1 IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA. · parte, de uma consequência.” (BRAVIANO, 2002, p 25) Com o Geogebra é possível construir e explorar objetos geométricos

1 IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA.

Título: O Ensino de Geometria no Ensino Médio através do software GeoGebra

Autor: João Paulo de Carvalho

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do

Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Leonardo Francisco Nogueira – E.M.N.P – Centro

Município: Pinhalão

Núcleo Regional de Educação: Ibaiti

Professor Orientador: Fernando Oliveira da Silva

Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual do Norte do Paraná

Resumo: O presente projeto tem por finalidade preparar os

professores de Matemática atuantes no Ensino

Fundamental e Médio para a utilização do

Software Educativo GeoGebra, num processo de

investigação na busca de uma aprendizagem

significativa entre teoria e prática, através de um

encaminhamento metodológico capaz de auxiliá-

los no processo de ensino e aprendizagem de

geometria, utilizando o GeoGebra como um

aplicativo de geometria dinâmica no ensino de

Matemática.

Palavras-chave: Geometria Dinâmica, Geogebra e Geometria

Plana

Formato do Material Didático: Caderno Pedagógico

Público Alvo: Professores

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ– SEED

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE DO PARANÁ – UENP

JOÃO PAULO DE CARVALHO

CADERNO PEDAGÓGICO

O ENSINO DE GEOMETRIA NO ENSINO MÉDIO

ATRAVÉS DO SOFTWARE GEOGEBRA

JACAREZINHO – PARANÁ

2012

JOÃO PAULO DE CARVALHO

CADERNO PEDAGÓGICO

O ENSINO DE GEOMETRIA NO ENSINO MÉDIO

ATRAVÉS DO SOFTWARE GEOGEBRA

Produção Didática Pedagógica elaborada para a utilização durante o processo de implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola referente ao Programa de Desenvolvimento Educacional da Secretaria de Estado da Educação, sob orientação do Professor Fernando Oliveira da Silva

JACAREZINHO – PARANÁ

2012

2 APRESENTAÇÃO

A disseminação do uso de tecnologias em diversas áreas de

atividades coloca-nos diante de mudanças na sociedade, na economia, e em

especial na educação, onde precisamos incorporar e trabalhar em sala de aula

esses novos conhecimentos. Isso exige de nós, educadores, a constante busca de

aprendizado e atualização através da pesquisa e da reflexão, com o objetivo de

proporcionar melhores condições de aprendizagem significativa para nossos alunos.

O ensino com o uso das tecnologias digitais no ambiente escolar é

uma área de trabalho que precisa ser incentivada, pois o cenário educacional atual é

influenciado pelas Tecnologias de Informação e Comunicação, com produções de

softwares educacionais livres.

O ensino de geometria é de extrema importância para o

conhecimento humano, pois em nossas atividades cotidianas nos deparamos com

situações que exigem o uso desse conhecimento, por mais simples que sejam.

O ensino de geometria desenvolvido no ambiente escolar

geralmente é ministrado de forma mecânica. As construções geométricas são

realizadas com o uso de: lápis, régua, compasso e transferidor. A referida

metodologia de ensino contribui para a aprendizagem, mas pode ser melhorada com

a utilização de recursos tecnológicos presentes nos laboratórios de informática das

escolas, com a utilização de software de geometria dinâmica, que permite aos

estudantes manipular, investigar e aprender matemática.

Para isso, a questão que direciona a pesquisa é a seguinte: De que

forma as Tecnologias da Informação e Comunicação podem contribuir para a

aprendizagem da Matemática, rompendo as barreiras entre teoria e prática no

ensino de geometria, utilizando o software GeoGebra?

A fim de responder a esta questão, instituiu-se o objetivo primordial

deste projeto, que é propor uma nova prática pedagógica dos conteúdos de

geometria conciliada à Geometria Dinâmica e desenvolver atividades utilizando o

software GeoGebra com um grupo de professores, e verificar como eles se

apropriam desse conhecimento, de forma a contribuir em sua prática docente, assim

como, reconhecer as potencialidades e dificuldades atribuídas a esse software.

3 APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA CONCILIADA À GEOMETRIA

DINÂMICA

3.1 A Tecnologia da Informação e da Comunicação e a Prática

Pedagógica

Vivemos em uma sociedade em que a tecnologia está presente em

nossas casas, no comércio, no trabalho e nas várias áreas da atividade humana.

No campo da educação, com a presença das Tecnologias de

Informação e da Comunicação (TIC), surgem novos desafios. As novas

possibilidades de acesso à informação e comunicação proporcionadas pelos

computadores dão origem a novas formas de aprendizagem. Estas se apresentam

como lúdicas e criativas e contribuem, portanto, para o aprendizado do aluno, e para

o desenvolvimento da atividade do docente, proporcionando a mudança de

paradigmas na educação.

O acesso à informática deve ser visto com um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização tecnológica”. Tal alfabetização deve ser vista não como um Curso de Informática, mas, sim, como um aprender a ler

essa nova mídia. (BORBA, 2010, p 17)

Estamos na era tecnológica, mas não percebemos sua efetiva

implementação nas ações pedagógicas. Em relação a esse fato, é necessário

despertar o interesse do professor para a utilização dos laboratórios de informática,

num processo de investigação e reformação de conceitos, utilizando softwares de

geometria na busca de uma aprendizagem significativa que envolva teoria e prática.

Entendemos que uma nova mídia, como a informática, abre possibilidades de mudanças dentro do próprio conhecimento e que é possível haver uma ressonância entre uma dada pedagogia, uma

mídia e uma visão de conhecimento. (BORBA, 2010, p 45)

Não é fácil para a maioria dos professores lidar com um computador,

mas é preciso que se coloquem disponíveis frente às novas mídias. As escolas

públicas já contam com laboratórios de informática com acesso à internet e com

softwares livres. Na área de Matemática podemos contar com o software

GeoGebra, que é um software livre, ou seja, pode ser instalado por qualquer pessoa

em qualquer computador sem a exigência de qualquer pagamento. É uma boa

opção para se trabalhar a Geometria Dinâmica1 que permite explorar não apenas a

Geometria propriamente dita, mas também outros tópicos relacionados ao ensino de

Matemática (ARAÚJO, 2008).

A missão da escola neste contexto é de democratização do

conhecimento, visando compensar as desigualdades sociais, sendo necessário,

para isso, investir na busca de novas formas de ensino. Reinventar a pedagogia se

faz necessário para incorporar as recentes tecnologias como aprendizagem

inovadora.

O caminho rumo ao uso de tecnologia da informação e comunicação na escola é repleto de desafios que refletem uma combinação de riscos e oportunidades. É um caminho novo para a grande maioria dos professores e, como outras inovações educacionais, requer mudanças na maneira de interagir com os alunos, no planejamento e desenvolvimento das aulas, na sequência curricular, na prontidão para lidar com incertezas, entre outras. (BORBA, 2002, p 247).

É importante que o professor se aproprie das ferramentas

tecnológicas e faça uso delas em sua prática pedagógica, proporcionando ao aluno

condições favoráveis à aquisição de conhecimento e à superação das dificuldades

de ensino-aprendizagem.

1 GEOMETRIA DINÂMICA – É um termo utilizado para indicar um método dinâmico e interativo

para o ensino e aprendizagem de geometria e suas propriedades usando ambientes computacionais

destinados a esse fim.

3.2 Geogebra e o Ensino de Geometria

Atualmente, a geometria é um dos tópicos mais contemplados com a

utilização da tecnologia informática, isso devido ao desenvolvimento de softwares

específicos voltados para o ensino e aprendizagem dessa disciplina.

Neste projeto pretendemos apresentar o software Geogebra, que é

um software de geometria dinâmica.

... em meados da penúltima década do século XX2 que nasceu um

instrumento que permite a abordagem da Geometria de modo

efetivamente dinâmico, usando o computador. Trata-se da

possibilidade de fazer construções eletrônicas como aquelas com

régua e compasso e outras mais. Além disso, elementos básicos

podem ser manipulados através do teclado ou do mouse,

deslocando-se na tela e trazendo atrelados a si os elementos

construídos a partir deles, ou seja, não alterando a posição relativa

entre eles. Nessa mudança automática de posição está o dinamismo,

cuja grande vantagem é preservar relações entre os elementos da

figura. (BRAVIANO, 2002, p 22-23)

O programa Geogebra reúne geometria, álgebra e cálculo; foi objeto

da tese de doutorado de Markus Hohenwarter, que iniciou seu projeto em 2001 na

Universidade de Salzburgo, Áustria. Ele criou e desenvolveu esse software com o

intuito de dinamizar o estudo de Matemática, e de maneira a facilitar sua utilização.

O software permite trabalhar não só com geometria propriamente dita, mas também

com funções, cônicas e diversos outros tópicos relacionados com o ensino de

Matemática.

O Geogebra é um software de acesso livre (é permitido utilizar,

copiar e distribuir o aplicativo para fins não comerciais) e pode ser encontrado com

facilidade em sites de busca ou no endereço: http://www.geogebra.org/cms/.

2 Mais precisamente, em 1985, na cidade de Grenoble (França), nasceu o Cabi-Géomètre e ao

mesmo tempo, nos Estados Unidos, o Visual Geometry Project, o qual mais tarde, se chamaria The

Geometer´s Sketchpad.

http://www.geogebra.org/cms/

Mas ainda há muito que se fazer para melhorar o ensino da

geometria. José Carlos Putnoki, em uma matéria intitulada Que se devolvam a

Euclides a régua e o compasso, relata que:

“Já faz um bom tempo que o Desenho Geométrico foi banido das

nossas escolas de primeiro e segundo graus. Coincidentemente, de

lá para cá, a Geometria, cada vez mais, vem se tornando o grande

terror da Matemática, tanto para alunos quanto para professores.

Com certeza, não se trata apenas de uma coincidência, mas sim, em

parte, de uma consequência.” (BRAVIANO, 2002, p 25)

Com o Geogebra é possível construir e explorar objetos geométricos

e algébricos, por meio de construções interativas e desta forma, possibilita uma

melhor compreensão através da visualização, leitura geométrica do desenho e

percepção dinâmica de propriedades.

“A escola não pode funcionar mais como um meio inibidor do

desenvolvimento das noções espaciais do estudante. Com o advento

do computador e sua inserção nas escolas, ainda que por etapas,

pode-se oferecer aos alunos a possibilidade de aprimorar seu

conhecimentos geométricos usando ambientes computacionais que

executem a Geometria Dinâmica.” (BRAVIANO, 2002, p 25)

A utilização do Geogebra para o desenvolvimento do projeto será

voltado para o estudo de alguns conteúdos da geometria plana.

3.3 – Apresentação do Geogebra

O Geogebra possui uma interface simples composta por Barra de

Menu, Barra de Ferramentas, Campo de Entrada e por duas janelas de trabalho: a

Janela de Álgebra e a Janela de Visualização.

A versão utilizada será o GeoGebra 3.2.

Ao clicar o Botão Direito do Mouse, é possível fazer alterações

através de algumas ferramentas.

A barra de ferramentas está dividida em vários BOTÕES,

representados abaixo.

Barra de Ferramentas

Barra de Menu

Janela de Visualização

Janela de Álgebra

Campo de Entrada

Caixa de Texto Explicativo

Para utilizar a barra de ferramentas, basta clicar no botão na parte

inferior, este permitirá o acesso a várias ferramentas.

Cada ícone tem um desenho e um nome para ajudá-lo a lembrar o

que a ferramenta faz. Ao selecionar o ícone desejado, basta olhar no final da barra

de ferramentas, onde serão dadas informações sobre como utilizá-lo.

CAMPO DE ENTRADA

O Campo de entrada fica na parte inferior da tela do GeoGebra.

Através dele é possível operar com o GeoGebra.

Existem comandos acessíveis no Campo de Entrada e que não

estão na Barra de Ferramentas.

Exemplo: Digite a indicação abaixo no CAMPO DE ENTRADA e pressione ENTER

A=(2,5)

B=(-3,-2)

Estes comandos geram pontos no plano cartesiano, assim como a

ferramenta NOVO PONTO (Botão 2). A diferença é que pela referida ferramenta, o

ponto é obtido através de um clique com o mouse e perde a precisão. Utilizando o

Campo de Entrada, tem-se mais exatidão sobre onde o ponto aparecerá.

Através do CAMPO DE ENTRADA é possível acessar outros

operadores na primeira Barra de Rolagem; para isso, basta clicar no seletor indicado

abaixo e selecionar o operador.

1ª Barra de Rolagem

FUNÇÕES E OPERADORES Para inserir números, coordenadas ou equações, também podemos usar os operadores da tabela a seguir: Obs.: Não podemos deixar espaços entre a função e os parênteses.

FUNÇÃO OPERADOR

Adição

+

Subtração

-

Multiplicação

* ou espaço

Divisão

/

Potenciação ^ ou pode-se usar as combinações de teclas: Alt Gr + 2 para gerar 2 e Alt Gr + 3 para gerar 3

Fatorial

!

Raiz quadrada

sqrt(...)

Raiz cúbica

cbrt(...)

Função exponencial

exp(...) ou ℯx

Logaritmo (base e) ln(...) ou log(...)

Logaritmo (base 2) ld(...)

Logaritmo (base 10) lg(...)

Cosseno

cos(...)

Seno

sin(...)

Tangente

tan(...)

Valor absoluto. Lembre-se que I x I = valor absoluto de x

abs(...)

Abscissa x x(...)

Ordenada y

y(...)

Fonte: (HOHENWARTER, 2009)

JANELA DE ÁLGEBRA

Uma das funções da Janela de Álgebra é exibir as informações

algébricas dos objetos que estão na Janela de Visualização.

É possível editar as propriedades de qualquer objeto na Janela de

Álgebra. Para tal, basta clicar com o botão direito do mouse sobre a informação

algébrica do objeto e escolher a opção PROPRIEDADES. Além disso, com um duplo

clique sobre a informação algébrica, é também possível fazer essa edição.

É importante saber que a Janela de Álgebra possui indicações de

“Objetos Livres” e “Objetos Dependentes”. Os “Objetos Livres” são aqueles

que você pode movimentar sem que eles dependam de outros objetos; já os

“Objetos Dependentes” foram feitos a partir de outros objetos. Em geral, eles

foram feitos a partir dos “Objetos Livres”. Existem também os objetos “Quase

livres”. Esses são livres para se moverem sobre outro objeto. Eles ficam indicados

na Janela de Álgebra na cor azul claro. A cor azul escura é reservada para objetos

totalmente livres, e a cor preta para objetos dependentes (ARAÚJO, 2010).

Para ocultar ou exibir a janela de álgebra, há três formas:

Utilizando o Menu Principal, clicar em EXIBIR e Janela de

Álgebra.

Através de uma combinação de teclas: Ctrl+Shift+A.

Clicando no X na parte superior à direita da Janela de Álgebra,

esta ficará oculta.

Obs.: Se a Janela de Álgebra estiver ativa, todos os pontos criados

serão nomeados automaticamente.

CRIANDO PONTOS

Selecione NOVO PONTO (Botão 2) e clique em dois lugares

distintos da JANELA DE VISUALIZAÇÃO.

Também podemos criar o ponto utilizando o CAMPO DE ENTRADA.

Ex.: para criar o ponto de coordenadas (2,6), basta digitá-lo desta forma no CAMPO

DE ENTRADA e pressionar ENTER.

O programa irá criar o ponto e nominá-lo.

CRIANDO RETAS

Selecione a RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS (Botão 3). Clique

em dois pontos quaisquer na Janela de Visualização. O programa cria uma reta que

passa por dois pontos.

Se a Janela de Álgebra estiver ativa, além de nomear

automaticamente a reta criada, irá exibir a equação reta.

Também podemos criar reta utilizando o CAMPO DE ENTRADA.

Ex.: crie dois pontos A e B e escreva no CAMPO DE ENTRADA: Reta[A,B] e

pressione ENTER.

ALTERANDO A POSIÇÃO DOS OBJETOS

Selecione MOVER (Botão 1) e utilizando a reta criada anteriormente,

arraste os pontos e observe na Janela de Álgebra as coordenadas dos pontos e

equações das retas.

Obs.: A ferramenta MOVER pode ser ativada simplesmente pressionando a tecla

ESC.

APAGANDO OBJETOS

É possível apagar objetos das seguintes maneiras:

Clique com o botão do lado direito do mouse sobre o objeto e

selecione a opção APAGAR.

Selecione MOVER (Botão 1), selecione o objeto e pressione a

tecla DEL ou DELETE.

Selecione APAGAR OBJETO (Botão 11) e clique no objeto que

pretende apagar.

COMANDOS: DESFAZER E REFAZER

No canto superior direito da tela, é possível visualizar os dois

comandos. Para utilizá-los, basta clicar quantas vezes for necessário no comando

desejado.

Desfazer

Refazer

ATIVIDADE 1: COMO CONSTRUIR FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

OBJETIVO:

- Construir diversas formas de figuras geométricas planas.

- Aplicar formatação: rótulo, cor, espessura da linha, estilo da linha e preenchimento.

- Determinar a área e o perímetro das figuras geométricas

PROCEDIMENTO:

Para realizar esta atividade, iremos construir um triângulo qualquer e

alterar sua formação:

Selecione POLÍGONO (Botão 5), clique na JANELA DE

VISUALIZAÇÃO em três pontos até fechar o triângulo.

Para ocultar os segmentos de reta (a, b e c), basta clicar na JANELA

DE ÁLGEBRA com o botão direito do mouse sobre a letra a e clique em EXIBIR

RÓTULO. Realize a mesma ação para ocultar os demais pontos.

Clique com o botão do lado direito do mouse sobre o triângulo e

selecione PROPRIEDADES.

Selecione a aba BÁSICO e marque a opção EXIBIR RÓTULO e

selecione VALOR. Observe que aparecerá o valor da área do polígono.

Clique sobre a aba COR e marque a cor desejada.

Clique sobre a aba ESTILO e selecione a espessura da linha, estilo

da linha e preenchimento.

Para determinar a medida dos lados do triângulo, clique em

DISTÂNCIA, COMPRIMENTO E PERÍMETRO (Botão 8) e selecione dois pontos do

triângulo.

ATENÇÃO: Para mover a caixa de texto que apareceu, basta

clicar na tecla ESC ou MOVER (Botão 1); em seguida clique sobre o texto,

mantenha pressionada a tecla do mouse, arraste para a posição que deseja e solte.

Para exibir o perímetro do triângulo, selecione DISTÂNCIA,

COMPRIMENTO E PERÍMETRO (Botão 8) e clique sobre o triângulo.

Para determinar a área do triângulo, selecione ÁREA (Botão 8) e

clique sobre o triângulo.

Clique na tecla ESC ou MOVER (Botão 1); desta forma será possível

movimentar a figura e ver suas alterações e propriedades.

Esta operação é importante para personalizar as suas construções

geométricas.

ATIVIDADE DE FIXAÇÃO

Refaça a atividade anterior e construa outras formas de figuras

geométricas.

Utilize também POLÍGONO REGULAR (Botão 5), crie dois pontos e

uma nova janela aparecerá, na qual poderá ser indicada a quantidade de pontos do

polígono regular.

ATIVIDADE 2: CONSTRUINDO O TANGRAM

OBJETIVO:

- Reconhecer as figuras geométricas que formam o Tangram.

- Aplicar formatação: ocultar eixos, ocultar malha, alterar cor, espessura da linha,

estilo da linha e preenchimento.

REFERENCIAL TEÓRICO:

Tangram é um quebra-cabeça chinês. Ao contrário de outros

quebra-cabeças, ele é formado por apenas 7 peças (2 triângulos grandes, 2

triângulos pequenos, 1 triângulo médio, 1 quadrado e 1 paralelogramo). Utilizando

todas elas sem sobrepô-las, é possível criar e montar mais de 1700 figuras entre

animais, plantas, pessoas, objetos, figuras geométricas, entre outras.

PROCEDIMENTO:

Para dar início à construção do Tangram, devemos DESATIVAR a

JANELA DE ÁLGEBRA, EIXO e MALHA.

Clique no “x” localizado na parte superior direta da JANELA DE

ÁLGEBRA ou através da BARRA DE MENU – EXIBIR – JANELA DE ÁLGEBRA.

Clique com o botão do lado direito do mouse sobre a JANELA DE

VISUALIZAÇÃO, clique sobre EIXO.


VISUALIZAÇÃO, clique sobre MALHA.

Agora iremos construir um quadrado.

Selecione POLÍGONO REGULAR (Botão 5) e crie dois pontos e uma

nova janela aparecerá indicando 4 pontos; clique em OK

Para mudar a figura de lugar, selecione na tecla ESC ou MOVER

(Botão 1) e clique sobre a figura, mantenha o botão do mouse pressionado e arraste

para o local que deseje.

Para girar a figura ou aumentar, clique sobre os pontos na cor azul.

Selecione SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS (Botão 3) e

clique em dois pontos do quadrado a fim de obter a DIAGONAL.

Determine o PONTO MÉDIO dessa diagonal, clique em PONTO

MÉDIO OU CENTRO (Botão 2) e clique sobre os dois pontos da diagonal.

Determine novamente os PONTOS MÉDIOS das duas metades da

diagonal.

Obtenha o PONTO MÉDIO de dois lados do quadrado que formam

ângulo reto oposto à diagonal do quadrado.

Selecione SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS (Botão 3) e

ligue estes dois pontos médios dos lados. Note que já obtemos uma das peças do

Tangram: um triângulo isósceles médio.

Determine o ponto médio do segmento que foi ligado.

Ative SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS (Botão 3) e ligue

esse ponto médio até o ponto que indica ¼ da diagonal. Obtivemos mais uma peça:

um paralelogramo.

Partindo novamente do ponto médio do TRIÂNGULO MÉDIO, ligue

esse ponto passando pelo centro da diagonal do quadrado até o ângulo reto.

Obtivemos mais três peças: dois triângulos isósceles grandes e um triângulo

isósceles pequeno.

Para finalizar, selecione SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS

PONTOS (Botão 3) e ligue o ponto médio do lado do quadrado ao ponto que indica

¼ da diagonal do quadrado que ficou sem ligar. Obtivemos as duas últimas peças:

um triângulo isósceles pequeno e um quadrado.

Ative POLÍGONO (Botão 5), clique sobre os pontos que formam

cada figura. Após, clique sobre a figura com o botão direito do mouse. Aparecerá

uma nova janela, selecione o nome da figura, clique em PROPRIEDADES e altere a

cor, espessura da linha e preenchimento. Assim, sucessivamente, até completar o

Tangram.


movimentar a figura e ver suas alterações.


Utilizando o Geogebra, recorte cada uma das peças do Tangram da

seguinte maneira:

Selecione POLÍGONO (Botão 5) e contorne cada uma das peças do

Tangram na parte interna de forma a obter uma figura menor. Tenha o cuidado para

não tocar nos vértices.

Ative MOVER (Botão 1) e clique sobre cada um dos vértices das

figuras menores e arraste até sobrepor o vértice da figura original.

Com o MOVER (Botão 1) ativado, basta clicar no centro de cada

peça, selecionar a figura e retirá-la do Tangram.

Altere cor, espessura da linha, estilo da linha e preenchimento das

peças.

Determine as medidas dos lados e das áreas das figuras que

formam o Tangram.

Podemos também utilizar essa atividade para a confecção de

material pedagógico.

O Tangram é utilizado como instrumento facilitador da compreensão

das formas geométricas. Além de facilitar o estudo da geometria, ele desenvolve a

criatividade e o raciocínio lógico.

ATIVIDADE 3: ÂNGULOS E BISSETRIZ

OBJETIVO:

- Traçar ângulos: nulo, agudo, reto, obtuso e raso.

- Demonstrar a propriedade da bissetriz.




Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas

semirretas orientadas) a partir de um ponto comum. A interseção entre os dois

segmentos (ou semirretas) é denominada vértice do ângulo, e os lados do ângulo

são os dois segmentos (ou semirretas). Os dois segmentos (ou semirretas) dividem

o plano em duas regiões, chamadas região angular (SODRÉ, 2005).

PROCEDIMENTO:

Para dar início à atividade, DESATIVE EIXO e MALHA.


VISUALIZAÇÃO, clique sobre EIXO.


VISUALIZAÇÃO, clique sobre MALHA.

Ative SEMIRRETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS (Botão 3) e crie

duas semirretas de origem A. Para isso, clique em um lugar e depois em outro:

teremos a semirreta AB.

Clique novamente em A e em outro lugar da tela: teremos a

semirreta AC.

Selecione ÂNGULO (Botão 8) e clique sobre os pontos B, A e C, no

sentido horário. Observe que será criado o ângulo BÂC.

ATENÇÃO: O Geogebra marca o ângulo interno no sentido horário

B, A e C. Se clicar nos pontos C, A e B, no sentido anti-horário, obteremos o valor do

ângulo externo.

Clique na tecla ESC ou MOVER (Botão 1) e arraste o ponto B ou C.

Altere os ângulos de forma que se obtenha:

ÂNGULO AGUDO: ângulo que mede menos do que 90 graus e mais do que 0

graus.

ÂNGULO NULO: Zero graus.

ÂNGULO OBTUSO: ângulo que mede mais do que 90 graus e menos do que 180

graus.

ÂNGULO RETO: ângulo que mede exatamente 90 graus ou um ângulo formado

pela interseção de duas retas perpendiculares.

ÂNGULO RASO: ângulo que mede exatamente 180 graus.

Agora vamos construir a BISSETRIZ do ângulo.

Selecione BISSETRIZ (Botão 4) e clique sobre os três pontos que

determinam o ângulo, sendo o segundo, o vértice.

Selecione NOVO PONTO (Botão 2) e crie um ponto D sobre a

bissetriz.

Ative ÂNGULO (Botão 8) e clique sobre os pontos B, A e D (nessa

ordem) e em seguida sobre os pontos D, A e C (nessa ordem).

Clique no ângulo com o botão direito do mouse, selecione um

ângulo, clique em PROPRIEDADE, selecione a aba ESTILO e altere o TAMANHO

DO ÂNGULO, assim como a cor, a espessura da linha, o estilo da linha e o

preenchimento. Para selecionar outros ângulos, clique na indicação do ângulo que

está no lado esquerdo da tela.


Desta forma será possível movimentar a figura e ver suas alterações.

Procedimento adaptado, (ARAÚJO, 2010).


Construa um ângulo BÂC como foi feito anteriormente e trace a

bissetriz.

Crie um ponto D sobre a bissetriz e ative RETA PERPENDICULAR

(Botão 4); clique sobre o ponto D e depois sobre uma das semirretas. Realize a

mesma ação para a outra semirreta.

Selecione INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS (Botão 2) e marque

as interseções destas retas criadas com os lados do ângulo.

Selecione SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS (Botão 3),

clique nos pontos D e E e D e F.

Ative DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO (Botão 8) e

determine a medidas destes dois segmentos de reta.


Desta forma será possível movimentar a figura e ver suas alterações.

Procedimento adaptado (ARAÚJO, 2010).

O que é possível perceber?

__________________________________________________________________

Desenvolva as atividades a seguir utilizando as ferramentas

indicadas:

ATIVIDADES FERRAMENTAS

1 – Construa um pentágono. Determine

a medida dos lados, a área e os ângulos

internos.

2 - Construa um triângulo. Identifique

seu incentro com o ponto I (ponto de

interseção das bissetrizes de um

triângulo) e movimente a figura.

ATIVIDADE 4: CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO

OBJETIVO:

- Construir diversos tipos de triângulos: equilátero, isósceles e escaleno.

- Determinar as medidas dos lados e ângulo.

- Identificar a natureza do triângulo: acutângulo, obtusângulo e retângulo.




O triângulo é um polígono com três lados. Eles podem ser

classificados, quanto à medida dos lados, como:

EQUILÁTERO: Os três lados têm medidas iguais.

ISÓSCELES: Dois lados têm a mesma medida.

ESCALENO: Todos os três lados têm medidas diferentes.

Quanto à medida dos ângulos, os triângulos podem ser

classificados como:

TRIÂNGULO ACUTÂNGULO: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as

medidas dos ângulos são menores do que 90º.

TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um

ângulo com medida maior do que 90º.

TRIÂNGULO RETÂNGULO: Possui um ângulo interno reto (90 graus).

A partir do Teorema de Pitágoras e das relações métricas num

triângulo qualquer, podemos determinar a natureza de um triângulo quanto aos

ângulos internos.

Sendo a, b e c as medidas na mesma unidade dos lados de um

triângulo, e a o maior lado, temos:

a2 = b2 + c2 triângulo retângulo

a2 < b2 + c2 triângulo acutângulo

a2 > b2 + c2 triângulo obtusângulo

PROCEDIMENTO

CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO EQUILÁTERO

Desative EIXO e MALHA.

Ative SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS (Botão 3), crie

um dos lados do triângulo na posição horizontal clicando em dois lugares distintos

da JANELA DE VISUALIZAÇÃO.

Selecione CÍRCULO DEFINIDO PELO CENTRO E UM DE SEUS

PONTOS (Botão 6); clique no ponto A e depois no ponto B. Repita o procedimento,

mas desta vez clicando primeiro em B e depois em A. Teremos duas

circunferências.

Para ajustar o ZOOM, basta girar a rodinha do mouse ou a

AMPLIAR OU REDUZIR (Botão 11).

Caso necessite mover a figura, ative DESLOCAR EIXOS (Botão 11),

clique sobre a figura, segure e arraste para outro local.

Ative INTERSEÇÃO DE DOIS PONTOS (Botão 2) e clique sobre as

circunferências c e d. Aparecerão pontos C e D.

As circunferências não precisam mais aparecer. Para que elas

desapareçam, ative EXIBIR/ESCONDER OBJETO (Botão 11) e clique sobre as

circunferências e sobre o ponto D. Aperte a tecla ESC.

Ative SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS (Botão 3), ligue

os ponto A e C, assim com B e C.

Selecione DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO (Botão

8), clique sobre cada um dos lados do triângulo.

Clique na tecla ESC ou MOVER (Botão 1) e arraste um dos pontos

em azul (A ou B). Desta forma será possível movimentar a figura e ver suas

alterações.


CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO QUALQUER

Desative EIXO e MALHA.

Construir um triângulo cujas medidas dos lados sejam: 5 cm, 6 cm e

7 cm.

Ative SEGMENTO COM COMPRIMENTO FIXO (Botão 3) e clique

em algum lugar da JANELA DE VISUALIZAÇÃO. Uma nova janela aparecerá;

indique a medida do lado 5 cm e OK.

Para obter um lado de tamanho 6 cm, ative CÍRCULO DADOS

CENTRO E RAIO (Botão 6) e clique sobre o ponto A. Uma nova janela aparecerá.

Digite a medida desejada e OK.

Agora, para obtermos um ponto que esteja a 7 cm do ponto B, ative

CÍRCULO DADOS CENTRO E RAIO (Botão 6) e clique sobre o ponto B, digite o

número 7 na janela que aparecer e OK.

Para ajustar o ZOOM, basta girar a rodinha do mouse ou a

AMPLIAR OU REDUZIR (Botão 11).

Caso necessite mover a figura, ative DESLOCAR EIXOS (Botão 11),

clique sobre a figura, segure e arraste para outro local.

Selecione INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS (Botão 2) e clique

sobre cada uma das circunferências.

Agora precisamos ocultar as circunferências e o ponto D. Para isso,

ative EXIBIR/ESCONDER OBJETO (Botão 11), clique sobre as circunferências e

sobre o ponto D. Pressione a tecla ESC.

Ative SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS (Botão 3), ligue

os ponto A e C, assim como B e C.

Selecione DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO (Botão

8); clique sobre cada um dos lados do triângulo.



Personalize a figura construída anteriormente, altere a cor,

espessura da linha, estilo da linha e preenchimento.

Obtenha os ângulos internos do triângulo.

Tendo finalizado a construção do triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7

cm, podemos classificá-lo como:

( ) acutângulo ( ) obtusângulo ( ) retângulo.

Construa e classifique os triângulos cujas medidas dos lados sejam:

a) 10 cm, 8 cm e 6 cm

b) 15 cm, 11 cm e 10 cm

Tente construir um triângulo de medidas: 10 cm, 5 cm e 3 cm. É

possível construir um triângulo com essas medidas? Por quê?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

Uma das etapas para a construção de uma edificação consiste na

demarcação dos eixos de suas paredes. Os pedreiros utilizam de maneira simples

estacas e linha de nylon. Com esses objetos constróem triângulos de lados 3 m, 4 m

e 5 m. Utilizando o Geogebra, construa esse triângulo e classifique-o.

Em que contribui esse tipo de triângulo para a construção civil?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

ATIVIDADE 5: CONSTRUÇÃO DE TRAPÉZIOS

OBJETIVO:

- Construir os vários tipos de trapézios.

- Determinar a sua altura, a medida dos lados e a área.



REFERENCIAL TEÓRICO

O trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos, chamados de

base maior e base menor. É classificado em: Trapézio retângulo, Trapézio isósceles

e Trapézio escaleno.

PROCEDIMENTO

Na JANELA DE VISUALIZAÇÃO, clique no botão direito do mouse e

desative as opções EIXOS e MALHA.

Selecione RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS (Botão 3) e clique

em dois lugares distintos na horizontal na JANELA DE VISUALIZAÇÃO.

Ative NOVO PONTO (Botão 2) e clique em algum lugar fora da reta

AB na parte superior.

Selecione RETA PARALELA (Botão 4) e clique sobre a reta a e

depois no ponto C.

Selecione NOVO PONTO (Botão 2) e crie dois pontos D e E sobre a

reta b.

Ative POLÍGONO (Botão 5) e clique sobre os pontos A, D, E, B e A.

Para ocultar a indicação dos segmentos (a1, d, e, b1), clique sobre o

segmento de reta com o botão direito do mouse, caso seja necessário selecione o

SEGMENTO e EXIBIR RÓTULO.

Para determinar a altura, ative RETA PERPENDICULAR (Botão 4) e

clique sobre o pondo D e sobre a reta a e selecione reta ou segmento.


sobre a reta c e a reta a. O ponto F será criado.

Ative SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS (Botão 3) e

clique sobre os pontos D e F.

Clique sobre o segmento de reta DF com o botão direito do mouse,

selecione o SEGMENTO f e PROPRIEDADE. Troque a COR e na aba ESTILO

altere a espessura e o estilo da linha.

Ative EXIBIR/ESCONDER OBJETO (Botão 11) e oculte as retas a, b

e c. Para isso basta clicar sobre elas e, pressionar a tecla ESC.

Selecione DISTÂNICA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO (Botão 8)

e clique sobre o ponto AD, DE, BE, AB e DF.

Aperte a tecla ESC ou MOVER (Botão 1) e posicione os valores das

medidas dos lados. Clique, segure e arraste para outro local.

Ative ÁREA (Botão 8) e clique sobre o trapézio.


movimentar a figura e ver suas alterações.



Utilizando o Geogebra, construa o trapézio abaixo, usando as

ferramentas a seguir e determine a área e os ângulos internos. Adaptado (ARAÚJO,

2010).

Ao prolongar os lados AE e BF, esses lados se encontrarão em um ponto. O

triângulo formado neste caso será:

( ) Isósceles ( ) Equilátero ( ) Escaleno

Qual é a relação entre os ângulos BAE e ABF ?

Utilizando o Geogebra, construa o trapézio abaixo, usando as

ferramentas a seguir e determine a área e os ângulos internos. Adaptado (ARAÚJO,

2010).

ATIVIDADE 6: CIRCUNFERÊNCIA

OBJETIVO:

- Demonstrar a relação entre ângulo inscrito e ângulo central.

- Determinar medidas dos ângulos.

- Reconhecer as relações métricas na circunferência.

- Demonstrar ângulo reto inscrito na circunferência.




A circunferência possui características não comumente encontradas

em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser

rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a

única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A

circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como

nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Astronomia,

Artes e também é muito utilizada na indústria e nas residências das pessoas

(SODRÉ, 2004).

ÂNGULO INSCRITO E ÂNGULO CENTRAL

Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice

coincide com o centro da circunferência. Se numa circunferência de centro O, um

ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao

ângulo AÔB, e o ângulo inscrito relativo a uma circunferência é um ângulo com o

vértice na circunferência e os lados secantes a ela. (SODRÉ, 2004).

PROCEDIMENTO


desative as opções EIXOS.


PONTOS (Botão 6) e clique em dois pontos distintos na JANELA DE

VISUALIZAÇÃO para criar uma circunferência.

Ative EXIBIR/ESCONDER OBJETO (Botão 11) e oculte o ponto B,

clicando sobre ele, e pressionando a tecla ESC.

Selecione NOVO PONTO (Botão 2) e clique sobre a circunferência e

crie três pontos: C, D e E.

Ative SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS (Botão 3) e crie

os segmentos AC, AD, EC e ED.

Ative EXIBIR/ESCONDER RÓTULO (Botão 11) e clique sobre os

segmentos e a circunferência.

Selecione ÂNGULO (Botão 8) clique sobre os pontos C, A e D nessa

ordem (sentido horário) e sobre os pontos C, E e D.


movimentar a figura e ver suas alterações e propriedades.



Utilizando a construção anterior e movimentando os pontos C ou D,

o que podemos concluir?

___________________________________________________________________

RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA

Dada uma circunferência e duas cordas: segmento de reta cujas

extremidades pertencem à circunferência, que se interceptam em um ponto,

podemos perceber a relação existente entre as medidas dos segmentos.

PROCEDIMENTO


desative as opções EIXOS.


PONTOS (Botão 6) e clique em dois pontos distintos da JANELA DE

VISUALIZAÇÃO para criar uma circunferência.

Ative EXIBIR/ ESCONDER OBJETO (Botão 11) e oculte os pontos A

e B, clicando sobre ele, e pressionando a tecla ESC.

Selecione NOVO PONTO (Botão 2) clique em algum lugar na região

interna da circunferência e crie um ponto sobre a circunferência.

Ative RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS (Botão 3) e clique sobre

os pontos que foram criados.

Selecione INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS (Botão 2), aproxime a

seta do mouse na interseção da reta com a circunferência, quando estiver

selecionado dê um clique para criar o ponto E.

Selecione NOVO PONTO (Botão 2) e crie um ponto sobre a

circunferência.

Ative RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS (Botão 3) e clique sobre

os pontos C e F.

Selecione INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS (Botão 2), aproxime a

seta do mouse na interseção da reta com a circunferência, quando estiver

selecionado dê um clique para criar o ponto G.

Selecione DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO (Botão 8)

e clique sobre os pontos D e C, C e E, F e C, C e G.



Utilizando a construção realizada anteriormente. Determine o

produto das medidas dos seguintes segmentos DC x CE e FC x CG. O que

podemos perceber?

___________________________________________________________________

Clique na tecla ESC ou MOVER (Botão 1), desta forma será possível

movimentar os pontos C, D e F. O que ocorre com o produto das medidas dos

segmentos DC x CE e FC x CG?

___________________________________________________________________

Utilizando o Geogebra, construa um triângulo inscrito em uma

semicircunferência, usando as ferramentas a seguir. Adaptado (ARAÚJO, 2010).

Clique na tecla ESC ou MOVER (Botão 1) e movimente o ponto D.

O que podemos concluir sobre a natureza do triângulo inscrito em

uma semicircunferência?

__________________________________________________________________

ATIVIDADE 7: TEOREMA DE PITÁGORAS

OBJETIVO:

- Demonstrar o Teorema de Pitágoras.

- Determinar a área das figuras geométricas.




Pitágoras foi filósofo e matemático. Nasceu na ilha grega de Samos,

por volta de 565 a. C., perto de Mileto.

Um dos teoremas matemáticos mais conhecidos é o Teorema de

Pitágoras. Ele é um dos que possuem maior número de demonstrações.

A obra de Pitágoras, depois continuada pelos discípulos, foi de

enorme importância para o desenvolvimento da Matemática.

O Teorema de Pitágoras é um dos mais belos e importantes

teoremas da Matemática de todos os tempos e ocupa uma posição especial na

história de nosso conhecimento matemático.

Esse teorema estabelece e apresenta a seguinte relação entre as

medidas dos lados de um triângulo retângulo: Em qualquer triângulo retângulo, o

quadrado da medida da hipotenusa a é igual à soma dos quadrados das medidas

dos catetos b e c, isto é: a2 = b2 + c2.

PROCEDIMENTO


desative as opções EIXOS e MALHA.


em dois lugares na horizontal na JANELA DE VISUALIZAÇÃO.

Ative RETA PERPENDICULAR (Botão 4) e clique sobre a reta e

posteriormente sobre o ponto A.

Selecione NOVO PONTO (Botão 2) e clique sobre a reta

perpendicular que acabou de criar.

Ative EXIBIR/ESCONDER OBJETO (Botão 11) e clique sobre as

duas retas e, posteriormente, pressione a tecla ESC. As duas retas deverão

desaparecer.

Selecione POLIGONO (Botão 5) e clique sobre os pontos A, B, C e

A (nessa ordem).

Clique com o botão direito do mouse sobre o texto a1 e selecione a

opção RENOMEAR. Onde está escrito a_1, escreva a. Pressione OK.

Da mesma maneira onde está escrito b_1, escreva b. Pressione OK.

Selecione POLÍGONO REGULAR (Botão 5) e clique sobre os pontos

C e B (nessa ordem). Se não fizer assim, pode acontecer de o polígono regular

criado ficar dentro do triângulo. Pressione OK . Da mesma maneira, clique sobre BA

e AC.

Para dar ZOOM, use a rodinha do mouse.

FORMATAÇÃO

Para destacar o triângulo, vamos mudar sua cor. Para isso, clique

com o botão do lado direito do mouse sobre o triângulo retângulo e selecione

PROPRIEDADES. Selecione a aba COR e escolha outra cor.

Para EXIBIR A ÁREA dos respectivos quadrados, clique sobre um

dos quadrados com o botão do lado direito do mouse e selecione a opção

PROPRIEDADES. Clique sobre QUADRILÁTERO na coluna esquerda e depois, na

guia BÁSICO, ative opção EXIBIR RÓTULO e na caixa de seleção; selecione a

opção VALOR.

Nesta mesma janela, clique no grupo SEGMENTOS na coluna

esquerda e na guia BÁSICO; desmarque a opção EXIBIR RÓTULO.

Para EXIBIR AS MEDIDAS DOS LADOS DO TRIÂNGULO, clique

sobre o triângulo com o botão do lado direito do mouse e selecione a opção

PROPRIEDADES, na coluna esquerda; clique sobre “+” do lado da palavra

SEGMENTO . Clique sobre o nome “a”, segure a tecla Ctrl e clique também sobre

“b” e “c”. Na guia BÁSICO, ative a opção EXIBIR RÓTULO e selecione a opção

NOME & VALOR.

Clique na tecla ESC ou MOVER (Botão 1). Desta forma será

possível movimentar a figura e ver suas alterações e propriedades.



Utilizando a construção realizada anteriormente e movendo os

pontos A, B ou C, que conclusão esta construção permite enunciar?

__________________________________________________________________

Construa um trapézio retângulo utilizando as ferramentas indicadas

abaixo, sendo que as bases medem respectivamente 12 cm e 4 cm. Tendo a altura

de 6 cm, responda:

a) Qual a medida do maior lado não paralelo?

__________________________________________________________________

b) Qual o perímetro e a área do trapézio?

__________________________________________________________________

ATIVIDADE 8: TEOREMA DE TALES

OBJETIVO:

- Demonstrar o Teorema de Tales.

- Determinar medidas de segmentos de reta.




Tales de Mileto foi um filósofo grego; nasceu em Mileto, por volta de

624 a.C. Considerado o primeiro filósofo e pai da Geometria Demonstrativa, na qual

se faz necessário justificar, por meio de demonstrações lógicas, os conhecimentos

geométricos, a ele que se atribui a introdução ao estudo da Geometria na Grécia.

Os estudos de Tales contribuíram em diversas áreas do

conhecimento, como Matemática, Filosofia e Astronomia.

Acredita-se que Tales tenha vivido parte de sua vida no Egito, onde

se deparou com um problema: calcular a altura de uma pirâmide; e ao resolvê-lo,

tornou-se muito admirado.

Na resolução desse problema, Tales utilizou conhecimentos acerca

de semelhança de triângulos. O método empregado por ele resultou no que

atualmente denominamos de Teorema de Tales.

O Teorema de Tales apresenta o seguinte enunciado: Um feixe de

retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer, segmentos

proporcionais.

Uma consequência do Teorema de Tales aparece em uma

propriedade geométrica relacionada à semelhança de triângulos.

Lembrando que dois triângulos são semelhantes quando os lados de

um são proporcionais aos lados do outro e os ângulos correspondentes são

congruentes, considere um triângulo qualquer cortado por uma reta paralela a um

dos lados.

PROCEDIMENTO


desative as opções eixos.


em dois lugares na horizontal na JANELA DE VISUALIZAÇÃO.

Ative NOVO PONTO (Botão 2) e crie dois pontos com distância

qualquer acima da reta.

Selecione RETA PARALELA (Botão 4) e clique sobre a reta a e

sobre o ponto C. Depois sobre a reta a e o ponto D.

Ative NOVO PONTO (Botão 2) e clique sobre a reta a. Um ponto E

será criado sobre a reta. Repita a ação e crie um ponto F sobre a reta b.


sobre os pontos E e F.


sobre a reta d e sobre a reta c.

Ative NOVO PONTO (Botão 2) crie um ponto sobre a reta a e realize

a mesma ação anterior até obter a reta transversal e.

Selecione DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO (Botão 8);

clique sobre os pontos EF, FG, HI e IJ.

TEXTO DINÂMICO

Ative INSERIR TEXTO (Botão 10) e clique na JANELA DE

VISUALIZAÇÃO onde quer que o texto apareça. Uma nova janela aparecerá. Nessa

janela digite o seguinte texto:

"\frac{FG}{EF}=" + (distânciaFG / distânciaEF)

Marque a caixa FÓRMULA LATEX e clique em OK.

Realize a mesma ação anterior e digite o seguinte texto:

"\frac{IJ}{HI}=" + (distânciaIJ / distânciaHI)

Marque a caixa FÓRMULA LATEX e clique em OK.

Clique na tecla ESC ou MOVER (Botão 1). Desta forma será

possível movimentar a figura e ver suas alterações e propriedades.



Personalize a figura que foi construída, altere a cor, espessura da

linha e estilo da linha. Responda:

O que podemos concluir da razão FG/EF e IJ/HI?

___________________________________________________________________

Clique sobre a tecla ESC e arraste qualquer ponto de cor azul claro

(E, F, I ou H). O que acontece com as razões?

___________________________________________________________________

Movimente um dos pontos A, B, C ou D. O que acontece com a

razão?

__________________________________________________________________

Analisado todas as ações sugeridas anteriormente, qual a conclusão

que esta construção permite enunciar?

__________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

Na figura abaixo, estão representados uma árvore, uma escada e

um observador. A escada com 1,80 m de altura dista 8 m do observador. O

observador situa-se a 20 m do “pé” da árvore. Considerando que o olho do

observador, o topo da escada e o topo da árvore estão alinhados, determine a altura

da árvore.

Utilizando o Geogebra, construa a representação do problema

usando as seguintes ferramentas:

Obs.: para o valor 1,80 utilizar PONTO no lugar da vírgula

4 ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

A implementação do projeto será realizada no 1° semestre de 2013

no Colégio Estadual Leonardo Francisco Nogueira - EMNP, localizado na cidade de

Pinhalão – PR.

O Projeto de Intervenção Pedagógica será apresentado à Direção,

Equipe Pedagógica e Corpo Docente. Após isso, será proposto aos professores de

Matemática um curso com duração de 32 h/a, dividido em oito aulas, nas quais será

apresentada a proposta de estudo sobre as práticas pedagógicas no ensino de

geometria em sala de aula com ênfase na discussão e reflexão de uma nova

metodologia de ensino.

Primeiramente, será realizada uma pesquisa utilizando questionário

diagnóstico, que será aplicado ao corpo docente e turmas do 3º ano do EM do

período matutino e noturno.

QUESTIONÁRIO DIAGNÓSTICO DO PROFESSOR

O uso de tecnologias em diversas áreas de atividades coloca-nos

diante de mudanças na sociedade, na economia, e em especial na educação, onde

precisamos incorporar e trabalhar em sala de aula estes novos conhecimentos. Isso

exige de nós, educadores, a constante busca de aprendizado e atualização através

da pesquisa e da reflexão.

Diante deste fato, convido você, estimado (a) professor (a), a

responder ao questionário diagnóstico a seguir:

1 – Quanto aos recursos tecnológicos, com que frequência você os utiliza em sua

prática pedagógica?

A) TV Pendrive

sempre às vezes nunca

B) Laboratório de Informática


C) Projetor Multimídia


2 – Você participou de curso de capacitação sobre a utilização de recursos

tecnológicos para a prática pedagógica?

Sim

Não

3 – Com o avanço das tecnologias no ensino, você se sente preparado para

ministrar suas aulas?

Sim

Parcialmente

Não estou preparado

4 – Caso realize atividades utilizando o Laboratório de Informática, qual a

quantidade de alunos por equipamentos?

Um aluno por computador

Dois alunos por computador

Mais de dois alunos por computador

5 – Qual sua maior dificuldade na utilização do Laboratório de Informática?

Acesso à Internet

Adaptar o conteúdo às novas metodologias

Outros. Descreva:__________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

6 – Com relação ao uso educativo do computador e da Internet nas escolas, qual a

sua opinião?

Contribui para a aprendizagem dos alunos

Contribui de forma parcial para a aprendizagem dos alunos

Não contribui para a aprendizagem dos alunos

Comente sua resposta:________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

QUESTIONÁRIO DIAGNÓSTICO DO ALUNO

Notamos a cada dia que a informatização está presente em diversas

áreas da atividade humana.

No momento atual, as tecnologias digitais oferecem novos desafios

no campo da educação. As novas possibilidades de acesso à informação e

comunicação proporcionadas pelos computadores, dão origem a novas formas de

aprendizagem.

Diante deste fato, convido você, estimado (a) aluno (a), a responder

ao questionário diagnóstico a seguir:

1 – Você tem computador em sua casa?

Sim

Não

Caso sua resposta seja negativa, informe outro local onde utiliza o computador:

Lan house

Casa de amigos

Escola

Não utilizo nenhum computador

2 – Você sabe utilizar o computador e internet?

Utilizo estas tecnologias sem problemas.

Tenho dificuldade, mas consigo utilizar esse instrumento tecnológico.

Não consigo utilizar esse instrumento tecnológico.

3 – Quais as funções do computador e da internet em sua vida?

(ATENÇÃO: enumere por ORDEM DE IMPORTÂNCIA de 1 até 5, sendo 1 a de

maior importância)

Pesquisas

Compras

Redes sociais

Diversão e lazer

Outros. Descreva:__________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

4 – Quanto à utilização da internet como fonte de pesquisa para assuntos escolares,

é possível afirmar que:

Sempre pesquiso na internet

Algumas vezes pesquiso na internet

Não realizo pesquisa na internet

5 – Você já participou de atividades que abordam conteúdos trabalhados em sala de

aula utilizando o laboratório de informática?

Sim

Não

Caso sua resposta seja afirmativa, o que você pensa a respeito das atividades

realizadas:

Contribuem totalmente para a aprendizagem

Contribuem parcialmente para a aprendizagem

Não contribuem para a aprendizagem

Essa pesquisa servirá de análise e reflexões, para sabermos o perfil

dos professores e alunos quanto ao uso das Tecnologias da Informação e

Comunicação no ambiente escolar.

Iniciaremos a seguir o trabalho com os professores de matemática

utilizando o laboratório de informática, com noções básicas do Sistema Operacional

Linux e Software Educacional GeoGebra.

Em cada encontro será desenvolvido uma atividade sobre geometria

plana utilizando o software Geogebra. Ao término de cada atividade, será realizada a

revisão do assunto e a reflexão sobre a importância ou não da atividade

desenvolvida para a prática pedagógica.

Ao término das atividades, será proposto um questionário avaliativo.

9 CRONOGRAMA DAS AÇÕES

AÇÕES

2013

Fev

Mar

Ab

r

Mai

APRESENTAÇÃO DO PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA À

DIREÇÃO, EQUIPE PEDAGÓGICA E PROFESSORES.

QUESTIONÁRIO DIAGNÓSTICO

ATIVIDADE 1: COMO CONSTRUIR FIGURAS GEOMÉTRICAS

PLANAS

ATIVIDADE 2: CONSTRUINDO O TANGRAM

ATIVIDADE 3: ÂNGULOS E BISSETRIZ

ATIVIDADE 4: CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO

ATIVIDADE 5: CONSTRUÇÃO DE TRAPÉZIOS

ATIVIDADE 6: CIRCUNFERÊNCIA

ATIVIDADE 7: TEOREMA DE PITÁGORAS

ATIVIDADE 8: TEOREMA DE TALES

10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de; NÓBRIGA, Jorge Cássio Costa. Aprendendo Matemática com o Geogebra. São Paulo: Editora Exato, 2010.

ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes. GeoGebra, um bom software livre. In: Revista do

Professor de Matemática, nº 67, 3º quadrimestre, p 43-47, 2008. BELLONI, Maria Luiza; GOMES, Nilza Godoy. Infância, mídias e aprendizagem: autodidaxia e colaboração. Educ. Soc. v. 29 nº104 p1-19, Campinas out. 2008. Disponível em: http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0101-73302008000300005&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt. Acessado em: 11 abr. 2012. BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática. 4. ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2010. ______ Pesquisas em Informática e Educação Matemática. In: Educação em Revista, Belo Horizonte, nº 36, dez. 2002. Disponível em: http://educa.fcc.org.br/scielo.php?script=sci_abstract&pid=S0102-46982002000200014&lng=es&nrm=iso&tlng=pt . Acessado em: 10 abr. 2012. BRAVIANO, Gilson; RODRIGUES, Maria Helena W. L.. Geometria Dinâmica: Uma Nova Geometria?. In: Revista do Professor de Matemática, nº 49, 2º quadrimestre, 2002. GERÔNIMO, João Roberto; BARROS, Rui Marcos de Oliveira; FRANCO, Valdeni Soliani. Geometria Euclidiana Plana: um estudo com o software Geogebra. Maringá: Eduem, 2010. HOHENWARTER, Markus; HOHENWARTER, Judith. Manual Oficial do Geogebra Versão 3.2, 2009. Disponível em: http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf. Acesso em 26 de jul. 2012. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares Da Educação Básica: Matemática, Curitiba: Seed/DEB-PR, 2008. SILVA, Guilherme Henrique Gomes da. Atividades Investigativas em um Ambiente de Geometria Dinâmica. Disponível em:

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