2

1. Информация из ФГОС, относящаяся к дисциплине

1.1. Вид деятельности выпускника Дисциплина охватывает круг вопросов относящиеся к виду деятель-

ности выпускника: производственно-технологической и научно-исследовательской.

1.2. Задачи профессиональной деятельности выпускника В дисциплине рассматриваются указанные в ФГОС задачи професси-

ональной деятельности выпускника: Бакалавр по направлению подготовки “Технология художественной

обработки материалов” должен быть подготовлен к решению следующих обобщенных типов задач:

а) в области производственно-технологической деятельности: выбирать материалы для изготовления художественно-

промышленной продукции; определять физико-химические свойства выбранных материалов. б) в области научно-исследовательской деятельности:

проводить классификацию материалов для изготовления художе-ственно-промышленных объектов (по различным классификационным признакам);

Перечень компетенций, установленных ФГОС Освоение программы настоящей дисциплины позволит сформировать

у обучающегося следующие компетенции: общекультурные: владеть основными методами, способами и средствами получе-ния, хранения, переработки кристаллографической информации, иметь навыки работы с компьютерными программами, позволя-ющими создавать кристаллографические модели

общенаучные: обладать необходимым комплексом знаний в области естествен-ных, социальных, экономических, гуманитарных наук, предусмот-ренным основной образовательной программой, позволяющих успешно решать профессиональные задачи и оценивать качество их выполнения;

быть готовым использовать основные законы естественнонауч-ных дисциплин в профессиональной деятельности;

профессиональные: быть способным к выбору оптимального материала и технологии его обработки для изготовления готовых изделий;

быть способным к систематизации и классификации материалов и технологических процессов в зависимости от функционального назначения и художественных особенностей изготавливаемого объекта.

3

1.3. Перечень умений и знаний, установленных ФГОС Студент после освоения программы настоящей дисциплины должен: знать: современную структурную систематику кристаллов; основные морфологические признаки реальных природных кри-

сталлов; кристаллохимические особенности, определяющие химический

состав и внутреннее строение кристаллов минералов уметь: определять кристаллы минералов по набору физических, оптиче-

ских и других признаков; предсказывать возможный набор сопутствующих кристаллов при

обнаружении в образцах отдельных кристаллических индивидов. владеть: приемами и способами диагностики минералов.

2. Цели и задачи освоения программы дисциплины

Цели изучения дисциплины: Получение студентами знаний по основным теоретическим и при-

кладным вопросам кристаллографии как научной базы исследований состава и строения кристаллического вещества.

Задачи изучения дисциплины: определение элементов симметрии кристаллов и составление формул

симметрии определение по внешней форме вида симметрии, сингонии и катего-

рии; обучение распознавания комбинаций простых форм кристаллов

3. Место дисциплины в структуре ООП

Для изучения дисциплины, необходимо освоение содержания дис-циплин: физика, химия, математика, общая геология, материаловеде-ние.

Знания и умения, приобретаемые студентами после освоения со-держания дисциплины, будут использоваться в области геммологии, минералогии и технологии художественной обработки материалов. 4. Компетенции обучающегося, формируемые освоения дисци-

плины (результаты освоения дисциплины)

В результате освоения дисциплины обучающийся должен: уметь:

Анализировать комбинации простых форм; Описывать структуры минералов; Решать кристаллографические задачи с помощью сетки Вльфа;

4

Определять физические и механические свойства минералов; знать:

Простые формы кристаллических многогранников; Типы кристаллических структур; Физические свойства минералов; владеть:

методами графического вычисления кристаллов

5. Основная структура дисциплины. Таблица 1 – Структура дисциплины

Вид учебной работы Трудоемкость, часов Всего Семестр

№ 2 № № Общая трудоемкость дисциплины 72 72 Аудиторные занятия, в том числе: 36 36

лекции 18 18 лабораторные работы 18 18 практические/семинарские занятия

Самостоятельная работа (в том числе кур-совое проектирование)

36 36

Вид промежуточной аттестации (итогово-го контроля по дисциплине), в том числе курсовое проектирование

зачёт

6. Содержание дисциплины 6.1. Перечень основных разделов и тем дисциплины

6.1.1. Геометрическая кристаллография; 6.1.2. Структурная кристаллография; 6.1.3. Элементы кристаллохимии и кристаллофизики.

6.2. Краткое описание содержания теоретической части разделов

и тем дисциплины

Раздел 1. Геометрическая кристаллография. Подраздел 1.1. Симметрия кристаллов

Тема 1.1.1. Элементы симметрии. Теоремы о сочетании элементов симметрии.

Одним из свойств, присущих кристаллам, является симметрия. Симмет-рия - (от греческого «соразмерность») - закономерная повторяемость рав-ных фигур или равных частей одной и той же фигуры в пространстве. Две фигуры называются равными, если расстояние между двумя лю-

быми точками одной фигуры равно расстоянию между двумя соответ-ственными точками другой. Вспомогательные геометрические образы, с помощью которых выявляется симметрия, называются элементами сим-

5

метрии. К элементам симметрии относятся центр симметрии, оси и плос-кости симметрии. Центр симметрии – воображаемая точка внутри фигуры, в которой пе-

ресекаются и делятся пополам все прямые, соединяющие соответствен-ные точки на поверхности фигуры (рис. 1). В формуле симметрии обозна-чается символом С (табл. 1). В многограннике, обладающем центром симметрии, каждой грани отве-

чает другая грань, равная и параллельная первой. Плоскость симметрии – воображаемая плоскость, разделяющая фигуру

на две зеркально-равные части (рис. 2). В формуле симметрии обознача-ется символом P (табл. 1). Плоскости симметрии проходят перпендикулярно граням и рёбрам через

их середины или же идут вдоль рёбер, образуя равные углы с одинаковыми гранями и рёбрами. При подсчёте количества плоскостей симметрии в исследуемой фигуре

нужно держать её в одном положении, для того чтобы одну и ту же плос-кость не сосчитать несколько раз. В кристаллах количество плоскостей симметрии ограничивается следующими цифрами: одна, две, три, четыре, пять, шесть, семь и девять. Например, в кубе насчитывается девять плос-костей симметрии. Ось симметрии – воображаемая прямая линия (ось), при вращении во-

круг которой на 360 фигура совпадает сама с собой n раз. Количество совпадений n – отвечает порядку оси симметрии. Например, если при вращении на 360 вокруг оси фигура совпадает сама с собой через каждые 180, то есть дважды, то порядок оси симметрии – второй; если – через 120, то есть трижды, – третий и т.п. В формуле симметрии ось обознача-ется символом Ln (табл. 1). В кристаллических многогранниках и их струк-турах возможны оси симметрии второго, третьего, четвёртого и шестого порядка. Ось симметрии инверсионная – прямая линия (ось), при повороте во-

круг которой на определённый угол и последующем её отражении в цен-тральной точке, фигура совпадает сама с собой. В формуле симметрии обозначается символом Lin. Существуют инверсионные оси симметрии четвёртого и шестого порядка.

Рис. 1. Фигуры с центром симметрии (А и Б) и без центра симметрии (В)

6

Рис. 3. Положение осей симметрии в кубе: А – три оси четвёртого по-рядка (в центрах граней), Б – четыре оси третьего порядка (в вершинахгранных углов), В – шесть осей второго порядка (в серединах рёбер)

Инверсионная ось симметрии четвёрто-го порядка – совпада-ет с простой двойной осью симметрии (при отсутствии центра симметрии). Угол по-ворота - 90. Инвер-сионная ось симмет-рии шестого порядка – совпадает с простой тройной осью симмет-рии при наличии пер-пендикулярной ей плоскости симметрии (Li6 = L3+ Р). Угол по-ворота - 60.

Оси симметрии могут выходить в центрах граней, в серединах рёбер и в вершинах гранных углов (рис. 3). В кристаллах количество осей симмет-рии строго закономерно: осей второго порядка может быть одна, три, че-тыре или шесть, осей третьего порядка может быть одна или четыре, осей четвёртого порядка может быть одна или три, а ось шестого порядка может быть только одна. Так же в единственном числе могут встречаться инвер-сионные оси четвёртого или шестого порядка. Полная симметрия кристаллических многогранников описывается в ви-

де формулы симметрии, в которой на первом месте стоят оси симметрии по убыванию порядка (L6, L4, L3, L2), на втором – плоскости симметрии и на третьем – центр симметрии (если он есть). Перед каждым символом элемента симметрии цифрой указывается его количество. Например, за-

Рис. 2. Р1 и Р2 – следы плоскостей симмет-рии прямоугольника, Р3 – не является следомплоскости симметрии

7

пись 4L33L23РС означает, что симметрия модели выявляется с помощью четырёх осей третьего порядка, трёх осей второго порядка, трёх плоско-стей и центра симметрии.

Таблица 1 - Обозначение и изображение в проекции элементов симметрии

Элемент симметрии

Обозначение Изображение в проекции

на плоскость

в форму-ле

между-народ-ное

параллельно плоскости проекции

перпендику-лярно плос-кости про-екции

Центр симметрии С 1 C Плоскость сим-метрии

Р m

Оси симметрии: Ln второго порядка L2 2 третьего порядка L3 3

четвёртого порядка L4 4 шестого порядка L6 6 Инверсионные оси:

Li

четвёртого порядка Li4

4

шестого порядка Li6

6

Существует ряд теорем, позволяющих строго математически вывести все возможные совокупности элементов симметрии.

Теорема 1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии есть ось симметрии, причём угол поворота вокруг этой оси в два раза больше угла между плоскостями.

Теорема 2. Точка пересечения чётной оси симметрии L2n с перпенди-кулярной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии С.

Теорема 3. Если есть ось симметрии n-го порядка и перпендикуляр-ная ей ось второго порядка, то всего таких осей должно быть n.

Теорема 4. Если есть ось симметрии n-го порядка и вдоль нее прохо-дит плоскость симметрии, то таких плоскостей имеется n.

Теорема 5. Равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку их пересечения.

Теорема 6. Плоскость, проходящая вдоль четной инверсионной оси симметрии, приводит к появлению оси второго порядка, перпендикуляр-ной инверсионной оси и проходящей по биссектрисе угла между плоско-стями.

8

Тема 1.1.2 Единичные и симметрично равные направления. Вывод тридцати двух видов симметрии.

Единственное, не повторяющееся в кристалле направление называется единичным.

Повторяющиеся в кристалле направления, связанные элементами симметрии, называются симметрично-равными.

Положение единичных направлений относительно элементов симмет-рии:

1. В присутствии единичных направлений возможен центр симметрии, лежащий в середине фигуры.

2. Единичное направление может располагаться перпендикулярно плос-кости симметрии или быть совмещенным с ней.

3. Единичное направление может располагаться перпендикулярно оси симметрии второго порядка или может быть совмещено с осью любо-го порядка. Единичные направления в кристаллах могут либо присутствовать, ли-

бо отсутствовать. Соответственно этому и вывод видов симметрии делится на две части.

В первой рассматриваются виды симметрии для кристаллов с единич-ными направлениями, во второй – для кристаллов без них.

А. Виды симметрии кристаллов, обладающих единичными направлениями. Относящиеся сюда кристаллические многогранники имеют по меньшей мере одно единичное направление. Примем его за ис-ходное. Будем последовательно присоединять к нему элементы симметрии так, чтобы оно оставалось единичным.

1) Единичное направление совпадает с единственной осью симметрии Ln.

L1, L2, L3, L4, L6 – примитивные виды симметрии 2) К исходному единичному направлению прибавляется центр сим-

метрии С. L1 +С=С, L2+С= L2РС, L3+С= L3С, L4+С= L4РС , L6+С= L6РС - цен-

тральные виды симметрии. 3) К исходному единичному направлению прибавляется плоскость

симметрии, идущая вдоль него. L1 +Р=Р, L2+Р= L22Р, L3+Р= L33Р, L4+Р= L44Р , L6+Р= L66Р - пла-

нальные виды симметрии. 4) Перпендикулярно исходному единичному направлению присоеди-

няется ось второго порядка. L1 + L2= L2, L2+L2= 3L2, L3+L2= L33L2, L4+L2= L44L2 , L6+L2= L66L2 –

аксиальные виды симметрии. 5) К исходному единичному направлению прибавляется центр сим-

метрии С и плоскость симметрии, идущая вдоль него L1+С+Р=L2РС, L2+С+Р=3L23РС, L3+С+Р=L33L23РС,

L4+С+Р=L44L25С, L6+С+Р= L66L27РС – планаксиальные виды симметрии. 6) Единичное направление совпадает с инверсионной осью симметрии

Lin

9

Li4, Li6 – инверсионно-примитивные виды симметрии. 7) К исходному единичному направлению прибавляется плоскость

симметрии, идущая вдоль него. Li4+Р = Li42L22Р, Li6+Р = Li63L23Р – инверсиооно-планальные виды

симметрии. Б. Виды симметрии кристаллов, не обладающих единичными

направлениями. Из каждого направления выводятся симметрично-равные ему. 1) Совокупность осей симметрии кубического тетраэдра принимаем за

примитивный вид симметрии. 4L33L2 2) К исходной совокупности осей симметрии добавляем центр сим-

метрии 4L33L2+С=4L33L23РС – центральный вид симметрии. 3) Вдоль осей третьего порядка проводим плоскости симметрии 4L33L2+Р=4L33L26Р – планальный вид симметрии. 4) Добавляем перпендикулярно осям третьего порядка оси второго

порядка: 4L33L2+ L2=4L33L26L2 – аксиальный вид симметрии. 5) Добавляем перпендикулярно осям третьего порядка оси второго

порядка и центр симметрии: 4L33L2+ L2+С =4L33L26L29РС – планаксиальный вид симметрии. В результате вывод получено тридцать два вида симметрии – трид-

цать две совокупности элементов симметрии, возможных для кристалли-ческих многогранников (таблица 2).

Таблица 2 – Тридцать два вида симметрии

Сингония Название вида симметрии по

общей простой форме Формула

Международное обозначение

триклинная моноэдрический L1 1 пинакоидальный С -1

моно-

клин

-ная

диэдрический безосный Р m диэдрический осевой L2 2 призматический L2РС 2/m

ром

-биче

-ская

ромбо-пирамидальный L22Р mm ромбо-тетраэдрический 3L2 222 ромбо-дипирамидальный 3L23РС mmm

тригональ-

ная

тригонально-пирамидальный L3 3 ромбоэдрический L3С -3 дитригонально-пирамидальный L33Р 3m тригонально-трапецоэдрический L33L2 32 тригонально-скаленоэдрический L33L23РС -3m

10

Сингония Название вида симметрии по

общей простой форме Формула

Международное обозначение

тетрагональная

тетрагонально-пирамидальный L4 4 тетрагонально-дипирамидальный

L4РС 4/m

дитетрагонально-пирамидальный

L44Р 4mm

тетрагонально-трапецоэдрический

L44L2 422

дитетрагонально-дипирамидальный

L44L25РС 4/mmm

тетрагонально-тетраэдрический Li4 = L2 -4 тетрагонально-скаленоэдрический

Li42L22Р = 3L22Р -42m

гексагональная

гексагонально-пирамидальный L6 6 гексагонально-дипирамидальный

L6РС 6/m

дигексагонально-пирамидальный

L66Р 6mm

гексагонально-трапецоэдрический

L66L2 622

дигексагонально-дипирамидальный

L66L27РС 6/mmm

тригонально-дипирамидальный Li6 = L3Р -6 дитригонально-дипирамидальный

Li63L23Р= L33L24Р

-6m2

кубическая

пентагон-тритетраэдрический 4L33L2 23 дидодекаэдрический 4L33L23РС m3 гексатетраэдрический 4L33L26Р -43m пентагон-триоктаэдрический 3L44L36L2 432 гексоктаэдрический 3L44L36L29РС m3m

Тема 1.1.3 Категории и сингонии. Кристаллографические системы осей координат.

Видом симметрии кристаллического многогранника называется пол-ная совокупность его элементов симметрии. Существует 32 вида симмет-рии.

Сингония - группа видов симметрии, обладающих одним или не-сколькими сходными элементами симметрии. Существует 7 сингоний: триклинная, моноклинная, ромбическая, тригональная, тетрагональная, гексагональная и кубическая.

В зависимости от числа единичных направлений сингонии объединя-ются в три категории: низшую, среднюю и высшую (табл. 3).

11

Таблица 3 – Характеристика сингоний и категорий

Категория Сингония Число единич-ных направле-

ний

Характерные элементы сим-

метрии

низшая

триклинная все L1, C

моноклинная множество P, L2, L2PC

ромбическая три L22P,3L2, 3L23PC

средняя

тригональная одно L3

тетрагональная одно L4, Li4

гексагональная одно L6, Li3

высшая кубическая нет 4L3

В анизотропной кристаллической среде трёхмерная система коорди-

нат выбирается в соответствии с симметрией среды. В общем случае – это косоугольная система координат с неодинаковыми масштабными отрезка-ми по осям Х, У и Z (а, b, с).

Кубическая сингония. а = b = c, = = = 90º. Оси координат должны совпадать с осями четвёртого или второго порядка.

Тетрагональная сингония. а = b c, = = = 90º. Ось Z должна сов-падать с осью четвёртого порядка, оси X и Y – с осями второго порядка или с перпендикулярами к плоскостям симметрии, идущим вдоль оси чет-вёртого порядка.

Тригональная и гексагональная сингонии. а = b c, = = 90º, = 120º. Ось Z должна совпадать с осью третьего или шестого порядка, оси X и Y – с осями второго порядка или с перпендикулярами к плоскостям сим-метрии, идущим вдоль оси третьего или шестого порядка.

Ромбическая сингония. а b c, с < a < b, = = = 90º. Оси коорди-нат должны совпадать с осями второго порядка, или с перпендикулярами к плоскостям симметрии.

Моноклинная сингония. а b c, = = 90º . Ось Y должна сов-падать с осью второго порядка, или быть перпендикулярна плоскости сим-метрии, оси X и Z расположены в плоскости, перпендикулярной оси Y Их взаимное расположение определяется рёбрами кристалла.

Триклинная сингония. а b c, с < a < b, . Оси координат выбираются по рёбрам кристалла.

12

Подраздел 1.2 Формы кристаллов

Тема 1.2.1 Простые формы и комбинации. Простые формы низшей, средней и высшей категорий.

Простая форма – многогранник, все грани которого образованы из одной грани с помощью элементов симметрии, и поэтому все грани простой формы равны по площади и одинаковы по форме. Простая форма, замыкающая пространство, называется закрытой и мо-

жет существовать самостоятельно. Например, куб (рис. 8). Простая форма, не замыкающая пространства, называется открытой и может существо-вать только в комбинации с другими простыми формами. Например, гекса-гональная пирамида (рис. 7), если её не ограничить снизу моноэдром, не замыкает пространство. Простая форма, грани которой располагаются косо относительно всех осей и плоскостей симметрии, называется общей про-стой формой. Простая форма, грани которой или перпендикулярны, или параллельны хотя бы одной оси или плоскости симметрии, или же распо-ложены симметрично относительно двух или нескольких одинаковых осей или плоскостей симметрии, называется частной простой формой. В каж-дом виде симметрии может быть только одна общая простая форма. В дру-гих видах симметрии эта же простая форма занимает частное положение. Наоборот, частные формы данного вида симметрии в других видах могут присутствовать либо тоже как частные, либо как общие. Сочетания простых форм называются комбинациями. Они не могут

быть выведены из одной исходной грани, поэтому характерным признаком комбинации является то, что в ней присутствуют грани, различные по форме и размеру. Изучение простых форм начинается с наиболее простых случаев, то есть

с форм низших сингоний. Чем проще симметрия, чем меньше элементов входит в формулу симметрии вида, тем «проще» будет простая форма, и наоборот.

Низшая категория К низшей категории относятся триклинная, моноклинная и ромбическая

сингонии. Общим характерным признаком для них является отсутствие осей симметрии высшего порядка, преобладание открытых форм, относи-тельная простота комбинаций. В низшей категории возможно 7 простых форм: моноэдр, диэдр, пинакоид, ромбическая призма, ромбическая пира-мида, ромбическая дипирамида, ромбический тетраэдр (табл. 4, рис. 4). Призма, пирамида и дипирамида в поперечном сечении образуют ромб.

Форма грани тетраэдра отвечает разностороннему треугольнику. Закры-тыми простыми формами являются только ромбическая дипирамида и ромбический тетраэдр. Триклинная сингония. Возможные простые формы – моноэдр (L1) и пи-

накоид (С). В качестве примеров триклинной сингонии из минералов можно привести альбит, олигоклаз, аксинит. Моноклинная сингония. Возможные простые формы – диэдры (L2, Р),

пинакоиды (Р, L2РС), ромбическая призма (L2РС). В виде симметрии L2РС

13

все грани, параллельные или перпендикулярные плоскости симметрии, – пинакоиды, остальные – ромбические призмы.

Таблица 4 – Простые формы низших сингоний

Число одинако-вых граней

Взаимное расположение граней

Названия простых форм

1 - Моноэдр 2 Грани параллельны Пинакоид 2 Грани пересекаются Диэдр 4 Грани попарно (через одну)

параллельны Ромбическая призма

4 Все грани пересекаются в одной точке

Ромбическая пирамида

4 Грани непараллельны и не все пересекаются в одной

точке

Ромбический тетраэдр

8 Грани непараллельны и не все пересекаются в одной

точке

Ромбическая дипирамида

Ромбическая сингония. В состав этой сингонии входят три вида: 3L2, L22Р и 3L23РС. Общая простая форма для вида 3L2 – ромбический тетра-эдр, форма, состоящая из четырёх граней, имеющих форму разносторон-них треугольников. Для вида L22Р общей простой формой является ромби-ческая пирамида, частными – ромбическая призма, пинакоид, диэдр и мо-ноэдр. Вид 3L23РС - ромбическая дипирамида, ромбическая призма и пи-накоид. В целом для низших сингоний характерно: 1) отсутствие осей симмет-

рии выше второго порядка; 2) преобладание открытых форм; 3) относи-тельная простота комбинаций. При решении вопроса о присутствии или отсутствии того или иного элемента симметрии следует внимательно осмотреть все грани, иногда присутствие одной грани меняет всю картину.

Простые формы средней категории Только в средней категории возможны: трапецоэдры (форма грани – че-

тырёхугольник (рис. 5), скаленоэдры (форма грани – треугольник (рис. 9) и ромбоэдр (форма грани – ромб). Трапецоэдры бывают правые и левые и различаются по расположению неравных рёбер одной из верхних граней: если длинное ребро справа – трапецоэдр правый, если слева – левый. Так же как и в низшей категории, в средней существуют призмы, пира-

миды и дипирамиды, главное отличие которых – характер поперечного се-чения (рис. 5, 6). Так же в средней категории в тетрагональной сингонии существует тетрагональный тетраэдр, в отличие от ромбического, форма его грани отвечает равнобедренному треугольнику.

14

Дипирамиды встречаются главным образом в видах, где есть плоскость

симметрии, перпендикулярная главной оси. Трапецоэдры наблюдаются в том случае, когда, кроме оси симметрии высшего порядка, присутствуют только оси второго порядка, ни плоскостей, ни центра симметрии нет. Признаком наличия инверсионной оси служит симметричность верхней и нижней половин, не связанная плоскостью симметрии. Названия простых форм, количество граней и их положение относи-

тельно оси высшего порядка (главной оси симметрии) даны в табл. 5.

Рис. 4. Простые формы низшей категории.

Вид сверху

Ромбический тетраэдр

Моноэдр Диэдры осевые и моноэдры

Ромбическая дипирамида

Ромбическая пирамида

Ромбическая призма и пинакоид

15

Тетрагональная сингония. В состав тетрагональной сингонии входят 7 видов симметрии (табл. 2). Для вида L4 общей простой формой является тетрагональная пирамида, частными – тетрагональная призма и моноэдр. Общей простой формой для вида L4РС является тетрагональная дипирами-да, частные простые формы – тетрагональная призма и пинакоид. В виде L44Р появляются новые формы – дитетрагональные. Это формы,

имеющие в сечении, перпендикулярном к главной оси, дитетрагон (рис. 5, 6). Такое название носит фигура, полученная из тетрагона (квадрата), каж-

дая сторона которого заменена двумя равными сторонами. В дитетрагоне углы равны через один. В рассматриваемом виде возможны следующие формы: дитетрагональ-

ная пирамида (общая форма), тетрагональная пирамида, дитетрагональная призма, тетрагональная призма, моноэдр. Общая простая форма вида L44L2 – тетрагональный трапецоэдр, частные – пинакоид, тетрагональная призма, тетрагональная дипирамида и дитетрагональная призма. В наиболее богатом элементами симметрии виде L44L25РС общей про-

стой формой является дитетрагональная дипирамида, частными: тетраго-нальная дипирамида, дитетрагональная призма, тетрагональная призма, пинакоид. Оставшиеся два вида имеют в качестве главной оси инверсионную ось

четвёртого порядка. В первом из них эта ось присутствует одна: Li4(=L2) и общей простой формой будет тетрагональный тетраэдр, а частными – тет-рагональная призма и пинакоид. Во втором (Li42L22Р=3L22Р) инверсионная ось сочетается с двумя осями

второго порядка и параллельными ей плоскостями. Общая простая форма этого вида – тетрагональный скаленоэдр, частные – тетрагональный тетра-эдр, тетрагональная дипирамида, дитетрагональная и тетрагональная призмы и пинакоид. Тетрагональная сингония является типичной для средних сингоний, и

указанные для её простых форм особенности целиком можно перенести на гексагональную и тригональную сингонии, в которых встречается много сходных простых форм (призмы, пирамиды, дипирамиды, трапецоэдры), но есть и оригинальные. В частности – ромбоэдр. Тригональная сингония Вид симметрии L3: общая простая форма – тригональная пирамида,

частные: тригональная призма, моноэдр. Вид симметрии L33L2: тригональный трапецоэдр (общая простая форма),

частные ромбоэдр, тригональная дипирамида, дитригональная призма, гек-сагональная призма, тригональная призма, пинакоид. К этому виду сим-метрии относится широко распространенный минерал низкотемператур-ный кварц.

Вид симметрии L33P: общая простая форма – дитригональная пирами-да, частные: тригональная пирамида, гексагональная пирамида, дитриго-нальная призма, тригональная призма, гексагональная призма, моноэдр.

16

Рис. 5. Закрытые простые формы средней категории.

17

Рис. 6. Открытые простые формы средней категории.

18

Таблица 5 – Простые формы средней категории сингоний

Расположение граней относительно

главной оси симметрии (единичного направления)

Число одинаковых

граней Названия простых форм

Грани перпендикулярны главной оси

1 Моноэдр 2 Пинакоид

Грани параллельны главной оси

3 Тригональная призма 4 Тетрагональная призма 6 Гексагональная призма 6 Дитригональная призма 8 Дитетрагональная призма 12 Дигексагональная призма

Грани пересекают главную ось в одной точке

3 Тригональная пирамида 4 Тетрагональная пирамида 6 Гексагональная пирамида 6 Дитригональная пирамида 8 Дитетрагональная пирамида 12 Дигексагональная пирамида

Грани

пересекаю

т главную

ось

в двух точках

нижние грани распо-ложены точно под верхними

6 Тригональная дипирамида 8 Тетрагональная дипирамида 12 Гексагональная дипирамида 12 Дитригональная дипирамида 16 Дитетрагональная дипирамида 24 Дигексагональная дипирамида

нижняя пара граней расположена сим-метрично между дву-мя парами верхних

8 Тетрагональный скаленоэдр

12 Тригональный скаленоэдр

нижняя грань распо-ложена несиммет-рично относительно двух верхних

6 Тригональный трапецоэдр

8 Тетрагональный трапецоэдр 12 Гексагональный трапецоэдр

нижняя грань распо-ложена симметрично между двумя верх-ними

4 Тетрагональный тетраэдр

6 Ромбоэдр

Вид симметрии L3C: общая простая форма – ромбоэдр, частные: гекса-гональная призма, пинакоид. Представителей мало. Вид симметрии L33L23PC: общая простая форма – дитригональный ска-

леноэдр, частные: ромбоэдр, гексагональная дипирамида, дигексагональ-ная призма, гексагональная призма, пинакоид. Этот вид имеет большое число представителей, как среди минералов,

19

так и среди искусственно полученных соединений. К нему относится из-вестный минерал кальцит (СаСО3). Гексагональная сингония Вид симметрии L6: общая простая форма – гексагональная пирамида,

частные: гексагональная призма и моноэдр. Вид не богат представителями. Вид симметрии L66L2: общая простая форма – гексагональный трапецо-

эдр (правый и левый), частные: гексагональная дипирамида, дигексаго-нальная призма, гексагональная призма, пинакоид. Вид симметрии L6PC: общая простая форма – гексагональная дипирами-

да, частные: гексагональная призма и пинакоид. Вид симметрии L66P: общая простая форма – дигексагональная пирами-

да, частные: дигексагональная призма, гексагональная призма, моноэдр. Вид симметрии L66L27PC: общая простая форма – дигексагональная ди-

пирамида, частные: гексагональная дипирамида, дигексагональная приз-ма, гексагональная призма, пинакоид. Один из наиболее богатых предста-вителями класс гексагональной сингонии. Вид симметрии L3P: общая простая форма – тригональная дипирамида,

частные: тригональная призма и пинакоид. Вид симметрии L33L24P: общая простая форма – дитригональная дипи-

рамида, частные: гексагональная дипирамида, тригональная дипирамида, дитригональная призма, гексагональная призма, тригональная призма, пи-накоид. Для последних двух видов и одного вида тетрагональной сингонии (Li4)

долгое время не было известно реальных представителей. В начале 20 века были найдены для L3P фосфорнокислое серебро и для L33L24P – минерал бенитоит.

Простые формы кубической сингонии Характерным признаком кубической сингонии является присутствие не-

скольких осей высшего порядка, в том числе обязательно - четырёх осей третьего порядка. Все простые формы этой сингонии закрытые и не встре-чаются больше ни в одной сингонии (за исключением тетраэдра, но грань тетраэдра кубической сингонии представляет собой равносторонний тре-угольник). В основу номенклатуры простых форм кубической сингонии положены,

с одной стороны, число граней, а с другой, название форм, из которых пу-тём их усложнения получаются остальные. К таким исходным формам (табл. 6, рис. 7) относятся тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, пентагон-додекаэдр и ромбододекаэдр. Из первых трёх форм путём увеличения количества граней получаем новые простые формы. Из тетраэдра, утроив его грани, можно получить, двенадцатигранник -

тритетраэдр. Но можно построить три тритетраэдра – с треугольными, че-тырёхугольными и пятиугольными гранями: тригон-тритетраэдр, тетрагон-тритетраэдр и пентагон-тритетраэдр (табл. 6). Если ушестерить грань тетраэдра, можно получить тригон-гексатетра-

эдр.

20

Рис. 7. Простые формы высшей категории.

21

Таблица 6 – Простые формы кубической сингонии Число

одина

-ковы

х граней

Очертание грани

Название простой фор-

мы

Число

одина

-ковы

х граней

Очертание грани

Название простой формы

4

Тетраэдр 8

Октаэдр

12

Тригон-тритетраэдр

24

Тригон-триоктаэдр

12

Тетрагон-тритетраэдр

24

Тетрагон-триоктаэдр

12

Пентагон-тритетраэдр

24

Пентагон-триоктаэдр

24

Гексатетраэдр 48

Гексоктаэдр

6

Гексаэдр 24

Дидодекаэдр

24

Тетрагексаэдр 12

Ромбо-додекаэдр

12

Пентагон-додекаэдр

22

Утраивая грани октаэдра, можно получить аналогичную серию произ-водных как у тетраэдра: тригон-триоктаэдр, тетрагон-триоктаэдр и пента-гон-триоктаэдр. Ушестерив грани октаэдра, приходим к единственному сорокавосьмиграннику – тригон-гексоктаэдру. Из гексаэдра получается только одна производная форма, представляю-

щая собой учетверённый гексаэдр, – тригон-тетрагексаэдр. На каждой гра-ни как бы появляется четырёхгранная пирамида. Из пентагон-додекаэдра путём удвоения его граней выводится дидоде-

каэдр. Из ромбододекаэдра никаких производных не получают. Так в кубиче-

ской сингонии возможны 15 простых форм. Рассмотрим распределение простых форм кубической сингонии по ви-

дам симметрии. Вид симметрии 4L33L2: общая простая форма – пентагон-тритетраэдр,

частные – тетрагон-тритетраэдр, тригон-тритетраэдр, тетраэдр, пентагон-додекаэдр, ромбододекаэдр, гексаэдр.

Существуют правые и левые разновидности пентагон-тритетраэдра. Различить их можно следующим образом: если взять модель двумя паль-цами, прикладывая их к двум вершинам с выходами однозначных концов осей симметрии третьего порядка, то видно, что от одной вершины к дру-гой идёт ломаная линия из трёх рёбер. Если нижнее ребро отклонено впра-во от средней линии, то мы имеем перед собой правую форму, если влево, то левую. Вид симметрии 4L33L23РС: общая простая форма – дидодекаэдр, част-

ные – тригон-триоктаэдр, тетрагон-триоктаэдр, октаэдр, пентагон-додекаэдр, ромбододекаэдр, гексаэдр. Вид симметрии 4L33L26Р: общая простая форма – тригон-гексатетраэдр,

частные – тетрагон-тритетраэдр, тригон-тритетраэдр, тетраэдр, тригон-тетрагексаэдр, ромбододекаэдр, гексаэдр. Вид симметрии 3L44L36L2: общая простая форма – пентагон-триоктаэдр,

частные – тригон-триоктаэдр, тетрагон-триоктаэдр, октаэдр, тригон-тетра-гексаэдр, ромбододекаэдр, гексаэдр. Существуют правые и левые пента-гон-триоктаэдры, различить их между собой можно следующим образом: ставим модель так, чтобы одна из осей четвёртого порядка была располо-жена вертикально, другая - справа налево, а третья направлена на наблю-дателя. Между вершиной, смотрящей вверх и обращенной к наблюдателю, расположена ломаная линия, состоящая из трёх рёбер. Если первое верх-нее ребро отклонено вправо от средней линии, то пентагон-триоктаэдр – правый, если – влево, то пентагон-триоктаэдр – левый. Вид симметрии 3L44L36L29РС: общая простая форма – тригон-

гексоктаэдр, частные – тригон-триоктаэдр, тетрагон-триоктаэдр, октаэдр, тригон-тетрагексаэдр, ромбододекаэдр, гексаэдр. Этот вид обладает самой высокой степенью симметрии возможной для форм роста кристаллов.

При анализе комбинаций простых форм кубической сингонии могут возникнуть некоторые сложности, так как несколько простых форм обла-дают одинаковым количеством граней. Поэтому при разборе комбинаций

23

простых форм кубической сингонии необходимо пользоваться схемами расположения простых форм на проекциях (рис. 8 и 9). Но перед этим необходимо определить вид симметрии модели, этому может помочь таб-лица 6.

Таблица 6 – Определение вида симметрии кубических кристаллов.

Есть Р Нет Р

есть L4 нет L4 есть L4 нет L4 есть С нет С

Планаксиальный Центральный Планальный Аксиальный Примитивный

Чтобы разобраться в комбинациях кубической сингонии, обратим вни-мание на положение граней отдельных простых форм относительно эле-ментов симметрии. Для этого на одну и ту же проекцию наносим элементы симметрии и простые формы. Для планаксиального и аксиального вида симметрии это сделано на рис. 8. Проекции граней гексаэдра (1) совпада-ют с выходами осей четвёртого порядка, граней октаэдра (2) – с выходами осей третьего порядка, ромбододекаэдра (3) – с осями второго порядка. Грани тетрагексаэра (4) лежат между осями четвёртого и второго порядка в одном поясе с гранями гексаэдра и ромбододекаэдра, находящимися в точ-ках выхода этих осей. Грани тетрагон-триоктаэдра (5) лежат между осями четвёртого и третьего порядка, грани тригон-триоктаэдра (6) – между ося-ми третьего и второго порядка. Грани гексоктаэдра или пентагон-триоктаэдра (в зависимости от вида симметрии) (7) лежат внутри сфериче-ских треугольников, вершинами которых являются выходы осей четвёрто-го, третьего и второго порядка. Рассмотрим одни из треугольников в кото-ром стоит цифра 7 и построим схему, которая поможет разобраться в ком-бинациях планаксиального вида симметрии. Предположим, что в модели нами найдены элементы симметрии

3L44L36L29PC. Если в ней есть грань, перпендикулярная к оси L4, то это грань гексаэдра; если есть грань, перпендикулярная к L3, то это октаэдр; грань, перпендикулярная к L2, должна принадлежать ромбододекаэдру. Проверяем определение, сосчитав имеющиеся на модели одинаковые гра-ни; их число должно совпадать с числом граней найденной простой фор-мы, то есть для гексаэдра 6, для октаэдра 8, для ромбододекаэдра 12. Если грань лежит в поясе L4 L3, то это тетрагон-триоктаэдр; если в поясе L3L2, то это тригон-триоктаэдр; и если в поясе L2L4 – тригон-тетрагексаэдр. Опять проверяем правильность определения, считая число одинаковых граней - их должно быть по 24. Когда в модели есть грань, которая не укладывается ни в одно из перечисленных положений, то эта грань должна принадле-жать гексоктаэдру – число граней 48.

24

Если бы, определяя формулу симметрии, мы нашли вид 3L44L36L2, то все предыдущее остаётся в силе, кроме последней формы, на место кото-рой надо поставить пентагон-триоктаэдр. Такую же схему можно составить и для оставшихся трёх видов симмет-

рии (рис. 9) кубической сингонии. Отличие заключается в том, что в них место L4 занимают L2, а 6L2 отсутствуют, но мы воспользуемся теми направлениями, которые эти 6L2 занимали в первом случае, то есть биссек-трисами углов L4 L4. Положение этих биссектрис можно найти на проек-ции, поделив угол между осями второго порядка пополам. При изучении кристаллов кубической сингонии так же необходимо учи-

тывать следующее. В пентагон-триоктаэдре сложно найти оси второго по-рядка. Рассматривая модели этой формы, необходимо обращать внимание

1

2

44

5

4

3

4

5

1

3

1

5

6

6

7

6

Рис. 8. Схема для разбора простых форм кубической сингонии на проек-ции для видов симметрии 3L44L36L29PC и 3L44L36L2.

Цифрами обозначены проекции граней простых форм: 1 – гексаэдр 2 – октаэдр 3 – ромбододекаэдр 4 – тетрагексаэдр 5 – тетрагон-триоктаэдр 6 – тригон-триоктаэдр 7 – пентагон-триоктаэдр (3L44L36L2) 7 – гексоктаэдр (3L44L36L29PC)

25

на то, что в ней имеются рёбра трёх различных типов: одни пересекаются в точках выхода оси L4, другие в точках выхода L3; в серединах рёбер третьего

вида, которые не пересекаются в этих осях, и лежат выходы осей второго порядка. В пентагон-тритетраэдре два типа рёбер – одни пересекаются в точках выхода осей L3, другие в них не пересекаются, в их серединах вы-ходят три взаимно перпендикулярные оси L2.

С моделями простых форм и их комбинациями можно познакомиться в ауд. Е-309 и в электронном виде – на компьютере ауд. Е-305 (Программа d3dCrystall ©Maxim Sattarov).

Тема 1.2.2 Кристаллографические символы граней кристаллов

Закон рациональных отношений параметров (закон Гаюи) гласит: двойные отношения параметров, отсекаемых двумя любыми гранями кри-сталлов на трёх пересекающихся ребрах равны отношениям целых и срав-нительно малых чисел.

ОА2 : ОВ2 : ОС2 = р : q : r ОА1 ОВ1 ОС1 Закон целых чисел дает возможность численно охарактеризовать вза-

имное расположение граней кристалла.

1

2

3

4

6 8

9

11

5

7

10

12

Биссектриса угла L2 L2

Рис. 9. Схема для разбора простыхформ кубической сингонии на про-екции для видов симметрии 4L33L2,4L33L26P и 4L33L23PC. Цифрами обозначены проекции граней: 1 – гексаэдр 2 – тетраэдр (4L33L26P и4L33L2); 2 – октаэдр (4L33L23PC) 3 – ромбододекаэдр (для всех видов) 4 – тригон-тритетраэдр (4L33L26P и 4L33L2) 5 – тетрагон-триоктаэдр (4L33L23PC)6 – пентагон-додекаэдр (4L33L23PС и 4L33L2) 7 – тетрагексаэдр (4L33L26P) 8 – гексатетраэдр (4L33L26P) 9 – дидодекаэдр (4L33L23PС) 10 – пентагон-тритетраэдр (4L33L2) 11 – тригон-триоктаэдр (4L33L23PС) 12 – тетрагон-тритетраэдр (4L33L26P и 4L33L2)

26

Символ грани выражается тремя целыми числами, представляющими собой отношения трех дробей, числителем которых являются параметры единичной грани, а знаменатели соответствуют параметрам заданной гра-ни.

1 : 1 : 1 = ОА1 : ОВ1 : ОС1 = h : k : l ОА2 ОВ2 ОС2 ОА2 ОВ2 ОС2 ОА1 ОВ1 ОС1 где h, k, l – целые числа Символ грани записывают (hkl) h – символ соответствующий оси Х k - символ соответствующий оси У l - символ соответствующий оси Z Положение любой грани в пространстве можно определить тремя це-

лыми числами, если за координатные оси принять направление трёх не па-раллельных рёбер кристалла и одну из граней в качестве единичной (мас-штабной).

1. Единичная грань всегда имеет символ (111), независимо от того рав-ные или неравные отрезки она отсекает на координатных осях

2. В символе грани, параллельной одной из координатных осей, индекс, соответствующий этой оси равен 0.

3. Над символом грани, пересекающей отрицательное направление ко-ординатной оси, ставят знак минус.

4. Чем больший отрезок отсекает грань на координатной оси, тем меньший символ ей соответствует. Например грани куба характеризуются следующими символами (рис.

10): (100),(010), (001), (01 0), (1 00), (001 ).

(010)

(X

Y

Z

(001)

(100)

(010)

Рис. 10. Символы граней куба.

27

Символы граней простых форм низшей категории. Пинакоиды – {001}, {100}, {010} Моноэдры – {001}, {100}, {010}, {010}, {101} Ромбические призмы – {110}, {101}, {011}, {hk0}, {h0l},{0kl} Ромбические дипирамиды и пирамиды – {111}, {hkl} Символы граней простых форм тетрагональной сингонии. Пинакоид - {001}, моноэдры - {001}, {001}. Тетрагональные призмы {100}, {110}, {hk0}. Тетрагональные пирамиды и дипирамиды {101}, {111}, {hkl}. Тетрагональные тетраэдры {111}, {111}, {hkl}. Тетрагональные скаленоэдры и трапецоэдры - {hkl}. Символы граней простых форм тригональной и гексагональной син-

гоний. Пинакоид – {0001} Моноэдры - {0001}, {0001} Призмы – {1010}, {1120}, {hki0} Пирамиды и дипирамиды - {1011}, {1121}, {h0hl}, {hh2hl}, {hkil} Трапецоэдры и скаленоэдры - {hkil} Ромбоэдры - {h0hl}, {hh2hl}, {hkil} Символы граней простых форм кубической сингонии.

Тетраэдр {111} Гексаэдр {100} Октаэдр {111} Ромбо-додекаэдр {110} Пентагон-додекаэдр {hk0} Тетрагексаэдр {hk0} Все остальные {hkl}

Тема 1.2.3 Особенности морфологии реальных кристаллов в при-родных условиях и зависимость морфологии кристаллов, минера-лов от условий их образования

Появление разновидностей простых форм связано с тем, что: • Под названием одной простой формы нередко объединяются много-

гранники, отличающиеся по своей симметрии. • Существуют энантиоморфные разности. Всего существует 146 кристаллографических разновидностей простых

форм из них: • 21 пинакоид • 11 гексагональных призм • 10 моноэдров и т. д. С учётом энантиоморфных – 193 разновидности. Кристалл, ограненный свойственными ему и достаточно хорошо раз-

вившимися гранями, называется идиоморфным. Кристалл, не имеющий четких граней, называется ксеноморфным. Реальные грани кристаллов далеки от математических плоскостей. На

них при внимательном рассмотрении почти всегда обнаруживаются следы

28

имевших место процессов роста или расворения в виде бугорков, ямок, ви-цинальных образований, штрихов и т.п.

Эти и другие подобные им усложнения на поверхностях граней при-нято называть скульптурой граней.

Изучение гранных скульптур дает информацию об особенностях стро-ения и роста кристаллов.

Грани каждой простой формы характеризуются собственной скульп-турой, что позволяет отличать грани разных простых форм друг от друга.

Исследование крисатллических многограннков различных минералов показывает, что асимметричное развитие граней одной той же простой формы во многом зависит от положения и ориентировки кристаллов на ме-сте их образования. Например, грани кристалла, обращенные вверх и вниз, развиваются неодинаково. Причина неравномерного развития верхних и нижних граней связана с различием условий питания граней.

Кроме того, нижние и верхние грани могут различаться еще характе-ром своих поверхностей.

Согласно принципу П.Кюри симметрия окружающей среды как бы отпечатывается на формирующемся в ней объекте. При этом элементы симметрии среды накладываются на внешнюю симметрию данного объек-та. последний в результате сохраняет только элементы своей симметрии, совпадающие с элементами симметрии среды.

Кристаллы, растущие на вертикальных стенках полостей, с косоори-ентированной главной осью симметрии, нередко характеризуются ложной симметрией типа Р. Это связано с тем, что совокупность поднимающихся по вертикали питающих струек характеризуется наличием плоскостей симметрии, перпендикулярных к стенке породы. Одна из таких плоско-стей, совпадающая с серединой прикрепленного к стенке кристалла, и от-печатывается на его облике.

Учет ложной симметрии и ложных форм на реальных кристаллах дает понятие об особенностях питающей среды и делает возможным суждение о направлении питающих потоков.

Влияние универсального принципа симметрии является чисто внеш-ним, налагающим свою печать лишь на наружную форму природных тел. внутреннее строение их и многие детали остаются вне его влияния.

Исследования такого рода явлений представляю большой интерес, так как позволяют детально анализировать процессы формирования природ-ных тел, а в том числе и кристаллов и их скоплений.

Раздел 2. Структурная кристаллография Подраздел 2.1. Основы учения о структуре кристаллов

Пространственная решетка. Построение решетки: Примем узел А0 за исходный узел решётки.

Пусть ближайший к нему узел А1 находится на расстоянии а. Продолжим прямую А0 А1, получив серию узлов А2, А3, А4, …, Аn, расположенных вдоль этой прямой. Совокупность узлов, лежащих вдоль прямой и повто-

29

ряющихся через равные промежутки, называется рядом пространственной решетки. Параметр а является промежутком ряда или трансляцией ряда.

Пусть узел В1 лежит в плоскости чертежа, но вне прямой А0 Аn, на расстоянии b. Продолжив прямую А0В1, найдём на ней серию узлов В2, В3, В4,…, Вn с промежутком b.

Проведём через узлы В1, В2, В3, В4, …, Вn прямые, параллельные пер-вому ряду.

Соответственно через узлы А1, А2, А3, А4, …, Аn проводим прямые, па-раллельные второму ряду. Совокупность узлов, расположенных в одной плоскости и находящихся в вершинах системы равных параллелограммов, параллельно ориентированных и смежных по целым сторонам называется плоской сеткой.

Берём относительно исходного узла А0 ближайший узел С1, не лежа-щий в плоскости построенной сетки АnА0 Вn. Пусть А0С1 = с.

Продолжив прямую А0С1, найдём на ней серию узлов С2, С3, С4,…, Сn с промежутком с.

Проведём через каждый узел последнего ряда плоские сетки, парал-лельные первой сетке АnА0Вn.

Получаем три системы плоских сеток, образующих совокупность па-раллелепипедов.

Пространственная решётка – совокупность узлов, расположенных в пространстве и находящихся в вершинах системы равных параллелепипе-дов, параллельно ориентированных и смежных по целым граням.

Пространственная решетка – трёхмерная система эквивалентных уз-лов.

Форма кристаллов - следствие упорядоченного расположения в кри-сталлах атомов, образующих кристаллическую решётку

Типы решеток (ячеек) Браве. Условия выбора параллелипипедов повторяемости:

1. Симметрия элементарной ячейки должна соответствовать симметрии кристалла.

2. Элементарная ячейка должна содержать максимально возможное число прямых углов или равных углов и равных рёбер.

3. Элементарная ячейка должна иметь минимальный объём. Исходя из этих принципов, выбираем форму элементарных ячеек для

каждой сингонии. Форма элементарной ячейки для кубической сингонии соответствует

кубу: а = b = c, = = = 90º. В тетрагональной сингонии за вертикальные рбра ячейки принимают

период идентичности в направлении, параллельном оси четвертого поряд-ка, а за горизонтальные ребра – две равные и взаимно перпендикулярные трансляции, лежащие в плоскости, перпендикулярной к этой оси. Отсюда следует, что форма элементарной ячеки для тетрагональной сингонии со-ответствует тетрагональной призме с пинакоидом: а = b c, = = = 90º.

В тригональной сингонии ячейкой, удовлетворяющей условиям Браве,

30

является ромбоэдр, ребра которого расположены под косым углом к глав-ной оси симметрии третьего порядка. При этом: а = b = c, = = 90º.

В гексагональной сингонии за элементарную ячейку принимают не параллелепипед, а особую ячейку в форме гексагональной призмы с пина-коидом. Такая ячейка состоит из трех параллелепипедов, параметры кото-рых соответствуют: а = b c, = = 90º, = 120º, повернутых друг отно-сительно друга на 120º.

В ромбической сингонии ребра ячейки выбираются параллельно трем осям второго порядка или параллельно одной оси второго порядка и пер-пендикулярно двум плоскостям симметрии. Все эти трансляции взаимно перпендикулярны, и следовательно, не равны друг другу.

Форма элементарной ячейки в ромбической сингонии отвечает ком-бинации трех пинакоидов ("кирпичик"): а b c, = = = 90º.

В моноклинной сингонии за ребро b принимают трансляцию, парал-лельную единственной оси второго порядка или нормали к плоскости симметрии. Двумя другими ребрами ячейки, в данном случае а и с, служат неравные между собой трансляции, лежащие в плоскости, перпендикуляр-ной к оси второго порядка или в плоскости симметрии.

Форма элементарной ячейки в моноклинной сингонии так же отвечает комбинации трех пинакоидов: а b c, = = 90º .

В триклинной сингонии вследствие отсутствия осей и плоскостей симметрии ребра параллеипипеда совмещаются с любыми тремя трансля-циями решетки.

В результате получается ячейка в форме косоугольного параллелепи-педа (так же комбинация трех пинакоидов) с неравными ребрами: а b c, 90º.

Кроме примитивных ячеек, в которых узлы расположены лишь по вершинам, Браве выделяет, базоцентрированные, объемноцентрированные и гранецентрированные ячейки.

Базоцентрированная решетка – узлы расположены по вершинам и в центрах двух взаимно параллельных граней ячейки – обозначается С.

Объёмноцентрированная решетка – узлы расположены по вершинам и в центре ячейки – обозначается I.

Гранецентрированная решетка – узлы расположены по вершинам и в центрах всех граней ячейки – обозначается F.

Исходя из симметрии всего существует 14 ячеек Браве (табл. 7)

Таблица 7 – Четырнадцать решеток Браве.

Сингония Прими-тивная

Базоцент-рированная

Объемно-центрированная

Гранецент-рированная

Триклинная +

Моноклинная + +

31

Сингония Прими-тивная

Базоцент-рированная

Объемно-центрированная

Гранецент-рированная

Ромбическая + + + +

Тригональная +

Тетрагональная + +

Гексагональная +

Кубическая + + +

Подраздел 2.2. Элементы симметрии бесконечных фигур К числу элементов симметрии бесконечных фигур, помимо восьми

элементов симметрии (центра, плоскости и и шести осей) принадлежа еще трансляции (переносы), плоскости скользящего отражения и винтовые оси – второго, третьего, четвертого и шестого порядка.

Комбинируя элементы симметрии бесконечных фигур можно вывести 230 пространственных групп симметрии. Пространственная группа сим-метрии – совокупность всех возможных элементов симметрии кристалли-ческой структуры.

Обозначение пространственных групп с помощью символов Германа-Могена:

Первой буквой обозначается тип решетки: Р , R, С, F, I Далее следуют символы операций симметрии: 1, 2, 3, 4, 6 – поворотные оси, 21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65 – винтовые оси m – зеркальная плоскость симметрии; a, b, c, n, d – плоскости скользящего отражения. Примеры обозначений:

• Группа Р432 - характеризуется примитивной элементарной ячейкой и обладает поворотными осями симметрии

• Группа Сmc21 - характеризуется базоцентрированной элементарной ячейкой, зеркальной плоскостью симметрии, плоскостью скользяще-го отражения и винтовой осью второго порядка с трансляцией на ½ ячейки.

• Группа Fd3m - характеризуется гранецентрированной элементарной ячейкой, диагональной плоскостью скользящего отражения, пово-ротной осью третьего порядка, и идущей вдоль неё зеркальной плос-костью симметрии

Раздел 3. Элементы кристаллохимии и кристалло-физики

Подраздел 3.1 Основные положения кристаллохимии Кристаллохимия изучает связь между структурой кристаллов и их хи-

32

мическими, физическими и геометрическими свойствами. Эта наука изуча-ет как закономерности внутреннего строения кристаллического вещества, отражением которого является геометрически правильная внешняя форма кристаллов, так и проблемы связи между строением кристаллов и их хи-мическим составом, с одной стороны, и структурой и физическими свой-ствами – с другой, поскольку на основе лишь химического состава, без знания атомного строения, нельзя понять многие свойства кристаллов.

Химический состав минералов – это фундаментальная характеристи-ка, от которой в значительной степени зависят многие их физические свой-ства.

Простому химическому составу вещества соответствует высокая сим-метрия его кристаллов, чем сложнее состав, тем обычно ниже симметрия.

Кристаллическая структура твердого вещества – конфигурация со-ставляющих ее частиц (атомов, ионов и молекул). Основными строитель-ными элементами в структурах являются атомы.

Размер атома – радиус – главный кристаллохимический фактор, кото-рый определяет периодичность кристаллических построек, размер элемен-тарной ячейки, длину химической связи.

Атомными или ионными радиусами являются минимальные расстоя-ния, на которые центры атомных или ионных сфер могут приближаться к сферам соседних атомов или ионов.

1. Радиусы анионов всегда больше радиусов атомов тех же элементов. 2. Радиусы катионов всегда меньше радиусов атомов тех же элементов. 3. С повышением заряда элемента радиус иона уменьшается. 4. В пределах одного вертикального ряда периодической системы эле-

ментов радиусы ионов с одинаковым зарядом увеличиваются с воз-растанием атомного номера.

Тема 3.1.1 Координационное число и координационные много-гранники.

Координационное число атома или иона – это число ближайших со-седних атомов или ионов противоположного знака.

Радиусы

Атомные, нм O – 0,060 Cl – 0,107 S – 0,104 Fe – 0,126 Na – 0,186 Mn – 0,129 Al – 0,143

Ионные, нм O2- – 0,136 Cl- – 0,181 S2- – 0,182 Fe2+ – 0,080 Fe3+ – 0,067 Na+ – 0,098 Mn2+ – 0,091 Mn3+ – 0,070 Mn4+ – 0,052 Al3+ – 0,057

33

Координационный многогранник – геометрическая фигура, получен-ная при соединении центров этих частиц.

Величина координационного числа и форма координационного мно-гогранника определяются пределами устойчивости структуры, которые за-висят от соотношения радиусов анионов (Ra) и катионов (Rk):

Координационное чис-ло

Координационный мно-гогранник

Ra/Rk

2 гантель 0 – 0,15 3 треугольник 0,15-0,22 4 тетраэдр 0,22-0,41 6 октаэдр 0,41-0,73 8 гексаэдр 0, 73-1 12 кубоктаэдр 1

Вопросы, связанные с координацией атомов, имеют большое значение благодаря влиянию их на решение проблемы теоретического определения атомных расположений в кристаллических структурах, проблемы устойчи-вости соединений, проблемы химической связи и т.д.

Кроме того, координационные многогранники принимаются за основ-ную характеристику при классификации природных химических соедине-ний.

Координационные многогранники могут использоваться для изобра-жения кристаллических структур в виде полиэдров.

Тема 3.1.2 Типы плотнейших упаковок шаров.

Упаковка, характеризующаяся двумя оригинальными слоями А и В, то есть, в которой нечётные и чётные слои лежат точно друг над другом, называется гексагональной плотнейшей упаковкой (рис. 10).

Рис. 10. Типы плотнейших упаковок: а – гексагональная, б - куби-ческая.

а б

34

Формула …/АВ/АВ/… Упаковка, характеризующаяся тремя оригинальными слоями А, В и С,

то есть, в которой четвёртый слой повторяет первый, пятый – второй, ше-стой – третий и т. д., называется кубической плотнейшей упаковкой (рис. 10).

Формула …/АВС/АВС/… Десятки простых веществ имеют структуры, соответствующие обеим

разобранным упаковкам. Плотнешая кубическая упаковка характеризует структуры меди, сере-

бра, золота и т.д. Все остальные (по природе – гексагональные) плотнейшие упаковки

называются многослойными. Многие химические соединения могут рассматриваться как упаковки

обычно более крупных атомных сфер, в пустотах между которыми нахо-дятся более мелкие сферы.

В связи с этим нельзя ограничиться лишь выяснением слойности упа-ковки, необходимо еще остановиться на пустотах, заключенных между шарами, образующими плотнейшие упаковки.

Пустоты плотнейшей упаковки. На шары приходится 74 % упаковки, на пустоты – 26 %. Существует жва рода пустот – тетраэдрические и окта-эдрические. На n шаров плотнейшей упаковки приходится n октаэдриче-ских пустот и 2n – тетраэдрических.

Более крупные компоненты химических соединений могут уклады-вать в структурах порой по весьма однообразным законам плотнейших упаковок. Различия между отдельными структурами заключаются не столько в них, сколько в количестве и качестве заполненных пустот упако-вок.

Тема 3.1.3 Структуры кристаллов

План описания структуры кристаллов. 1. Определение сингонии, вида симметрии 2. Определение типа решётки Бравэ 3. Определение типа химической связи 4. Подсчет количества структурных единиц в элементарной ячейке 5. Определение координационного числа и координационного много-

гранника Число структурных (формульных) единиц (Z) - это число атомов каж-

дого сорта (химического элемента), приходящихся на одну элементарную ячейку.

Подсчет числа структурных единиц в одной элементарной ячейке: 1 – частица расположена в вершине ячейки, от этой частицы ячейке

принадлежит 1/8.

35

2 – частица располо-жена на середине ребра ячейки, от этой частицы ячейке принадлежит 1/4.

3 – частица располо-жена в центре грани ячей-ки, от этой частицы ячейке принадлежит 1/2.

4 – частица располо-жена в центре ячейки, эта частица целиком принад-лежит ячейке. На неё при-ходится 1 структурная единица.

Описание структур минералов. Структура галита.

1. Кубическая сингония, планаксиальный вид симметрии. 2. Две кубические гранецентрированные ячейки сдвинутые одна отно-

сительно другой на половину ребра ячейки. 3. Ионный тип химической связи. 4. Количество структурных единиц Z = 4. 5. Координационное число натрия – 6, координационное число хлора –

6, координационный многогранник – октаэдр. Структура меди.

1. Кубическая сингония, планаксиальный вид симметрии. 2. Кубическая гранецентрированная ячейка. 3. Металлический тип химической связи. 4. Количество структурных единиц Z = 4. 5. Координационное число меди – 12, координационный многогранник

– кубоктаэдр. Структура алмаза.

1. Кубическая сингония, планальный вид симметрии. 2. Кубическая гранецентрированная ячейка 3. Ковалентный тип химической связи 4. Z = 8 5. Координационное число – 4, координационный многогранник - тет-

раэдр.

Подраздел 3.2 Основные положения кристаллофизики В последние десятилетия роль физики в развитии современной тех-

ники неизмеримо возросла. Особое значение приобрела такая область этой науки, как физика твердого тела, занимающаяся исследованием материа-лов, которые благодаря своим уникальным свойствам — полупро-

36

водниковым, лазерным, оптическим, пьезоэлектрическим, пироэлектри-ческим и т. д. — широко используются в полупроводниковой технике, квантовой электронике и т. п. Современное приборостроение немыслимо без самого широкого использования природных и синтетических материа-лов, в частности кристаллов. Бурно расширяющиеся области ис-пользования и применения физических свойств кристаллов способствуют превращению современной физики кристаллов — кристаллофизики — в самостоятельную быстро развивающуюся научную дисциплину.

Например, кристаллы корунда и алмаза благодаря исключительно вы-сокой твердости используются в буровой технике в качестве абразивов; высокая теплопроводность алмаза позволяет использовать его при изго-товлении теплоотводов; графит благодаря малой твердости применяется как смазочный материал, а также для изготовления карандашей; замеча-тельные пьезоэлектрические свойства кварца и турмалина находят широ-кое применение в электротехнике и радиотехнике; гранаты используются в качестве элементов быстродействующих ЭВМ; кристаллы кальцита и флюорита из-за особых оптических свойств применяются при конструиро-вании оптических приборов; слюда мусковит в прошлом заменяла оконные стекла, а в настоящее время используется как прекрасный изоляционный материал. Таких примеров можно привести множество.

Физика твердого тела занимается изучением структуры и физических свойств твердых тел, устанавливает зависимость этих свойств от атомной структуры вещества, разрабатывает методы получения и исследования но-вых кристаллических материалов, обладающих заданными характеристи-ками. И очень часто именно кристаллография оказывается той азбукой, без которой невозможно приступить к изучению твердого тела и его свойств. Особенно важны знания (хотя бы в самых общих чертах) главнейших фи-зических свойств кристаллов для геологов, ибо многие физические свой-ства лежат в основе диагностики — распознавания минералов.

Физические свойства кристаллов определяются в первую очередь природой химических элементов, входящих в их состав, т. е. большую роль играет тип химической связи. Кроме того, проявление тех или иных физических свойств связано с геометрическим характером структуры, т. е. с взаимным расположением атомов в кристаллической структуре минера-лов, а также с несовершенствами структур реальных кристаллов, отража-ющих условия их образования. В зависимости от колебаний химического состава физические свойства одного и того же вещества могут варьировать в более или менее широких пределах.

Самой характерной особенностью физических свойств кристаллов яв-ляется их симметрия и анизотропия. Анизотропная среда характеризуется зависимостью измеряемого свойства от направления измерения. Вслед-ствие периодичности и симметрии внутреннего строения кристаллов в них обнаруживается ряд свойств, невозможных в изотропных телах. Задачей кристаллофизики, т. е. раздела кристаллографии, посвященного изучению физических свойств кристаллов, является изучение общих симметрийных закономерностей физических свойств, изучение взаимосвязи физических

37

свойств кристаллов и их строения, а также зависимости этих свойств от внешних воздействий. Анизотропные физические свойства кристаллов чрезвычайно чувствительны к внешним воздействиям. Поэтому, подбирая и комбинируя те или иные воздействия, можно создавать кристаллы с уни-кальными, необычными свойствами, которые используются в источниках, приемниках, преобразователях и усилителях различных видов энергии.

Проявление ряда физических свойств, таких как масса, плотность, теплоемкость, температура плавления и др., зависит от межатомных рас-стояний в структурах кристаллов. В этом случае кристалл можно рас-сматривать как прерывистую (дискретную) среду. Однако в отношении це-лого ряда макроскопических свойств, таких как тепло- и электропро-водность, оптические и другие свойства, можно отвлечься от дискретного микропериодического строения и рассматривать кристаллическое веще-ство как сплошную однородную анизотропную среду, ибо в этом случае мы будем оперировать расстояниями и объемами, значительно пре-вышающими параметры, а следовательно, и объем элементарных ячеек кристаллических структур. Поэтому с некоторой степенью приближения можно считать, что, поскольку свойства кристалла одинаковы во всем его объеме, во всех его точках, кристалл как однородная среда характери-зуется неизменностью (инвариантностью) физического свойства по от-ношению к трансляциям. Но поскольку проявление многих физических свойств зависит от направления в кристалле, то кристалл можно считать сплошной анизотропной средой. В этом случае физические свойства, про-являющиеся в определенном направлении, не зависят от трансляций (пере-носов). Это позволяет симметрию физических свойств описывать с ис-пользованием точечных групп симметрии — кристаллографических или предельных.

Когда мы говорим о симметрии кристаллов, то невольно абстрагиру-емся от их физической сущности, принимая во внимание только внешнюю форму, т. е., по сути дела, рассматриваем симметрию геометрических фи-гур. Симметрию материальных фигур изучил П. Кюри. Он показал, что симметрия материальных фигур описывается бесконечным числом точеч-ных групп, которые в пределе стремятся к семи предельным группам сим-метрии.

Предельными точечными группами - группами Кюри - названы то-чечные группы, содержащие оси бесконечных порядков. При этом каждая предельная группа является надгруппой соответствующих точечных групп симметрии. Всего существует семь предельных групп каждую из которых можно проиллюстрировать одной из геометрических фигур.

Связь между точечной симметрией кристалла и симметрией его физи-ческих свойств сформулировал немецкий физик Ф.Неймамн (1798-1895) в фундаментальном постулате кристаллофизики: материал в отношении фи-зических свойств обнаруживает симметрию того же рода, что и его кри-сталлографическая форма. Это положение известно как принцип Нейман-на.

Найденный Нейманном закон фактически означал начало распро-

38

странения идеи симметрии на физические свойства, т. е. изучение физи-ческих свойств с помощью симметрии.

Ученик Ф. Нейманна немецкий физик В. Фойгт (1850-1919) суще-ственно уточнил указанный принцип и сформулировал его следующим об-разом: группа симметрии любого физического свойства должлш включать в себя все элементы точечной группы симметрии кристалла. Отсюда мож-но сделать вывод, что симметрия физического свойства не может быть ни-же точечной группы симметрии кристалла. Принцип Нейманна указывает лишь на возможность, но не обязательность проявления определенного физического свойства у данного кристалла, т. е. является необходимым, но не достаточным условием. Используя этот принцип, можно, с одной сто-роны, зная группу симметрии кристалла, предсказать его возможные фи-зические свойства и, с другой стороны, зная физические свойства, устано-вить, у кристаллов каких классов симметрии они возможны.

Наряду с принципом Нейманна, связываювшм симметрию свойства и симметрию кристалла, в кристаллофизике «работает» и принцип Кюри — принцип диссимметрии (принцип суперпозиции), рассматривающий взаи-модействие симметрии кристалла с симметрией среды, в которой он разви-вается: при наложении нескольких явлений различной природы в одной и той же системе их диссимметрии складываются, т. е. кристалл под внеш-ним воздействием изменяет свою точечную симметрию таким образом, что в группе симметрии его внешней формы сохраняются лишь те элементы симметрии, которые являются общими для групп симметрии как самого кристалла, так и воздействий, взятых отдельно'.

Этот принцип позволяет определить симметрию кристалла, подверг-нутого внешнему воздействию.

Своими работами П. Кюри безгранично расширил понятие симмет-рии, рассматривая последнюю как состояние пространства.

Скалярные, векторные и тензорные свойства Симметрия всех физических объектов, явлений и свойств может быть

проиллюстрирована геометрическими образами, каждый из которых об-ладает своей собственной симметрией. Для их описания используются скалярные, векторные и тензорные величины. Отсюда и свойства соот-ветственно подразделяются на скалярные, векторные и тензорные.

Скалярными называются физические свойства, величина которых не зависит от направления, в котором они определяются. Например, это плот-ность тела, его масса, теплоемкость, модуль сжатия, температура плавле-ния и др. Аналитически скалярные величины задаются одним числом. По-скольку скалярное свойство одинаково во всех точках кристалла и не зави-сит от направления, геометрическим образом, иллюстрирующим симмет-рию этого свойства, будет сфера, симметрия которой описывается одной из предельных групп — mm.

Векторными являются простейшие направленные величины, такие как сила и напряженность электрического поля и др. Векторные свойства воз-никают в кристалле как анизотропной среде при скалярном — изотропном — воздействии на него, т. е. воздействии, не зависящем от направления.

39

Например, вектор а определенной длины и направления, описыва-ющий некоторую физическую величину и остающийся неизменным в лю-бой системе координат, может быть задан его проекциями — компо-нентами этого вектора а1, а2, а3 – на координатные оси X, Y, Z. Иначе го-ворят о разложении вектора а по базису XYZ.

Тензорные свойства — это следующие по сложности (после вектор-ных) направленные физические величины, описываемые в некоторой си-стеме координат. Если одна векторная величина b является функцией дру-гой а, то в простейшем случае они связаны линейной зависимостью: b = s×а. То есть в общем случае в анизотропных средах, например в кри-сталлах, связь между этими векторами (а и b) зависит от их направления. При этом каждая компонента вектора b является линейной функцией каж-дой компоненты вектора а и может быть выражена системой линейных уравнений.

Плотность Плотность вещества – фундаментальное физическое свойство, опре-

деляемое как масса единичного объема вещества, выраженная в граммах на кубический сантиметр. Зависит плотность от типа кристаллической структуры вещества, его химического состава, коэффициента упаковки атомов, валентностей и радиусов слагающих ее частиц.

Изменяется плотность и с изменением температуры и давления, так как эти факторы вызывают расширение или сжатие вещества.

Зависимость плотности от структуры вещества можно продемон-стрировать на примере трех модификаций Al2SiO5:

андалузита (р = 3,14-3,16 г/см3); силлиманита (р = 3,23-3,27 г/см3); кианита (р = 3,53-3,65 г/см3). С увеличением коэффициента упаковки кристаллической структуры

возрастает плотность вещества. Так, при полиморфном переходе углерода — графита в алмаз – с изменением координационного числа атомов угле-рода с 3 до 4 соответственно повышается и плотность от 2,2 до 3,5 г/см3.

Плотность реальных кристаллов обычно меньше, чем расчетная плот-ность (идеальных кристаллов) из-за присутствия дефектов в их структурах. Плотность алмаза, например, колеблется в пределах 2,7-3,7 г/см3. Таким образом, по уменьшению реальной плотности кристаллов можно судить о степени их дефектности.

Плотность меняется и с изменением химического состава вещества при изоморфных замещениях — при переходе от одного члена изоморф-ного ряда к другому. Например, в ряду оливинов (Mg, Fe2+)2[SiO4] плот-ность возрастает по мере замены катионов Mg2+ на Fe2+ от р = 3,22 г/см3 у форстерита Mg2SiO4 до р = 4,39 г/см3 у фаялита Fe2+

2SiO4. Именно вслед-ствие изоморфных замещений большинство минералов не имеют точных значений плотности. Поэтому, построив для определенного ряда соедине-ний график зависимости плотности от процента изоморфных примесей, по значению плотности можно определить количество замещенных атомов одного элемента другим.

40

Симметрия плотности как скалярного свойства соответствует симме-трии неподвижного шара, и в отношении этого свойства кристаллы ведут себя как однородные изотропные среды. Используется это свойство при обогащении руд – флотации.

Механические свойства кристаллов К свойствам, зависящим от направления в кристалле, относятся такие

механические свойства, как твердость, упругость, пластичность, спай-ность. Под механическими свойствами понимают способность тел реаги-ровать на механические воздействия – сжатие, растяжение, сдвиг, разру-шение. Все эти свойства зависят от строения кристаллов и степени их де-фектности.

Твердость Под твердостью подразумевается степень сопротивления кристалла

внешнему воздействию. Для приближенного определения твердости поль-зуются целым рядом методов, основанных на царапании одного кристалла другим. В 1824 г. австрийский минералог Ф. Моос (1773-1839) предложил достаточно обоснованную 10-балльную шкалу относительной твердости минералов (табл. 7).

Полученные таким образом результаты являются весьма приблизи-тельными. Однако даже с помощью этого метода можно подметить анизо-тропию твердости у кристаллов некоторых веществ. Наиболее точные све-дения о твердости можно получить с помощью специальных приборов — твердометров, или склерометров, где алмазная пирамидка вдавливается под определенной нагрузкой в образец, и по глубине фигуры вдавливания определяется абсолютная твердость в кг/мм2.

Твердость не является физической постоянной. Ее величина зависит не только от изучаемого материала, но и от условий измерения. Доказана зависимость твердости от строения кристаллов – типа структуры, коэффи-циента упаковки (удельного веса), заряда образующих кристалл ионов. Например, различную твердость (по шкале Мооса) двух полиморфных мо-дификаций СаСО3 – кальцита и арагонита – 3 и 4 соответственно можно объяснить разной плотностью их структур:

для структуры кальцита с КЧСа = 6 – р = 2,72 г/см3, для структуры арагонита с КЧСa = 9 – р = 2,94 г/см3.

Таблица 7. Шкала твердости по Ф. Моосу

Минерал Относительная твердость по Моосу

Абсолютная твердость, кг/мм2*

Тальк 1 2,4 Галит 2 36 Кальцит 3 109 Флюорит 4 189 Апатит 5 536

41

Минерал Относительная твердость по Моосу

Абсолютная твердость, кг/мм2*

Полевой шпат 6 795 Кварц 7 1120 Топаз 8 1427 Корунд 9 2060 Алмаз 10 10 060

* Твердость, определенная методом вдавливания па твердометре. В ряду одинаково построенных кристаллов твердость возрастаете уве-

личением зарядов, а следовательно, и уменьшением размеров катионов. Присутствие же в структурах достаточно крупных анионов типа F", ОН", молекул Н2O понижает твердость. Например, для изоструктурных мине-ралов гематита Fe2O3 (rFe = 0,78 Å) и корунда Al2O3 (rAl = 0,57 Å) значения твердости соответственно равны 5-6 и 9, но твердость гиббсита Al(OH)3 в структуре которого замена трех атомов О2- на 3(ОН)--группы сопро-вождается компенсационной заменой 2Fe3+ на А13+, существенно понижена - до 3 по сравнению с 9 корунда.

Поскольку грани разных простых форм кристаллов часто обладают различной ретикулярной плотностью, они могут различаться по своей твердости. Например, для граней топаза твердость 7,5 соответствует гра-ням базового пинакоида, а твердость 8 – граням призмы. Наибольшей твердостью в структуре алмаза обладают грани октаэдра (111), имеющие большую ретикулярную плотность по сравнению с гранями куба (100). Даже в пределах одной и той же грани твердость может изменяться весьма существенно, что зависит от расстояний между атомами в том или ином направлении. Эта особенность учитывается ювелирами при обработке дра-гоценных камней. Так, для грани (100) алмаза наиболее выгодными направлениями для шлифовки оказываются [010] и [001] по сравнению с направлениями [011] или [011].

Наиболее резко выражена анизотропия твердости у триклинных кри-сталлов дистена (=кианита) Al2SiO5. Так, для грани (010) в направлении [001] твердость равна 6, перпендикулярно [001] - 7.

Если значения твердости по разным направлениям на грани кристалла показать в виде векторов в определенном масштабе, то, соединив их кон-цы, получим так называемую розетку твердости, симметрия которой будет отражать симметрию данной грани. Например, симметрия розеток твердо-сти на грани куба - 4тт и на грани октаэдра - 3т

Механические деформации Прочность кристалла определяется его способностью реагировать на

удар, раздавливание, растягивание, сжатие, разрезание и т. д. При воздей-ствии на кристалл внешней растягивающей нагрузки расстояние между атомами увеличивается и их равновесное положение в кристалле наруша-ется. Это приводит к нарушению равенства сил притяжения и от-

42

талкивания, характерного для равновесного состояния атомов в кристал-лической структуре, и возникновению внутренних сил, стремящихся вер-нуть атомы в первоначальное равновесное положение. Величина этих сил, рассчитанная на единицу площади поперечного сечения кристалла, назы-вается напряжением.

Упругие деформации. При малых смещениях атомов деформация яв-ляется обратимой и полностью снимается при снятии нагрузки. Такую де-формацию называют упругой деформацией. А напряжение, которое вы-держивает образец, не давая еще остаточной деформации после снятия нагрузки, называется пределом упругости.

При непрерывном увеличении внешней нагрузки непрерывно растут внутренние напряжения и деформация. По достижении некоторого преде-ла, характерного для каждого материала, наблюдается либо разрушение кристалла (в этом случае материал является хрупким), либо возникновение пластической деформации (остаточной деформации), не исчезающей после снятия внешней нагрузки.

Напряжение, при котором начинается заметное течение тела, называ-ется пределом текучести.

Для характеристики упругости используется коэффициент упругости (коэффициент линейного сжатия или растяжения) k = l/Р, т. е. изменение длины кристалла (/) под воздействием определенного давления (Р). Часто используется величина, обратная коэффициенту упругости, — модуль Юн-га:

E= 1/k. Если отложить от какой-либо точки внутри кристалла величины ко-

эффициентов растяжения (или сжатия) в виде векторов и соединить их концы, то полученная поверхность, часто весьма сложной формы, — по-верхность коэффициентов растяжения (сжатия) — укажет на возникшие в кристалле деформации. Симметрия такой поверхности будет характеризо-вать симметрию данного физического свойства, описываемого тензором четвертого ранга и будет связана с симметрией кристалла: либо выше его симметрии, либо равна (принцип Нейманна). Для аморфных тел поверх-ность коэффициентов растяжения (или сжатия) имеет форму шара.

Особенно велика упругость у кристаллов алмаза. Поэтому мельчай-шие кристаллики алмаза легко потерять, так как они «отпрыгивают» от ме-таллических предметов, дерева, бумаги.

Описывается свойство упругости тензором четвертого ранга. Пластические деформации. При деформациях, превышающих, как

правило, десятые доли процента, после снятия нагрузки кристалл не воз-вращается в исходное состояние. Такая пластическая деформация на-блюдается у разных веществ при различных нагрузках. При этом степень деформации до разрушения кристалла может изменяться в широких пре-делах - от нескольких единиц до сотен процентов. Кристаллы, у которых такие деформации очень малы, называются хрупкими. В результате пла-стической деформации одна часть структуры смещается относительно дру-гой параллельно определенным атомным сеткам без разрыва. Если ориен-

43

тация смещенных частей кристалла сохраняется, то такая деформация называется скольжением. В противном случае, т. е. при изменении взаим-ной ориентации соседних блоков, могут образоваться двойники смещения.

Способность кристалла к пластической деформации определяется прежде всего характером сил химической связи между его структурными элементами.

Ковалентная связь, обладающая строгой направленностью, резко ослабляется уже при незначительных смещениях атомов относительно друг друга. При сдвиге эта связь разрушается раньше, чем атомы успевают установить ее с другими своими соседями. Поэтому кристаллы с ковалент-ным типом связи (например, Sb, Bi, As, Se и др.) не проявляют способно-сти к пластической деформации.

Металлическая связь, не имеющая направленного характера, наобо-рот, меняется очень слабо при тангенциальных смещениях атомов отно-сительно друг друга. Поэтому возможны весьма значительные смещения (на тысячи атомных расстояний) одних частей структуры относительно других. Это определяет высокую степень пластичности металлов. Ха-рактерная для многих металлов ковкость — не что иное, как проявление пластической деформации. Причем скольжение легче всего происходит в направлениях, параллельных слоям плотнейших упаковок структур метал-лов. Наиболее ковкими являются те металлы, структуры которых построе-ны по закону кубической плотнейшей упаковки, имеющей четыре направ-ления плотноупакованных слоев. Менее ковки металлы с гексагональной плотнейшей упаковкой — с одним направлением плотнейших слоев. Слу-чай скольжения неплотных слоев наименее благоприятен. Так, среди по-лиморфных модификаций железа a-Fe и p-Fe ковкостью почти не обладают (I-решетка Браве), тогда как -Fe (с кубической плотнейшей упаковкой) — ковкий металл, так же как Си, Pt, Аи, Ag и др.

Ионная связь занимает промежуточное положение между металличе-ской и ковалентной. Она не столь направленна, как ковалентная, но и не столь гибка, как металлическая. Типичные ионные кристаллы NaCl, CaF2, СаТе и др. такие же хрупкие, как кристаллы с ковалентной связью. Но в то же время они обладают достаточно высокой пластичностью. Скольжение в них протекает по определенным кристаллографическим направлениям. Это объясняется тем, что в структуре кристалла (например, кристалла NaCl) можно выделить сетки (110), образованные либо одними ионами Na+, либо ионами С1-. При пластической деформации одна плоская сетка передвига-ется относительно соседней таким образом, что ионы Na+ скользят вдоль ионов С1-. Разноименность зарядов ионов в соседних сетках препятствует разрыву, и они остаются параллельными своему исходному положению. Скольжение вдоль этих плоскостей (слоев) протекает при минимальном нарушении в расположении атомов и является поэтому наиболее легким. Скольжение отдельных блоков структуры кристаллов галита NaCl под действием приложенного напряжения (Р) происходит по плоскости, кото-рую называют плоскостью скольжения.

Изучение пластических деформаций кристаллов имеет большое зна-

44

чение для понимания различных геологических процессов. В частности, одной из причин течения ледников можно считать деформации скольже-ния в гексагональных кристаллах льда, происходящие параллельно базо-пинакоидальным атомным сеткам под действием давления вышележащих ледяных толщ; аналогично может быть объяснено перетекание больших масс каменной соли в земной коре.

Изучение ориентации плоскостей скольжения в деформированных кристаллах горных пород может дать сведения о палеонапряжениях дан-ного участка земной коры.

В процессе деформирования твердых тел их внутренняя энергия воз-растает. По существу, это энергия остаточных напряжений, возникающих в упруго напряженных участках кристаллической структуры. Повышение внутренней энергии приводит к возникновению и развитию в кристалле процессов, стремящихся вернуть его в равновесное состояние, таких, например, как рассасывание внутренних напряжений вследствие переме-щения атомов искаженных областей структуры в свои равновесные поло-жения. Этот процесс протекает без видимого изменения структуры и назы-вается «отдых». С другой стороны, снятие напряжения сопровождается интенсивно развивающимся процессом рекристаллизации, когда в кри-сталле возникают и растут новые кристаллы, свободные от внутренних напряжений. Центры этих кристаллов зарождаются в наиболее искажен-ных областях структуры. В результате этого процесса монокристалл пере-ходит в поликристаллическое состояние. Скрытая энергия при этом выде-ляется в виде тепла.

Тепловые свойства кристаллов Если теплоемкость — это скалярное свойство, не зависящее от на-

правления, то теплопроводность — свойство, изменяющееся по закону эл-липсоида, — описывается тензором второго ранга.

Теплопроводность — явление переноса тепла, зависящее от симмет-рии кристалла, легко иллюстрируется простым опытом, предложенным Г. Сенармоном. Если прикоснуться нагретой иглой к грани кристалла, пред-варительно покрытой тонким слоем воска, то форма образовавшейся фигу-ры плавления укажет на симметрию этой грани. Разновидность этого ме-тода была предложена в свое время В. К. Рентгеном. Подышав на кри-сталл, увидим, что на поверхности его граней образуется тонкая пленка влаги. Если после этого прикоснуться к грани разогретой проволокой, то вокруг точки прикосновения возникнет сухая область, которая становится видимой после опыления поверхности порошком ликоподия. На любой грани (любом сечении) кубического кристалла фигурой плавления ока-жется круг, так же как и на главных сечениях, перпендикулярных главному особому направлению кристаллов средней категории. Фигуры плавления на всех остальных гранях и сечениях кристаллов средней категории будут иметь эллипсоидальную форму. В кристаллах низшей категории форму круга будут иметь фигуры плавления в сечениях, перпендикулярных лишь двум направлениям.

Приведенные выше опыты позволяют представить объемные поверх-

45

ности, характеризующие значения теплопроводности в разных направ-лениях внутри кристаллов. Так, если мысленно поместить точечный ис-точник тепла внутрь кристалла и по разным направлениям отложить в виде векторов значения теплопроводности, то концы векторов образуют за-мкнутые изотермические поверхности в форме сферы для кубических кри-сталлов, эллипсоида вращения для кристаллов средней категории и трех-осного эллипсоида — для кристаллов низшей категории. На основании этого можно сделать вывод об изотропности кубических кристаллов (как и аморфных тел) в отношении этого физического свойства и анизотропности кристаллов средней и низшей категорий.

Рекордной теплопроводностью, в пять-шесть раз превышающей те-плопроводность меди, обладают кристаллы алмаза. Благодаря этому свой-ству кристаллы алмаза широко используются в приборостроении в каче-стве теплоотводов.

Анизотропия теплопроводности тесно связана со структурой кри-сталлических веществ. Так, наиболее плотным атомным сеткам и рядам соответствуют большие значения теплопроводности. Поэтому понятна разница в величинах теплопроводности в слоистых и цепочечных кри-сталлах в разных направлениях. Например, в структуре графита те-плопроводность в плоскости атомной сетки в несколько раз превышает теплопроводность в перпендикулярном слоям направлении, тогда как для ленточных силикатов (например, амфиболов) большая теплопроводность соответствует направлению вытянутости Si-O-лент вдоль оси с структуры кристаллов.

Теплопроводность зависит также от степени совершенства кристал-лов. Так, у более дефектных природных кристаллов она заметно ниже, чем у синтетических. Кроме того, вещества в аморфном состоянии обладают более низкой теплопроводностью, чем того же состава кристаллы. Напри-мер, теплопроводность стекла значительно ниже теплопроводности кри-сталлов кварца. Это объясняет использование кварцевого стекла для изго-товления химической посуды, не растрескивающейся при быстром нагре-вании или охлаждении.

Расширение кристаллических тел при нагревании связано с особен-ностями теплопроводности. Если изотропные кристаллы кубической син-гонии расширяются во всех направлениях равномерно, то кристаллы низ-шей и средней сингоний — неравномерно, что приводит к изменению уг-лов между соответствующими гранями.

Оптические свойства кристаллов Каждое вещество с определенной кристаллической структурой ха-

рактеризуется своеобразными оптическими свойствами, знание которых часто может иметь решающее значение при диагностике. Оптические свойства тесно связаны с кристаллической структурой твердого тела, его симметрией. Рассмотрим наиболее характерные оптические свойства кри-сталлов.

В отношении оптических свойств все вещества можно разделить на оптически изотропные и анизотропные. К первым относятся аморфные те-

46

ла и кристаллы высшей категории, ко вторым — остальные кристаллы. В оптически изотропных средах световая волна, представляющая собой со-вокупность поперечных гармонических колебаний электромагнитной при-роды, распространяется с одинаковой скоростью во всех направлениях. В оптически анизотропных средах скорости распространения волны в разных направлениях могут быть различны.

Электромагнитные колебания естественного света происходят в плос-кости, перпендикулярной направлению распространения луча. Поскольку скорость распространения света обратно пропорциональна плотности сре-ды, то при переходе света из одной среды в другую происходит пре-ломление лучей, т. е. их отклонение от первоначального направления. Это явление связано с различными скоростями световых лучей в различных средах и характеризуется величиной, называемой показателем преломле-ния, показывающей, во сколько раз скорость света в одной среде отличает-ся от скорости света в другой. Если одна из сред — вакуум, то такая вели-чина называется абсолютным показателем преломления. Абсолютный по-казатель преломления всегда > 1, поскольку среда

скорость света в пустоте наибольшая. Показатели преломления боль-шинства твердых тел лежат в пределах от 1,4 до 2. Например, для алмаза п = 2,42, для воздуха n = 1,0003.

Луч света, идущий перпендикулярно поверхности двух сред, не ис-пытывает преломления. В том случае, если свет из среды с большим по-казателем преломления попадает в среду с меньшим показателем пре-ломления под углом, превышающим предельный, то наблюдается полное внутреннее отражение. На явлении полного внутреннего отражения осно-ван целый ряд оптических приборов — рефрактометров (приборов для из-мерения показателей преломления), призм Николя.

Сверкание – световая игра на гранях бриллианта – с одной стороны, обязано высокому показателю преломления алмаза, с другой – специаль-ной огранке кристалла, способствующей неоднократному полному внут-реннему отражению падающего на него луча, при котором бриллиант спо-собен отражать практически все падающие на него лучи света. А посколь-ку показатели преломления для лучей разной длины в средах различны, то благодаря дисперсии наблюдается вся цветовая гамма.

Электропроводность Электропроводность описывается тензором второго ранга. Все веще-

ства можно разделить на проводящие электрический ток (проводники), по-лупроводники и диэлектрики (изоляторы).

В электропроводящих кристаллах, помещенных в электрическое поле, возникает электрический ток — перенос электрического заряда. Причем в большинстве случаев связь между плотностью тока (j) и напряженностью электрического поля (Е) линейная, подчиняется закону Ома (см. параграф 7.2) и в однородных изотропных электропроводящих кристаллах выража-ется простой пропорциональностью: j = σ · Е, где σ — коэффициент элек-тропроводности (электропроводимости), зависящий от рода и температуры проводника.

47

В монокристаллах направления векторов j и Е в общем случае не сов-падают. Коэффициент а зависит от направления тока в кристалле, и харак-теристической поверхностью (индикатрисой) для него будет эллипсоид, форма и ориентация которого соответствуют симметрии кристалла: для кристаллов низшей категории индикатрисой электропроводности будет трехосный эллипсоид, т. е. кристаллы имеют три главных коэффициента электропроводности; для кристаллов средней категории — эллипсоид вращения с двумя главными коэффициентами электропроводности; для кристаллов высшей категории — сфера с одним главным коэффициентом электропроводности. Таким образом, в отношении электропроводности кристалл выступает как непрерывная однородная среда.

Кристаллы-диэлектрики, при обычных условиях не проводящие ток (ионные и ковалентные кристаллы), можно наэлектризовать путем раз-личных воздействий на них: трением, давлением, облучением, нагреванием и т. д. С практической точки зрения наибольший интерес для кристалло-графической диагностики и технического применения представляет элек-тризация при изменении температуры и механических деформаций.

Пироэлектрический эффект Изменение спонтанной поляризации с колебанием температуры при-

водит к специфическому для анизотропных кристаллов явлению — пиро-электрическому эффекту – возникновению разноименных зарядов на про-тивоположных концах кристалла. Это явление, открытое случайно на кри-сталлах турмалина, попавшего в горячую золу и притянувшего частицы золы лишь одним своим концом, было наглядно и весьма эффективно под-тверждено опытом Кундта в 1883 г., который опылял нагретый кристалл турмалина (с симметрией 3m) смесью порошка серы и сурика (Pb3O4), пропущенной через шелковое сито. По-разному наэлектризованные при трении о шелк частицы этих минералов притягиваются к различным кон-цам кристалла турмалина (отвечающим концам оси 3-го порядка), под-тверждая этим появление противоположных зарядов на концах нагретого кристалла. Знание знаков заряда порошков – «-» у серы и «+» у сурика позволило установить характер электризации турмалина. При охлаждении такого кристалла знаки зарядов меняются на противоположные. И по-скольку скалярное воздействие на кристалл (нагрев, охлаждение) само по себе не обусловливает проявление векторного свойства, то симметрия по-лярного свойства должна быть заложена в самом кристалле. Поэтому пи-роэлектрический эффект, как векторное свойство, может возникнуть лишь в диэлектрических кристаллах с единственным полярным направлением — направлением (вектором), противоположные концы которого не могут быть совмещены ни одной операцией данной группы симметрии. Таким образом, пироэлектрический эффект может возникнуть в кристаллах, от-носящихся к одному из десяти полярных (гемиморфных) классов симмет-рии: 1,2,3,4,6, т, тт2, 3т, 4тт, 6тт.

Кроме турмалина пироэлектрическим эффектом обладают кристаллы обыкновенного сахара, винной кислоты, кристаллизующиеся в классе 2 моноклинной сингонии. Пироэлектрические кристаллы широко использу-

48

ются для изготовления чувствительных приемников инфракрасного излу-чения, датчиков ударных волн, измерителей напряжения и изменений тем-пературы с высокой точностью и др.

Пироэлектрические свойства кристаллов тесно связаны с пьезоэлек-трическими свойствами, так как проявление пироэффекта сопровождается увеличением объема кристаллов при нагревании, т. е. упругими де-формациями.

Пьезоэлектрический эффект Другое интересное явление связано с электризацией диэлектриков —

возникновением электрической поляризации под действием механических напряжений. Любопытно также обратное явление — деформация кристал-ла под действием электрического поля.

Пьезоэлектрический эффект, описываемый тензором третьего ранга, - это совокупность явлений, прямо пропорционально связывающих механи-ческие напряжения (растяжения или сжатия), описываемые тензором вто-рого ранга, с электрическим полем (поляризацией) — векторным свой-ством. Величины возникших зарядов пропорциональны приложенной к кристаллу силе. Знак заряда при этом зависит от типа кристаллической структуры. Поскольку пьезоэлектрический эффект характеризуется поляр-ным вектором и проявляется под воздействием центросимметричного (не-полярного) тензора напряжений второго ранга, то это свойство возникает только в кристаллах, лишенных центра инверсии, т. е. имеющих полярные направления и принадлежащих к одному из 20 ацентричных классов сим-метрии.

Ярким примером проявления пьезоэлектрического свойства являются кристаллы кварца SiO2 (пространственная группа Р3,2) с одним не-полярным направлением вдоль оси 3-го порядка, в структуре которых множество полярных направлений, три из которых параллельны трем осям 2Т Вдоль этих осей 2-го порядка и наблюдается пьезоэффект, а сами направления называются электрическими осями. Структура кварца по-строена из крем некислородных спиралей, закрученных вокруг осей 3-го порядка. Схематическая проекция одной из спиралей на плоскость (0001) структуры минерала показана. Сжатие такой спирали вдоль одной из по-лярных осей 2-го порядка приводит к смещению атомов Si и О2- с образо-ванием электрических диполей и появлению разноименных зарядов на по-верхностях, перпендикулярных направлению сжатия. Растяжение вдоль этого же направления приводит к смене знаков заряда. Если же кварцевую пластинку, вырезанную перпендикулярно оси 2-го порядка, поместить в переменное электрическое поле, то она начнет вибрировать — то сжи-маться, то расширяться (за 1 сек. совершается до 105 колебаний), т.е. иг-рать роль колебательного контура высокого качества. Благодаря этому свойству кварцевые пластины нашли широкое применение в радиоэлек-тронике в качестве стабилизаторов частот в радиоаппаратуре, для гене-рации и приема ультразвуковых волн и т. д.

К настоящему времени изучены сотни веществ, кристаллы которых обладают пьезоэлектрическими свойствами. Кроме кварца и турмалина

49

наиболее распространенными пьезоэлектриками являются кристаллы се-гнетовой соли, тертрата калия, сульфата лития.

Магнитные свойства кристаллов Магнитные свойства — это способность тел взаимодействовать с маг-

нитным полем, т. е. намагничиваться при помещении их в магнитное поле. Мерой намагниченного состояния вещества служит магнитный момент единицы объема, или намагниченность. В зависимости от величины маг-нитной восприимчивости различают диамагнитные, парамагнитные, фер-ромагнитные и антиферромагнитные кристаллы.

Магнитные свойства всех веществ зависят не только от особенностей их кристаллической структуры, но и от природы слагающих их атомов (ионов), т.е. магнетизм определяется электронным строением оболочек и ядер, а также орбитальным движением вокруг них электронов (спинами).

На первоначальное вращательное движение электронов вокруг ядра накладывается дополнительное вращательное движение, в результате чего атом получает дополнительный магнитный момент. При этом если все электроны с противоположными спинами в атоме сгруппированы попарно, то магнитные моменты электронов оказываются скомпенсированными и их суммарный магнитный момент будет равен нулю.

При внесении диамагнетика в магнитное поле результирующие маг-нитных моментов электронов с противоположными спинами будут анти-параллельны вектору напряженности магнитного поля, и поэтому диамаг-нетики будут выталкиваться из магнитного поля. Магнитная вос-приимчивость таких кристаллов отрицательна и очень мала.

К диамагнетикам относятся благородно-газовые элементы, металлы 5-подгрупп – Сu, Ag, Аu, Zn, Cd, большинство ионных кристаллов – NaCl, CaF2, а также вещества с преобладающей ковалентной связью – Bi, Sb, Ga, графит. В кристаллах со слоистыми структурами магнитная вос-приимчивость для направлений, лежащих в слое, значительно превышает таковую для перпендикулярных направлений.

Поскольку при заполнении электронных оболочек в атомах электроны стремятся быть неспаренными, существует большое количество веществ, магнитные моменты электронов в атомах которых расположены беспоря-дочно и при отсутствии внешнего магнитного поля в них не происходит самопроизвольная ориентация магнитных моментов. Суммарный магнит-ный момент, обусловленный несвязанными попарно и слабо взаимодей-ствующими друг с другом электронами, будет постоянным, положитель-ным или несколько большим, чем у диамагнетиков. Такие атомы называ-ются магнитными, а вещества соответственно – парамагнетиками. Напри-мер, это пирит FeS2, переходные металлы – Pt, Ti, Sc, Pd, Dy и др. При вне-сении парамагнетика в магнитное поле разо- риентированные спины при-обретают некоторую ориентировку, в результате чего наблюдаются три типа упорядочения нескомпенсированных магнитных моментов — три ти-па явлений: ферромагнетизм, антиферромагнетизм и ферримагнетизм.

Ферромагнитными свойствами обладают вещества, магнитные мо-менты атомов (ионов) которых направлены параллельно друг другу, в ре-

50

зультате чего внешнее магнитное поле может усилиться в миллионы раз. Причем параллельная ориентация магнитных моментов сохраняется после удаления внешнего магнитного поля, т.е. вещества становятся постоянны-ми магнитами. А так как ориентирующему действию магнитного поля препятствует тепловое движение, то с повышением температуры намагни-ченность уменьшается и исчезает вовсе при определенной температуре (в точке Кюри). Вещества при этом становятся парамагнитными. Название этой группы — ферромагнетики - связано с присутствием в ней элементов группы железа – Fe, Ni, Co.

Если магнитные моменты отдельных атомов антипараллельны и рав-ны, то суммарный магнитный момент атомов равен нулю (с учетом темпе-ратуры). Такие вещества называются антиферромагнетиками. К ним отно-сятся оксиды переходных металлов — МnО, NiO, СоО, FeO, многие фто-риды, хлориды, сульфиды, селениды и др.

При неравенстве антипараллельных моментов атомов структуры кри-сталлов суммарный момент оказывается отличным от нуля и такие струк-туры обладают спонтанной намагниченностью. Этот некомпенсированный антиферромагнетизм называют ферримагнетизмом. Подобным свойством обладают соединения со структурным типом шпинели - ферриты (напри-мер, Fe3O4 = Fe3+(Fe2+, Fe3+)2O4, минералы группы граната).

Магнитные свойства минералов широко используются в технике, а также представляют значительный интерес при решении минералого-генетических, кристаллохимических и геофизических задач.

Магнитные свойства горных пород определяются содержанием и ори-ентировкой в них минеральных зерен с различными магнитными харак-теристиками. Любая горная порода, осадочная или магматическая, в мо-мент своего образования приобретает намагниченность по направлению и по величине магнитного поля Земли данного конкретного времени в дан-ной точке планеты. Однажды приобретенная намагниченность породы при благоприятных условиях сохраняется длительное время. Если вырезать из горной породы ориентированный в пространстве образец и измерить его остаточную намагниченность, то можно установить направление остаточ-ных силовых магнитных линий той эпохи, в которой сформировалась дан-ная порода, и, как следствие, вычислить положение геомагнитного полюса. Проводя замеры следов магнитного поля в массовом порядке в горных по-родах различных возрастов и на разных континентах, можно выявить эво-люцию магнитного поля Земли, как бы реконструировать его историю.

6.3. Краткое описание лабораторных работ 6.3.1. Перечень рекомендуемых лабораторных работ Лабораторная работа № 1. Определение элементов симметрии кри-

сталла. Формула симметрии кристаллических многогранников. Лабораторная работа № 2. Простые формы низшей категории синго-

ний. Лабораторная работа № 3. Простые формы средней категории синго-

ний.

51

Лабораторная работа № 4. Простые формы кубической сингонии. Лабораторная работа № 5. Анализ комбинаций простых форм низшей

и средней категорий сингоний. Лабораторная работа № 6. Анализ комбинаций простых форм кубиче-

ской сингонии. Лабораторная работа № 7. Решение кристаллографических задач на

сетке Вульфа. Лабораторная работа № 8. Проектирование и графическое вычисление

кристаллов. Форстерит. Лабораторная работа № 9. Проектирование и графическое вычисление

кристаллов. Кварц. 6.3.2. Методические указания по выполнению лабораторных ра-

бот Лабораторная работа № 1. Определение элементов симметрии кри-

сталла. Формула симметрии кристаллических многогранников. Цель задания: определение элементов симметрии кристалла, состав-

ление формулы симметрии. Содержание задания: в моделях многогранников выявляется симмет-

рия с помощью вспомогательных геометрических образов (элементов симметрии), подсчитывается их количество и записывается формула сим-метрии.

Лабораторная работа № 2. Простые формы низшей категории синго-ний.

Цель задания: изучение простых форм низшей категории. Содержание задания: определение простых форм низшей категории

среди моделей многогранников по ряду признаков. Лабораторная работа № 3. Простые формы средней категории синго-

ний. Цель задания: изучение простых форм средней категории. Содержание задания: определение простых форм средней категории

среди моделей многогранников по ряду признаков. Лабораторная работа № 4. Простые формы кубической сингонии. Цель задания: изучение простых форм средней категории. Содержание задания: определение простых форм высшей категории

среди моделей многогранников по ряду признаков. Лабораторная работа № 5. Анализ комбинаций простых форм низшей

и средней категорий сингоний. Цель задания: распознавание простых форм низшей и средней катего-

рий в комбинациях. Содержание задания: определение количества и названия простых

форм в комбинациях. Лабораторная работа № 6. Анализ комбинаций простых форм кубиче-

ской сингонии. Цель задания: распознавание простых форм высшей категорий в ком-

бинациях. Содержание задания: определение количества и названия простых

52

форм в комбинациях. Лабораторная работа № 7. Решение кристаллографических задач на

сетке Вульфа. Цель задания: изучение методики решения кристаллографических за-

дач с помощью сетки Вульфа. Содержание задания: построение стереографических проекций полю-

сов граней, определение углов и сферических координат. Лабораторная работа № 8. Проектирование и графическое вычисление

кристаллов. Форстерит. Цель задания: диагностика кристалла по данным гониометрических

измерений. Содержание задания: на основе построения стереографической проек-

ции кристалла с помощью сетки Вульфа, проведение графического вычис-ления и диагностики кристалла.

Лабораторная работа № 9. Проектирование и графическое вычисление кристаллов. Кварц.

Цель задания: диагностика кристалла по данным гониометрических измерений.

Содержание задания: на основе построения стереографической проек-ции кристалла с помощью сетки Вульфа, проведение графического вычис-ления и диагностики кристалла.

На лабораторных работах изучаются модели кристаллических много-гранников, находящиеся в аудитории Е-309, для которых составляются формулы симметрии, проводится разбор комбинаций простых форм и да-ется полное описание моделей под контролем преподавателя. При изучении симметрии моделей описание даётся согласно следующе-

му порядку: 1. Сочетание элементов симметрии (формула симметрии). 2. Число единичных направлений и их расположение. 3. Название вида симметрии. 4. Сингония. 5. Категория.

При изучении комбинаций простых форм описание даётся согласно следующему порядку:

1. Вид симметрии. 2. Число единичных направлений и их расположение. 3. Название вида симметрии, сингония, категория. 4. Простая форма или комбинация (нужное подчеркнуть). 5. Число простых форм в комбинации. 6. Название простых форм.

При проектировании кристаллов описание модели даётся согласно

следующему порядку: 1. По модели или по рисункам определяется симметрия кристал-ла.

2. Определяется комбинацией каких простых форм составлен

53

кристалл. 3. Выбирают установку кристалла – расположение элементов симметрии относительно осей координат.

4. Выбирают единичную грань. 5. Проектируют положения полюсов граней кристалла, используя данные гониометрических измерений.

6. После построения проекции кристалла проводят графическое вычисление констант и символов его граней.

6.4. Краткое описание практических занятий Практические занятия не предусмотрены

6.4.1. Перечень практических занятий (наименования, темы) Методические указания по выполнению заданий на практических

занятиях 6.5. Краткое описание видов самостоятельной работы 6.5.1. Общий перечень видов самостоятельной работы

1. Проектирование сочетаний элементов симметрии. 2. Графический вывод простых форм различных видов симметрии. 3. Проектирование и графическое вычисление минерала по вариантам

6.5.2. Методические рекомендации для выполнения для каждого задания самостоятельной работы

Самостоятельная работа выполняется студентом во вне аудиторное время, по вариантам заданий из Методических указаний к лабораторным и самостоятельным работам.

Отчет представляется в виде пояснительной записки, в которой со-держатся необходимые сведения о ходе работы, и графического приложе-ния (на отдельном листе формата А4), которое выполняется карандашом или роллером. 1. Проектирование сочетаний элементов симметрии. Заданное формулой сочетание элементов симметрии необходимо изобра-зить в проекции на плоскость, в соответствии с таблицей 1 "Методиче-ских указаний…".

2. Графический вывод простых форм различных видов симметрии. Для двух видов симметрии осуществляется графический вывод возмож-ных видов симметрии, в соответствии с рекомендациями, данными в "Ме-тодических указаниях…". 3. Проектирование и графическое вычисление минерала Для выбранного варианта самостоятельного задания осуществляется про-ектирование кристалла с помощью сетки Вульфа, в соответствии с реко-мендациями, данными в "Методических указаниях…".

6.5.3. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы

студентов Кристаллография: Метод. указания к лабораторным и самостоятель-

ным работам. Составитель Т. Б. Колотилина. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2006. – 66 с.

54

7. Применяемые образовательные технологии При реализации данной программы применяются образовательные

технологии, описанные в табл. 2. Таблица 2 - Применяемые образовательные технологии

Технологии Виды занятий Лекции Лабр.

р. Практ./Сем. СРС Курсовой

проект

Слайд - материалы + + + Виртуальное моде-лирование

+ +

Работа в команде Игра Проблемное обуче-ние

Проектный метод Исследовательский метод

Тренинг + Другие методы Применение метода указывать знаком +

При применении других образовательных технологий ниже дать их

краткую характеристику.

7. Контрольно-измерительные материалы и оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной атте-стации по итогам освоения дисциплины

7.1. Краткое описание контрольных мероприятий, применяемых контрольно-измерительных технологий и средств.

Качество подготовки специалиста оценивается рейтинговой си-стемой.

7.2. Описание критериев оценки уровня освоения учебной програм-мы.

Суммарный балл по итогам семестра 60-100. Семестровый балл 20-40. Самостоятельная работа –30 баллов. Зачетный балл 15-30. 7.3. Контрольно измерительные материалы для итоговой аттестации

по дисциплине. Контрольные вопросы и тестовые задания. Вопросы к зачёту:

1. Кристалл и кристаллическое вещество: определение и основные свой-ства

2. Пространственная решетка и ее параметры.

55

3. Закон рациональных отношений параметров. 4. Структурные типы NaCl и алмаза. 5. Типы плотнейших упаковок шаров. 6. Понятие о виде симметрии, сингонии и категории 7. Единичные и симметрично-равные направления, ориентировка

единичного направления относительно элементов симметрии. 8. 32 класса симметрии кристаллов, принципы вывода. 9. Символы граней, понятие о единичной грани 10. Кристаллографические оси координат, установка кристаллов раз-

личных сингоний 11. Понятие о простой форме кристалла и о комбинациях простых

форм, частные и общие простые формы 12. Простые формы низшей категории и их обобщающие символы 13. Простые формы средней категории и их обобщающие символы 14. Простые формы высшей категории и их обобщающие символы 15. Закон постоянства углов и его значение 16. Симметрия и элементы симметрии кристаллов 17. Типы ячеек (решеток) Браве 18. Теоремы о сочетании элементов симметрии. 19. Координационное число и координационные многогранники 20. Физические и механические свойства, связанные со структурой кри-

сталла

Тестовые задания: ВОПРОС № 1. Какая категория характеризуется только одним единичным

направлением Тип вопроса: Выбор единственно правильного ответа Варианты ответов: 1. низшая 2. средняя 3. высшая 4. ни одна из перечисленных ВОПРОС № 2. На каком из рисунков изображен вид симметрии соответ-

ствующей средней категории

Тип вопроса: Выбор единственно правильного ответа Варианты ответов: 1. А 2. Б 3. ни на одном ВОПРОС № 3. Дорисовать недостающие элементы симметрии на основа-

нии теорем о сочетании элементов симметрии.

56

ВОПРОС № 4. Какие простые формы не возможны в виде симметрии L4

Тип вопроса: Выбор возможных правильных ответов Варианты ответов: 1. моноэдр 2. пинакоид 3. тетрагональная призма 4. ромбическая пирамида 5. тетрагональный скаленоэдр 6. тетрагональная пирамида 7. тетрагональный тетраэдр ВОПРОС № 5. Какими свойствами обладает кристаллическое вещество? Тип вопроса: Выбор возможных правильных ответов

Варианты ответов: 1. способность к самоограничению 2. однородность 3. ассимметричность 4. закономерное внутреннее строение 5. непостоянная температура плавления и кристаллизации ВОПРОС № 6. Какие из перечисленных простых кристаллографических

форм не встречаются в низшей категории Тип вопроса: Выбор возможных правильных ответов Варианты ответов: 1. моноэдр 2. диэдр 3. ромбоэдр 4. октаэдр 5. пинакоид 6. тетрагональная пирамида

7. ромбическая призма ВОПРОС № 7. Нарисовать проекцию граней пинакоида, если его обобща-

ющий символ {001}

57

ВОПРОС № 8. Как называется тип ячейки Браве, в которой частицы рас-положены в вершинах и центрах всех граней

Тип вопроса: Выбор единственно правильного ответа Варианты ответов: 1. примитивная 2. гранецентрированная 3. объемноцентрированная 4. базоцентрированная 5. такой ячейки не существует

ВОПРОС № 9. Является ли плоскость PP на рисунке - плоскостью симметрии фигуры ABCD?

Тип вопроса: Выбор единственно правильного ответа Варианты ответов: 1. Да 2. Нет 3. Не знаю

ВОПРОС № 10. Какими свойствами обладает кристаллическое вещество? Тип вопроса: Выбор возможных правильных ответов

Варианты ответов: 1. неоднородность 2. анизотропия 3. симметричность 4. закономерное внутреннее строение 5. постоянная температура плавления и кристаллизации ВОПРОС № 11. Дорисовать недостающие элементы симметрии на основа-

нии теорем о сочетании элементов симметрии.

ВОПРОС № 12. Какие простые формы возможны в виде симметрии L2

Тип вопроса: Выбор возможных правильных ответов

58

Варианты ответов: 1. моноэдр 2. пинакоид 3. тригональная призма 4. ромбическая дипирамида 5. диэдр 6. ромбическая призма 7. ромбический тетраэдр ВОПРОС № 13. В какой категории единичные направления все, множе-

ство или их несколько Тип вопроса: Выбор единственно правильного ответа Варианты ответов: 1. низшая 2. средняя 3. высшая 4. ни в одной из перечисленных ВОПРОС № 14. Выберите, какие простые кристаллографические формы

встречаются в низшей категории Тип вопроса: Выбор возможных правильных ответов Варианты ответов: 1. моноэдр 2. тетрагональная пирамида 3. ромбическая дипирамида 4. октаэдр 5. тригональный скаленоэдр 6. ромбический тетраэдр 7. тригон-гексатетраэдр ВОПРОС № 15. Нарисовать проекцию тетрагональной призмы, если её

обобщающий символ {110}.

ВОПРОС № 16. Выберите, какие простые кристаллографические формы встречаются в средней категории

Тип вопроса: Выбор возможных правильных ответов Варианты ответов: 1. ромбододекаэдр 2. пинакоид 3. тригональный трапецоэдр

59

4. тригональная призма 5. диэдр осевой 6. ромбоэдр 7. тригон-тритетраэдр 8. ромбическая призма ВОПРОС № 17. Как называется простая кристаллографическая форма

средней категории, грани которой параллельны оси высшего порядка Тип вопроса: Выбор единственно правильного ответа Варианты ответов: 1. пинакоид 2. пирамида 3. ромбоэдр 4. призма 5. дипирамида 6. трапецоэдр ВОПРОС № 18. Дорисовать недостающие элементы симметрии на основа-

нии теорем о сочетании элементов симметрии.

ВОПРОС № 19. Какие простые формы не возможны в виде симметрии L3

Тип вопроса: Выбор возможных правильных ответов Варианты ответов: 1. моноэдр 2. пинакоид 3. гексагональная призма 4. тригональная пирамида 5. тригональный трапецоэдр 6. ромбоэдр 7. тригональная призма

ВОПРОС № 20. Сколько единичных направлений характерно для тригональ-ной сингонии

Тип вопроса: Выбор единственно правильного ответа Варианты ответов: 1. одно 2. все 3. множество 4. три 5. ни одного

60

8. Рекомендуемое информационное обеспечение дисциплины 8.1. Основная учебная литература

1. Егоров-Тисменко Ю. К. Кристаллография и кристаллохимия. М.: КДУ. 2010. – 592 с.

2. Урусов В.С., Ерёмин Н.Н. Кристаллохимия. Краткий курс. М.: МГУ, 2010. – 256 с.

8.2. Дополнительная учебная и справочная литература.

1. Егоров-Тисменко Ю. К. Руководство к практическим занятиям по кристаллографии: Учебное пособие. – М.: МГУ, 2010. 208с.

8.3. Электронные образовательные ресурсы: Не предусмотрено

8.3.1. Ресурсы ИрГТУ, доступные в библиотеке университета или в локальной сети университета .

Ресурсы сети Интернет 9. Рекомендуемые специализированные программные средства 1. Программа создания анимированных моделей простых кристал-

лических форм d3dCrystall (свободно распространяемая).

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины Преподавание дисциплины осуществляется в специализированной

аудитории Е-309, которая обеспечена необходимыми наглядными пособи-ями (плакаты), наборами моделей кристаллических многогранников, моде-лями кристаллических структур минералов и типов решеток Браве.

Приложение к программе (обязательное) – календарно-тематический план