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FAMILIAS MONOPARAMÉTRICAS DE

TRANSFORMACIONES CUADRÁTICAS.

Heber Enrich

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Otro ejemplo de transformación: x=x/2 y=y/3 z=2zEl origen es punto fijo (hiperbólico)

x

y

z

4a bx1 x2

x2

xi+1=f(xi)

y=f(x)

b

x3

x3

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Pendiente positiva pequeña: atractorunilateral.

Pendiente positiva grande: repulsorunilateral.

Pendiente negativa pequeña: atractor bilateral.

Pendiente negativa grande: repulsor bilateral.

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de un solo lado

de un solo lado de los dos lados

de los dos lados

atractoratractor

repulsor

repulsor

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LA FAMILIA CUADRÁTICA. y =c (1-x2)-1

xn =c (1-xn-12)-1 0 ≤ c ≤ 2

-1 1

1

c crecientes

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0 < c ≤ 0,5

-1 punto fijo atractor unilateral

Primera bifurcación: -1 repulsorSurge punto fijo atractor unilateral.

0.5 < c < 1

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0 < c ≤ 0,5

-1 punto fijo atractor unilateral

0.5 < c < 1

Gráficas de f º f

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Punto fijo repulsor. ¿Dónde“van a parar” las órbitas?

Punto fijo atractor. Las órbitas seaproximan al punto fijo.

1 < c < 1,5

1.5 < c < c0 =1,7849...

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f º f

1< c < 1.5

c=1.5

1.5 < c < c0

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pto. fijo atractor

pto. fijo repulsor

c crecientes

pto. periódico atractor

xx x

2 6 8 4 3 7 5 1

x = pto fijo o periódico de período 2 repulsor.

rayas verticales: punto periódico de período 4 atractor.

En c0 aparece un “Conjunto de Cantor” y puntos periódicos repulsoresde período 2n para cualquier n natural.

xpto. periódico atractor

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• Pasemos al caso c=2. xn =1-2xn-12

• Sea 0 ≤ α1 ≤ π/2 tal que

(x1 + 1)/2 = sen2 α1 o sea x1 = 2 sen2 α1-1. Se tiene que

x2 =1-2x12 =1 – 2(2 sen2 α1-1)2 =

8sen2 α1(1 - sen2 α1) -1=

8(sen2 α1)(cos2 α1) -1= 2 sen2 (2α1) – 1.

De esta igualdad, (x2 + 1)/2 = sen2 (2α1), o, en general,

• (xn + 1)/2 = sen2 (2n α1). Sensibilidad a las condiciones iniciales (caos). Aparición de puntos periódicos de cualquier período.

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f3; c=2

Hay 8 puntos fijos en la gráfica En general, hay puntos de todos los períodos. ¿Cómo aparecen?

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f3 c=1.91

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f3 c= 1.915

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• Teorema: para cada valor 0 ≤ c ≤ 2, o bien:1. Hay una órbita periódica atractora y la órbita

de 0 es atraída a ella. En este caso, existe un conjunto abierto y denso de condiciones iniciales tales que también tienen órbitas atraídas a la órbita periódica. O bien

2. Hay un Cantor “atractor” que incluye el punto crítico y su órbita, y que atrae un conjunto abierto y denso de condiciones iniciales. O bien

3. La transformación es expansiva y para un abierto denso de condiciones iniciales las órbitas son atraídas a un conjunto invariante que es unión de intervalos cerrados.

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• El resultado anterior parecería un ejercicio sobre el comportamiento de las transformaciones cuadráticas si no fuera que dicho comportamiento fue observado en multitudes de transformaciones unimodales que se examinaron. No sólo se encontraron semejanzas cualitativas, sino también aparecían ciertas “constantes universales” válidas para conjuntos genéricos de transformaciones; estas características también aparecían en ciertas transformaciones disipativas en dimensión mayor. Se imponía una explicación.

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• Ya observamos que hay un intervalo [a1,b1] en el intervalo [0,2] de variación del parámetro c, en que fc es renormalizable en un intervalo I1,c:=[a1c,b1c]; para todo x en I1.c la transformación de primer retorno a I1.c es fc

2 que se comporta como la familia original, fc. Para comparar ambos comportamientos, habría que “cambiar la escala”, o “renormalizar”: llevar el intervalo [a1c,b1c] al intervalo [-1,1].

-1 1a1c b1c

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Pero lo adecuado es reescalar un intervalo más pequeño: se trabajará en el intervalo [-fc(0),fc(0)] que se reescalará hasta llevarlo al [-1,1], definiendo una función g. Se tiene g2(0)=g(1).

-1 1

-1

1

g(1)

R(g)=(g(1))-1g2(g(1)x)

g

R(g)

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Trabajando en el conjunto M de las funciones unimodales renormalizables Cr que llevan [-1,1] en sí mismo tales que -1<g(1)<1, se define un operador R por R(g)=(g(1))-1g2(g(1)x). Ese operador tiene un punto fijo φ que es analítico y simétrico (φ(x)=f(x2) para alguna f, que además cumple f ’(t) ≠ 0 para t entre 0 y 1). Se probó que el comportamiento de las funciones en un entorno de φ con el operador renormalización era un comportamiento hiperbólico similar al visto en una de las primeras trasparencias, con una “curva inestable” y una “hipersuperficie estable”:

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familia cuadrática

φ

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Bibliografía• An introduction to the dynamical of unimodal

maps. C. Sparrow, Summer school on dynamical systems ICTP 1988.

• de Melo, W Lectures on one-dimensional dynamics. IMPA, CNPq, 1988

• de Melo, W, van Strien, S One-dimensional dynamics Springer Verlag, Berlin-New York, 1993.