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演習問題へのコメント 1) 問題（１） 導体球の電場を求める．

導体内は同一電位というのを学習していなかったので

混乱した人がいたよう．

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演習問題解答へのコメント (続)

２） ガイガーミュラー計数管は芯線の作る電場を使う．

線電荷の作る電場なのに点電荷の式を使った人が多い．

３）大体できている

４）ガウスの法則の応用例．

立体角は視線方向に垂直な面積を距離の2乗で割った値

他がだめでも3)が何とかできていれば

かなりガウスの法則の理解に

近づいている．もう一踏ん張り

角度b

3

物理学序論２ （電磁気学入門）

第５講 151030

静電エネルギー・コンデンサー

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導体表面上の電荷が受ける力（張力）は、単位面積あたり f = s2/(2e0)

証明： 電場を微小面積 dS とそれ以外 Sother の寄与に分けて考える。 ノート： F=qE のとき，E に q の作る電場は含まれない． ( ただし，これは静電場で正しい．時間的変化のあるダイナミックスを考えるときは

q の作る電場が持つエネルギーが消費されるので，外場だけを考えることは誤りとなる．)

微小面積 dS の電荷が作る電場は、周辺付近以外では無限平面近似が成り立つ。

すなわち dS の作る電場は上下方向対称で

導体内部では電場が存在しないはずなので、微小面積より外側の外部電荷が作る電場が相殺しているのであろうと推察できる。とすれば外側電荷の作る電場は、

導体内で E = s/2e0 のはず。連続性から導体外でも E = s/2e0 のはず.

微小面積電荷の受ける力は外側電場によるものであり、

外側電場は E = s/2e0であるから、単位面積に働く力は f = s2/(2e0) となる，

導体３

(導体外で)

導体内では 0

コンデンサーとは電気を蓄えることができる物体 ．

2組の導体に正負の電気を与え，電場を容器内に閉じ込めたもの

蓄えられる電気量 Qは2つの電極の電位差 V に比例する．

比例係数 C を電気容量という． Q=CV

単位はファラッド : 1[F]=1[C]/1[V]

平行平板キャパシター

面積 S 間隔 d

電場は極板の間で一定

電気容量Cはキャパシターの形状，電極間に挿入した物質の性質（比誘電率） のみに依存する．[容量は k 倍になる(後述)]

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ノート： 上の式から真空の誘電率の単位は， e0 = 8.85ｘ10-12[F/m]=8.85 [pF/m] とも書ける．

工学の分野で 多用される．

蓄電器(コンデンサー， 英語はキャパシター） ・

無限大平面近似

エッジ効果は無視

コンデンサー (capacitor) 電気エネルギーを蓄える。

種々のコンデンサー

市販の3つのタイプ

(a) チューブラー

(b) 絶縁性油で平行板を絶縁した

高電圧コンデンサー

(c) 電解コンデンサー(低圧高容量)

静電気の研究において，人体はしばしば、

~10pFのコンデンサと~1MΩの抵抗を

並列に接続したものとしてモデル化される。

コンデンサーの容量は間に挟む物質の

誘電率に比例して大きくなる （後述）

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コンデンサー マイクや

イヤホンとスピーカー

タッチパネル

コックロフト-ワルトン

高電圧発生装置

最高~200万V迄可能

コンデンサー応用例02:

2011.11.11 物理学２A-01 8

内球に電荷Qをおく．

電場は

ポテンシャルは

電位差は

容量は

b 無限大とすれば，単独の導体球の容量が求められる ,

球形キャパシター ガウス面を同心で半径 r の球とすると

ガウスの法則 ∫EndS= Q/e0 を適用して

電場を得る．

+Q

+Q - Q

単位長さあたり l ，全体で Q=lL の電荷を内筒表面におく ．

電場： a,b << L であれば円筒軸方向に無限に一様であると近似できる．

対称性から電場の軸方向の成分は無い

ガウスの法則から，（点線円筒をガウス面にとる）

電位は

電位差は

容量は

2011.11.11 物理学２A-01 9

円筒形キャパシター エッジ効果は無視する（通常の近似)

ただし，使った近似は必ず明記する

2011.11.11 物理学２A-01 10

静電場の持つエネルギー (復習)。

コンデンサーの持つエネルギー

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コンデンサーの持つエネルギー: 別法

2枚の導体極板の負側(陰極)から，正の電荷を少しずつ正の極板(陽極)に持ってゆけば

陽極の電位が少しずつ上がり，やがては電位差 V = f+ - f- に到達する．

電位差 V’= q/C のとき，微小電荷 dq を陰極から陽極に運ぶ仕事 dWは

dW= V’dq= qdq/C

最終的にキャパシターの全電荷を Q にするために必要な仕事は

これがポテンシャルエネルギーとしてキャパシターに蓄えられる．

-----------------------------------------------------------------------------------------

ここで，同じ Q, 同じ電場 E で，間隔 d を2倍にしてみると体積は2倍になる．

このとき C = e0S/d x ½, V=Ed x 2, U = CV 2 x 2 になる

体積が2倍になるとエネルギーが2倍になるということは，エネルギーは

電荷が持つのではなく電場が持つと考えるべきことを示唆する．

電場の持つエネルギー密度:

この関係はコンデンサーで導いたが，一般的に成り立つ．

静電場では，電荷 Q がエネルギーを持つと考えても不都合はない．

しかし，時間変動する場合は，電場が持つと考えないと矛盾をきたす．

例： 電磁波は振動し移動する電場であり，エネルギーを運ぶ物理的実体である．

キャパシターの充電 (charge) と放電 (discharge) 。

瞬時にエネルギーを放出する例。

AED (Automated External Defibrillator

= 自動体外式除細動器)

電気ショックを与えて心室細動(微弱な脈)を正常に戻す．

電圧1200~2000V, 電流 30~50 A，

総エネルギー U=IV D tで時間は~15ms, ~200 ジュール

バナナを弾丸が突き抜ける

ストロボ写真

充電

放電

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半径 a の導体球が作る電場の持つ全エネルギーの計算：

半径 a の導体球の容量は，C = 4pe0a,

電荷 Q を与えれば，エネルギー U = Q2/2C = = Q2/(8pe0a),を持つ．

電場にエネルギーがあると考えて，空間全体の電場が持つ全エネルギー

を計算すると

注意： 点電荷の場合、何もないところに無限遠から電荷を持ってくるのに必要なエネルギー

はゼロであるとしたが，ここでの結論（a 0で無限大）と矛盾する。 点電荷といえども電場を

作るからエネルギーはゼロではあり得ない．実は，点電荷の持つエネルギーを計算すると，どんなやり方をしても無限大となってしまう。

これは点電荷という実際上はあり得ない想定をすることから発生する論理上の矛盾点である。

現実の世界では、半径 r が小さいところでは古典電磁気学が破綻し、量子力学で処理

しなければならない。電子の場合，通常は上記の方法で計算したエネルギーが,

電子の持つ質量エネルギー (E = mec2) を越えてはならないと要請する．

このとき，古典電子半径（ = e2/4pe0mec2 = 2.82 x 10-15m）のサイズ以下では、

量子論的取り扱いが必要とされる。

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電荷密度が一様な半径 a の球の持つエネルギー

別の方法を使って計算するやり方 演習問題

2011.11.11 物理学２A-01 15

多数のコンデンサーを組み合わせて性能を上げる．

並列接続： 各キャパシターにかかる電圧は同じ

Q = q1+ q2+ q3 = C1V + C2V + C3V = CV

C = C1+ C2+ C3

直列接続： 各キャパシターの蓄える電荷は同じ

V = V1+ V2+ V3 = q/C1+ q/C2+ q/C3=q/C

1/C = 1/C1+ 1/C2+ 1/C3

並列接続 容量を増加できる

(2極間に誘電体を入れても可)

直列接続 耐電圧を上げられる

コンデンサーの接続

合成容量はどれだけか？

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合成コンデンサーの容量： 別の見方

電位は変わるか？

エネルギーは変わるか？

2012.10.12 物理学２A-01 17

誘電体： 電気的に中性の絶縁体。 ただし、

電場の中に置くと、正負の電荷が分離する（誘電分極）。

分極電荷の作る電場が外場と逆に働き

誘電体の中の電場は外場より弱くなる． E ≡ E0 /k

この k を比誘電率， e = e0k を誘電率といい，物質に特有な性質である．

マクスウェルの方程式は，e0 e に変わるのみであるが

物質の電気的な性質は，全てこの誘電率(と透磁率 m :後述)に集約される．

例：水は電気双極子を持つ。比誘電率 ～80

コンデンサーの容量 ∝ e

チタン酸バリウム（セラミック) ~5000

(k : ギリシャ文字カッパ )

2011.11.11 物理学２A-01 19

(a)

(b)

誘導電荷により誘電体の中の

電場 E は元の E0 より小さくなる

比誘電率 k = E0/E

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定義

物質中のガウスの法則

物質(誘電体)中におけるガウスの法則

誘電体が電場の中にあると，分極電荷により

物質の中での電場 E が，元の電場 E0 より弱くなる．

E ≡ E0/k, D ≡ e0kE ≡ e E ,

k : 比誘電率, e ≡ e0k ：誘電率， D : 電束密度 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

右上図のように面積 A の平行導体板に，電荷 ±q

を置き，そのときの電場を E0 とする．

ガウス面を図のようにとればガウスの法則により

が成り立つ．誘電体が存在する場合(右下図)は，

ここに． q’ は誘電分極電荷である．両式を比較して

したがって

ガウスの発散定理を使えば，

を得る． -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

この式は平行板キャパシターで行ったが一般に成立する

積分型

微分型

定義

(側面と導体内の En=0)

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● 間に誘電体を挟むと電気容量は k 倍になる. (右上図) 証明：電位差を計算すると

● 間に2種以上の物質がある場合 (右中図)：

コンデンサーの直列接続とみなす．

● 教科書 p91の例では (右下図)

を入れて数値を代入すると，

（誘電体中）

物質中のマクスウェル方程式

形式的には、真空の方程式から e0 → e, m0 → m の置き換えで得られる.

しかし、この変形に物質の性質の全てが込められている。

物性の理解には、 e と m の使い方をマスターする必要がある。