1 Fenòmens periòdics La llum i el so en són dos exemples especialment rellevants per a nosaltres, ja que, a través d’ells, ens arriba la immensa majoria de la informació que

1 | Fenòmens periòdics

S’anomenen fenòmens periòdics aquells canvis que es repeteixen sucessivament, sempre de manera idèntica. El moviment circular uniforme, les vibracions d’un dia-pasó, els senyals lluminosos d’un far..., són exemples de fenòmens periòdics. Un d'ells, el moviment vibratori harmònic simple constitueix la base per comprendre i estudiar tots els fenòmens periòdics que, amb gran pro-fusió i varietat, són presents en la natura.

Els fenòmens periòdics són transcendentals, no tan sols perquè abunden en la naturalesa, sinó també perquè, gràcies a ells, podem tenir noció del temps. Això és degut al fet que l’única manera de mesurar el temps consisteix a comptar el nombre de vegades que es repe-teix un fenomen periòdic. Quan comptabilitzem el temps en dies, estem comptant les voltes del moviment de rotació de la Terra; si ho fem en anys, comptem les del seu moviment de translació al voltant del Sol. D’altra banda, els rellotges no fan altra cosa que comptar les oscil·lacions d’un pèndol o d’una petita rodeta, o les vibracions d’un cristall de quars.

Alguns fenòmens periòdics es propaguen en l’espai en forma del que anomenem «ones periòdiques». La llum i el so en són dos exemples especialment rellevants per a nosaltres, ja que, a través d’ells, ens arriba la immensa majoria de la informació que rebem.

Però, per mitjà de les ones, no tan sols rebem informa-ció: gairebé tota l’energia que utilitzem prové del Sol, i es transmet fins a la Terra en forma d’ones. En aquest cas, no tan sols es tracta de llum, sinó també de dife-rents classes d’ones electromagnètiques.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 5 28/4/09 06:32:23

6


1 | Període i freqüència d’un fenomen periòdic

En tot fenomen periòdic hi ha una o diverses magnituds físiques que varien amb el pas del temps. Tot i això, arriba un moment en el qual totes tornen a prendre el valor inicial; diem, aleshores, que s’ha completat un cicle. A continuació, el fenomen es repeteix una vegada i una altra, i es produeixen cicles successius idèntics al primer.

Derivada d’una funció de funció

És una funció de la forma: y = f [ g(x) ].

La seva derivada és el producte: f ’(x) = f ’[ g(x) ] g ’(x).

Exemple: A l'expressió y = sin (3x2 + 5), f és la funció sinus, mentre que g(x) és 3x2 + 5.

f ’ [ g(x) ] s’obté com a derivada de la funció sinus: f ’ [ g(x) ] = cos (3x2 + 5).

D'altra banda, g ’(x) és la derivada de la funció 3x2 + 5: g ’(x) = 6x.

D’aquesta manera, la derivada de y = sin (3x2 + 5) és y ’ = cos (3x2 + 5) 6x.

Transformació d’una suma de sinus o de cosinus en producte

Sumant les fórmules: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b

Substituint a + b per A i a − b per B, obtenim:

sin + sin = 2sin+2

cos–2

A BA B A B

I quan fem el mateix amb: cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b

Resulta:

cos + cos = 2cos+2

cos–2

A BA B A B

c o n e i x e m e n T s P r e v i s d e m aT e m à T i q u e s

1. Fenòmens periòdics: el tancament d’ampolles en una fàbrica de refrescos, les indicacions lluminoses d’un semàfor, les oscil·lacions d’un pèndol.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 6 28/4/09 06:32:31

7

Fenòmens periòdics | 1

Al llarg d’un cicle, les magnituds que intervenen en un fenomen periòdic prenen valors diferents. Els seus valors en un instant determinat defineixen la situació o fase del fenomen en aquell instant. Per exemple, una fase en l’oscil·lació d’un pèndol es pot definir per mitjà de la posició i la velocitat que té en un instant determinat.

Algunes de les fases del moviment periòdic de rotació de la Lluna al voltant de la Terra reben un nom: lluna nova, quart creixent, lluna plena, quart minvant. Però entre aquestes fases hi ha una infinitat de fases intermèdies.

En els fenòmens periòdics, s’anomena període el temps que dura un cicle. El període es designa amb T i s’expressa en segons en el SI.

Segons la definició, si es produeixen n cicles en un interval de temps, ∆t, el període és:

ν =nt∆

ν =1T

Tt

n=

∆

S’anomena freqüència d’un fenomen periòdic el nombre de cicles que es produeixen en cada unitat de temps.

La freqüència es designa amb la lletra grega ν (ni). En el SI s’expressa en cicles/s, unitat que rep també el nom d’hertz (Hz).

Si hi ha n cicles en un interval de temps ∆t, la freqüència serà:

Comparant les expressions anteriors del període i de la freqüència, resulta evident que són inversos:

Freqüència i confortSovint, quan viatgem en un vehicle ens veiem sotmesos a moviments vibratoris que ens afecten l’organisme.

El cos humà no és rígid i les vibracions ràpides (de freqüència alta) originen continus moviments i deformacions dels òrgans interns, que provoquen malestar i mareig.

Els moviments oscil·latoris molt lents (de freqüència baixa), com el dels vaixells, també produeixen mareig a moltes persones. En aquest cas, probablement, les causes són més psicològiques que no pas físiques.

Els xassís dels automòbils es recolzen sobre els eixos de les rodes per mitjà d’un sistema de ressorts elàstics que anomenem «suspensió». La seva finalitat és evitar les fortes sotragades que produirien les irregularitats del terreny, transformantles en oscil·lacions suaus de la caixa del vehicle.

Per tal que aquests moviments gairebé continus no destorbin el confort dels passatgers, es procura que la freqüència de les oscil·lacions sigui propera a 1,3 Hz. Aquesta és, aproximadament, la freqüència de les nostres passes quan caminem i la dels batecs del nostre cor. Es tracta d’una freqüència a la qual estem tan habituats que no produeix molèsties. Per aconseguirla, la constant elàstica dels ressorts ha de ser la necessària perquè el pes de la caixa, del motor i de la càrrega del vehicle deformi la suspensió uns 15 cm.

do

cu

me

nT

1

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 7 28/4/09 06:32:43

8


2 | moviment vibratori harmònic simple

Quan un mòbil es desplaça sobre una recta realitzant periòdicament un recorregut de vaivé entre dos punts, el seu moviment s’anomena oscillatori si és lent i, si és ràpid, vibratori. Hi ha nombrosos exemples d’aquest tipus de moviment: el que pren cada punt d’una corda de guitarra en ser polsada, el d’un cos penjat d’una molla si tirem una mica i el deixem anar, el dels pistons d’un motor d’explosió, etc.

Entre els moviments periòdics té un interès especial el moviment vibratori harmònic simple, abreviadament. m.v.h.s.

Aquesta importància respon al fet que tot moviment periòdic es pot considerar com a resultat d’un conjunt de moviments vibratoris harmònics simples simultanis. És per això que el m.v.h.s. és la base de l’estudi de tots els moviments periòdics i, per extensió, de tots els fenòmens periòdics.

S’anomena moviment vibratori harmònic simple un moviment rectilini en el qual l’acceleració del mòbil és directament proporcional a la seva distància a un punt fix O de la trajectòria i està dirigida constantment cap a aquest punt.

Si adoptem la trajectòria del mòbil com a eix d’abscisses i el punt O com a origen de coordenades, la definició anterior es pot expressar per mitjà de la fórmula:

a = –ω2 x

El coeficient –ω2 és una constant de proporcionalitat negativa, ja que ω2, com que és el quadrat d’un nombre, és sempre positiu. El significat físic de ω es veurà més endavant.

Ens podem preguntar per què el moviment que compleix l’equació anterior és un moviment periòdic. Per comprendreho, representarem l’acceleració que, segons l’equació, tindrà el mòbil en diverses posicions (Fig. 4). Observem que, en el punt O, l’acceleració és nul·la (Fig. 4a). Per això hem de suposar que el mòbil té certa velocitat en aquest punt, ja que, en cas contrari, continuaria permanentment en repòs.

Però fixemnos també en el fet que, quan el mòbil s’allunya de O cap a la dreta, el sentit de la seva acceleració és cap a l’esquerra (Fig. 4b); el moviment serà aleshores retardat, per la qual cosa la velocitat del mòbil arribarà a anul·larse (Fig. 4c).

2. Moviment vibratori.

4. Acceleració en posicions diferents d’un m.v.h.s.

3. Moviments oscil·latoris.

aO

a = 0

bO

cO

a

a

v = 0

dO

a

eO

a = 0

x

x

x

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 8 28/4/09 06:32:48

9


X

F

Però en aquesta posició l’acceleració cap al centre és encara més gran i el mòbil començarà a moure’s cap a O. Com que l’acceleració tindrà el sentit del moviment, aquest serà accelerat (Fig. 4d). Quan el mòbil passi novament per O haurà recuperat la velocitat inicial, ja que les acceleracions en cada punt són les mateixes en allunyarse o en tornar a O (Fig. 4e). El mòbil és ara en una situació anàloga a la inicial, però moventse cap a l’esquerra; realitzarà, doncs, un moviment simètric al que hem descrit anteriorment però cap a l’altre costat.

En el m.v.h.s. el punt O és el centre de la vibració, ja que el mòbil es desplaça —amb moviment de vaivé— entre dos punts situats simètricament a tots dos costats de O. D’altra banda, hem vist que, en el punt O, l’acceleració és nul·la. Això significa que la força resultant sobre el mòbil en aquesta posició ha de ser, igualment, nul·la. Per aquesta raó, el centre de la vibració s’anomena també posició d’equilibri.

La distància variable del mòbil a la posició d’equilibri rep el nom d’elongació.

Si s’adopta com a origen de coordenades la posició d’equilibri, l’elongació coincideix amb l’abscissa x del mòbil.

3 | oscil·ladors harmònics

Un cos amb un dispositiu que el fa moure’s amb m.v.h.s. s’anomena oscil·lador harmònic. Per definició, la seva acceleració és a = –ω2 x, on x en representa l’elongació (distància a la posició central o d’equilibri).

Segons el principi fonamental de la Dinàmica, si m és la massa del mòbil, la força resultant sobre el mòbil ha de ser: F = m a = −m ω2 x.

El producte mω2 és constant. Si l’anomenem k, la igualtat anterior esdevé F = −k x.

Aquesta expressió coincideix amb la de la ja coneguda llei de Hooke, en la qual x representa la deformació a què se sotmet un cos elàstic i F, la força que aquest cos exerceix.

Així doncs, per tal que un cos es mogui amb m.v.h.s., la relació entre la força F aplicada al cos i la seva elongació x ha de ser igual a la que expressa la llei de Hooke.

En conseqüència, podem establir un exemple senzill d’oscil·lador harmònic. L’hem representat en la figura 5. És un cos recolzat sobre un pla horitzontal sense fregament i unit a un extrem d’una molla horitzontal que té l’altre extrem fix. Quan desplacem el cos de la posició de repòs i el deixem anar, adquirirà m.v.h.s., ja que, si la constant elàstica de la molla és k, la força que exercirà sobre el cos serà: F = −k x.

Una altra manera de definir el m.v.h.s. és la següent: un m.v.h.s. és la projecció d’un moviment circular uniforme sobre una recta continguda en el pla de la seva trajectòria.

En la figura es poden veure posicions successives (M1, M2, M3...), d’un mòbil amb moviment circular a intervals iguals de temps. La seva projecció sobre una recta (punts P1, P2, P3...) té m.v.h.s. La freqüència angular del m.v.h.s. coincideix amb la velocitat angular, ω del moviment circular.

P0 P1 P2 P3P4 P5 P6 P7 P8

M0

M1

M2

M3

M4 M5

M6

M7

M8

5. Un cos unit a una molla que compleix la llei de Hooke sobre un pla sense fregament és un oscil·lador harmònic.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 9 28/4/09 06:33:06

10


Però també un cos suspès d’una molla adquireix m.v.h.s. quan se separa de la posició d’equilibri i es deixa anar (Fig. 6). Per demostrarho, hem de provar que la força resultant sobre el mòbil compleix la llei de Hooke.

En aquest cas, actuen sobre el mòbil dues forces de sentit contrari: el seu pes, P = m g, i la força elàstica de la molla, F.

Calculem el valor de la força, F.

Quan pengem el cos de massa m, la molla experimenta un allargament x0

fins que la seva força elàstica, F0, equilibra el pes del cos i fa que quedi en repòs (Fig. 6b). Es compleix, aleshores, que P = F0 , és a dir, m g = k xo.

Si tirem cap avall del cos i el deixem anar (Fig. 6c), es posarà a oscil·lar verticalment. En l’instant en què la distància a la posició d’equilibri sigui x (Fig. 6d), la deformació total de la molla serà x0 + x i la seva força elàstica, F = –k (x0 + x). En aquest moment, la força resultant sobre el mòbil és:

ΣF = F + P = – k (x0 + x) + m g = – k x0 – k x + m g

Però hem vist que m g = k xo; per tant: ΣF = –k x0 – k x + k x0 = –k x.

Queda demostrat així que la força resultant sobre el cos penjat de la molla compleix la llei de Hooke, de manera que aquest dispositiu és un oscil·lador harmònic.

P = m g

a b c d

F = − k x0 F = − k (x0 + x)x0 x0

x

P = m g

6. Moviment d’un cos penjat d’una molla que compleix la llei de Hooke.

4 | equació del m.v.h.s.

Anomenem equació del m.v.h.s. la igualtat que expressa l’elongació del mòbil en funció del temps.

Com que en el m.v.h.s. el mòbil passa per la mateixa posició cada vegada que transcorre el període T, haurem d’expressar l’elongació per mitjà d’una funció els valors de la qual es repetiran periòdicament. Les úniques funcions periòdiques que coneixem són les trigonomètriques. Les funcions sinus i cosinus, els valors de les quals no creixen de manera indefinida, són les més adequades. Tot i que podem utilitzar indistintament l’una o l’altra, farem sevir la funció sinus.

L’elongació d’un mòbil amb m.v.h.s. en funció del temps es pot expressar de la manera següent:

x = A sin (ω t + ϕ0)

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 10 28/4/09 06:33:13

11


Demostrarem més endavant que aquesta equació correspon realment a la definició del m.v.h.s.

En l’expressió anterior, x (elongació) i t (temps) són variables, mentre que A, ω i ϕ0 són paràmetres del m.v.h.s.; és a dir, són magnituds constants en un m.v.h.s. determinat, però que prenen valors diferents per a m.v.h.s. diferents.

Els símbols per designar aquests tres paràmetres del m.v.h.s. obeeixen al seu significat físic, com veurem en els apartats següents.

En la figura 7 es pot veure la gràfica posiciótemps del m.v.h.s.

5 | els paràmetres del m.v.h.s.

Examinem novament l’equació del m.v.h.s.: x = A sin(ω t + ϕ0).

Com que el sinus d’un angle sempre està comprès entre –1 i + 1, els valors extrems de l’elongació són x = A, quan sin(ω t + ϕ0) = 1, i x = –A, quan sin(ω t + ϕ0) = –1. La longitud A s’anomena amplitud.

x

tO

A

T/2 T 3T/2 2T

–A

7. Gráfica elongaciótemps d’un m.v.h.s. per a ϕ0 = 0.

8. Gràfiques superposades de dos m.v.h.s. que només es diferencien per l’amplitud.

x

tOObserva que la distància entre les dues posicions extremes de la vibració és el doble de l’amplitud.

En un cicle del m.v.h.s., el mòbil parteix d’un extrem, es desplaça fins a l’altre i torna a la posició inicial. Aquest moviment rep el nom d’oscil·lació o vibració completa i, en el seu decurs, el mòbil recorre quatre vegades l’amplitud.

L’angle ϕ = ω t + ϕ0, que apareix en l’equació del m.v.h.s., s’anomena angle de fase o, simplement, fase. Del seu valor en un instant determinat depenen l’elongació, la velocitat i l’acceleració, és a dir, la fase de la vibració en la qual es troba el mòbil en aquell moment.

Si en l’expressió ϕ = ω t + ϕ0 donem a t el valor 0, resulta:

ϕ(0) = ω 0 + ϕ0 = ϕ0

Així doncs, ϕ0 és el valor de l’angle de fase en l’instant t = 0. El paràmetre ϕ0 s’anomena constant de fase. S’expressa en radians.

L’equació de m.v.h.s. se sol escriure també d’aquesta manera:

x = A cos (ω t + ϕ0).

Recordant la relació trigonomètrica: cos ϕ = sin (ϕ + π/2), es comprèn que l’equació anterior és equivalent a: x = A sin (ω t + ϕ0 + π/2).

Per tant, substituir el sinus pel cosinus en l’equació del m.v. h.s. equival simplement a mo dificar la fase inicial afeginthi π/2 rad.

En l’estudi d’un sol m.v.h.s., el valor de la constant de fase no té gaire importància; se li sol assignar el valor 0 per tal que l’equació del moviment resulti més senzilla. Ara bé, aquest paràmetre pren gran importància quan comparem dos o més m.v.h.s. simultanis de període igual.

L’amplitud A d’un m.v.h.s. és la seva elongació màxima.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 11 28/4/09 06:33:16

12


Si dos m.v.h.s. estan sincronitzats de manera que en tots els instants els dos mòbils es troben en la mateixa situació, diem que estan en fase (Fig. 9a). En aquest cas, la constant de fase és igual per a tots dos.

Però si un dels moviments es produeix amb un cert retard respecte de l’altre, diem que hi ha una diferència de fase entre ells (Fig. 9b), ja que les seves constants de fase són diferents. Per exemple, la diferència de fase entre els dos moviments representats en la figura 9b correspon a 1/8 de cicle, que equival a 2 π/8 rad = π/4 rad.

En particular, si un moviment es realitza amb mig cicle de retard respecte de l’altre, diem que tots dos estan en fase oposada (Fig. 9c). La diferència entre les constants de fase és, aleshores, de π rad. En aquest cas, quan un dels mòbils es troba en un extrem de la vibració, l’altre és a l’extrem oposat.

El paràmetre ω s’anomena freqüència angular o pulsació. Si l’aïllem de la igualtat ϕ = ω t + ϕ0, obtenim:

ωϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

=–

=–

– 0=0 0

t t t∆∆

D’aquí es dedueix que la freqüència angular o pulsació és l’increment de l’angle de fase per unitat de temps. En conseqüència, s’expressa en rad/s, com la velocitat angular (d’aquí que també es faci servir el símbol ω per representarla).

Sabem que el període de les funcions sinus i cosinus és de 2π radians. És a dir, que cada vegada que un angle augmenta en 2π radians, es repeteixen els valors de totes les seves raons trigonomètriques.

D’aquí es dedueix que, en cada cicle d’un fenomen periòdic, l’angle de fase ha d’augmentar en 2π radians (∆ϕ = 2π rad).

D’altra banda, el temps que dura un cicle és el període T. En conseqüència, es pot calcular la freqüència angular com a:

ω ϕ π= =

2∆∆t T

Com que la freqüència és la inversa del període (ν = 1/T ), es compleix:

ω π π ν=2

= 2T

Observa que la freqüència ν i la freqüència angular ω són directament proporcionals. De fet, totes dues magnituds constitueixen una mesura de la rapidesa de les vibracions. L’única diferència entre elles rau en la unitat en la qual s’expressen: ν s’expressa en cicles/s i ω, en rad/s.

10. Gràfiques superposades de dos m.v.h.s. que només es diferencien en la freqüència angular. La corba de color blau correspon al moviment de freqüència angular més gran.

x

tO

9. Gràfiques superposades de dos m.v.h.s.: a) en fase; b) amb una diferència de fase de π/4 rad; c) en fase oposada.

x

tO

ax

tO

b

x

tO

c

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 12 28/4/09 06:33:21

13


Hem vist que:

• Per definició, l’acceleració en el m.v.h.s. és proporcional a l’elongació: a = – ω2 x.

• En conseqüència, la força resultant sobre el mòbil, de massa m, és: F = m a = – m ω2 x.

• Si el cos vibra impulsat per una molla que compleix la llei de Hooke, es compleix: F = – kx.

Comparant les dues últimes igualtats, deduïm que: m ω2 = k.

Aquesta expressió indica que la freqüència angular (i, per tant, també la freqüència i el període) d’un mòbil que oscil·la amb m.v.h.s. impulsat per una molla només depèn de la massa del mòbil i de la constant elàstica de la molla.

Generalitzant el que acabem de veure, podem afirmar que la freqüència de vibració de qualsevol oscil·lador harmònic només depèn de les seves propietats físiques, és a dir, que cada oscil·lador harmònic té una freqüència de vibració pròpia.

Això va en consonància amb la nostra experiència. El to d’un so, per exemple, depèn només de la freqüència de vibració del cos que el produeix. Tots sabem que, si piquem un objecte, sempre emet un so del mateix to (sempre que no n’hàgim modificat les qualitats físiques d’alguna manera).

1. escriu l’equació d’un m.v.h.s. de 5 cm d’amplitud i 20 Hz de freqüència, que tingui elongació màxima en l’instant 0.

L’amplitud en metres d’aquest moviment és A = 0,05 m.

La freqüència angular és:

ω = 2 π ν = 2 π rad/cicle 20 cicles/s = 40 π rad/s

Substituint aquests valors en l’equació del m.v.h.s., resulta:

x = A sin (ω t + ϕ0) = 0,05 sin (40 π t + ϕ0)

Per determinar el valor de ϕ0, tindrem en compte que, per a t = 0, ha de ser x = A. Substituint aquests valors en l’equació anterior, resulta:

A = A sin (ω 0 + ϕ0) = A sin ϕ0

D’aquesta equació es dedueix: sin ϕ0 = A/A = 1, que es compleix per a ϕ0 = π/2 rad.

Així doncs, l’equació de m.v.h.s. serà:

x = 0,05 sin (40 π t + π/2)

e x e m P l e

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 13 28/4/09 06:33:21

14


2. un cos de 200 g de massa està en repòs penjat d’una molla de 5 n/m de constant elàstica. Tirem d’aquest cos cap avall amb una força de 0,3 n i, en l’instant t = 0, el deixem anar. escriu l’equació del m.v.h.s. que adquirirà.

Adoptant com a positiu el sentit cap amunt, la força que exerceix la molla serà de 0,3 N.

Per la llei de Hooke tenim: F = – k x

D'on: = – =

0,35 N/m

= –0,06 mxkF N

Aquesta és l’elongació màxima del mòbil a l’extrem inferior del seu recorregut. En conseqüència, l’amplitud del m.v.h.s. és A = 0,06 m.

Com que sabem que m ω2 = k, podem calcular la freqüència angular:

ω2 2= =

5 N/m0,2 kg

= 25 (rad/s) ; és a dkm

iir, = 5 rad/s.ω

Així doncs, l’equació del m.v.h.s. serà: x = A sin(ω t + ϕ0) = 0,06 sin(5 t + ϕ0).

Per determinar la constant de fase, tindrem en compte que, a l’instant t = 0, l’elongació és x = –0,06 m. Aplicant aquests valors a l’equació del m.v.h.s., resulta: –0,06 = 0,06 sin ϕ0, d’on es dedueix: sin ϕ0 = –1.

Assignarem a ϕ0 el valor de l’angle més petit, el sinus del qual és –1: ϕ0 = 3π/2 rad.

Així doncs, l’equació d’aquest m.v.h.s. és: x = 0,06 sin (5 t + 3π/2).

e x e m P l e

6 | velocitat i acceleració en el m.v.h.s.

Si derivem l’equació del m.v.h.s. respecte del temps, obtenim la velocitat del mòbil:

vdt

A t A t= = cos( + ) = cos(0

dx ω ϕ ω ω ω ++ )0ϕ

El valor màxim de la velocitat es dedueix fàcilment a partir d’aquesta equació. Com que el cosinus d’un angle sempre està comprès entre –1 i +1, el mòdul de la velocitat serà màxim quan es compleixi cos(ω t + ϕ0) = 1. En aquest cas, serà: ν màx. = ω A.

Aquest valor màxim de la velocitat es produeix quan el mòbil passa pel centre o posició d’equilibri de la vibració. En els extrems, on canvia el sentit del moviment, la velocitat és nul·la.

Derivant ara la velocitat respecte del temps, tindrem l’acceleració del mòbil:

av

dtA t A= = [– sin( + )] = –0

2d ω ω ϕ ω ω tsin( + )0ω ϕ

Tenint en compte que A sin(ω t + ϕ0) = x, resulta a = –ω2 x, que coincideix amb la definició del m.v.h.s., tal com preteníem comprovar a l'apartat 4 de la unitat.

x

tOT/2 T

T

T

T/2

T/2

v

tO

a

tO

x = A sen (ω t + –– )π2

v = ω A cos (ω t + –– )π2

a = –ω2 A sen (ω t + –– )π2

11. Gràfiques x – t, v – t i a – t corresponents a un cicle d’un m.v.h.s.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 14 28/4/09 06:33:24

15


7 | energia del m.v.h.s.

Hem vist que tot cos es desplaça amb m.v.h.s. quan oscil·la penjat d’una molla que compleix la llei de Hooke i no hi ha fregament. En aquest cas, sobre el mòbil únicament actuen dues forces: el seu pes i la força que exerceix la molla (Fig. 12). Com que les dues forces són conservatives, l’energia mecànica del sistema format pel cos i la molla es manté constant. Aquesta energia està constituïda per l’energia cinètica del cos, l’energia potencial elàstica de la molla i l’energia potencial gravitatòria.

En els extrems de la vibració la velocitat és nul·la; per tant, el sistema no té energia cinètica. En aquest moment tota l’energia és potencial (gravitatòria+elàstica).

Contràriament, al centre de la vibració (posició d’equilibri) l’energia cinètica és màxima i, en conseqüència, l’energia potencial (gravitatòria+elàstica) serà la mínima.

Com que en el m.v.h.s. no actuen forces dissipatives, en qualsevol instant la suma de les tres energies és invariable. Vegem quina part d’aquesta energia es pot atribuir al moviment vibratori.

Com que en el m.v.h.s. l’acceleració és proporcional a l’elongació, els seus valors extrems correspondran als valors extrems de x: per a x = A, a = –ω2 A i per a x = −A, a = ω2 A.

Així doncs, el valor absolut màxim de l’acceleració és:

a máx. = ω2 A

Aquesta acceleració màxima té lloc als extrems de la vibració, mentre que, en la posició d’equilibri (x = 0), l’acceleració és nul·la.

En la figura 11 es poden comparar les gràfiques posiciótemps, velocitattemps i acceleraciótemps d’un mateix m.v.h.s.

3. determina els valors màxims de la velocitat i l’acceleració en el m.v.h.s. que té com a equació x = 12 sin (3 π t + π) m.

Derivant l’equació del m.v.h.s., s’obté la velocitat:

v

xdt

t= = 12 cos (3 + ) 3 = 36 cod π π π π ss (3 + )π πt

La velocitat màxima es té quan cos (3 π t + π) = 1. El seu valor és:

vmàx. = 36 π m/s = 113 m/s

Derivant l’expressió de la velocitat, s’obté l’acceleració:

a

vdt

t= = 36 [– sin (3 + )] 3 = –1d π π π π 008 cos (3 + )2π π πt

El seu valor màxim es dóna quan sin (3 π t + π) = –1 i és: amàx. = 108 π2 m/s2 = 1 066 m/s2.

e x e m P l e

12. Forces sobre un cos que es desplaça amb m.v.h.s. penjat d’una molla.

F

P

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 15 28/4/09 06:33:29

16


Imaginem un cos de massa m, en repòs, penjat d’una molla (Fig. 13a). Aquest sistema no té energia cinètica perquè està en repòs. Però tindrà una energia potencial gravitatòria, Ug0

, el valor de la qual dependrà de la posició de referència que adoptem. I, com que la molla està allargada a causa del pes que hi penja, tindrà una energia potencial elàstica Ue0

.

En definitiva, el cos penjat de la molla i en repòs en la posició d’equilibri té una energia mecànica:

EM0 = Ug0

+ Ue0

Suposem ara que tirem verticalment cap avall del mòbil suspès de la molla, el deixem anar i el deixem oscil·lar. Quant haurà variat l’energia mecànica del sistema?

Si no hi ha fregament, l’energia mecànica de l’oscil·lador es manté constant; per tant, podem calcularla en qualsevol fase del seu moviment. Considerem l’instant en el qual el mòbil passa novament per la posició d’equilibri, on es trobava en repòs (Fig. 13b). En aquest moment, la suma de les energies potencial gravitatòria i potencial elàstica és igual a l’energia EM0

que tenia inicialment el sistema, ja que el mòbil es troba en la mateixa posició. L’única diferència es troba en l’energia cinètica, ja que al principi estava en repòs i ara, en passar per la posició d’equilibri, la velocitat és la màxima, vmàx. = ωA. Així doncs, l’energia mecànica del mòbil serà:

E E E E m v EM M k M màx2

M= + = +12

= +120 0 0

2 2m Aω

Però sabem que mω2 = k, de manera que l’energia mecànica del sistema quan està oscil·lant resulta:

E E k AM M2= +

120

Com que EM0 és l’energia que posseïa el sistema en repòs, l’energia degu

da al m.v.h.s. és:

E k Av =12

2

13. a) El cos penjat de la molla es troba en repòs.b) El cos es troba en la mateixa posició però es desplaça amb m.v.h.s. i té energia cinètica.

4. un cos de massa m = 12 kg es mou amb m.v.h.s. d’amplitud A = 20 cm i freqüència ν = 2,5 Hz. quina és l’energia d’aquest moviment?

L’energia d’un m.v.h.s. és E k Av =12

2.

Però, tenint en compte que k = m ω2 i ω = 2 π ν, resulta:

E m A m A mv =

12

=12

(2 ) = 22 2 2 2ω π ν π22 2 2ν A

Substituïm:

Ev = 2 12 kg π2 x (2,5 Hz)2 (0,2 m)2 (gravitatòria + elàstica)

e x e m P l e s

xo

v = 0 v = ω A

a b

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 16 28/4/09 06:33:41

17


5. un cos de massa m = 600 g es penja d’una molla, que s’allarga 12 cm. després tirem del cos vertical·ment cap avall amb una força de F = 4,9 n. calcula l’energia del m.v.h.s. que adquirirà quan el dei·xem anar.

El pes del cos és P = m g = 0,6 kg 9,8 m/s2 = 5,88 N.

La molla, en aguantar el cos, fa una força F = –5,88 N i s’allarga una longitud x = 0,12 m.

Per la llei de Hooke (F = –k x), la constant elàstica de la molla és:

k

Fx

= – =–5,88 N0,12 m

= 49 N/m

Quan s’hi aplica una força de F = 4,9 N, la molla realitza una força –F i s’allarga des de la posició d’equilibri fins a l’extrem inferior del seu recorregut. Aquesta distància és, per definició, l’amplitud A del m.v.h.s.

Aplicant en aquest cas la llei de Hooke, resulta:

–F = –kA, d'on es dedueix: AFx

= – =4,9 N

49 N/m= 0,1 m.

Així doncs, l’energia del m.v.h.s. és:

E k Av =

12

=12

49 N/m (0,1 m) =2 2 0,245 J..

de què depèn l’energia d’una vibració?

Hem vist que l’energia d’un m.v.h.s. pot expressarse així:

E m A m A mv =12

=12

(2 ) = 22 2 2 2ω π ν π22 2 2ν A

Aquesta última expressió indica que l’energia del m.v.h.s. d’un cos depèn tant de la seva freqüència com de la seva amplitud; és directament proporcional al quadrat de cada una d’aquestes magnituds. En tenim un exemple en el so, que és, com saps, una vibració que es transmet a través de la matèria. Els sons aguts tenen més energia que els greus, perquè la seva freqüència de vibració és més gran. És per això que quan volem que ens sentin a distància, instintivament procurem emetre un so tan agut com podem.

Els sons greus tenen més longitud d’ona que els aguts, i els instruments que els produeixen són més grans. Si mires la caixa d’altaveus d’un aparell de reproducció musical, podràs comprovar que l’altaveu per als sons greus té una mida molt més gran que el destinat als aguts. Això fa possible que l’amplitud de vibració dels sons greus sigui gran; gràcies a això, malgrat la baixa freqüència, poden tenir l’energia necessària per ser per fectament audibles.

do

cu

me

nT

2

Caixa d’altaveus de dues vies. L’altaveu de greus és molt més gran que el d’aguts.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 17 28/4/09 06:33:45

18


constant elàstica i m.v.h.s.

Busca una molla en hèlice que resisteixi bé un allargament de 50 cm. Doblega les espires dels extrems (a) amb unes alicates. Penja la molla d’un ganxo subjectat a un suport ben rígid (b).

Penja de l’extrem inferior de la molla un pes que la faci allargarse entre 10 cm i 40 cm (c). Pot ser una pesa, un recipient amb sorra o perdigons que hagis pesat prèviament en una balança.

Dissenya un sistema per mesurar, amb la màxima exactitud que sigui possible, l’allargament que experimenta la molla quan hi penges el pes.

Busca un cronòmetre amb el qual puguis mesurar, com a mínim, dècimes de segon.

Anota la massa, m, en quilograms i el pes, P, del cos penjat de la molla expressat en newtons. Mesura l’allargament x que ha experimentat la molla en penjarli el pes i expressa’l en metres.

Calcula la constant elàstica de la molla per mitjà de la llei de Hooke a partir de les dades que has obtingut (k = P / x).

Tira verticalment del pes cap avall uns 2 cm i deixa’l anar. Comprova que oscil·la pràcticament sense balancejarse lateralment. Si no és així, atura’l i repeteix l’operació fins que ho aconsegueixis.

Agafa el cronòmetre i mesura el temps ∆t que necessita el pes per fer 20 oscil·lacions completes. Determina el període de les oscil·lacions: T = ∆t / 20. Troba la freqüència angular del m.v.h.s.: ω = 2 π / T.

Calcula la constant elàstica de la molla per mitjà de la relació que hem estudiat: k = m ω2.

Comprova si els valors de la constant elàstica de la molla determinats pels dos mètodes coincideixen.

Repeteix l’experiència amb diferents pesos.

ex

Pe

riè

nc

ia

a b c

8 | concepte d’ona

La matèria no és l’única cosa que es pot desplaçar per l’espai. Per exemple, quan s’acciona el comandament a distància d’un televisor, d’un reproductor musical o d’un cotxe de joguina teledirigit, alguna cosa immaterial es transmet des del comandament fins a l’aparell que controla.

Si llancem sobre unes aigües tranquil·les una pedreta, també es produeix una pertorbació, que s’estén en totes les direccions formant cercles concèntrics (Fig. 14). El líquid no es desplaça en la direcció en què avança la pertorbació; només s’agita verticalment al seu pas. Això es comprova fent flotar sobre la superfície de l’aigua un cos lleuger, com pot ser un trosset de suro; quan hi arriba la pertorbació, puja i baixa, però finalment queda en repòs en el mateix lloc on era.

Quan parlem de «pertorbació» ens referim a un canvi o successió de canvis en el valor d’una o més magnituds físiques.

Una pertorbació que es propaga per l’espai a través d’un medi material o del buit s'anomena ona.

14. Ones en la superfície de l’aigua.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 18 28/4/09 06:33:47

19


9 | Tipus d’ones

Si sacsegem un dels extrems d’una tira elàstica, es produeix una deformació que es propaga al llarg de la tira (Fig. 15a). Aquest tipus d’ona s’anomena pols.

Si fem diverses sacsejades iguals a l’extrem de la tira elàstica, al llarg de la tira es propaga un conjunt de polsos successius que rep el nom de tren d’ones (Fig. 15b).

Segons la direcció de la pertorbació que es propaga, les ones es classifiquen en transversals i longitudinals. Per mitjà d’uns exemples senzills podem comprendre fàcilment la diferència entre els dos tipus d’ones.

La propagació d’una ona es pot observar fàcilment en una molla en hèlice de diversos metres de longitud. Si es col·loca en posició horitzontal, se subjecta un dels seus extrems en un punt fix i es fa una sacsejada vertical a l’altre extrem, experimenta una deformació que avança ràpidament al llarg de la molla (Fig. 16). En aquest cas, el desplaçament de les espires de la molla al pas de la pertorbació és vertical, mentre que l’ona es propaga horitzontalment.

Una ona és transversal quan la direcció de la pertorbació és perpendicular a la direcció en la qual es propaga. Una ona transversal d’especial importància és la llum.

Imaginem ara que col·loquem sobre una taula de billar una filera llarga de boles per fectament alineades i molt a prop les unes de les altres.

Si es toca la primera bola amb el tac en la direcció de l’alineació, es produeix una pertorbació que es propaga al llarg de la filera fent xocar cada bola amb la següent (Fig.17). En aquest cas, tant el desplaçament de les boles com la propagació de l’ona es produeixen en la mateixa direcció.

Diem que una ona és longitudinal quan la pertorbació té lloc en la mateixa direcció en la qual es propaga l’ona.

El so és una vibració que es transmet a través de l’aire en forma d’ona longitudinal; és a dir, les molècules d’aire vibren en la mateixa direcció en la qual es propaga el so.

En molts casos, en propagarse una ona, la pertorbació que es transmet consisteix en un moviment de partícules materials. Diem aleshores que es tracta d’una ona mecànica. Lògicament, les ones mecàniques necessiten un medi material i no poden propagarse en el buit.

Les ones en la superfície de l’aigua (Fig. 14), la deformació que es propaga en una molla (Fig. 16) i el moviment que es transmet al llarg d’una filera de boles de billar (Fig. 17) són diversos exemples d’ones mecàniques.

El so, com que és una vibració de la matèria, és també una ona mecànica.

Però hi ha unes altres ones —les de ràdio i televisió, els raigs infrarojos, la llum, els raigs ultraviolats, els raigs X, etc.—, que poden propagarse no tan sols a través d’un medi material, sinó també en el buit. Es tracta de les ones electromagnètiques.

La pertorbació transmesa per aquestes ones consisteix en un camp elèctric la intensitat del qual varia de forma periòdica acompanyat d’un camp magnètic perpendicular, que varia amb idèntica freqüència. Tots dos camps són perpendiculars a la direcció de propagació de l’ona (Fig. 18).

constant elàstica i m.v.h.s.

Busca una molla en hèlice que resisteixi bé un allargament de 50 cm. Doblega les espires dels extrems (a) amb unes alicates. Penja la molla d’un ganxo subjectat a un suport ben rígid (b).

Penja de l’extrem inferior de la molla un pes que la faci allargarse entre 10 cm i 40 cm (c). Pot ser una pesa, un recipient amb sorra o perdigons que hagis pesat prèviament en una balança.

Dissenya un sistema per mesurar, amb la màxima exactitud que sigui possible, l’allargament que experimenta la molla quan hi penges el pes.

Busca un cronòmetre amb el qual puguis mesurar, com a mínim, dècimes de segon.

Anota la massa, m, en quilograms i el pes, P, del cos penjat de la molla expressat en newtons. Mesura l’allargament x que ha experimentat la molla en penjarli el pes i expressa’l en metres.

Calcula la constant elàstica de la molla per mitjà de la llei de Hooke a partir de les dades que has obtingut (k = P / x).

Tira verticalment del pes cap avall uns 2 cm i deixa’l anar. Comprova que oscil·la pràcticament sense balancejarse lateralment. Si no és així, atura’l i repeteix l’operació fins que ho aconsegueixis.

Agafa el cronòmetre i mesura el temps ∆t que necessita el pes per fer 20 oscil·lacions completes. Determina el període de les oscil·lacions: T = ∆t / 20. Troba la freqüència angular del m.v.h.s.: ω = 2 π / T.

Calcula la constant elàstica de la molla per mitjà de la relació que hem estudiat: k = m ω2.

Comprova si els valors de la constant elàstica de la molla determinats pels dos mètodes coincideixen.

Repeteix l’experiència amb diferents pesos.

a

b15. a) Propagació d’un pols al llarg d’una corda elàstica.b) Propagació d’un tren d’ones.

16. Propagació d’una ona transversal al llarg d’una molla en hèlice.

17. Propagació d’una ona longitudinal al llarg d’una filera de boles de billar.

propagació

18. Ona electromagnètica. Els vectors representatius dels camps elèctric i magnètic variables es troben en el pla vertical i en el pla horitzontal, respectivament.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 19 28/4/09 06:34:00

20


10 | ones harmòniques

Si es comunica un moviment vibratori harmònic simple a l’extrem lliure d’una corda elàstica, s’obté una successió de polsos anomenada ona harmònica.

En la figura 19 es pot veure com el moviment vibratori de l’extrem lliure es propaga i genera una ona harmònica, que avança horitzontalment mentre els punts de la corda elàstica vibren de manera vertical.

Els dibuixos successius mostren la posició de la corda elàstica cada quart de període. L’últim dibuix correspon a l’instant en el qual ha transcorregut un temps igual al període, quan l’extrem lliure ha realitzat una vibració completa. La corda ha pres la forma d’una sinusoide, és a dir, de la corba que representa la funció sinus.

Els punts més alts de l’ona s’anomenen crestes i els més baixos, valls.

La velocitat de vibració de les partícules que es troben en una cresta o una vall és nul·la, perquè el sentit del seu moviment està canviant.

Totes les partícules situades entre una cresta i una vall consecutives es mouen en el mateix sentit. En la figura 20 s’ha indicat, per mitjà de fletxes, el sentit del moviment: cap amunt, si, en relació al sentit de propagació de l’ona, es troben al davant de la cresta més propera, i cap avall, si hi estan al darrere.

Les ones electromagnètiques també s’anomenen harmòniques quan els seus camps elèctric i magnètic varien de la mateixa manera que l’elongació de les partícules en les ones mecàniques harmòniques, és a dir, sinusoïdalment (com en l'ona representada a la figura 19).

11 | longitud d’ona

Els punts del medi a través del qual es propaga una ona harmònica es mouen simultàniament amb m.v.h.s. de la mateixa amplitud i freqüència. Però, en un instant determinat, les seves elongacions (distàncies a la posició d’equilibri) són diferents, com es pot veure en la figura 20. Per tant, les diverses partícules del medi estan en diferents fases de vibració.

La distància entre dues crestes (o dues valls) consecutives de l’ona harmònica se simbolitza amb λ (lambda) i s’anomena longitud d’ona. Sempre que dos punts estan separats per la distància λ, es troben en la mateixa fase vibratòria (Fig. 21); diem que estan en fase.

t = 0

t = T/4

t = T/2

t = 3T/4

t = T

19. Formació d’una ona harmònica en una corda elàstica, a l’extrem del qual es comunica un m.v.h.s. Entre cada dues imatges successives transcorre un quart del període. El conjunt de les cinc imatges correspon, doncs, a un període del m.v.h.s., és a dir, a una vibració completa de l’extrem de la corda. Les petites fletxes indiquen el sentit del moviment dels punts vibrants de la corda quan es troben en la posició d’equilibri.

Propagació

λ

λ

λλ

λ

21. Perfil d’una ona harmònica. Els punts separats per la distància λ (longitud d’ona) es troben en la mateixa fase del seu m.v.h.s.

Propagació

20. Els vectors representen la velocitat instantània amb què estan vibrant diversos punts del medi material en el qual es propaga una ona harmònica.

Així doncs, longitud d’ona és la distància entre dos punts consecutius d’un tren d’ones que es troben en la mateixa fase.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 20 28/4/09 06:34:08

21


En les ones harmòniques, dos punts separats per una distància λ (la longitud d’ona) estan sempre en la mateixa fase del seu moviment vibratori: la fase es repeteix periòdicament en l’espai.

Però sabem que la fase del m.v.h.s. de cada punt es repeteix també cada vegada que transcorre un temps T (el període).

Per tant, les ones harmòniques tenen una doble periodicitat: en el temps i en l’espai.

La longitud d’ona λ representa, en relació a l’espai, el mateix paper que el període T respecte del temps.

12 | velocitat de propagació

La velocitat de propagació d’una ona a través d’un medi és la distància a la qual es transmet l’ona en una unitat de temps en aquest medi.

La velocitat de propagació d’una ona depèn de les propietats del medi en el qual es propaga. Per exemple, la velocitat de les ones transversals en una corda elàstica depèn de la tensió de la corda i de la seva densitat longitudinal (massa per unitat de longitud); la velocitat de propagació de les ones superficials en un líquid depèn de la seva naturalesa i de la profunditat de la capa líquida; etc.

Quan l’ona avança una distància λ, cada punt passa per totes les fases del m.v.h.s. fins que torna a la fase inicial; és a dir, cada punt fa una vibració completa. Per definició, el temps que dura una vibració completa és el període T. Així doncs, si l’ona es transmet una distància λ en un temps T, la seva velocitat de propagació es:

v = λ /T

Però com que la inversa del període és la freqüència (1/T = ν), l’anterior igualtat se sol escriure així:

v = λ ν

6. les ones de ràdio es propaguen en el buit amb la mateixa velocitat que la llum, c = 300 000 km/s. una emissora de ràdio emet amb una freqüència de 96 mHz. calcula’n la longitud d’ona.

Expressarem la velocitat de propagació en la unitat del SI:

v = 300000

kms

1000 m1 km

= 3 10 m/s8

La freqüència de l’emissora és ν = 96 MHz = 96 106 cicles/s.

Aïllem la longitud d’ona de l’equació v = λν, i resulta:

λ

ν= =

3 10 m/s96 10 cicles/s

= m8

6

v

30096

= 3,125 m

e x e m P l e

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 21 28/4/09 06:34:09

22


13 | la cubeta d’ones

Un aparell idoni per a l’observació i l’estudi de les ones és la cubeta d’ones (Fig. 22). Consisteix en un recipient amb aigua, C, de fons pla i transparent. Per mitjà d’una punta vibrant, V, en contacte amb la superfície del líquid, es generen ones superficials a l’aigua. A sota de la cubeta es col·loca un focus lluminós, F. La llum que emet, després de travessar la cubeta i l’aigua, es projecta sobre una pantalla translúcida, P. Les zones convexes de les ones (crestes) actuen com a lents convergents i concentren la llum que passa a través seu, mentre que les zones còncaves (valls) produeixen l’efecte contrari i la dispersen.

A la pantalla apareix un conjunt de franges en moviment, alternativament lluminoses i fosques, que són les imatges de les crestes i les valls de les ones.

En la figura 23 apareix la imatge que dóna a la pantalla d’una cubeta d’ones un pols que es transmet a partir d’un punt en forma d’ona circular.

En la figura 24 es pot veure la imatge d’un tren d’ones circulars produït a la cubeta per mitjà d’una punta vibrant.

En la figura 25 es mostra la imatge del tren d’ones originat per una fulla vibrant recta en contacte amb la superfície de l’aigua.

En les figures 24 i 25 la distància entre els centres de dues zones clares o fosques consecutives és la longitud d’ona λ.

14 | Front d’ona i raigs

Tota ona transmet una pertorbació que va atenyent sucessivament els diferents punts del medi en el qual es propaga.

El conjunt dels punts als quals arriba la pertorbació en un mateix instant s’anomena front d’ona. Els punts del front d’ona, a cada instant, coincideixen tots en la mateixa fase de la vibració: es diu que vibren «en fase».

Les franges clares que apareixen a la pantalla d’una cubeta d’ones, com que corresponen als punts propers a les crestes, tenen la forma dels fronts d’ona. Passa el mateix amb les franges fosques que corresponen a les valls.

El traçat d’un conjunt de fronts successius és una manera de representar gràficament la propagació d’una ona. També es pot representar per mitjà de les línies que indiquen les direccions en les quals es propaga l’ona. Aquestes línies tallen perpendicularment tots els fronts d’ona i s’anomenen raigs.

En les figures 26 i 27 s’han representat els fronts d’ona (en vermell) i els raigs (en groc) de les ones circulars i les ones rectes en la superfície de l’aigua.

F

C

V

P

22. Cubeta d’ones.

23. Pols propagantse en forma d’ona circular.

26. Front d’ona i raigs en una ona circular.

24. Tren d’ones circulars.

27. Front d’ona i raigs en una ona rectilínia.

25. Tren d’ones rectes.

front

raigs

focus

frontraigs

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 22 28/4/09 06:34:13

23


Per tal que es produeixin fronts d’ona com els representats en les figures 26 i 27, el medi a través del qual es propaguen les ones ha de ser homogeni i isòtrop.

Un medi homogeni és el que posseeix les mateixes propietats en tots els punts, cosa que implica que les ones es propaguen en tots els punts amb la mateixa velocitat.

Un medi isòtrop és el que posseeix les mateixes propietats en totes les direccions, cosa que suposa que les ones es propaguen amb la mateixa velocitat en qualsevol direcció.

En una corda elàstica, les ones es propaguen al llarg d’una línia, i és per això que s’anomenen ones unidimensionals.

Les ones que observem en la cubeta d’ones es propaguen sobre la superfície de l’aigua, que és una superfície plana. Són ones bidimensionals, ja que un pla té dues dimensions.

Però la llum del Sol i el so que emet una campana es propaguen al seu al voltant per tot l’espai i s’anomenen ones tridimensionals. Quan les ones tridimensionals es propaguen en un medi homogeni i isòtrop, si es generen en un punt, els fronts d’ona són superfícies esfèriques amb centre en el focus emissor (Fig. 28). Però, si el focus és una recta, els fronts són superfícies cilíndriques que tenen com a eix aquesta recta (Fig. 29).

15 | nombre d’ona

En les ones harmòniques, la fase del moviment vibratori que es propaga varia, no tan sols en el temps, sinó també en l’espai.

En la figura 30 s’ha representat, per a un instant determinat, la forma d’una ona harmònica transversal que, partint del punt O, s’ha propagat 2 longituds d’ona al llarg de l’eix Ox.

Podem imaginar que és una fotografia instantània de l’ona en la qual el moviment ha quedat congelat.

Com que l’ona avança amb velocitat constant, la fase de la vibració es va retardant al llarg de l’eix Ox proporcionalment a la distància a l’origen. A la part inferior de la figura s’han indicat els retards de l’angle de fase (en radians) per a diversos punts separats per una distància λ/4.

ejer 5

F

28. Fronts d’ona generats per un focus puntual en un medi homogeni i isòtrop.

29. Fronts d’ona generats per un focus rectilini en un medi homogeni i isòtrop.

π/2O π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π

λ/4 λ/2 3λ/4 λ 5λ/4 3λ/2 7λ/4 2λ xO

30. Diferència de fase entre l’origen de coordenades i els diferents punts d’una ona harmònica que es desplaça al llarg de l’eix Ox. Amb cada longitud d’ona, l’angle de fase es retarda 2 π radians.

Anomenem nombre d’ona el retard de l’angle de fase per unitat de longitud en la direcció i sentit en què es propaga l’ona:

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 23 28/4/09 06:34:17

24


Suposem que el punt situat en l’origen de coordenades O té un moviment vibratori harmònic d’equació:

y = A sin (ω t + ϕ0)

Si aquesta vibració es propaga al llarg de l’eix Ox, en sentit positiu, quina serà l’equació del m.v.h.s. d’un altre punt qualsevol d’aquest eix?

Sabem que, quan es propaga una ona harmònica, tots els punts vibren amb la mateixa amplitud i freqüència. Només hi ha una diferència de fase entre els punts, atès que cada un comença a vibrar en un instant diferent.

Com que els punts de l’eix Ox comencen a vibrar després que l’origen de coordenades O, ho faran amb un retard de fase respecte del punt O. Si el nombre d’ona és k rad / m, el retard en un punt P, d’abscissa x metres, serà de kx radians (Fig. 32). Així doncs, si l’angle de fase en el punt O és ω t + ϕ0, en el punt P serà ω t + ϕ0 – k x.

Per tant, l’equació del m.v.h.s. del punt P serà: yP = A sin (ω t + ϕ0 – k x).

Com que P representa un punt qualsevol de la línia de propagació de l’ona, l’equació anterior es pot aplicar a tots els seus punts.

Així doncs, escriurem l’equació d’una ona harmònica de la manera següent:

Així doncs, el nombre d’ona s’expressarà en radians per metre (rad/m) o, simplement, per metres inversos (1/m o m–1).

kx

=– ∆∆

ϕ

El nombre d’ona k i la constant elàstica (k = m ω2) utilitzada en l’estudi del m.v.h.s., tot i que es representen amb la mateixa lletra, són magnituds diferents.

Però hem vist que, en una distància igual a la longitud d’ona, la fase es retarda 2 π rad. és a dir, si ∆x = λ, es compleix que −∆ϕ = 2 π rad. Per tant, el nombre d’ona k serà:

16 | equació d’una ona harmònicaImaginem una ona harmònica transversal que es propaga al llarg d’una recta, que adoptarem com a eix d’abscisses. La posició de cada un dels punts d’aquesta recta queda determinada per la seva abscissa x (Fig. 31). Però, si es tracta d’una ona transversal, la vibració té lloc en la direcció de l’eix d’ordenades; per tant, l’elongació del m.v.h.s. de cada punt vindrà donada per la seva ordenada y.

31. Transmissió, en la direcció de l’eix Ox, d’una ona harmònica transversal.L’abscissa x determina la posició del punt P en la direcció de propagació de l’ona.L’ordenada y és l’elongació del moviment vibratori del punt P.

k =2πλ

x

y

y

P

xO

y = A sin (ω t – k x + ϕ0)

x

xλ

O P

32. Retard de fase en una ona harmònica. La fase es retarda 2 π radians cada λ metres. En un punt P, a x metres de l’origen, es retardarà 2 rad

mx m = k x rad.

πλ

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 24 28/4/09 06:34:20

25


Aquesta és l’equació de l’ona perquè expressa l’elongació y de qualsevol punt en qualsevol instant; el punt s’ha d’especificar per l’abscissa x, i l’instant, pel valor del temps t.

Els paràmetres d’aquesta equació, A, ω, k i ϕ0, són les característiques de l’ona que es propaga:

• A és l’amplitud de la vibració,

• ω és la seva freqüència angular o pulsació (ω = 2 π / T = 2 π ν),

• k és el nombre d’ona (k = 2 π / λ),

• ϕ0 és la constant de fase i correspon a la fase del punt x = 0 en l’instant t = 0.

Se sol considerar ϕ0 = 0 per simplificar una mica l’equació de l’ona. Però, quan ens calgui considerar alhora dues ones de la mateixa freqüència que difereixen en la fase, almenys en una d’elles ϕ0 haurà de ser diferent de 0.

L’equació anterior és la d’una ona que es propaga al llarg de l’eix Ox en sentit positiu. Però, si l’ona es propaga en sentit negatiu, els punts d’abscissa positiva comencen a vibrar abans que l’origen de coordenades, de manera que, en comptes d’un retard, tindran un avançament de fase (k x) en relació amb l’origen de coordenades. L’equació de l’ona serà, en aquest cas:

y = A sin (ω t + k x + ϕ0)

Si ens imaginem situats en un punt fix de l’eix Ox, fet que equival a considerar x constant, el temps quedarà com a única variable independent en l’equació de l’ona. Derivant aquesta equació respecte del temps, obtindrem la velocitat del m.v.h.s del punt en el qual ens hem situat:

vdt

A t v= = cos( + ) , és a dir, =0

dy ω ϕ ω cos( + )0ω ω ϕA t

Derivant novament en relació amb el temps, s’obté l’acceleració del m.v.h.s. del punt considerat:

adt

A t k x= = [– sin( – + )] , é0

dv ω ω ϕ ω ss a dir, = sin( – + )20a A t k xω ω ϕ

7. escriu l’equació d’una ona harmònica de 5 cm d’amplitud i 20 Hz de freqüència, que es propaga amb una velocitat de 8 m/s.

Per escriure l’equació de l’ona, y = A sin (ω t – k x + ϕ0), necessitem conèixer l’amplitud A, la freqüència angular, ω, i el nombre d’ona, k. La constant de fase, ϕ0, se sol considerar nul·la, sempre que no calgui donarli un altre valor.

L’amplitud és: A = 0,05 m.

La freqüència angular és: ω = 2 π ν = 2 π 20 Hz = 40 π Hz.

Per calcular el nombre d’ona k, en primer lloc determinarem la longitud d’ona, λ, aïllantla de l’equació v = λν:

λ

ν= =

8 m/s20 Hz

= 0,4 mv

El nombre d’ona és: k =2

=2 rad0,4 m

= 5 rad/mπ

λπ π

Per tant, l’equació de l’ona serà:

y = 0,05 sin (40 π t – 5 π x)

e x e m P l e s

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 25 28/4/09 06:34:22

26


17 | què transporten les onesLes ones ens proporcionen dues coses que per a nosaltres tenen una enorme importància: informació i energia.

Gairebé tota la informació que rebem del nostre entorn més proper la captem a través de la vista i de l’oïda. Aquests sentits ens permeten detectar les ones lluminoses i les ones sonores.

La telefonia, la ràdio i la televisió, que fan possible la comunicació a llarga distància, també transmeten la informació a través de les ones, en aquest cas per mitjà d’ones electromagnètiques amb una freqüència menor que la de la llum, però amb la mateixa velocitat de propagació.

I també, els grans coneixements sobre l’univers que ha adquirit l’ésser humà han arribat, gairebé tots, a través de les ones electromagnètiques que rebem des de les zones més remotes del cosmos.

En l’antiguitat, aquestes ones eren exclusivament les lluminoses. Però els astres emeten ones electromagnètiques de diverses freqüències, que ara som capaços de detectar.

Actualment s’aprofita la informació que transporten les ones amb una freqüència menor que la de la llum, com les ones de ràdio o els rajos infrarojos, i també les que tenen una freqüència major, com els rajos ultraviolats o els rajos X.

Però l’energia que transporten les ones també té molta importància. Només cal adonarse que la major part de l’energia que consumim procedeix, en darrera instància, del Sol, i arriba fins a nosaltres en forma d’ones electromagnètiques, com la llum, els rajos infrarojos i els rajos ultraviolats, que es propaguen a través de l’espai interplanetari.

En l’apartat següent veurem la forma d’expressar l’energia transportada per les ones.

8. l’elongació en metres dels punts d’una ona harmònica és: y = 0,2 sin (300 π t – 4 π x). calcula:

a) la velocitat de propagació de l’ona.

b) la distància entre dos punts amb una diferència de fase de π/3 rad.

c) l’elongació del punt situat a x = 0,4 m en l’instant t = 1/100 s.

a) Comparant l’equació donada amb l’equació general d’una ona harmònica, y = A sin (ω t – k x + ϕ0), resulta evident que: ω = 300 π rad/s i k = 4 π rad/m.

I si tenim en compte que ω = 2 π ν = 2 π/λ, es pot calcular la freqüència, ν, i la longitud d’ona, λ:

ν ω

ππ

πλ=

2=

300 rad/s2

= 150 Hz; =2

=2

4 rad/m= 0,5 m

π ππk

La velocitat de propagació de l’ona serà: v = λ v = 0,5 m 150 Hz = 75 m/s

b) El nombre d’ona és, per definició: k = ∆ϕ/∆x. Si aïllem ∆x obtenim:

∆ ∆

xk

= =/3 rad

4 rad/m=

ϕ ππ

0,083 m

c) Per calcular l’elongació, només cal substituir x i t pels seus valors en l’equació de l’ona:

y = 0,2 sin (300 π 0,01 – 4 π 0,4) = 0,2 sin (1,4 π) = – 0,19 m

34. Imatge ultraviolada de la galàxia M81 (en la constel·lació de l’Óssa Major). S’observen regions de formació d’estrelles gairebé invisibles a la freqüència de la llum.

33. Radiotelescopi. Aquest telescopi està destinat a captar ones de ràdio procedents de regions llunyanes de l’univers.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 26 28/4/09 06:34:25

27


F

18 | intensitat d’una ona

Com podríem expressar en quina mesura arriba a la superfície de la Terra l’energia que irradia el Sol?

Suposem que es disposa d’un sistema per absorbir i mesurar tota l’energia que rep una placa quan és il·luminada pel Sol. És evident que el resultat obtingut dependrà:

a) Del temps que la placa estigui exposada a la radiació solar.

b) De la superfície de la placa.

c) De l’angle que formi la placa amb els rajos solars. L’energia serà màxima quan aquest angle sigui recte (Fig. 35).

Tenint en compte aquests tres factors dels quals depèn l’energia transmesa per una ona, es defineix la intensitat d’ona.

S’anomena intensitat d’ona l’energia que transmet una ona per unitat de temps i per unitat de superfície perpendicular a la seva direcció de propagació.

Si ∆E és l’energia rebuda en un interval de temps, ∆t, sobre una superfície, Sn, normal a la direcció de propagació, la intensitat de l’ona és:

35. L’energia captada per una placa exposada a la llum solar és màxima quan és perpendicular als rajos.

I =n

∆∆

Et S

Com que l’energia per unitat de temps (∆E/∆t) es mesura en J/s, que equivalen a watts, la intensitat d’ona s’expressa en el SI en W/m2.

Apliquem els conceptes anteriors al cas més habitual: el d’un focus puntual que emet ones tridimensionals en un mitjà homogeni i isòtrop.

En aquest cas, una superfície, Sn, perpendicular a la direcció de propagació de les ones és la superfície d’una esfera amb centre en el focus (Fig. 36).

Si el radi de l’esfera és r, la seva superfície és Sn = 4 π r2.

D’altra banda, com que la superfície esfèrica envolta totalment el focus, tota l’energia que emet passa a través d’aquesta superfície. Per això, el quocient ∆E/∆t és igual a l’energia total que emet per unitat de temps –anomenada potència del focus–, que simbolitzarem amb P.

En conseqüència, la intensitat de l’ona esfèrica emesa per un focus puntual a una distancia r del focus és:

I = =4n

2

∆∆

Et S

Pr π

És a dir, en el cas de les ones esfèriques, la intensitat d’ona és inversament proporcional al quadrat de la distància al focus emissor.

Aquest fenomen de disminució de la intensitat d’ona en allunyarse del focus rep el nom d’atenuació. Es deu al fet que, en expandirse el front d’ona, la mateixa quantitat d’energia es reparteix en una superfície cada ve gada més gran. La pèrdua d’intensitat d’ona es manifesta en una disminució de l’amplitud de vibració.

36. La superfície esfèrica és perpendicular als rajos emesos pel focus puntual F.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 27 28/4/09 06:34:28

28


Christian Huygens (16291695). Físic neerlandès. Va estudiar els fenòmens oscil·latoris i va proposar un model per a la propagació dels moviments ondulatoris en l’anomenat principi de Huygens.

Va elaborar una teoria sobre la naturalesa ondulatòria de la llum, en contraposició a la teoria de Newton sobre la seva naturalesa corpuscular.

Va estudiar els moviments circulars i els xocs elàstics entre cossos. També va ser dels primers a estudiar el càlcul de probabilitats. Va construir el primer rellotge de pèndol eficaç i un rellotge amb una molla oscil·lant (que han utilitzat, d’aleshores ençà, molts rellotges de paret i de mà). També va construir telescopis, que va utilitzar per observar i explicar els anells de Saturn, i microscopis.

19 | Propagació de les ones: construcció de Huygens

Christian Huygens, físic neerlandès, va proposar un model de propagació dels moviments ondulatoris en medis continus segons el qual cada un dels punts a què arriba un moviment ondulatori es constitueix en focus d’una ona circular. La combinació en els punts veïns, de les ones circulars generades al mateix temps propagarà el moviment ondulatori.

Podem enunciar el principi de Huygens de la manera següent: tots els punts d’un front d’ones es constitueixen en centres emissors d’ones circulars secundàries, l’envolupant dels quals constituirà un nou front d’ones. Anomenem envolupant la corba tangent a totes les d’una família. En el cas del model de propagació de Huygens, l’envolupant serà la tangent a totes les ones circulars secundàries, procedents d’un mateix front. Si el front d’ones és circular, la construcció de Huygens dóna un nou front d’ones, també circular, de radi més gran (Fig. 37a). En el cas d’una ona recta, el nou front d’ones també és una línia recta desplaçada respecte del front anterior (Fig. 37b).

9. un focus puntual emet ones esfèriques. a una distància de 4 m del focus, la intensitat d’ona és de 1,5 W/m2.

calcula la intensitat d’ona a 10 m del focus, l'energia que rebrà en un minut una superfície de 0,25 m2, perpendicular a la direcció de propagació de les ones, situada a 10 m del focus i la potència del focus.

a) La intensitat de l’ona és inversament proporcional al quadrat de la distància al focus: I1 r 12 = I2 r 2

2

Aïllant I2 i fent I1 = 1,5 W/m2, r1 = 4 m i r2 = 10 m, s’obté:

I I2 1

22

2= = 1,5 W/m

(4 m)(10 m)

=r

r12

22

0,24 W / m2

b) Aïllant l’energia rebuda, ∆E, de l’expressió de la intensitat d’ona, resulta:

∆E = I ∆t Sn = 0,24 W/m2 60 s 0,25 m2 = 3,6 J

c) La intensitat d’ona es pot expressar com: I = P / 4 π r2

Aïllem la potència, P, del focus i tenim en compte que, a una distància del focus r = 4 m, la intensitat de l’ona és = 1,5 W/m2: P = I 4 π r2 = 1,5 W/m2 4 π (4 m)2 = 302 W

e x e m P l e

Ones secundàries Ones secundàries

Front d’ones circulars Front d’ona

a b

37. a) Construcció d’ones circulars.b) Construcció d’ones rectes.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 28 28/4/09 06:34:30

29


20 | reflexió

Quan una ona arriba a la superfície de separació de dos medis, una part canvia la direcció de propagació i continua propagantse en el mateix medi. És el fenomen de la reflexió. Si l’ona es pot propagar en el segon medi a una velocitat diferent que en el primer, una part de l’ona es transmetrà també pel segon medi i donarà lloc al fenomen de la refracció.

Anomenem ona incident la que s’acosta a la superfície de separació dels medis i ona reflectida la que s’allunya després de reflectirse en aquesta superfície.

Si la superfície no és massa llisa, es produeix una reflexió en totes direccions que dóna lloc a una reflexió difusa. N’és un exemple la reflexió de la llum sobre la superfície del mar amb les onades (Fig. 38). Si la superfície no presenta irregularitats, es produirà una reflexió anomenada especular (Fig. 39), ja que serà com la que experimenta la llum en un mirall. Aquest tipus de reflexió segueix unes lleis ben determinades.

Anomenem angle d’incidència el que formen el raig incident i la recta normal, perpendicular a la superfície. L’angle que formen la normal i el raig reflectit s’anomena angle de reflexió (Fig. 40). En el cas de fronts d’ona rectes, l’angle entre el front i la superfície és igual al que formen el raig corresponent amb la normal.

Experimentalment es comprova que en una reflexió especular es compleixen les dues lleis següents:

• El raig incident, la normal i el raig reflectit es troben en el mateix pla.

• L’angle d’incidència és igual a l’angle de reflexió.

En una cubeta d’ones podem observar el fenomen de la reflexió. La figura 41 mostra la reflexió d’ones circulars en xocar amb un obstacle. La figura 42 representa la reflexió d’un tren d’ones rectes que avança d’esquerra a dreta i xoca amb un obstacle col·locat obliquament respecte de la direcció de propagació. En aquesta figura, a més, es representa el raig incident, la normal i el raig reflectit, de manera que es comproven les lleis de la reflexió.

38. Reflexió difusa de la llum.

39. Reflexió especular en les aigües tranquil·les d’un llac.

41. Reflexió d’ones circulars en un obstacle pla en un pla oblic.

42. Reflexió d’ones rectes, on i és l’angle d’incidència i r és l’angle de reflexió. Es comprova que i = r.

Raig incident Raig reflectit

Raig refractat

Superfície de separaciódels medis

Normal

i r

r'

40. Esquema dels angles que formen els raigs i la normal en els fenòmens de reflexió i refracció.

i

r

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 29 28/4/09 06:34:36

30


La figura 43 mostra l’aplicació del principi de Huygens a la reflexió d’una ona recta en una superfície. El front d’ones AB incideix sobre una superfície amb la qual forma un angle d’incidència i, el front d’ona reflectit, A’B’, forma un angle r amb la superfície. El temps que tarda l’ona incident a anar de B a B’ serà el mateix que el que tarda la reflectida a anar de A a A’ i, com que es propaguen pel mateix medi, totes dues ho faran a la mateixa velocitat; per tant, AA’ = BB’. Així, resulta que els triangles ABB’ i AA’B’ són iguals i, per tant, també ho són els angles i i r.

21 | refracció

Quan una ona recta incideix amb una inclinació determinada respecte de la superfície de separació de dos medis, en els quals es propaga a velocitats diferents, la seva direcció de propagació canvia en travessar la superfície i desplaçarse pel segon medi. Ho podem fer palès experimentalment en una cubeta d’ones (Fig. 44).

Anomenem ona refractada la que s’allunya de la superfície cap al segon medi. L’angle que formen la direcció de propagació de l’ona refractada o raig refractat i la normal s’anomena angle de refracció.

Experimentalment s’ha comprovat que, quan una ona es refracta passant d’un medi en el qual la velocitat és v1 a un altre medi en el qual és v2, es compleixen les relacions següents:

• El raig incident, la normal i el raig refractat estan en un mateix pla.

• L’angle d’incidència, i, i l’angle de refracció, r, estan relacionats per l’anomenada llei de snell:

sinsin

= 1

2

ir

vv

Willebrord Snell, matemàtic holandès, va enunciar aquesta llei l’any 1621.

El quocient v1/v2 s’anomena índex de refracció del segon medi respecte del primer.

De la llei de Snell es dedueix que, quan la velocitat en el segon medi és menor que en el primer, l’angle de refracció és menor que el d’incidència. En cas contrari l’angle de refracció serà més gran que el d’incidència.

El principi de Huygens explica la refracció i les seves lleis (Fig. 45). El front d’ona incident, AB, forma un angle i amb la superfície, mentre que el front d’ona refractat, A’B’, forma un angle r. Mentre que l’ona incident es mou de B a B’, en el segon medi l’ona refractada es desplaça des de A fins A’. Si anomenem ∆t el temps que tarda l’ona a fer aquests desplaçaments, podem establir la relació següent:

BB'AA'

= =1

2

1

2

v tv t

vv

∆∆

Els triangles ABB’ i AA’B’ són rectangles, amb la hipotenusa, AB’, comuna. Així, tenim que BB’ = AB’ sin i. Igualment, AA’ = AB’ sin r. Si substituïm aquestes dues igualtats en la relació anterior i simplificant AB’, obtenim la llei de Snell.

sinsin

= 1

2

ir

vv

i r

ir

A B'

B A'

43. Construcció de Huygens per a la reflexió d’una ona recta en una superfície. S’hi poden comprovar les lleis de la reflexió especular.

44. Refracció d’un tren d’ones rectes en una cubeta d’ones; i és l’angle d’incidència i r és l’angle de refracció.

i

r

i

i

r

r

A

A'

B

B'ˆ ˆ

45. Construcció de la refracció d’una ona recta a partir del principi de Huygens. Quan tot el front d’ones ha creuat la superfície de separació dels dos medis, es forma un nou front d’ones rectes que es propaga pel segon medi.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 30 28/4/09 06:34:41

31


22 | difracció

difracció és l’alteració que experimenten els fronts d’ones quan travessen una escletxa estreta, xoquen amb un objecte petit o freguen la vora d’un obstacle.

En la figura 46 hem fotografiat una experiència realitzada en la cubeta d’ones. En la part dreta s’ha produït un tren d’ones rectes, que es traslladen de dreta a esquerra. En el centre de la cubeta s’ha col·locat una barrera rectilínia per impedir el pas de les ones, que té una ranura d’una mesura inferior a la longitud d’ona.

S’observa que l’ona, en passar a través de la ranura, es corba i es propaga per darrere de la barrera en forma d’ones circulars. Aquest fenomen s’anomena difracció.

Si la ranura és més gran que la longitud d’ona, el fenomen és menys palès, però també es produeix una curvatura del front d’ona en les vores de l’obertura (Fig. 47). Com més gran és la mesura de la ranura, menys intensa serà la difracció.

Aquest fenomen també es pot observar si es col·loca un petit obstacle en el trajecte de les ones. Si l’objecte té una mesura igual o més petita que la longitud d’ona, el front es corba, envolta l’obstacle i es propaga pel darrere; es comporta com un focus puntual i emet unes ones circulars dèbils (Fig. 48).

És per això que les ones sonores, que tenen una longitud d’ona compresa entre uns centímetres i uns quants metres, poden envoltar la majoria dels obstacles petits que troben en el seu camí, però no poden passar els que són molt grans com, per exemple, un edifici o una muntanya.

23 | interferències

Quan dos o més moviments ondulatoris que es propaguen per un mateix medi afecten simultàniament un punt d’aquest medi, els seus efectes se sumen i donen lloc a pertorbacions que són la combinació dels efectes de cada un d’ells. Aquest fenomen s’anomena inter ferència d’ones.

Suposem, per exemple, que dues ones harmòniques de diferent freqüència i amplitud es propaguen en el mateix sentit al llarg d’una banda elàstica (Fig. 49). Es comprova experimentalment que la pertorbació resultant en cada punt obeeix al principi de superposició d’ones, que es pot enunciar de la manera següent:

En cada instant, l’elongació d’un punt afectat simultàniament per diverses ones és la suma de les elongacions que produiria cada una de les ones separadament.

En la part inferior de la figura 49 s’ha dibuixat, aplicant el principi de superposició, la resultant de les dues ones superposades com a exemple. En alguns punts, les elongacions de les dues ones són del mateix sentit i es reforcen mútuament; diem que es produeix una inter ferència constructiva. En uns altres punts, les elongacions són de sentit contrari i es contraresten totalment o parcialment; diem, llavors, que hi ha una inter ferència destructiva.

46. Difracció en una ranura molt estreta. La ranura es comporta com si fos un focus puntual emissor d’ones.

47. En una ranura ampla, el fenomen de la difracció és menys palès. S’observa una curvatura del front d’ona en la zona propera a la vora de la ranura.

48. Difracció en un obstacle petit.

49. Superposició d’ones harmòniques de diferent freqüència i amplitud.a) Les dues ones per separat.b) Resultat de la superposició.

b

a

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 31 28/4/09 06:34:44

32


Podem considerar el cas de la inter ferència de dos moviments ondulatoris transversals, unidimensionals, de la mateixa amplitud i la mateixa freqüència angular, que es propaguen per la mateixa línia recta. Les seves equacions només diferiran en la fase inicial:

y1 = A sin (ω t – k x + ϕ1); y2 = A sin (ω t – k x + ϕ2)

En cada punt l’elongació del moviment resultant serà la suma de les elongacions dels dos moviments ondulatoris:

y = y1 + y2 = A sin (ω t – k x + ϕ1) + A sin (ω t – k x + ϕ2) = = A [sin (ω t – k x + ϕ1) + sin (ω t – k x + ϕ2)]

Aplicant la fórmula trigonomètrica per a la conversió d’una suma de sinus en producte (vegeu l’apartat Coneixements previs de matemàtiques, a l’inici d’aquesta unitat), resulta:

y y y A t k= + = 2 cos–2

sin –1 21 2ϕ ϕ

ω xx +–2

1 2ϕ ϕ

Com que el producte:

2–2

1 2A cosϕ ϕ

és una constant, l’anomenarem Ar, de manera que resulta:

y A t k x= sin – +–2r

1 2ωϕ ϕ

Aquesta equació és la d’una ona harmònica amb la mateixa freqüència angular i nombre d’ona que les inicials, però l’amplitud de la qual és:

A A cosr1 2= 2

–2

ϕ ϕ

Quan les ones inicials estan en fase, ϕ1 – ϕ2 = 2 π n, l’amplitud de l’ona resultant és màxima:

Ar = 2 A cos (π n) = 2 A 1 = 2 A

Es produeix una interferència constructiva.

Quan les ones inicials estan en oposició de fase, ϕ1 – ϕ2 = (2 n + 1) π, l’amplitud resultant és nul·la:

Ar = 2 A cos (n π + π/2) = 2 A 0 = 0

Es produeix una interferència destructiva, i els punts no oscil·len.

Mitjançant la interferència de diverses ones harmòniques de diferent amplitud i freqüència, es pot aconseguir qualsevol tipus d’ona periòdica. Aquest és el fonament dels sintetitzadors de so, que poden construir el so de qualsevol instrument musical a partir de les ones harmòniques.

La varietat de casos d’interferència d’ones és molt gran. Aquí ens limitarem a estudiar alguns dels fenòmens més simples. Vegem ara un cas d’inter ferència d’ones en dues dimensions, és a dir, sobre una superfície plana.

Considerem dos focus puntuals, F i F’, que emeten simultàniament ones harmòniques de la mateixa amplitud i longitud d’ona. Suposem que les dues ones, en ser emeses pels focus, es troben en la mateixa fase. Quan els dos fronts d’ona es troben en un punt com el P0 (Fig. 50) situat en la

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 32 28/4/09 06:34:46

33


mediatriu del segment FF’, com que tots dos hauran recorregut la mateixa distància, es trobaran també en la mateixa fase. A cada instant, les elongacions corresponents a cada una de les ones separadament seran iguals i, pel principi de superposició, l’elongació resultant serà el doble. Per això, el punt P0 vibrarà amb amplitud doble a la de cada una de les ones. En el punt P0 es produeix una inter ferència constructiva; les dues ones es reforcen.

Considera, ara, un punt com P1 tal que P1F – P1F’ = λ/2 (Fig. 51). En arribar a aquest punt, atès que els recorreguts de les dues ones es diferencien en mitja longitud d’ona, es trobaran en fase oposada. Les elongacions corresponents a cada una de les ones seran, en cada instant, iguals i de sentit contrari. Pel principi de superposició, l’ona resultant serà nul·la i el punt P1 no vibrarà. Es diu que en P1 es produeix una inter ferència destructiva; les dues ones s’anul·len.

Tots els punts com P0, en els quals dues ones es reforcen i es produeix una vibració de doble amplitud, s’anomenen ventres. Això passa quan el camí recorregut pels dos fronts d’ona és igual. Per això, tots els punts de la mediatriu del segment FF’ seran ventres. Passa el mateix quan la diferència entre els camins recorreguts pels dos fronts d’ona és igual a una longitud d’ona.

El conjunt de tots els punts, en els quals la diferència de distàncies als dos focus emissors, F i F’, és igual a λ, és una hipèrbola. Tots els punts d’aquesta hipèrbola seran, també, ventres. Si la diferència de distàncies als dos focus és igual a 2λ o bé 3λ o 4λ..., també es produeix el mateix fenomen. Per tant, hi ha un conjunt d’hipèrboles, els punts del qual són ventres. Totes aquestes hipèrboles tenen com a focus els punts F i F’. Aquestes hipèrboles de ventres s’han representat en la figura 48.

La condició que compleixen els punts de les hipèrboles de ventres és: x1 – x2 = n λ

On x1 i x2 són les distàncies als focus F i F’, respectivament, i n és un nombre enter.

Per a n = 0, els punts que compliran la condició seran els de la mediatriu del segment FF’. Per a n = 1, els punts correspondran a una hipèrbola en què la diferència de distàncies als focus és λ; n = 2 donaria la hipèrbola en què la diferència de distàncies als focus és igual a 2λ.

De forma anàloga, aniríem obtenint tota la família d’hipèrboles corresponents als ventres.

Igualment, hi ha un altre conjunt d’hipèrboles, formades per punts en què es produeix l’anul·lació total de les vibracions: són els nodes.

En aquestes hipèrboles d’inter ferència destructiva la diferència de distàncies als focus és igual a un nombre imparell de semilongituds d’ona:

x x n1 2– = (2 + 1)2λ

Aquestes hipèrboles de nodes s’han dibuixat amb línies discontínues en la figura 52.

En els punts situats entre les línies de ventres i les de nodes, l’amplitud de les vibracions pren valors compresos entre 0 i 2A (on A és l’amplitud de les ones emeses pels focus F i F’).

F

F'

F

F' P0

P0

P0

F

F'

F

F'P1

P1

P1

50. Esquema de la superposició de dues ones en fase en un punt P0.

51. Esquema de superposició de dues ones en un punt Plr al qual arriben en oposició de fase.

52. Interferència de les ones emeses per dos focus puntuals en la cubeta d’ones. S’hi observen clarament les hipèrboles de nodes (zones d’una tonalitat grisenca uniforme).

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 33 28/4/09 06:34:50

34


El fenomen d’inter ferència que hem estudiat aquí és un dels més senzills. Podríem considerar també què passaria si les ones, en ser emeses pels dos focus, no es trobessin en la mateixa fase o no tinguessin la mateixa amplitud o hi hagués més de dos focus emissors. El nombre de casos d’inter ferència d’ones que es poden plantejar és infinit, i n’hi ha molts que són enormement complicats.

10. mitjançant una vareta en forma de u invertida, generem un moviment vibratori harmònic perpendi·cular a la superfície en repòs d’un líquid d’una cubeta d’ones. apliquem al moviment una freqüència de 50 Hz. les pertorbacions que produeix es propaguen a la superfície del líquid a una velocitat de 50 cm/s. determina el tipus d’interferència que es produirà:

a) en un punt, P, situat a 12 i 15 cm dels focus emissors.

b) en un altre punt, q, situat a 20 i 22,5 cm dels focus emissors.

Cada extrem de la U invertida generarà un moviment ondulatori harmònic d’ones circulars, que estaran en fase. La seva freqüència angular serà: ω = 2 π ν = 2 π 50 Hz = 100 π rad/s

La longitud d’ona valdrà:

λ

ν= =

50 cm/s50 Hz

= 1 cm = 0,01 mv

Per tant, el nombre d’ona és:

k =

2=

2 rad0,01 m

= 200 rad/mπ

λπ π

a) La diferència de distàncies del punt P als focus és: x2 – x1 = 15 cm – 12 cm = 3 cm = 0,03 m

Podem calcular la diferència de fase de les dues ones, en arribar a P, multiplicant la diferència de camins pel nombre d’ona: ∆ϕ = k ∆x = 200 π rad/m 0,03 m = 6 π rad

Aquest resultat, com a múltiple de 2 π, indica que les dues ones estan en fase. Per tant, en aquest punt es produirà una inter ferència constructiva o ventre.

També podíem haver comparat la diferència de camins amb la longitud d’ona.

x x2 1–=

0,03 m0,01 m

= 3λ

Segons aquest resultat, la diferència de camins en arribar a P és un nombre enter (3) de longituds d’ona. Per tant, els dos moviments ondulatoris arribaran al punt P en fase i es produirà una interferència constructiva.

b) En el punt Q: x2 – x1 = 22,5 cm – 20 cm = 2,5 cm = 0,025 m

La diferència de fase serà : ∆ϕ = k ∆x = 200 π rad/m 0,025 m = 5 π rad

Per tant, els dos moviments ondulatoris arriben a Q en fases oposades i es produeix una inter ferència destructiva. En el punt Q no es produeix vibració; és un node.

e x e m P l e

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 34 28/4/09 06:34:52

35


24 | ones estacionàries

Considerem una corda, una molla o un tub elàstic llarg subjecte per un dels extrems a un punt fix. Si comuniquem un moviment harmònic transversal a l’altre extrem lliure, es produirà un tren d’ones que es transmetrà al llarg de la corda. En arribar a l’extrem fix, les ones es reflecteixen, s’inverteixen i es transmeten novament al llarg de la corda en sentit contrari. Quan les ones incidents es troben amb les reflectides, es produeix un fenomen d’inter ferència, la resultant del qual és una ona estacionària.

En la figura 53 hem representat cinc instants successius de la formació d’aquesta ona. Les dues ones que inter fereixen, dibuixades amb colors diferents per facilitarne la identificació, avancen a la mateixa velocitat en sentit contrari. En cada un dels dibuixos s’han traçat les ones desplaçades respecte del dibuix anterior una longitud igual a λ/16.

En l’ona resultant s’aprecia l’existència d’un conjunt de punts (N, en la figura) que no vibren. En aquests punts, les elongacions de les dues ones són sempre iguals i oposades, per la qual cosa, en tot instant, s’anul·len. En uns altres punts (V, en la figura) passa tot al contrari. En aquests casos, les elongacions de les dues ones són iguals i del mateix sentit, per la qual cosa se sumen. Aquests punts vibren amb una amplitud doble que les ones inicials. Els punts N són els nodes i els punts V, els ventres.

Com podem observar en la figura, la distància entre nodes és de mitja longitud d’ona. Els ventres també es troben a aquesta distància els uns dels altres i són equidistants als nodes.

Podem calcular analíticament la funció que determina l’estat de vibració dels punts d’una ona estacionària, si tenim present que es forma a partir de la superposició de dues ones harmòniques que es mouen en sentits oposats.

Així, podem partir de dues ones que tenen com a equacions les següents.

Ona que es desplaça en sentit negatiu: y1 = A sin (ω t + k x)

Ona que es desplaça en sentit positiu: y2 = A sin (ω t – k x )

El moviment resultant s’obtindrà sumant les elongacions de les dues ones:

y = y1 + y2 = A sin (ω t + k x) + A sin (ω t – k x) = = A [sin (ω t + k x) + sin (ω t – k x)]

Aplicant la fórmula de conversió de la suma de sinus en producte s’obté:

N V N V N V N

53. Instants successius de la interferència que dóna lloc a la formació d’ones estacionàries. A sota es pot veure l’aspecte d’aquestes ones en una cinta elàstica que vibra.

y = y1 + y2 = 2 A cos (k x) sin (ω t) = Ar sin (ω t)

Aquesta equació correspon a un moviment vibratori harmònic simple de freqüència angular ω i d’amplitud Ar = 2 A cos (kx).

En els punts en els quals cos (k x) = 0, l’amplitud resultant serà 0; és a dir, no hi haurà vibració. Aquests punts són els nodes.

Per això s’ha de complir:

k x n=2

+π π

(on podem donar a n qualsevol valor enter).

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 35 28/4/09 06:34:54

36


Si substituïm k per 2 π/λ i aïllem x, obtenim la posició dels nodes:

x n=4

+2

λ λ

Els punts situats en les posicions en què cos (k x) = ±1 vibraran amb amplitud màxima, de valor igual a 2 A. Són els ventres.

Per això s’ha de complir: k x = n π (on podem donar a n qualsevol valor enter).

Substituïm k per 2π/λ i aïllem x per tal d’obtenir la posició dels nodes:

x n=2λ

Una conseqüència immediata dels anteriors valors de x en els nodes i en els ventres és que la distància entre dos nodes consecutius o entre dos ventres consecutius és λ/2.

Igualment es dedueix que la distància entre un node i un ventre consecutius és λ/4.

En el cas d’una corda amb els extrems fixos, hauran de ser forçosament nodes, ja que no poden vibrar. Això implica que no es pot produir qualsevol ona estacionària, sinó només les que tinguin nodes en els extrems. Aquestes ones es caracteritzen per unes freqüències de vibració determinades (Fig. 54) que donen lloc a diferents estats de vibració de la corda anomenats modes normals de vibració. El mode de més longitud d’ona s’anomena harmònic fonamental i els següents, harmònics secundaris.

Com es pot veure en la figura 54, entre els extrems fixos de la corda hi cap un nombre enter de vegades la semilongitud d’ona de les ones.

És a dir, es compleix:

L n=2λ

d’on es dedueix que:

λ =2

(per a = 1,2,3...)L

nn

El mode de vibració fonamental es produeix per a n = 1 amb una longitud d’ona: λ1 = 2 L.

Els altres harmònics es produeixen per a n = 2, 3, 4..., amb longituds d’ona:

λλ

λλ

λ21

31

4=22

=2

=23

=3

L L==

24

=4

=25

=5

.....15

1L Lλλ

λ=

2= 1λ

λn

Ln n

λλ

λλ

λ21

31

4=22

=2

=23

=3

L L==

24

=4

=25

=5

.....15

1L Lλλ

λ=

2= 1λ

λn

Ln n

És a dir, que les longituds d’ona dels harmònics secundaris són la de l’harmònic fonamental dividida pels successius nombres enters.

D’altra banda sabem que la velocitat de propagació de les ones és: v = λ ν.

De l’anterior igualtat es dedueix que la freqüència és: ν = v / λ.

Per tant la freqüència de l’harmònic fonamental serà: ν1 = v / λ1.

λ = 1

λ = = L 2

λ = 3

λ = = 4

12L

22L

32L

42L

2L

L

54. Representació de quatre modes normals de vibració d’una corda fixa pels extrems.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 36 28/4/09 06:34:58

37


I les freqüències dels harmònics següents vindran donades per:

νλ λ λ

νn

v vn

vn n= =

/= =

n 1 11 ((per a = 1, 2, 3…)n

Així, doncs les freqüències dels modes normals de vibració, en una corda amb els extrems fixos, són els múltiples successius de la freqüència de l’harmònic fonamental.

11. en una corda de 16 cm de longitud amb els extrems fixos s’ha generat una ona estacionària d’equa·ció: y = 0,02 sin (25 π x) cos (8 π t) (x i y s’expressen en metres i t en segons).

calcula: a) l’amplitud màxima de vibració d’un punt. b) el període i la freqüència de les oscil·lacions. c) el nombre de ventres i de nodes que es formen. d) l’amplitud i la velocitat de propagació de les ones components.

a) L’amplitud màxima de vibració es produeix en els ventres, on sin (π /4) x = 1. Per tant, l’amplitud màxima d’oscil·lació val: Amàx = 0,02 cm = 2 cm.

b) En l’equació de l’ona: ω = 8 π rad/s. Com que ω = 2 π / T, el període T serà:

T =

2=

2 rad8 rad/s

=π

ωπ

π0,25 s

La freqüència és la inversa del període:

ν =

1=

10,25 s

=T

4 Hz

c) En l’equació de l’ona veiem que el nombre d’ona és k = 25 π rad/m.

Com que k = 2 π / λ, la longitud d’ona és: λ π ππ

=2

=2 rad

25 rad/m= 0,08 m = 8 c

kmm

La distància entre nodes és d = λ / 2 = 4 cm.

Com que la longitud de la corda és de 16 cm, hi haurà 16 cm/4 cm = 4 ventres

Atès que els dos extrems de la corda són nodes, hi haurà 5 nodes (vegeu la figura).

El mode de vibració de la corda correspon al 4t harmònic.

Esquema del mode normal de vibració corresponent.

d) L’amplitud de les ones components és la meitat de l’amplitud d’oscil·lació dels ventres. Per tant, en aquest cas: A = 1 cm.

La seva velocitat de propagació és: v = λ ν = 0,08 m 4 s–1 = 0,32 m/s

e x e m P l e

0 4 8 12 16

N N N N NV V V V

2 6 10 14

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 37 28/4/09 06:35:00

38


25 | el so. característiques físiques

Experiències com la de la figura 55 ens mostren les característiques del so. Hi podem veure un diapasó. Es tracta d’una peça metàl·lica en forma de ferradura, proveïda d’un mànec a la part corba per poder subjectarlo amb la mà o en un suport.

Si en colpegem l’extrem superior, el diapasó emet un so característic que es manté durant uns segons. Si durant aquest temps, procurant no tocarlo amb la mà, col·loquem en contacte amb una de les seves dues branques una boleta de material molt lleuger suspesa d’un fil, veurem que la boleta experimenta una successió de ràpides sacsejades (Fig. 55). Això indica que el diapasó està vibrant, encara que la seva vibració és de tan petita amplitud que amb prou feines és perceptible a primera vista.

Si toquem els extrems del diapasó amb els dits, la boleta deixa d’oscil·lar, al mateix temps que cessa l’emissió de so.

Aquesta senzilla experiència fa palès que el so és una vibració de la matèria.

Si col·loquem un timbre a l’interior d’una campana de vidre i n’extraiem l’aire mitjançant una bomba de buit, observarem que, encara que el timbre estigui vibrant, no sentirem cap so.

Si, contràriament, fem sonar el timbre a l’interior de la campana, sense extraure’n l’aire, en sentirem el so per fectament.

El so és una vibració que es transmet en forma d’ones mecàniques a través de la matèria.

En els instruments de corda es fa vibrar una corda en tensió colpejantla (piano), polsantla (guitarra) o fregantla (violí).

En els instruments de placa o membrana es provoca la vibració d’una placa, que pot ser plana (platets) o corbada (campana) o d’una membrana elàstica tensa (tambor, pandereta).

En els instruments d’aire o vent, el so es produeix en fer vibrar l’aire que conté un tub (flauta, trompeta, òrgan).

El so es transmet per igual en totes direccions en forma d’ones esfèriques, si el medi en què es propaga és homogeni i isòtrop. Experimentalment s’ha comprovat que la transmissió del so en l’aire és un moviment ondulatori longitudinal, és a dir, que les molècules de l’aire vibren en la mateixa direcció en què es transmeten les ones sonores.

Però no totes les vibracions de la matèria són detectades per la nostra oïda. Perquè puguem percebreles, és a dir, perquè siguin un so, han de tenir una freqüència compresa entre 20 i 20 000 vibracions per segon, aproximadament.

Les vibracions de freqüències menors a 20 Hz es denominen infrasons i les de freqüències superiors a 20 000 Hz , ultrasons. Ni les unes ni les altres no poden ser detectades per l’oïda humana. Però molts animals són capaços de detectar ultrasons. Així, per exemple, els ratpenats els utilitzen per detectar els obstacles i les preses que capturen; els cetacis emeten ultrasons per comunicarse a llarga distància a l´oceà; els gossos són capaços de percebre ultrasons, d’aquí l’existència de xiulets per a gossos, inaudibles per a l’oïda humana. També s’utilitzen ultrasons de freqüències molt elevades (centenars de milions de Hz) en aplicacions diverses molt interessants, especialment en els camps de la química i de la medicina (litotrícia).

55. Quan el diapasó sona, es fa palès que vibra perquè impulsa la boleta del pèndol que hi està en contacte.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 38 28/4/09 06:35:03

39


| velocitat de propagació del so

La velocitat del so en l’aire es pot mesurar fàcilment. Per ferho, se situen dues persones separades l’una de l’altra per una distància coneguda de diversos quilòmetres. Una d’elles emet simultàniament dos senyals, un d’acústic i un de lluminós. Això es pot fer, per exemple, mitjançant un tret o una petita explosió que provoca al mateix temps una fogonada i una detonació. L’altra persona cronometra el temps transcorregut des que veu el senyal lluminós fins que sent el so. Com que la llum es propaga quasi instantàniament, es pot considerar que el temps cronometrat és el que tarda el so a transmetre’s des d’una persona a l’altra. Dividint la distància que les separa pel temps cronometrat, s’obté la velocitat de propagació del so en l’aire, que és aproximadament de 340 m/s.

També es pot mesurar la velocitat de propagació del so en altres medis. En l’aigua, per exemple, és de 1 440 m/s. A través de cossos sòlids pot tenir velocitats d’entre 4 000 i 6 000 m/s.

La velocitat del so depèn de les característiques físiques del medi pel qual es propaga.

| qualitats del so

Com més gran és la força amb què colpegem un diapasó, més gran serà l’amplitud de les seves vibracions i més intens el so produït, que se sentirà a més distància.

De la mateixa manera, polsant més fort una corda de guitarra, obtindrem unes vibracions de més amplitud i un so més intens que polsant la corda amb poca força.

la intensitat o volum d’un so depèn de l’amplitud de la vibració i creix quan augmenta l’amplitud.

Si toquem les dents d’una roda dentada que gira (Fig. 56) amb una làmina metàl·lica prima, la làmina vibrarà pels cops amb les dents de la roda i emetrà un so. Com més ràpid sigui el gir de la roda, més gran serà el nombre de vibracions per segon o freqüència de vibració de la làmina. S’observa llavors que, si s’augmenta la velocitat de la roda, el so emès es fa més agut i, si es disminueix es fa més greu.

el to d’un so depèn de la seva freqüència; és més agut com més alta és la freqüència.

Perquè un so pugui ser considerat musical, ha de tenir una freqüència constant. En cas contrari, no podríem indicarne el to i seria un so àton o, si fos desagradable, un soroll.

Observa que, malgrat que dos instruments –per exemple, un piano i un violí– emeten la mateixa nota amb la mateixa intensitat, distingim perfectament de quin dels instruments prové el so. La qualitat que diferencia els dos sons s’anomena timbre.

Els diferents timbres dels sons depenen de la forma de l’ona, que no sol ser una simple ona harmònica de forma sinusoïdal (so pur), sinó que generalment té un per fil molt més complicat (so complex). En el proper apartat (Anàlisi harmònica del so) s’explica més detalladament aquesta qüestió.

56. En girar, la roda dentada fa vibrar la làmina metàl·lica que es recolza en les seves dents. El so que emet la làmina té un to més agut com més ràpidament gira la roda.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 39 28/4/09 06:35:07

40


ones sonores en tubs oberts i tubs tancatsMolts instruments de música estan formats per uns tubs en els quals es produeixen ones sonores que formen ones estacionàries al seu interior.

El tipus d’ones és diferent que en les cordes. Les ones sonores són longitudinals, mentre que en les cordes es produeix un moviment ondulatori transversal. No obstant això, a l’efecte de la propagació i formació d’ones estacionàries en uns determinats medis se li pot aplicar un tractament matemàtic igual al que s’aplica en les cordes.

En els tubs es produeix una oscil·lació de l’aire que contenen en la mateixa direcció que la de propagació de les ones sonores.

Bàsicament, podem trobar dos tipus diferents de tubs sonors: els tancats per un extrem i oberts per l’altre, i els oberts pels dos extrems. En un extrem tancat hi haurà sempre un node del mode normal de vibració que s’estigui produint, ja que l’aire en contacte amb la paret tancada del tub no pot vibrar.

Prop d’un extrem obert, podrem considerar que hi ha un ventre de desplaçament de l’aire, si la longitud del tub és molt més gran que el seu diàmetre. En la pràctica, hi ha una petita correcció de la posició del ventre de l’extrem, que el situa una mica més enllà, aproximadament a una distància igual al radi del tub.

Per a les formes dels modes normals d’oscil·lació que estudiarem aquí, considerarem que els ventres estan situats en els extrems oberts del tub. Així, si disposem d’un tub tancat per un extrem i obert per l’altre, obtindrem les ones estacionàries que es representen en la primera figura.

Tal com observem en la figura, el mode fonamental tindrà un node a l’extrem tancat i un ventre a l’extrem obert. Per tant, la longitud d’ona corresponent al mode fonamental és aproximadament 4 vegades la longitud del tub, L. Per tenir el següent mode normal de vibració, cal afegir cada vegada un node i un ventre més a l’interior del tub respecte de la vibració normal anterior. Així, a l’harmònic següent li correspon una longitud d’ona igual a 4L/3; al següent d’aquest, una longitud d’ona 4L/5; i així consecutivament. Per això, diem que en un medi com aquest només es donen els harmònics imparells, ja que les freqüències que es poden produir són múltiples imparells de la freqüència del mode fonamental. Una de les famílies musicals que correspon a aquest tipus de tubs és la del clarinet.

En el cas d’un tub obert pels dos extrems, en cada extrem hi haurà un ventre. Obtindrem ones estacionàries com les representades en la segona figura.

Tal com es veu en la figura, al mode fonamental de vibració li correspon una longitud d’ona igual a 2L. La longitud d’ona corresponent al segon mode normal de vibració és 2L/2. Al tercer mode li correspon una longitud d’ona igual a 2L/3 i així aniríem obtenint les longituds d’ona associades a cada un dels harmònics que es poden produir en el tub.

Si ens hi fixem una mica, podem comprovar que les freqüències corresponents seran múltiples de la del mode fonamental, de manera semblant al que passa en una corda amb els dos extrems fixos.

Els tubs dels òrgans i de diversos tipus de flautes es comporten com a tubs amb els dos extrems oberts.

do

cu

me

nT

3

Ones estacionàries en un tub tancat per un extrem i obert per l’altre.

Modes normals de vibració en un tub obert pels dos extrems. Es representen els cinc primers harmònics.

L

L

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 40 28/4/09 06:35:09

41


26 | anàlisi harmònica del so

L’any 1807 el matemàtic Joseph Fourier (17681830) va demostrar una propietat important de les equacions dels fenòmens periòdics.

Fourier va descriure que tot fenomen periòdic, per complicat que sigui, es pot representar per una suma d’expressions del tipus A sin (n ω t + ϕ0), per a n = 1,2,3,...etc. Si representem per a y = f(t) l’equació del fenomen periòdic, es pot expressar com a:

y = f(t) = A1 sin (ω t + ϕ1) + A2 sin (2 ω t + ϕ2) + A3 sin(3 ω t + ϕ3) + + ... + An sin(n ω t + ϕn) + ...

Aquests sumands representen fenòmens harmònics simples d’amplituds diferents: A1, A2, A3, ... An...

La freqüència angular, ω, del primer és la fonamental. Els altres sumands són els seus harmònics, les freqüències angulars dels quals són els successius múltiples enters de ω.

Per a la majoria dels fenòmens periòdics aquesta suma posseeix infinits sumands, però se’n pot aconseguir una bona aproximació considerantne només els primers. Això és així perquè, a partir d’un cert terme les amplituds, An, es fan tan petites que es poden considerar nul·les. El nombre de sumands que utilitzarem depèn de la precisió amb què vulguem tenir l’equació del fenomen periòdic.

Com a exemple veurem les distintes aproximacions que podem obtenir per a l’equació del fenomen periòdic representat per l’ona quadrada de la figura 56.

Segons el teorema de Fourier l’equació d’una ona quadrada és la següent:

y A tA

tA

= sin ( ) +3

sin (3 ) + sin (ω ω5

55 ) + sin (7 ) + …ω ωtA

t7

En el segon dibuix de la figura s’han traçat les gràfiques dels tres primers harmònics les equacions de les quals són:

y A t yA

t= sin ( ), =3

sin (3 ),ω ω = sin (5 )yA

t5

ω

En el tercer dibuix es pot veure la resultant dels tres harmònics comparada amb l’ona que pretenem obtenir. Com més harmònics se sumen, més s’aproximarà la forma de la resultant a la de l’ona quadrada.

Tota ona es pot representar mitjançant una gràfica, anomenada espectre de freqüències, en la qual figura l’amplitud dels diversos harmònics que la formen en funció de la seva freqüència.

En el cas de l’ona que hem obtingut sumant els tres primers harmònics de l’ona quadrada. L’espectre és el que es pot veure en la figura 57.

ones sonores en tubs oberts i tubs tancatsMolts instruments de música estan formats per uns tubs en els quals es produeixen ones sonores que formen ones estacionàries al seu interior.

El tipus d’ones és diferent que en les cordes. Les ones sonores són longitudinals, mentre que en les cordes es produeix un moviment ondulatori transversal. No obstant això, a l’efecte de la propagació i formació d’ones estacionàries en uns determinats medis se li pot aplicar un tractament matemàtic igual al que s’aplica en les cordes.

En els tubs es produeix una oscil·lació de l’aire que contenen en la mateixa direcció que la de propagació de les ones sonores.

Bàsicament, podem trobar dos tipus diferents de tubs sonors: els tancats per un extrem i oberts per l’altre, i els oberts pels dos extrems. En un extrem tancat hi haurà sempre un node del mode normal de vibració que s’estigui produint, ja que l’aire en contacte amb la paret tancada del tub no pot vibrar.

Prop d’un extrem obert, podrem considerar que hi ha un ventre de desplaçament de l’aire, si la longitud del tub és molt més gran que el seu diàmetre. En la pràctica, hi ha una petita correcció de la posició del ventre de l’extrem, que el situa una mica més enllà, aproximadament a una distància igual al radi del tub.

Per a les formes dels modes normals d’oscil·lació que estudiarem aquí, considerarem que els ventres estan situats en els extrems oberts del tub. Així, si disposem d’un tub tancat per un extrem i obert per l’altre, obtindrem les ones estacionàries que es representen en la primera figura.

Tal com observem en la figura, el mode fonamental tindrà un node a l’extrem tancat i un ventre a l’extrem obert. Per tant, la longitud d’ona corresponent al mode fonamental és aproximadament 4 vegades la longitud del tub, L. Per tenir el següent mode normal de vibració, cal afegir cada vegada un node i un ventre més a l’interior del tub respecte de la vibració normal anterior. Així, a l’harmònic següent li correspon una longitud d’ona igual a 4L/3; al següent d’aquest, una longitud d’ona 4L/5; i així consecutivament. Per això, diem que en un medi com aquest només es donen els harmònics imparells, ja que les freqüències que es poden produir són múltiples imparells de la freqüència del mode fonamental. Una de les famílies musicals que correspon a aquest tipus de tubs és la del clarinet.

En el cas d’un tub obert pels dos extrems, en cada extrem hi haurà un ventre. Obtindrem ones estacionàries com les representades en la segona figura.

Tal com es veu en la figura, al mode fonamental de vibració li correspon una longitud d’ona igual a 2L. La longitud d’ona corresponent al segon mode normal de vibració és 2L/2. Al tercer mode li correspon una longitud d’ona igual a 2L/3 i així aniríem obtenint les longituds d’ona associades a cada un dels harmònics que es poden produir en el tub.

Si ens hi fixem una mica, podem comprovar que les freqüències corresponents seran múltiples de la del mode fonamental, de manera semblant al que passa en una corda amb els dos extrems fixos.

Els tubs dels òrgans i de diversos tipus de flautes es comporten com a tubs amb els dos extrems oberts.

y

tO

y

tO

y

A

tO

56. La gràfica de la part superior correspon a una “ona quadrada”. En la gràfica del centre se’n representen els tres primers harmònics. Les amplituds són A, A/3 i A/5. Les freqüències angulars són ω, 3 ω i 5 ω.

A/3A/5

A

ν 3 ν 5 ν57. Espectre de freqüències de l’ona obtinguda en la figura anterior sumant els tres primers harmònics de l’ona quadrada.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 41 28/4/09 06:35:12

42


An

An = A1/n

1 2 3 4 5 6 7 ν

Ona en dentde serra

y

t

58. Espectre de l’ona en dent de serra. Les amplituds dels harmònics s’obtenen dividint l’amplitud del primer harmònic pels successius nombres naturals.

En la figura 58 se’n pot veure un altre exemple. És la que es coneix com a “ona en dent de serra”, per la forma que té la seva gràfica quan es representa en funció del temps. Si A1 és l’amplitud de l’harmònic fonamental, per obtenir una ona en dent de serra, les amplituds dels successius harmònics han de ser:

AA

AA

AA

AA

21

31

41

51=

2, =

3, =

4, =

5, ..... =n

1AAn

En la figura s’ha representat l’espectre de l’ona assignant arbitràriament el valor 1 a la freqüència fonamental, amb la qual cosa les freqüències dels successius harmònics són els nombres naturals a partir del 2. Si la freqüència fonamental té un altre valor, ν1 , les freqüències dels harmònics seran aquests mateixos nombres naturals multiplicats per ν1.

Hem vist que la forma d’una ona depèn de la combinació d’amplituds dels diferents harmònics. En el cas del so això és el que determina el timbre característic de cada instrument.

En la figura 59 es poden veure les formes de tres ones sonores de timbres notòriament diferents. Corresponen a la veu d’un cantant, al so d’una flauta i al d’una guitarra. Encara que són sons complexos, sabem que cada un d’ells pot descompondre’s en sons purs, és a dir, en ones harmòniques. Les freqüències d’aquestes ones són múltiples enters de la de menor freqüència, que és el primer harmònic o harmònic fonamental.

Cantant Flauta Guitarra

t

y

t

y

t

y

59. La diferència en la forma de les ones emeses per un cantant, una flauta i una guitarra es tradueix en la diversitat en el timbre dels seus sons.

La descomposició d’un so qualsevol (so complex) en els harmònics que el formen (sons purs) es denomina anàlisi harmònica.

A partir de gràfiques com les de la figura 59, però amb valors numèrics concrets en l’eix de temps, es veu fàcilment el temps que dura un cicle, és a dir, el període. La seva inversa és la freqüència fonamental. I multiplicantla pels nombres naturals obtenim les freqüències dels successius harmònics.

Calcular l’amplitud de cada harmònic seria molt més complicat. Ni tan sols coneixent l’equació de l’ona ho pots fer, ja que encara no tens els recursos matemàtics necessaris.

No obstant això hi ha aparells que capten el so a través d’un micròfon i determinen numèricament i/o gràficament les freqüències i amplituds dels harmònics o sons purs que el formen. S’anomenen analitzadors d’espectre o analitzadors harmònics.

El procés invers, que és l’obtenció d’un so complex a partir dels seus diversos harmònics, s’anomena síntesi harmònica.

Els dispositius que generen sons i emeten simultàniament els harmònics que els constitueixen són els sintetitzadors de so.

A Internet es poden trobar tant analitzadors harmònics com sintetitzadors de so vir tuals amb els quals es pot experimentar sense necessitat de disposar de l’aparell real.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 42 28/4/09 06:35:15

43


a

F λ O

F

Vo

V

VF

O

b

c

VFVV

o

λ’

F λ’

27 | efecte doppler

Quan sentim el soroll del motor d’un cotxe que s’acosta, ens passa per davant i després s’allunya, ens adonem que, quan ja ha passat, el soroll es torna més greu respecte del que sentíem abans que arribés, que era, per tant, més agut. D’una manera semblant, quan un tren que arriba fa sonar el xiulet, el seu so se sent amb una freqüència més elevada (més agut) que quan el tren està en repòs; i, quan el tren s’allunya, el so del xiulet és de freqüència més petita (més greu) que quan està en repòs.

Aquest fenomen, pel qual la freqüència observada d’un moviment ondulatori varia si la font està en moviment respecte de l’observador o l’observador respecte de la font, va ser estudiat pel físic Christian J. Doppler (18031853) i es coneix com a efecte Doppler.

Donarem una explicació d’aquest fenomen aplicat a ones mecàniques.

Considerem que un punt F (focus emissor) emet ones harmòniques de freqüència νF en un medi homogeni i isòtrop. Si el focus F està en repòs les ones es propagaran a partir d’ell en totes direccions amb velocitat constant v i els fronts d’ona seran superfícies esfèriques amb centre a F. En la figura 60a s’han traçat els fronts d’ona constituïts pels punts que es troben en la mateixa fase de la seva vibració. Per tant, la distància entre dos fronts consecutius és la longitud d’ona ν = v/vF

Quan aquestes ones arriben a un observador O capaç de detectarles, aquest en percebrà la freqüència νF.

Suposem ara que el focus F es mou cap a l’observador O amb una velocitat vF inferior a la de propagació de les ones (vF < v). Els fronts d’ona ja no seran concèntrics ja que cada un tindrà el centre en la posició des d’on va ser emès pel focus F.

Des que el focus emet un dels fronts que hem dibuixat fins que n’emet el següent, el temps transcorregut és el període TF del moviment ondulatori. En aquest temps el focus haurà avançat una distància d = vF TF = vF/νF. Per tant, en la direcció i el sentit en què avança el focus la separació entre dos fronts consecutius (que és la longitud d’ona) ja no serà λ si no λ' = λ – d (vegeu novament la figura 60b).

Si substituïm λ i d pels valors indicats en el text unes línies més amunt obtenim que aquesta longitud d’ona λ' és:

λ λν ν ν

' = – = – =–

F

F

F

F

F

dv v v v

Així, doncs, quan el focus emissor es mou l’observador rep ones de diferent longitud d’ona que quan el focus està en repòs.

Ara ens preguntarem: quina freqüència percebrà l’observador?

De la relació v = λ ν (velocitat de propagació = longitud d’ona x freqüència) es dedueix que: ν = v / λ.

Com que es tracta de calcular la freqüència que percep l’observador, la velocitat v en l’equació anterior ha de ser la velocitat amb què les ones li arriben.

Aquesta velocitat depèn del fet que l’observador estigui en repòs o en moviment. Per considerar el cas més general suposarem que està en moviment.

60. Efecte Doppler. a) Quan el focus emissor està en repòs: els fronts són circumferències concèntriques i la distància entre elles és la longitud d’ona λ.b) Quan el focus emissor es mou amb una velocitat vF: els fronts són circumferències amb centre als punts des d’on van ser emesos. En la direcció i el sentit en què el focus emissor avança la distància entre els fronts (longitud d’ona λ’) és menor que λ.c) Si l’observador es mou amb la velocitat vO, les ones li arriben amb velocitat v – vO.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 43 28/4/09 06:35:19

44


Si l’observador es mou amb una velocitat vO cap a la dreta (figura 60c), la velocitat de les ones amb respecte d’ell serà v – vO. I com que la longitud d’ona de les ones que li arriben és λ’, la freqüència que percebrà l’observador és:

νλ0

0=–

'

v v

Així, doncs, quan l’observador es mou percep una freqüència diferent que quan està en repòs.

Els dos efectes que acabem d’estudiar, el del moviment del focus i el del moviment de l’observador, es poden expressar en una única equació. Per ferho, aïllarem λ’ en aquesta última equació:

λν

' =– 0

0

v v

Si igualem aquest valor amb el que abans havíem obtingut resulta:

v v v v–=

–= '0

0

F

Fν νλ

Les diferències de velocitats v – vO i v – vF, que apareixen en aquesta equació són respectivament la velocitat relativa de les ones respecte de l’observador i la velocitat de les ones respecte del focus emissor.

Així doncs, l’equació de l’efecte Doppler obtinguda expressa que les velocitats relatives de les ones (respecte del focus i de l’observador) i les seves freqüències (emesa i percebuda) són directament proporcionals:

Velocitat de les ones respecte de l’observador Velocitat de les ones respecte del focus––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Freqüència percebuda per l’observador Freqüència emesa pel focus

L’equació que hem establert es pot aplicar sigui quin sigui el sentit de les velocitats que hi figuren, sempre que es posi a cada una el signe que li correspon segons el seu sentit.

Això no suposa cap dificultat en el cas de les velocitats de l’observador i del focus emissor (vO i vF).

Però les ones emeses pel focus, generalment, es propaguen en tots dos sentits.

Lògicament, a la velocitat de propagació de les ones (v) se li ha d’atribuir el signe que correspon al sentit del focus cap a l’observador.

L’equació obtinguda permet resoldre tots els casos d’efecte Doppler en ones mecàniques, quan les velocitats del focus emissor i de l’observador són inferiors a la velocitat de propagació de l’ona i el medi en què l’ona es propaga està en repòs.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 44 28/4/09 06:35:21

45


L’efecte Doppler és un fenomen característic de tot moviment ondulatori. Es produeix amb les ones mecàniques –com el so– i amb les electromagnètiques –com la llum.

L’equació que hem establert només és aplicable a les ones mecàniques, però qualitativament, la variació de freqüència observada és semblant. Es pot comprovar que, quan hi ha un acostament entre el focus i l’observador, la freqüència percebuda és més gran que l’emesa i, al contrari, és menor quan s’allunyen.

L’anàlisi per descomposició espectroscòpica de la llum i altres radiacions electromagnètiques que arriben a la Terra des d’altres galàxies ha fet palès un fenomen interessant. Consisteix en el fet que les franges típiques de l’espectre dels diversos elements químics coneguts, presents a tot l’univers, presenten un desplaçament cap al vermell, és a dir, un augment de la longitud d’ona o disminució de la freqüència respecte dels seus valors normals. L’efecte Doppler proporciona una explicació coherent d’aquest fenomen, la conclusió de la qual és que les altres galàxies s’estan allunyant constantment de la nostra. Aquesta és una prova concloent de l’expansió de l’univers, que constitueix el punt de partida de l’àmpliament difosa i acceptada teoria del big bang.

61. Ones circulars produïdes per un focus que es desplaça cap a la dreta en una cubeta d’ones.

12. un tren, que porta una velocitat de 72 km/h, emet un senyal acústic de freqüència de 576 Hz. un altre tren, que va en sentit contrari a 90 km/h, es creua amb l’anterior. calcula el valor de la fre·qüència del so que percebrà un passatger del segon tren:

a) abans d’encreuar·se els dos trens, b) després d’encreuar·se.

(dada. velocitat del so en l’aire: v = 340 m/s.)

Considerem sentit positiu el del moviment del tren que emet el so. La seva velocitat és la del focus emissor:

vF = 72

kmh

1000 m1 km

1 h3600 s

= 20 m/s

La velocitat del segon és la de l’observador i s’ha de considerar negativa ja que es mou en sentit contrari a la del primer:

v0 = –90

kmh

1000 m1 km

1 h3600 s

= –25 m //s

a) Mentre els trens s’aproximen abans de creuarse hem de considerar les ones que el primer tren emet cap endavant, és a dir, en el sentit del seu moviment, que és el positiu. Per tant, la velocitat de propagació de les ones és: v = 340 m/s. Si aïllem en l’equació de l’efecte Doppler la freqüència que percep l’observador tenim:

v v

v v

v v0 F0

F

=–

–= 576 Hz

[340 – (–25)]

m/s(340 – 20) m/s

= 576 Hz365320

= 657 Hzz ( > )0 Fv v

b) Quan els trens s’hagin creuat l’única velocitat que haurà canviat de sentit és la de les ones, que llavors seran les que emet el primer tren cap enrere. Per tant, fem v = –340 m/s. Així s’obté:

v v

v v

v v0 F0

F

=–

–= 576 Hz

[–340 – (–25)

]] m/s(–340 – 20) m/s

= 576 Hz–315–360

= 5004 Hz ( < )0 Fv v

e x e m P l e

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 45 28/4/09 06:35:24

46


28 | reflexió del so. eco i reverberació

El so, pel fet de ser un moviment ondulatori, té la propietat de reflectirse en els obstacles.

La reflexió de les ones sonores és la causa de l’eco o ressonància que es produeix quan emetem un so, es reflecteix en una superfície i torna a nosaltres. Aquest fenomen s’anomena eco únicament quan l’oïda és capaç de distingir el so reflectit del so emès. Per això han de transcórrer 0,1 segons, com a mínim, entre les percepcions dels dos sons. En 0,1 s el so recorre 34 m, ja que la seva velocitat en l’aire és de 340 m/s. Perquè el so recorri una distància superior a 34 m en el camí d’anada i tornada, l’obstacle en el qual es reflecteix ha d’estar a més de 17 m.

Quan l’obstacle es troba a menys de 17 metres de l’observador, l’oïda no pot diferenciar clarament el so reflectit de l’emès i té la sensació que el so s’ha allargat. Aquest efecte s’anomena reverberació.

Quan les ones sonores es reflecteixen en un obstacle, aquest absorbeix part de la seva energia amb la qual cosa el so perd intensitat. Després de diverses reflexions, ja no és perceptible. Alguns materials, especialment els porosos, tenen la propietat d’amortir molt les ones sonores que s’hi reflecteixen. És per aquest motiu que quan es vol amortir la reverberació d’un local, que pot ser molt molesta, se’n recobreixen les parets amb aquesta classe de materials.

L’eco de les ones ultrasòniques s’utilitza en el sonar (Fig. 62) per determinar la distància a què es troba l’obstacle en què es reflecteixen.

També algunes màquines fotogràfiques emeten ultrasons que, després de reflectirse, són captats per la màquina, que enfoca automàticament l’objectiu a distància de l’objecte on s’han reflectit.

En medicina s’utilitzen ultrasons per obtenir imatges (ecografies) dels òrgans interns del cos humà que, segons la seva naturalesa, reflecteixen o absorbeixen en diferent mesura les ones ultrasòniques.

29 | la percepció del so

Recordem que la intensitat d’una ona tridimensional en un punt és la potència per unitat de superfície, perpendicular a la direcció de propagació, que arriba a una determinada distància del focus emissor. Es mesura, per tant, en W/m2 en el SI.

L’oïda humana és capaç d’apreciar un marge d’intensitats sonores ampli, que van des d’un valor molt petit, d’uns 10–12 W/m2, considerat el llindar d’audició (encara que moltes persones ja no són capaces d’apreciar sons d’intensitats tan petites), fins a valors d’1 W/m2 (que en la majoria de les persones produeix una sensació de dolor).

La sonoritat o nivell de la sensació que una ona sonora produeix a un oient no és mesurable, ja que es tracta de la percepció subjectiva d’una persona. És evident que la magnitud de la sensació percebuda creix quan augmenta la intensitat de l’ona, però no ho fa en la mateixa proporció.

Per això es defineix una magnitud física del so anomenada nivell d’intensi·tat que, per a tota ona d’una forma i freqüència invariables, es considera aproximadament proporcional a la magnitud de la sensació que produeix en una persona.

62. El sonar és un instrument que s’utilitza en els vaixells per conèixer la profunditat del fons marí o dels cossos que hi ha sota la superfície de l’aigua. El sonar emet ultrasons que es reflecteixen en el fons o en qualsevol obstacle. Es pot determinar la distància de la superfície al cos en què es reflecteixen les ones mesurant el temps que tarda a captarse l’eco.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 46 28/4/09 06:35:27

47


El nivell d’intensitat d’una ona es designa amb la lletra β i es defineix com a:

on I és la intensitat de l’ona i el valor de I0 és 10–12 W/m2, que es considera la intensitat mínima (llindar d’audició) perquè un so pugui ser percebut per l’oïda humana.

El nivell d’intensitat de les ones s’expressa en decibels (dB). Aquest nom prové del fet que el decibel és la desena part del bel, que va rebre aquest nom en honor de l’inventor i logopeda Alexander Graham Bell.

Observa que la fracció I/I0, que apareix en la igualtat anterior, és el quocient entre dos valors d’una mateixa magnitud, per tant no té dimensions físiques, és a dir, no es pot expressar en funció de les magnituds fonamentals del sistema d’unitats; és simplement un nombre. El nivell d’intensitat, β, és 10 vegades el logaritme d’aquell nombre; per tant, també és un nombre sense dimensions.El nivell d’intensitat sonora que correspon al llindar d’audició és:

β = 10 log = 10 log 1 = 0 dB0

0

II

Mentre que el corresponent a la intensitat que produeix una sensació dolorosa, 1 W/m2, és:

β = 10 log1

10= 10 log 10 = 10 12 = 1

–1212 220 dB

β = 10 log0

II

Font de so intensitat W/m2 dB sensació

Respiració normal 10–11 10 quasi inaudible

Murmuri de fulles d'arbre 10–10 20 molt suau

Conversació en veu baixa (a 5 m) 10–9 30 silenciós

Biblioteca pública amb persones estudiant 10–8 40 suau

Oficina tranquil·la 10–7 50 moderat suau

Conversació normal (a 1 m) 10–6 60 moderat fort

Trànsit intens (carrer ciutat) 10–5 70 fort

Fàbrica de tipus mitjà 10–4 80 molt fort

Camió pesat (a 10 m) 10–3 90 si és continuat, perill de sordesa

Model antic de vagó de metro 10–2 100 massa fort

Soroll de la construcció 10–1 110

Concert de rock amb amplificadors (a 2 m) 1 120 llindar de dolor

Martell pneumàtic 10 130 dolorós

Enlairament d'un reactor (pròxim) 103 150

Motor de coet (pròxim) 106 180 molt dolorós

En la taula es pot observar fàcilment que, cada vegada que la intensitat del so es multiplica per 10, el nivell d’intensitat augmenta 10 dB. Si la intensitat d’un so creix en progressió geomètrica, el seu nivell d’intensitat, que representa aproximadament la intensitat de la sensació que percep un oient, augmenta en progressió aritmètica.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 47 28/4/09 06:35:29

48


30 | la contaminació acústica

L’activitat humana, la industrialització, els vehicles de motor, les aglomeracions de les grans ciutats, etc., arriben a produir uns nivells de soroll tan elevats que són perillosos per a la salut de les persones que els pateixen. En les últimes dècades, la societat moderna s’ha preocupat de la qüestió, a la qual ha donat el qualificatiu de contaminació acústica. Aquesta és una de les conseqüències negatives que comporta el progrés. Perquè el progrés ho sigui realment, cal adoptar mesures per pal·liar i, si és possible, eliminar aquests efectes negatius no desitjats. Aquesta contaminació sonora és la causa que només l’1 % de la població pugui percebre els sons de nivell molt proper al llindar d’audició.

De fa un temps, la preocupació per la contaminació acústica ha anat en augment, la consciència social sobre el problema ha anat creixent a mesura que ho feia el soroll. Els organismes competents han establert normatives i disposicions tendents a prevenir l’augment de sorolls i a corregir els excessos ja existents.

Les autoritats locals han elaborat ordenances municipals en què s’estableixen els nivells màxims de sorolls admesos i els criteris de prevenció d’aquests sorolls en els diversos àmbits d’aplicació: en la planificació urbana, en les construccions, en el comportament dels ciutadans en els habitatges i en la via pública, en els treballs realitzats en les vies públiques, en els produïts per vehicles de motor, en els que són conseqüència d’actes, celebracions i manifestacions públiques, etc.

Aquestes normatives, en els països que formen part de la Unió Europea, es basen en les directives que amb aquest efecte estableixen els òrgans competents de la Unió. S’han desenvolupat directives molt detallades per a tot tipus de sorolls: els de vehicles de motor, els procedents de màquines i materials utilitzats en les obres de construcció, els d’aeronaus subsòniques, motocompressors, grues torre, grups electrògens de soldadura i de potència, de trituradors de formigó, martells piconadors a mà, de talladores de gespa, d’aparells domèstics, de pales hidràuliques o de cables o de topadores frontals, de carregadores i de pales carregadores, etc.

Per esmentarne un exemple, la normativa del soroll de motors de vehicles automòbils de motor estableix uns límits màxims de nivell d’intensitat sonora que van des dels 77 dB, de límit màxim, per a algunes motocicletes i vehicles de quatre rodes per al transport de passatgers, fins als 93 dB, de límit màxim, per als tractors agrícoles de potència superior als 200 CV.

Si comparem aquests valors màxims amb els de la taula anterior, veiem que es troben en la franja de soroll molest i fins i tot perillós per a la salut. No obstant això, aquests són els valors màxims permesos, i el més habitual hauria de ser una emissió de sorolls molt més moderada.

Les normatives i directives, tendents a la prevenció de la contaminació acústica, no són suficients per aconseguir aquesta moderació en l’emissió dels sorolls. Cal dur a terme una presa de consciència del risc que representa per a la salut personal. A partir d’aquí, el pas següent és educar les persones en el respecte cap als altres, i en la moderació en l’ús de qualsevol tipus de màquines i motors que poden produir sorolls de nivells elevats i perniciosos. Aquest és un pas que està pendent. Potser a través de moltes crides d’atenció es podrà aconseguir aquesta presa de consciència.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 48 28/4/09 06:35:30

49

r e s u mFenòmens periòdics | 1

contingut bàsic de la unitat en format hipermèdia, en el cd.

Període, T, d’un fenomen periòdic és el temps que dura cada cicle d’aquest fenomen.

Freqüència (ν = 1/T) és el nombre de cicles per unitat de temps. S’expressa en hertz (1Hz = 1 cicle/s).

moviment vibratori harmònic simple (m.v.h.s.) és el moviment rectilini l’acceleració del qual és proporcional a la distància del mòbil a un punt fix, O, i està dirigida cap a aquest punt.

elongació, x, d’un m.v.h.s. és la distància del mòbil a la posició d’equilibri (punt O).

amplitud, A, d’un m.v.h.s. és la seva elongació màxima.

equació del m.v.h.s.: x = A sin (ω t + ϕ0), on ω t + ϕ0 = ϕ , que s’anomena fase o angle de fase.

Freqüència angular (ω) és l’increment de fase per unitat de temps: ω = ∆ϕ / ∆x = 2π / T = 2π ν.

velocitat del m.v.h.s.: v = ω A cos(ω t + ϕ0). És màxima en la posició d’equilibri: v màx = ω A.

acceleració del m.v.h.s.: a = –ω2 A sin(ω t + ϕ0 ) = = –ω2 x. És màxima en els extrems: a màx = –ω2 A.

Força en el m.v.h.s.: La força resultant sobre el mòbil és: f = –m ω2 x = –k x, on k = –m ω2.

energia del m.v.h.s.: És E = ½ k A2.

longitud d’ona, λ, és la distància entre dos punts consecutius d’una ona que estan en la mateixa fase.

La velocitat de propagació d’una ona és: v = λ / T = λ ν.

nombre d’ona, k, és el retard de l’angle de fase per unitat de longitud en la direcció i sentit de la propagació de l’ona: k = –∆ϕ / ∆x = 2π / λ. S’expressa en radians per metre (rad/m).

l’equació d’una ona harmònica és: y = A sin (ω t – k x + ϕ0 )

intensitat d’una ona (I) és l’energia que transmet per unitat de temps i per unitat de superfície perpendicular a la seva direcció de propagació: I = ∆E/(∆t Sn). S’expressa en W/m2.

Intensitat d’una ona esfèrica emesa per un focus de potència P : I = P/4 π r2 (r = distància al focus).

Principi de Huygens: els punts de tot front d’ones emeten ones circulars secundàries, l’envolupant de

les quals constitueix un nou front d’ones.

reflexió és la desviació del raig en xocar amb la superfície d’un medi en què no penetra.

lleis de la reflexió: 1. El raig incident, el raig reflectit i la normal a la superfície en què es reflecteix estan en un mateix pla. 2. L’angle d’incidència és igual a l’angle de reflexió.

refracció és la desviació del raig en passar d’un medi en el qual té velocitat v1 a un altre on té velocitat v2.

lleis de la refracció: 1. El raig incident, el refractat i la normal a la superfície en què es refracta estan en un mateix pla. 2. Els angles d’incidència, i, i refracció, r, compleixen que: sin i / sin r = v1 / v2.

difracció és l’alteració del front quan les ones travessen una escletxa estreta, xoquen amb un petit objecte o freguen la vora d’un obstacle.

interferència és la combinació dels efectes de dues o més ones quan afecten simultàniament un mateix punt del medi en què es propaguen.

La inter ferència de dues ones harmòniques, de la mateixa amplitud i longitud d’ona, que es propaguen en la mateixa direcció i en sentits oposats produeix una ona estacionària.

equació d’una ona estacionària: y = 2A cos(k x) sin(ω t).

En l’ona estacionària cada punt vibra amb diferent amplitud (Ar = 2A cos k x). Els punts que no vibren (Ar = 0) s’anomenen nodes i els que vibren amb màxima amplitud (Ar = 2A), ventres o antinodes.

L’efecte doppler consisteix en el fet que, quan hi ha moviment relatiu d’un focus emissor d’ones respecte d’un observador, la freqüència νO que aquest percep és diferent de la νF emesa pel focus.

Si v, vF i vO són les velocitats del so, el focus i l’observador, respectivament: (v – vO)/νO = (v – vF)/νF.

El nivell d’intensitat, β, d’una ona és β = 10 log (I/I0), on I és la intensitat del so i Io, la intensitat mínima audible (10–12 W/m2). És un nombre sense dimensions i s’expressa en decibels (dB).

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 49 28/4/09 06:35:32

50

a c T i v i T a T s1 | Fenòmens periòdics

Fenòmens periòdics

1 Si un fenomen periòdic es repeteix cada 0,025 s, quins són els valors del seu període i la seva freqüència? Quantes vegades es produirà aquest fenomen en 2 minuts?

2 Un curtmetratge de 10 minuts de durada conté 14 400 fotogrames. Calcula la freqüència de projecció dels fotogrames i el període corresponent.

3 Quins són els valors del període i la freqüència del moviment de rotació de la Terra? I els del seu moviment de translació al voltant del Sol?

Paràmetres del m.v.H.s.

4 Determina l’amplitud, la freqüència angular i la constant de fase dels tres m.v.h.s. Les gràfiques x – t són les que apareixen en la figura.

0

20

20

t/s

x/cm

0

20

20

t/s

x/cm

0

20

20

t/s

x/cm

10 20 30 40

10 20 30 40

10 20 30 40

0

20

20

t/s

x/cm

0

20

20

t/s

x/cm

0

20

20

t/s

x/cm

10 20 30 40

10 20 30 40

10 20 30 40

0

20

20

t/s

x/cm

0

20

20

t/s

x/cm

0

20

20

t/s

x/cm

10 20 30 40

10 20 30 40

10 20 30 40

5 Si un fenomen es repeteix periòdicament cada mig minut, quina freqüència angular posseeix? Quin valor té l’angle de fase 5 segons després de començar un dels cicles del fenomen? Al cap de quant de temps després d’iniciarse un cicle l’angle de fase és de 5n/3 rad?

6 Les aspes d’un ventilador giren amb velocitat angular constant de 30π rad/s. Calcula’n:

a) la freqüència,

b) el període,

c) l’increment que experimenta l’angle de fase en 0,05 s.

m.v.H.s. (cinemàtica)

7 Escriu les equacions dels tres m.v.h.s. les gràfiques de les quals apareixen en l’activitat 4.

8 El període d’un m.v.h.s. és de 0,2 s i la seva amplitud de 15 mm. A l’instant t = 0, el mòbil passa per la posició d’equilibri desplaçantse en sentit negatiu. Expressa’n l’elongació, la velocitat i l’acceleració en funció del temps.

9 Determina l’equació d’un m.v.h.s. de 8 mm d’amplitud i 5 Hz de freqüència. Troba l’equació d’un altre m.v.h.s. de les mateixes ca racterístiques, que estigui respecte de l’anterior:

a) avançat un quart de cicle,

b) retardat 0,04 s,

c) en fase oposada.

10 Les elongacions de dos m.v.h.s. en funció del temps en segons són:

x1 = 0,3 sin [π (8 t – 0,2)] cm i x2 = 0,3 sin [π (8 t + 0,4)] cm

Expressa, en cicles i en segons, l’avanç del segon respecte del primer.

11 L’equació d’un m.v.h.s. és x = 6 sin(5 t + ϕ0), on t és el temps en segons i x, l’elongació en

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 50 28/4/09 06:35:34

51


DIFICULTAT: SENZILLA MITJANA ALTA SENSE CLASSIFICAR

centímetres. Determina l’elongació i la velocitat del mòbil a l’instant t = 0, si:

a) ϕ0 = 0

b) ϕ0 = π/3 rad

c) ϕ0 = π/2 rad

d) ϕ = π rad

e) ϕ0 = 3 π/2 rad

12 L’elongació d’un m.v.h.s. en funció del temps en segons és: x = 2 sin(20 π t) cm. Determina’n l’amplitud, freqüència, període, velocitat màxima i acceleració màxima.

13 L’equació d’un m.v.h.s. és x = 12 cos (4 π t + π/6), on x se suposa expressat en centímetres i t, en segons. Calcula el valor absolut de la seva velocitat i la seva acceleració en la posició d’equilibri i en els extrems de la vibració.

14 L’equació d’un m.v.h.s. és x = 3 sin (600 t + + π/4) (x en centímetres, t en segons). Calcula’n l’elongació, la velocitat i l’acceleració a l’instant t = 0.

Escriu l’expressió de tots els instants en què el mòbil passa per la seva posició d’equilibri.

15 En el m.v.h.s. d’equació x = 4 sin 10 t cm, quin és el valor de l’acceleració en l’instant en què l’elongació és de 3 cm?

16 Una partícula es desplaça amb m.v.h.s. d’amplitud A = 1 cm i freqüència ν = 8 Hz. Calcula’n la velocitat i l’acceleració en l’instant en què té una elongació de x = 6 mm.

17 L’abscissa d’un mòbil en funció del temps en segons està donada per l’equació:

x = 6 sin(50 t) + 8 cos(50 t) cm.

Expressa’n l’acceleració en funció del temps i demostra que el seu moviment és vibratori harmònic simple.

18 La velocitat d’un m.v.h.s. en funció del temps en s és v = 0,36 π sin [π (24 t + 1)] m/s.

a) Determina la freqüència i l’amplitud d’aquest moviment.

b) Expressa l’elongació del mòbil en funció del temps.

19 Un mòbil posseeix m.v.h.s. de manera que, quan la seva elongació és nul·la, la seva velocitat és d’1 m/s i, quan la seva elongació és de 5 cm, la seva velocitat és nul·la. Escriu l’equació d’aquest moviment.

20 Calcula la freqüència d’un m.v.h.s. de 4 cm d’amplitud, sabent que la seva velocitat és de 6 π m/s en l’instant en què la seva elongació és de 7 cm.

21 L’acceleració en m/s2 d’un m.v.h.s. en funció de la seva elongació en centímetres és a = –256 x. Expressa aquesta acceleració en funció del temps, sabent que l’amplitud de la vibració és de 2,5 cm. Considera nul·la la constant de fase.

m.v.H.s. (dinàmica)

22 Calcula la màxima força que actua sobre un cos de 20 g de massa que posseeix un m.v.h.s. de 4 mm d’amplitud i 300 Hz de freqüència.

23 Un cos de massa m = 80 g oscil·la verticalment amb m.v.h.s. d’amplitud A = 10 cm, penjat d’una molla de constant elàstica k = 20 N/m. Expressa’n l’elongació en funció del temps. Determina la força que exerceix la molla quan el mòbil passa per:

a) el punt més alt,

b) la posició d’equilibri,

c) el punt més baix.

24 Una molla en hèlice s’allarga 40 cm quan se’n penja un cos de 150 g de massa. Calcula el període de les seves oscil·lacions, si s’estira 3 cm cap avall i es deixa anar. Escriu l’equació del seu moviment vibratori considerant t = 0 en l’instant en què es deixa anar el cos i adoptant el sentit cap amunt com a positiu.

25 Un cos de 250 g de massa oscil·la verticalment penjat d’una molla en hèlice de 30 cm de longitud. S’observa que el cos empra 6 s per realitzar 10 oscil·lacions completes. Calcula la constant elàstica de la molla i la

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 51 28/4/09 06:35:35

52


31 D’una molla penjada verticalment se suspèn un cos de massa m = 200 g. Quan queda en equilibri s’observa que la molla s’ha allargat 5 cm. Considerant nul·la la seva energia potencial gravitatòria en aquesta posició i g = 9,8 m/s2, calcula:

a) l’energia mecànica d’aquest oscil·lador harmònic quan està en repòs en la posició d’equilibri,

b) la seva energia mecànica en passar per aquella mateixa posició quan es fa oscillar verticalment amb un m.v.h.s. d’amplitud A =3 cm.

c) L’energia d’aquest m.v.h.s.

Quina relació hi ha entre els resultats de les tres preguntes?

Propagació de les ones

32 Una ona harmònica, que es propaga amb una velocitat de 50 m/s, posseeix una longitud d’ona de 40 cm. Determina el període del m.v.h.s. que transmet.

33 La longitud d’ona de la nota musical «la» en l’aire és de 0,773 m. Quines són la freqüència i la longitud d’ona d’aquesta mateixa nota en l’aigua? La velocitat del so en l’aire és de 340 m/s i en l’aigua de 1,44 km/s.

34 Una ona propaga un m.v.h.s. de freqüència angular 12 π rad/s. La distància entre dos punts consecutius que vibren en fase oposada és de 2,5 cm. Calcula la velocitat de propagació de l’ona.

35 Un tren d’ones produït a la vora d’una piscina tarda 4 s a arribar a la vora oposada situada a 12 m de distància. La separació entre les crestes successives de l’ona és de 4 cm. Calcula la freqüència del moviment vibratori que es propaga en la superfície de l’aigua.

36 L’ona representada en la figura empra 0,2 s per transmetre’s des del punt A fins al B. Calcula’n:

a) la velocitat de propagació,

b) el període,

seva longitud quan aquest cos està penjat de la molla en repòs.

26 L’escala d’un dinamòmetre està graduada en newtons. Des del traç del 0 fins al del 20 hi ha una distància de 10 cm. Es fa oscil·lar, amb una amplitud d’1 cm, un cos de 800 g de massa penjat de la molla del dinamòmetre. Calcula la freqüència de les oscil·lacions i determina entre quins valors varia la força que realitza el dinamòmetre. Considera g = 10 m/s2.

27 Es tira d’un cos de 100 g, suspès d’una molla, fins que baixa 10 cm per sota de la seva posició d’equilibri i es deixa anar. S’observa llavors que oscil·la amb un període de 2 s. Calcula’n:

a) la velocitat en passar per la posició d’equilibri,

b) la força que fa la molla en aquest instant,

c) l’acceleració quan està 5 cm per damunt de l’aquesta posició.

28 Un cos de 200 g de massa, que es mou al llarg d’un eix Ox, passa per l’origen de coordenades amb una velocitat de 10 m/s en sentit positiu. Sobre el cos actua una força F = –40x N, on x és l’abscissa del mòbil en metres. Quina classe de moviment tindrà?

Calcula la màxima distància de l’origen de coordenades a què arribarà.

m.v.H.s. (energia)

29 Calcula l’energia del m.v.h.s. d’un cos de massa m = 500 g que vibra verticalment amb una amplitud de A = 4 cm i una freqüència de ν = 0,6 Hz.

30 Un cos de 2 kg està penjat d’una molla. Quan li afegim una massa addicional de 20 g, la molla s’allarga 2 cm més. Quan el cos està en repòs en aquestes condicions, traiem la massa addicional.

a) Determina amb quina freqüència vibrarà.

b) Calcula l’energia d’aquest moviment vibratori.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 52 28/4/09 06:35:36

53


c) la freqüència,

d) la freqüència angular o pulsació.

0 1 2 3 4 5cm

A B

37 En la figura s’ha representat el per fil d’una ona harmònica de 8 Hz de freqüència, que es propaga en el sentit indicat per la fletxa. Determina:

a) La velocitat de propagació de l’ona.

b) El temps que tarda a propagarse des de A fins a B.

c) La diferència de fase entre A i B.

AB

0 1 2 3 4 5 6cm

38 Una ona harmònica de 200 Hz de freqüència es desplaça sobre l’eix Ox amb una velocitat de 24 m/s. Quina és la diferència de fase entre els punts d’abscissa x = 0,8 m i x = 0,9 m?

equació d’una ona harmònica

39 L’equació d’una ona harmònica és y = 0,6 sin(20 π t – 4 π x) cm. Determina’n l’amplitud de vibració, la freqüència, la longitud d’ona i la velocitat de propagació.

40 Escriu l’equació d’una ona harmònica, de 4 cm d’amplitud i 40 cm de longitud d’ona, que es propaga amb una velocitat de 300 m/s en sentit positiu. Quina seria

l’equació si el sentit de propagació de l’ona fos el negatiu?

41 L’elongació en centímetres de les partícules d’una ona harmònica, en funció del temps en segons i de la seva abscissa en metres, és y = 10 sin [π (50 t – x)].

a) Calcula la velocitat de propagació d’aquesta ona.

b) Quina és la distància mínima entre dos punts de l’ona la diferència de fase de la qual és de π/2 radians? Quant tarda l’ona a propagarse aquesta distància?

c) Quant temps ha de transcórrer perquè la fase en un punt variï π/2 radians? Quina distància es propaga l’ona en aquest temps?

42 L’equació d’una ona harmònica és y = 2 sin [π (150 t – 25 x)], on y s’expressa en mil·límetres, t en segons i x en metres. Calcula:

a) la velocitat de propagació de l’ona,

b) la velocitat màxima de vibració de les partícules.

43 L’equació d’una ona harmònica és y = 2 sin(157 t – 25,12 x), on y ha d’expressarse en mil·límetres, t en segons i x en centímetres. Calcula’n la velocitat de propagació.

44 El m.v.h.s. l’equació del qual en unitats del SI és y = 0,02 sin(50 π t) es propaga amb una velocitat de 40 m/s al llarg d’una línia recta. Escriu l’equació de l’ona.

45 Troba a quina distància es propaga en 1 minut l’ona l’equació de la qual en unitats del SI és:

y = 0,05 cos [2π (120 t + 3 x)]

intensitat d’una ona

46 Una ona procedent d’un focus puntual de 20 W de potència es propaga en un medi homogeni i isòtrop. Calcula la intensitat d’ona a 5 m, 10 m i 20 m del focus.

47 Un focus puntual emet ones esfèriques. Una

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 53 28/4/09 06:35:39

54


representen les crestes de les ones en un instant determinat i les discontínues, les valls.

a) Quin tipus d’inter ferència es produeix en els punts A, B, C i D?

b) Dibuixa una hipèrbola de nodes i una altra de ventres.

F2F1

B

C

D

A

53 Dues ones d’amplitud A, període 0,12 s i longitud d’ona 30 cm es propaguen en la mateixa direcció i sentit.

L’ona resultant de la seva interferència té també amplitud A.

Calcula la mínima diferència que hi ha d’haver entre les dues ones en relació a:

a) la fase en rad,

b) la posició en cm,

c) el temps en s.

54 Dos focus puntuals, situats en la superfície de l’aigua a 8 cm de distància l’un de l’altre, emeten simultàniament ones circulars de la mateixa amplitud, fase i longitud d’ona. Si aquesta longitud d’ona és de 12 mm, quantes hipèrboles de ventres es formaran si inter fereixen les ones procedents dels dos focus?

55 Dos focus puntuals situats a 20 cm l’un de l’altre en la superfície de l’aigua emeten ones circulars de la mateixa amplitud, freqüència i fase. La velocitat de propagació de les ones és de 60 cm/s i la seva freqüència de 20 Hz. Què passarà si les dues ones

placa plana de 20 cm2 es col·loca a 50 m del focus perpendicular a la direcció de propagació de les ones. En 3 minuts arriben a la superfície 5 000 J d’energia. Calcula:

a) la intensitat de l’ona en la posició on està la placa,

b) la potència del focus.

48 Un focus puntual emet ones que es propaguen en tres dimensions en un medi homogeni i isòtrop. A una distància de 5 m del focus la intensitat de l’ona és de 0,6 W/m2. Calcula:

a) la potència del focus,

b) la intensitat de l’ona a 12 m del focus emissor.

49 Les ones procedents del Sol tenen, en arribar a la Terra, una intensitat de 1 350 W/m2 aproximadament. Calcula la potència del Sol com a focus emissor d’ones.

Distància de la Terra al Sol: 150 milions de km.

interferència d’ones

50 Dues ones harmòniques d’amplitud 4 cm i freqüència 50 Hz es transmeten en el mateix sentit al llarg d’una recta amb una velocitat de 15 m/s. Una d’elles està retardada 5 cm respecte de l’altra. Determina:

a) la diferència de fase entre les dues ones,

b) les seves equacions,

c) l’equació de l’ona que resulta en interferir les dues anteriors.

51 Les equacions de dues ones són:

y1 = 0,1 sin [π (80 t – 5 x)] i y2 = 0,1 sin [π (80 t – 5 x – 0,5)],

per a y1 i y2 en m. Si es transmeten en la mateixa direcció i sentit, quina amplitud tindrà l’ona resultant de la seva inter ferència?

52 Els punts F1 i F2 de la figura són dos focus que emeten ones circulars que es propaguen en una superfície plana. Les línies contínues

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 54 28/4/09 06:35:41

55


inter fereixen en un punt situat a 20 cm d’un focus i a 12,5 cm de l’altre? I en un punt situat a 30 cm d’un focus i 24 cm de l’altre? Quantes hipèrboles de nodes es formaran?

ones estacionàries

56 Al llarg d’una corda de 0,8 m de longitud subjectada pels dos extrems, es propaga una ona harmònica de 25 Hz de freqüència i es formen ones estacionàries. S’observa que s’hi produeixen 5 nodes (dos són els extrems de la corda). Quina és la velocitat de propagació de l’ona harmònica per aquesta corda? Si l’amplitud d’oscil·lació màxima de l'ona estacionària és de 5 cm, escriu la seva equació. Amb quina amplitud oscil·laven les ones que han originat aquest mode de vibració?

57 En una corda es propaga una ona harmònica de 40 Hz de freqüència i amb una velocitat de propagació de 5 m/s. Si es formen ones estacionàries en reflectirse l’ona en un extrem de la corda, quina serà la distància entre dos nodes consecutius? Quina és la longitud d’aquesta corda, si s’hi ha produït el seu segon mode normal de vibració?

58 En un instrument musical de vent, les freqüències dels tres primers modes normals de vibració són 440, 1 320 i 2 200 Hz. Si prenem 340 m/s com a velocitat del so en l’aire:

a) Com té els extrems aquest tub sonor: oberts, tancats o un de cada?

b) Calcula la longitud del tub.

59 Calcula les freqüències que generaran harmònics en un tub de 112 cm de longitud, obert pels dos extrems. Suposa que la velocitat del so és de 340 m/s.

60 L’equació d’una ona harmònica que es propaga per una corda, expressantne els paràmetres en unitats del SI, és y1 = 0,03 sin (120 π t – 2,5 π x).

Aquesta ona inter fereix amb una altra de la mateixa amplitud, freqüència i longitud d’ona, que es propaga en sentit contrari.

a) Escriu les equacions de la segona ona i de l’ona estacionària que es forma.

b) Determina l’amplitud i la distància entre nodes de l’ona estacionària.

c) Si la corda mesura 1 m i té els dos extrems fixos, a quin harmònic correspondrà l’ona que es produeix?

61 En l’aire de l’interior d’un tub de 1,8 m de longitud, tancat per un extrem i obert per l’altre, es produeix una ona estacionària d’amplitud 0,5 cm i freqüència 425 Hz.

Sabent que la velocitat de propagació del so en l’aire és de 340 m/s:

a) Escriu l’equació de l’esmentada ona estacionària.

b) Determina quants nodes i quants ventres es formen en l’interior del tub.

anàlisi harmònica

62 Escriu els set primers termes de l’equació d’una ona en dent de serra, l’harmònic fonamental de la qual té una freqüència de 30 Hz i una amplitud de 5,04 cm (mira la figura 58 d’aquesta unitat per saber quines han de ser les amplituds dels successius harmònics).

63 L’espectre de freqüències d’un so format per quatre harmònics és el que es pot veure en la figura adjunta.

Escriune l’equació com a suma dels quatre harmònics.

0,2

0

0,4

0,6

0,8

A/cm

100 200 300 400 ν/Hz

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 55 28/4/09 06:35:42

56


64 En la figura 59 apareixen les gràfiques dels sons d’una flauta i una guitarra.

El temps total que correspon a la porció de l’ona representada en la gràfica de la flauta és de 0,008 s i en la de la guitarra, de 0,005 s.

Digues quines són les freqüències en Hz dels quatre primers harmònics emesos per cada un dels esmentats instruments.

65 Dibuixa l’espectre de freqüències del so l’equació del qual per a unitats del SI és:

y = 0,005 sin (150 π t) + 0,002 sin (450 π t) + + 0,001 sin (600 π t)

efecte doppler

66 Una font emet un so a una freqüència de 440 Hz. La font es mou a una velocitat de 90 km/h cap a l’observador. Pren com a velocitat del so 340 m/s.

a) Quina freqüència detecta l’observador?

b) Quina és la longitud d’ona entre la font i l’observador?

67 Una sirena d’una fàbrica emet un so a 440 Hz. Un observador va amb cotxe a una velocitat de 90 km/h cap a la fàbrica.

a) Amb quina freqüència sent el so de la sirena?

b) Quant val la longitud d’ona del so de la sirena entre l’observador i la fàbrica?

Velocitat del so en l’aire: 340 m/s.

68 Un tren passa per una estació sense aturars’hi a una velocitat constant. Poc abans d’arribar, el maquinista fa sonar el xiulet. Un observador situat a l’estació sent el xiulet a una freqüència de 684 Hz. Després de creuar l’estació, el maquinista torna a fer sonar el mateix xiulet. Ara, el mateix observador situat a l’estació el sent amb una freqüència de 602 Hz. Calcula la velocitat que porta el tren i la freqüència del xiulet si la velocitat del so és de 340 m/s.

69 Des d’un automòbil, que va a 90 km/h, es percep un so emès per un altre vehicle que circula per la mateixa carretera en sentit contrari. Abans de creuarse es percep el so amb una freqüència de 500 Hz, i després amb una freqüència de 300 Hz. Calcula la velocitat del segon vehicle sabent que el so es transmet a 340 m/s.

nivell d’intensitat acústica

70 Quin és el nivell d’intensitat d’un so que té una intensitat de 10–6 W/m2 (el so del teclat d’un ordinador)? Quant hauria d’augmentar la intensitat d’aquest so perquè el seu nivell d’intensitat fos 5 dB més alt?

71 En un taller funciona constantment una màquina que produeix un soroll el nivell d’intensitat del qual en la posició dels treballadors que hi estan més a prop és de 60 dB.

Es determina que cal duplicar la producció i es proposa:

a) substituir la màquina per una altra el nivell d’intensitat acústica de la qual és un 20 % més alt

b) instal·lar al costat de la màquina altra d’idèntica, amb la qual cosa es duplicaria la intensitat del so emès.

Determina quina de les dues propostes és més convenient des del punt de vista de la higiene acústica.

72 Un altaveu, que emet ones esfèriques amb la mateixa intensitat en totes direccions, està situat a l’aire lliure de manera que un oient no rep ones reflectides en sostres ni parets si no tan sols les que provenen directament de l’altaveu. Si el nivell d’intensitat del so a 15 m de l’altaveu és de 75 dB, a quina distància cal col·locarse per percebre un nivell de només 50 dB?

73 Un cor està format per 40 cantants. Si cada un d’ells emet un so el nivell d’intensitat del qual per a un oient és de 56 dB, quin serà el nivell d’intensitat de tot el cor?

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 56 28/4/09 06:35:43

57


és y = 0,02 sin (60 π t). Aquesta vibració es propaga al llarg de la corda amb una velocitat de 4 m/s.

Escriu l’equació de l’ona harmònica que s’ha produït.

80 Què significa que la intensitat d’una ona és de 20 W/m2?

Si P és la potència del focus emissor d’ones i r, la distància d’un punt A a aquest focus, quan es pot considerar que la intensitat de l’ona en A és I = P/4 π r2?

81 Explica breument en què consisteix la difracció de les ones i posa’n un exemple.

Una ona de freqüència 200 Hz es propaga al llarg d’una corda amb una velocitat de 5 m/s. Si es reflecteix en l’extrem de la corda i es produeixen ones estacionàries, quina serà la distància entre cada dos nodes consecutius?

82 En una cubeta d’ones es produeixen fronts d’ona rectes, de freqüència 200 Hz, que es propaguen a 0,8 m/s en la superfície de l’aigua.

a) Un obstacle circular d’1 cm de diàmetre, interposat en el camí de les ones, es comportarà com un focus puntual emissor d’ones circulars a causa de la difracció? Per què?

b) En una barrera paral·lela al capdavant d’ona hi ha dues obertures d’1 mm que disten 1,5 cm l’una de l’altra. Quantes hipèrboles de nodes es formaran en interferir les ones difractades per les dues ranures?

83 Dos focus puntuals separats 20 cm emeten ones harmòniques en la mateixa fase, d’amplitud 2 cm i període 0,02 s, que es propaguen amb una velocitat de 3 m/s.

Determina l’amplitud de la vibració resultant en un punt situat:

a) a 30 cm de cada focus,

b) a 40 cm d’un focus i 25 cm de l’altre,

c) a 18 cm d’un focus i 30 cm de l’altre,

qüestions relatives a tots els apartats

74 L’equació del m.v.h.s. si A sin (ω t + ϕ0).

Digues el nom de les magnituds que estan representades per cada una de les lletres que figuren en l’equació. Indica quines són variables i quins són paràmetres (és a dir, constants per a cada m.v.h.s. concret ).

75 La força resultant que actua sobre un cos de massa m = 0,25 kg, que es desplaça sobre l’eix Ox, és f = –20 x (per a x en m i f en N). Quina classe de moviment té?

Expressa’n l’abscissa en funció del temps sabent que la seva velocitat és nul·la en la posició x = O,3 m.

76 Un cos de massa m = 2 kg oscil·la verticalment penjat d’una molla en hèlice. Quan passa pel centre del seu recorregut quins són els valors de la força que exerceix la molla i de la resultant de les forces que ac tuen sobre el cos? Raona la resposta.

77 Dos cossos A i B, de la mateixa massa, oscil·len amb m.v.h.s. El cos A ho fa amb una amplitud de 4 cm i una freqüència de 5 Hz, i el B amb una amplitud de 3 cm i una freqüència de 6 Hz. Determina quin dels dos moviments posseeix una energia més gran.

78 En la figura s’ha representat el per fil d’una ona que es transmet en la superfície de l’aigua d’esquerra a dreta.

Explica raonadament si, en l’instant representat en la figura, els punts A, B, C i D s’estan desplaçant cap amunt o cap avall.

A BC

D

79 Es mou l’extrem d’una corda aplicantli un m.v.h.s. l’equació del qual per a unitats de SI

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 57 28/4/09 06:35:44

58


84 Dues ones harmòniques de freqüència 80 Hz, que es propaguen en sentits contraris a 48 m/s, inter fereixen formant una ona estacionària. Quina distància hi haurà entre un node i un ventre consecutius?

85 Explica de quina propietat de les ones depèn cada una de les qualitats del so.

86 On es produiran sons més aguts, en els instruments de vent de tub curt o en els de tub llarg? Raona la resposta i posa algun exemple en el qual es verifiqui la solució correcta.

87 En el fons del mar, a quina distància hauria de trobarse un obstacle en el qual es reflecteixen les ones sonores perquè es pugui distingir l’eco?

Velocitat del so en l’aigua: 1 440 m/s

88 Un ciclista es desplaça per una carretera rectilínia a velocitat constant. En aquesta carretera hi ha dos cotxes parats, l’un al davant i l’altre al darrere del ciclista. Els cotxes tenen el clàxon idèntic però el ciclista

sentirà els tons (freqüències) diferents. Com es denomina aquest efecte? Al ciclista, quin cotxe li semblarà que emet un so més agut? Justifica la resposta.

89 Un cotxe de bombers fa sonar una sirena que emet un so de freqüència 500 Hz.

Si la velocitat del so és de 340 m/s calcula’n la longitud d’ona:

a) quan el cotxe està parat,

b) davant del cotxe quan circula a 90 km/h,

c) darrere del cotxe quan circula a 90 km/h.

90 En l’espectre d’un so s’observa que les freqüències de dos harmònics consecutius són 1 260 Hz i 1 680 Hz. Quines són les freqüències dels cinc primers harmònics? Raona la resposta.

91 Un so A té un nivell d’intensitat de 20 decibels més que un altre B.

Compara les intensitats dels dos sons calculant quantes vegades és més gran la de A que la de B.

005-058_U1.FIS.2BTX.CAT.indd 58 28/4/09 06:35:45

Documents

1 Fenòmens periòdics La llum i el so en són dos exemples especialment rellevants per a nosaltres, ja que, a través d’ells, ens arriba la immensa majoria de la informació que