Upload
tranlien
View
221
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1. Experimentos
Experimento determinístico: são
aqueles em que o resultados são os
mesmos, qualquer que seja o número
de ocorrência dos mesmos.
Exemplo:
Um determinado sólido a uma certa
temperatura passará para o estado
líquido.
Experimento aleatório: qualquer
experimento cujo resultado depende
exclusivamente do acaso.
Exemplos:
Lançar uma moeda e observar as sequências decaras e coroas.
Lançar um dado e observar o número da face decima.
Lançar duas moedas e observar a sequência de carase coroas obtidas.
De um lote de 80 peças boas e 20 defeituosas, selecionar10 peças e observar o número de peças defeituosas.
2. Espaço amostral de um experimento aleatório
É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório.
Exemplos:
a) Lançar uma moeda e observar a face de cima.
E = {k, c}, c = cara e k = coroa
b) Lançar um dado e observar a face de cima.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
c) De uma urna contendo 3 bolas vermelhas (V),
2 brancas (B) e 5 bolas azuis (A), extrair uma
bola e observar a sua cor.
E = { V, B, A}
d) Lançar uma moeda duas vezes e observar asequência de caras e coroas.
E = { (k, k), (k,c), (c, k), (c, c) }
e) Lançar uma moeda duas vezes e observar o
número de caras.
E = { 0, 1, 2}
TREINAMENTO DE SALA
1) Dê o espaço amostral para cada experimento abaixo.
a) Uma letra escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE.
E = {P, R, O, B, A, I, L, D, E}
b) Uma urna contém 5 bolas vermelhas (V) e 2 brancas (B). Duas bolassão extraídas, sem reposição, e observadas suas cores, na sequênciaem que foram extraídas.
E = {(V, V), (V, B), (B, V), (B, B)}
c) Entre 5 pessoas A, B, C, D, E, duas pessoas são escolhidas paraformarem uma comissão. Observam-se os elementos dessa comissão.
E = {(A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (B, C), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E)}
3. Evento de um espaço amostral
É qualquer subconjunto de um espaço
amostral.
a) Um dado é lançado e observa-se o número
da face de cima.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A: ocorrência de um número ímpar.
A = {1, 3, 5 }
B: Ocorrência de um número primo.
B = {2, 3, 5 }
C: Ocorrência de um número menor que 4.
C = {1, 2, 3 }
D: Ocorrência de um número menor que 7.
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
E: Ocorrência de um número maior ou igual a 7.
E =
F: Ocorrência de um número par e primo.
F = { 2 }
Atenção!
O evento D é o próprio espaço amostral (D = E),
dizemos que é EVENTO CERTO.
O evento E (E = ) é chamado de EVENTO
IMPOSSÍVEL.
O evento F ( F = { 2 } ) é um conjunto unitário,
dizemos que é um EVENTO SIMPLES ou
ELEMENTAR.
TREINAMENTO DE SALA
1) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Uma bolinha é
escolhida e observado seu número. Seja E = {1, 2, 3, ..., 30}. Descreva os
eventos:
a) o número obtido é primo.
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
b) o número não é múltiplo de 6.
{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27,
28, 29}
c) O número é múltiplo de 2 e de 5.
{10, 20, 30}
d) O número é múltiplo de 3 ou de 8.
{3, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30}
2) Uma moeda e um dado são lançados. Seja:
E = {(k,1); (k,2); (k,3); (k,4); (k,5); (k,6); (c,1); (c,2); (c,3); (c,4); (c,5);
(c,6)}
Descreva os eventos:
a) B: ocorre número par.
{ (k, 2); (k, 4); (k, 6); (c, 2); (c, 4); (c, 6) }
b) C: ocorrência do número 3.
{ (k, 3), (c, 3) }
B ∩ C
4. Espaço amostral equiprovávelExemplo: Uma moeda é lançada várias vezes. Astabelas seguintes mostram as frequências de cadaface nos lançamentos.
Em vinte lançamentos:
FACE FREQUÊNCIA
C 12
K 8
Em cinquenta lançamentos:
FACE FREQUÊNCIA
C 23
K 27
Em cem lançamentos:
FACE FREQUÊNCIA
C 49
K 51
Se aumentarmos indefinidamente o número de lançamentos,as frequências tenderão a um mesmo número. Por issodizemos que o espaço amostral E = { c, k } é equiprovável.
Generalizando, temos que:
Um espaço amostral E = {a1, a2, a3, ... , an} de umexperimento aleatório é equiprovável se, e somentese, as frequências dos elementos tendem a ummesmo valor quando o número de vezes que oexperimento é realizado tende ao infinito.
5. Probabilidade
Seja e um espaço amostral finito e não-
vazio; e seja A um evento desse espaço
amostral. Chama-se probabilidade de A, e
indica-se por P(A), o número , onde
n(A) e n(E) indicam os números de
elementos de A e E, respectivamente. Isto é:
( )
( )
n A
n E
( )( )
( )
n AP A
n E
TREINAMENTO DE SALA
1) No lançamento de um dado qual é a probabilidade de se
obter, na face voltada para cima um número de pontos
menor que 3?
⅓ ou 33,333...%
2) No lançamento de duas moedas, qual é a probabilidade de
se obter nas faces voltadas para cima, pelo menos uma
cara?
¾ ou 75%
3) Sorteando-se um anagrama da palavra TESOURA, qual é
a probabilidade de se obter um anagrama que comece e
termine por vogal?
2/7 ou 28,57%
4) De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao
acaso. Qual a probabilidade de cada um dos eventos
abaixo?
a) Ocorre dama de copas.
1/52 ou 1,92%
b) Ocorre dama.
1/13 ou 7,69%
c) Ocorre carta de naipe paus.
¼ ou 25%
d) Ocorre dama ou rei ou valete.
3/13 ou 23,07%
6. Eventos complementares
Seja E o espaço amostral de um
experimento aleatório e seja A um evento de
E. Chama-se evento complementar de A,
que se indica por , o evento que satisfaz
as seguintes condições:
A
A A E
A A
Exemplos:
a) No lançamento de um dado, considere o evento A
formado pelos resultados menores do que 3. O
complementar de A é formado por todos os
resultados maiores ou iguais a 3.
A = {1, 2}
3,4,5,6A
b) No lançamento de duas moedas, considere o
evento A = {(c, c), (k, k)}. O complementar de A é o
evento . , , ,A c k k c
7. Propriedades das probabilidades
Sendo E um espaço amostral finito e não-vazio e
sendo A um evento de E, tem-se que:
I) P( ) = 0
II) P(E) = 1
III) 0 ( ) 1P A
IV) e ( ) 1P A P A ( ( ) 1 ( ))P A P A
TREINAMENTO DE SALA
1) Uma urna contém exatamente dez etiquetas, numeradas de 1 a 10.
Retira-se uma etiqueta da urna. Qual é a probabilidade de se obter:
a) A: um número maior que 10?
P(A) = 0 ou P(A) = 0%
b) B: um número menor que 11?
P(B) = 1 ou P(B) = 100%
2) Uma urna contém apenas bolas vermelhas, azuis, brancas e pretas.Retira-se ao acaso uma bola da urna. A probabilidade de sair uma bolavermelha é 5/17. Qual a probabilidade de sair uma bola que não sejavermelha?
12/17 ou 70,58%
8. Probabilidade da união de dois eventos (adição de probabilidades)
Seja E um espaço amostral finito e não-vazio. Para
quaisquer eventos A e B de E, tem-se que:
P(A U B) = P(A) U P(B) – P(A ∩ B)
Atenção!
Se A ∩ B = , os eventos A e B são chamados de
mutuamente exclusivos.
Exemplos:
a) Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a10. Uma
bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de seu
número ser par ou maior que 4?
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A : número par
n(E) = 10
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B: número maior que 4 B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
n(A) = 5
n(B) = 6
A ∩ B: número par e maior que 4 A ∩ B = {6, 8, 10} n(A ∩ B) = 3
P(A U B) = P(A) U P(B) – P(A ∩ B)
P(A U B) =5 6 3
10 10 10
P(A U B) =8 4
80%10 5
Considerando a mesma situação anterior, vejamos qual a probabilidade
de a bola retirada ser um número primo ou maior que 8.
n(E) = 10
A: número primo A = {2, 3, 5, 7} n(A) = 4
B: número maior que 8 B = {9, 10} n(B) = 2
A ∩ B = n(A ∩ B) = 0
P(A U B) = P(A) + P(B)
P(A U B) = 4 2
10 10
P(A U B) = 6 3
60%10 5
TREINAMENTO DE SALA
1) Numa caixa estão 8 peças com pequenos defeitos, 12 com grandes defeitos
e 15 perfeitas. Uma peça é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de que
esta seja perfeita ou tenha pequenos defeitos?
n(E) = 8 + 12 + 15 = 35
A: peças perfeitas n(A) = 15
B: peças com pequenos defeitos n(B) = 8
A ∩ B =
P(A U B) = P(A) + P(B)
P(A U B) =15 8 23
35 35 35
P(A U B) = 65,71%
2) Qual a probabilidade de , no lançamento simultâneo de dois dados, a
soma ser 6 ou sair a mesma face nos dois dados?
n(E) = 6 . 6 = 36
A = {(1, 5); (2, 4); (3, 3); (4, 2); (5, 1)} n(A) = 5
B = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5); (6, 6)} n(B) = 6
A ∩ B = {(3, 3)} n(A ∩ B) = 1
P(A U B) = P(A) U P(B) – P(A ∩ B)
P(A U B) =5 6 1 10 5
36 36 36 36 18
P(A U B) = 27,77%
9. Probabilidade condicional
Chama-se probabilidade condicional de um evento B
a probabilidade de esse evento ocorrer considerando-se
que já ocorreu um evento A.
P(B/A) = ( )
n A B
n A
Atenção!
•P(B/A): lê-se “probabilidade de B, dado A”.
•Se A e B forem mutuamente exclusivos, então P(B/A) = 0.
Exemplo:
Numa urna temos 100 bolas numeradas de 1 a 100. Sabe-se que a bola
sorteada é par. Vamos calcular a probabilidade de ser um múltiplo de 10.
Número é par : n(A) = 50
Número é múltiplo de 10: n(B) = 10
Número é par e múltiplo de 10: n(A ∩ B) = 10
P(B/A) =
10
1100 20%50 5
100
10. Multiplicação de Probabilidades
Chamamos de eventos independentes os eventos
cuja probabilidade de ocorrer um deles não depende de
ter ou não ocorrido o outro.
P(B/A) = P(B) ou P(A/B) = P(A)
Eventos Independentes
Exemplo:
Uma moeda é lançada duas vezes. Vamos calcular a
probabilidade de:
a) obtermos cara no segundo lançamento.
E = {(c, c); (c, k); (k, c), (k, k)} n(E) = 4
A = {(c, c); (k, c)} n(A) = 2
P(A) = 2 150%
4 2
( )
( )
n A
n E
b) Obtermos cara no segundo lançamento, sabendo que
obtivemos cara no primeiro lançamento.
Cara no primeiro lançamento(B) B = {(c, c); (c, k)}
Cara no segundo lançamento(A) A = {(c, c); (k, c)}
( ) 1( / )
( ) 2
n A BP A B
n B
Como sabemos que ocorreu o evento B, temos que o evento A
só pode ter ocorrido na intersecção de A e B:
Observando as respostas dos itens a e b, temos que P(A/B) = P(A) = ½
Por isso, dizemos que os eventos A e B são eventos
independentes.
A ∩ B = {(c, c)} n(A ∩ B) = 1
Produto de probabilidades
Vimos que:
( )( / )
( )
n A BP B A
n A
Dividindo o numerador e o denominador da fração por
n(E), temos que:
( )
( )( )( / ) ( / )
( ) ( )
( )
n A B
P A Bn EP B A P B A
n A P A
n E
Portanto:
( ) ( ) ( / )P A B P A P B A
Atenção!
Se A e B forem eventos independentes, então:
( ) ( ) ( )P A B P A P B
Exemplo:
Uma urna contém precisamente sete bolas: 4 azuis e 3
vermelhas. Retira-se ao acaso, um bola da urna,
registra-se sua cor e repõe-se a bola na urna. A seguir,
retira-se novamente uma bola da urna e registra-se sua
cor. Calcular a probabilidade de:
a) Sair uma bola azul e depois outra vermelha.