1/ faire des maths 2/ faire faire des maths 3/ regardez ce que ça donne…

Thierry Dias – octobre 2005 1

1/ faire des maths2/ faire faire des maths3/ regardez ce que ça donne…

Introit


La construction du nombre

apprentissage et difficultés


Plan général

1. Diverses conceptions de l’apprentissage

2. Repères didactiques

3. Quelques obstacles

4. Évaluer les difficultés

3. Les situations d’apprentissage


Diverses conceptions de

l'apprentissage


«tout sujet apprenant le nombre doit se poser naturellement les mêmes questions que ses inventeurs pour le comprendre»


On admet que la plupart des connaissances (savoirs et savoirs-faire) ne sont ni reçues du milieu par un organisme passif, ni-pré-programmées à la naissance de telle façon que le sujet se les appropriait nécessairement.

Ces connaissances sont construites par le sujet dans le cours de son activité.

L’apport du constructivisme


Piaget, Szeminska, 1941

sujet

milieu(d'apprentissage)

équilibreélément nouveauassimilationaccommodationorganisationéquilibration

Stades de développement=

Stades d’apprentissages



Trois opérations logiques élémentaires sont des pré-requis à la construction du nombre :- la conservation- la sériation- l'inclusion

Ceci permettant de définir les stades de développement connus :

1. le stade sensori-moteur (0 à 2 ans)

2. la période pré-opératoire (2 à 6 ou 7 ans)

3. le stade des opérations concrètes (6 ou 7 ans à 11 ou 12 ans)

4. le stade des opérations formelles (ou hypthético-déductif)



Cette notion de stades d’apprentissages induit une conception « linéaire » de la construction de connaissances sur le nombre relative à l’âge des élèves.

Le nombre est ainsi au service de la construction du réel (en le quantifiant, en le mesurant) donc dépendant de l'accumulation d'expériences du sujet.


La connaissance de la "comptine" numérique comme préalable.

L’importance de l’activité de comptage / dénombrement.

Cinq principes régissent le comptage.

Une autre approche : Gelman et Gallistel (années 80)


Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman)

1. Principe de correspondance terme à terme : à chaque unité on doit faire correspondre un mot-nombre;

Coordonner le geste à la récitation : un mot par geste, pas plus, pas moins

un

deux

trois

quatre

cinq


2. Principe de suite stable : les mots nombres doivent toujours être récités dans le même ordre;

Mémoriser une suite de mots et la restituer de la même manière dans des contextes qui peuvent varier.


1

1


3. Principe cardinal : le dernier mot nombre prononcé réfère à l’ensemble;

Accepter de conceptualiser contre une connaissance… donc de force, par répétition ou imitation

La question du combien…

1 2 3 45

5


= ?


4. Principe d’indifférence de l’ordre : les unités peuvent être comptées dans n’importe quel ordre;

L'ordre des objets à dénombrer n'a pas d'importance alors que les mots qui servent dans cette situation sont en ordre !


En revanche, l'organisation spatiale des objets dénombrés revêt une importance qui peut s'avérer fondamentale.


5. Principe d ’abstraction : toutes sortes d ’éléments peuvent être rassemblés et comptés ensemble.

2

2



La place du calcul dans la construction du nombre

Deux thèses modernes concernant le calcul :

Brissiaud : le calcul* comme accélérateur d’apprentissage du comptage, donc la nécessité de développer des compétences dès le plus jeune âge.

Gelman et bien d’autres… : le comptage doit précéder les activités de calcul (en référence aux cinq principes).

* attention, le calcul dont parle Brissiaud n’est pas l’algorithme de l’addition par sur-comptage, mais plutôt la perception d’une quantité par la somme de ses parties (voir les constellations, les livres à compter…)


Les apports de la recherche récente (neurosciences)

Des capacités numériques sont repérables chez le nourrisson dès l'âge de 6 mois : discrimination perceptive, addition et soustraction de petites quantités.

Des capacités que le petit d'homme partage avec ses semblables : singes, dauphins, oiseaux… pas de quoi pavoiser !

Les régions cérébrales concernées par le calcul et la manipulation des quantités ne sont pas toujours les mêmes (le diagnostique de la dyscalculie s'en trouve compliqué).

Rôle prépondérant du langage comme désignation dans la construction du principe de cardinalité.


Repères didactiques


Une solution au dilemme :

Le nombre outil et la problématisation…

apprendre en...


apprendre en résolvant des problèmes

Les connaissances1 du sujet se construisent à travers des actions finalisées2 c'est à dire permettant de résoudre un problème, de répondre à une question dans une situation qui a du sens pour le sujet dès le départ ou dont le sens apparaît très vite au cours de la résolution.

2 : véritables activités de recherche et pas seulement de manipulation

1 : savoir, savoir-faire, conceptions et représentations


Parmi les nombres de 0 à 999, combien de nombres contiennent le chiffre 5 ?

L’escalier ci-dessous est construit avec 15 pavés et il a cinq marches.

Quel nombre de marches aurai-je à monter si l’escalier était construit avec 120 pavés ?

1

2


apprendre en remettant en cause des connaissances antérieures:

Les connaissances ne s'entassent pas, ne s'accumulent pas. Elles ne se construisent pas de façon linéaire et continue. Leur élaboration est soumise à des ruptures.

"On placera les élèves dans des situations qui permettent de provoquer un conflit."


La monnaie de la pièce...Trois jeunes gens prennent leur petit déjeuner dans un bar. Ils doivent payer 30 euros et donnent chacun une pièce de 10 euros. La patronne, charmante, décide de leur faire une réduction de 5 euros.Le serveur prend donc 5 pièces de 1 euro, mais, ne pouvant les partager en trois il décide subrepticement de glisser 2 euros dans sa poche et donne généreusement une pièce de 1 euro à chacun des trois jeunes gens.

Finalement chacun a payé (10 - 1) euros, donc 9 euros. En ajoutant les 2 euros du serveur, on obtient ((9 x 3) + 2) euros soit 29 euros.MAIS nous avions 30 euros. Où est donc passé le dernier euro?


apprendre en dépassant ses erreurs

Identifier ses erreurs et les analyser pour pouvoir les corriger se fait grâce à la médiation de l’autre.

L'erreur est « normale »; c'est une forme de connaissance. Elle est constitutive de l’apprentissage.

C:\APPS\CyberLink\PowerDVD\PowerDVD.exe


apprendre en faisant fonctionner, en répétant

Apprendre ne se fait pas en une seule fois (ou très rarement). Apprendre c'est aussi recommencer, revenir en arrière, donc répéter, mais en comprenant ce que l'on fait et pourquoi on le fait.

"La répétition mécanique d'actes dépourvus d'intentionnalité ou de sens ne saurait être génératrice d'acquisition d'un savoir-faire réellement maîtrisé (et cela en particulier pour les enfants en difficulté)."


apprendre en communiquant avec d'autres

Apprendre ne se fait pas tout seul, mais dans un contexte d'interactions sociales.

D'où l'importance du travail en groupe dans les classes. "Les seules actions que les enfants imitent sont celles qu'ils peuvent déjà faire parfaitement bien." J.Bruner

Le contexte de ce dispositif de travail renforce le rôle essentiel de médiation de l'adulte.


apprendre en utilisant

Dans la programmation des apprentissages visant la construction du nombre, la fonction outil est à privilégier sur la fonction objet.

La formalisation du signe et la mise en évidence du concept n’a de sens qu ’après sa mise en œuvre répétée dans des contextes différents.


Quelques obstacles


numération et compréhension des bases

problèmes de chiffres : transcodage

difficultés de la numération de position

la question du zéro

documentaire : l'empire des nombres

quelques obstacles…

C:\APPS\CyberLink\PowerDVD\PowerDVD.exe


la question de la dyscalculie

DSM-IV : trouble du calcul

1. retard significatif dans les tests standardisés de mathématiques par rapport à l’âge développemental;

2. interférence avec la réussite scolaire;

3. ne s’explique pas par un déficit sensoriel

Le problème peut donc coexister avec d’autres affections.

CIM 10: trouble spécifique de l’acquisition de l'arithmétique

Altération spécifique des performances en arithmétique, non imputable exclusivement à un retard mental global ou à une scolarisation inadéquate. L'altération concerne la maîtrise des éléments de base du calcul : addition, soustraction, multiplication et division.


Quelques stratégies pour lutter contre les symptômes de la dyscalculie

Outils d'apprentissage pour l'élèvePermettre l'utilisation des doigtsPermettre la multiplication des écrits de recherchePermettre l'utilisation de l'ordinateur pour l'entraînement et l'étudeSuggérer l'utilisation de papiers spéciaux : millimétré, quadrillé…

Démarche et méthode de travailTraduire en dessin les mots d'un énoncé problématiqueFavoriser la manipulation pour expérimenterUtiliser des procédés mnémotechniques

Stratégies d'enseignementUtiliser les schémas et les graphiques pour l'explicationFavoriser les aides possibles par des pairsDiversifier les techniques de communication écrite (couleurs…)Utiliser le rythme et la musique pour enseigner certaines notions mathématiques


Évaluer les difficultés


QUOI ?connaissance de la comptine

- jusqu'où?- stabilité?- erreurs? (omissions, régularités récurrentes,...)

recours spontané au dénombrementmaîtrise du dénombrement

- synchronisation entre geste et récitation de la comptineorganisation- réponse par le dernier mot énoncé

constitution d'une collection de cardinal donné lecture des nombres successeur d'un nombre (si on ajoute un élément à une collection dénombrée, le nombre d'éléments est le nombre suivant dans la comptine).

repérer les compétences et les difficultés de chacun.


COMMENT ?

• observations au cours de différentes activités

• entretiens individuels

• observations en contexte collectif

repérer les compétences et les difficultés de chacun


Que faire des données observées :

Organiser la re-médiation


Évaluation préalable

Situations d’apprentissagesActivités conjointes

de structuration

Activités conjointes complémentaires de

re-médiation

détour

Thierry Dias, Montpellier, novembre 2001


Les principes du détourLes principes du détour

• Faire un détour prend du temps.

Évaluation préalable

Situations d’apprentissages

activités de re-médiation

détour

Thierry Dias, Montpellier, novembre 2001

• Le détour est un autre chemin.

• Le détour est accompagné.

• Le détour ramène sur le chemin principal.


Connaissance de la comptine orale

Comptine stable jusqu'à : ………………………………………………………………………..Erreurs repérées : ………………………………………………………………………………..

Connaissance de la comptine écrite

Erreurs repérées : ………………………………………………………………………………..




Recours au dénombrement

Dans la situation problème proposée (aller chercher des crayons pour un nombre d'élève donné) repérer si :

L'élève a recours au dénombrementL'élève apporte en un voyage un lot de crayons approximatifL'élève apporte en un voyage tous les crayonsL'élève tente d'organiser les collections



Maîtrise du dénombrement

1. "Combien de ?" (collection d'objets réels dont le cardinal est choisi dans le domaine de connaissance de l'élève).

L'élève à recours au dénombrementsynchronisation des gestes et de la récitation de la

comptineorganisation du dénombrementmaîtrise du principe de cardinalité

L'élève a recours à une estimationL'élève ne réagit pas



2. "Combien de ?"

(collection d'objets représentés, stylo ou crayon disponible)

L'élève à recours au dénombrementsynchronisation des gestes et de la récitation de la comptineorganisation du dénombrement (par ajout de dessin)maîtrise du principe de cardinalité

L'élève a recours à une estimationL'élève ne réagit pas




3. +n ; -n

Lors de l'ajout puis du retrait de n éléments à la collection :L'élève à recours au recomptage complet de la

collectionL'élève utilise un procédé de sur-comptageL'élève effectue une opération mentale



Constitution d'une collection de cardinal donné

On demande à l'élève de prélever ("donne moi") n objets réels pris dans une collection plus grande.

L'élève s'arrête au terme du dénombrement des n objets en déclarant qu'il a terminéL'élève dénombre tous les objets jusqu'à épuisement des objets (ou de ses compétences)L'élève s'aperçoit qu'il a oublié ce qu'on lui avait demandéL'élève donne un tas sans dénombrer



Maîtrise de l'aspect ordinal

On utilise un jeu de cartes-nombres et une piste incomplète.

L'élève sait replacer les cartes dans l'ordre croissantL'élève sait placer les cartes dans l'ordre décroissantL'élève sait compléter la bande numérique à trous

1.1 repérer les compétences et les difficultés de chacun


Comparaison de collections

À faire avec des objets réels puis avec des objets représentés.

1. Comparaison de collections très différentesL'élève donne une réponse immédiateL'élève dénombre chaque collectionL'élève utilise la correspondance terme à terme

2. Comparaison de collections peu différentesL'élève donne une réponse immédiateL'élève dénombre chaque collectionL'élève utilise la correspondance terme à terme

1.1 repérer les compétences et les difficultés de chacun


Les situations d'apprentissage


On peut retenir trois caractéristiques pour définir les situations d'apprentissage :

Les situations fonctionnellesLes situations rituellesLes situations spécifiquesLes situations « construites »


1.2 développer l'envie d'utiliser les nombres.

situations rituelles :- appel, cantine- calendriers

situations occasionnelles :- répartition dans les ateliers- organisation pour aller chercher du matériel- distributions diverses- gestion de scores- utilisation de recettes

situations spécifiques:- comptines avec des nombres- jeux de doigts - jeux de dés (lecture des dés et déplacement sur une piste dans un jeu de l'oie simplifié)- jeux de cartes (Bataille, Pouilleux avec des cartes numérotées de 1 à 6 ou 8)


mise en œuvre:

Cinq phases: - découverte- reconnaissance d'une procédure experte- communication orale- communication écrite- réinvestissement

Les situations construites


objectifs:

- comprendre que le dénombrement est un moyen expert pour construire une collection équipotente à une collection donnée, hors de la présence de celle-ci,

- élaborer un langage pour exprimer les anticipations d'actions et les validations des solutions. ("je vais compter pour voir combien il m'en faut" "ça ne va pas, il en manque" ...).


procédures:

- procédures relatives au dénombrement, relatives à la mémorisation du nombre, relatives à l'écriture du nombre ou relatives à la validation.

variables didactiques:

- nature des informations et du matériel., nombre d'essais autorisés, champ numérique, communication.


Le coloredo

Il s’agit d ’utiliser un jeu du commerce constitué de plaques en plastiques, de jetons de 4 couleurs pouvant s ’encastrer sur les plaques et de modèles de dessin se glissant sous les plaques.

Chaque binôme reçoit une plaque, un dessin. Il faut regarder le dessin avant d ’agir. Comme les jetons ne sont pas à la disposition immédiate des joueurs, il faut se déplacer. Un seul voyage est toléré. La commande est vérifiée au retour par la mise en place des jetons.


Phase 1 : aller chez le magasinier afin de ramener les jetons nécessaires.

Phase 2 : aller chez le magasinier afin de ramener les jetons nécessaires en un seul voyage.

Phase 3 : remplir un bon de commande puis aller chez le magasinier afin de ramener les jetons nécessaires en un seul voyage.

BON de commande

….. Jetons rouges

….. Jetons bleus

….. Jetons jaunes

….. Jetons verts

signature :

Il s’agit d ’utiliser un jeu du commerce constitué de plaques en plastiques, de jetons de 4 couleurs pouvant s ’encastrer sur les plaques et de modèles de dessin se glissant sous les plaques.

Les élèves sont en binômes de joueurs, on garde deux binômes pour jouer le rôle des magasiniers.

Le coloredo


Le coloredo

Cette situation représente une situation fondamentale d ’utilisation des nombres. En effet, l ’élève qui s ’y engage se trouve dans l ’obligation d ’utiliser les nombres et de prendre conscience du rôle de ces nombres, de ce à quoi ils servent.

La règle lui est tout à fait compréhensible : apporter le nombre nécessaire et suffisant d ’objets en une seule fois. Ainsi, l ’élève peut se lancer dans l ’action quelles que soient ses connaissances sur le nombre.

Cette situation permet à l ’élève de :

- contrôler son action et recevoir le contrôle des autres,

- débattre avec eux de la qualité de son résultat;

- de recommencer de lui-même autant de fois qu ’il le souhaite;

- de décider seul ce qu ’il choisit d ’entreprendre.

Cette situation permet enfin au maître d ’organiser de très nombreux problèmes de difficultés progressives, elle est a-didactique car elle valide les propositions des élèves sans recours à la parole de l’enseignant.


Bibliographie autour de la construction du nombre

- Comptes pour petits et grands (Baruk, Magnard, guide pratique)- L'enfant et le nombre (M. Fayol - Delachaux et Niestlé - 1990) - Partager, c'est compter (O.Frydman - La Recherche - n°215 - 1989) - Le développement du concept de nombre chez le jeune enfant (M-P Chichignoud - Revue Grand N n° 36, IREM de Grenoble) - Comment les enfants apprennent à calculer (R. Brissiaud - Retz) - Calcul ou comptage ? Calcul et comptage (R.Charnay - Revue Grand N n°50) - Apprentissages numériques en grande section (ERMEL - Hatier 1990) - Apprentissage numérique au CP (ERMEL - Hatier 1991) - Compte sur moi (Magnard 2001, CP et CE1)- Activités de partage en maternelle (Revue Grand N n°33) - "Jeux numériques et élaboration de règles à l'école maternelle" et "Jeu du loup et de l'escargot" (Revue Grand N n°46) - Deux oiseaux dans chaque nid (GS - Revue Grand N n° 48) - Du rite de l'appel... à des activités mathématiques en grande section d'école maternelle (Revue Grand N n°51) - Livres à compter (Revue Grand N n° 52) - La préparation des ateliers "jeux de société" en grande section (revue Grand n°55)

Documents

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