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La experimentación es útil porque si se supone que llevamos a cabo ciertos experimentos bajo condiciones esencialmente idénticas se llegará a los mismos resultados. En estas circunstancias, se tiene la capacidad de controlar el valor de las variables que afectan el resultado del experimento Sin embargo, en algunos experimentos, no somos capaces de indagar o controlar el valor de determinadas variables, de manera que el resultado cambiará de un experimento a otro, a pesar de que a mayoría de las condiciones son las mismas. Estos experimentos se describen como aleatorios. 1. Experimentos aleatorios

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  • La experimentacin es til porque si se supone que llevamos a cabo ciertos experimentos bajo condiciones

    esencialmente idnticas se llegar a los mismos

    resultados. En estas circunstancias, se tiene la

    capacidad de controlar el valor de las variables que

    afectan el resultado del experimento

    Sin embargo, en algunos experimentos, no somos capaces de indagar o controlar el valor de determinadas

    variables, de manera que el resultado cambiar de un

    experimento a otro, a pesar de que a mayora de las

    condiciones son las mismas. Estos experimentos se

    describen como aleatorios.

    1. Experimentos aleatorios

  • Experimentos aleatorios

    Ejemplos

    1. Lanzar una moneda

    Resultado: sello (S) o cara (C), es decir elementos de

    conjunto {S,C}

    2. Lanzar un dado

    Resultado: {1,2,3,4,5,6}

    3. Lanzar dos veces una moneda

    Resultado: {CC,CS,SC,SS }

    4. Si un experimento consiste en medir la vida til de focos

    producidos por una compaa, entonces el resultado del

    experimento es el tiempo t que se encuentre en algn

    intervalo, por ejemplo

    Donde suponemos que ningn foco dura ms de 4000 horas.

    40000 t

  • 2. Espacio de la muestra

    Espacio muestra:

    Un conjunto S que consta de todos los resultados

    posibles de un experimento aleatorio se llama

    espacio muestral.

    Punto muestral:

    Cada resultado de un experimento aleatorio se

    conoce como punto muestral.

  • Espacio de la muestra

    Con frecuencia habr ms de un espacio muestral

    que puede describir los resultados de

    experimento, pero generalmente habr o que

    provee la mayor informacin

    Experimento: Lanzar un dado

    1. Espacio muestral 1: {1,2,3,4,5,6}

    2. Espacio muestral 2: {par, impar}

  • Finito:

    Si tiene un nmero finito de puntos

    Un espacio muestral puede ser

    Infinito contable:

    Si tiene tantos puntos como los

    nmeros naturales 1,2,3,...,

    Infinito no contable:

    Si tiene tantos puntos como los

    nmeros en el intervalo

    10 x

    Espacio muestral

    discreto

    Espacio muestral

    no discreto

    Espacio de la muestra

  • 3. Eventos

    Un evento es un subconjunto A del espacio

    muestral S, es decir un subconjunto de resultados

    posibles.

    Si el resultado de un experimento es un elemento

    de A, entonces se dice que el evento A ocurri.

    Un evento que consta de un punto sencillo de S

    se denomina con frecuencia un evento simple o

    elemental.

  • Eventos

    Ejemplo:

    Experimento: Lanzar una moneda 2 veces

    El evento de que slo resulte una cara es el

    subconjunto del espacio muestral que consta de

    los puntos (0,1) y (1,0)

    (0,0) (1,0)

    (1,1) (0,1)

  • S el cual es el evento cierto o seguro, dado que

    un elemento de S debe ocurrir.

    El conunto vaco , que se denomina el evento

    imposible, porque un elemento de nunca

    puede ocurrir.

    Eventos

    Como eventos particulares tenemos:

  • Usando operaciones de conjunto sobre eventos en

    S, podemos obtener otros eventos en S.

    Si A y B son eventos, entonces

    4. es el evento A pero no B.

    En particular

    2. es el evento A y B .

    1. es el evento A o B o ambos. BA

    BA se denomina la interseccin de A y B.

    BABA

    ASA

    3. es el evento no A. A se denomina complemento de A

    Eventos

    A

  • B A

    Si los conjuntos que corresponden a los eventos

    A y B son disjuntos, es decir, , decimos

    que los eventos son mutuamente excluyentes.

    Eventos

    BA

    Decimos que una coleccin de eventos A1, A2, . . .A3

    es mutuamente excluyente si cada par en la

    coleccin es mutuamente excluyente.

  • Eventos

    Experimento: Lanzar dos veces una moneda

    A es el evento al menos ocurre una cara y

    B el evento el segundo lanzamiento es un sello.

    A={CS, SC, CC} B={CS, SS}

    SSSCCSCCSAUB },,,{ }{CSBA

    }{' SSA },{ CCCSBA

    Ejemplo

  • 4. Concepto de Probabilidad

    En cualquier experimento aleatorio hay siempre

    incertidumbre sobre si ocurrir un evento en

    particular.

    Como medida de la oportunidad o probabilidad,

    con que esperamos que ocurra cierto evento, es

    conveniente asignar un nmero entre 0 y 1.

    Si estamos seguros que tal evento ocurrir

    decimos que tiene 100% de probabilidad o 1, pero

    si estamos seguros que el evento no ocurrir

    decimos que su probabilidad es cero.

  • Concepto de Probabilidad

    Clculo de la probabilidad de un evento.

    1. Enfoque clsico

    Si un evento puede ocurrir en h maneras

    diferentes de un nmero total de n maneras

    posibles, todos ellos son igualmente posibles.

    La probabilidad de un evento es h/n

    2. Enfoque frecuentista

    Si despus de n repeticiones de un experimento,

    donde n es muy grande, se observa que un evento

    ocurre h veces entonces.

    La probabilidad de un evento es h/n

  • Tanto el enfoque clsico como el enfoque

    frecuentista presentan serios inconvenientes.

    Las frases

    Igualmente posibles

    Nmero grande

    son vagas.

    Debido a estos los matemticos se han regido

    por el enfoque axiomtico de la probabilidad

    Concepto de Probabilidad

  • Supongamos que se tiene un espacio muestral S.

    Para cada evento A en la clase C de eventos,

    asociamos un nmero real P(A).

    P se denomina la funcin de probabilidad

    P(A) se denomina la probabilidad del evento A, si

    se cumplen los siguientes axiomas:

    Concepto de Probabilidad

    Axiomas de probabilidad

  • Concepto de Probabilidad

    Axiomas de probabilidad

    Axioma 1. Para cada evento A en la clase C,

    0)(AP

    Axioma 2. Para el evento cierto o seguro S en la

    clase C,

    1)(SP

    Axioma 3. Para cualquier nmero de eventos

    mutuamente excluyentes A1, A2, ... en la

    clase C,

    )()()( 2121 APAPAAP

  • 5. Asignacin de Probabilidades

    Si un espacio muestral S consta de un nmero

    finito de resultados a1, a2,...,an, entonces

    (1)

    1)()()( 21 nAPAPAP

  • Si se supone que existen probabilidades iguales

    para todos los eventos sencillos, entonces

    y si A es un evento cualquiera compuesto de h

    eventos sencillos, tenemos

    Asignacin de probabilidades

    nkn

    hAP k ,,2,1 )(

    )(n

    hAP

  • 6. Teoremas de Probabilidad

    Teorema 1: Si es el conjunto vaco, entonces

    0)(P

    Teorema 2: )(1)'( APAP

    Teorema 3: )()()()( BAPBPAPBAP

  • Teorema 6: Si entonces

    Teoremas de probabilidad

    Teorema 5: Si , donde

    son eventos mutuamente excluyentes, entonces

    )()(

    )()()()()()(

    CBAPCBP

    CAPBAPCPBPAPCBAP

    nAAAA 21 nAAA ,,, 21

    )()()()( 21 nAPAPAPAP

    BA )()( BPAP

    Teorema 4:

  • Sean A y B dos eventos tal que

    Probabilidad condicional

    Es la probabilidad de que ocurra B dado que ocurri A.

    Puesto que se sabe que A ocurri, ste se convierte en

    el nuevo espacio muestral reemplazando al original S.

    7. Probabilidad condicional

    0)(AP

    )( ABP

    )(

    )()(

    AP

    BAPABP

  • 8. Teoremas de probabilidad

    condicional

    )()()( 2121 BAPBAPBAAP

    1)( BSP

    1)(0 BAP1.

    2.

    3.

    La probabilidad condicional satisface las

    propiedades correspondientes a probabilidades

  • Si , es decir que la probabilidad de

    que ocurra B no est afectada por la ocurrencia o no

    de A, entonces se dice que A y B son eventos

    independientes. Esto equivale a

    (2)

    Inversamente si se cumple (2), entonces A y B son

    eventos independientes.

    9. Eventos independientes

    )()( BPABP

    )()()( BPAPBAP

  • 10. Anlisis combinatorio

    Cuando no es posible realizar el conteo directo para

    obtener las probabilidades, el uso del anlisis

    combinatorio puede ser til.

    Si los conjuntos tienen respectivamente,

    n1,n2,...,nk elementos, entonces existen

    formas de seleccionar primero un elemento de A1,

    seleccionar despus un elemento de A2 ... y

    finalmente seleccionar un elemento de Ak.

    kAAA ,, 21

    knnn 21

  • Anlisis combinatorio

    En experimentos simples, puede resultar til un

    diagrama de rbol en la enumeracin de un espacio

    de muestreo.

    Ejemplo:

    Exp: Lanzar tres veces una

    moneda.

    El conjunto de posibles

    resultados pudo haberse

    obtenido siguiendo todos los

    recorridos en el siguiente

    diagrama de rbol.

    C

    S C

    S

    S

    S

    C

    C

    C

    C

    S

    S

    C

    S

    Diagramas de rbol

  • Principio de multiplicacin

    Anlisis combinatorio

    Si los conjuntos tienen respectivamente,

    elementos, entonces existen

    formas de seleccionar primero un elemento de A1,

    seleccionar despus un elemento de A2 ... y

    finalmente seleccionar un elemento de Ak.

    kAAA ,, 21

    knnn 21

    knnn ,,, 21

  • Anlisis combinatorio

    Permutaciones

    Suponga que existen n objetos diferentes y se quieren

    ordenar r de estos objetos en lnea.

    Puesto que existen n maneras de escoger el primer

    objetos, n-1 maneras de escoger el segundo

    objetos,..., y finalmente n-r+1 maneras de escoger el

    r-simo elemento, a partir del principio multiplicativo,

    se deduce que el nmero de arreglos diferentes o

    permutaciones, est dado por

    Donde se observa que el producto tiene r factores.

    )1()2()1( rnnnnPrn 11.1

  • Anlisis combinatorio

    Permutaciones

    En el caso particular donde r=n, se obtiene:

    el cual se llama n factorial.

    La ecuacin 11.1 se puede escribir en trminos de

    factorial como

    Por la ecuacin 11.2, si r=n entonces 0!=1, lo cual se

    tomar como definicin.

    !1)2()1( nnnnPrn

    )!(

    !

    rn

    nPrn

  • Anlisis combinatorio

    Permutaciones

    Suponga que un conjunto consta de n objetos de los

    cuales n1 son de un tipo (es decir que no se pueden

    distinguir entre si), n2 son de otro tipo,, nk son de un

    k-simo tipo, tal que n=n1+n2++nk.

    Entonces el nmero de permutaciones diferentes del

    objeto es

    !!!

    !

    21 k

    rnnnn

    nP

  • Ejemplo:

    El nmero de permutaciones de 11 letras de la

    palabra MISSISSIPPI, las cuales constan de 1 M, 4 I,

    4 S y 2 P, es

    34650!2!4!4!1

    !11

    Anlisis combinatorio

    Permutaciones

  • Anlisis combinatorio

    Combinaciones

    En una permutacin nos interesa el orden de los

    objetos. Por ejemplo abc es una permutacin

    diferente de bca.

    Sin embargo en muchos problemas slo es de inters

    la seleccin de los objetos sin tener en cuenta el

    orden

    Este tipo de selecciones reciben el nombre de

    combinaciones.

    Por ejemplo abc y bca son la misma combinacin.

  • Anlisis combinatorio

    Combinaciones

    El nmero total de combinaciones de r objetos

    seleccionados entre n se denota por

    La cual tambin puede escribirse como

    Es fcil mostrar que

    )!rn(!r

    !nCrn

    !r

    PC rnrn

    rnnrn CC

    n

    r ( )

  • Anlisis combinatorio

    Coeficientes binomiales

    Los nmeros con frecuencia se llaman

    coeficientes binomiales porque provienen de la

    expansin binomial

    n

    r ( )

    (x+y)n = xn + xn-1y + xn-2y2 ++ yn

    ( ) n 1 ( ) n

    2 ( ) n

    n

    Ejemplo:

    (x+y)4 = x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4

    ( ) 4 1 ( ) 4

    2 ( ) 4

    3 ( ) 4

    4

    4322344 464 yxyyxyxx)yx(

  • Suponga que son eventos mutuamente

    excluyentes cuya unin es el espacio muestral S, es

    decir que debe de ocurrir uno de los eventos.

    Si A es un evento cualquiera entonces

    11. Teorema de Bayes

    nAAA ,, 21

    n

    j

    jj

    kk

    k

    AAPAP

    AAPAPAAP

    1

    )()(

    )()()(

    Teorema

  • 1. Variables aleatorias

    Supongamos que a cada punto

    del espacio muestral le

    asignamos un nmero real.

    Entonces se tiene definida una

    funcin en este espacio

    muestral.

    S X

    Variable

    Aleatoria o

    Estocstica

    O ms precisamente

    Funcin

    Aleatoria o

    Estocstica

    Esta funcin recibe el nombre de

    Y usualmente se denota con

    una letra mayscula como X o

    Y

    R x

  • Variables aleatorias

    Ejemplo:

    Exp. Lanzar una moneda dos veces al aire.

    Espacio muestral S={CC, SS,SC,SS}

    Definir la variable aleatoria X que describa el nmero

    de caras que pueden salir

    Punto muestral CC CS SC SS

    X 2 1 1 0

    Se debe observar que muchas otras variables aleatorias pueden definirse en este mismo espacio muestral.

  • Una variable aleatoria que toma un nmero

    finito o contable infinito de valores se llama

    variable aleatoria discreta

    Una variable aleatoria que toma un nmero

    de valores infinito no contable se llama

    variable aleatoria no discreta

    Variables aleatorias

  • ,,x,x,x 321

    2. Distribuciones de

    probabilidad discreta

    Sea X una variable aleatoria

    discreta, y supongamos que

    los posibles valores que sta

    puede asumir estn dados por

    ,,k

    )x(f)xX(P k

    21

    S X

    x1

    x2 x3

    Supongamos tambin que

    estos valores se asumen con

    probabilidades dadas por

    f(x) se denomina

    Funcin de probabilidad o

    Distribucin de probabilidad

    Donde

    kxx)x(f 0Rx

  • Distribuciones de probabilidad discreta

    En general f(x) es una funcin de probabilidad o

    distribucin de probabilidad si

    0)x(f

    1x

    )x(f

    Donde la suma en 2 toma todos los valores posibles

    de x.

    1.

    2.

    Funcin (o distribucin) de probabilidad

  • Distribuciones de probabilidad discreta

    Ejemplo:

    Encuentre la funcin de probabilidad correspondiente a

    la variable aleatoria X definida como sigue:

    Punto muestral CC CS SC SS

    X 2 1 1 0

    P(CC) = P(CS) = P(SC) = P(SS) =

    1

    4

    4

    10 )SS(P)X(P

    2

    1

    4

    1

    4

    11 )SC(P)CS(P)SCCS(P)X(P

    4

    12 )CC(P)X(P

    Entonces

    Tenemos que

    x 0 1 2

    f(x)

  • 3. Funciones de distribucin

    para variables aleatorias

    )xX(P)x(F

    La funcin de distribucin acumulada o de manera

    breve la funcin de distribucin, para una variable

    aleatoria X est definida por

    donde x es un nmero real cualquiera, es decir,

    x

  • Funciones de distribucin para variables

    aleatorias

    Propiedades de F(x)

    F(x) es una funcin no decreciente, es decir

    si yx)y(F)x(F

    ;)x(Flim;)x(Flimxx

    1 0

    1.

    2.

    3. F(x) es continua por la derecha, es decir

    x)x(F)hx(Flimh

    0

  • 4. F(x) para variables

    aleatorias discretas

    ),(x)u(f)xX(P)x(Fxu

    La funcin de distribucin para una variable aleatoria

    discreta X puede obtenerse a partir de su funcin de

    probabilidad notando que,

    donde la suma sustituye todos los valores u tomados

    por X para la cual xu

  • F(x) para variables aleatorias discretas

    Si X toma solamente un nmero finito de valores x1,

    x2,,xn, entonces la funcin de distribucin est dada

    por

    xx)x(f)x(f

    xxx)x(f)x(f

    xxx)x(f

    xx

    )x(F

    nn

    0

    1

    3221

    211

    1

  • F(x) para variables aleatorias discretas

    Ejemplo

    a) Encuentre la funcin de distribucin de la variable

    aleatoria del ejemplo anterior

    b) Elabore su grfica

  • F(x) para variables aleatorias discretas

    Observaciones:

    1. Las magnitudes de los saltos en 0, 1,2, son , , que son

    precisamente las probabilidades de f(x). Este hecho permite

    obtener la funcin de probabilidad a partir de la funcin de

    distribucin.

    2. Debido a la apariencia de la grfica calculada, sta se

    denomina con frecuencia funcin escalonada o funcin paso.

    El valor de la funcin en un entero se obtiene a partir del paso

    ms grande

    3. A medida que avanzamos de izquierda a derecha, la funcin

    de distribucin permanece igual o aumenta tomando valores

    entre 0 y 1. Debido a esto se dice que F(x) es una funcin

    montonamente creciente.

  • A partir de la observacin anterior y de las

    propiedades de la funcin de distribucin, es claro

    que la funcin de probabilidad de una variable

    aleatoria discreta puede obtenerse a partir de la

    funcin de distribucin, notando que

    )u(Flim)x(F)x(fxu

    F(x) para variables aleatorias discretas

  • 5. Variable aleatorias

    continuas

    )x(-du)u(f)xX(P)x(Fx

    Se dice que una variable aleatoria no discreta X es

    continua, si su funcin de distribucin se puede

    representar como

    donde la funcin f(x) tiene las siguientes propiedades

    0)x(f

    1dx)x(f

    1.

    2.

  • Variable aleatorias continuas

    A partir de lo anterior se deduce que si X es una

    variable aleatoria continua, entonces la probabilidad

    de que X tome cualquier valor particular es cero,

    mientras que la probabilidad de intervalo de que X se

    encuentre entre dos valores diferentes por ejemplo a y

    b, est dada por

    b

    adx)x(f)bxa(P

    Cualquier funcin f(x) que satisfaga las propiedades anteriores 1 y 2 se denominar funcin de densidad.

    Las probabilidades requeridas se obtendrn a partir de la ecuacin previa

  • Variable aleatorias continuas

    La probabilidad de que X est entre est

    dada por:

    xxx y

    xx

    xduufxxXxP )()(

    xxfxxXxP )()(

    Si es pequeo, tenemos aproximadamente que: x

  • 6. Interpretaciones grficas

    Funcin de densidad f(x)

    a b x

    f(x)

    Si f(x) es la funcin de densidad de la variable

    aleatoria X, entonces:

    1. y=f(x) se puede representar por

    medio de una curva

    2. Dado que , la curva no

    puede caer por debajo del eje x

    3. El rea completa limitada por la

    curva y el eje x bebe ser igual a 1

    4. Geomtricamente la probabilidad

    de que X se encuentre entre a y b,

    se representa por el rea

    sombreada

    0)(xf

  • F(x)

    Interpretaciones grficas

    1. F(x)= puede

    ser representada por

    una curva como se

    muestra en la figura.

    2. F(x) es una funcin

    montona decreciente

    que se incrementa de

    0 a 1.

    )( xXP

    Funcin de distribucin F(x)

    x