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La experimentación es útil porque si se supone que llevamos a cabo ciertos experimentos bajo condiciones esencialmente idénticas se llegará a los mismos resultados. En estas circunstancias, se tiene la capacidad de controlar el valor de las variables que afectan el resultado del experimento Sin embargo, en algunos experimentos, no somos capaces de indagar o controlar el valor de determinadas variables, de manera que el resultado cambiará de un experimento a otro, a pesar de que a mayoría de las condiciones son las mismas. Estos experimentos se describen como aleatorios. 1. Experimentos aleatorios

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La experimentación es útil porque si se supone que

llevamos a cabo ciertos experimentos bajo condiciones

esencialmente idénticas se llegará a los mismos

resultados. En estas circunstancias, se tiene la

capacidad de controlar el valor de las variables que

afectan el resultado del experimento

Sin embargo, en algunos experimentos, no somos

capaces de indagar o controlar el valor de determinadas

variables, de manera que el resultado cambiará de un

experimento a otro, a pesar de que a mayoría de las

condiciones son las mismas. Estos experimentos se

describen como aleatorios.

1. Experimentos aleatorios

Experimentos aleatorios

Ejemplos

1. Lanzar una moneda

Resultado: sello (S) o cara (C), es decir elementos de

conjunto {S,C}

2. Lanzar un dado

Resultado: {1,2,3,4,5,6}

3. Lanzar dos veces una moneda

Resultado: {CC,CS,SC,SS }

4. Si un experimento consiste en medir la vida útil de focos

producidos por una compañía, entonces el resultado del

experimento es el tiempo t que se encuentre en algún

intervalo, por ejemplo

Donde suponemos que ningún foco dura más de 4000 horas.

40000 t

2. Espacio de la muestra

Espacio muestra:

Un conjunto S que consta de todos los resultados

posibles de un experimento aleatorio se llama

espacio muestral.

Punto muestral:

Cada resultado de un experimento aleatorio se

conoce como punto muestral.

Espacio de la muestra

Con frecuencia habrá más de un espacio muestral

que puede describir los resultados de

experimento, pero generalmente habrá o que

provee la mayor información

Experimento: Lanzar un dado

1. Espacio muestral 1: {1,2,3,4,5,6}

2. Espacio muestral 2: {par, impar}

Finito:

Si tiene un número finito de puntos

Un espacio muestral puede ser

Infinito contable:

Si tiene tantos puntos como los

números naturales 1,2,3,...,

Infinito no contable:

Si tiene tantos puntos como los

números en el intervalo

10 x

Espacio muestral

discreto

Espacio muestral

no discreto

Espacio de la muestra

3. Eventos

Un evento es un subconjunto A del espacio

muestral S, es decir un subconjunto de resultados

posibles.

Si el resultado de un experimento es un elemento

de A, entonces se dice que el evento A ocurrió.

Un evento que consta de un punto sencillo de S

se denomina con frecuencia un evento simple o

elemental.

Eventos

Ejemplo:

Experimento: Lanzar una moneda 2 veces

El evento de que sólo resulte una cara es el

subconjunto del espacio muestral que consta de

los puntos (0,1) y (1,0)

(0,0) (1,0)

(1,1) (0,1)

S el cual es el evento cierto o seguro, dado que

un elemento de S debe ocurrir.

El conunto vacío , que se denomina el evento

imposible, porque un elemento de nunca

puede ocurrir.

Eventos

Como eventos particulares tenemos:

Usando operaciones de conjunto sobre eventos en

S, podemos obtener otros eventos en S.

Si A y B son eventos, entonces

4. es el evento “A pero no B”.

En particular

2. es el evento “A y B” .

1. es el evento “A o B o ambos”. BA

BA se denomina la intersección de A y B.

´BABA

ASA

3. es el evento “no A”. A’ se denomina complemento de A

Eventos

´A

B A

Si los conjuntos que corresponden a los eventos

A y B son disjuntos, es decir, , decimos

que los eventos son mutuamente excluyentes.

Eventos

BA

Decimos que una colección de eventos A1, A2, . . .A3

es mutuamente excluyente si cada par en la

colección es mutuamente excluyente.

Eventos

Experimento: Lanzar dos veces una moneda

A es el evento “al menos ocurre una cara” y

B el evento “el segundo lanzamiento es un sello”.

A={CS, SC, CC} B={CS, SS}

SSSCCSCCSAUB },,,{ }{CSBA

}{' SSA },{ CCCSBA

Ejemplo

4. Concepto de Probabilidad

En cualquier experimento aleatorio hay siempre

incertidumbre sobre si ocurrirá un evento en

particular.

Como medida de la oportunidad o probabilidad,

con que esperamos que ocurra cierto evento, es

conveniente asignar un número entre 0 y 1.

Si estamos seguros que tal evento ocurrirá

decimos que tiene 100% de probabilidad o 1, pero

si estamos seguros que el evento no ocurrirá

decimos que su probabilidad es cero.

Concepto de Probabilidad

Cálculo de la probabilidad de un evento.

1. Enfoque clásico

Si un evento puede ocurrir en h maneras

diferentes de un número total de n maneras

posibles, todos ellos son igualmente posibles.

La probabilidad de un evento es h/n

2. Enfoque frecuentista

Si después de n repeticiones de un experimento,

donde n es muy grande, se observa que un evento

ocurre h veces entonces.

La probabilidad de un evento es h/n

Tanto el enfoque clásico como el enfoque

frecuentista presentan serios inconvenientes.

Las frases

Igualmente posibles

Número grande

son vagas.

Debido a estos los matemáticos se han regido

por el enfoque axiomático de la probabilidad

Concepto de Probabilidad

Supongamos que se tiene un espacio muestral S.

Para cada evento A en la clase C de eventos,

asociamos un número real P(A).

P se denomina la función de probabilidad

P(A) se denomina la probabilidad del evento A, si

se cumplen los siguientes axiomas:

Concepto de Probabilidad

Axiomas de probabilidad

Concepto de Probabilidad

Axiomas de probabilidad

Axioma 1. Para cada evento A en la clase C,

0)(AP

Axioma 2. Para el evento cierto o seguro S en la

clase C,

1)(SP

Axioma 3. Para cualquier número de eventos

mutuamente excluyentes A1, A2, ... en la

clase C,

)()()( 2121 APAPAAP

5. Asignación de Probabilidades

Si un espacio muestral S consta de un número

finito de resultados a1, a2,...,an, entonces

(1)

1)()()( 21 nAPAPAP

Si se supone que existen probabilidades iguales

para todos los eventos sencillos, entonces

y si A es un evento cualquiera compuesto de h

eventos sencillos, tenemos

Asignación de probabilidades

nkn

hAP k ,,2,1 )(

)(n

hAP

6. Teoremas de Probabilidad

Teorema 1: Si es el conjunto vacío, entonces

0)(P

Teorema 2: )(1)'( APAP

Teorema 3: )()()()( BAPBPAPBAP

Teorema 6: Si entonces

Teoremas de probabilidad

Teorema 5: Si , donde

son eventos mutuamente excluyentes, entonces

)()(

)()()()()()(

CBAPCBP

CAPBAPCPBPAPCBAP

nAAAA 21 nAAA ,,, 21

)()()()( 21 nAPAPAPAP

BA )()( BPAP

Teorema 4:

Sean A y B dos eventos tal que

Probabilidad condicional

Es la probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A.

Puesto que se sabe que A ocurrió, éste se convierte en

el nuevo espacio muestral reemplazando al original S.

7. Probabilidad condicional

0)(AP

)( ABP

)(

)()(

AP

BAPABP

8. Teoremas de probabilidad

condicional

)()()( 2121 BAPBAPBAAP

1)( BSP

1)(0 BAP1.

2.

3.

La probabilidad condicional satisface las

propiedades correspondientes a probabilidades

Si , es decir que la probabilidad de

que ocurra B no está afectada por la ocurrencia o no

de A, entonces se dice que A y B son eventos

independientes. Esto equivale a

(2)

Inversamente si se cumple (2), entonces A y B son

eventos independientes.

9. Eventos independientes

)()( BPABP

)()()( BPAPBAP

10. Análisis combinatorio

Cuando no es posible realizar el conteo directo para

obtener las probabilidades, el uso del análisis

combinatorio puede ser útil.

Si los conjuntos tienen respectivamente,

n1,n2,...,nk elementos, entonces existen

formas de seleccionar primero un elemento de A1,

seleccionar después un elemento de A2 ... y

finalmente seleccionar un elemento de Ak.

kAAA ,, 21

knnn 21

Análisis combinatorio

En experimentos simples, puede resultar útil un

diagrama de árbol en la enumeración de un espacio

de muestreo.

Ejemplo:

Exp: Lanzar tres veces una

moneda.

El conjunto de posibles

resultados pudo haberse

obtenido siguiendo todos los

recorridos en el siguiente

diagrama de árbol.

C

S C

S

S

S

C

C

C

C

S

S

C

S

Diagramas de árbol

Principio de multiplicación

Análisis combinatorio

Si los conjuntos tienen respectivamente,

elementos, entonces existen

formas de seleccionar primero un elemento de A1,

seleccionar después un elemento de A2 ... y

finalmente seleccionar un elemento de Ak.

kAAA ,, 21

knnn 21

knnn ,,, 21

Análisis combinatorio

Permutaciones

Suponga que existen n objetos diferentes y se quieren

ordenar r de estos objetos en línea.

Puesto que existen n maneras de escoger el primer

objetos, n-1 maneras de escoger el segundo

objetos,..., y finalmente n-r+1 maneras de escoger el

r-ésimo elemento, a partir del principio multiplicativo,

se deduce que el número de arreglos diferentes o

permutaciones, está dado por

Donde se observa que el producto tiene r factores.

)1()2()1( rnnnnPrn 11.1

Análisis combinatorio

Permutaciones

En el caso particular donde r=n, se obtiene:

el cual se llama n factorial.

La ecuación 11.1 se puede escribir en términos de

factorial como

Por la ecuación 11.2, si r=n entonces 0!=1, lo cual se

tomará como definición.

!1)2()1( nnnnPrn

)!(

!

rn

nPrn

Análisis combinatorio

Permutaciones

Suponga que un conjunto consta de n objetos de los

cuales n1 son de un tipo (es decir que no se pueden

distinguir entre si), n2 son de otro tipo,…, nk son de un

k-ésimo tipo, tal que n=n1+n2+…+nk.

Entonces el número de permutaciones diferentes del

objeto es

!!!

!

21 k

rnnnn

nP

Ejemplo:

El número de permutaciones de 11 letras de la

palabra MISSISSIPPI, las cuales constan de 1 M, 4 I,

4 S y 2 P, es

34650!2!4!4!1

!11

Análisis combinatorio

Permutaciones

Análisis combinatorio

Combinaciones

En una permutación nos interesa el orden de los

objetos. Por ejemplo abc es una permutación

diferente de bca.

Sin embargo en muchos problemas sólo es de interés

la selección de los objetos sin tener en cuenta el

orden

Este tipo de selecciones reciben el nombre de

combinaciones.

Por ejemplo abc y bca son la misma combinación.

Análisis combinatorio

Combinaciones

El número total de combinaciones de r objetos

seleccionados entre n se denota por

La cual también puede escribirse como

Es fácil mostrar que

)!rn(!r

!nCrn

!r

PC rn

rn

rnnrn CC

n

r ( )

Análisis combinatorio

Coeficientes binomiales

Los números con frecuencia se llaman

coeficientes binomiales porque provienen de la

expansión binomial

n

r ( )

(x+y)n = xn + xn-1y + xn-2y2 +…+ yn

( ) n

1 ( ) n

2 ( ) n

n

Ejemplo:

(x+y)4 = x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4

( ) 4

1 ( ) 4

2 ( ) 4

3 ( ) 4

4

4322344 464 yxyyxyxx)yx(

Suponga que son eventos mutuamente

excluyentes cuya unión es el espacio muestral S, es

decir que debe de ocurrir uno de los eventos.

Si A es un evento cualquiera entonces

11. Teorema de Bayes

nAAA ,, 21

n

j

jj

kk

k

AAPAP

AAPAPAAP

1

)()(

)()()(

Teorema

1. Variables aleatorias

Supongamos que a cada punto

del espacio muestral le

asignamos un número real.

Entonces se tiene definida una

función en este espacio

muestral.

S X

Variable

Aleatoria o

Estocástica

O más precisamente

Función

Aleatoria o

Estocástica

Esta función recibe el nombre de

Y usualmente se denota con

una letra mayúscula como X o

Y

R x

Variables aleatorias

Ejemplo:

Exp. Lanzar una moneda dos veces al aire.

Espacio muestral S={CC, SS,SC,SS}

Definir la variable aleatoria X que describa el número

de caras que pueden salir

Punto muestral CC CS SC SS

X 2 1 1 0

Se debe observar que muchas otras variables aleatorias pueden definirse en este mismo espacio muestral.

Una variable aleatoria que toma un número

finito o contable infinito de valores se llama

variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria que toma un número

de valores infinito no contable se llama

variable aleatoria no discreta

Variables aleatorias

,,x,x,x 321

2. Distribuciones de

probabilidad discreta

Sea X una variable aleatoria

discreta, y supongamos que

los posibles valores que ésta

puede asumir están dados por

,,k

)x(f)xX(P k

21

S X

x1

x2 x3

Supongamos también que

estos valores se asumen con

probabilidades dadas por

f(x) se denomina

Función de probabilidad o

Distribución de probabilidad

Donde

kxx)x(f 0Rx

Distribuciones de probabilidad discreta

En general f(x) es una función de probabilidad o

distribución de probabilidad si

0)x(f

1x

)x(f

Donde la suma en 2 toma todos los valores posibles

de x.

1.

2.

Función (o distribución) de probabilidad

Distribuciones de probabilidad discreta

Ejemplo:

Encuentre la función de probabilidad correspondiente a

la variable aleatoria X definida como sigue:

Punto muestral CC CS SC SS

X 2 1 1 0

P(CC) = P(CS) = P(SC) = P(SS) =

1

4

4

10 )SS(P)X(P

2

1

4

1

4

11 )SC(P)CS(P)SCCS(P)X(P

4

12 )CC(P)X(P

Entonces

Tenemos que

x 0 1 2

f(x) ¼ ½ ¼

3. Funciones de distribución

para variables aleatorias

)xX(P)x(F

La función de distribución acumulada o de manera

breve la función de distribución, para una variable

aleatoria X está definida por

donde x es un número real cualquiera, es decir,

x

Funciones de distribución para variables

aleatorias

Propiedades de F(x)

F(x) es una función no decreciente, es decir

si yx)y(F)x(F

;)x(Flim;)x(Flimxx

1 0

1.

2.

3. F(x) es continua por la derecha, es decir

x)x(F)hx(Flimh

0

4. F(x) para variables

aleatorias discretas

),(x)u(f)xX(P)x(Fxu

La función de distribución para una variable aleatoria

discreta X puede obtenerse a partir de su función de

probabilidad notando que,

donde la suma sustituye todos los valores u tomados

por X para la cual xu

F(x) para variables aleatorias discretas

Si X toma solamente un número finito de valores x1,

x2,…,xn, entonces la función de distribución está dada

por

xx)x(f)x(f

xxx)x(f)x(f

xxx)x(f

xx

)x(F

nn

0

1

3221

211

1

F(x) para variables aleatorias discretas

Ejemplo

a) Encuentre la función de distribución de la variable

aleatoria del ejemplo anterior

b) Elabore su gráfica

F(x) para variables aleatorias discretas

Observaciones:

1. Las magnitudes de los saltos en 0, 1,2, son ¼, ½, ¼ que son

precisamente las probabilidades de f(x). Este hecho permite

obtener la función de probabilidad a partir de la función de

distribución.

2. Debido a la apariencia de la gráfica calculada, ésta se

denomina con frecuencia función escalonada o función paso.

El valor de la función en un entero se obtiene a partir del paso

más grande

3. A medida que avanzamos de izquierda a derecha, la función

de distribución permanece igual o aumenta tomando valores

entre 0 y 1. Debido a esto se dice que F(x) es una función

monótonamente creciente.

A partir de la observación anterior y de las

propiedades de la función de distribución, es claro

que la función de probabilidad de una variable

aleatoria discreta puede obtenerse a partir de la

función de distribución, notando que

)u(Flim)x(F)x(fxu

F(x) para variables aleatorias discretas

5. Variable aleatorias

continuas

)x(-du)u(f)xX(P)x(Fx

Se dice que una variable aleatoria no discreta X es

continua, si su función de distribución se puede

representar como

donde la función f(x) tiene las siguientes propiedades

0)x(f

1dx)x(f

1.

2.

Variable aleatorias continuas

A partir de lo anterior se deduce que si X es una

variable aleatoria continua, entonces la probabilidad

de que X tome cualquier valor particular es cero,

mientras que la probabilidad de intervalo de que X se

encuentre entre dos valores diferentes por ejemplo a y

b, está dada por

b

adx)x(f)bxa(P

Cualquier función f(x) que satisfaga las propiedades anteriores 1 y 2 se denominará función de densidad.

Las probabilidades requeridas se obtendrán a partir de la ecuación previa

Variable aleatorias continuas

La probabilidad de que X esté entre está

dada por:

xxx y

xx

xduufxxXxP )()(

xxfxxXxP )()(

Si es pequeño, tenemos aproximadamente que: x

6. Interpretaciones gráficas

Función de densidad f(x)

a b x

f(x)

Si f(x) es la función de densidad de la variable

aleatoria X, entonces:

1. y=f(x) se puede representar por

medio de una curva

2. Dado que , la curva no

puede caer por debajo del eje x

3. El área completa limitada por la

curva y el eje x bebe ser igual a 1

4. Geométricamente la probabilidad

de que X se encuentre entre a y b,

se representa por el área

sombreada

0)(xf

F(x)

Interpretaciones gráficas

1. F(x)= puede

ser representada por

una curva como se

muestra en la figura.

2. F(x) es una función

monótona decreciente

que se incrementa de

0 a 1.

)( xXP

Función de distribución F(x)

x