre per la quantitat d’unitats d’un or-dre determinat que hi queda més pròxima.
1.20 Aproxima als milers, per truncament i perarrodoniment els nombres següents:
a) 13 980 b) 6 293
c) 65 800 d) 39 400
e) 9 802 f ) 9 750
g) 25 090 h) 31 585
1.21 Arrodoneix als milions els nombres següents:
a) 37 224 000 b) 42 907 600
c) 325 742 231 d) 508 427 000
1.22 El valor d’una finca és de 239 650 €.Si et preguntessin pel preu de la finca i no en re-cordessis el valor exacte, quina resposta donaries?
ACTIVITATS
CM DM UM C D U
1 2 0 0 0 0
1 2 7 4 9 1
1 3 0 0 0 0
→
→→
APROXIMACIONSA LES DESENES DE MILER
16 17
ELS NOMBRES GRANS:MILIONS, MILIARDS, BILIONS3
sM
NO HO OBLIDIS
MILIÓ → 1 000 000
MILIARD → 1 000 000 000
BILIÓ → 1 000 000 000 000
– Mil milers fan un milió.
– Mil milions fan un miliard.
– Mil miliards fan un bilió.
Quan arrodonim un nombre ila primera xifra que menyspre-em és un cinc, sempre arrodo-nirem a l’alça.
NO HO OBLIDIS
UM1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
CMM DMM UMM CM DM UM CM DM UM C D U
120 000 127 491 130 000
TRUNCAR ARRODONIR
1
OPERACIONS AMB NOMBRES NATURALS4
Tot i que ja saps operar amb nombres naturals, convé que fem un repàsràpid de conceptes i propietats.
LA SUMA
Recorda: sumar és unir, ajuntar i afegir.
Amb les dades de l’indicador podem, per exemple, calcular la distància deValència a Girona.
Distància de València a Girona: 65 + 383 = 448 km
LA RESTA
Recorda: restar és treure o suprimir, és a dir, calcular-ne la diferència.
Amb les dades de l’indicador podem, per exemple, calcular la distància deBarcelona a Girona.
Distància de Barcelona a Girona: 383 – 284 = 99 km
ALGUNES PROPIETATS DE LA SUMA
Propietat commutativa: La suma no varia en canviar l’ordre dels su-mands.
a + b = b + a
Propietat associativa: El resultat de la suma és independent de la formaen què s’agrupen els sumands.
(a + b) + c = a + (b + c)
Propietat commutativa12 + 13 = 13 + 12
↓ ↓25 25
Propietat associativa
(5 + 4) + 2 = 5 + (4 + 2)↓ ↓
11 = 9 + 2 5 + 6 = 11
EXEMPLES
1.23 Amb les dades de l’indicador de la il·lustració,calcula les distàncies següents:
a) Alacant - Girona b) València - Barcelona
c) València - Alacant d) Barcelona - Alacant
1.24 Calcula:
a) 250 + 75 + 130 b) 524 – 215 – 132c) 420 + 175 – 368 d) 350 – 107 – 58
1.25 Compara i respon:
20 – (15 – 5) = 10 (20 – 15) – 5 = 0
20 – 10 5 – 5
10 0
A la vista dels resultats, compleix la resta la pro-pietat associativa?
ACTIVITATS
ÚS DELS PARÈNTESIS
En les expressions amb operacions combinades, els parèntesis empaque-ten resultats parcials i modifiquen l’ordre en què s’han de fer les opera-cions.
Observa l’expressió matemàtica d’aquests enunciats i compara’n els resul-tats:
• L’Aurora té 8 €, fa un pagament de 2 € i rep un ingrés de 4 €.Quant té ara?
8 – 2 + 4 = 6 + 4 = 10
• L’Enric té 8 €, fa dos pagaments, un de 2 € i un altre de 4 €. Quantli queda?
8 – (2 + 4) = 8 – 6 = 2
Com pots veure, els parèntesis modifiquen el resultat de l’expressió i fanque canviï de valor:
8 – 2 + 4 ≠ 8 – (2 + 4)
6 + 4 8 – 6
10 2
1.26 Associa cada enunciat amb dues de les expres-sions de baix:
1 La Rosa té 13 € i compra un llibre de 8 €,però li fan una rebaixa de 3 €.
2 L’Andreu té 13 € i compra un còmic de 8 €i un quadern de 3 €.
3 La Marta tenia 13 €, li donen 8 € i torna ala seva germana 3 € que li devia.
a) 13 – 8 – 3 b) 13 – 8 + 3
c) 13 – (8 + 3) d) 13 – (8 – 3)
e) 13 + (8 – 3) f ) 13 + 8 – 3
1.27 Calcula i compara els dos resultats obtingutsen cada cas:
a) 15 – 10 + 2 15 – (10 + 2)
b) 12 – 6 + 5 12 – (6 + 5)
c) 20 – 12 + 8 20 – (12 + 8)
d) 10 – 4 – 3 10 – (4 + 3)
e) 10 – 8 + 2 10 – (8 – 2)
f ) 15 – 6 – 3 15 – (6 + 3)
1.28 Calcula:
a) 52 – (25 – 13) b) 40 – (32 – 16)
c) 28 + (11 – 6) d) 37 + (15 – 12)
ACTIVITATS
18 19
CASTELLÓDE LA PLANA
VALÈNCIA65 km
ALACANT256 km
GIRONA383 km
BARCELONA284 km
ALACANT
CASTELLÓDE LA PLANA
VALÈNCIA
BARCELONA
GIRONA
MARMEDITERRANI
VALÈNCIA CASTELLÓ DE LA PLANA GIRONA
GIRONACASTELLÓ DE LA PLANA BARCELONA
DESPESES
INGRESSOS
DESPESES
L’Aurora té 10 €.
A l’Enric, li queden 2 €.
1
LA MULTIPLICACIÓ
Recorda: multiplicar és una forma abreujada de fer una suma repetida desumands iguals.
Per exemple, si un comerciant ven cinc televisors a 250 € cadascun, els di-ners que ingressa a caixa són:
250 + 250 + 250 + 250 + 250 = 250 · 5 = 1 250 €
PROPIETATS DEL PRODUCTE
Observa que aquestes propietats resulten molt útils per facilitar el càlcul,especialment, el càlcul mental.
Per exemple:
EXEMPLE
Per multiplicar 35 · 12 fem el següent:
La propietat associativa ens permet rea-grupar els termes i la commutativa, can-viar-los d’ordre.
35 · 12 = 5 · 7 · 2 · 6 == (5 · 2) · (7 · 6) == 10 · 42 = 420
Propietat associativa(5 · 2) · 6 = 5 · (2 · 6)
↓ ↓10 · 6 5 · 12
↓ ↓60 60
Propietat commutativa5 · 12 = 12 · 5
↓ ↓60 60
Propietat commutativa: El producte no varia en canviar l’ordre delsfactors.
a · b = b · a
Propietat associativa: El resultat d’una multiplicació és independent dela forma en què s’agrupen els factors.
(a · b) · c = a · (b · c)
1.29 Expressa com a sumes de sumands repetits elsproductes següents:a) 10 · 1 b) 6 · 4
c) 3 · 283 d) 7 · 0
1.30 Calcula:a) 347 · 20 b) 86 · 50c) 1 005 · 280 d) 41 · 2 500e) 32 · 1 516 f ) 99 · 99
1.31 Calcula mentalment:
a) 3 · (2 · 5) · 8 b) 5 · 7 · 2 · 4
c) 6 · 40 d) 35 · 8
1.32 Un camió d’una empresa de transports fa totsels dilluns, tots els dimecres i tots els divendres eltrajecte Lleida-Barcelona (anada i tornada).Quants quilòmetres recorre a la setmana si Barce-lona i Lleida es troben a 156 km de distància?
ACTIVITATS
PROPIETAT DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTE
A continuació, recordarem una propietat que pots utilitzar en multiplicarun nombre per una suma.
Comencem per resoldre el problema.
EXEMPLE
PROBLEMA: L’Alfred va a comprar quatre entrades per a un concert derock i l’Aurora va a comprar dues entrades.Quant paguen entre els dos si cada entrada costa 15 €?
Podem resoldre el problema de dues maneres:ALFRED AURORA
15 · (4 + 2) = 15 · 6 = 90 €o bé
15 · 4 + 15 · 2 = 60 + 30 = 90 €
ALFRED AURORA
Com veus, ambdues expressions són equivalents:
15 · (4 + 2) = 15 · 4 + 15 · 2
PRODUCTE PER 10, 100, 1 000…
Per multiplicar un nombre per la unitat seguida de zeros (10, 100,1 000…), s’afegeixen a la dreta del nombre tants zeros com acompanyenla unitat (un, dos, tres…).
EXEMPLES
38 · 10 = 380 38 · 1 000 = 38 000
38 · 100 = 3 800 38 · 10 000 = 380 000
Propietat distributiva: El producte d’un nombre per una suma (o res-ta), és igual a la suma (o resta) dels productes parcials del nombre percada sumand.
a · (b + c) = a · b + a · c a · (b – c) = a · b – a · c
1.33 Comprova que cadascuna de les expressionsde l’esquerra és equivalent a la corresponent de ladreta:a) 6 · (3 + 5) ←→ 6 · 3 + 6 · 5b) 5 · 9 – 5 · 7 ←→ 5 · (9 – 7)c) 10 · 8 – 10 · 6 ←→ 10 · 2d) 8 · 5 ←→ 8 · 2 + 8 · 3
1.34 Calcula:a) 14 · 100 b) 82 · 1 000
c) 1 001 · 10 d) 52 · 10 000
e) 80 · 100 f ) 13 000 · 10
1.35 Calcula de dues maneres diferents:100 · 58 + 100 · 12
ACTIVITATS
2120
HH
II
Per multiplicar un nombre dedues xifres per 101, s’escriu elnombre repetit.
Comprova-ho:
38 · 101 = 38 · (100 + 1) == 3 800 + 38 = 3 838
CÀLCUL MENTAL
ORDRE EN EL QUAL S’HAN DE FER LES OPERACIONS
En les expressions amb operacions combinades has de tenir clar en quinordre actuar. En matemàtiques, cada expressió té un significat i una solu-ció únics.
Observa:
SÍ → 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 (Primer la multiplicació).
NO → 2 + 3 · 4 = 5 · 4 = 20 (Primer la suma).
SÍ → (2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20 (Si hi ha parèntesis, aquests van primer).
EXEMPLES
a) 3 · 5 + 2 · 4 – 2 · 6 = 15 + 8 – 12 = 23 – 12 = 11
b) 3 · (5 + 2) · 4 – 2 · 6 = 3 · 7 · 4 – 2 · 6 = 84 – 12 = 72
c) 40 : (11 – 6) + 18 : 6 – 2 · 3 = 40 : 5 + 18 : 6 – 2 · 3 = 8 + 3 – 6 = 5
APRÈN A UTIL ITZAR LA CALCULADORA
Introdueix 4 + 6 * 3 = a la calculadora i observa el resultat.
Encara que et sembli estrany, no totes les calculadores et donaran la mateixasolució. En unes apareixerà a la pantalla el nombre 22 i en unes altres, el 30.
Vegem a què és degut el comportament diferent:
{∫∫∫““} → La calculadora fa primer el producte: respecta l’ordre adequaten les operacions.
4 + 6 · 3 = 22
{∫∫∫«≠} → La calculadora fa les operacions en l’ordre en el qual hi vanentrant.
4 + 6 · 3 → (4 + 6) · 3 = 30
Esbrina de quin dels dos tipus de calculadora és la teva ja que ho has de te-nir en compte quan la utilitzis.
En les expressions amb operacions combinades hem d’atendre:
• Primer els parèntesis.
• Després, la multiplicació i la divisió.
• I, finalment, la suma i la resta.
7 · 6 – 4 · (8 – 3)
7 · 6 – 4 · 5
42 – 20
22
EXEMPLES
1
1.40 Calcula:
a) 4 · 6 + 2 · 8 – 3 · 4 b) 4 · (6 + 2) · 8 – 3 · 4
c) 4 · 6 + 2 · (8 – 3) · 4 d) 4 · 6 + (2 · 8 – 3) · 4
e) 4 · (6 + 2 · 8) – 3 · 4 f ) 4 · (6 + 2 · 8 – 3) · 4
Comprova que les solucions són:
a) 28 b) 244 c) 64 d) 76 e) 76 f ) 304
1.41 Què faries per obtenir amb la calculadora elresultat de cadascuna d’aquestes expressions?
a) 4 + 6 · 3
b) (4 + 6) · 3
Escriu, en cada cas, la seqüència de tecles empra-des.
ACTIVITATS
23
LA DIVISIÓ
Recorda: dividir és repartir a parts iguals o partir en parts d’una determi-nada grandària.
EXEMPLE
PROBLEMA: Un autobús amb 40 turistes té una avaria camí de l’aero-port. Com que no hi ha temps, ja que l’avió no espera, el responsable delgrup decideix acomodar els viatgers en taxis de 4 places. Quants taxiscompletaran?
El residu és zero.
Completaran 10 taxis → 40 = 4 · 10
Suposa ara que fossin 43 turistes. Quants taxis completarien?No hi ha cap nombre natural que doni el resultat exacte.
Es completarien 10 taxis i sobrarien 3 viatgers. El residu és 3.43 = 4 · 10 + 3
QUOCIENT PER DEFECTE I QUOCIENT PER EXCÉS
El quocient que hem vist en la divisió de l’exemple anterior (10 taxis) ésun quocient aproximat per defecte, ja que deixa un residu de tres unitats.
Tanmateix, si preguntem: quants taxis es necessiten?, veurem que la res-posta és 11, tot i que l’últim taxi queda amb un seient buit. Aquest quo-cient (11 taxis), l’anomenarem quocient aproximat per excés.
1.36 En una divisió, el divisor és 7, el quocient és13 i el residu és 5. Quin és el dividend?
1.37 Calcula el quocient enter i el residu:a) 258 : 23 b) 14 315 : 47
1.38 Es reparteixen 250 bombons en 10 bossesiguals. Quants bombons entren en cadascuna?
1.39 Quantes bosses de 12 magdalenes es podenomplir amb una safata que conté 250 unitats?
ACTIVITATS
22
40 40 10
43 403 10 3
Una divisió pot ser exacta o entera segons el residu.
Divisió exacta (el residu és zero).
D : d = qD = d · q El dividend és igual al divisor pel quocient.
Divisió entera (el residu és diferent de zero).
D : d no és exactaD = d · q + r El dividend és igual al divisor pel
quocient més el residu.
D d0 q
D dr q
43 403 11–1
10 taxis i sobren 3 turistes
Quocient per defecte: 1043 = 10 · 4 + 3
Quocient per excés: 1143 = 11 · 4 – 1
43 403 103
11 taxis i falta 1 turista
F F
1
2524
POTÈNCIES5Una potència és una forma abreujada d’expressar un producte de factorsiguals:
a · a · a · a · a = a5
El factor repetit es diu base, i el nombre de vegades que es repeteix, expo-nent.
EXEMPLES
25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 43 = 4 · 4 · 4 = 64 104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000
EL QUADRAT I EL CUB
L El quadrat d’un nombre és la potència d’exponent dos:
a2 → quadrat de a
Geomètricament, la potència a2 expressa el nombre de quadrats uni-taris que caben en un quadrat de costat a. És a dir, n’expressa la su-perfície:
costat → asuperfície → a2
L El cub d’un nombre és la potència d’exponent tres:
a3 → cub de a
Geomètricament, la potència a3 expressa el nombre de cubs unitarisque caben en un cub d’aresta a. És a dir, n’expressa el volum:
aresta → avolum → a3
Nombre de finestres:
4 · 4 · 4 · 4 = 256
44 = 256
a5
EXPONENT
BASE
F
F a elevat a cinc.Es llegeix o bé
a elevat a la cinquena.
a2 → Es llegeix: a elevat al quadrat, o bé, «a quadrat».
a3 → Es llegeix: a elevat al cub, o bé, «a cub».
5
5
52= 25 cubets
aresta 5
volum 53= 125
costat 5superfície 52= 25
1.42 Expressa en forma de producte i calcula:
a) 53 b) 26 c) 44 d) 103
e) 42 f ) 34 g) 72 h) 16
i) 104
1.43 Calcula:a) El quadrat de 100. b) El cub de 10.c) El quadrat de 20. d) El cub de 6.
1.44 Calcula el nom-bre de cubets d’ares-ta unitat que cabenen un cub d’aresta10 unitats.
1.45 Calcula x en cada cas:
a) 3x = 27 b) 5x = 25 c) 2x = 16 d) 7x = 343
ACTIVITATS
POTÈNCIES DE BASE 10
El càlcul de les potències de base 10 és molt senzill, i has de ser capaç de fer-lo mentalment.
102 = 10 · 10 = 100 105 = 100 000
103 = 10 · 10 · 10 = 1 000 106 = 1 000 000
104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 …
Observa que el nombre de zeros del resultat coincideix amb l’exponent dela potència.
EXPRESSIÓ ABREUJADA DE NOMBRES GRANS
EXEMPLE
• Un any llum equival a 9 460 800 000 000 quilòmetres.
Aquest nombre és llarg d’escriure i molest de llegir. Observa les trans-formacions que proposem per fer-lo més manejable:
Arrodoniment a les centenes de miler de milió.
Descomposició en producte per la unitat seguida de zeros.
Transformació del segon factor en potència de base deu.
Direm que un any llum equival a 95 · 1011 quilòmetres. Com veus, es tracta d’una expressió més fàcil d’escriure, de llegir i de recordar.
Una potència de base 10 és igual a la unitat seguida de tants zeros comindica l’exponent.
106 = 1 000 000
1.46 Expressa amb totes les xifres:
a) 107 b) 1010 c) 1015 d)101
1.47 Escriu com a potències de 10:
a) Un miler. b)Un milió. c) Un bilió.
1.48 Calcula x en cada cas:
a) x · 108 = 2 800 000 000
b) 19 · 10x = 19 000 000
c) x · 1011 = 54 000 000 000 000
1.49 Expressa amb totes les xifres:
a) 8 · 105 b)54 · 104 c)16 · 109
1.50 Expressa, de forma abreujada:
a) El nombre de glòbuls rojos que un ésser humàté a la sang és: 25 000 000 000
b) El nombre de molècules elementals que hi haen un litre d’aigua és:
334 326 000 000 000 000 000 000
ACTIVITATS
La nebulosa Trífida, a la constel·lació deSagitari, dista de la Terra al voltant de 49 196 160 000 milions de quilòmetres,que equivalen a 5 200 anys llum.
9 460 800 000 000
9 500 000 000 000
9 5 · 100 000 000 000
95 · 1011
\\\\
\\
1
2726
OPERACIONS AMB POTÈNCIES6Totes les propietats que estudiaràs a continuació es tradueixen en reglesd’ús pràctic per operar amb potències. Per tant, et convé memoritzar-les iassajar-ne l’aplicació en diferents situacions.
POTÈNCIA D’UN PRODUCTE
En elevar un producte a una potència, s’obté el mateix resultat final queelevant cada factor a la potència i multiplicant els resultats parcials obtin-guts.
EXEMPLE
POTÈNCIA D’UN QUOCIENT
En elevar un quocient a una potència, s’obté el mateix resultat final queelevant el dividend i el divisor a la potència i calculant el quocient dels re-sultats parcials obtinguts.
EXEMPLE
EXERCICI RESOLT
Calcular, pel camí més senzill, 123 : 43 i 56 · 26
123 : 43 = (12 : 4)3 = 33 = 3 · 3 · 3 = 2756 · 26 = (5 · 2)6 = 106 = 1 000 000
(a : b)n = an : bnLa potència d’un quocient és igual al quocientde les potències del dividend i del divisor.
(6 : 2)4 = 64 : 24(6 : 2)4 = 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 8164 : 24 = (6 · 6 · 6 · 6) : (2 · 2 · 2 · 2) = 1 296 : 16 = 81
(a · b)n = an · bnLa potència d’un producte és igual al productede les potències dels factors.
(2 · 3)4 = 24 · 34(2 · 3)4 = 64 = 6 · 6 · 6 · 6 = 1 29624 · 34 = (2 · 2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3 · 3) = 16 · 81 = 1 296
(2 + 3)4 = 54 = 625
24 + 34 = 16 + 81 = 97
(2 + 3)4 ≠ 24 + 34
La potència d’una suma no ésigual a la suma de les potènciesdels sumands.
NO ET CONFONGUIS!
1.51 Calcula i compara els resultats de cada parellad’expressions:
↔
↔
1.52 Pensa i calcula els resultats pel camí més curt:
a) 85 : 45 b) 123 : 43
c) 53 · 23 d) 252 · 42
e) (64 · 34) : 94 f ) (25 · 35) : 65153 : 53(15 : 5)3
54 · 24(5 · 2)4
ACTIVITATS
PRODUCTE DE POTÈNCIES DE LA MATEIXA BASE
En multiplicar dues potències de la mateixa base, s’obté una altra potènciaamb la mateixa base:
24 · 23 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 27
4 vegades 3 vegades
Observa que l’exponent del producte és la suma dels exponents de cadafactor: 4 + 3 = 7
QUOCIENT DE POTÈNCIES DE LA MATEIXA BASE
En dividir dues potències de la mateixa base, s’obté una altra potènciaamb la mateixa base:
27 : 24 = 23 ← 24 · 23 = 27
Observa que l’exponent del quocient és la diferència entre l’exponent deldividend i el del divisor: 7 – 4 = 3
POTÈNCIA D’UNA POTÈNCIA
En elevar una potència a una altra potència, s’obté una nova potència ambla mateixa base i exponent major.
EXEMPLES
(103)2 = 103 · 103 = 103+3 = 103 ·2 = 106
(24)3 = 24 · 24 · 24 = 24+4+4 = 24 ·3 = 212
Observa que l’exponent final és el producte dels exponents de l’expressióinicial.
(an)m = an·mPer elevar una potència a una altra potència, es deixa lamateixa base i es multipliquen els exponents.
Per dividir dues potències de la mateixa base, es deixa la base i es restenels exponents:
ab : ac = ab–c
Per multiplicar dues potències de la mateixa base, es deixa la base i sesumen els exponents:
ab · ac = ab+c
(a · b)n = an · bn
(a : b)n = an : bn
an · am = an+m
an : am = an –m
NO HO OBLIDIS
30 = 1
a0 = 1
La potència zero d’un nombreés igual a 1.
TINGUES EN COMPTE
1.53 Redueix a una sola potència: a) 32 · 32 b) 23 · 25 c) 43· 45
d) 105 · 102 e) 3 · 32 · 33 f ) 52 · 54 · 54
1.54 Expressa amb una única potència: a) 26 : 22 b) 38 : 35 c) 47 : 46
d) 105 : 103 e) (75 : 73) : 72 f ) (59 : 54) : 53
1.55 Redueix a una sola potència:a) (52)3 b) (26)2 c) (32)2
d) (43)4 e) (72)4 f ) (54)2
1.56 Redueix:a) a3 · a5 b) a8 : a6 c) (a3 · a6) : a5
d) (a10 : a7) : a2 e) (a2)5 : (a3)2 f ) (a4)3 : (a6)2
ACTIVITATS
32 : 32 = 9 : 9 = 1}}32 : 32 = 32–2 = 30
an : an = 1}}an : an = an–n = a0
1
2928
Calcular l’arrel quadrada és l’operació inversa d’elevar al quadrat:
b2 = a ↔ Ïaw = b
32 = 9 → Ï9w = 3 → L’arrel quadrada de 9 és 3.
152 = 225 → Ï225w = 15 → L’arrel quadrada de 225 és 15.
EXEMPLE
PROBLEMA: La superfície d’un quadrat és 16 m2. Quant fa cada costat?
a2 = 16 → a = Ï16w = 4 m
ARRELS EXACTES I ARRELS INEXACTES
L Hi ha nombres, com el 49, el 100 o el 225, l’arrel dels quals és exacta:
Ï49w = 7 Ï100w = 10 Ï225w = 15
Els anomenem quadrats perfectes: 72 = 49; 102 = 100; 152 = 225
L No obstant això, per a la majoria dels nombres, l’arrel no coincideixamb una quantitat exacta d’unitats enteres.
Busquem, per exemple, el valor de Ï30w:
52 = 25 < 30 62 = 36 > 30
El nombre natural que més s’aproxima, sense passar-se, a l’arrel, l’anomenarem arrel entera.
Ïaw = b
ARREL
RADICAND
Es llegeix: l’arrel quadrada de aés igual a b.
a=?
a=?
5 < Ï30w< 6L’arrel quadrada de 30 és un valorcomprès entre 5 i 6.
L’arrel entera de 30 és 5.
F
F
L’ARREL QUADRADA7
Alguns quadrats perfectes:
12 = 1 92 = 81
22 = 4 102 = 100
32 = 9 112 = 121
42 = 16 122 = 144
52 = 25 132 = 169
62 = 36 142 = 196
72 = 49 152 = 225
82 = 64 …
RECORDA
1.57 Calcula, per tempteig, les arrels exactes o en-teres següents:
a) Ï36w b) Ï81w c) Ï85wd) Ï139w e) Ï500w f ) Ï900wExemple: Ï275w = ?
L’arrel entera de 275 és 16.
1.58 Quins d’aquests nombres són quadrats perfec-tes? Justifica les teves respostes.
a) 25 b) 81
c) 90 d) 144
e) 300 f ) 400
1.59 La superfície d’un quadrat fa 121 cm2. Quantfa el costat?
16 < Ï275w < 17162 = 256 < 275172 = 289 > 275
ACTIVITATS
CÀLCUL DE L’ARREL QUADRADA
Per calcular l’arrel quadrada d’un nombre, pots utilitzar diferents tècni-ques: per tempteig, amb la calculadora o manualment, pas a pas. Vegem-ne un exemple.
EXEMPLE
Calculem Ï2 835w utilitzant les tres tècniques esmentades més amunt.Per tempteig
Amb la calculadoraIntrodueix el nombre i després prem la tecla $ (en algunes calculadoreshauràs de prémer primer la tecla $):
{∫∫∫“°«∞} $ →→ {∫∫∞«…“¢¢|‘°}Com veus, Ï2 835w és un nombre una mica més gran que 53. Per tant,l’arrel quadrada entera de 2 835 és 53.
Manualment, pas a pas
Comencem separant de dos en dos, des de la dreta, les xifres del nombrei calculant l’arrel del paquet de l’esquerra.
Com veus, 2835 és major que 532 i menor que 542:532 < 2 835 < 542
Per tant, l’arrel quadrada de 2 835 és un nombrecomprès entre 53 i 54:
53 < Ï2 835w < 54 → Ï2 835w = 53…L’ arrel entera de 2 835 és 53.
502 = 2 500 < 2 835..............................
532 = 2 809 < 2 835
542 = 2 916 > 2 835
A: Ï28w és 5 i en queden 3 de residu.B: Escrivim el doble de A.
Puja C dalt.
Solució: Ï2 835w = 53
RESIDU → 26
Busquem la major xifra de forma que elproducte 10 × sigui el més pròxim a335 i menor o igual que aquest.
CC
C
28 35 25 3
5 ← A 10 ← B
√ 5 · 5 → –
1
2835 25 335 309 026
53 103 × 3
√ 3
–
–
28 35 25 3 35
5 10 ×
√ –
2 {
C C
1.60 Calcula, de les tres maneres que hem vist, l’a-rrel exacta o entera dels nombres següents:
a) 529 b) 950c) 1 275 d) 2 025
Quins són quadrats perfectes?
1.61 En un magatzem de planta quadrada hi ca-ben, col·locades a terra i sense apilar, 2 209 caixesde base quadrada. Quantes files de caixes hi ca-ben? Quantes caixes hi ha en cada fila?Si el costat de la base de cada caixa fa 1 m, quinessón les dimensions del magatzem?
ACTIVITATS
3130
3
1.75 Reflexiona i contesta:
a) Quantes centenes de miler hi ha en una desenade milió?
b) Quants milers té un miliard?
c) Quantes centenes de milió hi ha en un bilió?
1.76 Expressa, de forma aproximada, en mi-lions, aquestes quantitats:
a) 3 521 273 b) 8 009 999
c) 9 999 999 d) 59 845 000
Operacions
1.77 EXERCICI RESOLTEstima mentalment el resultat de 412 · 78 i despréscomprova'l operant.
Resolució
Aproximem 412 a 400
i 78 a 80
Estimació: 400 · 80 = 32 000
Operació: 412 · 78 = 32 136
1.78 Estima mentalment una aproximació alresultat d’aquestes operacions i després comprova-la amb càlcul exacte:
a) 26 270 + 10 975 + 7 842
b) 72 746 – 52 958 – 4 706
c) 315 · 188 d) 4 921 : 48
1.79 Calcula el quocient i el residu en cada cas:
a) 7 896 : 12 b) 26 978 : 41 c) 32 941 : 50
1.80 Afegeix dos termes en cada sèrie:
a) 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4…
b) 1, 2, 4, 7, 11, 16…
c) 3, 6, 12, 24, 48…
d) 1, 3, 7, 15, 31…
1.81 Calcula:
a) 2 · 5 + 3 · 4 – 2 · 8 b) 3 + 5 · 2 + 1
c) 4 · 3 – 2 + 5 · 2 d) 6 – 2 · 3 + 4 · 3
1.82 Calcula:
a) 5 b) 5c) 5 d) 5
1.83 EXERCICI RESOLTCalcula el resultat d’aquesta operació:
3 · (6 – 4) + 5 · (3 + 1)
Resolució
3 · (6 – 4) + 5 · (3 + 1) = 3 · 2 + 5 · 4 = 6 + 20 = 26
1.84 Calcula:
a) 5 · (2 + 4) – 6 b) 16 – 5 · (8 – 6) + 4 · 2
c) 18 – 3 · (4 · 2 – 7) – 15
1.85 Calcula:
a) 4 · 6 – 5 · 2 + 3 · 4 b) (4 · 6 – 5) · 2 + 3 · 4
c) 4 · 6 – (5 · 2 + 3 · 4) d) 4 · (6 – 5) · 2 + 3 · 4
1.86 D’una divisió, en coneixem:
DIVIDEND = 85 QUOCIENT = 12 RESIDU = 1
Quin és el divisor?
1.87 En una divisió, el residu per excés és 5 i elresidu per defecte és –2. Quin és el divisor?
Càlcul de potències
1.88 Calcula amb llapis i paper:
a) 54 b) 152 c) 17
d) 63 e) 35 f ) 28
1.89 Calcula mentalment:a) 102 b) 103 c) 104
d) 105 e) 106 f ) 107
1.90 Expressa amb totes les xifres:
a) 6 · 104 b) 13 · 107
c) 34 · 109 d) 62 · 1011
3 · 7 – 2}}3 · (7 – 2)
2 · 9 – 5}}2 · (9 – 5)
7 · 3 + 4}}7 · (3 + 4)
5 + 4 · 3}}(5 + 4) · 3
1
Sistemes de numeració
1.62 Amb els símbols = 1, = 5 i = 20
escriu els nombres 8, 23, 65 i 118.
Creus que és un sistema adequat per escriure nom-bres grans? Es tracta d’un sistema additiu o és posi-cional?
1.63 Quins nombres representaven aquestesinscripcions a l’antic Egipte?
1.64 Tradueix al sistema decimal:
LXXXIV CCCXXXIII MDLX
1.65 Escriu el valor de la xifra 9 en cadascund’aquests nombres:
a) 193 b) 5 639 c) 6 937 000
1.66 Observa la taula i respon:
a) Quantes unitats fas amb 72 desenes?
b) Quantes centenes completes hi ha en 3 528 uni-tats?
c) Quantes desenes de miler hi ha en quatre mi-lions i mig?
Recomptes, est imacions, codis
1.67 Quants cubs hi ha en cada construcció?
4 5 030
750
220
080
EXERCICIS DE LA UNITAT
1.68 Observa aquesta sèrie i calcula:
…
a) El tretzè terme.
b) El vint-i-dosè terme.
c) El terme que ocupa el lloc trentè.
1.69 Quants cotxes hi ha entre els dos que por-ten aquestes matrícules?
1.70 El codi numèric 16-01-91 expressa la da-ta de naixement de la Clara. Quin dia és el seu ani-versari? Quina edat té actualment?
1.71 Quin és el codi postal del teu domicili?
A la vista d’aquest codi, quins són els nombres queidentifiquen la província on vius?
Nombres grans. Aproximacions
1.72 Estima el nombre d’inspiracions que hasrealitzat fins al moment actual.
(Dada experimental: Mesura’t el nombre d’inspiracionsper minut.)
1.73 Aproxima als milers, mitjançant truncament imitjançant arrodoniment, aquestes quantitats:
a) 2 721 b) 6 412
c) 16 235 d) 37 940
1.74 Quina de les aproximacions es troba mésa prop del valor real?
13119753
M CM DM UM C D U
Val16 500 €.
Val16 600 €.
VALOR EXACTE
16 578 €
9998-BBC
0005-BBD
3332
1.109 Un parc d’atraccions rep una mitjana de8 600 persones al dia a la primavera, 15 400 al’estiu, 6 200 a la tardor i 1 560 a l’hivern. Quantsvisitants té en un any?
1.110 Un restaurant va pagar el mes passat alseu proveïdor 1 144 € per una factura de 143 kgde carn. Quants quilos ha gastat aquest mes sisabem que la factura ascendeix a 1 448 €?
1.111 Un botiguer compra 15 caixes de lletamb 10 ampolles de litre cadascuna. Cada caixa lisurt a 5 €. En el transport cau una caixa i estrenquen 5 ampolles. Després ven la mercaderia aldetall, a 1 € l’ampolla.
Quant és el benefici que obté?
1.112 Un magatzemista compra 200 caixes detaronges, de 20 kg cadascuna, per 1 000 €.
El transport val 160 €.Les selecciona i les envasa en bosses de 5 kg. En laselecció en rebutja, per defectuoses, uns 100 kg.A quant ha de vendre la bossa si desitja guanyar-hi400 €?
1.113 L’Úrsula i la Marina viuen a la mateixa casa ivan a la mateixa escola. L’Úrsula, quan hi va sola,tarda 20 minuts de casa a l’escola. La Marina, alseu pas, tarda 30 minuts a fer el mateix recorregut.
Quant tardarà l’Úrsula a agafar la Marina, si aques-ta ha sortit avui amb 5 minuts d’avantatge?
1.114 De les 15 persones que treballen en una ofici-na, n’hi ha 9 a les quals els agrada el cafè i 7 a lesquals els agrada el te.
També sabem que hi ha 3 persones a les quals elsagraden els dos productes.
A quantes persones d’aquesta oficina no els agradani el cafè ni el te?
1.115 Una enquesta realitzada entre els 30 alumnesd’una classe té com a resultat les dades següents:
• 16 practiquen futbol, 14 bàsquet i 13 tennis.
• 6 practiquen futbol i bàsquet, 6 practiquen fut-bol i tennis i 5 practiquen bàsquet i tennis.
• 3 practiquen els tres esports.
Quants d’aquests 30 nois i noies no practiquen nifutbol, ni bàsquet, ni tennis?
1.116 La Rosa té una granja d’ànecs i oques. Avui ha ve-nut al mercat 21 dels seus animals per 350 euros.
Entre els animals venuts hi havia el doble d’ànecsque d’oques, i una oca val el triple que un ànec.Quin preu té un ànec? I una oca?
PROBLEMES D’ESTRATÈGIA
3
T
BF
Organitza les dades en un esquema de forma que etpermeti veure-les globalment i establir relacions.
?
PERSONES A L'OFICINA ELS AGRADA EL TE
ELS AGRADA EL CAFÈ
3 64
APLICA AQUESTA ESTRATÈGIA
Operacions amb potències
1.91 EXERCICI RESOLTCalcula pel camí més curt: (45 · 35) : 6 5
Resolució(45 · 35) : 65 = (4 · 3)5 : 65 = 125 : 65 = (12 : 6)5 =
= 25 = 32
1.92 Calcula pel camí més curt:
a) 24 · 54 b) 43 · 253 c) 203 : 53
d) 124 : 44 e) (53 · 43) : 23 f ) 63 : (213 : 73)
1.93 Redueix a una sola potència:
a) a2 · a3 b) x4 · x2 c) m2 · m5
d) a5 : a4 e) x8 : x5 f ) m9 : m3
g) (a4)3 h) (x2)5 i) (m3)3
Arrel quadrada
1.94 Busca el valor de a en cada cas:
a) a2 = 64 b) a2 = 100 c) a2 = 144
d) a2 = 400 e) a2 = 625 f ) a4 = 16
1.95 Calcula, en cada cas, el valor de m:
a) Ïmw = 5 b) Ïmw = 8
c) Ïmw = 100 d) Ïmw = 30
1.96 Calcula per tempteig el valor de l’arrel entera:
a) Ï25w b) Ï55w c) Ï169wd) Ï728w e) Ï900w f ) Ï10 000w
1.97 Calcula amb llapis i paper, i després com-prova-ho amb la calculadora:
a) Ï650w b) Ï1 369wc) Ï4 225w d) Ï12 568w
Exercic is per resoldre amb la calculadora
1.98 Per obtenir (3 + 5) · 11 es fa:
3 + 5 = * 11 = → {∫∫∫∫°°}Calcula de la mateixa manera:
a) (5 + 10) · 8 b) (9 + 40) : 7
c) (73 – 37) : 6 d) (13 + 12 – 8) · 4 · 5
1.99 Calcula el quadrat d’un nombre així:
152 → 15 * = → {∫∫∫““∞}Calcula els quadrats dels nombres naturals com-presos entre 20 i 30.
1.100 Imagina que està espatllada la tecla 0. Per posar a la pantalla el nombre 10 pots fer:
2 * 5 =, 11 - 1 =, 9 + 1 =, …
Escriu a la pantalla sense utilitzar la tecla 0:
a) 30 b) 80 c) 504 d) 509 e) 30 004
Problemes de nombres
1.101 Busca tres nombres naturals consecutiusla suma dels quals sigui 42.
1.102 Quins tres nombres parells consecutiussumen 60?
1.103 Busca tres nombres sabent que:
• La suma és 100.
• El primer és 10 unitats major que el segon.• El segon és 15 unitats major que el tercer.
1.104 Quants nombres de quatre xifres acabenen zero?
1.105 Quants nombres de tres xifres són capi-cues?
Problemes de cada dia
1.106 En Francesc té 75 €. En Robert té 13 €més que en Francesc. En Roger té 21 € menys queen Robert. Quant tenen entre tots tres?
1.107 L’Anníbal treballa en una fàbrica que estroba a 18 km de casa seva.
Quants quilòmetres recorre a la setmana si sabemque no hi treballa els dissabtes i els diumenges?
1.108 L’Amèlia ha recollit avui, a la seva gran-ja, 22 safates d’ous, i l’Artur, 18 safates.
Si en una safata hi caben dues dotzenes i mitja,quants ous han recollit entre tots dos?
31
EXERCICIS DE LA UNITAT
3534
JOCS PER PENSAR
Els quatre quatres
Utilitzant quatre quatres i les operacions queconeixes, hem aconseguit el nombre 15:
44 : 4 + 4 = 15
Quins dels nombres naturals menors que 15 potsaconseguir per mètodes semblants amb els quatrequatres?
Es busca el 100
11 22 33 44 55 66 77 88 99 == 110000Col·locant entre les nou xifres les operacions adequades, pots aconseguir com a resultat 100.
Aquí tens dues solucions:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ? 9 = 100 123 + 45 – 67 + 8 – 9 = 100
Però n’hi ha moltes més! Busca’n alguna.
Codi d’ ident i f icació
Escriu el teu codi d’identificació personal segons laclau següent:
• Raquel Arranz• Josep Barroso• Aurora Zapata
Sabries dir de quies tracta?
NOI (0)NOIA (1)
DIA I MES DEL’ANIVERSARI
N. DE LLISTAPER ORDREALFABÈTIC
Darrere de la màscara s’amaga una d’aquestespersones de la classe:
OPERACIONS
El nostre s is tema de numeració és decimal i posicional E ls nombres naturals ser veixen per comptar, ordenar, aproximar…
ELS NOMBRES NATURALS
RECORDEM EL QUE ÉS ESSENCIAL
1 Quantes centenes té un milió?
2 Aproxima als milers per truncament i per arrodoniment:
a) 5 804 b) 56 238
3 En una divisió, el dividend és 1567, el quocient 27 i elresidu 1. Quin és el divisor?
4 Calcula:
a) 2 + 5 · 3 b) (6 + 8) : 2 c) 3 · (16 – 7 · 2) – 6
5 Calcula: a) 24 b) 56 : 54 c) (35 · 33) : 36
6 Calcula:
7 Per comprar un cotxe es paga una entrada de 1 600 €i 36 mensualitats de 400 €. Quin és el cost total?
8 Tres germans ajunten els seus estalvis per comprar unacol·lecció de discos que costen 150 €.En Miquel en té 27, la Marta el doble que en Miquel ila Mercè, 18 € menys que la Marta. Quants euros elsfalten?
√1 225
AUTOAVALUACIÓ
• SUMA. Propie ta ts :
Commutativa → a + b = b + a
Associativa → a + (b + c) = (a + b) + c
• MULTIPL ICACIÓ. Propie ta ts :
Commutativa → a · b = b · a
Associativa → a · (b · c) = (a · b) · c
Distributives 5 a · (b + c) = a · b + a · c}}}a · (b 2 c) = a · b 2 a · c
OPERACIONS COMBINADES
• Aquestes expressions tenen resultat diferent: • Primer, s’operen els parèntesis.
• Després, les multiplicacions i les divisions.
• Finalment, les sumes i les restes.
2 + 3 · (10 – 6) : 2 = 2 + 3 · 4 : 2 == 2 + 12 : 2 = 2 + 6 = 8
• DIVIS IÓ EXACTA
r = 0
D = d · q
• DIVIS IÓ ENTERA
r ≠ 0
D = d · q + r
• POTÈNCIES
ab EXPONENTBASE
Propietats: ab · ac = ab + c
ab : ac = ab – c
• ARREL QUADRADA
= b ↔ b2 = a
Per exemple:
= 7 ↔ 72 = 49√49
√a
D | d 0 q
D | d r q
15 – 10 + 2 ≠ 15 – (10 + 2)
5 + 2 15 – 12
7 3
A comptar cubets!
Aquest cub, com veus, l’hem construït amb molts cubets més petits.
Si el pintem per fora, quants cubets queden per dins sense que hi hagi tocat la pintura?
Quants tindran una sola cara pintada?
31
Veri tat o ment ida?
√√22 √√22 √√22 √√22 ×× 22 == 22
