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Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-1
1. Freie ungedämpfte Schwingungen
1.1 Schwingungsgleichung
1.2 Statische Vorlast
1.3 Einheiten
1.4 Energiebilanz
1.5 Federsysteme
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-2
1.1 Schwingungsgleichung
● Bewegungsgleichung:● Lösungsansatz:
● Einsetzen:
● Nichttriviale Lösung für:
m xc x=0
x t =A1sin t A2cos t x t = A1cos t −A2sin t
x t =−2 A1 sin t A2cos t
=−2 x t
−m2c x t =0
−m2c=0 =
cm
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-3
1.1 Schwingungsgleichung
● Schwingungskenngrößen:– Kreisfrequenz:
– Frequenz:
– Periode:
=cm
f =
2=12
cm
T=1f=2
mc
● Bestimmung von A1 und A
2
aus Anfangsbedingungen● Beispiel:
– Auslenkung x0 und Ge-
schwindigkeit v0 zum
Zeitpunkt t = 0 gegeben
x0=x 0=A2 A2=x0
v0= x 0= A1 A1=v0
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-4
1.1 Schwingungsgleichung
● Ergebnis:
– Zusammenhang:
x t =x0cos t v0 /sin t =A sin t
A sin t=A sin t cosAcost sin
x0=Asinv0=Acos
A= x02v0/
2
tan= x0v0
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-5
1.1 Schwingungsgleichung
● Zusammenfassung:– Zeitverläufe:
– Maxima:
x t =A sin t
x t =v t = Acos t = Asin t
2 x t =a t =−
2 A sin t=2 A sin t
xmax=A , vmax= A , amax=2 A
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-6
1.1 Schwingungsgleichung
α
α
α
A
ωA
ω2A
α=ωt + φ α=ωt + φ
x
v
a
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-7
1.1 Schwingungsgleichung
ωt
x(t)/A
v(t)/ωA
a(t)/ω2A
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-8
1.1 Schwingungsgleichung
● Beispiel: Zugstab mit Ein-zelmasse
– Ermittlung der Feder-konstante c:
● Auslenken der Masse um ΔL
L
E, A
m
ΔL
F
● Bestimmung der dazu nötigen Kraft F:
● Für die Federkonstante c folgt:
– Frequenz:
F= A=E A=EA⋅ LL
c=F L
=EAL
f =12
cm=12
EAmL
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-9
1.1 Schwingungsgleichung
● Beispiel: Torsionsstab mit Einzelmasse
– Torsionsstab:● Länge L● Torsionssteifigkeit GJ● masselos
– Scheibe:● Massenträgheitsmoment
Θ– Freiheitsgrad:
● Verdrehung φ
L G, J
M, φ
Θ
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-10
1.1 Schwingungsgleichung
– Ermittlung der Feder-konstante c:
● Verdrehen der Scheibe um Winkel φ
● Bestimmung des dazu nötigen Moments M:
● Für die Federkonstante folgt:
– Schwingungsgleichung:
– Kreisfrequenz:
– Frequenz:M=
GJL
c=GJL
c=0
=c=
GJL
f =
2=12
GJL
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-11
1.1 Schwingungsgleichung
● Beispiel: Kragbalken mit Einzelmasse
– Ermittlung der Feder-konstante c:
● Auslenken der Masse um w
● Bestimmung der dazu nötigen Kraft F:
● Für die Federkonstante c folgt:
– Frequenz:
L
E, I m
F
w
F=3EI
L3w
c=3EI
L3
f =12 3
EIm L3
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-12
1.1 Schwingungsgleichung
● Beispiel: Rollschwinger – Eine zylindrische Walze mit Masse m und Massenträg-heitsmoment Θ bezüglich des Schwerpunktes wird durch eine im Schwerpunkt befestigte Feder der Stei-figkeit c gehalten.
– Die Walze kann auf einer horizontalen Ebene rollen.
r
m, Θ
xφc
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-13
1.1 Schwingungsgleichung
– Walze freigeschnitten:
– Rollbedingung:
– Drallsatz bezüglich Schwerpunkt S:
– Impulssatz:
– Schwingungsgleichung:
– Frequenz:
r
m, Θ
φc∙x
x
mg
NH
S
x=r x=r
=r H
mr2 c r2=0
f =12
c r2
mr2
m x=−c x−H H=−c r−mr
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-14
1.2 Statische Vorlast
xs
xx
s + x
G
G
c(xs + x)
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-15
1.2 Statische Vorlast
● Statische Ruhelage:
● Impulssatz:
● Eine Schwingung erfolgt immer um die statische Ruhelage.
c x s=G
m x=G−c x sx
m xc x=0
● Vorspannkraft und sta-tische Last sind im Gleich-gewicht.
● Bei linearen Systemen muss die statische Last nicht berücksichtigt werden, wenn die Aus-lenkung von der statischen Ruhelage aus gemessen wird.
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-16
1.2 Statische Vorlast
● Die Frequenz kann aus der statischen Auslenkung berechnet werden:– Gewichtskraft:
– Statische Ruhelage:
– Frequenz:
G=m g
c x s=m gcm=
gx s
f = 12
gx s
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-17
1.3 Einheiten
● Die Einheiten von Steifig-keit und Masse müssen konsistent sein.– Beispiel:
[c]=Nm
, [m]=kg
[cm ]=
Nm⋅kg
=kg⋅m
s2⋅m⋅kg=1
s2
[ f ]=[cm ]=1s=1Hz
● In der Praxis werden in der Regel folgende Einhei-ten verwendet:– Längeneinheit: mm– Krafteinheit: N– Elastizitätsmodul: N/mm2
● Damit ist die Einheit für die Masse eine abgeleitete Einheit.
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-18
1.3 Einheiten
● Einheit für die Masse: ● Konsistente Einheiten:– N, kg, m– N, t, mm
● Falsch:– N, kg, mm
1N=1kg⋅m
s2=1
kg⋅103mm
s2
1N=1000kg⋅mm
s2
1 kg=10−3N s2
mm
1N s2
mm=1000kg=1 t
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-19
1.3 Einheiten
● Beispiel: Kragbalken mit Einzelmasse– Für die folgenden Zahlenwerte ist die Frequenz zu be-
stimmen:● E = 2∙105N/mm2
● I = 2∙105mm4
● L = 1000mm● m = 1kg
– Umrechnung der Masse:● m = 1∙10-3t
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-20
1.3 Einheiten
– Frequenz:
f =12 3
EIm L3
f =12
3⋅2⋅105N /mm2⋅2⋅105mm4
10−3Ns2/mm⋅10003mm3 =12
4⋅3⋅1010Nmm2
106Ns2mm2
=100 3
1s=55,13Hz
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-21
1.4 Energiebilanz
● Kinetische Energie:
● Elastische Energie:
● Energieerhaltung:
E k=12
mv2=12
m2 A2cos2 t
E p=12
c x 2=12
c A2 sin2 t
E kE p=E=const.
12
A2 [m2cos2 tc sin2 t ]=const.
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-22
1.4 Energiebilanz
● Aus der Energieerhaltung folgt:
● Gesamtenergie:
● Mit
folgt:
m2=c
E=E kE p=12
c A2=12
m2 A2
cos2=12
1cos2 , sin2=12
1−cos2
E k=12
E 1cos2 t2
E p=12
E 1−cos2 t2
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-23
1.4 Energiebilanz
t
x/xmax
v/vmax
Ep/E
max
Ek/E
max
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-24
1.5 Federsysteme
● Parallelschaltung: ● Reihenschaltung:
c1
c2
m
xm
c1
c2
x
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-25
1.5 Federsysteme
x
c1
c2
c
m m
● Parallelschaltung:
– Beide Federn haben die gleiche Auslenkung x.
– Die Federkräfte addieren sich:
– Damit folgt für die Steifig-keit der Ersatzfeder:
– Bei mehr als zwei Fe-dern gilt:
F=F 1F 2=c1 xc2 x=c1c2 x=c x
c=c1c2
c=∑k=1
n
ck
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-26
1.5 Federsysteme
m
c1
c2
m
EI
c
m
c1
c2
EI
– Beispiele:
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-27
1.5 Federsysteme
● Reihenschaltung:
– Beide Federn haben die gleiche Kraft F.
– Die Wege addieren sich:
– Damit folgt für die Steifig-keit der Ersatzfeder:
– Bei mehr als zwei Fe-dern gilt:
m
c1
c2
x
x
c
x=x1x2=Fc1
Fc2
=F 1c11c2
1c=1c11c2
c=c1c2
c1c2
1c=∑
k=1
n1ck
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-28
1.5 Federsysteme
E, I
m
L/2 L/2
E, I
m
L/2 L/2
cF
cF
System 1 System 2
● Beispiel:
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-29
1.5 Federsysteme
– Die beiden dargestellten Systeme bestehen je-weils aus einem masse-losen Balken (Biegestei-figkeit EI), einer Feder (Federkonstante c
F ) und
einer Masse m.– Wie groß sind die Eigen-
frequenzen?
– Daten:● L = 1m● m = 5kg● EI = 4∙1010Nmm2
● cF = 500N/mm
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-30
1.5 Federsysteme
– System 1:● Durchbiegung in Bal-
kenmitte und Verlänge-rung der Feder sind gleich.
● Es handelt sich um eine Parallelschaltung.
● Federsteifigkeit des Bal-kens:
cB=48 EI
L3
● Ersatzsteifigkeit:
● Frequenz:
c1=cFcB=c F48 EI
L3
f 1=12
c1m
=12
cF L348 EI
mL3
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-31
1.5 Federsysteme
– System 2:● Die Auslenkung der
Masse ist gleich der Summe der Durchbie-gung des Balkens und der Verlängerung der Feder.
● Es handelt sich um eine Reihenschaltung.
1c2=1cF
L3
48 EI
=48 EIcF L3
48 cF EI
● Ersatzsteifigkeit:
● Frequenz:
f 2=12
48 cF EI
cL³48 EI m
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-32
1.5 Federsysteme
– Zahlenwerte:● Masse:
● Balkensteifigkeit:
5 kg=5⋅10−3 t=5⋅10−3Ns2
mm
cB=48⋅4⋅1010
109Nmm2
mm2
=1920N
mm
● Ersatzsteifigkeiten:
c1=500N /mm1920 N /mm=2420 N /mm
c2=cF cB
c FcB
=500⋅19205001920
N 2⋅mm
mm2⋅N
=396,7N /mm
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-33
1.5 Federsysteme
● Frequenzen:
f 1=12
24205⋅10−3
N⋅mmmm⋅Ns²
=110,7Hz
f 2=12
396,7
5⋅10−3N⋅mm
mm⋅Ns²=44,8Hz
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-34
1.5 Federsysteme
● Schräg eingebaute Feder:– Bei einer schräg eingebauten Feder ist die Federachse
gegenüber der Schwingungsrichtung geneigt.– Vorgehen:
● Die Verschiebung wird in ihre Komponenten parallel und senkrecht zur Federachse zerlegt. Da die Verschiebung als klein vorausgesetzt wird, kann diese Zerlegung am unver-formten System durchgeführt werden.
● Mit Hilfe der Federkonstanten wird die Federkraft parallel zur Federachse ermittelt.
● Daraus wird die Komponente der Federkraft in Schwingungs-richtung berechnet.
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-35
1.5 Federsysteme
– Beispiel:
● Die abgebildete Masse kann sich nur in x-Rich-tung bewegen.
● Sie wird durch zwei Fe-dern gestützt.
αx
m
cc
● Zerlegung der Verschie-bung x:
● Federkraft:
x
xp
α
α
x p=x sin
F p=c x p=c x sin
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.1-36
1.5 Federsysteme
● Kraft in Schwingungsrichtung:
● Ersatzsteifigkeit der beiden Federn:
Fp
αFF=F p sin=c sin2 x
cges=2c sin2