1 GRANDEZZE FISICHE L’ENERGIA E LE ALTRE · 2020. 6. 14. · pacchi di pasta da 5 hg e sette uova da 650 dg. f Esprimi in kilogrammi la massa del sacco. [7,205 kg] 11. L’AREA

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L’ENERGIA E LE ALTRE GRANDEZZE FISICHE1

7. LE DEFINIZIONI OPERATIVENella vita quotidiana, siamo abituati a descrivere gli oggetti in modo discorsivo; in que-

sto tipo di descrizioni, spesso, possiamo esprimere lo stesso concetto anche utilizzando

parole diverse e farci capire ugualmente (“La terza via a destra dopo l’edicola”, “La terza

traversa sulla destra dopo il negozio di giornali”).

Parlando di scienza, questo non è più possibile: bisogna prestare moltissima atten-

zione ai termini che si scelgono, e in ogni caso in questo ambito le semplici affermazioni

verbali lasciano sempre un certo margine di incertezza.

Per questa ragione in fisica le grandezze si introducono mediante definizioni operati-ve. Una definizione operativa di una grandezza è formata da due parti:

■ la scelta dello strumento di misura che serve per misurare tale grandezza;

■ il protocollo, cioè la descrizione del procedimento mediante il quale la misura

deve essere effettuata.

Per esempio, nella definizione della grandezza fisica «energia» abbiamo indicato

■ come strumento il contatore dell’azienda elettrica e

■ come protocollo il fatto di effettuare due letture consecutive sul display dello stru-

mento e poi sottrarre il primo valore letto dal secondo.

13. LA DENSITÀ

Le grandezze unitarie

La densità è una grandezza unitaria, perché dice quanti kg di massa sono contenuti

nell’unità di volume (1 m3): 920 kg/m3 significa 920 kg di massa in 1 m3.

Photodynamic/Shutterstock


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Molte sono le grandezze unitarie che incontriamo nella vita quotidiana. Per esempio,

il prezzo della frutta dice quanti euro costa un’unità di massa (1 kg) di frutta: 2 €/kg, cioè

due euro al kilogrammo.

Tutte le grandezze definite mediante un rapporto tra due altre grandezze sono gran-

dezze unitarie. Lo è anche la velocità, che dice quanti kilometri sono percorsi nell’unità

di tempo (1 h): 100 km/h, cioè 100 kilometri all’ora.

14. LE DIMENSIONI FISICHE DELLE GRANDEZZEIn fisica è spesso utile sapere qual è la relazione tra una certa grandezza fisica e le gran-

dezze fondamentali attraverso cui essa è definita.

Le dimensioni fisiche di una grandezza indicano in quale modo essa è ottenuta a

partire dalle grandezze fondamentali.

Il caso più semplice è quello di grandezze come la distanza D tra due punti, l’altezza h di

un palo, lo spessore s di un mobile: tutte queste quantità, benché differenti tra loro dal

punto di vista pratico, sono esempi diversi dell’applicazione della stessa grandezza fisica

fondamentale: la lunghezza. Ciò si esprime attraverso la notazione:

[D] = [h] = [s] = [l] ,

che, a parole, si legge: «la distanza, l’altezza e lo spessore hanno le dimensioni fisiche di

una lunghezza». La scrittura […] (tra parentesi quadre) significa «dimensioni fisiche di…» e quindi la

dimensione fisica della lunghezza si indica con il simbolo [l].Le dimensioni fisiche delle grandezze fondamentali che già conosciamo sono:

■ [t] dimensione fisica di una durata (o del tempo);

■ [l] dimensione fisica della lunghezza;

■ [m] dimensione fisica della massa.

Un numero puro (come il numero 14, oppure π) non ha dimensioni fisiche, perché non

è una grandezza ma un fattore moltiplicativo. I numeri puri non danno contribuito nei

calcoli dimensionali, come quelli che eseguiremo tra poco.

Per trovare le dimensioni fisiche dell’area si può utilizzare una qualunque delle for-

mule attraverso cui la calcoliamo. Per esempio, nel caso del triangolo abbiamo

A bh21

= ,

allora le dimensioni fisiche dell’area sono:

[ ] .l l lA bh b h b h21

21 2$ $ $ $= = = = =9 9 6 6 6 6 6 6 6C C @ @ @ @ @ @ @

L’area ha le dimensioni fisiche di una lunghezza al quadrato, visto che sia la base del

triangolo che la sua altezza sono delle lunghezze e il fattore 21 non ha dimensioni fisi-

che.Troviamo per esempio le dimensioni fisiche della velocità, utilizzando la formula vista

in precedenza:

[ ] l .t t

ltt

Dv

D1$= = = = -66> 66 66 6@@ H @@ @@ @

La velocità ha le dimensioni fisiche di una distanza divisa per un tempo (o di una distan-

za per un tempo elevato alla meno uno).

A

b

h

L’ENERGIA E LE ALTRE GRANDEZZE FISICHE 1



Le formule fisiche devono essere dimensionalmente corrette, cioè si possono sottrarre o sommare solo quantità con le stesse dimensioni fisiche, e in un’uguaglianza che rap-presenta una relazione fisica i due membri devono avere le stesse dimensioni fisiche.

Alla fine di un esercizio, e a maggior ragione di un esercizio complesso, è molto utile controllare le dimensioni fisiche o (in modo equivalente) le unità di misura del risultato ottenuto. Per esempio, se il problema chiede di determinare una lunghezza e il risultato finale non è esprimibile in metri, siamo sicuri che nel procedimento seguito abbiamo commesso un errore.

Dimensioni fisiche e unità di misura

Dalle dimensioni fisiche di una grandezza derivata si può ricavare l’unità di misura.

L’unità di misura di una grandezza derivata si ottiene dalle unità di misura delle

grandezze fondamentali da cui è tratta a partire dalla relazione che fornisce le

dimensioni fisiche della grandezza stessa.

Per esempio, le dimensioni fisiche della velocità v sono [ ] l tv = 6 6@ @. Ciò significa che

le unità di misura della velocità sono date dall’unità di misura della distanza divisa per

quella dell’intervallo di tempo.Così, nel Sistema Internazionale (in cui la distanza si misura in metri e la durata in

secondi) l’unità di misura della velocità è m/s (metro al secondo). Però, nella vita quoti-diana si misura spesso la distanza in kilometri e la durata in ore: ecco quindi che un’altra unità di misura possibile per la velocità è il kilometro all’ora (km/h).

1




ESERCIZI

3. LA FISICA

DOMANDE SUI CONCETTI

6 Entra in cucina e guardati intorno.

Individua un esempio di fenomeno o di appli-cazione tecnologica per ognuno degli ambiti se-guenti della fisica: meccanica, acustica, ottica, ter-mologia, elettromagnetismo.

7 La legge di Archimede permette di spiegare perché una nave sta a galla in mare.

A quale ambito della fisica appartiene questa leg-ge?

8 In un cantiere navale si sta testando l’utilizzo di una lega di metallo leggero nella costruzione di scafi per barche a vela. Identifica l’ambito della fisica coin-volto in ciascuno dei seguenti test di funzionalità sulla lega metallica:

effetti di una collisione;

effetti di caldo e freddo estremi;

interazione della lega metallica con una bussola.

4. LE GRANDEZZE FISICHE


13 Puoi descrivere un pallone da basket attraverso al-cune sue caratteristiche: il colore, il peso, il diame-tro, la forma.

Quali di queste sono grandezze fisiche?

14 Sei nella tua aula, insieme ai tuoi compagni e al pro-fessore di fisica. L’aula contiene: i banchi, la catte-dra, la LIM, un computer, un certo numero di per-sone, gli zaini, i radiatori ecc. Inoltre l’aula è formata da muri, pavimento, soffitto, finestre ecc.

Fai un elenco dettagliato e stabilisci quali sono le grandezze misurabili e quali quelle non misura-bili.

Suggerimento: l’altezza dell’aula è misurabile, così come la lun-ghezza dei capelli delle tue compagne. La bellezza del paesaggio dalle finestre dell’aula non è misurabile…

15 Nel centro urbano di New York, se chiedi dove si trova un luogo che vuoi raggiungere, è normale che un passante ti risponda, per esempio, “Si trova a due isolati (blocks) da qui.”: una distanza viene comuni-

cata in unità di “isolati” invece che in unità di metri o kilometri. Allo stesso modo, molte ricette usano come unità di misura “i cucchiai di” (farina, zucche-ro ecc.) invece che i grammi.

Fai un elenco delle unità di misura che non ap-partengono al Sistema Internazionale e che ven-gono usate intorno a te per comunicare distanza, massa, tempo ecc.

16 Quali fra le seguenti qualità di una mela sono misu-rabili?

Volume, colore, lucentezza, massa, durezza, profu-mo, sapore.

17 I punteggi assegnati ai partecipanti a una gara di ginnastica artistica esprimono delle grandezze fisi-che?

5. IL SISTEMA INTERNAZIONALE DI UNITÀ


24 Il quintale fa parte del Sistema Internazionale?

25 Tutte le grandezze fondamentali sono definite a partire da un campione di riferimento.

Fra quelle che conosci, quale ammette ancora un campione di riferimento concreto?

ESERCIZI NUMERICI

29 Scrivi i nomi dei prefissi e la potenza di 10 corri-spondente.

NOME PREFISSO POTENZA

M mega 106

c

μ

m

h

9. LA LUNGHEZZA


51 Quando si passa da metri a millimetri il valore della lunghezza misurata aumenta?




52 Il metro è stato definito come lunghezza di una bar-ra campione, come distanza percorsa dalla luce in un determinato tempo e come frazione assegnata di un meridiano terrestre.

In che ordine temporale sono state introdotte queste tre definizioni?

10. LA MASSA


63 La massa di una zanzara vale 0,010 g.

Esprimila in mg e in kg, utilizzando se necessario la notazione scientifica.

64 La massa di un protone è 1,67 × 10−12 pg.

Esprimila in grammi, milligrammi e kilogrammi.

65 La massa di una tonnellata equivale a 1 Mg?

ESERCIZI NUMERICI

69 Misuri la massa di un libro ponendolo su uno dei due piatti di una bilancia. Ottieni l’equilibrio dispo-nendo sull’altro piatto tre masse da 5 hg, sette masse da 1 g, quattro masse da 1 dg e dodici masse da 1 cg.

Esprimi la massa del libro in grammi.

[1507,52 g]

70 FACCIAMO DUE CONTI La Terra e il Sole

Il Sole e la Terra hanno massa rispettivamente

1,989 × 1030 kg e 5,976 × 1024 kg.

Se esistesse una bilancia a bracci uguali di dimen-

sioni cosmiche, quante copie del pianeta Terra

occorrerebbero per equilibrare il Sole?

[3,328 × 105]

71 Su uno dei due piatti di una bilancia è posto un sac-co di patate, equilibrato da quattro pacchi di zuc-chero da 1 kg, un panetto di burro da 250 g, cinque pacchi di pasta da 5 hg e sette uova da 650 dg.

Esprimi in kilogrammi la massa del sacco.

[7,205 kg]

11. L’AREA

ESERCIZI NUMERICI

81 Un pavimento rettangolare ha la base di 4 m e l’al-tezza di 3 m. Sul tuo quaderno, usa una scala in cui il lato di un quadretto vale 20 cm.

Disegna il pavimento nella scala scelta.

Costruisci una griglia che evidenzi i metri qua-drati che coprono il pavimento.

Conta quanti metri quadrati sono contenuti nel pavimento e confronta il risultato con quello che ottieni moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza.

82 Un appezzamento di terreno rettangolare ha la base lunga 80 m e l’altezza pari a 60 m.

Disegna una mappa del terreno usando una scala

in cui 5 m nella realtà corrispondono a 1 cm nel

disegno.

Quanto vale (in metri) il perimetro del terreno

nella realtà, e quanto è lungo (in centimetri e in

metri) il perimetro del rettangolo che hai dise-

gnato?

Di quante volte il perimetro reale è più grande di quello della mappa?

[280 m; 56 cm; 0,56 m; 500 volte]

83 Esegui le seguenti equivalenze:

a. 15 m/s = __________ km/h = __________ m/h

= __________ cm/s;

b. 150 km/h = __________ m/s = __________

nm/ps = __________ mm/min.

84 Considera di nuovo il disegno dell’esercizio 82.

Quanto vale (in metri quadrati) l’area del terreno

nella realtà, e quanto risulta (in centimetri qua-

drati e in metri quadrati) l’area del rettangolo che

hai disegnato?

Di quante volte l’area reale è più grande di quella della mappa?

Che relazione c’è tra questo risultato e la risposta all’ultima domanda dell’esercizio 82?

[4800 m2; 192 cm2; 0,0192 m2; 250 000 volte]

12. IL VOLUME


88 Il volume è una grandezza derivata?

89 Un decimetro cubo corrisponde a un decilitro?

90 “Il volume si misura in metri cubi, multipli del me-tro.”

La frase precedente contiene un errore: quale?




ESERCIZI NUMERICI

94 La cilindrata di un motore, cioè il volume com-

plessivo dei suoi cilindri, è espressa in cc (1 cc = 1

cm3). Un’auto a quattro cilindri ha una cilindrata di

1200 cc.

Esprimi il volume di ciascun cilindro in litri.

[0,3 L]

95 In laboratorio devi prelevare da un rubinetto 1,41 L di acqua. Hai a disposizione un cilindro da mezzo litro, un piccolo becher da 12 cL e un cucchiaio da 5 cL.

Quante volte utilizzi il cilindro, il becher e il cuc-chiaio per ottenere il volume che devi prelevare?

96 In un cilindro graduato sono contenuti 30 mL di acqua. Un secondo cilindro contiene della sabbia fino al livello di 50 cm3. La sabbia viene versata nell’acqua e si ottiene un volume complessivo di 65 cm3.

Quanto vale il volume effettivo della sabbia, cioè senza considerare l’aria tra i granelli?

Quanto vale il volume dell’aria tra i granelli?

[35 cm3; 15 cm3]

97 Un grande vaso da giardino, a forma di parallele-pipedo, ha le dimensioni di 1,5 m, 30 cm e 24 cm. Viene riempito di ghiaia e poi vi si versano 26 L di acqua, che arriva fino all’orlo del vaso.

Calcola il volume della ghiaia.

Qual è il volume dell’aria intrappolata tra i sasso-lini di ghiaia prima di versare l’acqua?

[82 dm3; 26 dm3]

98 Il gallone è una unità di misura di volume che equi-vale a 4,62 L. Un grosso tino contiene 4,00 hL di vino e un silos 2510 galloni di grano.

Esprimi in m3 il volume del silos.

Esprimi in galloni il volume del tino.

[11,6 m3; 86,6 galloni]

13. LA DENSITÀ

ESERCIZI NUMERICI

112 La densità di popolazione in Toscana è 153 abitanti/km2. In Toscana risiedono circa 3 519 000 abitanti.

Qual è la superficie della Toscana?

[2,30 × 104 km2]

113 La soluzione A è ottenuta sciogliendo 54 g di sale in 240 mL di acqua; la soluzione B è ottenuta scioglien-do 20 g di sale in 50 mL di acqua.

In quale delle due soluzioni è contenuta la mag-giore massa di sale?

114 La legge stabilisce che la concentrazione di monos-sido di carbonio (CO) nell’aria non deve superare il limite di 10 mg/m3, altrimenti viene bloccata la cir-colazione dei veicoli a motore. In 5,6 m3 di aria si ri-levano 45 mg di CO.

È il caso di bloccare la circolazione dei veicoli?

120 In una bottiglia sono contenuti 450 mL di acqua (d = 1012 kg/m3). Si versano 145 g di olio (d = 920 kg/m3) nella bottiglia: l’olio non si mescola con l’acqua e forma uno strato sopra di essa.

Calcola il volume raggiunto dai due liquidi so-vrapposti.

Calcola la loro massa complessiva.

[608 mL; 600 g]

121 In una siringa, che ha un tappo al posto dell’ago, sono contenuti 7,8 cm3 di aria quando lo stantuffo è completamente estratto; la densità dell’aria nella siringa risulta 1,4 kg/m3.

Calcola la massa di aria nella siringa.

Se comprimi lo stantuffo senza far uscire o entra-re aria, riducendo il volume a 3,9 cm3, quanto va-le la densità dell’aria in questa nuova situazione?

[0,011 g; 2,8 kg/m3]

122 Una bombola è riempita con 6,3 g di gas metano alla densità di 0,82 kg/m3.

Calcola il volume della bombola.

Se successivamente vengono aggiunti altri 9,0 g di metano, calcola la densità finale del gas.

[7,7 L; 1,99 kg/m3]

14. LE DIMENSIONI FISICHE DELLE GRANDEZZE


126 Due grandezze fisiche A e B hanno dimensioni di-verse.

La grandezza A – B ha senso dal punto di vista fisico? Perché?

E la grandezza AB ? Fai un esempio di grandezza

fisica dotata di senso ottenuta come rapporto di due grandezze fisiche.




ESERCIZI NUMERICI

127 La celebre formula di Einstein che esprime l’equiva-lenza massa-energia è E = mc2, dove c indica la velo-cità della luce nel vuoto.

Determina le dimensioni fisiche dell’energia a partire da questa formula.

[m ∙l2 ∙ t−2]

128 La definizione della densità d è data dalla formula (d = m/V).

Trova le dimensioni fisiche della densità.

Dalle dimensioni fisiche, ricava l’unità di misura della densità.

[m ∙ l−3]

129 Considera quattro grandezze fisiche: una massa m, un tempo t, una velocità v, una densità d.

Costruisci una formula combinando queste gran-dezze in modo da ottenere una quantità adimen-sionale.

[m / d ∙ v3 ∙ t3]

130 Le dimensioni fisiche del volume di una sfera sono date da [l3].

Da questa informazioni puoi ricavare la formula corretta che esprime il volume della sfera? Per-ché?

131 Durante una verifica di fisica, per risolvere un pro-

blema uno studente usa la formula s = at2, dove s è la

distanza percorsa da un’auto che accelera, a l’accele-

razione dell’auto, che nel Sistema Internazionale si

misura in m/s2, e t il tempo trascorso. Lo studente

non è sicuro che la formula sia corretta.

Determina se la relazione può essere valida con-trollando le dimensioni fisiche delle grandezze coinvolte.

Puoi stabilire con certezza che la formula è cor-retta? Perché?

PROBLEMI GENERALI

8 La lega è un’antica unità di lunghezza, ora del tutto in disuso, pari a 5555 m. Due città distano 100 km l’una dall’altra.

Qual è la distanza espressa in leghe tra le due cit-tà?

Un cavallo percorre 1 lega in 30 minuti. Quanto

tempo impiega per coprire la distanza tra le due città?

[18,0 leghe; 9 h]

9 Una pompa di bicicletta è formata essenzialmente da un cilindro di diametro 2,0 cm e lungo 30 cm. Un ciclista gonfia una ruota pompando a un ritmo di 25 volte al minuto.

Qual è il volume di aria pompato ogni volta?

Qual è il volume di aria pompato al secondo?

Il volume di aria pompato ogni secondo è una grandezza unitaria?

Supponiamo che l’aria pompata nella ruota sia compressa alla metà del suo volume di parten-za. Qual è il rapporto tra la densità dell’aria nella pompa prima della compressione e quella nella ruota?

[9,4 × 10−5 m3; 2,35 × 10−3 m3; 3,9 × 10−5 m3/s; 0,5]

10 Il raggio del pianeta Giove è 7,14 × 107 m e la sua massa vale 1,900 × 1027 kg.

Calcola l’area della superficie di Giove, conside-randolo di forma sferica.

Calcola la densità di Giove, considerandolo di forma sferica.

[6,40 × 1016 m2; 1,25 × 103 kg/m3]

16 Nel sito internet di presentazione della nuova FIAT Panda turbo a benzina leggi un consumo urbano di 4,8 L/100 km. Sullo stesso sito, la nuova FIAT Panda ad alimentazione bifuel (metano-benzina), presenta consumi urbani pari a 7,6 m3/100 km per il gas me-tano e 7,7 L/100 km per la benzina.

Quanti km percorrono le due auto per unità di combustibile?

L’energia fornita da un litro di benzina è 10 kWh/L. Ogni giorno, per andare al lavoro, percorri in totale 50 km in parte dentro la città e in parte in zona extraurbana e stai pensando di acquistare una nuova auto. I consumi misti (cioè su percorsi urbani ed extraurbani) sono di 4,1 L/100 km per la Panda turbo e di 6,0 L/100 km per quella bifuel alimentata a benzina. Quanti li-tri ti servono per andare al lavoro ogni giorno?

Quanta energia consumeresti in un giornata di lavoro con ognuno dei due modelli?

La benzina costa 1, 753 €/L . Quanto spenderesti ogni giorno con ciascuno dei due modelli di Fiat Panda se viaggiassi sempre a benzina?

[20,8 km/L; 13,2 km/m3, 13,0 km/L; 2,05 L; 3,0 L; 20,5 kWh/d; 30 kWh/d; 3,6 €; 5,3 €]




17 Il costo della benzina è di 1,48 euro al litro, mentre la sua densità è 0,72 kg/dm3.

Quanto vale il volume occupato da 1 kg di ben-zina?

Se hai 10 euro, quanti kg di benzina puoi acqui-stare?

[1,39 L; 4,86 kg]

18 Sull’etichetta di una bottiglia di acqua minerale leggi il dato: residuo fisso 210 mg/L. Il residuo fisso è la massa di sali che rimane allo stato solido dopo l’eva-porazione di un litro di acqua.

Quale massa di sali è sciolta nell’acqua di un pen-tolino contenente 789 mL di acqua?

Se si vuole fare in modo di non ingerire più di 0,30 g di sale proveniente dall’acqua al giorno, quanti litri di quella particolare acqua minerale si possono bere al massimo?

[166 mg; 1,4 L]

19 Nel negozio A il latte viene venduto a 0,99 euro al li-tro, mentre nel negozio B viene venduto a 0,98 euro al kilogrammo. La densità del latte è di 1,03 kg/dm3.

Quale volume è occupato da 1 kg di latte?

Qual è il prezzo di un litro di latte nel negozio B?

In quale dei due negozi il latte è più conveniente?

[0,97 L; 1,01 euro/L; nel negozio A]

GIOCHI DI ANACLETO

7 Uno studente usa un cilindro graduato per misurare il volume di una chiave di cui si conosce la massa: 160 g. Di seguito è raffigurato il cilindro contenente la chiave in cui sono stati versati 40 cm3 di acqua.

chiave

acqua

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

7

Qual è la stima migliore della densità del materia-le di cui è fatta la chiave?

a. 0,13 g/cm3.

b. 0,25 g/cm3.

c. 2,7 g/cm3.

d. 8,0 g/cm3.

(Tratto dai Giochi di Anacleto, anno 1996)

8 Qual è il valore approssimativo della massa di una normale matita di legno nuova?

a. 5×10−5 kg.

b. 5×10−3 kg.

c. 5×10−2 kg.

d. 5×10−1 kg.

e. 5×100 kg.

(Tratto dalle Olimpiadi della Fisica, anno 2013)

9 Qual è, tra le seguenti, quella che approssima meglio la capienza di un cucchiaio da minestra?

a. 1,2×10−3 m3.

b. 120 mL.

c. 12×10−3 L.

d. 1,2 cm3.

e. 0,12×10−3 dm3.

(Tratto dalle Olimpiadi della Fisica, anno 2012)

10 Nelle seguenti equazioni i simboli a, b, c, d rappre-sentano grandezze fisiche: a è misurato in m, b in s, c in m/s e d in m/s2. Una sola delle equazioni è dimen-sionalmente corretta, quale?

a. a = b2 c / 2.

b. b = a2 / c.

c. c2 = da.

d. a = dc.(Tratto dai Giochi di Anacleto, anno 2011)

MISURE



LA MISURA2

4. L’ERRORE STATISTICOSupponiamo di misurare 50 volte l’intervallo di tempo tD impiegato da una pallina

a scendere dal balcone del terzo piano. Il cronometro utilizzato ha una sensibilità di

0,01 s. I valori raccolti (espressi in secondi) sono elencati nella tabella.

TEMPI DI CADUTA (s)

1,26 1,30 1,29 1,41 1,44 1,38 1,42 1,15 1,49 1,23

1,37 1,59 1,42 1,33 1,15 1,35 1,37 1,31 1,41 1,35

1,28 1,30 1,31 1,26 1,32 1,45 1,40 1,33 1,34 1,41

1,39 1,27 1,41 1,25 1,31 1,45 1,19 1,39 1,41 1,27

1,46 1,34 1,44 1,37 1,35 1,30 1,35 1,53 1,32 1,52

Puoi controllare che il valore medio dei dati sperimentali è ,x 1 35=r s. Inoltre il valore

massimo che compare nei dati è xmax = 1,59 s, mentre il valore minimo è xmin = 1,15 s.

L’errore massimo sulla misura è quindi

, ,, .

ss

se

x x2 2

1 59 1 150 22max min

m =-

=-

=

Poiché l’errore massimo cade già sulla prima cifra dopo la virgola (2 decimi di secondo)

non ha senso scrivere il valore medio del tempo calcolato con due cifre decimali. Perciò

il valore medio del tempo, arrotondato a una cifra decimale, vale 1,4 s. Inoltre, dobbia-

mo approssimare anche il valore dell’errore ed esprimerlo con la stessa precisione con

cui conosciamo il tempo medio.

JLR Photography/Shutterstock

LA MISURA2



Il risultato della misura si scrive in modo corretto come

( , , ) st 1 4 0 2!D =

e la precisione dell’esperimento è data dall’errore relativo

,,

, .ss

e xe

1 40 2

0 14rm= = =

Con questo metodo, il valore che abbiamo trovato per tD ha un errore relativo percen-

tuale del 14%.

Però, quando abbiamo a disposizione un numero abbastanza grande di dati speri-

mentali possiamo dare una valutazione dell’incertezza più precisa di quella che si ottiene

indicando l’errore massimo; vediamo di cosa si tratta.

L’istogramma dei dati

Per visualizzare meglio i dati sperimentali, disegniamo un istogramma. Per prima cosa

dividiamo i valori dei tempi in dieci intervalli di ampiezza 0,05 s, cominciando dal valore

(arbitrario ma ragionevole, tenendo conto dei dati raccolti) di 1,12 s, e contiamo quanti

valori contenuti nella tabella appartengono a ognuno degli intervalli così costruiti.

SUDDIVISIONE DEI DATI IN INTERVALLI

Intervallo Numero di dati Intervallo Numero di dati

, ,s st1 12 1 171# D 2 , ,s st1 37 1 421# D 12

, ,s st1 17 1 221# D 1 , ,s st1 42 1 471# D 7

, ,s st1 22 1 271# D 4 , ,s st1 47 1 521# D 1

, ,s st1 27 1 321# D 10 , ,s st1 52 1 571# D 2

, ,s st1 32 1 371# D 10 , ,s st1 57 1 621# D 1

I valori numerici così ottenuti sono rappresentati nell’istogramma della figura, in cui

l’altezza di ogni colonna disegnata su un intervallo di valori è proporzionale al numero

di dati sperimentali che è compreso in tale intervallo.

L’istogramma mostra in modo immediato che i dati sperimentali non sono distribuiti a

caso tra il valore minimo e il valore massimo, ma tendono a essere molto più numerosi

nella zona che circonda il valore medio. Ciò è dovuto agli errori casuali, che tendono sia

ad aumentare che a diminuire il risultato della misura.

I dati sperimentali più significativi sono quelli rappresentati nel «picco»

dell’istogramma. I valori che si trovano ai bordi sono meno significativi.

La curva di Gauss

Pensiamo ora di aumentare moltissimo sia il numero delle misure sia il numero degli

intervalli dell’istogramma. Nella teoria statistica degli errori casuali si dimostra che, in

tale condizione, praticamente tutte le distribuzioni di dati tendono ad assumere la stessa

forma, data dalla curva a campana o curva di Gauss.

VALUTARE GLI ERRORI CASUALI

Se abbiamo a disposizione una sola misura, non abbiamo alcun modo di sapere se essa è affetta da un errore casuale grande o piccolo. Soltanto ripetendo la misura molte volte possiamo farci un’idea di come gli errori casuali influiscono sui risultati.

14

12

10

8

6

4

2

01,12 1,17 1,22 1,27 1,32 1,37 1,42 1,47 1,52 1,57 1,62

LA MISURA 2MISURE



A La curva di Gauss relativa ai dati spe-rimentali della tabella è centrata attor-no al valore medio xr delle misure ef-fettuate. La differenza tra il valore me-dio xr e il valore x si chiama scarto di x.

B Il 68,3% delle misure effettuate è com-preso tra i valori x v-r e x v+r , dove v è detta scarto quadratico medio.

1,12 1,17 1,22 1,27 1,32 1,37 1,42 1,47 1,52 1,57 1,62 x � � x x � �

Indicando con x1, x2, …, xn gli n risultati sperimentali raccolti, il valore dello scarto qua-

dratico medio si calcola con la formula

.

( )

n

x xi

ni

2

1v =-

=r/

(5)

Quando le misure sono numerose, è possibile la trattazione statistica dei dati

sperimentali e si sceglie come valore dell’incertezza lo scarto quadratico medio v.

In pratica, con questa scelta si afferma che i dati sperimentali minori di x v-r o maggio-

ri di x v+r sono soltanto un terzo del totale.

Se calcoliamo con la formula precedente il valore dello scarto quadratico medio per i

50 dati sperimentali che stiamo esaminando, otteniamo il valore v = 0,09 s, che è meno

della metà dell’errore massimo , se 0 22m = relativo agli stessi dati. Dopo questa analisi, il

risultato della misura si può scrivere

( , , ) .st 1 35 0 09!D =

Con questo metodo, si trova uno scarto quadratico percentuale del 7% circa (infatti

0,09 s/1,35 s = 0,07).

6. DIMOSTRAZIONI DELLE FORMULE SULLE INCERTEZZE

In questo paragrafo dimostriamo le formule (6) e (7) del paragrafo precedente.

Dimostrazione dell’incertezza sulla somma

Indichiamo con ar e br i valori misurati per le grandezze a e b. Tenendo conto degli errori

aD e bD , il valore sperimentale della grandezza a può variare tra a aD-r e a aD+r , men-

tre quello di b è compreso tra b bD-r e b bD+r .

Consideriamo ora la grandezza x, somma di a e di b: x = a + b. Il massimo valore di x,

xmax, si ottiene prendendo i valori più grandi di a e di b, cioè a aD+r e b bD+r :

xmax = a aD+r + b bD+r .

ERRORE ASSOLUTO

Lo scarto quadratico medio e l’errore massimo sono esempi di errori assoluti, cioè incertezze espresse in modo da avere la stessa unità di misura della grandezza misurata. Invece, gli errori relativi sono espressi sotto forma di numeri puri (senza unità di misura).

a + Δa = 6

a − Δa = 4

a = 5 + Δa = 1

b + Δb = 8

b − Δb = 4

b = 6 Δb = 2

LA MISURA2



Il minimo valore di x, xmin, si ha scegliendo i valori più piccoli di a e di b, cioè a aD-r

e b bD-r :

xmin = a aD-r + b bD-r .

L’errore massimo ( )a bD + su x è allora dato dalla formula (2):

( )( )

.

a bx x a a b b a a b b

a b a b a b a b a ba b

2 2

2 22 2

max minDD D D D

D D D D D DD D

+ =-

=+ + + - - + -

=

=+ - - + + + +

=+

= +

r r r r

r r r rY Y Y Y

Abbiamo così dimostrato che ( )a b a bD D D+ = + . Con un procedimento analogo si

dimostra anche la seconda delle formule (6).

Dimostrazione dell’incertezza sul prodotto

Consideriamo una nuova grandezza y, prodotto di a e di b: y = a · b. Il massimo valore di

y, ymax, si ha scegliendo i valori più grandi di a e di b, cioè a aD+r e b bD+r :

ymax = (a aD+r ) · (b bD+r ).

Il minimo valore di y, ymin, si ha scegliendo i valori più piccoli di a e di b, cioè a aD-r e

b bD-r :

ymin = (b bD-r ) · (b bD-r ).

Calcoliamo prima

( ) ( )

.

y a a b b a b a b b a a b

a b a b b a

max $ $ $ $ $

$ $ $

,

,

D D D D D D

D D

= + + = + + +

+ +

r r r r r r

r r r r

Nella formula precedente abbiamo trascurato il termine a b$D D : infatti, in generale gli

errori aD e bD sono molto più piccoli dei valori misurati ar e br . Quindi il termine a b$r r è

il più grande, seguito dai prodotti a b$Dr e b a$Dr ; infine, il prodotto a b$D D è ancora più

piccolo e, quindi, trascurabile.

Con un procedimento analogo si ricava la formula

y a b a b b amin $ $ $, D D- -r r r r .

Siamo ora in grado di calcolare l’incertezza sul prodotto:

( )( )

.

a by y a b a b b a a b a b b a

a b a b a b b a a b b a a b b a

a b b a

2 2

2 22 2

max min$

$ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $ $ $

$ $

DD D D D

D D D D D D

D D

=-

=+ + - - -

=

=- + + + +

=+

=

= +

r r r r r r r r

r r r r r r r r r r

r r

Abbiamo così ottenuto il valore dell’incertezza sul prodotto di due valori:

( ) .a b a b b a$ $ $D D D= +r r (9)

Dividendo i due membri dell’equazione (9) per a b$r r otteniamo la formula (7) per il pro-

dotto:

6

8

4

4

ymin

ymax

LA MISURA 2MISURE



( ).

a b

a b

a ba b b a

a ba b

a bb a

aa

bb

$$

$$ $

$$

$$D D D D D D D

=+

= + = +r r r r

r r

r rr

r rr

r rYY

YY

In modo simile, si dimostra anche la formula per il quoziente.

8. LE LEGGI SPERIMENTALIGli esperimenti permettono di controllare in modo concreto qual è la relazione che

lega tra loro due o più grandezze fisiche.

In diversi casi l’esperimento ci fornisce le prime informazioni su fenomeni e leggi fisi-

che fino a quel momento sconosciute. Un esempio è dato dagli esperimenti condotti at-

torno al 1790 da Charles Augustin de Coulomb per studiare le caratteristiche della forza

che si esercita tra cariche elettriche: tale esperimento ha fornito i dati di base, partendo

dai quali (con il contributo di moltissimi altri esperimenti) si è costruita la complessa

teoria dell’elettromagnetismo.

La legge di Coulomb, che fornisce il valore della forza che agisce tra due cariche elet-

triche puntiformi, è un esempio di legge sperimentale, cioè di una regolarità ricavata

dallo sperimentatore e, al momento della sua scoperta, non deducibile da considerazioni

teoriche.

In altri casi, all’opposto, l’esperimento è utilizzato per controllare la validità di una

struttura teorica preesistente. L’esempio più complesso e più spettacolare in questo sen-

so è stato, il 4 luglio 2012, l’annuncio dell’osservazione della particella di Higgs.

Tale particella era stata introdotta, su basi puramente teoriche, nel 1964 dal fisico

britannico Peter Higgs e da altri. A distanza di 48 anni, la sua esistenza è stata prova-

ta al CERN (Organizzazione Europea per la Ricerca Nucleare) di Ginevra grazie agli

esperimenti ATLAS e CMS. Essi coinvolgono migliaia di ricercatori e sfruttano tec-

nologie di avanguardia spesso messe a punto appositamente per essere utilizzate al

CERN.

Un esempio: il pendolo

Un pendolo è essenzialmente un filo leggerissimo appeso a un punto fisso (per esempio

a un gancetto) e a cui è appeso un oggetto massivo, come il dado di un bullone.

Anche un oggetto semplice come un pendolo può avere un ruolo importante nella

fisica, per esempio perché permette di verificare la validità dei princìpi della dinamica,

enunciati da Newton, che sono alla base di tutta la nostra conoscenza della meccanica.

Infatti (come si vede più avanti in questo corso), sulla base del secondo principio della

dinamica e di considerazioni geometriche si dimostra che

il periodo di oscillazione di un pendolo, cioè la durata di una sua oscillazione

completa, è direttamente proporzionale alla radice quadrata della sua lunghezza.

Se l’esperimento conferma questa legge, in modo indiretto è verificata anche la validità

dei princìpi della dinamica, da cui la legge è dedotta. Il successo di moltissimi esperi-

menti, sulle tematiche più varie (dalla caduta degli oggetti al moto dei pianeti e delle

sonde spaziali), è alla base della fiducia che i fisici hanno nella validità dei princìpi della

dinamica.

Per eseguire l’esperimento, misuriamo il periodo di un pendolo cambiando più volte

la sua lunghezza e facendo per ogni lunghezza l dieci misure del periodo T. I risultati

dell’esperimento sono contenuti nella tabella seguente.

mic

hel

aub

ryp

ho

to/S

hu

tter

sto

ck

LA MISURA2



DATI SPERIMENTALI

N. prova l (m) T (s) T 2 (s2)

1 1,50 ± 0,02 2,4 ± 0,1 5,8 ± 0,5

2 1,30 ± 0,02 2,2 ± 0,1 4,8 ± 0,4

3 1,10 ± 0,02 2,1 ± 0,1 4,4 ± 0,4

4 0,90 ± 0,02 1,9 ± 0,1 3,6 ± 0,4

5 0,70 ± 0,02 1,6 ± 0,1 2,6 ± 0,3

6 0,50 ± 0,02 1,4 ± 0,2 2,0 ± 0,6

7 0,30 ± 0,02 1,1 ± 0,2 1,2 ± 0,4

Nell’ultima colonna della tabella compare T 2. L’errore su T 2 è calcolato nel modo illu-

strato nell’Esempio alla fine del paragrafo 5.

Questi dati sperimentali sono riportati nella figura seguente. Nel grafico le coppie di

dati sperimentali sono rappresentate come punti che hanno per ascissa il valore di l e per

ordinata quello di T 2.

La figura mostra anche le barre di errore, che indicano qual è il valore dell’incertezza

sulla misura delle grandezze. Per esempio, la barra di errore verticale del primo punto in

basso a sinistra è lunga 0,4 s2 sia verso l’alto, sia verso il basso, perché questo è il valore

dell’incertezza per tale dato. Questa barra mostra, quindi, che il primo valore di T 2 è

compreso tra 0,8 s2 e 1,6 s2.

Allo stesso modo la barra di errore orizzontale dello stesso punto abbraccia tutti i

valori di l compatibili con la precisione dei nostri dati, cioè quelli compresi tra 0,28 m e

0,32 m.

Quindi, mediante le barre di errore a ogni valore sperimentale corrisponde un ret-

tangolo, che è centrato nel punto sperimentale trovato e comprende tutti i valori della

coppia di grandezze (l, T 2) che sono compatibili con la misura effettuata.

Analisi del grafico sperimentale

Secondo la legge che dobbiamo verificare, la lunghezza l deve essere direttamente pro-

porzionale a T 2. Sulla base di ciò, se non esistessero errori di misura, la linea che connet-

te tutti i punti sperimentali dovrebbe essere una retta passante per l’origine.

Ma noi non sappiamo qual è il valore «vero» di l e di T 2; sappiamo solo che esso è

compreso tra il valore medio meno l’incertezza e il valore medio più l’incertezza. Così,

ciò che importa è che esista una retta che «taglia» tutti i rettangoli definiti dalle barre

di errore.

lunghezza del pendolo (m)

O

7

6

5

4

3

2

1

0,2 0,4 0,6 0,8 1,2 1,4 1,61

quad

rato

del

per

iodo

(sA

2)

Punto sperimentale

valori possibili della prima grandezza

valo

ri p

ossi

bili

della

sec

onda

gra

ndez

za

LA MISURA 2MISURE



Se esiste una retta che attraversa i rettangoli definiti dalle barre di errore

l’esperimento conferma (entro gli errori di misura) la previsione teorica.

Nella figura precedente, la linea rossa è calcolata con un procedimento matematico che

fornisce la retta che approssima al meglio possibile i dati sperimentali.

La previsione che stavamo indagando risulterebbe falsa se nel grafico comparissero

uno o più punti sperimentali posti in modo tale che nessuna retta può intersecare tutti

i rettangoli. In questo caso si controllano i dati per escludere errori banali e si posso-

no ripetere le misure per escludere eventuali errori sperimentali. Ma se si conferma che

nessuna retta è compatibile con i dati raccolti, la legge fisica proposta è dichiarata falsa

dall’esperimento.

LA MISURA2



ESERCIZI

1. GLI STRUMENTI DI MISURA


1 In una località di montagna un altimetro rileva la quota di 1234 m.

Qual è la sensibilità dello strumento?

2 In quale caso uno strumento di misura può rompersi se viene usato per misurare il valore di una grandezza?

3 Il contatore di consumi dell’energia elettrica che hai a casa è uno strumento analogico o digitale?

4 La precisione di uno strumento dipende dall’abilità dello sperimentatore?

ESERCIZI NUMERICI

5 Indica la portata e la sensibilità del cilindro, tarato in centimetri cubi.

3. IL VALORE MEDIO E L’INCERTEZZA


17 Hai eseguito una serie di misure della lunghezza del-la tua scrivania. Hai scritto il risultato ottenuto ac-compagnato dalla sensibilità del metro utilizzato, e hai espresso la tua misura in cm.

Qual è l’unità di misura della relativa incertezza percentuale?

18 È più precisa la misura (24,5 ± 0,5)cm o la misura (98 ± 1)cm?

ESERCIZI NUMERICI

25 Una montagna è alta 2150 m. La sua altezza è nota con un’incertezza di 5 m.

Scrivi l’altezza della montagna con l’incertezza relativa.

Dav

id J

. Gre

en –

stu

dio

/Ala

my

Un alpinista raggiunge la cima e vi pone una pila di sassi alta 0,5 m. Come si modifica la scrittura dell’altezza della montagna?

[invariata]

26 La medaglia d’oro olimpica a Londra 2012 per il salto in alto maschile è stata vinta da Ivan Ukhov, famoso per essersi presentato ubriaco al meeting di atletica di Losanna nel 2008, pare dopo un litigio con la fidanzata. La classifica dei 14 finalisti è stata:

1 I. Ukhov, Russia 2,38 metri

2 E. Kynard, Stati Uniti 2,33 metri

3 M. Barshim, Qatar 2,29 metri

4 D. Drouin, Canada 2,29 metri

5 R. Grabarz, Gran Bretagna 2,29 metri

6 J. Nieto, Stati Uniti 2,29 metri

7 B. Bondarenko, Ucraina 2,29 metri

8 M. Mason, Canada 2,29 metri

9 A. Protsenko, Ucraina 2,25 metri

10 J. Williams, Stati Uniti 2,25 metri

11 W. Miller, Colombia 2,25 metri

12 A. Silnov, Russia 2,25 metri

13 K. Ioannou, Cipro 2,20 metri

14 M. Hanany Francia 2,20 metri

Quanto vale l’altezza media saltata durante que-sta finale olimpica?

Scrivi il risultato con l’incertezza della misura.

[2,27 m; 0,01 m]

27 Vuoi imbiancare la tua stanza e hai chiesto al tuo mi-gliore amico di aiutarti a misurare l’altezza del sof-fitto. Tu hai ottenuto 2,80 m e il tuo amico 2,81 m. Il metro a nastro utilizzato ha una sensibilità di 1 cm.

Come scrivi il risultato della misura con l’incer-tezza associata?

[(2,805 ± 0,005) m]

28 Una bilancia analogica misura la massa con un’in-certezza relativa percentuale del 15%. La massa com-plessiva di una cassetta colma di frutta misurata con questa bilancia è di 5,0 kg, mentre la tara è di 0,7 kg.

Come si esprimono queste misure in modo cor-retto con la rispettiva incertezza?

La bilancia viene letta da un altro osservatore che non si posiziona esattamente di fronte alla scala graduata. Il valore misurato per la massa della

LA MISURA 2MISURE



cassetta è diverso dal precedente, per difetto o per eccesso a seconda della sua posizione. Perché?

[(5,0 ± 0,8) kg; (0,7 ± 0,1) kg]

4. L’ERRORE STATISTICO


32 “In laboratorio, dopo aver effettuato due misure del diametro di un filo di rame, fai l’analisi statistica

dei dati sperimentali e traccia la curva a campana di Gauss che ne fornisce la distribuzione.” Cosa c’è di sbagliato in questa frase?

33 Come diventa lo scarto quadratico medio se i risul-tati di una misura sono molto lontani dal valore me-dio?

ESERCIZI NUMERICI

34 PROBLEMA SVOLTO

La massa del lingottoMisuriamo, per 20 volte consecutive, la massa di un lingotto con una bilan-

cia di sensibilità 0,1 g.

Ecco i valori ottenuti espressi in grammi:

200,5; 200,6; 200,3; 200,1; 200,5; 200,3; 200,6; 200,4; 200,4; 200,5; 200,4;

200,8; 200,5; 200,3; 200,4; 200,4; 200,5; 200,5; 200,4; 200,8.

Suddividi le misure in classi di frequenza.

Calcola lo scarto quadratico medio.

Calcolare lo scarto quadratico percentuale.

Calcolare l’errore massimo e confrontalo con lo scarto quadratico medio.

Esprimi il risultato della misura in maniera corretta.

DATI E INCOGNITE

GRANDEZZE SIMBOLI VALORI (g)

DATIMassa M

200,5; 200,6; 200,3; 200,1; 200,5; 200,3; 200,6; 200,4; 200,4; 200,5; 200,4; 200,8; 200,5; 200,3; 200,4; 200,4; 200,5; 200,5; 200,4; 200,8

Numero delle misure n 20

INCOGNITE

Scarto quadratico medio σ ?

Scarto quadratico percentuale σ% ?

Errore massimo em ?

RAGIONAMENTO

• Per affrontare il calcolo dello scarto quadratico medio è opportuno raggruppare le misure in classi di frequenza tramite una tabella.

• Successivamente, in un’altra tabella, calcoliamo per ogni misura, lo scarto si e lo scarto quadratico. Quindi lo

scarto quadratico medio sarà: .nsi i

2/v =

• L’errore relativo sarà dunque: % %Mmv

v= , dove Mm indica la media delle misure.

• L’errore massimo è: .eM M

2max min

m =-

• Infine il risultato verrà espresso come: .M Mm! v=

Pic

s-xl

/Sh

utt

erst

ock

LA MISURA2



35 Con un cronometro di sensibilità 0,01 s, si misura il periodo di un pendolo. La misura è stata ripetuta 15 volte e si sono ottenuti i seguenti valori:

MISURA VALORE (s)

1 1,90

2 1,87

3 1,85

4 1,92

5 1,88

6 1,85

7 1,91

8 1,89

9 1,93

10 1,86

MISURA VALORE (s)

11 1,92

12 1,86

13 1,90

14 1,91

15 1,84

Calcola il valore medio del periodo del pendolo.


Esprimi correttamente il risultato della misura.

[1,89 s; 0,03 s; (1,89 ± 0,03) s]

36 Con un distanziometro si misura la lunghezza di un’asta metallica. Nella tabella sono riportati (in m) i risultati ottenuti:

RISOLUZIONE

TABELLA DELLE CLASSI DI FREQUENZA

CLASSE 1 2 3 4 5 6

VALORE 200,1 g 200,3 g 200,4 g 200,5 g 200,6 g 200,8 g

FREQUENZA 1 3 6 6 2 2

Calcolo del valore medio: , gM n

M

200 5m

ii

n

= =

/

TABELLA DEGLI SCARTI

Mi (g) f Mi × f (g) si (g) ( )gsi2 2 ( )gf si

2 2#

200,1 1 200,1 0,3 0,09 0,09

200,3 3 600,9 0,1 0,01 0,03

200,4 6 1202,4 0 0 0

200,5 6 1203,0 0,1 0,01 0,06

200,6 2 401,2 0,2 0,04 0,08

200,8 2 401,6 0,4 0,16 0,32

TOTALE 20 0,58

,,

gg20

0 580 2

2

v = =

( , , ),

gge

M M2 2

200 8 200 10 4max min

m =-

=-

=

% ,,

, %gg

M 200 50 2

0 1m

vv

= = =

( , , )gM M 200 5 0 2m! !v= = .

CONTROLLO DEL RISULTATO

Abbiamo ottenuto che em > σ. Quando abbiamo un insieme abbastanza esteso di dati sperimentali, lo scarto qua-

dratico medio ci fornisce infatti una valutazione dell’incertezza più precisa rispetto all’errore massimo.

LA MISURA 2MISURE



MISURA VALORE (m)

1 5,10

2 4,99

3 5,02

4 4,98

5 5,08

6 5,05

7 4,82

8 5,05


Esprimi correttamente il risultato della misura.

L’incertezza percentuale corrispondente allo scarto quadratico medio è maggiore o minore del 5%?

[0,08 m; (5,01 ± 0,08) m; < 5%]

37 I chiodi dello stesso tipo comprati dal ferramen-ta hanno davvero la stessa lunghezza? Per provare a stabilirlo con un esperimento, un gruppo di stu-denti ha eseguito il controllo della lunghezza di 20 chiodi lunghi 3 cm secondo le dichiarazioni del fab-bricante. I ragazzi hanno usato una riga con sensi-bilità 1 mm e un calibro centesimale con sensibilità 1/20 mm.

NUMERO DELLA MISURA L (cm) RIGA L (cm) CALIBRO

1 3,0 3,000

2 3,1 3,005

3 3,1 3,110

4 3,1 3,110

5 3,0 3,115

6 3,2 3,120

7 3,1 3,110

8 3,0 2,960

9 2,9 2,980

10 3,2 3,110

11 2,9 3,120

12 2,8 3,120

13 3,0 3,140

14 3,1 3,180

15 3,1 2,960

16 2,9 3,110

17 3,1 3,120

18 3,1 3,115

19 3,1 3,110

20 3,0 3,125

Calcola il valore medio della lunghezza dei chio-di, sia con la riga che con il calibro.

Per ogni serie di misure, calcola lo scarto quadra-tico medio.

Esprimi correttamente i risultati delle due serie di misure.

Le differenze nella lunghezza dei chiodi secondo te a cosa si possono attribuire? A errori speri-mentali commessi dai ragazzi o a errori di fabbri-cazione dei chiodi?

Rappresenta le due serie di dati mediante due istogrammi, per rendere più facile il confronto.

[3,0 cm, 3,086 cm; (3,0 ± 0,1) cm; (3,09 ± 0,06) cm]

38 Si misura, per venti volte consecutive, lo spessore di un blocco, ottenendo i seguenti valori:

5,4 cm; 5,6 cm; 5,3 cm; 5,3 cm; 5,4 cm; 5,7 cm; 5,5

cm; 5,5 cm; 5,4 cm; 5,5 cm; 5,8 cm; 5,3 cm; 5,4 cm;

5,4 cm; 5,3 cm; 5,6 cm; 5,5 cm; 5,2 cm; 5,3 cm; 5,4

cm.

Costruisci con un foglio di calcolo l’istogramma che rappresenta la distribuzione dei valori.

Calcola il valore medio dello spessore del blocco.

Calcola lo scarto quadratico medio ed esprimi correttamente il risultato della serie di misure ef-fettuata.

[(5,4 ± 0,2) cm]

39 PROVA AUTENTICAper le competenze

Una misura di lunghezza è stata ripetuta 100 vol-te, con uno strumento che misura i centimetri (sensibilità uguale a 0,01 m).I dati sono raccolti in colonna nel file GaussAutentico.xls.L’unità di misura utilizzata è il metro.Puoi aprire il file con un foglio di calcolo come Excel, LibroOffice Calc, OpenOffice Calc o Gnu-meric. Questi ultimi 3 programmi sono scaricabili gratuitamante.

ANALISI DEI DATI

a. Utilizzando il foglio di calcolo ordina i numeri trovati dal più piccolo al più grande; in questo modo è facile determinare il valore minimo e quello massimo, e poi calcolare l’errore massimo sui dati.

b. Ricava il valore medio dei dati ottenuti. Invece di farlo tu stesso, puoi trovare il modo di determinarlo con il foglio di calcolo.

c. Dividi l’intervallo tra il valore minimo e quello massimo in una decina di intervalli

LA MISURA2



(per esempio tra 8,1 e 8,2, tra 8,2 e 8,3 e così via). Con i dati ordinati dal più piccolo al più grande, conta quanti ce ne sono in ognuno degli intervalli che hai individuato.

d. Costruisci una tabella come quella presentata nel paragrafo precedente e un istogramma.

e. Utilizzando la formula (5) o l’apposita funzione nel foglio di calcolo (DEV.ST.POP), calcola lo scarto quadratico medio dei dati.

COMUNICAZIONE DEI RISULTATI OTTENUTIScrivi in modo corretto il risultato della «misura»

effettuata, esprimendolo sia con l’errore massimo,

sia con lo scarto quadratico medio.

5. L’INCERTEZZA NELLE MISURE INDIRETTE


40 L’incertezza sulla somma di due misure sperimentali è maggiore, minore o uguale a quella sui singoli valori?

41 Lo spigolo di un cubo di lato 10 cm è noto con un er-rore relativo percentuale dell’1%. Come si può scri-vere il suo volume?

[(1,00 ± 0,03) × 103 cm3]

42 La misura dei lati di un rettangolo ha fornito i risul-

tati (5,2 ± 0,3) cm e (7,5 ± 0,3) cm. Quindi la diffe-

renza tra i due lati è (2,3 ± 0,2), semiperimetro del

rettangolo è (12,7 ± 0,6) cm e l’area del rettangolo è

(39 ± 4) cm2. Vero o falso?

ESERCIZI NUMERICI

53 PROBLEMA SVOLTO

Incertezza su un quozientePer calcolare la densità di un blocchetto di granito misuriamo la

sua massa, che risulta m = (2,35 ± 0,03) kg, e il suo volume, che

risulta V = (8,62 ± 0,07) × 10−4 m3.

Calcola il valore sperimentale d della densità così ottenuto.

Calcola l’incertezza Δd su tale valore.

Esprimi il risultato della misura in maniera corretta.

DATI E INCOGNITE

GRANDEZZE SIMBOLI VALORI COMMENTI

DATI

Massa m 2,35 kg

Incertezza sulla massa Δm 0,03 kg

Volume V 8,62 × 10−4 m3

Incertezza sul volume ΔV 0,07 × 10−4 m3

INCOGNITEDensità d

–? Valore sperimentale

Incertezza sulla densità Δd ?

RAGIONAMENTO

• La densità è data dalla formula d = m/V.

• La densità è un quoziente tra due valori. Quindi si calcola prima l’incertezza relativa su d con la formula

/

( / )

a b

a baa

bbD D D

= + e da questo si ricava l’incertezza Δd.

LA MISURA 2MISURE



RISOLUZIONE

Il valore sperimentale della densità è dato dalla formula d = m/V:

,

,,

m

kg

m

kgd

Vm

8 62 10

2 352 726 1034

33#

#= = =- .

L’incertezza relativa per la densità si calcola con la formula precedente con a = m e b = V:

,,

,,

, , ,kgkg

mm

dd

mm

VV

2 350 03

8 62 100 07 10

0 013 0 008 0 0214 3

4 3

##D D D

= + = + = + =-

-

.

Per isolare Δd si moltiplicano il primo e l’ultimo passaggio del calcolo precedente per d :

, , , ,m

kg

m

kgd d0 021 0 021 2 726 10 0 057 103

33

3# # # #D = = =c m .


Visto che l’incertezza cade già sulla seconda cifra dopo la virgola, non ha senso scrivere il risultato dell’esperimen-

to con tre decimali. La maniera corretta per esprimere il risultato ottenuto è:

( , , )m

kgd 2 73 0 06 103

3! #= .

54 Un cubetto di alluminio viene utilizzato per costrui-re un dado da incastro. La lunghezza del lato del da-do è (3,05 ± 0,05) cm. La densità dell’alluminio vale (2960 ± 60) kg/m3.

Calcola il valore della massa del dado.

Calcola la sua incertezza.

Esprimi correttamente il risultato ottenuto.

[84 ×10-3 kg; 6 ×10-3 kg; (84 ± 6) × 10-3 kg]

55 Le dimensioni esterne di un armadio sono: larghez-za (3,75 ± 0,02) m, altezza (2,55 ± 0,02) m e profon-dità (0,65 ± 0,01) m.

Calcola il volume esterno con la relativa incer-tezza di misura e con il corretto numero di cifre significative.

Calcola il perimetro con la relativa incertezza della faccia dell’armadio che è appoggiata al pa-vimento.

[(6,2 ± 0,2) m3; (8,80 ± 0,06) m]

7. LE CIFRE SIGNIFICATIVE


56 Il tuo compagno di banco scrive come risultato di una misura di massa in laboratorio (18,25 ± 0,5) g.

Perché il risultato della misura scritto in questo modo non è corretto?

57 Quanto vale, espressa con il corretto numero di cifre significative, l’area di una fettuccia di lati 1,953 m e 1,1 cm?

58 Come si scrive il numero 10,049 arrotondato a 3 ci-fre significative?

59 Con una bilancia di sensibilità 10 g controlli la mas-sa di una confezione da un kilogrammo di zucchero.

Come scrivi il risultato con il numero corretto di cifre significative?

60 Una superficie di 40 m2 viene divisa in 1000 parti uguali. Quanto vale l’area di ogni parte?

ESERCIZI NUMERICI

68 Il numero di Nepero o numero di Eulero, indicato con la lettera e, è una costante matematica molto importante, collegata a una funzione conosciuta come funzione esponenziale. Considera come suo valore il numero 2,718 281 828 459.

Riscrivilo con sette, cinque, tre, due e una cifra si-gnificativa.

69 The side of a square measures 0.135 m.

Find the length of its diagonal with the correct number of significant digits.

[0.191 m]

8. LE LEGGI SPERIMENTALI


72 La curva ottenuta riportando in un grafico cartesia-no i valori del periodo di oscillazione di un pendolo e della sua lunghezza è un arco di parabola.

Che tipo di proporzionalità esiste tra l e T ?

[Proporzionalità quadratica]

LA MISURA2



73 Quale delle seguenti osservazioni non è verificata ogni volta che si ripete la prova sperimentale?

a. Se esco quando piove, mi bagno.

b. Il vento muove le foglie.

c. Tutte le volte che arrivo in stazione in ritardo, il

treno è invece puntuale.

d. Bisogna sempre tornare a spolverare i mobili.

ESERCIZI NUMERICI

74 Una molla sospesa a un estremo si allunga quan-do all’altro estremo vengono applicati dei pesi. Facciamo un esperimento: all’estremo libero della molla applichiamo in successione pesetti da 20 g, 40 g, 60 g, 80 g. Nella tabella seguente sono ripor-tate le masse dei pesetti attaccati e i corrispondenti allungamenti della molla.

MASSA APPLICATA (g) ALLUNGAMENTO DELLA MOLLA (cm)

0 0

20 2

40 4

60 6

80 8

Riporta in un grafico l’allungamento della molla in funzione della massa applicata e disegna le bar-re di errore.

Scrivi la relazione matematica tra le due grandez-ze.

Definisci il tipo di proporzionalità che le lega.

[Dl = p/10; proporzionalità diretta]

75 Nella tabella seguente sono riportati i valori del lato e della corrispondente area di alcune piastrelle qua-drate.

LATO (cm) AREA (cm2)

12 144

14 196

16 256

18 324

Rappresenta in un grafico l’area di una piastrella in funzione del lato.

Scrivi la relazione matematica tra il lato del qua-drato e la sua area.

Individua il tipo di proporzionalità che li lega.

[l = A ; proporzionalità quadratica]

76 Riferisciti alla tabella di dati del problema n. 74.

Riporta in un grafico cartesiano l’allungamento lD (in ordinata) in funzione della massa m (in

ascissa), scegliendo opportunamente la scala su entrambi gli assi cartesiani per ottenere un grafi-co proporzionato.

Disegna le barre di errore.

PROBLEMI GENERALI

6 Un gruppo di studenti misura otto volte l’interval-lo di tempo impiegato da un pendolo per compiere un’oscillazione completa. Il cronometro utilizzato ha una sensibilità di 0,1 s. Le misure ottenute sono:

MISURA VALORE (s)

1 25,8

2 24,0

3 21,0

4 23,2

5 23,8

6 23,0

7 20,2

8 20,8

Calcola il valore medio e l’errore massimo delle misure.

Esprimi il risultato della misura con il corretto numero di cifre significative.

Calcola l’errore percentuale.

Se i valori ottenuti fossero stati tutti uguali, l’incer-tezza associata al valore medio sarebbe stata nulla?

[22,7 s; 2,8 s; (23 ± 3) s; 12%]

7 Durante un rilievo topografico, la misura del lato maggiore di un appezzamento di terra rettangolare ha fornito il valore (90,8 ± 0,3) m. Il fossato che cor-re lungo due lati consecutivi del lotto di terreno è lungo (150,2 ± 0,5) m.

Calcola il valore più plausibile per la lunghezza del lato minore e l’incertezza corrispondente.

Calcola l’area dell’appezzamento.

Calcola l’incertezza relativa percentuale associata all’area.

[(59,4 ± 0,8) m; 5,39 × 103 m2; 1,7%]

8 Il raggio del pianeta Giove è 7,14 × 107 m e la sua massa vale 1,900 × 1027 kg.

LA MISURA 2MISURE



Calcola l’area della superficie di Giove, conside-randolo di forma sferica.

Calcola la densità di Giove, considerandolo di forma sferica.

Esprimi i risultati con il corretto numero di cifre significative.

[6,41 × 1016 m2; 1,25 × 103 kg/m3]

9 In the picture you can see a food label.

How many significant digits do kcal, protein, car-bohydrate, sugar have?

10 La figura mostra l’etichetta di un prodotto alimen-tare straniero.

Sull’etichetta in basso si legge “NET WT 15 OZ (425 g)”. OZ è l’abbreviazione di oncia, un’uni-tà di misura della massa che non appartiene al Sistema Internazionale e che vale 1/16 di libbra, cioè 28,35 g.

È corretta l’equivalenza indicata da once a gram-mi?

Amount Per Serving

45

14 g

30

45

5 g

1 g

2.5 g

1 g

0 mg

90 mg

0 g

0 g

Total Fat

Saturated Fat

Polyunsaturated

Monounsaturated

Cholesterol

Sodium

Total Carbonhydrate

Protein

8%

5%

0%

4%

0%

0%

Not a significant source of dietary fiber, sugar, vitamin C, calcium and iron

10%Vitamin A

NET WT 15 OZ (425 g)

Il produttore di cibo in scatola usa le cifre signi-ficative in modo corretto? Se no, scrivi l’equi-valenza con il corretto numero di cifre signifi-cative.

[Sì, 4,2 ×102 g]

11 La sigla “fl oz” indica l’oncia fluida, un’unità di mi-sura di volume che non appartiene al Sistema Inter-nazionale e che si usa per etichettare gli alimenti ne-gli Stati Uniti, ed equivale a 30 mL.

È corretta l’equivalenza indicata da once fluide a mL?

Il produttore di cibo in scatola usa le cifre signi-ficative in modo corretto? Se no, scrivi l’equi-valenza con il corretto numero di cifre signifi-cative.

12 ARTE Gli azulejos

Gli azulejos sono piastrelle decorative molto usa-

te in Portogallo per rivestire le pareti degli edifici.

Supponiamo di dover ricoprire una superficie di 24

m2 con azulejos di forma quadrata. La misura del la-

to di una piastrella fornisce il valore 15,0 ± 0,5 cm.

Calcola il numero minimo e il numero massimo di piastrelle necessarie per rivestire la parete con-siderando l’incertezza sperimentale.

[1,00 × 103; 1,14 × 103]

18 LA FISICA DEL CITTADINO Proiezioni elettorali In un Paese si sono svolte le elezioni politiche, in

cui si fronteggiavano due coalizioni: la coalizione

Bianca è formata dai partiti B1, B2 e B3, mentre quel-

la Gialla è formata dai partiti G1, G2, G3 e G4.

Quattro ore dopo la chiusura dei seggi sono dispo-

nibili i primi risultati che provengono da un certo

numero di località situate in diverse zone del Paese.

Questi risultati prevedono di fare una prima previ-

sione, che è soggetta a errore perché non è detto che

tutti gli elettori del Paese abbiano votato come quel-

li delle sezioni scrutinate per prime.

Le previsioni per il risultato del voto (con le corri-

spondenti incertezze) sono le seguenti:

Der

ek H

atfi

eld

/S

hu

tter

sto

ck

LA MISURA2



PARTITO COALIZIONEPERCENTUALE DI VOTI OTTENUTI SECONDO I PRIMI RISULTATI

B1 Bianca 15% ± 2%

B2 Bianca 21% ± 3%

B3 Bianca 17% ± 2%

G1 Gialla 8% ± 1%

G2 Gialla 25% ± 3%

G3 Gialla 12% ± 2%

G4 Gialla 2% ± 1%

Domanda 1: Esamina le prime tre righe della tabella precedente.

Sulla base dei dati forniti, qual è il valore più plausibile per la percentuale totale di voti ottenuti dalla coalizione Bianca? Quali sono, rispettiva-mente, la massima e la minima percentuale che la coalizione Bianca può ottenere sulla base di tale previsione?

Domanda 2: Esamina le ultime quattro righe della tabella prece-

dente.

Sulla base dei dati forniti, qual è il valore più plausibile per la percentuale totale di voti ottenu-ti dalla coalizione Gialla? Quali sono, rispettiva-mente, la minima e la massima percentuale che la coalizione Gialla può ottenere sulla base di tale previsione?

Domanda 3: Considera i risultati che hai ottenuto finora.

Sulla base di essi, puoi individuare una coalizione di partiti che certamente avrà la maggioranza dei voti in queste elezioni?

[53%, 60%, 46%; 47%, 40%, 54%]

GIOCHI DI ANACLETO

1 In un esperimento si lascia cadere una biglia da una determinata altezza e si misura il tempo impiegato dalla biglia per toccare il pavimento. In tre misure successive si sono trovati i valori seguenti: 0,95 s; 0,96 s; 0,99 s.

Assumendo come misura del tempo di caduta della biglia il valore medio dei tre tempi misurati, quale dei seguenti valori è più corretto scegliere?

a. 0,96 s.

b. 0,966 s.

c. 0,967 s.

d. 0,97 s.


2 Quattro gruppi di studenti hanno misurato la dura-ta di 10 oscillazioni di uno stesso pendolo. Ciascun gruppo ha raccolto i valori riportati nella tabella se-guente:

GRUPPO A 7,25 s 7,75 s 8,25 s

GRUPPO B 7,2 s 7,25 s 7,3 s

GRUPPO C 8,25 s 8,75 s 9,25 s

GRUPPO D 8,2 s 8,3 s 8,9 s

Dello stesso pendolo si possiede anche una mi-sura attendibile che dà, per dieci oscillazioni, una durata di 8,25 s. In riferimento a questa, quale gruppo ha ottenuto una serie di misure più affi-dabile, e perciò più accurata?


3 Quale dei seguenti numeri rappresenta corretta-mente il risultato dell’addizione

1,101 × 10−4 + 2,7392 × 10−6?

a. 3,8402 × 10−10.

b. 1,128392 × 10−4.

c. 1,1284 × 10−2.

d. 1,128 × 10−4.


4 Per misurare accuratamente il diametro esterno di un tubo metallico si è usato un calibro dotato di no-nio. Nella figura si vede la posizione delle varie parti del calibro in questa misura.

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

9 15 cm

Il diametro del tubo è

a. 7,73 cm.

b. 8,03 cm.

c. 8,30 cm.

d. 8,63 cm.


LA MISURA 2MISURE



5 Una certa quantità di sostanza da utilizzare in un esperimento è stata pesata ripetutamente trovando i seguenti risultati:

MASSA (g)

40,75

40,60

40,70

40,25

40,70

40,80

40,65

Quale delle seguenti coppie di valori meglio esprime la massa di quella sostanza e l’incertezza nella sua misura?

VALORE MEDIO DELLA MASSAIN GRAMMI

INCERTEZZA DEL VALORE MEDIOIN GRAMMI

A 40,64 0,01

B 40,6 0,3

C 40,7 0,3

D 40,70 0,01


6 A quale dei seguenti ordini di grandezza si avvicina di più lo spessore di un foglio di carta?

a. 10−4 m.

b. 10−2 m.

c. 100 m.

d. 102 m.


7 Le lunghezze di tre spigoli di un cubo sono state mi-surate usando un calibro. Il calibro usato permette letture con un’incertezza di ± 0,1 mm.

30,0 mm 30,0

mm

30

,0 m

m

Quali dei seguenti valori indica meglio l’incer-tezza con cui può essere calcolato il volume del cubo?

a. %271

.

b. %103

.

c. %13 .

d. %1 .


8 Per determinare la capacità di un recipiente di for-ma cubica si sono seguiti due procedimenti.

Nel primo caso sono stati misurati gli spigoli in-

terni del recipiente trovando per tutti il valore

( , , )l 0 200 0 002!= m, poi è stato calcolato il volu-

me del cubo V = l3.

Nel secondo caso il recipiente è stato pesato prima

vuoto e poi colmo d’acqua trovando che la massa

d’acqua è ( , ),m 0 008 000 8!= kg. Conoscendo

la densità dell’acqua con una precisione del 0,2%,

d = 1,000 g · cm–3, si è calcolato il volume, V = m/d.

La precisione della misura del volume è

a. migliore nel primo caso perché l’incertezza asso-

luta delle misure di l è più piccola di quella della

misura della massa.

b. migliore nel secondo caso perché l’incertezza re-

lativa delle misure è più piccola.

c. uguale nei due casi perché il volume è lo stesso.

d. non confrontabile perché si sono seguiti proce-

dimenti diversi.


9 Uno studente vuole misurare il diametro di una moneta. Per farlo usa una riga millimetrata per mi-surare quattro monete uguali messe una accanto all’altra, come nella seguente figura.

1

X Y

2 3 4 5 60

Lo studente ha stimato che gli estremi X e Y si tro-

vano, sulla riga, nelle seguenti posizioni:

X = (1,0 0,2) cm, Y = (5,0 0,2) cm.

Qual è, tra le seguenti, la misura del diametro di una moneta con l’incertezza della misura?

LA MISURA2



a. (1,0 0,05) cm.

b. (1,0 0,1) cm.

c. (1,0 0,2) cm.

d. (1,0 0,4) cm.

e. (1,0 0,8) cm.


10 In una relazione di laboratorio si trova scrit-to “d = 12,25 mm con errore percentuale pari allo 0,5%”. L’incertezza di questa misura vale:

a. 0,5 mm.

b. 0,01 mm.

c. 0,04 mm.

d. 0,06 mm.

e. 0,005 mm.




1 LA LUCE3

1. I RAGGI DI LUCE

La velocità della luce

Come per tutte le onde, anche per la luce la velocità di propagazione dipende dal mezzo

in cui essa si propaga.

Gli esperimenti mostrano che la velocità della luce è massima quando essa si

propaga nel vuoto.

Il valore numerico della velocità della luce nel vuoto è

, smc 2 99792458 108#= .

La velocità della luce nell’aria differisce da quella nel vuoto di sole 3 parti su 1000. Per

entrambe queste velocità si usa spesso il valore approssimato

, smc 3 00 108#= .

La luce percorre trecentomila kilometri al secondo.

Questa velocità è la massima possibile ed è sempre la stessa, qualunque sia la velocità

con cui si muovono la sorgente che emette la luce o il dispositivo che la riceve.

IrinaK/Shutterstock

LA LUCE3



3. SPECCHI SFERICI

Dimostrazione del valore della distanza focale

Consideriamo un raggio di luce MN parallelo all’asse ottico CV dello specchio (figura a lato).

Quando il raggio incide sullo specchio nel punto N, si riflette in modo che l’angolo di

incidenza i MNC=t t sia uguale all’angolo di riflessione r CNF=t t .

L’angolo FCNa = t è uguale a it perché essi sono alterni interni delle rette parallele

MN e CV, tagliate dalla trasversale CN. Quindi gli angoli a e rt sono entrambi uguali a it e, quindi, sono uguali tra loro.

Di conseguenza il triangolo CFN è isoscele con CF FN= . Visto che lo specchio sferi-

co è di piccola apertura, la distanza VN è molto più piccola del raggio r = CV ; di conse-

guenza FN è circa uguale a FV ( )FN FV, .

Unendo le proprietà ricavate nei due punti precedenti otteniamo CF FN FV,= . In

questa approssimazione, quindi, F è il punto medio tra C e V e, quindi, si ha

.CV r FV f2 2= = =

6. DIMOSTRAZIONI DELLE LEGGI RELATIVE AGLI SPECCHI

Ora dimostriamo le formule (2) e (6) che sono state enunciate nel paragrafo precedente.

Dimostrazione della legge dei punti coniugati

Consideriamo una sorgente puntiforme di luce posta nel punto A dell’asse ottico; come

prima, p AV= è la sua distanza dallo specchio. Un raggio di luce esce da A, si riflette

sullo specchio in N e interseca l’asse ottico in A’ (figura sotto); qui si intersecano tutti gli

altri raggi uscenti da A e, quindi, si forma l’immagine della sorgente puntiforme. A e Al sono detti punti coniugati e da loro ha origine il nome legge dei punti coniugati.

Indichiamo di nuovo con q A V= l la distanza dell’immagine dallo specchio.

■ L’angolo di incidenza ANC i=t t è uguale all’angolo di riflessione 'CNA r=t t : ciò signi-

fica che il segmento NC rappresenta la bisettrice dell’angolo 'ANAt .

■ Per un teorema di geometria piana, in ogni triangolo la bisettrice di un angolo divide il lato apposto in due parti che sono direttamente proporzionali ai lati adiacenti; appli-cando questo teorema al triangolo ANA’ si ottiene la proporzione

' 'ACCA

ANA N

= .

CFV

M

Q

N

r i

r

r2

ACA'FV

pr

Q

N r i

q

PICCOLA APERTURA

Di solito si ritiene che lo specchio sia di piccola apertura se l’angolo

VCNt non supera la decina di gradi.

LA LUCE 3OTTICA



■ Come abbiamo visto nella dimostrazione del valore della distanza focale, in uno spec-

chio di piccola apertura il segmento AN è praticamente uguale al segmento AV e, nel-

lo stesso modo, A’N è indistinguibile da A’V. Così la proporzione precedente diventa

' '

ACCA

AVA V

= . (7)

■ La distanza AC è uguale a p r- . Alla stessa maniera la distanza CAl è uguale a r q- .

Possiamo quindi riscrivere l’espressione (7) come

p rr q

pq

--= . (8)

■ Moltiplicando entrambi i membri della (8) per il prodotto ( )p p r- otteniamo

( ) ( )p r q q p r rq rp pq2che dà- = - + = .

■ Ora dividiamo tutti i termini dell’ultima equazione per pqr, in modo da ottenere

pqrrq

pqrrp

pqrpq2

+ =YYYY

Y YYY

YYYY

.

■ Dal momento che r = 2f, l’equazione precedente può essere scritta come:

p q f1 1 1+ = ,

che è la legge dei punti coniugati (equazione (2)).

Dimostrazione della formula per l’ingrandimento

Dimostriamo la formula (6) nel caso che si riferisce alla figura a lato, ma lo stesso risul-

tato si ottiene anche negli altri casi possibili.

■ I due triangoli CAB e CA’B’ sono simili perché hanno entrambi un angolo retto e,

inoltre, gli angoli ACBt e A CBl lt sono uguali perché opposti al vertice. Quindi possia-

mo scrivere la proporzione

' ' '

ABA B

ACCA

= . (9)

■ Il membro di sinistra della (9) è ciò che abbiamo chiamato G; per la formula (7);

il membro di destra della stessa equazione, cioè il rapporto 'CA AC , è uguale a

'A V AV , cioè a q/p.

■ Abbiamo quindi ottenuto la relazione

G pq

= .

8. LA RIFLESSIONE TOTALE

Il prisma

I periscopi montati nei sommergibili consentono di guardare al di sopra dell’acqua

sfruttando il fenomeno della riflessione totale. Al loro interno vi sono dei prismi, che

sono mezzi trasparenti limitati da superfici piane non parallele.

F

CA

B

B'

A'

LA LUCE3



A La luce che penetra nel tubo è deviata due volte di 90° da due prismi che hanno la sezione a forma di triangolo rettangolo isoscele.

B Dentro ciascun prisma il raggio colpi-sce la faccia inclinata con un angolo superiore all’angolo limite ed è quindi riflesso totalmente.

ariaacqua

prisma

prisma

sommergibile

45°

45°

45°

10. LA FORMULA PER LE LENTI SOTTILI E L’INGRANDIMENTO

Dimostrazione delle formule

Dimostriamo ora le formule (13) e (14) facendo riferimento alle figure del paragrafo 10.

■ I due triangoli OAB e OA’B’ sono simili per il primo criterio di similitudine, visto che

hanno entrambi un angolo retto e che gli angoli G pq

= e A OBl lt sono uguali perché

opposti al vertice. Di conseguenza possiamo scrivere la proporzione

' ' '

ABA B

AOOA

= . (15)

■ Il primo membro della formula (15) è l’ingrandimento lineare G, mentre il secondo

membro è il rapporto q/p. Quindi la formula (14) è dimostrata.

■ Anche i due triangoli OFL e A’FB’ sono simili per il primo criterio (LOFt e FA Bl lt retti;

OFLt e A FBl lt uguali perché opposti al vertice). Inoltre i due segmenti AB e OL sono

uguali perché lati opposti del rettangolo AOLB; quindi possiamo scrivere le proporzioni

' ' ' ' ' '

OLA B

FOFA

ABA B

FOFA

&= = . (16)

■ I primi membri delle equazioni (15) e (16) sono uguali; quindi possiamo uguagliare

anche i secondi membri, ottenendo:

' '

AOOA

FOFA

pq

fq f

&= =-

. (5)

■ Eliminando i denominatori nell’equazione precedente e dividendo poi tutti gli ad-

dendi per il prodotto pqf si ottiene infine la legge delle lenti sottili (formula (13))

p q f1 1 1+ = .

LA LUCE 3OTTICA



11. MACCHINA FOTOGRAFICA E CINEMATOGRAFOLa macchina fotografica è costituita da una scatola in cui la luce entra da un’apertura (il

diaframma) che si trova dietro un sistema di lenti (l’obiettivo). Queste lenti fanno con-

vergere la luce sulla parete posteriore della scatola.

asseottico

diaframmaregolabile

pellicola

otturatoreobiettivo

Lì si trova la pellicola, che è un sottile strato di plastica su cui è depositata una sostanza

sensibile alla luce, oppure un rivelatore elettronico (detto CCD, Charge Coupled Device).

In condizioni normali la pellicola è protetta da una tendina (l’otturatore) che ferma la

luce. Quando scattiamo una fotografia, apriamo e chiudiamo rapidamente l’otturatore;

in questo modo la luce giunge sulla pellicola e la impressiona.

Invece, in una fotocamera digitale è un congegno elettronico ad «accendere» e «spe-

gnere» un rivelatore di luce.

Le pellicole devono essere sviluppate mediante un procedimento chimico, mentre i

rivelatori elettronici (detti CCD) possono passare direttamente i segnali a un dispositivo

di memoria.

L’obiettivo, che si comporta come una lente convergente, forma un’immagine

reale e capovolta dell’oggetto fotografato.

Per ottenere una fotografia nitida è necessario che l’immagine si formi esattamente sul

piano del rivelatore (pellicola o CCD). A tal fine, un dispositivo di messa a fuoco regola

la distanza tra questo e l’obiettivo, spostando leggermente in fuori o in dentro l’obiettivo.

Il cinema

Per il cinema sono necessari sia una macchina da presa che uno speciale proiettore.

La macchina da presa è una macchina fotografica che scatta, una dopo l’altra, nume-

rose fotografie del soggetto. La luce che proviene dall’otturatore può giungere a una pel-

licola che scorre, la quale memorizza le fotografie successive. Nelle videocamere digitali,

invece, la luce incide su un CCD e le informazioni così ottenute possono essere conser-

vate su un nastro magnetico o nel disco di un computer.

CCD

Il CCD è un dispositivo elettronico diviso in «pixel», su ciascuno dei quali si accumula una carica proporzionale all’intensità della luce che lo colpisce.

«Il g

ran

de

cin

ema

euro

peo

», M

azzo

tta,

Mila

no

199

2

LA LUCE3



Il proiettore è in grado di proiettare velocemente le diverse fotografie, l’una dopo l’al-

tra. Il nostro sistema visivo percepisce un’immagine continua (e non a scatti, come è in

realtà) perché è incapace di distinguere cambiamenti di luce che si susseguono troppo

rapidamente. È questo il fenomeno della persistenza delle immagini: il sistema visivo

umano riesce a distinguere fino a 30 immagini al secondo. Al di sopra di questo valore le

immagini sono «fuse» tra loro e si ha l’illusione del movimento continuo.

12. L’OCCHIOL’occhio è un globo racchiuso da una spessa membrana opaca, che presenta sul davanti

una superficie trasparente detta cornea. Dietro di essa vi è l’iride, un diaframma che ha

nel centro un foro (la pupilla) attraverso cui penetra la luce. All’interno dell’iride si trova

il cristallino, un corpo trasparente a forma di lente, circondato dal muscolo ciliare.

La pupilla è comandata, in modo inconscio, da un muscolo che ne regola il diametro

(da circa 2 mm a 9 mm) a seconda dell’intensità della luce incidente. Nell’occhio si susse-

guono tre mezzi rifrangenti:

la cornea e l’umor acqueo, entrambi con indice di rifrazione n1=1,346 ;

1. il cristallino, con indice di rifrazione n2=1,437;

2. l’umor vitreo, con indice di rifrazione n1=1,346.

Quando guardiamo un oggetto luminoso o illuminato, alcuni raggi di luce emessi dai

suoi diversi punti entrano nell’occhio attraverso la pupilla.

Dopo essere stati rifratti dai diversi mezzi trasparenti che incontrano, essi formano

un’immagine reale e capovolta sul fondo dell’occhio, dove si trova una superficie coperta

di elementi sensibili alla luce, la rètina.

L’occhio mette a fuoco gli oggetti modificando la curvatura del cristallino e, quindi,

la sua distanza focale. È questo il meccanismo dell’accomodamento, che avviene grazie

all’azione del muscolo ciliare.

Quando l’occhio sano è a riposo, il muscolo ciliare è rilasciato e il cristallino ha la

minima curvatura: si dice che l’occhio è accomodato all’infinito (punto remoto). Contra-

endo il muscolo ciliare si aumenta la curvatura del cristallino fino a formare sulla rètina

l’immagine nitida di oggetti che si trovano alla distanza di 15 cm circa dall’occhio (punto prossimo). Ciò comporta, però, un certo sforzo; invece, l’occhio può rimanere accomo-

dato senza sforzo sensibile alla distanza della visione distinta (circa 25 cm).

Presbiopia, miopia e ipermetropia

La distanza del punto prossimo aumenta in modo notevole con l’età. La perdita del po-

tere di accomodamento dell’occhio con il procedere dell’età si chiama presbiopia.

Nell’occhio sano l’immagine di un oggetto molto lontano si forma spontaneamente

sulla rètina.

Nell’occhio miope l’immagine di un oggetto lontano si forma prima della rètina. In

quello ipermètrope si forma dietro di essa.

Questi due difetti della visione si correggono ponendo davanti all’occhio una lente, che

riporta l’immagine proprio sulla rètina.

PUNTO PROSSIMO

A 20 anni il punto prossimo è a 10 cm, ma a 50 anni può arrivare a 40 cm dall’occhio.

LA LUCE 3OTTICA



A Nell’occhio miope il sistema è troppo convergente e l’immagine si forma prima della rètina. Il difetto si correg-ge con una lente divergente.

B Nell’occhio ipermètrope il sistema è poco convergente e l’immagine si for-ma al di là della rètina. Il difetto si cor-regge con una lente convergente.

occhio miope

e la sua correzione

occhio ipermetrope

e la sua correzione

LA LUCE3



13. MICROSCOPIO E CANNOCCHIALEDue strumenti che permettono di estendere le potenzialità della nostra vista sono il mi-croscopio e il cannocchiale. Entrambi gli strumenti sono costituiti da due lenti, in genere

convergenti: l’obiettivo, quella più vicina all’oggetto, e l’oculare, quella più vicina all’oc-

chio.

Il microscopio

Nel microscopio, l’oggetto AB che si vuole osservare è posto appena al di là del fuoco Fob

dell’obiettivo.

A Questa lente forma una prima imma-gine A B1 1 reale, ingrandita e capovol-ta in una posizione intermedia tra l’o-culare e il suo fuoco Foc .

B A B1 1 costituisce l’oggetto per l’ocula-re, che ne forma una seconda immagi-ne A B2 2 virtuale, ingrandita e diritta rispetto a A B1 1 (cioè capovolta rispet-to ad AB).

F'oc

Fob

Foc

F'ob

oculare

obiettivo

oggetto B A

A1 B1

Fob

obiettivo

oggetto B

immagine

AA2 B2

Foc

F'ob

A1 B1

oculare

F'oc

Il microscopio è progettato in modo che l’immagine A B2 2 si formi a una distanza

dall’occhio pari alla distanza della visione distinta.

Nel microscopio si forma un’immagine virtuale e ingrandita.

Con i migliori microscopi si ottengono ingrandimenti di un migliaio di volte. È così

possibile vedere oggetti dell’ordine del micrometro (10−6 m), come le cellule e i batteri.

Il cannocchiale

Il cannocchiale astronomico serve per osservare oggetti che si trovano molto lontani. Per

le proprietà delle lenti convergenti, l’immagine A B1 1 di un oggetto molto lontano (che

SISTEMA DI LENTI

Oculare e obiettivo sono spesso costituiti da un appropriato sistema di lenti.

LA LUCE 3OTTICA



nella figura non si vede) è reale, capovolta e rimpicciolita e si forma proprio in corri-

spondenza del secondo fuoco Fob dell’obiettivo.

F'ocFoc Fob

oculare

obiettivo

A1

B1

A2

B2

F'oc

Il punto Fob è posto tra l’oculare e il suo primo fuoco Foc ; così l’oculare funziona da lente

d’ingrandimento e forma un’immagine A B2 2 di A B1 1 che è virtuale, ingrandita e diritta

(cioè capovolta rispetto all’oggetto osservato).

Nei cannocchiali terrestri si pongono, lungo il cammino dei raggi, altre lenti o prismi

che ribaltano una seconda volta l’immagine, in modo che l’immagine finale sia diritta.

I binocoli sono formati da due cannocchiali terrestri fissati l’uno all’altro alla distanza

degli occhi.

obiettivo

prismi

oculare

L’ingrandimento angolare del cannocchiale

Il cannocchiale non ingrandisce gli oggetti, come fa il microscopio. Per esempio, l’im-

magine della Luna vista nel cannocchiale è molto più piccola della Luna stessa. Però

il cannocchiale crea un’immagine che è molto più vicina al nostro occhio dell’oggetto

osservato.

Ciò ci permette di vedere la Luna (e ogni altro corpo) sotto un angolo visuale maggiore

e quindi di vedere molti più dettagli; infatti l’immagine della Luna che si forma sulla

rètina è più grande di quella che si ottiene osservando la Luna a occhio nudo.

Il rapporto tra gli angoli sotto cui l’occhio vede l’immagine con o senza cannocchiale

si chiama ingrandimento angolare.

LA LUCE3



ESERCIZI

1. I RAGGI DI LUCE


1 È corretto dire che la Luna è una sorgente luminosa?

2 Quali fra i seguenti materiali sono traslucidi?

Vetro smerigliato, carta oleata, policarbonato, alabastro, ghiaccio.

ESERCIZI NUMERICI

6 Per una installazione artistica un vecchio disco in vinile viene appeso a una fune a 2,6 m di distanza dalla parete della sala, in modo da stare parallelo ad essa. Quando il disco viene illuminato da un faro lu-minoso posto sul suo asse a 1,0 m da essa, l’ombra proiettata sulla parete della sala ha raggio 1,1 m.

Calcola il raggio del disco.

Successivamente la sorgente luminosa viene fatta oscillare avanti e indietro. Quando il faro si avvi-cina al disco, il raggio dell’ombra aumenta o di-minuisce?

Calcola a quale distanza dal disco si trova la sor-gente luminosa quando l’area dell’ombra risulta il triplo della superficie del disco.

[0,31 m; 3,6 m]

2. LE LEGGI DELLA RIFLESSIONE E GLI SPECCHI PIANI


7 In ambienti di piccole dimensioni, per dare l’im-pressione di spazi più ampi, si possono posizionare degli specchi. Perché?

8 Il camerino di un negozio di abiti ha come pareti due specchi piani tra loro perpendicolari. Carlotta si mette davanti ad essi.

Quante immagini di Carlotta si formano?

[3]

3. SPECCHI SFERICI


13 La tabella si riferisce a uno specchio sferico di piccola apertura. Scegli dall’elenco la conseguenza corretta.

UN RAGGIO CHE... VIENE RIFLESSO

1. passa per il fuoco

2. passa per il centro

3. arriva parallelo all’asse ottico

4. incide nel vertice

a. su se stesso, dato che l’angolo di incidenza è zero.

b. nel fuoco dello specchio.

c. parallelamente all’asse ottico.

d. in modo simmetrico rispetto all’asse ottico.

14 Se l’uomo non fosse dotato della vista, le immagi-ni virtuali esisterebbero ugualmente? E quelle reali? Motiva le risposte.

4. COSTRUZIONE DELL’IMMAGINE PER SPECCHI SFERICI


21 Carla vuole individuare sperimentalmente la posi-zione del centro e del fuoco di uno specchio conca-vo. Per farlo fa scorrere una penna sull’asse ottico dello specchio e ne osserva le immagini catturate su uno schermo.

Da cosa può dedurre la posizione indicativa del centro?

Carla non conosce la relazione tra raggio e fuoco. Come può individuare la posizione del fuoco del-lo specchio a partire dalle immagini della penna?

22 Monica utilizza uno specchio di distanza focale 24 cm per vedere l’immagine ingrandita dei suoi oc-chi.

Lo specchio di Monica è concavo o convesso?

A quale distanza dallo specchio deve porsi per avere l’ingrandimento massimo?

Monica si allontana dallo specchio: fino a quale distanza riesce ancora a vedere un’immagine in-grandita dei suoi occhi?

Costruisci graficamente l’immagine.

23 Marco si trova in un grande supermercato dove è collocato uno specchio convesso per la vigilanza.

LA LUCE 3OTTICA



Non riuscendo a leggere l’etichetta di un prodotto, lo avvicina allo specchio per vederne l’immagine in-grandita.

Marco riesce a vedere l’immagine ingrandita dell’etichetta? Motiva la risposta.

Il suo amico Stefano si trova a qualche corsia di distanza dietro a Marco. È possibile che Marco veda nello specchio l’immagine di Stefano? Mo-tiva la risposta.

24 Filippo e Lucia posizionano due scatole uguali sull’asse ottico di due specchi identici. Le due scato-le sono posizionate a distanze diverse dai rispettivi specchi. L’immagine ottenuta da Filippo ha le stesse dimensioni di quella ottenuta da Lucia.

Le due immagini sono reali o virtuali? Ingrandite o rimpicciolite? Motiva la risposta.

Gli specchi sono concavi o convessi?

Costruisci graficamente la formazione delle due immagini.

25 Paola vuole posizionare in salotto uno specchio che rifletta l’immagine rimpicciolita di un vaso di fiori.

Paola può usare sia uno specchio concavo che uno convesso?

A quale distanza dallo specchio deve posizionare il vaso nel caso in cui utilizzi lo specchio concavo? Dove si forma l’immagine del vaso rispetto all’og-getto? A quale distanza dallo specchio? Guardan-do lo specchio si vede l’immagine del vaso?

Se Paola utilizza uno specchio convesso, quali so-no le caratteristiche dell’immagine?

26 Completa la tabella.

TIPO DI SPECCHIO OGGETTO IMMAGINE INGRANDI-

MENTO

sferico concavo

nel centro

sferico convesso

davanti allo specchio

sferico concavo

oltre il centro

sferico concavo

reale, capovolta

ingrandita

sferico concavo

tra il fuoco e lo specchio

27 Un barattolo si trova sull’asse ottico di uno specchio concavo e viene lentamente allontanato da esso.

In quale punto tende a formarsi l’immagine?

Avvicinando il barattolo al fuoco dello specchio, a quale distanza tende a formarsi l’immagine? Vale sia se il barattolo si avvicina a sinistra che a destra del fuoco? D

28 Un’asticella si riflette in uno specchio sferico conca-vo di raggio 80 cm posto a 30 cm di distanza.

Costruisci graficamente l’immagine dell’asticella.

L’asticella viene ora allontanata dallo specchio di altri 60 cm. Costruisci graficamente l’immagine nella nuova posizione.

5. LA LEGGE DEI PUNTI CONIUGATI E L’INGRANDIMENTO

ESERCIZI NUMERICI

35 Per truccarsi gli occhi, Martina utilizza uno spec-chio da estetista di raggio di curvatura 48 cm e si po-siziona a una distanza doppia della distanza focale.

Di quanto risulta ingrandito il suo occhio?

Per vedere attraverso lo specchio il suo occhio di dimensioni doppie, deve avvicinarsi o allontanar-si dallo specchio? Di quanti centimetri?

[36 cm]

36 Luca posiziona una bottiglia di fronte ad uno spec-chio sferico di distanza focale 15 cm in modo da proiettarne l’immagine tre volte più grande su uno schermo.

A quale distanza dallo specchio deve posizionare lo schermo?

Matteo prende la bottiglia per bere e quando la risistema l’immagine che si forma nello specchio è ancora ingrandita di tre volte. Matteo osserva lo schermo sul quale però non si forma alcuna im-magine. Di quanti centimetri ha spostato la botti-glia rispetto allo specchio?

Guardando attraverso lo specchio, l’immagine di Matteo differisce da quella di Luca? In cosa? Rap-presenta graficamente le due situazioni.

7. LE LEGGI DELLA RIFRAZIONE


38 È corretto dire che aumentando l’angolo di inciden-za su una superficie di separazione tra due mezzi, anche l’angolo rifratto aumenta?

39 Bernardo è in viaggio in automobile e all’improvvi-so un sasso rimbalza sul parabrezza (che ha indice di

LA LUCE3



rifrazione 1,5) incrinandolo. Per tentare di riparar-lo, il carrozziere invece di sostituire l’intero vetro, inietta nella fessura provocata dal sasso una resina sintetica. Per rendere invisibile la fessura, la luce de-ve continuare in linea retta quando passa dal vetro alla resina.

Per ottenere questo effetto, quanto deve valere l’indice di rifrazione della resina iniettata nella fessura?

40 Che cosa succede quando il raggio incidente è per-pendicolare alla superficie di separazione?

8. LA RIFLESSIONE TOTALE


51 Tommaso è in una stanza con il soffitto in vetro. Al centro c’è un divisorio di altezza di poco maggiore a quella di Tommaso.

Tommaso riesce a vedere cosa c’è dietro il diviso-rio osservando il soffitto e sfruttando il fenomeno della riflessione totale?

52 Per quale motivo il fenomeno della riflessione totale non si verifica nel passaggio da un mezzo meno ri-frangente ad uno più rifrangente?

ESERCIZI NUMERICI

57 NATURA L’acqua che non c’è

L’indice di rifrazione della luce in aria non è costan-

te ma è inversamente proporzionale alla temperatu-

ra, e quindi dipende dalla densità dell’aria che attra-

versa. Esso risulta quindi minore negli strati d’aria

più caldi e maggiore nelle strati d’aria più freddi.

Una conseguenza di ciò sono i fenomeni ottici del

Miraggio (o miraggio inferiore) e della Fata Morga-

na (o miraggio superiore).

MiraggioDurante delle giornate particolarmente afose, in zo-

ne molto calde, può capitare che la superficie ter-

restre si surriscaldi; gli strati d’aria a contatto con

essa, di conseguenza, diventano più caldi e meno

densi degli strati superiori.

Quando gli strati d’aria più bassi sono più caldi, e

quindi meno rifrangenti, un raggio luminoso che si

propaga attraverso essi viene progressivamente de-

viato dalla perpendicolare fino a quando, raggiunto

l’angolo limite, si riflette totalmente. A un osserva-

tore che guarda un oggetto in lontananza arrivano

di conseguenza due raggi: uno diretto, che attraver-

sa uno strato a temperatura costante e uno rifratto,

che attraversa strati man mano più caldi. L’effetto

è quello di uno specchio: l’osservatore ha l’impres-

sione che l’oggetto si specchi in una pozza d’acqua

(immagine del cielo) e ne vede in essa l’immagine

capovolta.

Esempi di miraggi inferiori sono le oasi nei deserti e

l’immagine schiacciata del Sole durante il tramonto

sul mare.

Fata MorganaViceversa, in zone superficiali fredde come grandi

distese di acqua fredda o ghiacciata, gli strati atmo-

sferici più bassi possono subire bruschi raffredda-

menti. In questo caso, più si sale più la temperatura

aumenta e l’indice di rifrazione diminuisce. All’os-

servatore che guarda un oggetto in lontananza ar-

rivano ancora due raggi, uno diritto e uno riflesso:

l’immagine viene vista fluttuare in cielo.

Esempi di miraggi superiori sono le immagini di

città fluttuanti in aria (fenomeno tipico nello stretto

di Messina) e l’avvistamento di navi e isole in mare

prima ancora che esse siano all’orizzonte.

________________________________________Durante una giornata molto afosa, Jacopo è in au-

tostrada e vede in lontananza un’auto muoversi e

specchiarsi su una strada bagnata.

Si verifica un miraggio inferiore o superiore?

Come cambia l’immagine dell’automobile man mano che Jacopo si avvicina ad essa? Motiva la risposta rappresentando graficamente la forma-zione dell’immagine rispetto ad almeno due di-stanze diverse dall’oggetto.

58 NATURA L’isola che non c’è

Secondo una saga nordica, il norvegese Eric il Ros-

so navigò dall’Islanda e scoprì la Groenlandia dopo

aver visto l’isola in un miraggio.

Di che tipo di miraggio si tratta?

Come è stato possibile? Nella figura, disegna il cammino dei raggi luminosi per spiegare il mi-raggio.

Aria caldadensa aria fredda

Groenlandia Islanda

Arria cadensa arria

LA LUCE 3OTTICA



9. LENTI SFERICHE


59 Con una lente convergente è possibile ottenere un’im-magine reale e diritta? E virtuale e rimpicciolita?

60 Una lente convergente produce un’immagine reale che può essere raccolta su uno schermo.

Dove e come deve essere posizionato uno scher-mo per vedere su esso l’immagine a fuoco dell’og-getto?

Una volta che l’immagine si forma sullo schermo, se allontano quest’ultimo dalla lente, l’immagine si vede lo stesso? Come risulta l’immagine?

Per modificare le dimensioni dell’immagine mantenendo fissa la lente, devo spostare l’ogget-to, lo schermo o entrambi? Motiva la risposta for-nendone anche una rappresentazione grafica.

61 Marta vuole produrre l’immagine reale rimpiccioli-ta di un bicchiere utilizzando una lente che ha rag-gio di curvatura 24 cm.

Che tipo di lente deve usare?

A quali distanze dalla lente deve porre il bicchie-re? Rappresenta graficamente la situazione.

62 Quando si osserva un foglio di giornale con una len-te d’ingrandimento si vede l’immagine diritta e in-grandita delle lettere.

Che tipo di lente produce questo effetto?

Se la lente ha una distanza focale di 8 cm, a quale distanza da essa bisogna posizionare il foglio?

L’immagine che si vede delle lettere è virtuale o reale? Rispetto all’oggetto, l’immagine da che parte della lente si forma? Rappresenta grafica-mente la formazione dell’immagine.

63 Franco è in casa quando suonano al campanello. Guardando attraverso la lente dello spioncino della porta di ingresso, Franco vede l’immagine dell’ospi-te rimpicciolita.

La lente dello spioncino è convergente o diver-gente?

L’immagine che Franco vede è reale o virtuale? Rispetto all’ospite, da che parte della lente si for-ma? Rappresentane graficamente la formazione.

L’immagine dell’ospite può essere impressa su uno schermo?

64 DOMANDA SVOLTA

Il collezionista

Un collezionista vuole osservare un francobollo at-

traverso una lente d’ingrandimento con distanza

focale pari a 16 cm.

In quali regioni dell’asse ottico il collezionista può posizionare la lente affinché si formi un’immagine di dimensioni triple di quelle del francobollo?

Quali sono le caratteristiche delle immagini che si formano? Il collezionista riesce ad osservare at-traverso la lente tutte le immagini di dimensione tripla individuate del francobollo?

65 Utilizzando una lente, Chiara vuole bruciare un fo-glio con i raggi del sole.

Che tipo di lente deve usare?

A quale distanza dal foglio deve posizionare la lente? Motiva la risposta dando anche una rap-presentazione grafica della situazione.

Chiara come può sapere quando la lente è alla di-stanza giusta dal foglio?

ESERCIZI NUMERICI

66 Su un banco ottico da laboratorio, un cubo è fissa-to a 10 cm dal supporto di una lente sferica. Enrico ha a disposizione tre lenti di distanze focali di –8 m, 15 m e 7 m e vuole imprimere l’immagine del cubo a fuoco su uno schermo posto dalla parte opposta della lente.

Le tre lenti sono convergenti o divergenti?

Quali lenti può utilizzare per vedere l’immagine del cubo sullo schermo?

67 Roberto posiziona un bottone davanti ad una lente convergente per studiarne l’immagine su uno scher-mo.

Osservando lo schermo, Roberto non vede alcuna immagine. Quali sono i due motivi che possono portare all’assenza dell’immagine sullo schermo?

Come può verificare in quale delle due situazioni si trova?

Come può determinare il fuoco della lente?

Roberto decide poi di produrre l’immagine in-grandita del bottone. Deve allontanare o avvici-nare il bottone alla lente? Qual è l’intervallo di distanze possibili per vedere l’immagine ingran-dita?

LA LUCE3



10. LA FORMULA PER LE LENTI SOTTILI E L’INGRANDIMENTO

ESERCIZI NUMERICI

75 Un barattolo alto 19,5 cm viene posto davanti ad una lente di distanza focale 14,4 cm. L’immagine reale si forma a 23,7 cm dalla lente. Senza spostare l’oggetto si sostituisce la lente con una nuova lente di distanza focale +23,4 cm.

La seconda lente è convergente o divergente?

L’immagine prodotta dalla seconda lente è reale o virtuale? È diritta o capovolta rispetto all’im-magine prodotta dalla prima lente? E rispetto al barattolo? Motiva la risposta.

Quale lente produce un’immagine più grande del barattolo? Calcola l’altezza dell’immagine più grande del barattolo.

[34,3 cm]

76 Durante un lavoro, a un falegname entra una scheggia di legno nel dito. Un suo collaboratore per estrargliela si aiuta con una lente che forma un’im-magine a una distanza dalla lente di 18 cm e ingran-dita del doppio.

Calcola la posizione della lente e rappresenta gra-ficamente la formazione dell’immagine.

Calcola la distanza focale della lente.

[9,0 cm; 18 cm]

77 Per proiettare su un muro l’immagine ingrandita di un drago alto 22 cm, un illusionista interpone tra il muro e il drago una lente convergente. Quando la distanza tra la lente e il drago è di 23 cm, il drago sul muro è alto 2,0 m.

Determina la posizione dell’immagine e rappre-senta graficamente la formazione dell’immagine.


L’illusionista riesce nel suo intento o c’è qualcosa

di non corretto nell’immagine che produce? Co-me deve posizionare il drago?

[2,1 m; 21 cm]

78 Sara osserva una pietra con una lente convergente di distanza focale 12 cm. L’immagine della pietra si forma dalla parte opposta dell’oggetto rispetto alla lente, ad una distanza di 23 cm.

Guardando la pietra attraverso la lente, riesce Sa-ra a vedere l’immagine? Rappresenta graficamen-te la formazione dell’immagine.

Calcola la posizione della pietra.

11. MACCHINA FOTOGRAFICA E CINEMATOGRAFO


79 Un proiettore di diapositive è costituito da una len-te convergente posta di fronte ad uno schermo che cattura l’immagine prodotta. Per vedere l’immagi-ne a fuoco sullo schermo, la diapositiva viene po-sta ad una distanza dalla lente compresa tra f e 2f . Come deve essere inserita la diapositiva? Motiva la risposta e rappresenta graficamente la formazione dell’immagine.

80 L’ingrandimento in larghezza della lente di una

macchina fotografica è uguale a quello in altezza?

81 Sul corpo macchina di una fotocamera non auto-matica si possono selezionare diversi valori della ve-locità dell’otturatore, che controlla la quantità di lu-ce che arriva sulla pellicola: 1000, 500, 250, 125, 60, 30, 15, 8, 4, 2, 1. Un fotografo ha scelto di utilizzare una velocità di 1/125: ciò indica che ad ogni scatto l’otturatore rimane aperto per 1/125 di secondo.

Se si vuole aumentare la quantità di luce che entra nella fotocamera, quali valori di velocità occorre scegliere?

ESERCIZI NUMERICI

82 PROBLEMA SVOLTO

Distanza lente-oggetto e ingrandimentoUn proiettore di diapositive funziona grazie a una lente convergente che ha

un potere diottrico di 10,00 diottrie. La distanza tra la diapositiva e lo scher-

mo è di 3,290 m.

Quale deve essere la distanza tra lente e diapositiva perché la sua immagine sia a fuoco sullo schermo?

Quanto vale l’ingrandimento della diapositiva quando la sua immagine è a fuoco?

diapositiva

lente

D = 10,00 m–1

p = ?G = ?

luceproiettore

L = 3,290 m

LA LUCE 3OTTICA



DATI E INCOGNITE

Grandezze Simboli Valori Commenti

DATIPotere diottrico della lente D 10,00 m−1

Distanza diapositiva-schermo L 3,290 m

INCOGNITEDistanza diapositiva-lente q ?

La diapositiva è l’oggetto; l’immagine si forma sullo schermo

Ingrandimento G ?

RAGIONAMENTO

• La distanza L = 3,290 m tra diapositiva e schermo è uguale alla somma di p e di q:

.p q L pq L &+ = -=

• Tenendo conto di ciò e del fatto che vale 1/f = D = 10,00 m−1, l’equazione delle lenti sottili può essere scritta come

.Dp L p

1 1+ =-

• Se si eliminano i denominatori nella formula precedente si ottiene la relazione

Dp2 − DLp + L = 0

• Quella trovata è un’equazione di secondo grado nella variabile p. Le sue soluzioni sono

( )p DDL DL DL

24

,1 2

2!=

-

• Un’equazione di secondo grado ha due soluzioni, ma soltanto una di quelle che troveremo ha significato fisico.

RISOLUZIONE

Dai dati del problema otteniamo

DL = (10,00 m−1) × (3,290 m) = 32,90.

Ora possiamo calcolare i valori numerici delle soluzioni

( , ), ( , ) ,

,, , ,

,.

m

mm

m

p

pp

2 10 0032 90 32 90 4 32 90

20 0032 90 30 84 0 103

3 187

,1 2 1

2

1

2&

#! #

!

=-

=

==

=

-

*La soluzione fisicamente accettabile è p1: in un proiettore, diapositiva e lente distano pochi centimetri. Quindi la

soluzione del problema è data da

, ,

( , , ) ,

m cm

m m

pq L p

0 103 10 3

3 290 0 103 3 187

= =

= - = - =*Siamo in grado di calcolare l’ingrandimento

,,

, .mmG

qp 0 103

3 18730 9= = =


La lente del proiettore di diapositive ha una distanza focale f = 1/10,00 m = 10,00 cm. La diapositiva è posta a 10,3

cm dalla lente, cioè a una distanza dalla lente compresa tra f e 2f . Quindi l’immagine che si forma è reale, ingran-

dita e capovolta. È per questo che, per vedere l’immagine in modo corretto nello schermo, la diapositiva va inse-

rita nel proiettore «a testa in giù».

LA LUCE3



83 Durante uno spettacolo teatrale due spettatori fo-tografano la scena sul palco. Il primo spettatore si trova a 7,00 m dal palco e utilizza una macchina fo-tografica con teleobiettivo di distanza focale 0,480 m. Il secondo spettatore si trova a 30,0 m dal palco.

Quale dovrebbe essere la distanza focale dell’o-biettivo del secondo spettatore affinché la sua fotografia abbia le stesse dimensioni di quella del primo?

[22,3 cm]

84 Alessandro vuole proiettare una diapositiva da 40,0 mm che lo ritrae in piedi su uno sgabello. Per farlo sistema un proiettore costituito da una lente di focale 28,0 cm di fronte ad uno schermo quadrato di lato 2,50 m.

A quale distanza dallo schermo Alessandro deve posizionare il proiettore affinché l’immagine co-pra tutto lo schermo?

[18,0 m]

85 Un fotografo utilizza una fotocamera dotata di una lente di potere diottrico 8,3 diottrie e di una pellico-la di dimensione 42 mm.

A quale distanza da un edificio alto 8,0 m si deve posizionare il fotografo perché sulla pellicola si formi l’immagine intera dell’edificio?

[14 cm]

86 Una macchina fotografica restituisce immagini rim-picciolite di 12,8 × 10–3. Un oggetto è a fuoco quan-do dista 1,85 m dalla macchina fotografica.


[23,4 mm]

87 Lucia, in riva al mare, vuole fotografare la sua amica Arianna che si trova in acqua a 2,1 m da lei. Dietro ad Arianna, a 6,0 km di distanza dalla riva è anco-rata una barca. La macchina fotografica di Lucia è costituita da una lente con potere diottrico pari a 22 diottrie e distante 4,6 cm dalla pellicola. Lucia scatta una foto.

Sulla fotografia sarà perfettamente a fuoco Arian-na o la barca?

Per mettere a fuoco l’altro soggetto è necessario variare la posizione della lente rispetto alla pelli-cola? Di quanto?

[1 mm]

88 Paolo inserisce una diapositiva a 10 cm dalla lente di un proiettore di focale 15 cm. La lente dista 3,8 m da uno schermo.

Paolo vede l’immagine sullo schermo?

A quale distanza dallo schermo Paolo deve porre la diapositiva per vedere l’immagine a fuoco?

Calcola l’ingrandimento del proiettore.

[4,0 m; 24]

12. L’OCCHIO


89 Un ottico prescrive a un paziente miope la sua cor-rezione per il suo difetto in termini di distanze focali delle lenti.

La correzione è la stessa sia che il paziente indossi occhiali o lenti a contatto? Motiva la risposta.

L’immagine formata dalle due diverse lenti si for-ma alla stessa distanza dal cristallino? Motiva la risposta.

90 Anna e Alice vogliono accendere un fuoco con un paio di occhiali, utilizzando la luce del Sole. Anna è miope, Alice è ipermetrope.

Quale paio di occhiali devono usare, quello di Anna o quello di Alice? Perché?

91 Completa la tabella. Per ciascun difetto della vista, indica la sua origine scegliendo la frase opportuna dal’elenco, e il tipo di lente per la correzione del di-fetto.

ORIGINE DEL DIFETTO

CORREZIONE DEL DIFETTO

1. miopia

2. ipermetropia

3. presbiopia

a. l’immagine si forma dietro la retina

b. il punto prossimo si allontana

c. l’immagine si forma davanti alla retina

92 Nella prescrizione per costruire occhiali è scritto f = + 60 cm. Che tipo di difetto di vista ha la persona?

ESERCIZI NUMERICI

93 Durante una lezione di danza, la maestra e un grup-po di allieve ballano di fronte ad una parete a spec-chio. La maestra riesce a vedere in modo chiaro fino a 5,0 m.

A quale distanza dallo specchio deve porsi per vedere nitidamente una ragazza che balla 3,5 m dietro di lei?

[0,75 m]

LA LUCE 3OTTICA



94 STORIA Il difetto di Nerone Plinio il Vecchio racconta che Nerone guardava i

gladiatori con uno smeraldo di sezione concava.

A quale tipo di difetto di vista si può supporre fosse soggetto Nerone?

L’immagine dei gladiatori che combattevano a 25 m di distanza si formava a 12 cm dalla lente, tenuta a 2,0 cm dal suo occhio. Con quale raggio doveva essere forgiato lo smeraldo?

[20 cm]

95 Pietro trova un paio di occhiali le cui lenti hanno distanza focale 31 cm. Attraverso una lente osserva una sedia che appare tre volte più piccola.

Il padrone degli occhiali è miope o ipermetrope?

Per vederla rimpicciolita di 4 volte, deve avvici-nare o allontanare la lente dalla sedia?

96 Quando Margherita mette a fuoco oggetti molto lontani, il raggio di curvatura dell’occhio è 30 mm.

Calcola la distanza retina-cristallino.

[1,5 cm]

97 Elena, che ha il punto prossimo a 1,2 m di distanza dagli occhi, usa un paio di occhiali per leggere un libro alla distanza della visione distinta. La distanza tra le lenti e gli occhi è di circa 2,0 cm.

Che tipo di lenti usa Elena? Che difetto di vista ha?

A quale distanza dagli occhi devono formare l’immagine le lenti correttive?

Qual è il punto remoto di Elena senza occhiali? Cambia quando si mette gli occhiali?

13. MICROSCOPIO E CANNOCCHIALE


98 Rispondi alle seguenti domande.

In un microscopio, dove si trova (rispetto all’o-biettivo) l’immagine fornita dall’obiettivo?

E in un cannocchiale?

99 Una persona miope deve mettere gli occhiali per osservare un oggetto attraverso un cannocchiale? Se non ha con sé gli occhiali, come si deve comportare?

100 Un astrofilo vuole costruire un cannocchiale arti-gianale. In casa ha tre lenti rispettivamente di poten-za 3 diottrie, 14 diottrie e -2 diottrie.

Quali lenti deve utilizzare?

Quale lente deve utilizzare come obiettivo?

ESERCIZI NUMERICI

101 Un microscopio è composto da due lenti conver-genti. L’obiettivo ha una distanza focale di 12 mm; l’oculare ha una distanza focale di 32 mm. La distan-za fra le lenti è di 72 mm. La cellula embrionale di un pesce da osservare è posta su un vetrino a una distanza di 16 mm dall’obiettivo.

Costruisci graficamente l’immagine finale della cellula.

Quanto dista l’immagine virtuale risultante dall’oculare?

[96 mm]

102 Un biologo vuole analizzare un insetto di 3,0 mm al microscopio. Pone l’insetto a 2,5 cm dalla len-te obiettivo di distanza focale 2,0 cm. Per osserva-re l’immagine alla distanza della visione distinta, il biologo regola le due lenti ad una distanza di 20 cm.

Calcola le dimensioni dell’immagine virtuale che si forma dell’insetto.

[3,0 cm]

103 L’oculare del telescopio acromatico di Ramsed è costituito da due lenti piano-convesse di uguale di-stanza focale, disposte con le parti convesse l’una di fronte all’altra. Quando l’immagine dell’obietti-vo del telescopio si forma ad una distanza pari a f /4 dalla prima lente del sistema oculare, l’immagine finale si forma all’infinito.

Calcola, in funzione del fuoco, la distanza tra le due lenti formanti l’oculare.

Suggerimento: le lenti sono entrambe convergenti.

[2/3 f]

104 Linda osserva la Luna con un cannocchiale il cui oculare ha distanza focale di 8,5 cm e distante 30,0 cm dall’obiettivo. L’immagine reale si forma a 5,6 cm dall’oculare.

Calcola il fuoco della lente obiettivo.

Per osservare l’immagine prodotta dal cannoc-chiale l’occhio di Linda si deve sforzare?

[24 cm]

LA LUCE3



PROBLEMI GENERALI

6 La scrivania di Federica è posta a 1,2 m di distanza da una finestra. Quando Federica è seduta alla scri-vania vede dalla finestra, all’altezza dei suoi occhi, l’insegna luminosa alta 60 cm di un negozio. Per oscurarla attacca sul vetro una striscia di cartoncino alta 8,5 cm.

Quanto dista l’insegna dalla finestra?

Federica avvicina la scrivania alla finestra di 50 cm: l’insegna rimane coperta? Qual è la mas-sima altezza di un’insegna che il cartoncino riesce a coprire?

[7,3 m; 97 cm]

7 Dario vuole proiettare la sua immagine riflessa da uno specchio sferico su uno schermo posto a 1,2 m dietro di lui. Si mette a 80 cm da esso e la sua imma-gine si forma a 48 cm dallo specchio.

Dario riesce a vedere la sua immagine a fuoco sullo schermo?

Per vedere l’immagine a fuoco sullo schermo de-ve avvicinarsi o allontanarsi dallo specchio? Di quanti centimetri?

In questa nuova posizione l’immagine riflessa è ingrandita o rimpicciolita? Di quante volte?

Dario dimezza la sua distanza dallo specchio. Se sposta lo schermo riesce ancora a catturare la sua immagine?

[40 cm; 3;]

8 FACCIAMO DUE CONTI Di chi sono gli occhiali?Francesca trova in classe un paio di occhiali e os-

serva che tenendoli sotto la luce solare diretta, ogni

lente produce sul banco l’immagine del Sole a circa

40 cm dalle lenti. Quando Francesca indossa gli oc-

chiali, la loro distanza dagli occhi è di 1,5 cm.

Quale difetto di vista correggono gli occhiali? Motiva la risposta.

Quanto vale la distanza focale delle lenti?

[40 cm]

9 Un palo è piantato in mare a una profondità di 150 cm e sporge di 220 cm dalla superficie dell’ac-qua. Il Sole è a un’altezza di 40° sull’orizzonte.

Calcola l’angolo rispetto alla perpendicolare alla superficie dell’acqua con il quale i raggi solari si rifrangono in acqua.

[35°]

10 Giorgio, Alberto e Francesco sono di fronte a uno specchio piano come mostrato in figura.

Disegna i raggi che permettono a Giorgio e ad Al-berto di vedere Francesco attraverso lo specchio.

I raggi individuati incidono sullo specchio di-stanziati di 0,60 m. Quanto sono distanti tra loro Giorgio e Alberto?

[1,4 m]

11 Due lenti convergenti sono poste in modo che il fuoco della prima lente coincida con il fuoco della seconda. Rappresenta graficamente la situazione e costruisci l’immagine che si forma dei raggi del Sole.

Quanto vale il potere diottrico dello strumento?

GIOCHI DI ANACLETO

5 In figura è rappresentata una prova della vista. Alle spalle della paziente sta una tabella con delle lettere che essa legge in uno specchio piano parallelo alla tabella.

A che distanza dagli occhi della paziente si trova l’immagine della tabella nello specchio?

2 m 3 m

HD

FZ

VX

T

DL

VB

NC

MF

FN

PO

HV

DL

X

CH

NF

LD

TU

PZ

IB

SD

VO

XT

MU

AC

FL

UM

DP

HJ

K

BP

EZ

KO

EU

LF

H

a. 2 m

b. 4 m

c. 5 m

d. 7 m


6 In quale delle seguenti figure il disegno che mostra il cammino del raggio luminoso NON è corretto?

ariaaria

aria

aria

90°

90°

90°

90°

90°

acquavetro

vetro

lente di vetro

A

C D

B


LA LUCE 3OTTICA



7 Un fascio di raggi paralleli di luce viene inviato su una lente convergente.

Quale dei seguenti schemi rappresenta ciò che ac-cade ai raggi di luce?

A C DB


8 Un osservatore O, di fronte ad uno specchio, ve-de una sorgente di luce S. Considerando la figura, in quale punto gli apparirà posizionata l’immagine della sorgente S?

P

Oosservatore

Ssorgente

specchio

Q

R

a. P

b. Q

c. R

d. L’immagine non si può vedere da O.


9 Un pesce si trova ad una certa profondità. Una per-sona lo osserva dal punto O’ proprio sulla sua verti-cale. La persona stima che il pesce sia ...

a. ... ad una profondità maggiore di quella a cui è

realmente.

b. ... alla stessa profondità di quella reale.

c. ... ad una profondità minore di quella a cui è re-

almente.

d. ... ad una profondità che appare maggiore, ugua-

le o minore di quella reale a seconda della pro-

fondità a cui sta il pesce.


10 In figura sono schematizzati due fasci di raggi lu-minosi: uno incide su un dispositivo ottico e l’altro emerge da esso. L’immagine del dispositivo però è stata coperta.

X

Quale dei seguenti dispositivi potrebbe essere quel-

lo criptato?

a. Una lente convergente.

b. Una lastra di vetro molto spessa.

c. Uno specchio piano.

d. Una lente divergente.


Termologia

2

L’Alaska Pipeline è l’oleodotto che trasporta il greggio, attraverso l’Alaska, dalMar Glaciale Artico fino all’Oceano Pacifico. È costruito metà sotto terra emetà all’esterno, e la parte sopraelevata ha una caratteristica forma a zig-zag.

1 La temperaturaunità

� Perché l’oleodotto ha la forma a zig-zag? LA RISPOSTA A PAG. 29

Alas

ka P

ipel

ine,

Cor

bis,

G. N

eri

3

UNITÀ 1 • LA TEMPERATURA

1. Il termometroLa sensazione di caldo e di freddo è soggettiva: toccando un pezzo di ferro si hauna sensazione di freddo, mentre un pezzo di legno nello stesso ambiente cisembra più caldo. Per rendere precisa e misurabile questa impressione co-struiamo uno strumento, il termoscopio, sui cui risultati tutti saremo d’accordo.

Riempiamo due vaschette con acqua scaldata in modo diverso. In quale delledue l’acqua è più calda?

Se il nuovo livello dell’olio è maggiore di quello precedente, diciamo che latemperatura della seconda vaschetta è maggiore della temperatura della pri-ma. Per sapere di quanto una temperatura è maggiore dell’altra, dobbiamointrodurre una scala graduata, cioè tarare il termometro.

n La misura della temperatura

Scegliamo due temperature come punti fissi di riferimento: quella del ghiac-cio che fonde e quella dei vapori di acqua bollente. Entrambi questi fenome-ni devono avvenire a pressione atmosferica normale, pari a 1,01 � 105 Pa.

Il termoscopio è un recipiente chiuso da un tappo forato in cui è infilato untubicino trasparente. Il recipiente e parte del tubo sono riempiti con un li-quido, per esempio un olio lubrificante.

livello dell'olio livello dell'olio

� Immergiamo il termoscopio inuna vaschetta; dopo un po’ di tem-po segniamo sul tubo il livello del-l’olio.

A

� Poi immergiamo il termoscopionella seconda vaschetta e aspettia-mo fino a quando il livello dell’oliosi stabilizza.

B

livellominimo

livellomassimo

� Mettiamo il termoscopio in ac-qua e ghiaccio. Mentre il ghiaccio siscioglie, il livello dell’olio diminui-sce fino a stabilizzarsi su un valoreminimo.

A

� Poniamo il termoscopio tra i va-pori dell’acqua che bolle. Il liquidosale nel tubo fino a un certo livelloe poi non aumenta più.

B

Taratura di uno strumentoConcettualmente, la taratura deltermoscopio è analoga a quella deldinamometro. Prima si fa un con-fronto, poi si introduce una scala.

• Termoscopi e termometri

LEZIONE

Per convenzione stabiliamo la corrispondenza

0 °C (0 gradi Celsius) → temperatura del ghiaccio fondente.100 °C (100 gradi Celsius) → temperatura dell’acqua bollente.

Fatto ciò, la scala termometrica può essere estesa anche alle temperature ne-gative e a quelle maggiori di 100 °C.

Utilizzando il termoscopio tarato, che si chiama termometro, siamo in gra-do di misurare la temperatura, cioè di assegnare a ogni temperatura un nu-mero su cui siamo tutti d’accordo.

n La definizione operativa della temperatura

Che cosa è la temperatura?

Per arrivare a questa definizione operativa abbiamo sfruttato:

1. il fenomeno della dilatazione termica, che incontriamo spesso in natura:per esempio,un palloncino di gomma gonfio d’aria, lasciato al sole,diventapiù grande; messo in frigorifero, invece, diviene più piccolo;

2. l’equilibrio termico, cioè la condizione in cui due sistemi fisici, messi incontatto, raggiungono una stessa temperatura che poi non si modifica neltempo: il termometro misura sempre la propria temperatura che, all’equi-librio termico, è anche quella del corpo (acqua ghiacciata, vapore, …) concui è in contatto.

n Il kelvin

Nel Sistema Internazionale l’unità di misura per la temperatura è il kelvin(simbolo K). In questa scala, detta scala assoluta, la variazione di 1 K è identi-ca a quella di 1 °C. Però la temperatura del ghiaccio fondente è pari a 273 K,cosicché quella dei vapori d’acqua bollente vale 373 K ( figura sotto).

Le temperature T della nuova scala si ottengono da quelle t in gradi Celsiussommando a queste ultime il numero 273:

T � t � 273 K (1)

Per passare dalla nuova alla vecchia scala si usa invece la formula inversa

t � T � 273 °C (2)

La temperatura è, per definizione, la grandezza fisica che si misura con iltermometro.

La scala Celsius è ottenuta dividendo in cento parti eguali il segmento de-limitato dai due livelli che abbiamo segnato in precedenza.

4

TERMOLOGIA

°C-273 -173 -73 0 +100 +200

zeroassoluto

fusionedel ghiaccio

ebollizionedell'acqua

K+100 +200 +273 +373 +4730SCALA ASSOLUTA

(KELVIN)

SCALA CELSIUS

temperatura (K)temperatura (° C)

273,15Per la precisione, la temperaturaassoluta del ghiaccio fondente è273,15 K.

temperatura (° C)temperatura (K)

5


La temperatura assoluta è una scala naturale: infatti, gli esperimenti mostra-no che non è possibile raffreddare un corpo alla temperatura 0 K o al di sottodi essa. Per questa ragione il valore di 0 K è detto zero assoluto.

L’oggetto più caldo che si può trovare normalmente in casa è il filamentoincandescente (fatto di tungsteno) di una lampadina. La sua temperatura ècirca 2800 K (o 2500 °C). Il luogo più freddo è l’interno del freezer che si tro-va nel frigorifero. Per esempio, in un congelatore «4 stelle» la temperaturadeve essere inferiore a 255 K (�18 °C). Per fare un confronto,

2. La dilatazione lineare dei solidiI corpi solidi, come i liquidi, tendono a dilatarsi quando sono riscaldati e acontrarsi quando sono raffreddati.

lunghezza iniziale lunghezza finale

� Una barra sottile, fatta del mate-riale che si vuole esaminare, è col-legata a un indice mobile.

A

� Riscaldando la barra, questa siallunga e spinge l’indice su una sca-la graduata.

B

G. M

arin

elli,

197

9

C. G

ardi

ni, P

arm

a 20

01

C. G

ardi

ni, P

arm

a 20

01

� la lava diventa liquida a circa2000 K (1700 °C),

A

� la carta brucia a circa 500 K(230 °C)

B

� e l’azoto diventa liquido a 77 K(�196 °C).

C

Procurati tre vaschette. Nella prima metti acqua calda di rubinetto; nella secon-da acqua fredda di rubinetto e ghiaccio (il ghiaccio deve essere circa 1/3 del to-tale); nella terza metti uguali quantità di acqua calda e fredda.

� Immergi una mano nell’acqua calda e l’altra nella miscela di acqua e ghiac-cio. Lascia le mani immerse per almeno 15 s.

� Metti le due mani, insieme, nella terza vaschetta.� Che sensazioni fisiche hai? L’acqua sembra altrettanto calda o altrettanto fred-

da a entrambe le mani?

DOMANDA

• La dilatazione termicalineare

LEZIONE

�273,15Più precisamente, lo zero assolu-to si trova a �273,15 °C.

Si vede che, per tutti i solidi, la variazione di lunghezza con la temperatura se-gue, con buona approssimazione, la legge sperimentale della dilatazione li-neare:

l � l0 � l0 ��t (3)

L’allungamento della barra, �l, è dato dalla differenza tra la lunghezza finalel alla nuova temperatura e la lunghezza iniziale l0. Il coefficiente di dilatazionelineare � (lettera greca lambda) dipende dal materiale di cui è composta labarra.

Il prodotto l0 ��t, che è uguale a �l, ha le dimensioni fisiche di una lunghezza.Così il prodotto ��t deve essere un numero puro e, quindi, le dimensioni fisi-che di � sono il reciproco di quelle di �t. Ecco perché � si misura in °C�1 o inK�1.

Dalla tabella a sinistra vediamo che una barra lunga un metro di uno deimateriali elencati si allunga da un decimo di millimetro (diamante) a 3 mm(zinco e piombo) quando la sua temperatura aumenta di 100 °C.

La formula mostra che l’allungamento �l � l � l0 della barretta è diretta-mente proporzionale all’aumento di temperatura �t. In un grafico con la tem-peratura t in ascisse e l’allungamento l � l0 in ordinate, questa relazione è rap-presentata da una retta che passa per l’origine degli assi.

Portando il termine l0 dal membro di sinistra a quello di destra e raccoglien-do, possiamo scrivere la legge della dilatazione lineare nella forma:

l � l0 � l0��t � l0(1 � ��t). (4)

La dilatazione termica ha importanti applicazioni pratiche: molte strutture(per esempio i ponti e gli oleodotti) cambiano lunghezza in modo significati-vo a causa delle differenze di temperatura tra estate e inverno o tra notte egiorno. Per questa ragione i progettisti adottano degli stratagemmi per evita-re che le variazioni di lunghezza causino danni.

Esempi di questi accorgimenti sono la presenza di giunti in strade e ponticome si vede nella fotografia a sinistra.

La costante � è numericamente uguale all’allungamento di una barra lun-ga un metro riscaldata di 1 °C.

6

TERMOLOGIA

allungamento (m)

variazione di temperatura(°C o K)lunghezza iniziale (m)

coefficiente di dilatazionelineare (°C�1 o K�1)

�

�l

variazione di temperatura ∆t (°C)0

allu

ng

amen

to ∆

l (m

)

COEFFICIENTI DI DILATAZIONELINEARE

Sostanza �(K�1)

Zinco 30 � 10�6

Piombo 29 � 10�6

Alluminio 23 � 10�6

Rame 17 � 10�6

Cemento armato 14 � 10�6

Ferro 12 � 10�6

Vetro (normale) 9 � 10�6

Diamante 1,3 � 10�6

∆l

∆t

l0l

B. D

aem

mric

h, S

tock

Bos

ton

Un dispositivo che funziona in base alla dilatazione termica è la lamina bi-metallica ( figura a fianco), formata da due barrette di metalli diversi (peresempio zinco e acciaio) unite fianco a fianco.

I due metalli sono scelti in modo da avere coefficienti di dilatazione ilpiù possibile diversi tra loro.

n La formula di dilatazione lineare è approssimata

La legge di dilatazione lineare è valida con buona approssimazione e in unampio intervallo di temperature, ma non è perfettamente in accordo con i da-ti sperimentali. In effetti si tratta di una legge fenomenologica, come la leggedella forza di Hooke o quella che fornisce la forza di attrito radente.

Nella figura sotto è rappresentato l’allungamento reale di una sbarra d’ac-ciaio che,a 0 °C,misura un metro esatto e che è riscaldata fino a 600 °C.Comesi vede, il comportamento sperimentale (linea rossa) segue bene,ma non per-fettamente, un allungamento rettilineo (linea verde).

Ciò si può esprimere dicendo che il coefficiente di dilatazione lineare nonè costante, ma varia un poco con la temperatura.

Una legge fenomenologica è una regolarità della natura molto utile per leapplicazioni pratiche, ma che vale comunque in modo approssimato e inun ambito di fenomeni piuttosto ristretto. In altre parole è un «modello».

più lungo

più corto

contattoelettrico

contatto

7


allu

ng

amen

to (

m)

temperatura (°C)

0,001

0,008

0,006

0,004

0,002

0 100 200 300 400 500 600

� Un aumento di temperatura al-lunga una delle barrette più del-l’altra e, per permettere ciò, la la-mina si deve piegare dalla partedel metallo che si allunga di meno.

A

� Ciò è sfruttato in molti termo-stati di apparecchi elettrici:quando la temperatura si alzatroppo, la lamina si piega e stac-ca il collegamento elettrico.

B

� Una volta raffreddata, la la-mina bimetallica torna a farecontatto e l’apparecchio elettri-co riprende a funzionare in tuttasicurezza.

C

Campo di validitàLa legge di dilatazione lineare haun campo di validità piuttosto limi-tato: è abbastanza inesatta per va-lori elevati della variazione di tem-peratura e cessa completamente divalere quando il solido inizia a fon-dere.

3. La dilatazione volumica dei solidiUna barretta non si dilata soltanto in lunghezza, ma anche in larghezza e inspessore. Queste due dimensioni, però, sono molto minori della lunghezza: laloro dilatazione è quindi trascurabile perché è piccola rispetto all’allunga-mento. Una sfera e un cubo, invece, si dilatano nella stessa misura in tutte ledirezioni.

Consideriamo l’aumento di tutto il volume di un corpo, che passa dal volu-me iniziale V0 al volume finale V in seguito alla variazione di temperatura. Inquesto caso gli esperimenti mostrano che vale la legge sperimentale della di-latazione volumica:

V � V0(1 � ��t) (5)

La costante � è chiamata coefficiente di dilatazione volumica del corpo e ha lestesse unità di misura di �.

8

TERMOLOGIA

Ponti e viadotti autostradali sono spesso di-visi in settori, detti «campate». Supponiamoche, tra inverno e estate si registri una varia-zione di temperatura di 60 °C. La campata dicemento armato, nel giorno più freddo del-l’anno, è lunga l0 � 80 m.

� Qual è il suo allungamento massimo, do-vuto alla dilatazione termica, in estate?

� Strategia e soluzione

• Nella tabella del paragrafo precedente vediamo che il coefficiente di dilatazionetermica del cemento armato è � � 1,4 � 10�5 °C�1 (si può usare allo stessomodo K�1 oppure °C�1 perché la variazione di temperatura di 1 K è identica aquella di 1 ° C).

• Calcoliamo ora l’allungamento usando la formula (3):

�l � l0��t � (80 m) � �1,4 � 10�5 �°1C�� (60 °C) � 0,067 m.

� Discussione

Si tratta di un allungamento di quasi 7 cm. In effetti, l’interruzione che comparenella foto a pag. 6 ha all’incirca questo valore.

Il progetto per il ponte sullo Stretto di Messina ha un’unica campata di cementoarmato, lunga 3,0 km.

� Quale sarebbe, con la stessa variazione di temperatura vista sopra, la sua va-riazione di lunghezza nel corso dell’anno?

Esercizio simile: 12 a pag. 33.

DOMANDA

PROBLEMA

∆l = ?

l0 = 80 m

∆t = 60 °C

cementoarmato

volume finale (m3)

variazione di temperatura(°C o K)

volume iniziale (m3)

coefficiente di dilatazionevolumica (°C�1 o K�1)∆t

V0

V

9


Per un solido si dimostra che � è uguale a 3�. Per esempio, per il ferro il coef-ficiente di dilatazione lineare è � � 12 � 10�6 K�1 e il coefficiente di dilata-zione volumica è � � 36 � 10�6 K�1.

n Dimostrazione della dilatazione volumica dei solidi

Consideriamo un parallelepipedo omogeneo i cui spigoli, alla temperaturainiziale, misurano a0, b0 e c0. In tali condizioni, il volume del parallelepipedo èV0 � a0, b0 c0.

Con una variazione di temperatura �t le lunghezze dei tre spigoli diventano:

a � a0(1 � ��t), b � b0(1 � ��t), c � c0(1 � ��t),

dove � è il coefficiente di dilatazione lineare del materiale di cui il parallele-pipedo è composto.

Calcoliamo ora il volume V finale del parallelepipedo; otteniamo:

V � abc � a0(1 � ��t) b0(1 � ��t) c0(1 � ��t) �

� a0b0c0 (1 � ��t)3 � V0(1 � ��t)3.

Sviluppando il cubo del binomio troviamo

V � V0[1 � 3��t � 3(��t)2 � (��t)3].

Questa formula può essere semplificata. In effetti, in tutte le situazioni prati-che il numero ��t è piuttosto piccolo. Ciò significa che i due termini (��t)2 e(��t)3 sono ancora più piccoli e, quindi, possono essere trascurati.

In conclusione, la legge che descrive con buona approssimazione la dilata-zione di un solido è

V � V0(1 � 3��t),

che si riduce alla formula (5) se si pone � � 3�.

4. La dilatazione volumica dei liquidiAnche per i liquidi vale la stessa legge (5),

V � V0(1 � ��t)

ma con un valore di � che, come mostra la tabella a fianco, è da 10 a 100 vol-te maggiore di quello relativo ai solidi. Per esempio, il coefficiente di dilata-zione volumica dell’olio d’oliva, � � 0,72 � 10�3 K�1, è quasi 30 volte mag-giore di quello del vetro. Ciò spiega perché una damigiana d’olio, se riempitatroppo, nelle giornate calde può traboccare.

La temperatura di una sbarretta di rame aumenta di 200 °C.

� Calcola il valore di ��t in questo caso.� Calcola i valori di (��t)2 e (��t)3; poi discuti se questi numeri possono essere

trascurati rispetto al valore che hai ottenuto per ��t.

DOMANDA

COEFFICIENTI DIDILATAZIONE VOLUMICA

Sostanza �(K�1)

Benzina 1,0 � 10�3

Etanolo 1,12 � 10�3

Glicerina 0,53 � 10�3

Mercurio 0,18 � 10�3

Olio d’oliva 0,72 � 10�3

n Il comportamento anomalo dell’acqua

L’acqua si comporta in modo diverso dagli altri liquidi ( figura a sinistra).Da 0 °C a 4 °C il suo volume, invece di aumentare, diminuisce.Al di sopra

dei 4 °C il volume aumenta in modo regolare.Questo comportamento anomalo spiega perché d’inverno i laghi gelano

soltanto in superficie,mentre al di sotto l’acqua rimane liquida.Così i pesci ri-escono a sopravvivere anche in climi molto rigidi.

Capiamo il perché seguendo il grafico all’indietro, da destra a sinistra.Quando la temperatura esterna si abbassa, l’acqua che si trova in superficiecomincia a raffreddarsi.

In questo modo la temperatura dell’acqua diminuisce e il processo continuafino a quando tutta l’acqua raggiunge la temperatura di 4 °C.

A causa dell’aria fredda, la temperatura dello strato in superficie continuaa diminuire.

Poiché da 4 °C a 0 °C l’acqua,invece di contrarsi,si dilata si crea quindi nei laghiuno strato di ghiaccio che protegge la vita della fauna e della flora acquatica.

10

TERMOLOGIA

temperatura t (°C)

0 4 8 12 16 18

volu

me

continuafino a 4 °C

� Il volume dello strato superficia-le diminuisce e la sua densità au-menta: l’acqua sopra diventa piùdensa dell’acqua sotto.

A

� Per la legge di Archimede lo stratosuperficiale più denso scende versoil fondo. Al suo posto sale dal bassol’acqua più calda (meno densa).

B

� Ora, però, il volume dello stratosuperficiale aumenta e la sua den-sità diminuisce: l’acqua sopra di-venta meno densa di quella che sitrova sotto.

A

� Per la legge di Archimede lostrato superficiale meno denso nonpuò scendere e rimane in superfi-cie, dove continua a raffreddarsi, fi-no a che diventa ghiaccio.

Densità e volumeLa densità

d � �mV�

è inversamente proporzionale alvolume.

ghiaccio

B

11


5. Le trasformazioni di un gasPer studiare un gas dobbiamo racchiuderlo in un contenitore,per esempio un re-cipiente munito di pistone a tenuta stagna ( figura a destra).

Lo stato di un gas è descritto da quattro grandezze:1) la massa m del gas, che possiamo misurare con una bilancia di precisione;2) il volume V, che determiniamo in modo indiretto, conoscendo l’area S del-

la base del cilindro e misurando l’altezza h a cui si trova il pistone: V � Sh;3) la temperatura T, che misuriamo con un termometro;4) la pressione p, che misuriamo con un manometro.

Decidiamo di non cambiare mai la massa del gas e di non rimuovere il pisto-ne; possiamo quindi intervenire sullo stato del gas in due modi:

Un’autocisterna viene riempita di notte, quando la temperatura è di 8 °C, con40 500 L di benzina. Durante il viaggio, il Sole scalda la benzina fino a 26 °C.

� Di quanto aumenta il volume della benzina?


• Nella tabella del paragrafo precedente leggiamo che il coefficiente di dilatazio-ne volumica della benzina è � � 1,0 � 10�3 °C�1.

• Sostituiamo i dati nella formula:

V � V0[1 � �(t � t0)] � 40,50 m3 � [1 � (1,0 � 10�3 °C�1) � (18 °C)] �

� 40,50 m3 � (1 � 0,018) � 40,50 m3 � 1,018 � 41,23 m3.

• L’aumento di volume è

�V � V � V0 � 41,23 m3 � 40,50 m3 � 0,73 m3.

Si tratta di un volume pari a 730 L.

� Discussione

L’aumento percentuale di volume della benzina è pari a

�0,7

430

�

,50100

� % � 1,8 %.

Si tratta di un aumento di quasi il 2%. Quindi è importante che, all’inizio delviaggio, la cisterna non sia riempita completamente.

� Di quanto aumenta ancora il volume della benzina se la sua temperatura cre-sce di altri 9° C?

Esercizi simili: 22 e 24 a pag. 34.

DOMANDA

PROBLEMA

t0 = 8 °CV0 = 40 500 L = 40,50 m3

t = 26 °C

∆V = ?

h

manometro

termometro

area S

• aggiungendo o togliendo dei pesetti sul pistone, possiamo variare lapressione del gas;

• mediante fonti di calore o l’uso di frigoriferi ne possiamo cambiare latemperatura.

Ognuno di questi interventi provoca una trasformazione del gas. Nel corsodella trasformazione esso passa da stati diversi da quello in cui si trovava pri-ma della trasformazione (stato iniziale). Lo stato in cui si trova il gas al termi-ne della trasformazione è detto stato finale.

n Trasformazioni isoterme, isòbare e isocòre

Tra le infinite trasformazioni che un gas può subire ce ne sono alcune partico-larmente importanti ( tabella sotto).

PRINCIPALI TRASFORMAZIONI DEI GAS

Grandezze che variano Grandezza Nome della trasformazioneche rimane costante

Pressione Temperatura IsotermaVolume

Volume Pressione IsòbaraTemperatura

Pressione Volume IsocòraTemperatura

Una variazione di pressione e volume a temperatura costante è un esempiodi trasformazione isoterma. Mantenendo costante la pressione, si ottiene unatrasformazione isòbara. Se il volume è costante, la trasformazione si dice iso-còra.

6. La prima legge di Gay-Lussac(p costante)

Vogliamo scaldare il gas mantenendo costante la pressione (trasformazioneisòbara).

12

TERMOLOGIA

pressionecostante

� All’inizio dobbiamo stabilirequanti pesetti appoggiamo al pisto-ne e non cambiarli.

A

� Scaldando il gas a pressione co-stante,esso si espande,cioè aumen-ta di volume.

B

� Come puoi comprimere ilgas (cioè ridurne il volu-me) senza muovere diret-tamente il pistone?

DOMANDA

Joseph-Louis Gay-Lussac (1778-1850)chimico e fisicofrancese. Oltre alledue leggi che porta-no il suo nome, sco-prì il cloro e diede importanti con-tributi alla comprensione delleproprietà chimiche degli acidi edelle basi.

LEZIONE• La dilatazione

volumica di solidi,liquidi e gas

13


Finché la temperatura del gas aumenta, vediamo che l’espansione continua.Questo fenomeno è descritto da una legge sperimentale: la prima legge di

Gay-Lussac.

V � V0(1 � �t) (6)

È importante notare che, a differenza di ciò che accade nelle leggi di dilata-zione dei solidi e dei liquidi, qui il simbolo V0 non rappresenta un genericovolume iniziale del gas, ma proprio il volume del gas alla temperatura di 0 °C.

La prima legge di Gay-Lussac non descrive soltanto il riscaldamento di ungas, ma anche il suo raffreddamento:

• un gas riscaldato a pressione costante si dilata (aumenta il volume);• un gas raffreddato a pressione costante si contrae (diminuisce il volu-

me).

Puoi confermare questa legge, in modo qualitativo,con un palloncino di gom-ma gonfio di aria.

La quantità di aria contenuta al suo interno è rimasta la stessa, ma occupa vo-lumi diversi a temperature differenti.

A pressione costante il grafico del volume del gas al variare della tempera-tura è una retta ( figura a destra). Di conseguenza, le variazioni di volumesono direttamente proporzionali alle variazioni di temperatura che le deter-minano.

n La costante �

Bisogna fare attenzione a due proprietà osservate sperimentalmente:

1. la prima legge di Gay-Lussac ha un ambito di validità limitato:vale soltan-to quando il gas non è troppo compresso e quando la sua temperatura èabbastanza lontana da quella di liquefazione;

2. in queste condizioni la costante � non varia da sostanza a sostanza, comeaccade per i solidi e per i liquidi, ma ha lo stesso valore per tutti i gas.

volume (m3) alla temperatura ttemperatura (°C)

volume (m3) allatemperatura di 0 °C

coefficiente di dilatazionevolumica (°C�1)

V00 °C

V

t °C

C. G

ardi

ni, P

arm

a 20

04

C. G

ardi

ni, P

arm

a 20

04

� Scaldandolo con un asciugaca-pelli, il palloncino si gonfia;

A

� mettendolo in frigorifero, il pal-loncino si sgonfia.

B

temperatura t

tB tCtA

volu

me

V VA

VB

VC

p = costante

AB

C2 ∆V∆V

2 ∆t∆t

Da gas a liquidoA temperature abbastanza bassetutti i gas diventano liquidi. Peresempio, l’ossigeno diventa li-quido a �183 °C, l’idrogeno a�253 °C.

Gli esperimenti mostrano che il coefficiente di espansione volumica per i gas è

� � 3,66 � 10�3 K�1 � �K1� � �

°1C� .

Questo valore numerico è maggiore di quelli relativi ai solidi e ai liquidi. Ciòfa sì che i gas si dilatino più dei liquidi e molto più dei solidi. La figura sottomostra l’aumento percentuale di volume per diversi solidi, liquidi e gas riscal-dati da 0 °C a 100 °C (a pressione costante).

n La prima legge di Gay-Lussac e la temperatura assoluta

Se indichiamo con T0 � 273 K la temperatura assoluta che corrisponde a0 °C, la relazione appena scritta diventa

� � .

Utilizzando la temperatura assoluta T invece della temperatura Celsius t,possiamo riscrivere la prima legge di Gay-Lussac nella forma:

VT � T (7)

n Dimostrazione della formula precedente

Poiché 273 °C è uguale a , possiamo riscrivere la formula che permette di

passare dalla temperatura assoluta T alla temperatura Celsius t, come

t � T � 273 K � T � .

Con questa sostituzione, il fattore (1 � �t) che compare nella prima legge diGay-Lussac diventa

(1 � �t) � �1 � ��T � �� (1 � �T � 1) � �T � .

Così la prima legge di Gay-Lussac assume la forma vista sopra, che non a ca-so è più semplice della (6) scritta in termini della temperatura centigrada.

T�T0

1��

1��

1��

Il volume occupato da un gas è quindi direttamente proporzionale alla suatemperatura assoluta.

V0�T0

1�T0

1�273

1�273

14

TERMOLOGIA

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

azotoossigenoidrogenoetanolobenzenemercurioalluminioottoneferrografitediamante

variazione percentuale di volume per �t � 100 °C

Volume (m3) a temperatura T

temperatura assolutadel gas (K)

temperatura di 273 K

volume (m3) a 273 K

� È corretta la seguente af-fermazione?

In un gas, mantenendo co-stante la pressione, quandoraddoppia la temperatura Cel-sius anche il suo volume rad-doppia.

DOMANDA

15


7. La legge di Boyle (T costante)Facciamo variare adesso la pressione del gas mantenendo la sua temperaturacostante attraverso il contatto con un corpo che mantiene la stessa tempera-tura quando assorbe o cede calore. Come per la prima legge di Gay-Lussac, ilgas deve essere poco compresso e lontano dalla liquefazione.

Gli esperimenti mostrano che un gas compresso tende a riscaldarsi. Quindi,nel comprimere il gas dobbiamo procedere molto lentamente, in modo che ilgas rimanga alla stessa temperatura del corpo (per esempio l’aria circostan-te) con cui è a contatto.

Con questo accorgimento, il comportamento del gas è descritto da una se-conda legge sperimentale, la legge di Boyle.

pV � p1V1 (8)

Ciò significa che, in tali condizioni,pressione e volume di un gas sono inversa-mente proporzionali.

Disegnando in un grafico ( figura a destra) il valore della pressione delgas (a temperatura costante) in funzione del volume occupato, si ottiene unarco di iperbole equilatera. Questo grafico si chiama isoterma.

La legge di Boyle stabilisce che, a temperatura costante, il prodotto del vo-lume occupato da un gas per la sua pressione rimane costante.

temperatura costante

� Sul manometro del dispositi-vo leggiamo la pressione del gascontenuto nel cilindro quando ilvolume ha un dato valore inizia-le. Controlliamo anche la suatemperatura.

A

� Aggiungiamo dei pesi sul pi-stone. Quando il volume del gasè dimezzato, a temperatura co-stante, vediamo che la sua pres-sione è il doppio di quella ini-ziale.

B

� Se, sempre a temperatura co-stante, portiamo il volume delgas a essere un terzo di quello ini-ziale, leggiamo sul manometroche la sua pressione è il triplo diquella originale.

C

volume V0 VB VA

pre

ssio

ne

p

pA

pB

A

B

t = costante

pressione finale (Pa)

volume iniziale (m3)volume finale (m3)

pressione iniziale (Pa)

Una pompa per biciclette, con la valvoladi uscita chiusa, contiene 98 cm3 di ariaalla pressione di 1,4 � 105 Pa.

� Quale diventa il volume della stessaquantità d’aria se, mantenendo la tem-peratura costante, aumentiamo la pres-sione fino a 2,3 � 105 Pa?

PROBLEMA

�V1 = 98 cm3

p1 = 1,4 �105 Pa

V = ?

p = 2,3 �105 Pa

8. La seconda legge di Gay-Lussac(V costante)

Rimane ancora da vedere come si modifica la pressione di un gas, al variaredella temperatura, quando il suo volume si mantiene costante.Anche in que-sto caso il gas deve essere poco compresso e lontano dalla liquefazione.

La legge sperimentale che descrive l’aumento di pressione del gas, a volumecostante,quando cambia la sua temperatura è la seconda legge di Gay-Lussac.

p � p0(1 � �t) (9)

16

TERMOLOGIA


• Siccome la temperatura del gas rimane costante, possiamo utilizzare la leggedi Boyle (formula (8))

pV � p1V1.

• Dividendo i due membri della formula precedente per p ricaviamo

V � � � 6,0 � 10�5 m3.

Quindi, alla fine l’aria presente nella pompa occupa un volume di 60 cm3.

� Discussione

Visto che la pressione aumenta (diventa 2,3/1,4 � 1,6 volte più grande), il volu-me occupato dall’aria diminuisce in proporzione (diventa 9,8/6,0 � 1,6 volte piùpiccolo).

� A quale pressione l’aria contenuta nella pompa occupa (sempre a temperatu-ra costante) un volume di 75 cm3?


DOMANDA

1,4 � 105 Pa � 9,8 � 10�5 m3

��2,3 � 105 Pa

p1V1�

p

�

volumecostante

� Sul manometro leggiamo lapressione iniziale del gas che occu-pa un dato volume. Controlliamoanche la sua temperatura.

A

� Aumentiamo la temperatura emanteniamo il volume costante,aggiungendo pesi sul pistone. Lapressione cresce.

B

pressione (Pa) a temperatura t

temperatura (° C)pressione (Pa) a 0 °C

coefficiente di dilatazionevolumica (°C�1)

LEZIONE• Le leggi di Boyle

e Gay-Lussac

17


Il coefficiente � è uguale per tutti i gas ed è lo stesso che compare nella primalegge.

Disegnando il grafico che fornisce il valore della pressione p di un gas (avolume costante) in funzione della temperatura si ottiene una retta ( figuraa lato). Ciò significa che le variazioni di pressione sono direttamente propor-zionali alle corrispondenti variazioni di temperatura.

n Seconda legge di Gay-Lussac e temperatura assoluta

Utilizzando la temperatura assoluta T, la seconda legge di Gay-Lussac di-viene

pT � T (10)

n Il termometro a gas

La formula (10) permette di definire in modo operativo la temperatura asso-luta mediante un termometro a gas:

Per realizzare il termometro si sceglie un gas che segua bene la seconda leggedi Gay-Lussac; in questo modo, partendo dalla formula (10), T è dato dall’e-spressione

T � �Tp0

0� pT .

in un termometro a gas la temperatura assoluta è determinata misurandola pressione di una certa quantità di gas mantenuto a volume costante.

A volume costante, la pressione del gas è direttamente proporzionale allasua temperatura assoluta.

p0�T0

temperatura t tB tCtA

pre

ssio

ne

p

pA

pB

V = costante

BA

C2�p

2�t

�p

�t

pressione (Pa) a temperatura T

273 K

pressione (Pa) a 273 KUn pallone lasciato al SoleDi quanto aumenta, in percentua-le, la pressione dell’aria in un pal-lone da calcio quando passa da10 °C a 30 °C?

Termometri a liquidoIl coefficiente � dei liquidi non ècostante e, quindi, la variazione dilivello del liquido nei termometrinon è esattamente proporzionalea �T. Invece il fattore � dei gas ècostante, per cui un termometro,che contiene un gas poco com-presso e lontano dalla liquefazio-ne, è più preciso di uno a liquido.

Quando una bicicletta è in garage alla temperatura t1 � 18,3 °C uno dei suoipneumatici contiene aria alla pressione p1 � 2,15 � 105 Pa. Una volta lasciata labicicletta in un luogo assolato, la tem-peratura dell’aria degli pneumatici saleal valore t2 � 34,7 °C.

� Trascurando la variazione di volumedella camera d’aria, calcoliamo lanuova pressione p2 dell’aria conte-nuta in essa.


• Dal momento che il volume in cui l’aria è contenuta non cambia, possiamoricavare p2 dalla seconda legge di Gay-Lussac

p2 � p0(1 � �t2)

a patto di conoscere il valore della quantità p0.

PROBLEMA

p1 = 2,15 � 105 Pat1 = 18,3 °C

t2 = 34,7 °Cp2 = ?

�

temperatura (K)

9. Il gas perfettoRicordiamo che la legge di Boyle e le due leggi di Gay-Lussac descrivono inmodo corretto le proprietà di un gas se sono soddisfatte due condizioni:

1. il gas è piuttosto rarefatto;2. la sua temperatura è molto maggiore di quella alla quale esso si liquefà.

Quello del gas perfetto è un modello semplice e utile, che permette, in molticasi, di descrivere con grande precisione il comportamento dei gas reali.

Per esempio, il modello del gas perfetto descrive bene il comportamentodell’aria che respiriamo (l’aria liquefà attorno ai �210 °C, per cui la tempera-tura ambiente è ben al di sopra di tale valore). L’aria contenuta in una bom-bola da sub, a una pressione pari a 200 volte quella atmosferica, può essereancora considerata un gas perfetto, ma con una precisione minore.

Invece, il vapore acqueo che esce dalla pentola,essendo a una temperaturapari a quella di liquefazione, non può in alcun modo essere descritto dallalegge di Boyle e dalle due leggi di Gay-Lussac.

n L’equazione di stato del gas perfetto

La legge sperimentale di Boyle e le due leggi sperimentali di Gay-Lussacpossono essere sintetizzate in un’unica relazione, chiamata equazione di sta-

Un gas ideale che obbedisce alla legge di Boyle e le due leggi di Gay-Lus-sac si chiama gas perfetto.

18

TERMOLOGIA

• A sua volta, p0 può essere calcolato a partire da p1 e t1 utilizzando di nuovo laseconda legge di Gay-Lussac:

p1 � p0(1 � �t1)

da cui troviamo

p0 � � � � 2,01 � 105 Pa.

• Sostituendo questo valore nella prima equazione scritta in precedenza pos-siamo ricavare

p2 � (2,01 � 105 Pa) � �1 � � � (2,01 � 105 Pa) � 1,13 � 2,27 � 105 Pa.

� Discussione

Dal momento che la temperatura dell’aria è aumentata, la sua pressione è cre-sciuta da 2,15 � 105 Pa a 2,27 � 105 Pa, cioè del 5,6%.

Un gas è mantenuto a volume costante. Alla temperatura di 40 °C la sua pres-sione è p � 1,5 � 105 Pa.

� Qual è la sua pressione p0 a 0 °C?


DOMANDA

34,7 °C��273 °C

2,15 � 105 Pa��

1,072,15 � 105 Pa

��

1 � �273

1°C

� � 18,3 °C

p1��1 � �t1

�

LEZIONE• Gas perfetto e

temperatura assoluta

19


to del gas perfetto. Essa stabilisce un legame tra le tre grandezze che caratte-rizzano lo stato di un gas: la pressione, il volume e la temperatura.

pV � � � T (11)

L’equazione di stato sintetizza le tre leggi dei gas perché, come è mostratonella tabella sotto, partendo dall’equazione di stato è possibile ricavare lalegge di Boyle e le due leggi di Gay-Lussac come casi particolari.

n Dimostrazione dell’equazione di stato

Consideriamo una certa quantità di gas perfetto che si trova nello stato convolume V0, pressione p0 e temperatura T0. Vogliamo portarlo ad avere volu-me V, pressione p e temperatura T mediante due trasformazioni successive:

Il prodotto della pressione del gas perfetto per il volume che esso occupa èdirettamente proporzionale alla temperatura assoluta del gas.

p0V0�

T0

pressione (Pa)

volume (m3)

temperatura (K)

PRINCIPALI TRASFORMAZIONI DEI GAS

Trasformazione Condizione Calcolo Risultato Legge ottenuta

Isoterma T � T0 p V � �p0

T0

V0� T0 p V � p0 V0 Boyle

Isòbara p � p0 p0 V � �p0

T0

V0� T V � �

VT0

0� T Prima di Gay-Lussac

Isocòra V � V0 p V0 � �p0

T0

V0� T p � �

pT0

0� T Seconda di Gay-Lussac

pre

ssio

ne,

p

volume, V

p

p0

V0

B

isotermaA

V'0

pre

ssio

ne,

p

volume, V

p

p0

V'0 V0 V

B C isòbara

A

� 1) una trasformazione isotermaalla temperatura T0 che porta allapressione p e al volume V′0; per lalegge di Boyle:

p0V0 � pV′0 ⇒ V′0 � .p0V0�

p

A

� 2) Una trasformazione isòbara apressione p, che porta il gas al volu-me V e alla temperatura T; per laprima legge di Gay-Lussac:

V � T .V′0

�T0

B

Nell’equazione a destra, al posto di V′0 sostituiamo l’espressione ricavata a si-nistra. Così troviamo:

V � V′0 �T1

0� T � �

p0

pV0� �

T1

0� T ⇒ pV � �

pT0V

0

0� T.

L’ultima espressione trovata è proprio l’equazione di stato del gas perfetto(formula (11)).

10. Atomi e molecole

Tutto ciò che vediamo intorno a noi è quindi composto di piccolissimi grani,che chiamiamo «molecole». Per esempio, il ghiaccio, l’acqua liquida e il vapo-re acqueo sono composti dalle medesime molecole, tutte identiche tra loro.

Ogni sostanza pura è caratterizzata da una propria molecola, diversa daquella delle altre sostanze. Esistono milioni di molecole diverse, tra cui quelledell’acqua, dell’ossigeno e dello zucchero.

n Gli atomi

Tutte le molecole che esistono sono formate da una novantina di «mattoni»fondamentali, detti atomi.

• A ogni atomo corrisponde un elemento, cioè una sostanza elementarenon più scomponibile in sostanze più semplici.

• Le sostanze formate da atomi di più elementi sono dette composti.

La molecola è il «grano» più piccolo da cui è costituita una sostanza.

20

TERMOLOGIA

A seguito di una trasformazione, la pressione di una certa quantità di gas perfet-to quadruplica e contemporaneamente il suo volume si dimezza.

� Come varia la temperatura del gas?

DOMANDA

Mus

eo A

rche

olog

ico

Naz

iona

le, N

apol

i

Stor

ia d

ella

Sci

enza

4: N

atur

a e

vita

. L’e

tà m

oder

na E

inau

di, T

orin

o, 1

994

� L’esistenza degli atomi fu ipotiz-zata dal filosofo greco Democrito(circa 460-370 a.C.).

A

� Il modello atomico della mate-ria fu introdotto dal chimico ingle-se John Dalton (1766-1844).

B

MiscugliNon esistono, però, molecole dicarta o molecole di vernice. Questinon sono sostanze pure ma mi-scugli, composti da diversi tipi dimolecole.

FILM• La sezione 1 del film

La materia e lo spaziodell’Agenzia SpazialeEuropea (www.esa.int)descrive la strutturadella materia e il modoin cui gli atomi si combinano a formaremolecole

21


Sono elementi l’elio, il mercurio e il rame. Sono composti l’acqua, lo zucche-ro, la plastica e il DNA.

Soltanto negli ultimi anni è stato possibile visualizzare direttamente gliatomi. Nella fotografia a destra, un singolo atomo di bario è stato «intrap-polato» mediante forze magnetiche e investito con luce laser. In questo modoè stato possibile ottenerne una immagine (il puntino azzurro al centro dellafotografia).

n Le molecole

Le sostanze sono costituite da tantissime molecole tutte uguali.Ciascuna mo-lecola è formata da atomi.

Molecole diverse si distinguono per gli atomi che contengono e per il modoin cui essi si legano tra loro ( tabella sotto).

DAGLI ATOMI A…

Atomi Molecola Elemento Composto

O O2 Ossigeno

H H2 Idrogeno

N N2 Azoto

O, H H2O Acqua

N, H NH3 Ammoniaca

n Pesi atomici e molecolari

Nell’ultima pagina del libro è riprodotta la tavola periodica degli elementi. Inogni riquadro, al di sopra del simbolo dell’elemento, compare il suo peso ato-mico ( figura a destra).

Il peso atomico di un elemento è la massa dell’atomo di quell’elemento mi-surata in unità di massa atomica.

acqua H2OH

H

Oglucosio C6H12O6

H

HH

H

HHO

O

OO

O

O

HH

HHC

CC

alluminio Al

� L’acqua è costituita da mole-cole formate da due atomi diidrogeno legati a uno di ossige-no.

A

� Lo zucchero è un compostoformato da sei atomi di carbo-nio, sei di ossigeno e dodici diidrogeno.

B

� L’alluminio solido è costituitoda un reticolo cristallino regola-re formato da atomi di allumi-nio.

C

612,011

carbonioC

numero atomico

peso atomico

simbolochimico

nome dell’elemento

W. N

agou

rney

22

Evoluzione della teoria atomicaLE IDEE DELLA FISICA

”� Il mondo anticoIl concetto di atomo è introdottonel mondo greco, nel v secolo a.C.,da Leucippo di Mileto, maestro diDemocrito, che universalmente èconsiderato il padre dell’atomismo.

Il termine atomo di origine grecasignifica «che non si può dividere».Per Democrito, infatti, gli atomi so-no indivisibili, immutabili, infiniti edurano per sempre e le loro infinitecombinazioni danno luogo allastraordinaria varietà dei fenomenie della materia che noi conosciamoe possiamo vedere. In seguito il filo-sofo greco Epicuro, così come Pla-tone, abbracciò la teoria atomisticadi Democrito.

L’idea di atomo ricevette fin daitempi di Democrito anche delle cri-tiche. Anassagora, filosofo contem-poraneo di Democrito, proponevache gli atomi potessero essere for-mati a loro volta da parti più picco-le, come i mattoni che compongonoun muro derivano molte delle loroproprietà dall’argilla di cui sonocomposti.

Con il passare del tempo, l’ato-

mismo subì numerosi attacchi manon fu mai del tutto accantonatoperché illustrava in maniera soddi-sfacente alcune semplici proprietàdella materia, negli stati solido, li-quido e aeriforme. Fu compito deichimici agli inizi del diciannovesimosecolo fornire il primo valido soste-gno empirico alla teoria atomica.

� La nascita della teoria atomica moderna

Durante il Medioevo e il Rinasci-mento, la storia della chimica e degliatomi si confonde con quella dell’al-chimia, disciplina fortemente con-notata da misticismo e mistero.

Anche se non si parla mai esplici-tamente di atomi, già nel Duecentosi discute dei «corpuscoli» che costi-tuiscono la materia. Nel SeicentoRobert Boyle elaborò l’ipotesi che igas fossero costituti da particelle mi-croscopiche che si urtavano tra loro.La paura a chiamare queste parti-celle atomi è giustificata dal com-portamento della Chiesa cattolica,che nel 1632 aveva messo al bandoda tutte le scuole dei gesuiti l’inse-

gnamento della teoria atomistica,considerata ai confini con l’eresia.

I chimici che alla fine del Sette-cento avrebbero contribuito allanascita della chimica classica non siinterrogano sulla natura della ma-teria: Antoine Laurent Lavoisier eJoseph Louis Proust, per esempio,enunciarono due delle leggi su cuisarebbe stata fondata poi la teoriaatomica di John Dalton, senza ca-pirne fino in fondo le implicazioni.

A Lavoisier, che per primo uti-lizzò sistematicamente nei suoiesperimenti la bilancia, si deve lalegge di conservazione della massa:

Antoine Laurent Lavoisier

“L’ipotesi molecolare eatomica della materiaemerse così presto nellastoria della scienza, chesiamo quasi tentati disupporre che essa sia unanecessità del pensiero.

(John Henry Poynting, 1899)

Rappresentazione di un laboratorio chimico del sedicesimo secolo

G.S

trad

ano,

Pal

azzo

vec

chio

, Fire

nze

23

in una reazione chimica la sommadelle masse dei reagenti (le sostan-ze di partenza) è uguale alla sommadelle masse dei prodotti (le sostan-ze che si hanno alla fine). Per que-sto spesso si dice che in chimicaniente si crea e niente si distrugge:le sostanze sono soggette a trasfor-mazioni nel corso delle reazioni.

Il chimico francese Joseph Proustenunciò invece la legge delle pro-porzioni definite, secondo cui inogni composto gli elementi sonopresenti secondo rapporti definiti ecostanti, a differenza di quello cheaccade per i miscugli. Così, peresempio, il carbonato di rame, natu-rale o preparato in laboratorio, con-tiene sempre ossigeno, rame e car-bonio nelle stesse proporzioni.

I fondatori della chimica modernaavevano da un lato chiarito la di-stinzione fra elementi (che non po-tevano essere scomposti) e compo-sti, e dall’altro avevano capito che icostituenti di una reazione chimicadovevano essere sempre presenti inesatte proporzioni di peso per darluogo alla reazione.

� L’Ottocento, il secolo degli atomi

Nel primo decennio dell’Ottocento,Dalton enunciò la teoria atomica: lamateria è costituita da atomi indivi-

sibili e indistruttibili; gli atomi diuno stesso elemento chimico sonouguali tra loro, quelli di elementi di-versi hanno proprietà diverse.Unendo un metallo, il sodio, e ungas di colore verde, il cloro, si ottie-ne il sale da cucina: Dalton chiamòogni combinazione di atomi mole-cola, che è il più piccolo costituentedi un composto chimico.

Proporre l’esistenza degli atomi,cioè di particelle minime che costi-tuiscono la materia, permetteva dispiegare tutte le leggi sperimentaliche fino ad allora gli scienziati ave-vano trovato nello studio della na-tura:• la legge di conservazione della

massa, infatti, si poteva spiegareipotizzando che nel corso di unareazione gli atomi delle moleco-le dei reagenti si mescolasseroper dare origine a nuove combi-nazioni, formando le molecoledei prodotti;

• la legge di Proust, invece, si po-teva spiegare ipotizzando chefosse sempre la stessa combina-zione di atomi a formare la mo-lecola di un composto.

I chimici condivisero subito le ipo-tesi di Dalton e iniziarono a interro-garsi sulle differenze tra atomi emolecole e sui simboli da attribuireagli atomi dei diversi elementi. Unodei principali dibattiti in corso inquesti anni, per esempio, riguarda-va la ricerca del criterio miglioreper misurare le masse atomiche.

La comunità dei fisici, invece, ac-colse con scetticismo la teoria ato-mica; solo la constatazione della suanecessità per spiegare i fenomeniche essi stavano via via scoprendo liavrebbe convinti non solo dell’esi-stenza degli atomi ma anche del-l’importanza di capire la loro strut-tura più nel dettaglio.

� La definizione della struttura atomica

Nella seconda metà dell’Ottocento

la fisica e la chimica sono in pienofermento, ma molte sono ancora ledomande senza risposta.

Nel 1897, Joseph John Thomsonscopre l’elettrone, una particella dicarica negativa, e si fa strada l’ideache gli elettroni possano esserepresenti all’interno di tutti gli ato-mi. In quegli anni, infatti, HenriBecquerel e i coniugi Curie dimo-strano che alcuni elementi sono ra-dioattivi, cioè possono emettereparticelle cariche. Se gli atomi pos-sono emettere particelle cariche, ènecessario ipotizzare che esse sia-no parte costituente di tutti gli ato-mi.

All’inizio del ventesimo secolo,però, non si sapeva come le carichepositive e negative fossero disposteall’interno degli atomi.• Thomson propose un modello

atomico in cui l’atomo è unasfera di carica positiva al cui in-terno si trovano gli elettroni.

• Gli esperimenti condotti da Er-nest Rutherford nel 1911 smen-tirono il modello di Thomson, eportarono alla ribalta il modelloplanetario in cui l’atomo è com-posto da un nucleo centrale dicarica positiva intorno a cui ruo-tano gli elettroni negativi.

Tutti i modelli atomici proposti im-plicano il superamento dell’indivi-sibilità dell’atomo che era stata po-stulata da Democrito. Oggi sappia-mo che l’atomo è costituito da par-ticelle negative chiamate elettroni,particelle positive chiamate protonie particelle neutre chiamate neu-troni. Non solo l’atomo è divisibile,ma, come si scoprirà poi, anche leparticelle subatomiche che costitui-scono il nucleo sono a loro voltacomposte.

Con l’avvento della meccanicaquantistica negli anni Venti del No-vecento, infine, non si parlerà più dielettroni rotanti e di orbite, ma diequazioni matematiche e funzionid’onda.

Joseph Proust

L’unità di massa atomica è indicata con il simbolo u. Il suo valore numerico è

u � 1,6605 � 10�27 kg. (12)

Per esempio, nella quarta casella della seconda riga della tavola periodica de-gli elementi vediamo che il peso atomico del carbonio (simbolo C) è 12,011.Ciò significa che la massa mC di un atomo di carbonio è

mC � 12,011 u � 12,011 � 1,6605 � 10�27 kg � 1,9944 � 10�26 kg.

I pesi atomici permettono di calcolare i pesi molecolari dei composti.

Per esempio, la molecola d’acqua è formata da un atomo di ossigeno (pesoatomico 15,9994) e da due atomi di idrogeno (peso atomico 1,0079). Quindi ilpeso molecolare dell’acqua è

15,9994 � 2 � 1,0079 � 15,9994 � 2,0158 � 18,0152.

n Le forze intermolecolari

Le forze che legano gli atomi a formare le molecole sono di natura elettrica.Queste stesse forze si sentono (seppure più debolmente) anche al di fuoridelle molecole. In questo modo ogni molecola può interagire con altre mole-cole vicine a essa.

La forza di attrazione tra le molecole genera le forze di coesione nella mate-ria. Queste forze permettono a un pezzo di legno o a un blocco di ghiaccio dirimanere uniti.Anche lo sforzo necessario per stracciare un foglio di cartonedipende dalle forze di coesione all’interno del cartone.

Il peso molecolare di una sostanza è la massa della molecola di quella so-stanza, misurata in unità di massa atomica.

24

TERMOLOGIA

forza attrattiva

d d

forza repulsiva

� In generale le molecole si attrag-gono anche se, quando sono lonta-ne, l’attrazione è così debole chepuò essere considerata nulla.

A

� Soltanto quando le molecole so-no così vicine da arrivare a sovrap-porsi (a distanze minori di 10�9 m),si respingono.

B

Forza nullaLa forza intermolecolare si annul-la quando la distanza tra le mole-cole è maggiore di 10–7 m.

� La molecola di ossigeno è composta da due atomi di ossigeno. Utilizzando latavola periodica degli elementi, calcola il peso molecolare dell’ossigeno e lamassa della molecola di ossigeno.

DOMANDA

25


11. La mole e il numero di AvogadroDalla tavola periodica degli elementi in fondo al libro puoi vedere che il pesoatomico dell’elio (He) è pari a 4,00, mentre quello dell’ossigeno (O) è 16,0.Ciò significa che un atomo di elio ha una massa che è un quarto di quella diun atomo di ossigeno. Perciò, se fai la proporzione fra la massa di un numeroqualunque N di atomi di elio e la massa di N atomi di ossigeno otterrai sem-pre lo stesso valore 1/4.

Il discorso è vero anche al contrario: se una massa m di elio contiene Natomi, per avere lo stesso numero di atomi di ossigeno si deve considerareuna massa di ossigeno pari a 4m (cioè quadrupla), visto che la massa di unatomo di ossigeno è, come abbiamo detto, quattro volte quella di un atomodi elio.

In particolare, 4,00 g di elio contengono lo stesso numero di atomi di 16,0 gdi ossigeno. Questo numero si chiama numero di Avogadro NA ed è pari a

NA � � �

� � 6,02 � 1023. (13)

Questo risultato è vero in generale:

Consideriamo, infatti, un atomo x che ha peso atomico px. La massa di x èquindi px � u. Quindi il numero N di atomi x contenuti in px grammi di quel-l’elemento è:

N � �pp

x

x

ug

� � � �

� � 6,02 � 1023 � NA,

e quindi si ha sempre N = NA.Sulla base del numero di Avogadro è definita

la mole, che è l’unità di misura della quantità disostanza nel Sistema Internazionale:

La mole si indica con il simbolo «mol». La fotoaccanto mostra come appare una mole di diversielementi: carbonio (12,01 g), piombo (207,19 g),rame (63,55 g), mercurio (200,59 g), zolfo(32,07 g).

si chiama mole di una sostanza quella quan-tità di sostanza che contiene un numero diAvogadro di componenti elementari (atomi,molecole, …).

1 � 10�3 kg��1,66 � 10�27 kg

1 � 10�3 kg��

1 upx � 10�3 kg��

px u

una quantità di qualunque sostanza che ha una massa in grammi numeri-camente uguale al suo peso atomico o molecolare contiene un numero diatomi o molecole uguale al numero di Avogadro.

4,00 � 10�3 kg��4,00 � 1,66 � 10�27 kg

4,00 g�4,00 u

massa di 4,00 g di He��massa di un atomo di He

K. K

arp,

198

9

Cifre significativePer semplificare la trattazione, ipesi atomici dell’elio e dell’ossi-geno sono qui scritti con tre cifresignificative.

Le molecoleLa dimostrazione è valida anchese x è una molecola e px è il suopeso molecolare.

Definizione rigorosaLa definizione ufficiale di mole è«la quantità di sostanza che con-tiene tante unità elementari quan-ti sono gli atomi in 0,012 kg di car-bonio-12».

n Le unità di misura del numero di Avogadro e del peso atomico

Un valore più preciso del numero di Avogadro (con l’unità di misura corret-ta) è

NA � 6,022137 � 1023 mol�1. (14)

L’unità di misura del peso atomico e molecolare è grammi fratto mole(g/mol). Il Problema seguente illustra la ragione di queste unità di misura e illoro utilizzo.

26

TERMOLOGIA

Un lingotto di rame (Cu) ha una massa di 1,000 kg.

� Calcola quante moli di rame sono contenute nel lingotto e da quanti atomi dirame esso è composto.


• Nella tavola periodica degli elementi alla fine del libro leggiamo che il pesoatomico del rame è 63,546, da cui segue che la massa di una mole vale63,546 g/mol. Grazie a questo dato possiamo calcolare il numero n di moli dirame come

n � � �

� � 15,74 mol. (*)

• Visto che ogni mole contiene NA atomi, il numero di atomi contenuti nel lin-gotto di rame è:

N � n � NA � (15,74 mol) � �6,022 � 1023 �m1ol�� 9,479 � 1024. (**)

Il lingotto contiene quasi 1025 atomi di rame.

� Discussione

Nel calcolo (*) le unità di misura del peso atomico permettono di ottenere l’uni-tà di misura corretta (mol) per il numero n di moli di rame.Nel successivo calcolo (**) l’unità di misura (mol�1) di NA consente di ricavare, co-me è giusto, che il numero N di atomi è un numero puro (senza unità di misura).

Versiamo in un bicchiere 250 g di acqua.

� Quante molecole di acqua sono contenute nel bicchiere?


DOMANDA

1,000 kg��

0,063546 �mkgol�

1,000 kg��

63,546 �m

gol�

massa del lingotto di rame��massa di una mole di rame

PROBLEMA

mCu = 1,000 kgn = ?N = ?

27


12. L’equazione di stato del gas perfettoIl concetto di mole permette di scrivere l’equazione di stato (11) del gas per-fetto

pV � ��p0

TV

0

0�� T

in una forma diversa e più utile per i calcoli.Gli esperimenti, fatti da Avogadro per primo, mostrano che:

Nell’equazione di stato del gas perfetto compare il fattore

�p0

TV

0

0� , (15)

che è direttamente proporzionale a V0;per quanto detto sopra,a sua volta V0 èdirettamente proporzionale al numero di moli n,per cui l’intero fattore (15) èdirettamente proporzionale a n.Questo fatto si può esprimere con la formula

�p0

TV

0

0� � nR, (16)

dove la costante di proporzionalità R vale sperimentalmente

R � 8,3145 �mol

J K� . (17)

Sostituendo la formula (16) nell’equazione di stato del gas perfetto riportataall’inizio del paragrafo, otteniamo per essa la nuova forma:

pV � nRT (18)

Essa stabilisce che, una volta fissato il numero di moli di gas, il prodotto dellapressione e del volume è direttamente proporzionale alla temperatura asso-luta del gas.

L’equazione di stato del gas perfetto lega tra loro le quattro grandezze p,V, n e T: se sono note tre di esse, laquarta può essere calcolata.

Quando uno pneumatico della bici-cletta o dell’auto è sgonfio, significache la pressione dell’aria al suo inter-no è minore di quella necessaria. Pergonfiare lo pneumatico si inserisce inesso dell’aria ( figura a lato), cioè siaumenta il valore di n; così facendo siaumenta il valore del prodotto pV fi-no a quando la pressione giunge al va-lore voluto.

a pressione e temperatura fissati, il volume occupato dal gas è direttamen-te proporzionale al numero di particelle che lo compongono, cioè al nume-ro n di moli del gas.

Il volumeGonfiando lo pneumatico aumentaun poco anche il volume. L’entitàdi questo aumento dipende dallecaratteristiche di elasticità dellopneumatico.

pressione (Pa)

temperatura (K)volume (m3)

quantità di gas (mol)

FAR

DA

SÈ, 2

006

• L’equazione di statodel gas perfetto

LEZIONE

n La legge di Avogadro

L’equazione di stato del gas perfetto contiene come caso particolare la leggedi Avogadro, secondo cui

Infatti dalla formula (18) otteniamo:

n � �RpV

T� ;

ciò significa che il numero di moli (e quindi di particelle) contenute in unacerta quantità di gas è fissato una volta che si conoscono p, V e T, mentre lamassa degli atomi o molecole del gas non ha alcuna rilevanza.

In particolare, si può calcolare che una mole di gas a 0° C (273,15 K) e allapressione atmosferica normale occupa sempre il volume di 22,4 L (detto vo-lume molare in condizioni normali).

volumi uguali di gas diversi, mantenuti alla stessa temperatura e alla stessapressione, contengono lo stesso numero di particelle.

28

TERMOLOGIA

Amedeo Avogadro(1776-1856) fisico echimico italiano. Sideve a lui il chiari-mento della distin-zione tra i concetti

di atomo e molecola. Introdusse inPiemonte il sistema metrico deci-male. La legge da lui scoperta per-mise, per la prima volta, di misura-re le masse atomiche e molecolarirelative.

Una quantità di gas perfetto contiene 1,00 mol di gas alla temperatura di 273,15 Ke alla pressione atmosferica di 1,013 � 105 Pa.

� Calcola il volume occupato dal gas.


• Dividendo per p i due membri dell’equazione (18) otteniamo:

V��nRp

T�� 2,24�10�2m3�22,4 L.

� Discussione

Il volume di 22,4 L così ottenuto è lo stesso per una mole di tutti i gas che se-guono bene il comportamento del gas perfetto (che, cioè, non sono troppocompressi e che si trovano a una temperatura molto maggiore di quella di con-densazione).

Una bombola da 40,0 L contiene elio alla pressione di 1,28 � 106 Pa e alla tem-peratura di 300 K. In queste condizioni l’elio si comporta come un gas perfetto.

� Quante moli di elio sono contenute nella bombola?

➜ Esercizio simile: 67 a pag. 38.

DOMANDA

(1,00 mol)��8,3145�mo

Jl K��(273,15K)

��1,013 � 105 Pa

PROBLEMA

n = 1,00 mol T = 273,15 Kp = 1,013�105 PaV = ?

29

Le sezioni sopraelevate dell’oleo-dotto sono disposte a zig-zag perpermettere la dilatazione e la con-trazione dei tubi provocate dallevariazioni di temperatura.

L’Alaska Pipeline (in rosso nellafigura) è lungo poco più dell’Ita-

lia (1288 km), attraversa tre catenedi montagne e più di 800 tra fiumi eruscelli.

� La dilatazione e la contrazionetermicaLa temperatura del greggio all’in-terno dei tubi può variare molto: ilgreggio si raffredda rapidamentequando passa attraverso terreni ge-lati o vicino a corsi d’acqua, mentrein altri punti si riscalda anche fino a65 °C. A causa di queste variazionidi temperatura, i tubi di acciaio sipossono dilatare: per un aumento(o una diminuzione) di 5 °C,si ha unallungamento (o una contrazione)di 8 mm per ogni 12 m di tubo.

Un oleodotto diritto si deforme-rebbe, perché non avrebbe la flessi-bilità necessaria per assorbire talivariazioni. Una struttura a zig-zag,invece, permette una grande mobi-lità: fissati ai loro supporti, i seg-menti si possono muovere lateral-mente fino a 6 m e fino a 1,5 m in

verticale. La forma a zig-zag cam-bia quindi in continuazione, a se-conda della temperatura.

Questa disposizione si rivelamolto utile anche in caso di terre-moti, perché l’oleodotto è in gradodi spostarsi seguendo i movimentidel terreno.

� Per saperne di piùwww.alyeska-pipe.com (sito ufficiale dell’Alaska Pipeline)

Perché l’oleodotto ha la forma a zig-zag?

I gasdottiIn alcuni punti, i gasdotti hanno unaforma a omega, che permette loro dideformarsi leggermente a secondadella temperatura.

I binariA causa della dilatazione termica inuna giornata di luglio, i binari dellaferrovia nell’Asbury Park nel New Jer-sey si sono deformati .

Svitare il coperchioMettendo il coperchio metallico sottoun getto d’acqua calda, lo si fa dilata-re leggermente e in questo modo lo siriesce a svitare.

C. G

ardi

ni, P

arm

a 20

04

AP/W

ide

Wor

ld P

hoto

s

C. G

ardi

ni, P

arm

a 20

04

Strettodi Bering

Anchorage

Valdez

Terminal

O C E A N OP A C I F I C O

fium

eYukon

Mare Glaciale Artico

Ca

na

daA l a s k a

US

Geo

logi

cal S

urey

30

I concetti e le leggi1. Il termometroTermoscopio Recipiente chiuso da un tappo forato in cui è infilato un tubicino trasparen-

te. Il recipiente e parte del tubo sono riempiti di liquido.

Uso del termoscopio Il livello del liquido nel tubicino del termoscopio indica la temperatura.

Scala Celsius Si definisce 0 °C la temperatura del ghiaccio fondente e 100 °C quella dei vapo-ri d’acqua bollente.Poi si divide in 100 parti questo intervallo di temperature.

Termometro [thermometer] Termoscopio tarato

Temperatura [temperature] Grandezza fisica che si misura con il termometro

kelvin (K) Unità di grandezza della temperatura nel Sistema Internazionale. La varia-zione di temperatura di 1 K è uguale a quella di 1 °C.

Temperatura assoluta T È ottenuta dalla temperatura Celsius t aggiungendo il numero 273:[absolute temperature] T � t � 273 K. t � �273 °C è lo zero assoluto.

2. La dilatazione lineare dei solidiLegge della dilatazione lineare Gli esperimenti mostrano che

l � l0 � l0��t ossia l � l0(1 � ��t)

Coefficiente di dilatazione È il coefficiente � che compare nella legge della dilatazione lineare dei soli-termica di. È numericamente uguale all’allungamento di una barra lunga un metro

riscaldata di 1 °C. Si misura in °C�1 o in K�1.

Validità della legge di È una legge fenomenologica approssimata che descrive piuttosto bene idilatazione lineare dati sperimentali.

3. La dilatazione volumica dei solidiCoefficiente di dilatazione È uguale al triplo del coefficiente di dilatazione lineare per la stessa sostan-volumica (�) di un solido za: � � 3�.

Legge della dilatazione V � V0(1 � ��t)volumica dei solidi

ESEMPIO

ESEMPIO

ESEMPIO

Se t � 27 °C ⇒ T � 27 K � 273 K � 300 K

l0 � 1,6 mSe �� 3,0 � 10�5 °C�1 ⇒

�t � 100 °C⇒ l � l0 � (1,6 m) � (3,0 � 10�5 °C�1) � (100 °C) � 0,005 m

V0 � 36,4 cm3

Se �� 5,0 � 10�5 °C�1 ⇒�t � 80 °C

⇒ � � 3 � (5,0 � 10�5 °C�1) � 1,5 � 10�4 °C�1 ⇒⇒ V�(36,4 cm3)�[1�(1,5�10�4°C�1)�(80°C)]�36,8 cm3

31

4. La dilatazione volumica dei liquidiLegge della dilatazione È analoga a quella dei solidi: V � V0(1 � ��t). Però il valore di � è maggio-volumica dei liquidi re di quello relativo ai solidi.

Comportamento anomalo Da 0 °C a 4 °C il volume dell’acqua, invece di aumentare, diminuisce. Ciòdell’acqua spiega perché, d’inverno, i laghi gelano in superficie.

5. Le trasformazioni di un gasStato di un gas È individuato da quattro variabili: massa m del gas; volume V; temperatura T;

pressione p.

Trasformazioni fondamentali Isoterma, con T costante; isocòra, con V costante; isòbara, con p costante.di un gas

6. La prima legge di Gay-Lussac (p costante)Prima legge di Gay-Lussac Descrive la dilatazione termica di un gas a pressione costante. È data dalla

formula V � V0(1 � ��t).V0 il volume del gas a 0 °C (273 K) e, per tutti i gas, si ha � � 1/(273 °C).

Prima legge di Gay-Lussac È data da VT � �VT

0

0� T, T0 � 273 K (più esattamente T0 � 273,15 K).

in funzione di T

7. La legge di Boyle (T costante)Legge di Boyle Descrive il comportamento di un gas a temperatura costante. Stabilisce che,

a temperatura costante, il prodotto del volume occupato da un gas per lasua pressione rimane costante: pV � p1V1.

8. La seconda legge di Gay-Lussac (V costante)Seconda legge di Gay-Lussac Descrive le proprietà di un gas a volume costante. È data dalla formula

p � p0(1 � �t). p0 è la pressione del gas a 0 °C (273 K). Per tutti i gas,� � 1/(273 °C).

Seconda legge di Gay-Lussac È data da pT � �pT

0

0� T, T0 � 273 K.

in funzione di T

Termometro a gas Determina la temperatura assoluta misurando la pressione di una certaquantità di gas mantenuto a volume costante. La temperatura è data dalla

formula T � �Tp0

0� pT.

V0 � 3,0 m3

Se �T � 364 K⇒ VT � �

32,703mK

3

� � (364 K) � 4,0 m3

ESEMPIO

p1 � 60 kPaSe �V1 � 1,0 m3 ⇒ V � � 2,0 m3

p � 30 kPa

(60 000 Pa) � (1,0 m3)��

30 000 Pa

ESEMPIO

p0 � 90 kPaSe �T � 455 K

⇒ pT � � (455 K) � 150 kPa90 kPa�273 K

ESEMPIO

32

9. Il gas perfettoGas perfetto [ideal gas] Modello di gas ideale che obbedisce alle due leggi di Gay-Lussac e a quella

di Boyle, che valgono per gas piuttosto rarefatti e con una temperaturamolto maggiore di quella di liquefazione.

Equazione di stato del pV � �p

T0V

0

0� T. Da essa si ottengono, come casi particolari, la legge di Boyle

gas perfetto [ideal gas law]e le due leggi di Gay-Lussac.

10. Atomi e molecoleMolecola [molecule] È il «grano» più piccolo di cui è costituita una sostanza. Sostanze diverse

sono formate da molecole diverse.

Atomo [atom] Uno dei 92 «mattoni» fondamentali da cui sono formate tutte le molecole.

Elemento [element] Sostanza elementare non più scomponibile in sostanze più semplici. A ognielemento corrisponde una specie di atomi.

Composto Sostanza formata da atomi di più elementi.

Peso atomico [atomic weight] Massa dell’atomo di un elemento, espressa in unità di massa atomica (unaunità di massa atomica vale u � 1,6605 � 10�27 kg).

Peso molecolare Massa di una molecola in unità di massa atomica. È data dalla somma dei[molecular weight] pesi atomici degli atomi che compongono la molecola.

Forze intermolecolari Due molecole, quando sono molto lontane, non avvertono alcuna forza;quando sono abbastanza vicine, si attraggono (forza di coesione molecola-re); quando sono così vicine da arrivare a sovrapporsi, si respingono.

11. La mole e il numero di AvogadroNumero di Avogadro (NA) Una quantità di qualunque sostanza che ha una massa in grammi numerica-

mente uguale al suo peso atomico o molecolare contiene un numero diAvogadro di atomi o molecole. Vale NA � 6,022137 � 1023 mol�1.

Mole È quella quantità di sostanza che contiene un numero di Avogadro di com-ponenti elementari (atomi, molecole, …). È l’unità di misura SI della quan-tità di sostanza.

12. L’equazione di stato del gas perfettoRelazione tra volume di un gas A pressione e temperatura fissati, il volume occupato dal gas è direttamen-e numero di particelle te proporzionale al numero di particelle che lo compongono, cioè al nume-

ro n di moli del gas.

Equazione di stato del gas pV � nRT; R � 8,3145 J/(mol K)perfetto

Legge di Avogadro Volumi uguali di gas diversi, mantenuti alla stessa temperatura e alla stessapressione, contengono lo stesso numero di particelle.

Volume molare in condizioni Una mole di gas a 0° C (273,15 K) e alla pressione atmosferica normale oc-normali cupa sempre il volume di 22,4 L.

33

ESER

CIZI

1. Il termometro

Test. Che cosa sfrutta il termometro per misura-re la temperatura? (Più di una risposta è esatta.)

L’equilibrio termico.La dilatazione termica.I cambiamenti di stato.La scala termometrica Kelvin.

Completa la tabella. La seguente tabella riportaalcune temperature notevoli in kelvin e gradiCelsius. Completala inserendo i dati mancanti.

T(K) T(°C)

Zero assoluto 0

Ghiaccio fondente 0

Temperatura ambiente 300

Temperatura corporea umana 37

Acqua bollente 100

La temperatura all’interno dell’aula è di 18 °C.In un giorno di primavera, la temperatura ester-na è più alta di 7,0 °C.� Quanto vale la differenza di temperatura fral’esterno e l’interno espressa in kelvin?

Alla pressione di 1 atm, un blocco di argento euno di oro iniziano a fondere rispettivamentealle temperature di 1234 K e 1065 °C.� Quale dei due elementi fonde a temperaturamaggiore?

Mean ground temperatures on Mars and Venusare respectively 210 K and 726 K.� What is their equivalent in °C?

[�63 °C; 453 °C]

Nella scala di temperatura Fahrenheit, adopera-ta negli USA, l’acqua bolle a 212 °F e il ghiacciofonde a 32 °F. L’intervallo fra queste due tempe-rature è diviso in 180 parti, e ognuna di questerappresenta un grado Fahrenheit (°F)� A quanti gradi Celsius corrisponde la tempe-ratura di 100 °F? [38 °C]

2. La dilatazione lineare dei solidi

Vero o falso? Nel caso della dilatazione linearedi una barra:a. la lunghezza della barra è direttamente

proporzionale alla sua temperatura.b. l’allungamento della barra è direttamente

proporzionale alla sua temperatura. FV

FV

7

6

5

4

3

2

DCBA

1

c. la lunghezza della barra è direttamente proporzionale alla sua variazione di temperatura.

d. l’allungamento della barra è direttamenteproporzionale alla sua variazione di temperatura.

Test. Una barra di lunghezza iniziale 1 m, si al-lunga di 1 m se sottoposta a una variazione ditemperatura di 1 °C. Perché non possiamo con-cludere che la costante � del materiale di cui èfatta la barra è uguale al suo allungamento?

Perché � è costante, mentre l’allungamento èvariabile.Perché � e l’allungamento non hanno la stes-sa unità di misura.Perché � e l’allungamento non hanno lo stes-so valore numerico.Perché l’allungamento, a differenza di �, èuna grandezza unitaria.

Test. Un bullone di metallo, con un foro al cen-tro, è riscaldato e si dilata. Cosa fa il foro?

Si dilata.Si restringe.Mantiene lo stesso diametro.Per rispondere, occorre sapere di che metallosi tratta.

Un filo metallico, inizialmente lungo 1,5 m, su-bisce un allungamento di 2,4 mm quando la suatemperatura passa da 20 °C a 90 °C.� Qual è il valore del coefficiente di dilatazionelineare del metallo che costituisce il filo?

[23 � 10�6 °C�1]

Un’asta metallica, inizialmente lunga 0,85 m, su-bisce un allungamento di 1,0 mm quando la suatemperatura passa da 0 °C a 100 °C.� Di che materiale è probabilmente fatta l’a-sta? [Ferro]

Un viadotto di cemento armato è lungo 1,500 kmin inverno a una temperatura di �10,0 °C. In esta-te la temperatura raggiunge il valore di 40,0 °C.� Calcola la lunghezza del viadotto in estate.(Simile al problema svolto a pag. 8)

[1,501 � 103 m]

Alla temperatura di 0 °C, una collana d’argento èlunga 26,9 cm e una di oro è lunga 27,0 cm.� A quale temperatura le due collane avrebbe-ro la stessa lunghezza?(I coefficienti di dilatazione lineare dell’argento edell’oro valgono rispettivamente 19 � 10�6 °C�1

e 14 � 10�6 °C�1.) [circa 8 � 102 °C]

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3. La dilatazione volumica dei solidi

Test. Quale delle seguenti relazioni è vera?� � �3

� � �3

� � 3�

� � 3�

Vero o falso? Nel caso della dilatazione volumica:a. il volume è direttamente proporzionale

alla temperatura.b. il volume è direttamente proporzionale

alla variazione di temperatura.c. la variazione di volume è direttamente

proporzionale alla temperatura.d. la variazione di volume è direttamente

proporzionale alla variazione di temperatura.

Un cubo di piombo (� �2,9 � 10�5 °C�1) di lato41 cm viene riscaldato da 70 °C a 150 °C.� Calcola la variazione del suo volume.

[4,8 � 102 cm3]

Un cilindro ha diametro 1,8 cm e lunghezza 21 cm. Quando viene riscaldato da t1 � 10 °C at2 � 80 °C subisce una variazione di volume di0,10 cm3.� Di quale materiale potrebbe essere fatto il ci-lindro? [Vetro]

Un diamante di volume pari a 100 cm3 (� �1,3 �� 10�6 °C�1) è alla temperatura di 0,0 °C.� Quale temperatura dovrebbe raggiungere af-finché il suo volume aumenti dell’1,0%?

[2,6 � 103 °C]

4. La dilatazione volumica dei liquidi

Test. Riguardo al coefficiente di dilatazione vo-lumica si può affermare che, in generale:

quello dei solidi è dello stesso ordine di gran-dezza di quello dei liquidi.quello dei solidi è maggiore di quello dei li-quidi.quello dei solidi è minore di quello dei liquidi.per i solidi esiste soltanto il coefficiente di di-latazione lineare.

Test. Una certa quantità di acqua passa da unatemperatura iniziale di 4 °C a una temperatura fi-nale di � 4 °C. Come si comporta il suo volume?

Aumenta costantemente.Diminuisce costantemente.B

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FV

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Dapprima diminuisce, poi aumenta.Dapprima aumenta, poi diminuisce.

Una colonna di mercurio ha un volume di10 cm3 alla temperatura di 273 K. Il coefficien-te di dilatazione volumica del mercurio è182 � 10�6 K�1.� Di quanto aumenta il volume del mercurio sela sua temperatura sale a 373 K? [0,182 cm3]

Una bottiglia da 1,0 L è piena fino all’orlo diolio di oliva alla temperatura di 10 °C. Successi-vamente la temperatura aumenta fino a 35 °C.� Quanto olio trabocca dalla bottiglia? (Tra-scura la dilatazione del vetro).(Simile al problema svolto a pag. 11)

[1,8 � 10�2 L]

Una bottiglia che contiene glicerina (� �0,53 �� 10�3 °C�1) si trova alla temperatura di 12,0 °C.Poiviene riscaldata e durante la fase di riscaldamento ilvolume della glicerina passa da 1,77 L a 1,88 L.� Calcola la temperatura finale raggiunta.

[1,3 � 102 °C]

Un cilindro di ferro con area di base 30,0 cm2

contiene un volume di olio pari a 300 cm3 com-presso da un pistone. Il coefficiente di dilatazio-ne volumica dell’olio è 7,2 � 10�4 °C�1. Il reci-piente viene scaldato da 50 °C a 150 °C.� Calcola l’aumento di volume dell’olio.� Determina di quanto si alza il pistone a causadell’aumento di volume dell’olio.(Simile al problema svolto a pag. 11)

[22 cm3; 0,72 cm]

Un motociclista riempie di benzina fino all’orlouna tanica di vetro da 15,0 L alla temperatura di18,0 °C. Poi dimentica al sole la tanica, che rag-giunge così la temperatura di 42,0 °C. Il coeffi-ciente di dilatazione volumica della benzina è950 � 10�6 °C�1.� Calcola la dilatazione di volume della tanica.� Quanta benzina uscirà dalla tanica?(Considera la dilatazione del vetro �vetro � 9,00 �� 10�6 °C�1). [9,72 � 10�6 m3; 3,32 � 10�4 m3]

5. Le trasformazioni di un gas

Vero o falso? Lo stato di un gas è descritto da:a. la pressione.b. il volume.c. la massa.d. la densità.e. la velocità.f. la temperatura. FV

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Cancella le alternative sbagliate.a) La pressione di un gas che subisce una tra-

sformazione isòbara/isocòra rimane costante.b) Una variazione di pressione e volume a tem-

peratura costante è un esempio di trasforma-zione isoterma/isocòra.

Test. In un piano cartesiano, rappresenta sull’assey il volume V e sull’asse x la temperatura T di ungas durante una trasformazione isocòra. Comeappare il grafico?

Una retta parallela all’asse x.Una retta parallela all’asse y.Una retta che passa per l’origine degli assi.Una retta con una pendenza positiva.

Test. Quale dei seguenti grafici può rappresenta-re il comportamento della pressione in funzionedella temperatura di un gas mantenuto a pres-sione costante?

6. La prima legge di Gay-Lussac

Test. La prima legge di Gay-Lussac è valida se:il gas è denso.il volume del gas è costante.la pressione del gas è costante.il gas è rarefatto ed è lontano dal punto di li-quefazione.

Cancella le alternative sbagliate.a) Il volume di un gas a pressione costante è diret-

tamente/inversamente proporzionale alla tem-peratura Celsius/assoluta.

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DC

BA

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27 b) La variazione di volume di un gas inizialmen-te a 0 °C e riscaldato a pressione costante, èdirettamente/inversamente proporzionale allatemperatura Celsius/assoluta.

c) Per un gas mantenuto a pressione costante, larelazione che esprime il legame fra V e t èrappresentata da una retta/iperbole che pas-sa/non passa per l’origine degli assi.

Una certa quantità di gas è libera di espandersi apressione costante. Alla temperatura di 800 K ilvolume del gas è doppio rispetto a quello iniziale.� Qual è la temperatura iniziale?

[400 K]

Una siringa ben tappata è chiusa da uno stantuf-fo lubrificato e contiene 0,80 mL di aria allatemperatura ambiente di 20 °C. La siringa cosìpredisposta viene introdotta in un freezer dovela temperatura è mantenuta a � 18 °C.

� Quale sarà il volume dell’aria nella siringauna volta raggiunto l’equilibrio termico con ilfreezer? [0,69 mL]

Un recipiente di forma cilindrica, chiuso da un pi-stone che può scorrere senza attrito, contiene ungas perfetto. Il suo volume iniziale è di 2,50 L allatemperatura iniziale di 20 °C. Il recipiente vienepoi riscaldato fino alla temperatura di 100 °C.� Quanto vale ora il volume occupato dal gas,considerando la pressione costante? [3,2 L]

Due gas, idrogeno ed elio, sono liberi di espan-dersi a pressione costante in due recipienti diver-si. Entrambi vengono riscaldati alla stessa tempe-ratura. L’idrogeno raddoppia il suo volume men-tre il volume finale dell’elio è 52 mL.� Calcola il volume iniziale di elio contenutonel recipiente. [26 mL]

Un gas è racchiuso dentro un contenitore cilin-drico munito di un pistone libero di muoversi. Latemperatura passa da 20 °C a 42 °C, mentre lapressione sul pistone è mantenuta costante. Il pi-stone, prima del riscaldamento, si trovava a un’al-tezza di 15 cm dalla base del contenitore cilindrico.� Calcola l’altezza finale raggiunta dal pistone.

[16 cm]

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p

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p

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7. La legge di Boyle

Test. In un gas rarefatto e molto lontano dallatemperatura di liquefazione:

la pressione e il volume sono direttamenteproporzionali se la temperatura è libera di va-riare.la pressione e il volume sono inversamenteproporzionali se la temperatura è libera di va-riare.la pressione e il volume sono direttamenteproporzionali se la temperatura è mantenutacostante.la pressione e il volume sono inversamenteproporzionali se la temperatura è mantenutacostante.

Test. Il grafico di un gas che obbedisce alla leggedi Boyle, chiamato isoterma, è:

un arco di iperbole.un arco di parabola.un segmento di retta.un arco di circonferenza.

Una siringa (ben tappata e chiusa da uno stan-tuffo che scorre senza attrito) contiene 0,90 mLdi aria alla pressione atmosferica di 101 kPa.Premiamo lentamente sullo stantuffo (in modoche la temperatura rimanga costante) fino aquando il volume si riduce a 0,40 mL.� Qual è la pressione finale all’interno della si-ringa ? [2,3 � 105 Pa]

Un recipiente munito di pistone a tenuta stagnae con attrito trascurabile contiene 1,28 � 10�3 m3

di gas alla pressione di 102 kPa. Aggiungiamolentamente dei pesi sul pistone per aumentare lapressione, che si porta a 110 kPa.� Quale volume occuperà il gas, se la tempera-tura rimane costante?(Simile al problema svolto a pag. 15)

[1,19 � 10�3 m3]

Durante un esperimento il volume di aria conte-nuto in un serbatoio ben sigillato viene modifi-cato agendo su uno stantuffo. Quando lo stan-tuffo è sollevato lentamente in modo che la tem-peratura rimanga costante, il volume dell’ariaaumenta di 90 mL e la pressione si riduce a 1/3di quella iniziale.� Calcola il volume iniziale di aria. [45 mL]

Due bombole contengono lo stesso gas elio. Laprima contiene 15 � 10�3 m3 di elio alla pressio-ne di 15 atm, mentre la seconda ne contiene5,0 � 10�3 m3 alla pressione di 30 atm. Mante-

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D

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nendo costante la temperatura, le due bombolevengono messe in comunicazione.� Qual è la pressione finale raggiunta nelle duebombole? [19 atm]

8. La seconda legge di Gay-Lussac

Vero o falso? La seconda legge di Gay-Lussacafferma che, a volume costante:a. il rapporto fra la pressione e la

temperatura Celsius rimane costante.b. il rapporto fra la pressione e la

temperatura assoluta rimane costante.c. il prodotto della pressione per la

temperatura Celsius rimane costante.d. il prodotto della pressione per la

temperatura assoluta rimane costante.

Caccia all’errore. «In un termometro a gas, latemperatura è determinata misurando la pres-sione di una data quantità di gas mantenuto avolume costante.»

Una bombola contiene idrogeno alla pressione di5,0 � 105 Pa quando il gas si trova alla temperatu-ra di 16 °C. Successivamente, il manometro dellabombola indica una pressione di 5,5 � 105 Pa.� Qual è ora la temperatura del gas? [45 °C]

Un gas è mantenuto a volume costante alla pres-sione di 1,7 �105 Pa.� Quale sarà la sua pressione allo zero assoluto?(Simile al problema svolto a pag. 17)

[0 Pa]

Stai per partire per le vacanze e porti l’automobi-le a fare un controllo generale. Il tuo meccanicomisura la pressione di uno pneumatico e ottieneil valore di 2,5 atm. La temperatura è di 20 °C.Dopo un viaggio piuttosto lungo, le gomme sisono riscaldate e hanno raggiunto la temperatu-ra di 38 °C.� A quale pressione si trovano adesso le gom-me? (Considera il volume costante.) [2,7 atm]

9. Il gas perfetto

Vero o falso? Il gas perfetto obbedisce:a. alla legge di Boyle.b. alla prima legge di Gay-Lussac ma

non alla seconda legge di Gay-Lussac.c. alla seconda legge di Gay-Lussac. FV

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Completa la tabella. Una certa quantità di ungas che si può considerare come un gas perfettooccupa un volume di 20,0 L alla pressione di100 kPa e alla temperatura di 273 K. In ognunodei tre stati indicati in tabella, trova il valore del-la grandezza mancante.

GRANDEZZE STATO 1 STATO 2 STATO 3

T (K) 350 500

V (L) 30,0 10,0

P (kPa) 150 320

Pensa come un fisico. Perché le bolle d’aria chesi formano sott’acqua diventano più grandi manmano che salgono in superficie?

Un pallone contiene 4,2 L di aria alla tempera-tura di 35 °C e alla pressione di 150 kPa. A uncerto punto, la temperatura scende a 20 °C e lapressione sale a 200 kPa.� Quanto diventa il volume del pallone? [3,2 L]

In un recipiente un gas occupa un volume di0,024 m3 alla pressione di 102 kPa e alla tempe-ratura di 7,0 °C. La pressione viene aumentatafino a 110 kPa e il volume raggiunge 0,029 m3.� Determina la temperatura finale del gas.

[92 °C]

Lo pneumatico di un furgone viene gonfiato conaria inizialmente alla temperatura di 12,0 °C epressione 102 kPa. Durante la procedura, l’aria ècompressa al 27,0% del volume iniziale e la tem-peratura raggiunge 38,0 °C.� Determina la pressione dopo il gonfiaggio.

[412 kPa]

Il pallone sferico di unamongolfiera contiene elioalla pressione di 120 kPae alla temperatura di 300K. Il raggio del pallone èdi 5,00 m.� Determina lo stato incui si trova l’elio nel pal-lone.� Quando la mongolfie-ra sale, la pressione si ri-duce a 110 kPa mentre la temperatura scende a290 K. Qual è ora il volume del pallone?

[p � 120 kPa, T = 300 K, V � 524 m3; 552 m3]

Alla temperatura di 273 K e alla pressione di1,013 � 105 Pa, la densità dell’azoto è 1,25 kg/m3.� Determina la sua densità alla temperatura di57,0 °C e alla pressione di 1,40 � 105 Pa.

[1,43 kg/m3]

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49 10. Atomi e molecole

Vero o falso? Il peso atomico:a. è una misura della massa di un atomo.b. misura il peso di un atomo in unità

opportune.c. è uguale per tutti gli atomi dei diversi

elementi.

Completa la tabella.

ELEMENTO COMPOSTOZucchero �

Acqua

Alluminio

Elio

Plastica

La massa in kilogrammi di un atomo di ferrovale 9,3 � 10�26 kg.� Qual è il suo valore espresso in unità di mas-sa atomica? [56 u]

La molecola di anidride carbonica è formata daun atomo di carbonio (peso atomico 12) e dueatomi di ossigeno (peso atomico 16).� Qual è il valore del peso molecolare dell’ani-dride carbonica?� Qual è il valore in kilogrammi della massa diuna molecola di anidride carbonica?

[44; 7,3 � 10�26 kg]

Un certo numero di atomi di ossigeno (peso ato-mico 16) si combina con un atomo di zolfo performare una molecola (peso molecolare 80). Lamassa dell’atomo di zolfo è 5,3 �10�26 kg.� Quanti atomi di ossigeno servono per forma-re una molecola del composto? [3]

11. La mole e il numero di Avogadro

Test. La definizione di mole può essere applicata:soltanto alle molecole.a qualunque oggetto.alla massa di ciascun tipo di atomo.soltanto a oggetti microscopici.

Vero o falso?a. Il numero di Avogadro è pari

a 6,02 � 10�23.b. L’unità di misura del numero

di Avogadro è mol�1. FV

FV

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FV

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Chas

e Sw

ift/C

orbi

s Im

ages

c. La massa in grammi di una sostanza numericamente uguale al suo peso molecolare o atomico contiene un numero di molecole o atomi pari al numero di Avogadro.

Un recipiente contiene 3,2 g di elio. Il peso ato-mico dell’elio è 4,0 g/mol.� Calcola quanti atomi di elio sono contenutinel recipiente.(Simile al problema svolto a pag. 26)

[4,8 � 1023]

Il peso atomico dell’ossigeno è 16 e quello delpiombo è 207.� Ci sono più atomi in 32 g di ossigeno o in83 g di piombo?[1,2 � 1024 atomi di ossigeno, 2,4 � 1023 atomi di piombo]

12. L’equazione di stato del gas perfetto

Test. Il prodotto della pressione e del volume diun gas perfetto per un numero di moli fissato è:

direttamente proporzionale alla temperaturaassoluta del gas.direttamente proporzionale alla temperaturadel gas espressa in gradi Celsius.direttamente proporzionale alla temperaturadel gas, comunque sia espressa.costante per qualsiasi temperatura del gas.

Pensa come un fisico. Un recipiente sigillato e apareti rigide contiene un gas. Come varia lapressione se lo riscaldiamo?

Un gas contiene 1,0 moli di gas alla temperaturadi 21 °C e alla pressione di 1,4 � 105 Pa.� Determina il suo volume nell’ipotesi che ilgas si comporti come un gas perfetto.(Simile al problema svolto a pag. 28)

[1,7 � 10�2 m3]

Un palloncino di elio perfettamente sferico haun raggio di 15,0 cm. Al suo interno la pressioneè di 1,05 � 105 Pa e la temperatura è di 28,0 °C.� Quante moli di elio sono contenute nel pal-loncino? [0,593]

Un gas contiene 1,5 mol di gas alla temperaturadi 15 °C e alla pressione di 1,1 �105 Pa. Dopoaverlo riscaldato a pressione costante il gas oc-cupa un volume finale di 38 L.� Calcola il volume iniziale del gas.� Calcola la temperatura finale del gas.

[33 L; 62 °C]

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Un recipiente di 15,0 L a 21,0 °C contiene 4,80moli di ossigeno e 2,15 moli di azoto.� Calcola la pressione totale esercitata dai gasnel recipiente. [1,13 � 106 Pa]

PROBLEMI GENERALI

Un tipo di termostato funziona grazie a due lami-ne metalliche di materiali diversi, saldate insieme.Considera due lamine della lunghezza di 10,0 cm,una di ferro e una di zinco, accoppiate come nel di-segno e che vengono riscaldate di 150 °C.

� Qual è l’allungamento di ciascuna lamina?� Qual è la differenza di allungamento fra ledue lamine?� Cosa accade alle due lamine in seguito alloro allungamento? [0,18 mm; 0,45 mm; 0,27 mm]

Una certa quantità di liquido passa dal volume di1,000 L al volume di 1,075 L quando la sua tem-peratura aumenta di 100 °C.� Qual è il coefficiente di dilatazione del liqui-do considerato?� Di quanto dovrebbe variare la temperaturaper produrre un ulteriore aumento di volumepari a 25 mL? [7,5 � 10�4 K�1; 31 °C]

La molecola di metanolo è formata da un atomodi carbonio (peso atomico 12,011), un atomo diossigeno (peso atomico 15,9994) e quattro atomidi idrogeno (peso atomico 1,008).

� Qual è il valore del pesomolecolare del metanolo?� Qual è la percentuale inmassa dell’idrogeno su unacerta quantità di metanolo?[32,042; 12,6%]

Un serbatoio di 5,20 L contiene azoto alla tempe-ratura di 27,0 °C e alla pressione di 27,0 � 105 Pa.Il peso molecolare del gas è 28 g/mol.� Qual è la massa di azoto contenuta nel serba-toio? [0,16 kg]

Nel luglio 2002 il miliardario statunitense SteveFossett è riuscito a circumnavigare la Terra «insolitario» su di una mongolfiera. Al momento

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della partenza l’aria contenuta nel pallone si tro-vava alla temperatura di 30,0 °C, alla pressionedi 101 kPa e alla densità di 1,20 kg/m3. Il primogiorno il pallone è salito in quota, portando l’ariaal suo interno alla temperatura di � 35,0 °C ealla pressione di 50,0 kPa.� Determina il volume che occupava in quotauna quantità d’aria che al suolo occupava un vo-lume di 1,10 m3.� Calcola la variazione percentuale del volume.� Determina infine il valore della densità del-l’aria in quota. [1,75 m3; 59%; 0,756 kg/m3]

Una certa quantità di gas perfetto si trova inizial-mente in uno stato con pressione pari a 101 kPa,volume 25,0 L e temperatura 300 K. Poi subiscedue trasformazioni successive, come mostratonel grafico:

1) prima la temperatura aumenta a pressionecostante fino al valore di 400 K;

2) poi, la temperatura rimane costante mentre ilvolume è dimezzato.

� Determina i valori finali delle variabili chedescrivono lo stato del gas. [202 kPa; 16,7 L; 400 K]

Il numero di molecole per unità di volume nel-l’atmosfera del pianeta Marte è 3,0 � 1023 mole-cole/m3. La pressione atmosferica media vale0,92 kPa.� Qual è la temperatura media su Marte?(Considera l’atmosfera un gas perfetto.)� Dai una stima del numero di molecole conte-nute per unità di volume nell’atmosfera dellaTerra, procurandoti i dati della pressione e dellatemperatura medie sulla superficie terrestre.

[� 51 °C]

Un recipiente contiene 12,0 kg di azoto (pesoatomico 14,0 g/mol) alla pressione di 4,80 � 105 Pa.Un identico recipiente, a parità di volume edi temperatura, contiene elio alla pressionedi 3,80 � 105 Pa. Il peso atomico dell’elio è4,00 g/mol.

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� Quanto vale la massa di elio contenuta nel re-cipiente?(Suggerimento: guarda i problemi svolti nei para-grafi 11 e 12)

[1,36 kg]

Un subacqueo in immersione emette una bollad’acqua che, quando raggiunge la superficie, haraddoppiato il suo volume. Facciamo l’ipotesiche la temperatura si mantenga costante.� A che profondità si trova il subacqueo?

[10,3 m]

QUESITI PER L’ESAME DI STATO

Rispondi ai quesiti in un massimo di 10 righe.

Spiega per quali ragioni si introduce la scala as-soluta di temperature.

Illustra la prima legge di Gay-Lussac, ed esplici-ta le ipotesi sotto le quali è valida.

Ricava l’equazione di stato del gas perfetto.

TEST

In quale delle seguenti affermazioni il valore nu-merico non cambia passando dai gradi Celsius aikelvin?

Lo zero assoluto corrisponde a �273 °C.Nel corso del giorno, la temperatura varia tra10 °C e 25 °C.La temperatura di solidificazione dell’acquaè di 0 °C.La temperatura del corpo umano può variaredi 1 °C in condizioni normali.

In quali unità di misura si esprime il coefficientedi dilatazione lineare?

Kelvin.Metri fratto kelvin.Kelvin fratto metro.Kelvin alla meno uno.

In quale caso la variazione di volume di due og-getti solidi è la stessa?

Se la variazione di temperatura è la stessa.Se le variazioni di temperatura e il volumeiniziale sono gli stessi.Se la variazione di temperatura e il materialecostituente sono gli stessi.Se la variazione di temperatura, il volumeiniziale e il materiale costituente sono glistessi.

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VV2 V0 V1

Quale fra i seguenti grafici rappresenta la rela-zione fra l’allungamento �l di una barra e la va-riazione �T di temperatura?

In quale dei seguenti casi si realizza la compres-sione di un gas a pressione costante?

Riscaldando il gas in un recipiente con un pi-stone libero di muoversi.Raffreddando il gas in un recipiente con unpistone libero di muoversi.Togliendo lentamente pesi dal pistone cheracchiude il contenitore del gas.Aggiungendo lentamente pesi sul pistone cheracchiude il contenitore del gas.

Due fili metallici A e B hanno la stessa lunghez-za. Riscaldati alla stessa temperatura, A si allun-ga del doppio rispetto a B. Quindi:

il coefficiente di dilatazione di A è il doppiodi quello di B.il coefficiente di dilatazione di A è la metà diquello di B.il coefficiente di dilatazione di A è maggioredi quello di B.non si può dire nulla, senza sapere di che me-talli si tratta.

Se la prima legge di Gay-Lussac è valida, qualeimportante proprietà vale per la costante �?

Ha un valore triplo di quello valido per i solidi.Ha un valore triplo di quello valido per i li-quidi.Ha lo stesso valore per tutte le sostanze allostato gassoso.Ha un valore costante e diverso per ogni so-stanza allo stato gassoso.

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BA

4 La legge di Boyle è valida:in una trasformazione isòbara.in una trasformazione isocòra.in una trasformazione isoterma.in una trasformazione qualunque.

Quando la temperatura di un gas aumenta da30 °C a 60 °C a pressione costante, il suo volume:

raddoppia.si dimezza.resta costante.sicuramente aumenta.

In quale dei seguenti casi si realizza la compres-sione di un gas a temperatura costante?

Riscaldando il gas in un recipiente con un pi-stone libero di muoversi.Raffreddando il gas in un recipiente con unpistone libero di muoversi.Togliendo lentamente pesi del pistone cheracchiude il contenitore del gas.Aggiungendo lentamente pesi sul pistone cheracchiude il contenitore del gas.

Due molecole poste a una distanza decrescente:si attirano in qualsiasi caso.si respingono in qualsiasi caso.si attirano, poi iniziano a respingersi quandosono molto vicine.si respingono, poi iniziano ad attirarsi quan-do sono molto vicine.

If the mass of a silver coin is doubled:the number of moles doubles too.the number of moles is halved.the number of atoms remains the same.the number of moles remains the same.

Una mole di gas perfetto occupa un volume di:22,4 L a qualsiasi pressione e alla temperatu-ra di 0 °C.22,4 L alla pressione atmosferica e alla tem-peratura di 0 °C.22,4 L alla pressione atmosferica e alla tem-peratura di 0 K.22,4 L alla pressione atmosferica e a qualsiasitemperatura.

Un gas perfetto subisce una trasformazione incui il volume e la pressione si riducono a 1/3 delvalore iniziale. La temperatura:

si riduce a 1/3 del valore iniziale.rimane costante.si riduce a 1/9 del suo valore iniziale.triplica il suo valore.D

CBA

14

D

C

B

A13

DCBA

12

D

CBA

11

D

C

B

A

10

DCBA

9

DCBA

8

40

ESER

CIZI

TERMOLOGIA

∆l

∆T

∆l

∆T

∆l

∆T

∆l

∆T

41

ESER

CIZI


Un recipiente a volume costante contiene 4 molidi gas. Inseriamo nel recipiente altre 4 moli di gasmantenendo la temperatura costante. La pressio-ne finale sarà:

uguale a quella iniziale.il quadruplo di quella iniziale.la metà di quella iniziale.il doppio di quella iniziale.

Nell’equazione di stato dei gas perfetti, la tem-peratura assoluta è:

direttamente proporzionale al numero di molidel gas.direttamente proporzionale solamente al vo-lume del gas.direttamente proporzionale solamente allapressione del gas.direttamente proporzionale al prodotto dellapressione e del volume del gas.

VERSO L’UNIVERSITÀ

Comprensione del testo

«L’umanità oggi usa più della metà dell’acqua potabile adisposizione. L’acqua potabile è la risorsa più poveranel Medio Oriente e nell’Africa Settentrionale. Gli sfor-zi di dosare l’acqua potabile in questi Paesi, oltre chein Asia Orientale e nel Pacifico, non hanno successo.La produzione di cibo globale mostra oggi di venire sor-passata dall’incremento demografico e dei consumi. Èvasta opinione che nel 2030 la domanda di … sarà rad-doppiata. La gran parte della terra adatta a coltivazioneagricola è già oggi sotto sfruttamento. L’aumento di pro-duzione agricola nell’Africa sub-sahariana è di un terzoinferiore all’incremento di popolazione. La regione pro-duce oggi 1’80% di ciò che consuma, e il prodottopro-capite va declinando. Le proiezioni indicano che ladomanda di … in Asia eccederà la disponibilità già nel2010. È prevedibile, quindi, che in molti Paesi il livellodel consumo alimentare rimanga del tutto inadeguatoper una buona nutrizione. La malnutrizione diffusa per-sisterà a meno che non vengano prese misure straordi-narie capaci di garantire … per tutti: azioni del genere,oggi, non sono nemmeno contemplate dai governi. Lealterazioni climatiche, influendo negativamente sullafornitura di acqua, sulle condizioni del suolo, sulla tem-peratura, sulle stagioni di crescita, avranno l’effetto diesacerbare i suddetti problemi alimentari.»(Andrea Frova, La fisica sotto il naso, BUR Saggi)

Dalla lettura del testo individuare quale parola,tra le seguenti, è stata eliminata e sostituita con ipuntini:

acqua;cibo;B

A

1

D

C

B

A

16

DCBA

15 energia;terra;materie prime.

Quali tra le frasi scritte di seguito non è deducibi-le dal testo?

L’aumento di produzione agricola è scarso.Il rapporto domanda/disponibilità di alimentiè in aumento.Le alterazioni climatiche aumenteranno i pro-blemi alimentari.Le alterazioni del clima faciliteranno le forni-ture idriche.Senza un impegno politico la malnutrizioneresterà un problema.

Test di ammissione

Una bombola di 10 L che contiene azoto gassosoalla pressione di 100 Pa viene collegata a unabombola vuota di 30 L. Se l’azoto si comportacome un gas perfetto, la pressione finale sarà:

33,3 Pa40 Pa25 Pa20 Pa100 Pa

(Prova di ammissione al corso di laurea in Inge-gneria, 1999/2000)

Una camera d’aria di volume V contiene aria allapressione di 180 kPa. Se la camera viene compressaa temperatura costante fino al volume 3/5 V quan-to vale la pressione finale dell’aria (considerata co-me gas perfetto)?

500 kPa162 kPa300 kPa360 kPa108 kPa

(Prova di ammissione al corso di laurea in Inge-gneria, 2002/2003)

PROVE D’ESAME ALL’UNIVERSITÀ

Una sbarretta di vetro lunga 30 cm viene scaldatain modo che la sua temperatura aumenti di 65 °C.Calcolare l’allungamento della sbarretta, sapendoche il coefficiente di dilatazione lineare del vetroè � � 9 � 10�6 °C�1.(Esame di Fisica, Corso di laurea in Scienze bio-logiche, Università di Genova, 2004/2005)

1

EDCBA

2

EDCBA

1

E

D

C

BA

2

EDC

69 PDF

Lo studente trova queste pagine:p su amaldipiu.zanichelli.it in PDF p nelle Risorse digitaliPAGINE PER L’INSEGNANTE

Una pentola che contiene 3,0 L d’acqua è posta su un for-nello che le trasmette 800 J al secondo.

▶ Quanto tempo serve per scaldare l’acqua di 20 °C?[3,1 × 102 s]

Un cilindro di ferro a 150 °C viene immerso in una va-sca piena d’acqua. Il cilindro ha diametro 40 mm e altez-za 80 mm, e la temperatura di equilibrio è di 20 °C. La densità del ferro è 7870 kg/m3.

▶ Calcola la capacità termica del cilindro di ferro.

▶ Calcola la quantità di calore ceduta all’acqua dal ci-lindro.

[3,6 × 102 J/K; 4,7 × 104 J]

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doMande e proBLeMi in piÙ

Il pranzo di Beatrice ha un apporto energetico di 500 kcal. Un’ora di bicicletta comporta un consumo di 1,5 MJ.

▶ Quante ore deve pedalare Beatrice per smaltire il pran-zo? (1 cal = 4,186 J)

[1,4 h]

Luigi ha appena fatto al bar una colazione da 200 kcal. Giunto a scuola, sale di corsa le scale, formate da gradini tutti uguali, alti 22,0 cm. La massa di Luigi è 65 kg.

▶ Quanti gradini dovrebbe salire per consumare intera-mente l’energia fornita dalla colazione?

▶ Quante kilocalorie consuma effettivamente salendo tre rampe da tredici scalini ciascuna?

[6,0 × 103; 1,3 kcal]

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2 iL CaLore

3 iL CaLore speCiFiCo e La CapaCitÀ terMiCa

5 i CaMBiaMenti di stato di aggregaZione

Un serbatoio cilindrico di raggio pari a 2,0 m e alto 12 m è riempito per 2/3 di acqua. Puoi trascurare gli scambi di calore con l’esterno.

▶ Calcola la capacità termica dell’acqua contenuta nel serbatoio.

▶ Qual è la quantità di calore necessaria per scaldare di 15 °C l’acqua del serbatoio?

[4,2 × 108 J/K; 6,3 × 109 J]

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Uno sciatore di fondo percorre una pista in piano. La temperatura della neve è di 0 °C; il coefficiente di attrito dinamico tra gli sci e la neve è 0,05 e lo sciatore ha mas-sa 82 kg.

▶ Calcola la distanza che dovrebbe percorrere lo sciato-re per sciogliere 500 g di neve. Supponi che tutta l’e-nergia derivante dal lavoro della forza di attrito venga assorbita dalla neve.

[4 km]

Dell’alcol etilico inizialmente a 22 °C viene riscaldato fornendogli calore alla potenza costante di 1,75 kW. L’al-col giunge a ebollizione dopo 7 min 20 s. Il calore speci-fico dell’alcol etilico è 0,581 cal/(g · K).

▶ Calcola la massa d’alcol.

▶ Continuando a fornire la stessa quantità di calore, quanto tempo impiega l’alcol a evaporare completa-mente?

[5,7 kg; 46 min]

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14 LA TERMOLOGIATERMODInAMIcA

70 PDF

proBLeMi generaLi

Del ghiaccio a 0 °C viene inserito in un calorimetro che contiene 450 mL d’acqua a 19 °C. Il ghiaccio fonde com-pletamente, e la temperatura di equilibrio dell’acqua ri-sulta 4 °C.

▶ Calcola la massa del ghiaccio.[81 g]

teCnoLogia Il pannello solare è un dispositivo che converte la radiazione solare in energia termica scaldan-do dell’acqua, che viene successivamente utilizzata per il riscaldamento domestico. Un pannello ha un’efficien-

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za di conversione del 45%; l’acqua entra con una tempe-ratura di 18 °C ed esce a 52 °C. Considera una giornata in cui la potenza media della radiazione solare incidente sia 180 W/m2.

▶ Quanti metri quadrati di pannello servono per forni-re 120 L d’acqua calda in una giornata?

Suggerimento: Il pannello solare assorbe un’energia ΔEsol, pari alla potenza media solare moltiplicata per la superficie da tro-vare per il tempo, cioè un giorno. Di questa energia, solo il 45% viene usata per riscaldare l’acqua.

[2,4 m2]

Documents

1 GRANDEZZE FISICHE L’ENERGIA E LE ALTRE · 2020. 6. 14. · pacchi di pasta da 5 hg e sette uova da 650 dg. f Esprimi in kilogrammi la massa del sacco. [7,205 kg] 11. L’AREA