1 Fixed Income

Prof. Dr. Heinz Zimmermann Universität St. Gallen Unter Mitarbeit von Dr. Th. Kraus Vorlesungsunterlagen Version 1999

Fixed Income: Zinssätze, Zinsstruktur und Zinsrisiko

1. Konsum und Investition 2. Zinssätze, Bond Pricing: Sicherheit 3. Modellierung der Zinsstruktur 4. Einfache Zinsänderungsrisiken 5. Arbitragemodell der Zinsstruktur

Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 2

Detaillierte Gliederung 1. Konsum und Investition

1.1 Zweiperiodenfall und Fisher’sche Separation 1.2 Mehrperiodenfall und Ramsey Regel

2. Zinssätze, Bond Pricing: Sicherheit

2.1 Zinsmathematik 2.2 Bond Pricing und Bond Yields 2.3 Zinsstruktur, Forward Rates und Arbitrage

3. Modellierung der Zinsstruktur

3.1 Theorien der Fristenstruktur und empirische Tests 3.2 Zinsterminkontrakte 3.3 Swap-Pricing 3.4 Dynamik der Zinsstruktur: Faktormodelle


4. Einfache Zinsänderungsrisiken 4.1 Duration, Bond-Volatilität, Konvexität 4.2 Hedging und Immunisierung 4.3 Zinsswaps

4.4 Asset- & Liability-Management 4.5 Nicht-parallele Zinsstrukturveränderungen: Key Rate Duration

5. Arbitragemodell der Zinsstruktur Zur Beachtung: Es handelt sich bei dieser Unterlage nicht um ein geschlossenes Vorlesungsskriptum, sondern um eine Arbeits- und Vorbereitungsunterlage für Vorlesungen und Übungen. Kopieren und Vervielfältigung, als Papier oder elektronisch, sowie Verweise nur unter vollständiger Quellenangabe. [email protected]


1. Konsum und Investition 1.1 Zweiperiodenfall und Fisher’sche Separation 1.2 Mehrperiodenfall und Ramsey Regel


1.1 Zweiperiodenfall und Fisher’sche Separation a) Zweiperiodenfall: Robinson Crusoe

E*(c 0 */c 1 *)

C 1 , X 1

C 0 , X 0

c 1*

c0*

E(x 0 /x 1 )

U *

Pro

du

ktion

= K

on

sum

in t =

1

Konsum in t = 0 Inves t i t ionin t = 0

U 0

x0


Produktion:

Q X X

dQQ

XdX

Q

XdX

( ; )0 1

0

0

1

1 0= + =∂∂

∂∂

⇒ = −dX

dX

QX

QX

1

0

0

1

∂∂

∂∂

MRT:

Produktionsmöglichkeitenkurven / Isoquanten

Bei abnehmendem Faktorgrenzprodukt in den einzelnen Perioden:

d X

d X

21

0

2 0< konkave

Produktionsmöglichkeitenkurven


Konsum:

U C C

dUU

CdC

U

CdC

( ; )0 1

1

0

1

1 0= + =∂∂

∂∂

⇒ = −dC

dC

UC

UC

1

0

0

1

∂∂

∂∂

MRS: Indifferenzkurven

Bei abnehmendem Grenznutzen in den einzelnen Perioden:

d C

d C

21

02 0> Indifferenzkurven sind konvex


Optimum (E*):

d X

d X

QX

QX

UC

UC

dC

dC1

0

0

1

0

1

1

0

= − = − =

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

*

*

*

*

! MRT = MRS

Allokation, ausgehend von Ausstattung E (x0 / x1): (x0 - c0*) Investition in t = 0 c0* Konsum in t = 0 c1* Produktion resp. Konsum in t = 1


b) Zweiperiodenfall: (Kapital-) Markt ohne Produktionsmöglichkeiten

C0c0*

Konsum in t = 0

c0

Verschuldung in t = 0

E*(c0 */c1*)

C1

c 1*

U*

Konsum

in t = 1

E(c 0 /c 1 )

U0

c 1

Entschuldung

in t = 1

1

(1 + i)

1 - 10

Neu: Güterströme in den einzelnen Perioden haben einen Zeitwert bzw. Preis

P(C0) = P0 à Normierung auf 1 (Numéraire) P(C1) = P1

=> Addition wird möglich

Preisverhältnis:

P

P P

C

Ci0

1 1

1

0

11≡ ≡ − ≡ +

∆∆

Budgetrestriktion:

w P c P c

c P c

ci

c

0 0 0 1 1

0 1 1

0 1

1

1

≡ ⋅ + ⋅

= + ⋅

= ++


Optimum (E*):

∂∂

∂∂

UC

UC

i0

1

1*

*

= +

Allokation, ausgehend von Ausstattung E(c0/c1): (c0* - c0) „Verschuldung“ in Periode 0 = Kauf heutiger Güter, finanziert durch den Verkauf morgiger (c1 - c1*) „Rückzahlung“ in Periode 1 = Konsumverzicht


c) Zweiperiodenfall: Produktionsmöglichkeiten mit Kapitalmarkt

Konsum in t = 0

f in . Verschuldung in t = 0

PV der realen Invest i t ion in t = 0

C 1 , X 1

C 0 ; X 0

x 1 *

x0

U**

Produktion in t =

1

U *

E**(c 0 ** /c1**)

E*(x 0 * /x1*)

E(x 0/x 1 )

Konsum

in t = 1

U 0

Produkt ion in t = 0 reale Invest i t ion in t = 0

x0*

c 1 **

c0**

fin. Entschuldungin t = 1


Schritt 1: Reale Investitions- bzw. Produktionsentscheidung

Maximierung des Barwertes der ursprünglichen Ausstattung E(x0/x1) durch optimale Investitionsentscheidung:

− + =( )!

1 i MRT

E x x PV xx

i* ( ; ):* * * *

*

0 1 01

1= +

+

Allokation: (x0 - x0*) Investition in t = 0


Schritt 2: Finanzielle Investitions- bzw. Konsumentscheidung Nutzenmaximierung, gegeben die optimale Produktionsentscheidung E*(x0*/ x1*):

− + =( )!

1 i MRS U E c c* *: * *( * * / * *)0 1 Allokation: (c0** - x0*) Verschuldung in t = 0 zur Finanzierung des zusätzlichen Konsums Schritt 3: Gleichgewicht


Für obigen Fall gilt: ( *) ( * * *)x x c x0 0 0 0− < − Damit der Markt im Gleichgewicht ist, muss in jeder Periode gleichviel gespart

wie investiert werden:

aggregiertes Sparen aggregiertes Investiere n

S i I i

≡

≡( *) ( *)

Gleichgerichtetes Verhalten aller Individuen ist nicht möglich à Koordination erfolgt über Zinssatz Im Gleichgewicht widerspiegelt der Zinssatz die Zeitpräferenz des Marktes.


d) Fisher’sches Separationstheorem

Optimale Investitionsentscheidungen können mit einem Kapitalmarkt losgelöst von Konsumpräferenzen getroffen werden. Implikationen?


2. Zinssätze, Bond Pricing: Sicherheit 2.1 Zinsmathematik 2.2 Bond Pricing und Bond Yields 2.3 Zinsstruktur, Forward Rates und Arbitrage


2.1 Zinsmathematik a) Einfache Verzinsung (simple yield)

Der Zins als Entschädigung für den Zeitwert des Geldes wird einmalig am Ende der Periode zum Kapital geschlagen:

K = K + K R = K (1 + R)1 0 0 0× wobei K0, K1 Kapital in der entsprechenden Periode R einfacher, risikoloser Zinssatz Bsp.: K0 5’000 R 4 % p. a.

∆t 270 Tage

K = K (1 + R = 5000 (1 + 4 % 270

360) = 51501 0 × × ×∆t)


b) Zinseszins (compound yield)

K = K + K R + K R + . . . + K R

= K (1 + R ) (1 + R ) . . . (1 + R )T 0 0 0 1 1 1 2 n -1 T -1 T

0 0 1 1 2 T -1 T

× × ×× × × ×

Bsp.: K0 5’000 0R1 4 % p. a. 1R2 5 % p. a. 2R3 6 % p. a.

K = K (1 + R ) (1 + R ) (1 + R )

= 5000 (1 + 0.04) (1 0.05) (1 + 0.06) = 5'787.603 0 0 1 1 2 2 3× × ×

× × × ×


c) Stetige Verzinsung (continuous compounding)

Wird während des Jahres m mal der Zins berechnet und zum Kapital geschlagen, so erhöht sich das Endkapital auf

K KR

m

m

1 0 1= × +

.

Strebt m gegen Unendlich, so wird der Ausdruck zu

K K eR

1 0= × und somit im T-Periodenfall zu

K K eT

T R= × ×0 .

wobei e die Eulersche Zahl (2.7182818...) bezeichnet.


Bsp.: ( )K1 5000 1 0 04= × + . = 5’200.-- jährliche Verzinsung

K 1

2

5000 10 04

2= × +

. = 5’202.-- halbjährliche Verzinsung

K1

4

5000 10 04

4= × +

. = 5’203.02 vierteljährliche Verzinsung

12

120.04

150001

K

+×= = 5203.71 monatliche Verzinsung

365

1 365

0.0415000K

+×= = 5204.04 tägliche Verzinsung

... K e1

0 0 45000= × . = 5’204.05 stetige Verzinsung


Fragestellung: Wie hoch muss der einfache Jahreszinssatz angesetzt werden, damit dasselbe Schlussvermögen resultiert wie bei stetiger Verzinsung?

Beachte den Zusammenhang: R = e r - 1 ↔ r = ln (1 + R)

Mit r wird üblicherweise der Zinssatz für die stetige Verzinsung bezeichnet, um ihn vom einfachen Jahreszinssatz R zu unterscheiden.

Warum wird die stetige Verzinsung benötigt?


d) Barwert (present values)

PVC

R

C

R

C T

R TT=

++

++ +

+( )

( )

( )

( ). . .

( )

( )

1

1

2

1 10 11

0 22

0

Bsp.: Coupon-Bond (5 %) nominal 10’000, Restlaufzeit drei Jahre 0R1 4 % 0R2 5 % 0R3 6 %

PV =+

++

++

=500

1 0 04500

1 0 0510 500

1 0 069 750 29

1 2 3( . ) ( . )'

( . )' .

Für den Spezialfall einer flachen Zinsstruktur ( d. h. 0R1 = 0R2 = . . . = 0Rn) lässt sich der Barwert eines konstanten Zahlungsstromes (Annuität) wie folgt berechnen:

PVC

R

C

R Rtt

T

T=+

= −+

=∑

( ) ( )11

1

11


Für einen ewigen Rentenstrom (T → ∞) reduziert sich diese Formel auf

PVC

R=

(Perpetuität), womit z. B. der Preis eines consol bonds berechnet werden kann. Sind die jährlichen Zahlungen nicht gleichbleibend, sondern um einen konstanten Prozentsatz zunehmend, so beträgt der Barwert im endlichen Fall

PV

Cg

R

R g

T

=

−++

−

1 11

1

wobei g die jährliche Wachstumsrate des Cash-Flow-Stromes ist. Falls (R > g) gilt für T → ∞


PVC

R g=

−1 .


Bsp.: Welches ist der heutige Preis einer Aktie, die einen sicheren, unendlichen Dividendenertrag aufweist, beginnend in einem Jahr mit 10.-- und

einem jährlichen Wachstum von 3 % bei einer flachen Zinsstruktur von 5%?

PV =+

++

++

+10

1 0 05

10 3

1 0 05

10 61

1 0 051 2 3( . )

.

( . )

.

( . ). . .

=−

=10

0 05 0 03500

. .

Dieses Dividendenwachstumsmodell wird häufig als „Gordon growth model“ bezeichnet.


e) Durchschnittliche Verzinsung Bsp. Anfangsvermögen 100; Schlussvermögen nach 5 Jahren 130.

Welcher durchschnittlichen zinseszinslichen Fortschreibung entspricht dies?

130 100 1

130

1001 5 39

05

05

= × +

⇒ = − =

( )

. %

R

R

T

T

Allgemein:

0

0

1RK

KTT

T= − .


Bsp.: Der Pictet-Rätzer Aktienindex stieg von 100 Punkten im Jahr 1926 auf 17’876.55 Punkte Ende 1993. Die durchschnittliche einfache Rendite

betrug somit

1 9 2 6 1 9 9 36 8

17 876 55

1001 7 92%R p a= − =

' .. . .


Bsp.: Gegeben die einfachen Periodenrenditen

0 1

1 2

2 3

3 4

4 5

5

15

5

6

12

R

R

R

R

R

==

= −

=

=

%

%

%

%

%

Ein Anfangsvermögen von 100 wächst somit an auf

K 5 100 1 0 05 1 0 15 1 0 05 1 0 06 1 0 12

136 19

= × + × + × − × + × +

=

( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )

.

und die durchschnittliche Verzinsung beträgt

0 55

136 19

1001 6 37R = − =

.. %


Allgemein:

0

0

0 0 1 1 2 1

0

0 1 1 2 1

1

1 1 11

1 1 1 1

RK

K

K R R R

K

R R R

TT

T

T TT

T TT

= −

=× + × + × × +

−

= + × + × × + −

−

−

( ) ( ) . . . ( )

( ) ( ) . . . ( )

.


Zwischen der durchschnittlichen einfachen Rendite und der durchschnittlichen stetigen (arithmetische Rendite) besteht ein logarithmischer Zusammenhang:

0 01r RT T= +ln ( ) Nach einigen Umformungen lässt sich dies darstellen als

( )0 0 1 1 2 1

1r

Tr r rT T T= + + + −. . .

Bsp.: Für das obige Beispiel des Pictet-Rätzer Index ergibt sich für die

durchschnittliche stetige Rendite

1 9 2 6 1 9 9 3

1

68

17 876 55

1007 63r =

=ln' .

. % p. a.


2.2 Bond Pricing und Bond Yields a) Grundmodell des Bond Pricings

B PVC t)

R tt

t

T

= =+=

∑(

( )1 01

Bsp.: 6 % Couponbond mit einer Restlaufzeit von 5 Jahren; Zinsstruktur:

0R1 0R2 0R3 0R4 0R5 5 % 6 % 7 % 8 % 9 %

B =+

++

++

++

++

=

6

1 0 05

6

1 0 06

6

1 0 07

6

1 0 08

106

1 0 09

89 25

1 2 3 4 5( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )

.


b) Interner Zinssatz (IRR) resp. Yield to Maturity (y)

Der interne Zinssatz ist jene Grösse, mit der künftige Cash Flows abdiskontiert werden müssen, damit der erhaltene Barwert gerade dem aktuellen Preis des assets entspricht.

PC

IRR

C

IRR

C T

IRR T=

++

++ +

+( )

( )

( )

( ). . .

( )

( )

1

1

2

1 11 2 ,

wobei P für den akuellen Marktpreis steht. Im Zusammenhang mit Bonds ist die Bezeichnung „Yield to Maturity“ üblich.

BC t

y tt

T

=+=

∑( )

( )11


Bsp.: 6 % Couponbond mit einer Restlaufzeit von 5 Jahren; Zinsstruktur A:

0R1 0R2 0R3 0R4 0R5 5 % 6 % 7 % 8 % 9 %

Für den oben ermittelten Preis von 89.25 wird durch numerische Approximation ein Yield von 8.75 % bestimmt.

Zinsstruktur B:

0R1 0R2 0R3 0R4 0R5 6 % 7 % 8 % 9 % 10 %

Der Barwert für diese Zinsstruktur beträgt 85.73 und der Yield lässt sich mit 9.74 % bestimmen.


Approximation des Yield to Maturity:

yCp

Nom P

TNom P

≈+

−

×

+

2

Cp = Couponbetrag, Nom = Nominalbetrag.

Bsp.: Welches ist der Yield to Maturity folgender Coupon Obligation:

T 8 Jahre Cp 6 % P 96.75

y ≈+

−

×

+=

6100 96 75

82

100 96 756 512

.

.. % ,

Die numerische Approximation ergibt einen Yield von 6.534 %.


c) Konvexität von Bondpreisen

∂∂

P

y< 0 negativer Zusammenhang zwischen P und YTM

∂∂

2

2 0P

y> konvexer Zusammenhang

Bsp.:

Konvexität von Bondpreisen

0

50

1 0 0

1 5 0

2 0 0

1% 3% 5% 7% 9% 11%

13%

15%

Y T M

Pre

is

10 % Cp . -Bond

5 % Cp. -Bond

0 % Bond


d) Couponeffekt des Yields

Bsp:

0R1 0R2 0R3 0R4 0R5 5 % 6 % 7 % 8 % 9 %

Zwei Obligationen

Bond A Bond B Rating des Schuldners AAA AAA Laufzeit 5 Jahre 5 Jahre Coupon 4 % 10 % Yield (y) ? ?


1. Schritt: Barwertberechnung Bond A:

PV =+

++

++

++

++

=

4

1 0 05

4

1 0 06

4

1 0 07

4

1 0 08

104

1 0 09

81168

2 3 4 5( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )

.

Bond B:

PV =+

++

++

++

++

=

10

1 0 05

10

1 0 06

10

1 0 07

10

1 0 08

110

1 0 09

105 43

2 3 4 5( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )

.


2. Schritt: Berechnung des Yields Bond A:

PVC t

yy

tt

= =+

⇒ ==∑81168

18 819

1

5

.( )

( ). %

Bond B:

PVC t

yy

tt

= =+

⇒ ==∑105 43

18 618

1

5

.( )

( ). %

==> Konzept desYield to Maturity ist problematisch bei nicht-flacher Zinsstruktur


Bsp.: Bonds mit 5 Jahren Restlaufzeit bei unterschiedlichen Fristenstrukturen

a) flache term structure 8 % 8 % 8 % 8 % 8 % b) steigende term structure 5 % 6 % 7 % 8 % 9 % c) fallende term structure 9 % 8 % 7 % 6 % 5 % Preise Zero-Bond 5 % Cp.-Bond 10 % Cp.-Bond a) flache term structure 68.06 84.03 107.98 b) steigende term structure 64.99 81.17 105.43 c) fallende term structure 78.35 95.02 120.02

Yields

Zero-Bond 5 % Cp.-Bond 10 % Cp.-Bond a) flache term structure 8 % 8 % 8 % b) steigende term structure 9 % 8.818 % 8.618 % c) fallende term structure 5 % 5.155 % 5.333 %


e) Yieldkurve vs. Zinssatzkurve (spot rate curve) Bsp.:

Laufzeit

Yie

ld

2.50%

3.00%

3.50%

4.00%

4.50%

5.00%

5.50%

6.00%

6.50%

1 Ja

hr

3 Ja

hre

5 Ja

hre

7 Ja

hre

9 Ja

hre

Yield Zerobond(Spotratekurve)

Yield 5 % Cp.Bond

Yield 10 % Cp.Bond


Es muss klar unterschieden werden:

Yield Curve

Renditekurve

Spot Rate Curve

Zinssatzkurve

↔


2.3 Zinsstruktur, Forward Rates und Arbitrage

Zinsstruktur per 14.9.1994

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

3 M

6 M 1

J

2 J

3 J

4 J

5 J

6 J

7 J

8 J

9 J

10

J

berechnet aufgrund von CHF-Swapsätzen

3 M 6 M 1 J 2 J 3 J 4 J 5 J 7 J 10 J

4.188 % 4.312 % 4.688 % 5.3 % 5.53 % 5.63 % 5.73 % 5.84 % 5.94 %


Fragen: • Ist diese Zinsstruktur normal? • Warum ist die Zinssatzkurve nicht flach? • Lassen sich aus der Fristenstruktur bestimmte Informationen ableiten? • Ich benötige in zwei Jahren einen 3jährigen Kredit. Wie werden die Konditionen heute festgelegt?


a) Berechnung des Terminzinssatzes

he

ute

2 Ja

hre

5 Ja

hre

E ine An lage von Fr . 1 . - - wächst während fün f Jahren au fK 5 = 1 .0573 5

W ie hoch muss de r Dre ipe r ioden-satz in zwe i Jahren se in , dami td ie Rol l -over -St ra teg ie den g le ichenErtrag aufweist?

(1 + 0 R 5 )5 = (1 + 0 R 2 )2 x (1 + f 0 ; 2 , 5 )3

=> f 0 ; 2 , 5 =

=

= 6 . 0 2 %

( )

( )

1

110 5

5

0 22

3+

+−

R

R

( . )

( . )

1 0 0 5 7 3

1 0 0531

5

23

++

−

?

Dieser Z inssa tz ha te ine konk re te Bedeu tung :T e r m i n z i n s s a t z( forward interest rate)


Allgemein gilt für den Terminzinssatz:

fR

Rt T

T

tT t T

t

0

1

110

0

; ,

( )

( )=

+

+−−


b) Terminkurs für Zerobonds

Der Preis eines in zwei Jahren zu liefernden, dreijährigen Zerobonds soll heute bestimmt werden.

( )

( )

11

1

1

1

1

11

1

5

2

0 2 5

3 0 55

0 22

0 2 5

30 5

5

0 22

0 2 50

0

+ =++

⇒+

=+

+

=

fR

R

f

R

R

FB

B

; ,

; ,

; ,

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 24 34


Bsp.: Für die obige Zinsstruktur ergibt sich für einen dreijährigen Bond in zwei Jahren ein Terminkurs von

F

oder äquivalent dazu ausgehend vom Ter satz

F

0 2 3

5

2

0 2 3 3

1

1 0 05731

1 0 053

0 7568

0 901983 92

1

1 0 0601883 92

; ,

; ,

( . )

( . )

.

.. %

, min :

( . ). %

=+

+

= =

=+

=


c) Arbitrage

Merkmale von Arbitrage: • risikoloser Gewinn • unbegrenzter Gewinn • erfordert keinen Kapitaleinsatz


Bsp.: Wird der oben genannte Bond derzeit am Markt zu einem Terminkurs von

83 statt 83.92 gehandelt, so lässt sich dies durch folgende Arbitragestrategie ausnutzen:

Position C heute C in 2 J C in 5 J Terminkauf 3j. Zerobond 0 -83 + 100 Spotverkauf 5j. Zerobond + 75.685 0 - 100 Spotkauf von 0.83 2j. Zerobonds - 74.855 + 83 0 Summe + 0.83 0 0

Es resultiert ein sofortiger Arbitragegewinn von 0.83, resp. ein Vielfaches davon.


3. Modellierung der Zinsstruktur

3.1 Theorien der Fristenstruktur und empirische Tests 3.2 Zinsterminkontrakte 3.3 Swap-Pricing

3.4 Dynamik der Zinsstruktur: Faktormodelle


3.1 Theorien der Fristenstruktur, empirische Tests a) Erwartungstheorie der Zinsstruktur (Fisher)

{ {

E R f

R

tatsächlic herZinssatz

u

ErwartungsfehlerE u

t T t T

t T t T

t T

0 0

0 0

( )

~

( ~ )

; ,124 34=

+

=

Der derzeitige Terminzinssatz widerspiegelt die Markterwartung des zukünftigen Spotsatzes. Bei rationalen Erwartungen ergeben sich keine systematischen Prognosefehler (unbiased estimation).


Empirische Ueberprüfung anhand der Regressionsgleichung

( )t T t T t TR R f R~ ~

; ,− = + − +0 1 0 0 1α β ε

Falls die Erwartungstheorie gilt:

$

$

α

β

=

=

0

1

Empirische Resultate:

• sehr tiefes R2 ==> Zissatzänderungen sind grösstenteils unerwartet • $α ist negativ und siginifikant von 0 verschieden ==> Terminprämie • $β signifikant von 1 verschieden


Erwartungstheorie

f 0 ; t , T - 0 R 1

tR T - 0 R 1

Termin -prämie

empir isch


Exkurs: Inkonsistenz verschiedener Versionen der Erwartungstheorie • Version 1: „Return to Maturity“-Erwartungstheorie

B0(1) B1(2)

1442443 1442443

(1 + Renditekurz) 1

10B ( )

1

21~ ( )B

B0(2)

1444442444443

(1 + Renditelang) 1

20B ( )


Die erwarteten Renditen der kurzen und der langen Strategie müssen sich entsprechen:

(1 + erwartete Renditekurz) = (1 + erwartete Renditelang)

1

1

1

2

1

200

1 0BE

B B( ) ~ ( ) ( )×

=


• Version 2: „Local Expectations“-Erwartungstheorie

Wird der lange Bond nach einer Periode liquidiert, so beträgt (1 plus) die erwarte Rendite auf dieser Anlage

( )E B

B

0 1

0

2

2

~ ( )

( ),

was (1 plus) der erwarteten Rendite auf dem 1-Perioden-Bond entsprechen muss:

( )E B

B B

0 1

0 0

2

2

1

1

~ ( )

( ) ( )=


Version 1 der Erwartungstheorie kann umgeformt werden zu

EB

B

B0

1

0

0

1

2

1

2~ ( )

( )

( )

=

Version 2 dagegen ergibt

( )

1

2

1

20 1

0

0E B

B

B~ ( )

( )

( )= ,

was eine Uebereinstimmung von

( )

1

2

1

20 1

0

1E BE

B~( )

~ ( )=

,

erfordern würde, was aber aufgrund der Jensen’schen Ungleichung nicht sein kann.

Es gilt nämlich Ex E x

1 1

>( )

.


Aufgabe: Bestimmen Sie die Abweichung!


b) Liquiditätsprämientheorie (Hicks, Keynes)

Die unterschiedlichen Fristenpräferenzen der beiden Marktseiten erklären die Existenz der beobachteten Terminprämie. Typischerweise bestehen folgende Präferenzen: Emittent: Präferenz für langfristiges Kapital Anleger: Präferenz für kurzfristige Anlage Der Mismatch wird beseitigt durch die Zahlung einer positiven Terminprämie für langfristige Anlagen, die die Anleger für ihre reduzierte Liquidität entschädigt.


c) Marktsegmentationstheorie (Modigliani, Brumberg) Kritik an der Liquiditätsprämientheorie: Fristenpräferenzen können grundsätzlich

beliebig sein, Terminprämie ist aber praktisch immer positiv.

Die Terminprämie entsteht, weil kurz- und langfristige Wertpapiere nicht ohne weiteres substituierbar sind. Da die Arbitrage zwischen den Teilmärkten somit eingeschränkt ist, bilden sich die Zinssätze in den einzelnen Segmenten nahezu isoliert. Diese Marktsegmentierung ist institutionell bedingt.


d) Risikotheorie

Die Terminprämie wird als Entschädigung für die Risiken interpretiert, die mit längerfristigen Geldanlagen verbunden sind. Relevant sind insbesondere zwei Aspekte: • Zinsänderungsrisiko

Langfristige Anlagen reagieren wesentlich stärker auf Schwankungen der Zinssätze als kurzfristige (-> Bewertungsrisiko). Risikoaverse Akteure verlangen für dieses zusätzliche Risiko eine sogenannte Risikoprämie in

Form einer höheren erwarteten Rendite.


• Inflationsrisiko

Durch die Roll-over-Strategie können die unerwarteten Veränderungen der Inlationsrate in der Anlagestrategie berücksichtigt werden, so dass die reale Wertentwicklung des Vermögens stabiler ausfällt. Für die Roll-over-Strategie gilt: Var(WT

real) < Var(WTnom)

Bei einer langfristigen Anlage fällt die Varianz des realen Endperiodenvermögens grösser aus, was wiederum durch eine Risikoprämie in Form einer höheren erwarteten Rendite (Terminprämie) entschädigt wird.


3.2 Zinsterminkontrakte

a) Forward Rate Agreement (FRA) • Terminkontrakt, in dem zwei Parteien den auf einer zukünftigen Anlage mit

einer bestimmten Laufzeit zu bezahlenden Zinssatz fixieren.

• Liegt der Zins am Verfalltag über dem abgemachten Satz, bezahlt der Verkäufer den Käufer. Liegt der Zins unter dem abgemachten Satz, schuldet der Käufer dem Verkäufer die Ausgleichszahlung. Dabei kommt es zum Ausgleich von Barwerten.

( )S

P L R D

B L D

B

=× − ×

××

+×

×100

1

1100

S: Ausgleichszahlung P: Nominalbetrag L: LIBOR-Satz am Verfalltag für die bestimmte Laufzeit R: fixierter Zinssatz B: Day Count Convention (USD und andere Währungen 360, £ 365 Tage) D: Laufzeit in Tagen


b) Variationen des FRA

• Zinsfuture

• Forward/forward deposit

entspricht dem FRA, ausser dass es zum Austausch der Nominalbeträge kommt

• Forward Spread Agreement

Absicherung des Spreads zwischen Zinssätzen ähnlicher Laufzeit in unterschiedlichen Währungen

• Long Dated FRA

FRA mit einer untypisch langen Laufzeit

• Serial FRA (Strip FRA)

entspricht einem Swap

• Interest Rate Guarantee (IRG)

Option auf ein FRA Quelle: Coopers & Lybrand, The financial jungle.


c) Weitere derivative Zinsinstrumente

• Cap • Floor • Collar (long Cap & short Floor) • Corridor (long Cap & short Cap ë Bullish Price Spread) • Swaps • Swaptions • Captions • Floortions


3.3 Pricing von Swaps Pricing eines Swaps bei Eröffnung ë Bestimmung des fixen Swapsatzes auf die jeweilige Laufzeit Pricing von Swaps während der Laufzeit ë Bestimmung des Barwertes des Swaps im jeweiligen Zeitpunkt


a) Begriffliches • Ein Swap stellt ein Portfolio aus zukünftigen fixen Zahlungsströmen (FIX

Part) und zukünftigen variablen Zahlungsströmen (FLOAT Part) dar. • Der Eigentümer eines Receiver Swap erhält FIX und zahlt FLOAT

• Der Eigentümer eines Payer Swaps erhält FLOAT und zahlt FIX


b) Bewertung eines Swaps bei Eröffnung ëBei Eröffnung gilt PV(FIX)=PV(FLOAT) 1. Schritt: Bestimmung des PV(FLOAT) ëzukünftige unsichere FLOAT Zahlungen entsprechen den Forward-Sätzen Aktuelle Spot Rate Curve1)

1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre Spot Rate

4.499% 4.963% 5.426% 5.609% 5.727%

1) Das Zahlenbeispiel unterstellt sowohl für den FLOAT Part wie auch für den FIX Part jährliche

Zahlungsströme. Zudem werden auch die für die Spot Rates bzw. für den FLOAT und FIX Part unterschiedlichen Day Count Conventions nicht berücksichtigt.


Die Zahlen beruhen auf genau gerechneten Werten. Beim Nachvollzug können daher Abweichungen im Rundungsbereich auftreten.


Berechnung der impliziten Terminsätze

( )( )

fr

rt t

tt

tt0 1

111

1; , +

++

=+

+

1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre Forward Rate

- 5.428% 6.358% 6.160 6.200%

Berechnung der Abdiskontierungsfaktoren

( )d

rt

tt

=+

1

1

1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre Abdisk.-fakt.

0.957 0.908 0.853 0.804 0.757


Berechnung des Barwertes

( )PV FLOAT

r

rf dt t t

t

T

( ) ; ,=+

+ ⋅+=∑1

1

0 121

Für einen Nominalwert von 50 Mio.: 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre Relevanter Zinssatz

4.499% 5.428% 6.358% 6.160 6.200%

Cashflow 2’249’819 2’714’025 3’179’068 3’079’954 3’100’159 Abdisk.-faktoren

0.957 0.908 0.853 0.804 0.757

Barwerte 2’152’937 2’463’437 2’713’042 2’475’942 2’346’683 TOTAL

12’152’043


2. Schritt: Barwert des FIX Part

PV FIX R d t

t

T

( ) ==∑

1

3. Schritt: Gesucht ist jener fixe Swapsatz R, für den gilt PV(FIX) = PV(FLOAT)

R PV FLOAT d t

t

T

= = ==∑( )

' '

' '/ . .

1

12 152 043

50 000 0004 279 5 68%

1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre 5J-Swapsatz 5.680% 5.680% 5.680% 5.680% 5.680% Cashflow 2'840'000 2'840'000 2'840'000 2'840'000 2'840'000 Abdisk.-faktoren

0.957 0.908 0.853 0.804 0.757

Barwerte 2’717’721 2’577’797 2’423’695 2’283’061 2’149’768 TOTAL

12’152’043


Für Swaps sämtlicher anderer Laufzeiten (2J, 3J, 4J) kann nun ebenfalls der fixe Swapsatz bestimmt werden. Beispiel: Berechnen Sie den 3J-Swapsatz:


Zusammenhang zwischen der Fristenstruktur der Spot Rates und der Fristenstruktur der Swap Sätze Zinssatzkurve Swap-Struktur (Spot Rates) (Swap Rates) 4.499

4.963

5.426

5.609

5.727 5.680



c) Zinsstruktur und Preisbildung von Swaps Gegeben die Spot-Rate Curve (Zinsstruktur): { }0 1 0 2 0 3r r r, , . . .,

Implizite Termin-Zinssätze:

( )( )

fr

r0 1 20 2

2

0 1

1

11; =

+

+−

( )( )

fr

r0 2 3

0 33

0 22

1

11; =

+

+−

etc.


Erwartungstheorie der Zinsstruktur: ( )E r f0 1 2 0 1 2= ; ( )E r f0 2 3 0 2 3= ; etc. Erwartete Spot Rates entsprechen den erwarteten FLOAT-Zahlungen des Swaps.

Deren Barwert ist gegeben durch:

( ) ( )

( )( )

( )PV FLOAT

r

r

f

r

f

r( ) . . .

; ;=+

++

++

+0 1

0 1

0 1 2

0 2

2

0 2 3

0 3

31 1 1

Die Nennwerte des FIX- und FLOAT-Part können vernachlässigt werden (sie heben sich


gegenseitig auf).


Damit der Barwert des Swaps = 0 ist, muss gelten:

( ) ( )( )PV FLOAT PV FIX R

r rR d d( ) ( ) . . . .. .= =

++

++

= + +

1

1

1

10 1 0 2

2 1 2

R ist die feste Zahlung (d.h. der FIX Part) des Swaps, genannt „Swapsatz“; er berechnet sich als:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )R

PV FLOAT

d d

r d f d f d

d d d

( )

( . . . )

. . .

. . .

; ;

1 2

0 1 1 0 1 2 2 0 2 3 3

1 2 3+ +=

+ + +

+ + +

Konkret für einen T-Perioden Swap:

( ) ( ) ( ) ( )

( )R

r d f d

dT

T T TT

T

TT

T=

+ −=

=

∑∑

0 1 1 0 12

1

; ,


Institutionelle Besonderheit für SFR-Swaps: Der 1-jahres LIMEAN-Satz (0r1) wird mit ACT/360 verzinst (sog. Geldmarktkonvention), während der SWIMEAN (R1) mit

30/360 (Bondmarktkonvention) verzinst wird. D.h.:

( ) ( )0 1 1

365

360r R=

Konkret: Die erste FLOAT-Zahlung erfolgt aufgrund von R1, aber die Abdiskontierung des

1-Jahres-Cash Flows erfolgt mit d1 = 1/ (1+0r1).


Umgekehrte Fragestellung: Wie ermittelt man die Zinsstruktur (= Spot Rate Curve) aufgrund der Fristenstruktur der Swap-Sätze? Swap Rate Curve: { }R R R1 2 3, , , . . . Für T=1: ( )R r1 0 1= (respektive mit der Anpassung für die unterschiedlichen Day-Count-Konventionen)


Für T=2:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Rr d f d

d d

R d d R dr

rd

2

0 1 1 0 1 2 2

1 2

2 1 2 1 10 2

2

0 1

2

1

11

=+

+

+ = ++

+−

;

dabei beachte man:

( )

( )

1

1

1

11

1

0 2

2

0 1

0 1

0 2

2

1

2

+

+=

+

+

=r

r

r

r

d

d


und oben eingesetzt:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R d d R dd

dd R d d d2 1 2 1 1

1

22 1 1 2 11+ = + −

= − + ( )

Ferner beachte man, dass

( ) ( ) ( ) ( )R d d

r

r r1 1 1

0 1

0 1 0 11

1

11+ =

++

+=


Somit folgt für d2:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

R d R d R d d d

d R R d

dR d

R

2 1 2 2 1 1 1 2

2 2 2 1

22 1

2

1 1

1

1

+ = + −

+ = −

⇒ =−

+

Es folgt für den Zinssatz 0r2:

( )

dr

dr

rd

20 2

2

20 2

0 22

1

1

1

1

11

=+

=+

⇒ = −


Für T=3:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

R d d d R dd

dd

d

dd

R d d d d d R d d d d

3 1 2 3 1 11

2

22

3

3

1 1 1 2 2 3 1 1 1 3 3

1 1

1

+ + = + −

+ −

= + − + − = + − = −

Nach d3 aufgelöst:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

R d d R d d

dR d d

R

3 3 3 3 1 2

3

3 1 2

3

1

1

1

+ = − +

⇒ =− +

+


Dies entspricht dem Zinssatz 0r3:

( ) ( ) ( )0 3

3

3

3 1 2

11

1

113 3r

d

R

R d d= − =

+− +

−

Allgemein für den T-Perioden Zinssatz:

( )0

11

1

11r

R

R dT

T

T TTT

T=+

−−

=−∑


Zahlenbeispiel für die rekursive Berechnung der Spot Rates aus den Swap Rates Aktuelle Swap Rate Curve 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre Swap Rate 4.499% 4.952% 5.393% 5.568% 5.680% Berechnung der „Abdiskontierungsfaktoren“

( )

dR d

RT

T t

T

T

=−

+

−

∑1

11

1

1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre dt 0.957 0.908 0.853 0.804 0.757


Berechnung der Spot Rates

0

11r

dTT

T

= −

1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre

0r t 4.499% 4.963% 5.426% 5.609% 5.727 ë Diese Spot Rates entsprechen exakt der Zinssatzkurve von der zu Beginn des

Swap Pricing ausgegangen wurde!


d) Ein vereinfachter Ansatz zur Bestimmung des Swapsatzes

Ein Swap ist von der Cash-Flow-Struktur her nichts anderes als ein variabel fremdfinanzierter k-Perioden Par-Bond mit einem Coupon von ik, dessen Barwert ex definitione 100 % ist:

PV fix

Investition inBond

i

Fd

i

Fd

i

Fd d PV float

Finanzieru ng des Bonds

k k kk k( ) . . . ( )

123 1 24 34= + + + + = =1 2 1 1

wobei di Diskontfaktor für die Periode i F Zahlungsfrequenz (1, 2, 4 ... mal jährlich)


Die gleichbleibenden, regelmässigen Zahlungen ik sind somit aber nichts anderes als die fixe Seite eines Swaps! Aufgelöst nach ik ergibt sich somit der k-Perioden Swapsatz sehr einfach als

i FIXdd

F

kk

j

j

k= =

−

=∑

1

1

Will man hingegen aus dem k-Perioden Swapsatz den k-Perioden-Dsikontfaktor respektive den entsprechenden Zinssatz ermitteln, so berechnet sich dieser als

d

id

Fi

F

k

k

j

j

k

k

=−

+

=

−

∑1

1

1

1


Es lässt sich zudem zeigen, dass ein Swapsatz nichts anderes als der gewichtete arithmetische Durchschnitt der entsprechenden forward-rates ist. Forward-rates berechnen sich aus den Diskontfaktoren wie folgt:

( )( )

fR

RF

d

dFk k

kk

kk

k

k0 1

0

0 11

11

11 1; ( ),−

−−

−=+

+−

× = −

×

Nach d1, d2, d3, ... dk aufgelöst und in die Formel zur Bestimmung des Swap-Satzes eingesetzt, ergibt sich

i FIX1 d

d

F

f d

d

F

kk

j

j 1

k

0; (j 1), j jj 1

k

j

j 1

k= =

−=

×

=

−=

=∑

∑

∑


Aufgabe Zeigen Sie die Herleitung dieser Formel!


Beispiel Das Swap-Beispiel aus Abschnitt 3.3 a) rechnet sich ausgehend von der soeben hergeleiteten Formel wie folgt: 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre Spot Rate

4.499% 4.963% 5.426% 5.609% 5.727%

FIX1 d

d

F

5

j

j 1

5=

−=

−

+ + + +=

=

+

+ + + + +∑

1 1

1 0 0 5 7 2 7

1

1 0 0 4 4 9 9

1

1 0 0 4 9 6 3

1

1 0 0 5 4 2 6

1

1 0 0 5 6 0 9

1

1 0 0 5 7 2 7

5

1 2 3 4 5

( . )

( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )

5.68 %


e) Bewertung eines Swaps nach Eröffnung

PV(SWAP)=PV(LONG) – PV(SHORT)

Receiver Swap Payer Swap

FIX Part LONG SHORT

FLOAT Part SHORT LONG


Bewertung eines 7%-Receiver-Swaps mit 4-jähriger Restlaufzeit Ausgangsdaten Aktuelle Spot Rate Curve 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre Spot Rate 4.499% 4.963% 5.426% 5.609% Aktuelle Abdiskontierungssätze 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre Abdiskont.- sätze

0.957 0.908 0.853 0.804


Forward Rates 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre Forward Rate - 5.428% 6.358% 6.160 1. Schritt: Bewertung des PV(FIX) 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre Fixer Swapsatz

7% 7% 7% 7%

Cashflow 3’500’000 3’500’000 3’500’000 3’500’000 Abdisk.-faktoren

0.957 0.908 0.853 0.804

Barwerte 3’349’282 3’176’842 2’968’929 2’813’613 TOTAL

12’326’665


2. Schritt: Bewertung des PV(FLOAT) 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre Relevanter Zinssatz

4.499% 5.428% 6.358% 6.160

Cashflow 2’249’819 2’714’025 3’179’068 3’079’954 Abdisk.-faktoren

0.957 0.908 0.853 0.804

Barwerte 2’152’937 2’463’437 2’713’042 2’475’942 TOTAL

9’805’359

3. Schritt: Berechnung des PV(SWAP) PV(SWAP) = PV(LONG) - PV(SHORT)= PV(FIX) - PV(FLOAT) = 12’326’665 - 9’805’359 = 2’521’306


3.4 Dynamik der Zinsstruktur Beschreibung der Zinsstruktur bzw. deren Veränderungen (1987-1992, 1M-Eurosatz bis 10J-Swapsatz)

(Material fehlt!!)


Kurze vs lange Zinssätze (1987-1992, 1M-Eurosatz bis 10J-Swapsatz)


Erklärungsanteil der Faktoren an den Veränderungen der Key Rates - im CHF Quelle: Bühler/Zimmermann [1994]


Methodisches Vorgehen der Faktoranalyse von Zinsstrukturänderungen

• Zweck der Faktoranalyse: Beschreibung typischer Grundmuster von Zinsänderungen aufgrund spezifischer, voneinander unabhängiger Faktoren

• „Gleichbehandlung“ der Zinssätze aller Laufzeiten erfordert ein anderes

methodisches Vorgehen als bei der traditionellen Faktoranalyse: Faktoranalyse aufgrund standardisierter Zinsänderungen (Die Faktoren haben

eine Volatilität von 1) • Identifikation der Faktoren ist von der Zusammensetzung der gewählten

Zinssätze abhängig: 5 kurze und 6 lange Zinssätze • Interpretation: die Faktorsensitivitäten zeigen, in welchem Umfang der

spezifische Faktor die Zinssätze über die Zinsstruktur mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 bewegt.


Einfluss der Faktoren auf die Zinsstruktur - im US-Dollar Quelle: Littermann/Scheinkman [1991]


Einfluss der Faktoren auf die Zinsstruktur - im CHF Quelle: Bühler/Zimmermann [1994]


4. Einfache Zinsänderungsrisiken 4.1 Duration, Bond-Volatilität, Konvexität 4.2 Hedging und Immunisierung 4.3 Zinsswaps 4.4 Asset- & Liability-Management


4.1 Duration, Bond-Volatilität, Konvexität

a) Herleitung bei stetigen Cashflows

PV B B C t) e d trtT

( ) (= = −∫0

⇒ = −∫ −∂∂

B

rC t) t) e dt

Trt( (

0

⇒ = −× ×

= −−

∫∂∂

B

r B

C t) t e

Bdt D

r tT1

0

(


Bestimmung der Bond-Volatilität

∂∂

B

r B

1= - D

⇒ = − ⇒ ≈ −∂

∂B

BD r

B

BD r

∆∆

( )⇒

≈σ σ∆

∆B

BD r

Bond-Volatilität ≈ Duration x Zinsvolatilität


b) Herleitung bei diskreten Cashflows

PV B BC t)

R tt

T

( )(

( )= =

+=∑

11

⇒ =− ×

+=+∑

∂∂

B

R

t C t

Rt

T

t1

11

( ) ( )

( )

⇒ =× × +

×−+

−

=

≡ −

∑∂∂

B

R B

C t) t R

B R

t

t

T

D Macau lay Durat ion

i f iedDurat ion

1 1 1

11

( ( )

( )( )

m o d

1 24444 344441 2444444 3444444

⇒ = −+

⇒ ≈ −+

∂ ∂B

BD

R

R

B

BD

R

R1 1

∆ ∆

⇒

≈ −+

σ σ

∆ ∆B

BD

R

R1


l n ( B )

B 0

RR 0 R 1

B 1

Feh le r durch l i neareApprox ima t ion

M i t d e r D u r a t i o n w i r d d i e V e r ä n d e r u n g d e s B o n d p r e i s e sl inear a p p r o x i m i e r t


Bsp.: 3 Obligationen mit identischer Laufzeit (5 Jahre) aber unterschiedlichen Couponsätzen

Zerobond 10 %-Cp.-Bond 20 %-Cp.-Bond Duration 5 4.253 3.899 modified Duration - 4.762 -4.05 - 3.713 B bei 5 % Marktzins 78.35 121.65 164.94 B bei 5.01 % 78.32 121.60 164.88 ∆ - 0.0373 - 0.0493 - 0.0612 % Veränderung -0.047 % > - 0.041% > - 0.037 %


c) Konvexität

Ct t CF t R

Bt

Tt

=+ +

=

−∑1

1 1( ) ( ) ( )

Bondpreisveränderungen lassen sich damit genauer approximieren (Grundlage: Taylor-Expansion):

∆ ∆ ∆B

BD

R

RC

R

R≈ −

++

+

1

1

2 1

2


Bsp.: 5 % Couponbond, 4 Jahre Restlaufzeit,

Zinsstruktur 0R1 4 % 0R2 4,5 % 0R3 5 %

0R4 5,5 %

B = + + + =5

104

5

1045

5

105

105

10552 3 4. . . .98.4632

D =×

+×

× +×

× +×

×

=

− − − −5 104

98 46

5 1045

98 462

5 105

98 463

105 1055

98 464

1 2 3 4.

.

.

.

.

.

.

.

3.71665

y = ≈+

−

×

+5 44

5100 98 4632

42

100 98 4632. %

.

.


mod. ..

Duration = × −+

= −3 7161

1 0 05437793.525

C =× ×

+× ×

+× ×

+× ×

=

− − −

−

2 5 104

98 4632

6 5 1045

98 4632

12 5 105

98 4632

20 105 1055

98 4632

1 2 3

4

( . )

.

( . )

.

( . )

.

( . )

.18.11918


Auswirkung einer einprozentigen, parallelen Zinssatzsteigerung?

• Berechnung mittels Abdiskontierung:

∆ B = − 3.3921

• Approximation via Duration:

( )∆ ∆B B D R≈ = × − × = −mod . ( . . )98 4632 3 525 0 01 3.4708278

• Unter Berücksichtigung der Konvexität:

∆ B ≈ × − ×

++ × ×

+

= −

98 4632 3 7160 01

1 0 0544

1

218 119

0 01

1 0 0544

2

. ..

..

.

.

3.38428


d) Duration eines Portfolios

Dw

WDP

i

i

n

i=

×=∑

1

Bsp.: Portfolios aus verschiedenen Bonds mit fünf Jahren Restlaufzeit

10 % Cp. 5 % Cp. Zerobond Portfolio Gewichte 0.1 0.6 0.3 1 mod. Duration - 3.84100592 -4.3029795 - 4.97219241 -4.45754602 PV bei 5 % 121.647383 100 78.3526166 95.670523 PV bei 5.01 % 121.598118 99.9567172 78.3253165 95.628437 ∆ - 0.0420862 Approximation via Portfolio Duration

- 0.0445754


4.2 Hedging und Immunisierung


a) Duration Window/Immunisierungshorizont Entwicklung des Marktwertes eines stetig verzinsten Portfolios unter Berücksichtigung von Zinsänderungen


Wo liegt der Planungshorizont K? • Für t < K

∂

∂B r

rt ( )

< 0

• Für t > K

∂

∂B r

rt ( )

> 0

• Für t = K

∂

∂B r

rt ( )

= 0


Mathematische Herleitung

( ) ( )

( )

( )

( )

B r B r e

Mit

B r C t)e d t

erhält man

B r C t)e d t e

C t)e d t

K OrK

O

Trt

K

Trt rK

Tr K t

=

=

= ⋅

=

∫

∫

∫

−

−

−

(

(

(

0

0

0

Bedingung für Minimum

( )∂∂

B r

rOK =

( )∂∂

2

2

B r

rOK >


1. Ableitung

∂

∂B r

rC t)(K t)e dt

C t)( t)e dt C t)(K e dt

Ke C t)( t)e dt

e C t)e dt

K Duration

K r K tT

r K tT

r K tT

rK rtT

rK rtT

( )(

( ( )

(

(

( )

( ) ( )

= − =

+ =

=+

⇒ =

−

− −

−

−

∫

∫ ∫

∫

∫

0

0 0

0

0

0


2. Ableitung

( ) ( ) ( )∂∂B r

rC t) K t e dt

O O O

KT

r K t

20

2= −

↓ ↓ ↓> > >

∫ −( *

( )

⇒ >∂

∂

B r

rOK

2


Zahlenbeispiel (I) • 5%-Coupon-Bond • 5 Jahre Restlaufzeit • Aktuelles Zinsniveau 5% • Zinsschocks ± 1% • Bond-Duration bei 5% = 4.55 Entwicklung des Marktwertes inkl. reinvestierter Coupons

Restlauf-

zeit(Jahre)

5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

6% 95.79 98.62 106.53 109.68 117.93 121.41 130.00 133.85 142.80 147.02 156.37

5% 100.00 102.47 110.00 112.72 120.50 123.48 131.53 134.77 143.10 146.64 155.26

4% 104.45 106.52 113.63 115.88 123.18 125.61 133.10 135.74 143.43 146.27 154.16

(stetige Verzinsung)


Zahlenbeispiel (II) (Quelle: Bierwag)


b) Steuerung der Zinsrisikoexposure durch den Einsatz derivativer

Instrumente


Umfang des Hedge

Problemstellung: Target-Duration DH* des gesamten Portfolios (inkl. Futures-Kontrakte) soll frei

gewählt werden können Definition: Marktwert der Hedge-Position H = H(i) Marktwert der Basisanlage V = V(i) Marktwert des Hedge Instrumentes F = F(r) d i d r Basisrisiko≠ ⇔

dH

di

dV

dih

dF

dr

dr

di= +

dH

diD H

iH= − ⋅ ⋅+1

1


D Hi

D Vi

h D Fr

dr

diH V F⋅ ⋅+

= ⋅ ⋅+

+ ⋅ ⋅+

1

1

1

1

1

1

Bei Verwendung von Futures gilt:

V = H

( )D D h D

r

F

V

dr

diiH V F= + ⋅

++

1

11

{

hD D

D

Hedge Ratio

V

FSkalierungsfaktor

d r

d i

i

rH V

F

* ;( )

( )=

−

−

⋅ ⋅

−

≡++

1 24 34

ε ε1

1


Konvexität des Hedge

→ → Hedge - Instrumente sollten im Interesse einer konvexen Absicherung eine tiefe

Konvexität aufweisen


Qualität des Hedge

( )σ 2 0∆H = falls ( )ρ ∆ ∆~,

~V F = 1

In allen anderen Fällen gibt es ein nicht hedgebares Restrisiko im Umfang von:

( ) ( )σ ρ∆ ∆ ∆V V F12

− ~, ~

Zahlenbeispiel: Für ρ = 0 95. erhält man ein Restrisiko im Umfang von 31% von ( )σ ∆V


Zahlenbeispiel zur Absicherung mit Bond-Futures Marktwert des Portfolios 40 Mio. CHF Duration des Portfolios 8.55 Kurs des Futures 112.90% Nominalwert des CTD-Bonds 100’000 CHF Duration des CTD-Bonds 6.54 Annahme ε =1/ Umrechnungsfaktor =1 Ziel Reduktion der Portfolioduration auf 2 Anzahl Futures-Kontrakte h:

hD D

D

V

FKontrakteH V

F

=−

⋅ =−

⋅⋅

= − ⋅ = − ≈2 8 55

6 54

40 000 000

112 90% 100 00010015 354 296 354 8 355

.

.

' '

. '. . .


4.3 Zinsswaps a) Definitionen • Receiver Swap Wir erhalten FIX und zahlen FLOAT • Payer Swap Wir erhalten FLOAT und zahlen FIX

Zinssätze fallen

Zinssätze steigen

Receiver Swap

Gewinn

Verlust

Payer Swap

Verlust

Gewinn


b) Bestimmung der Duration bzw. der Volatilität des Swaps Swap 5 Jahre, Receiver, jährliche Cashflows, nominal 50 Mio., Swapsatz 5.72% Barwert des FIX Part = Barwert des FLOAT Part = 12'182'319 Mio. (auch übrige Daten gemäss Abschnitt 3.2.) Problemstellung

Duration eines Swaps ist über die klassische Methode nicht bestimmbar (Barwert = 0) Vorgehen gemäss Planta [1989], Dissertation Hochschule St. Gallen Definitionen

relative Volatilitä t

dPP

dy

D

y≡ =

−+1

absolute Volatilität dP

D

yP dy≡ =

−+

⋅ ⋅1

( )

S dardabweichung dP

D

yP dytan ( ) ( )≡ ≡

+⋅ ⋅σ σ

1


Volatilität des FIX Part

Duration FIX

Mio Mio

Mio( )

. .

.

. .

.. .

.=× +…+ ×

=1

2 840

10455

2 840

1057312 152

2 885

absolute Volatilitä t FIX

D FIX

yP FIX y Mio y( )

( )( ) ( )

.

.. .( )=

−+

⋅ ⋅ =−

⋅ ⋅ ∆1

2 88

10511512 152∆

mit

y =+4 5% 5 73%

2

. .


Volatilität des FLOAT Part

absolute Volatilität FLOATD FLOAT

yPV FLOAT y

Duration Zero

yPV Zero y

Mio y

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

.. . ( )

=+

⋅ ⋅

=+

⋅ ⋅ ∆

= ⋅ ⋅ ∆

1

1

5

10511537 848

∆

mit

y =

+4 5% 5 73%

2

. .


Absolute Volatilität des Receiver Swap

Absolute Volatilitä t ceiver Swap abs Volatilitä t FIX abs Volatilitä t FLOAT

Mio y Mio y Mio y

(Re ) . ( ) . ( )

. . ( ) . . ( ) . . ( )

= −

= − ⋅ ∆ − × ∆ = − ⋅ ∆33 322 180 033 213 555

Dies entspricht einer absoluten Volatilität von -4.271 (=-213.555/50) pro Geldeinheit Nominalwert


4.4 Nicht-parallele Zinsstrukturveränderungen: Key Rate Duration a) Die Ausgangssituation

Szenario (a) Wie verändern sich die beiden Portfoliowerte, wenn die Key Rate 1 um 1%

steigt, die Key Rate 2 unverändert bleibt und die Key Rate 3 um 1% sinkt? Szenario (b) Wie verändern sich die beiden Portfoliowerte, wenn die Key Rate 1 um 1%

sinkt, die Key Rate 2 unverändert bleibt und die Key Rate 3 um 1% steigt?


Das Problem

Implikationen?


b) Das Konzept der Key Rate Durations Bewertung einer Anlage aufgrund der herrschenden Zinsstruktur = PV(0)

Bewertung einer Anlage aufgrund der in Bezug auf einen Zinssatz veränderten

Zinsstruktur = PV(1)

ë Key Rate Duration = PV PV

PV

( ) ( )

( )

1 0

0

−


Effective Duration vs Key Rate Duration Einfaktor-Fristenstrukturansatz der Duration

( )( )Absolute Volatilitä t

Duration

YieldBarwert y=

+

−1

∆

Mehrfaktoransatz der Key Rate Durations

( ) ( ) ( ) ( )Absolute Volatilitä t BarwertDuration

Yieldy

Duration

Yieldy

Duration

Yieldy=

+

− +

+

− +

+

−

1

11

2

22

3

331 1 1

∆ ∆ ∆


Für ∆ ∆ ∆ ∆y y y y= = =1 2 3 gilt

( ) ( )Absolute Volatilitä t BarwertDuration

Yield

Duration

Yield

Duration

Yieldy=

+

+

+

+

+

−1

1

2

2

3

31 1 1∆

Wenn sich auch die einzelnen Yields entsprechen, reduziert sich obige Gleichung auf den bekannten Fall der Macaulay-Duration.


c) Management komplexer Zinsstrukturrisiken


1. Schritt: Modellierung der Dynamik der Zinsstruktur • Die gesamte Zinsstruktur wird mittels geeigneter Zinssätze - sogenannter Key

Rates - beschrieben


2. Schritt: Bestimmung der Sensitivität des Marktwertes gegenüber Veränderungen der einzelnen Key Rates


3. Schritt: Bestimmung des Zinsänderungsrisikos

Marktwertveränderung in % = (Key Rate Veränderung) x (Key Rate Duration)


Zahlenbeispiel (I): Anwendung der Faktoranalyse auf Zinsänderungen im Schweizer Franken (Wochendaten)

Key Rates

1 M 2 M 3 M 6 M 12 M 2 J 3 J 4 J 5 J 7 J 10 J

Faktor 1 0.21 0.18 0.18 0.16 0.15 0.14 0.12 0.11 0.11 0.09 0.09

Faktor 2 -0.18 -0.15 -0.11 -0.08 -0.06 0.03 0.04 0.05 0.05 0.04 0.04

Faktor 3 0.09 0.01 0.00 -0.04 -0.04 -0.02 0.00 0.00 0.00 0.01 0.01 Quelle: Bühler/Zimmermann [1994]


5. Arbitragemodell der Zinsstruktur

Grundlage: Zimmermann (1991), Binomial Pricing of Interest Contingent Assets, Zeitschrift für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften 111, pp. 577-593


arbitragefreieFristenstruktur

Stochastik derZinsbewegung

(spot rates)

Bestimmungsfaktoren arbitragefreie Veränderungder Fristenstruktur

konsistentes Bewertungsmodell fürdie arbitragefreie Bewertung aller zins-

abhängiger Finanzanlagen


a) Binominaler Prozess der short rate

0 R 1

1 R 22

1 R 21

2 R 31

2 R 32

2 R 33

1. Per iode 2. Per iode 3. Per iode

p

1 - p

tRt+1 Zinssatz in der Perioden zwischen t und t + 1

p Wahrscheinlichkeit einer Zinssatzreduktion


b) Bewertung von Discount Bonds

B0(3)

B11(3)

B12(3)

B23(3)

B22(3)

B21(3)

1. Periode 2. Periode 3. Periode

p

1 - p

F

F

F

F

R1 2 33+

F

R1 2 32+

F

R1 2 31+


c) Relative Bewertung von Bonds: Duplikation

3-Perioden-Bond wird durch 1- und 2-Perioden-Obligationen repliziert:

n B m B B

n B m B B

11

11

11

12

12

12

2 1 3

2 1 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+ =

+ =

⇒ =−−

⇒ =× − ×

−

nB B

B B

mB B B B

B B

*

*

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

12

11

12

11

12

11

11

12

12

11

3 3

2 2

2 3 2 3

2 2

Für den ersten Zinssprung lässt sich der 3-Perioden-Bond somit replizieren durch

n* Einheiten des Zweiperiodenbonds und m* Einheiten des Einperiodenbonds. Daraus folgt der heutige arbitragefreie Bondpreis mit B n B m B0 0 03 2 1( ) ( ) ( )* *= × + ×


d) Grundlegende Bewertungsgleichung der erwarteten Bond-Renditen

Erwarteter Wert des 2-Perioden-Bonds: E B p B p B0 1 1

2112 2 1 2( ( )) ( ) ( ) ( )= + −

Erwarteter Wert des 3-Perioden-Bonds: E B n E B m0 1 0 13 2 1( ( )) ( ( ))* *= × + ×

mB B B B

B B* ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )=

× − ×−

12

11

11

12

12

11

2 3 2 3

2 2

nB B

B B* ( ) ( )

( ) ( )=

−−

12

11

12

11

3 3

2 2


nach Ersetzung von B0(1) durch 1/(1+0R1)

⇒

− +

−=

− +

−=

EB

BR

B B

B

EB

BR

B B

B

01

0

0 1

12

11

0

01

0

0 1

12

11

0

2

21

2 2

2

3

31

3 3

3

( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )

λ

Interpretation?


e) Das binominale Bond-Bewertungsmodell Marktpreis des Risikos als beobachtbare Variable:

( )λ =

− +

−

=+ − − +

−

E B B R

B B

p B p B B R

B B

0 1 0 0 1

12

11

12

11

0 0 1

12

11

3 3 1

3 3

3 1 3 3 1

3 3

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

⇒ =− + − −

+B

p B p B

R012

11

0 1

33 1 3

1( )

( ) ( ) ( ( )) ( )λ λ


Arbitragebeispiel:

Gegeben ist folgender binominaler Prozess der kurzfristigen Zinssätze sowie der Marktpreis des Risikos von 10%. Die relevanten Wahrscheinlichkeiten betragen je 0.5.


5 %

4.5 %

6 %

7 %

5.5 %

4 %


0.5

0.5


Der Preis eines 3-Perioden-Bonds enwickelt sich somit folgendermassen

0.8542

0.9345

0.9478

0.9615


0.5

0.5

1

1

1

1

1 0 0 7+ .

1

1 0 0 5 5+ .

1

1 0 0 4+ .

0.9123

0.8867


Entsprechend berechnet man den Preis des 2 -Perioden-Bonds

0.9036

0.9569

0.9434

1. Periode 2. Periode

0.5

0.5

1

1

1

1 0 045+ .

1

1 0 06+ .


Der Wert des 1 -Perioden-Bonds berechnet sich einfach als

B( ).

.11

1050 9524= =


f) Arbitragebeispiel

Angenommen, der Marktpreis des 2-Perioden-Bonds beträgt 0.92; durch welche Arbitragestrategie lässt sich dies ausnutzen? Schritt 1:Bestimmung der Parameter

nB B

B B

mB B B B

B B

*

*

( ) ( )

( ) ( )

. .

. ..

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

. . . .

. ..

=−−

=−−

=

=× − ×

−

=× − ×

−= −

12

11

12

11

12

11

11

12

12

11

3 3

2 2

0 9123 0 8867

0 9569 0 94341889677

2 3 2 3

2 2

0 9569 0 8867 0 9434 0 912

0 9567 0 94340 896


Ein Test zeigt, dass diese Parameter tatsächlich zum vorher berechneten Wert des 2 -Perioden-Bonds führen

Bn

Bm

nB0 0 02

13 1

0 52919 0 854218 0 4741 0 95238 0 9036

( )*

( )*

*( )

. . ( . ) . .

= −

= × − − × =

Schritt 2: Arbitrageportfolio Arbitrageportfolio Payoff

heute Payoff in 1 Perioden

1R2 = 4.5 % 1R2 = 6 % Kauf 0.4741 B0(1) - 45.15 + 47.41 + 47.41 Verkauf 1 B0(2) + 92.00 - 95.69 - 94.34 Kauf B0(3) -45.21 + 48.28 + 46.93 Total 1.64 0.00 0.00


g) Weitere Bewertungsbeispiele 5% Coupon-Bond, Restlaufzeit 3 Jahre. Gleicher Zinsprozess, gleiche Risikoprämie und gleiche Wahrscheinlichkeiten wie oben.

9 8 . 1 3 1 51 0 3 . 1 3 1

9 9 . 5 2 6 51 0 4 . 5 2 6

1 0 0 . 9 6 2 51 0 5 . 9 6 2

1 . Pe r i ode 2 . Pe r i ode 3 . Pe r i ode

1 0 5

1 0 5

1 0 5

99 .074

0.5

0.5

1 0 0 . 8 4 9 51 0 5 . 8 4 9

9 7 . 8 1 4 51 0 2 . 8 1 4


Gleicher Coupon-Bond mit Kündigungsoption nach 2 Perioden

98 .131 5103 .131

99.526 5104 .526

100 5 105

1 . Per iode 2. Per iode 3. Per iode

105

105

105

98 .864

0 .5

0 .5

100 .297 5105 .297

97.814 5102 .814


h) Eine Arbitrage-Bewertungsgleichung für zinsabhängige Anlagen

λσ

=

− +

−=

−E

B

BR

B B

B

E R R

R

01

00 1

12

11

0

0 0 1 0 1

0 1

3

31

3 3

3

3

3

( )

( )( )

( ) ( )

( )

( ( ))

( ( ))

0R1 bezeichnet die Rendite des 3-Perioden-Bonds in der Periode 1 aufgrund des realisierten Zinssatzes 1R2.

{⇒ = +

−

× ×

−

E R R

Faktorrisikoprämie

R

R

DFaktorsensitivität

R

Faktorvolatilitä t

0 1 0 10 1

1 21 23

3

3

( ( ))( ( ))

( )

( )

( )λσ

σσ

1 24 34123


Literaturhinweise Bierwag, 1987, Duration analysis, Ballinger Bühler, 1995, Einfaktormodelle der Fristenstruktur der Zinssätze. Theoretische und empirische Betrachtungen, Haupt Bühler/ Zimmermann, 1996, A statistical analysis of the term structure of interest rates in Switzerland and Germany, Journal of Fixed Income, 55-67 Fabozzi, 1993, Fixed Income Mathematics, Probus Publishing Company Ho, 1990, Strategic fixed income investment, Dow-Jones-Irwin Jaeger/ Staub/ Zimmermann, 1995, Asset- & Liability-Management, NZZ-Verlag Litterman/ Scheinkman, 1991, Common factors affecting bond returns, Journal of Fixed Income, June, 54-61 Zimmermann, 1991, Binomial Pricing of Interest Contingent Assets, Zeitschrift für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften 111, pp. 577-593 Zimmermann, 1997, Asset- & Liability Management bei Banken, in: Handbuch des Corporate Finance (Hrsg. A.-K. Achleitner-Coberg und G. F. Thoma), Verlagsgruppe Deutscher Wirtschaftsdienst, Kapitel 5.3

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