1 · สถิติเชิงอนุมาน (Inferential statistics) หมายถึง วิชาสถิติที่ว าด วยการสร ุปถึงข

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 1 -

ความรูพ้ืนฐานทางสถิติ 1.1 ความหมายและประโยชนสถิติ 1.1.1 ความหมายของสถิติ 1.1.2 ประโยชนของสถิติ 1.1.3 ระเบียบวิธีทางสถิติ 1.1.4 ประชากรและตัวอยาง 1.1.5 ประเภทของขอมูล 1.1.6 มาตรการวัด 1.2 การเก็บรวบรวมขอมูลและการนําเสนอขอมูล 1.2.1 การเก็บรวบรวมขอมูล 1.2.2 การนําเสนอขอมูล 1.3 การวิคราะหขอมูล 1.3.1 การแจกแจงความถี่ 1.3.2 การวัดแนวโนมเขาสูสวนกลาง 1.3.3 การวัดการกระจาย 1.3.4 คะแนนมาตรฐาน


- 2 -

1.1 ความหมายและประโยชนสถิติ 1.1.1 ความหมายของสถิติ โดยทั่วไปคนสวนใหญถากลาวถึงคําวา “สถิติ” แลวมักจะจินตนาการถึงตัวเลข การดําเนินการทางคณิตศาสตร และมักจะเกิดความ

ยุงยากถาจะตองเรียนรู หรือศึกษาเรื่องดังกลาว ซ่ึงโดยธรรมชาติของชีวิตประจําวันน้ันทุกคนมักใชสถิติกันเปนประจําอยูแลว แตนึกไมถึงวาไดใชตอนไหน อยางไร ซ่ึงสวนใหญคิดวาไมใชสถิติ ซ่ึงมักเปนนักวิชาการมากกวาที่ใชสถิติเปนเคร่ืองมือในการทําวิจัย เพื่อใหผลของการวิจัยมีความนาเชื่อถือมากขึ้น และเปนที่ยอมรับของนักวิชาการอื่นๆ โดยทั่วไปเราสามารถจําแนกความหมายของคําวาสถิติไดเปน 2 แนวคิดดังน้ี

แนวคิดท่ี 1 สถิติ หมายถึงขอความจริง หรือ ตัวเลข ซ่ึงไดจากการรวบรวมไวเพื่อหาความหมายที่แนนอนตอไป เชน สถิติพลเมือง สถิติจํานวนอุบัติเหตุในรอบป สถิติคนปวยที่เปนโรคมะเร็ง สถิตินักทองเที่ยว สถิติการวางงานของบัณฑิตมหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลลานนา เปนตน หรือถาจะเรียกวาแนวคิดเชิงขอมูลก็เปนได

แนวคิดท่ี 2 สถิติ หมายถึงศาสตรแขนงหน่ึง วาดวยกระบวนการดังน้ี คือ การวางแผน การเก็บรวบรวมขอความจริงและตัวเลข การนําเสนอขอมูล การวิเคราะหขอมูล และการตีความขอมูล เพื่อเปนแนวทางในการตัดสินใจตอไปหรือถาจะกลาววาสถิติในแนวคิดน้ี คือ กระบวนการจัดการเกี่ยวกับขอมูลในแนวคิดแรกนั่นเอง ซ่ึงในการศึกษาตามแนวคิดน้ี ไดจําแนกแนวทางการศึกษาออกเปน 2 แขนงคือ 1. สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive statistics) หมายถึง วิชาสถิติที่วาดวยการเก็บรวบรวมขอมูล การประมวลผลหรือนําเสนอดวยการบรรยาย ตาราง แผนภูมิ แผนภาพ การวิเคราะหซ่ึงประกอบดวย การวัดแนวโนมเขาสูสวนกลาง การวัดการกระจาย ตลอดจนการตีความเพื่อหาขอสรุปของขอมูลชุดน้ันๆ หรือระหวางขอมูลมากกวา 1 ชุด

2. สถิติเชิงอนุมาน (Inferential statistics) หมายถึง วิชาสถิติที่วาดวยการสรุปถึงขอเท็จจริงของขอมูลทั้งหมดใน ลักษณะการประมาณคา (Estimation) และการทดสอบสมมติฐาน (Testing Hypothesis) โดยอาศยัเพียงบางสวนของขอมูลที่เก็บรวบรวมมาไดในสวนของสถิติอนุมานจะประกอบดวย สถิติพรรณนา และทฤษฎีความนาจะเปน (Probability Theory) พิจารณาความแตกตางระหวางสถิติพรรณนาและสถิติอนุมานจากตัวอยางตอไปน้ีในการศึกษารายไดเฉลี่ยของคนอําเภอเมืองนาน โดยทําการสุมตัวอยางมา 750 คน แลวนํามาคํานวณรายได เฉลี่ยได 3,500 บาทตอเดือน สวนน้ีเปนการศึกษา สถิติเชิงพรรณนา แตถาเม่ือใดก็ตามนํารายไดเฉลี่ย 3,500 บาท ตอเดือน ไปเปนขอสรุปใหกับรายไดของคนจังหวัดนาน สวนหลังน้ีถือวาเปนการศึกษา สถิติเชิงอนุมาน 1.1.2 ประโยชนของสถิติ

เน่ืองจากสถิติศาสตรเปนกระบวนการจัดการขอมูลที่เปนสวนหน่ึงที่สําคัญในกระบวนการวิจัย ซ่ึงเปนสวนที่ทําใหเกิดองคความรูใหมในแตละสาขาวิชา และเพื่อทําใหปญหาที่เกิดข้ึนมีคําตอบที่นาเชื่อถือในแวดวงวิชาการ จําเปนอยางยิ่งที่ตองใชสถิติเปนเครื่องมือในการหาคําตอบขางตน และสามารถกลาวถึงประโยชนที่เกิดข้ึนในแตละสาขาวิชาการดังตอไปน้ี

1) งานดานการวางแผนเพื่อพัฒนาเศรษฐกิจของประเทศ วัตถุประสงคที่สําคัญประการหนึ่งสําหรับการบริหาราชการแผนดิน คือ การแกปญหาความยากจน ดังน้ัน รัฐบาล จะตองวางแผนโดยตองอาศัยขอมูลในดานตางๆ เชน สถิติแรงงาน สถิติประชากร สถิติการเพิ่มประชากร สถิติทางการศึกษา เปนตน

2) งานดานธุรกิจ วัตถุประสงคที่สําคัญ สําหรับภาคธุรกิจน้ัน คือ การมีกําไรสูงสุด และตนทุนต่ําสุด ซ่ึงการทําใหภาคธุรกิจมีกําไรสูงสุดนอกจากภาพรวมของการบริหารจัดการที่ดีแลว ผูบริหารจําเปนตองทราบวาขอมูลพื้นฐานเกี่ยวกับธุรกิจเปนอยางไร มีคูแขงกี่ราย ซ่ึงขอมูลดังกลาวเม่ือนํามาวิเคราะหและตีความ สามารถใชประกอบในการตัดสินใจได

3) งานดานวิทยาศาสตร ในการดําเนินการทดลองทางวิทยาศาสตรบริสุทธน้ัน สถิติจะเปนตัวชวยใหผลสรุปที่ได เกิดความนาเชื่อถือ ดวยเหตุน้ีจึงทําใหเกิดองคความรูทางวิทยาศาสตรประยุกตแขนงอื่นๆ เพิ่มข้ึน

4) งานดานการเกษตร เน่ืองจากเกษตรเปนวิทยาศาสตรประยุกตแขนงหน่ึงที่อาศัยสถิติข้ันสูงมาประกอบในการวิเคราะหขอมูล เพื่อทําใหเกิดองคความรูใหมทางดานการเกษตร และนําไปขยายผลตอเกษตรกรตอไป

5) งานดานวิทยาศาสตรการแพทย สําหรับการพัฒนาในวงการแพทย ก็เหมือนกับวงการวิทยาศาสตรแขนงอื่นๆ เพียงแตความละเอียดออนของการสรุปผลการทดลองยอมมีมากกวา เพราะวงการแพทยมักเกี่ยวของกับตัวมนุษยหรือชีวิตมนุษย ผลทดลองทางการแพทยเกี่ยวกับผลการรักษา ยา หรือ อื่นๆ ในการทดลอง ในทางปฏิบัติไมสามารถนํามาใชกับผูปวยไดทันที จําเปนตองมีการตรวจสอบและวิเคราะหใหเกิดความถูกตองกอนจากผูเชี่ยวชาญ และผูเชี่ยวชาญก็ไมสามารถใชประสบการณเพียงอยางเดียวในการตัดสินใจ บางครั้งอาจตองใชทฤษฎี ในการตัดสินใจข้ันสูง มาชวยในการตัดสินใจ ประกอบกับผลการวิเคราะหขอมูลที่ไดจากการศึกษาดังกลาว


- 3 -

6) งานดานวิศวกรรมศาสตร งานดานวิศวกรรมศาสตร ที่ใชสถิติเขามาดําเนินการมาก คือการประกันคุณภาพผลิตภัณฑ และการตรวจสอบคุณภาพผลิตภัณฑ ซ่ึงเปนวิศวกรรมสาขาหนึ่งที่นาสนใจศึกษา ซ่ึงสวนใหญใชองคความรูทางดานสถิติ เชน คาเฉลี่ย สวนเบ่ียงเบน การวิเคราะหขอมูลเชิงอนุมาน เพื่อหาเครื่องจักรที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดมาใชในกระบวนการผลิตหน่ึงๆ เปนตน

1.1.3 ประชากรและตัวอยาง ประชากร(Population) หมายถึง กลุมสมาชิกทั้งหมดที่ตองการศึกษา อาจจะเปนส่ิงมีชีวิตหรือไมมีชีวิตก็ได ประชากรในทางสถิติ

อาจจะหมายถึง บุคคล กลุมบุคคล องคกรตางๆ สัตว ส่ิงของ ก็ได เชน ถาเราสนใจศึกษาอายุเฉลีย่ของคนไทย ประชากรคือคนไทยทุกคน ถาสนใจรายไดเฉลี่ยของธนาคาร ประชากรคือธนาคารทุกธนาคาร และถาสนใจรายจายตอเดือนของนักศึกษามหาวิทยาลยัเทคโนโลยีราชมงคลลานนา ประชากรคือนักศึกษามหาวทิยาลัยเทคโนโลยรีาชมงคลลานนาทกุคน เปนตน และมักใชสัญลักษณ “N” แทนจํานวนประชากร หรือกลาวอีกนัยหน่ึงทางคณิตศาสตร “ประชากร” คือ เซตเอกภพ (Universal) น่ันเอง

ตัวอยาง (Sample) หมายถึง กลุมสมาชิกที่ถูกเลือกมาจากประชากรดวยวิธีการใดวิธีการหนึ่งซ่ึงมีชื่อเรียกเฉพาะวา การสุมตัวอยาง (Sampling) เพื่อใชเปนตัวแทนในการศึกษาและเก็บขอมูล เชน ตองการหาอายุเฉลี่ยของคนไทย ตัวอยางคือคนไทยบางคนที่ถูกเลือกเปนตัวอยาง หรือสนใจอายุการใชงานเฉลี่ยของหลอดไฟยีห่อ B ประชากร คือ หลอดไฟยี่หอ B ทุกหลอด ตัวอยางคือ หลอดไฟยี่หอ B บางหลอดที่ถูกเลือกเปนตัวอยาง เปนตน และมักใชสัญลักษณ “n” แทนสมาชิกของกลุมตัวอยาง หรือกลาวอีกนัยหน่ึงทางคณิตศาสตร “ตัวอยาง” คือ เซตตางๆที่เปนเซตยอย (Subset) ของเซตเอกภพ (Universal Set) น่ันเอง ซ่ึงสามารถทําความเขาใจมากยิ่งข้ึนโดยพิจารณารูปดังรูปที่ 1

รูปท่ี 1 แสดงลักษณะของประชากร และตัวอยาง

จากรูปที่ 1 ประชากร หน่ึงๆ สามารถใหตัวอยางไดหลายตัวอยาง ซ่ึงตัวอยางที่ไดน้ันจะเปนตัวแทนที่ดีของประชากรได ตองรวบรวมลักษณะของประชากรไดมากที่สุด ซ่ึงข้ึนอยูกับการไดมาของตัวอยาง หรือวิธีการสุมตัวอยาง ซ่ึงจะไดกลาวในหัวขอตอไป

1.1.4 ประเภทของขอมูล ขอมูล(Data) หมายถึงขอเท็จจริงหรือตัวเลข ที่ถูกรวบรวมขึ้นไวเพื่อเปนหลักฐานอางอิง เพื่อคนหาความจริงที่แนนอน เพื่อนํามา

เปรียบเทียบหรือเพื่อหาขอสรุปอื่นๆ ที่เปนประโยชนกับงานที่เกี่ยวของ และสามารถจําแนกประเภทของขอมูลไดตามลักษณะของขอมูล คือ ขอมูลเชิงปริมาณ และขอมูลเชิงคุณภาพ ดังน้ี 1. ขอมูลเชิงปริมาณ (Quantity Data) คือขอมูลที่ใหคาเปนตัวเลขและสามารถเปรียบเทียบไดวาคาใดมาก คาใดนอย เชน การวัดเกี่ยวกับนํ้าหนัก สวนสูง อายุ คะแนน ระยะทาง ปริมาณของเวลาและจํานวนรถยนตที่ผานสี่แยกไฟแดงหนึ่งชวงเวลา 08.00-09.00 น. เปนตน ซ่ึงสามารถจําแนกขอมูลเชิงปริมาณออกเปน 2 แบบ คือ

- ขอมูลเชิงปริมาณแบบไมตอเนื่อง (Discrete Data) คือขอมูลที่มีคาเปนจํานวนเต็ม หรือ จํานวนนับ เชนจํานวนรถมอเตอรไซดที่ผานทางเขา – ออก มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลลานนา นาน ในชวงเวลา 12.00-13.00 น. จํานวนรอบของผลิตภัณฑเสีย จํานวนลอตการผลิตสินคา และจํานวนสินคาคางสตอก เปนตน

- ขอมูลเชิงปริมาณแบบตอเนื่อง (Continuous Data) คือขอมูลที่ใหคาเปนจํานวนจริง เชนรายไดเฉลี่ยตอปของพนักงานบริษัทหน่ึง นํ้าหนักของผลิตภัณฑ อายุการใชงานของหลอดไฟเปนตน ขอมูลเชิงปริมาณ จัดอยูในมาตราวัดอันตราภาคและอัตราสวน 2. ขอมูลเชิงคุณภาพ (Qualitative Data) คือขอมูลที่ไมสามารถใหคาเปนตัวเลขที่มีผลตอการคํานวณทางคณิตศาสตร เชนขอมูล เกี่ยวกับเพศ การศึกษา สถานภาพของบุคคล ลักษณะของผลิตภัณฑ และคุณภาพผลิตภัณฑ เปนตน ขอมูลเชิงคุณภาพ จัดอยูในมาตราวัดนามบัญญัติ และมาตราเรียงลําดับ นอกจากนี้แลวยังสามารถ จําแนกประเภทของขอมูล ตามแหลงที่มาของขอมูลเปนขอมูลปฐมภูมิ และขอมูลทุติยภูมิ ดังน้ี 1. ขอมูลปฐมภูมิ (Primary Data) เปนขอมูลที่ไดจากผูตองการใชขอมูลเปนผูเก็บรวบรวมเอง ซ่ึงอาจไดจาก การสัมภาษณ การทดลอง หรือสังเกตการณโดยแหลงของขอมูลชนิดน้ีเรียกวา แหลงขอมูล ปฐมภูมิ (Primary Source)

ตัวอยาง 1 ตัวอยาง 2

ตัวอยาง 3

ประชากร


- 4 -

ขอดี : ตรงตามวัตถุประสงคการใชงาน ขอเสีย : เสียเวลาและคาใชจายมาก 2. ขอมูลทุติยภูมิ (Secondary Data) เปนขอมูลที่ผูตองการใชไมจําเปนตองไปเก็บรวบรวมเองเพราะหนวยงานที่เกี่ยวของรวบรวมไวแลวโดยแหลงขอมูลชนิดน้ีเรียกวาแหลงทุติยภูมิ (Secondary Source)

ขอดี : เสียเวลา และคาใชจายนอย ขอเสีย : ขอมูลอาจไมตรงกับวัตถุประสงค 1.1.5 มาตรการวัด สําหรับการไดมาซ่ึงขอมูลน้ัน โดยทั่วไปไดมาจากการวัด (Measurement) ซ่ึงสามารถจําแนกการวัดออกเปนมาตราตาง ๆ แบงได 4

ระดับหรือมาตราดังน้ี 1. มาตรานามบัญญัติ(Nominal Scale) เปนการวัดระดับต่ําสุด โดยเปนเพียงการเรียกชื่อ หรือจําแนกประเภทของคุณลักษณะหรือส่ิงของตาง ๆตัวอยางเชน จําแนกผลลัพธจากการโยนเหรียญเปนหัว หรือ กอย หรือจําแนกบุคคลตามเพศ เปนเพศหญิง เพศชาย หรือจําแนกบุคคลตามอาชีพเปนขาราชการ พนักงานรัฐวิสาหกิจ พนักงานบริษัทเอกชน นักธุรกิจ คาขาย รับจาง หรือการเกษตร หรือจําแนกสีของรถยนต เปนสีตางๆ เปนตน การวัดในมาตราวัดนามบัญญัติ อาจเปนการกําหนดสัญลักษณ เพื่อจําแนกสิ่งตาง ๆ เชน กําหนด ♂ แทน เพศชาย และ ♀ แทน เพศหญิง นอกจากนั้น อาจมีการกําหนดตัวเลขเพื่อจําแนกสิ่งตาง ๆโดยที่ตัวเลขดังกลาวไมมีความหมายในเชิงปริมาณ เชน เลขที่บาน ดังน้ัน จึงนําตัวเลขตาง ๆ มาบวกลบ คูณหรือหารกัน ไมได กระทําไดเพียงแต การนับเพื่อดูความถี่หรือการเกิดซํ้า ๆ กัน สําหรับตัวอยางขอมูลอื่น ๆ ที่ไดจากการวัด ประเภทนี้ เชนหมายเลข นักฟุตบอล หมายเลขโทรศัพท หมายเลขประจําตัวผูเสียภาษี รหัสไปรษณียเลขหมูหนังสือในหองสมุด หมายเลขเที่ยวบิน และหมายเลขของ Web site ตาง ๆเปนตน 2. มาตราเรียงลําดับ (Ordinal or Ranking Scale) การวัดในระดับน้ีเปนการเรียงอันดับส่ิงตาง ๆตามลักษณะหน่ึง ๆ ซ่ึงมีความสัมพันธกันในลักษณะที่ดีกวา ยากกวา หรือนิยมมากกวา ตัวอยาง เชน แมบานคนหนึ่งมีความนิยมผงซักฟอก 3 ตราเปน ดีที่สุด ดีมาก และดี ซ่ึงจะเห็นวา การวัดในระดับน้ีนอกจากจะสามารถจําแนกสิ่งตาง ๆ แลวยังสามารถบอกไดวาสิ่งไหนดีที่สุดหรือดอยที่สุด นอกจากนั้น ในการวัดระดับน้ีเพื่อความสะดวกอาจมีการกําหนดอันดับเปนตัวเลขใหแกส่ิงตาง ๆโดยที่ตัวเลขดังกลาวไมมีความหมายในเชิงปริมาณ ตัวอยางเชน กลวยไมที่ชนะการประกวดเปน อันดับที่ 1 อันดับที่ 2 และอันดับที่ 3 มิไดหมายความวากลวยไมที่ชนะการประกวดเปนอันดับที่ 1 มีความงามเปน 2 เทาของกลวยไมที่ไดอันดับที่ 2 และระบุไมไดวา กลวยไมที่ไดอันดับที่ 1 งามกวากลวยไมที่ไดอันดับที่ 2 มากนอยเพียงใด นอกจากนั้น ความแตกตางของความงามระหวางกลวยไมที่ไดอันดับที่ 1 กับ 2 และระหวางกลวยไมที่ไดอันดับที่ 2 กับ 3 ไมจําเปนตองเทากัน ดังน้ันขอมูลที่ไดจากการวัดในระดับน้ีจึงนํามาบวก ลบ คูณ หารกันไมได 3. มาตราอันตรภาค(Interval Scale) การวัดในระดับน้ี นอกจากมีคุณสมบัติการจําแนกและการเรียงลําดับส่ิงตาง ๆแลว แตละหนวยของการวัดยังมีคาคงที่อีกดวยซ่ึงทําใหสามารถระบุความแตกตางระหวางสิ่งตางๆ วามีมากนอยเพียงใด น่ันคือ ขอมูลซ่ึงเปนตัวเลขที่ไดจากการวัดในระดับน้ี จะมีความหมายในเชิงปริมาณอยางแทจริง ตัวอยางเชน วัดอุณหภูมิที่ตาง ๆได 100 ,200 ,300 และ 400C ตามลําดับซ่ึงบอกไดวาอุณหภูมิ 400C สูงกวา 200C และอุณหภูมิ 100C ต่ํากวา 300Cทั้งน้ีหมายความวาอุณหภูมิ 400C รอนกวา 200C และอุณหภูมิ 100C เย็นกวา 300C นอกจากนี้ยังบอกไดวาความแตกตางระหวางอุณหภูมิ 400C และ 200C เทากับความแตกตางระหวางอุณหภูมิ 300C และ 100C แตระหวางอุณหภูมิ 300C และ 100C มิไดหมายความวาอุณหภูมิ 300C รอนเปน 3 เทาของอุณหภูมิ 100C เน่ืองจากเมื่อแปลงอุณหภูมิ 300C และ

100C ใหเปนระบบฟาเรนไฮตได F8632(30)5

9°=+ และ F5032(10)

5

9°=+ ตามลําดับ ซ่ึงจะเห็นไดวาอุณหภูมิ 860 F มิไดรอน

เปน 3 เทาของอุณหภูมิ 500F ทั้งน้ีเน่ืองจากจุดเร่ิมตนของการวัดอุณหภูมิทั้งระบบเซลเซียส และฟาเรนไฮตมิ ใชศูนยแท (true Zero) น่ันเองซ่ึงเปนคุณสมบัติที่สําคัญของการวัดในระดับน้ี โดยศูนยไมไดหมายความวาไมมีอะไรเลย ดังน้ันขอมูลที่ไดจากการวัดในระดับน้ีจึงนํามาบวกหรือลบกันได แตนํามาคูณหรือหารกันไมได ตัวอยางขอมูลอื่นๆ ที่ไดจากการวัดในระดับน้ี เชน ระดับเชาวปญญาและคะแนนสอบ เปนตน 4. มาตราอัตราสวน (Ratio Scale) เปนการวัดระดับสูงสุด ซ่ึงนอกจากจะมีคุณสมบัติตาง ๆเหมือนมาตรอันตรภาคแลว ยังมีศูนยแทเปนจุดเริ่มตน น่ันคือ 0 หมายความวาไมมีอะไรเลย เชน หนัก 0 ปอนดแสดงวาไมมีนํ้าหนักเลย ดังน้ันขอมูลที่ไดจากการวัดในระดับน้ีจึงนํามาบวก ลบ คูณหาร กันได ตัวอยางขอมูลอื่น ๆ ที่ไดจากการวัดในระดับน้ี เชน ความยาว อายุ เวลา ความเร็ว 1.2 การเก็บรวบรวมขอมูลและการนําเสนอขอมูล

1.2.1 การเก็บรวบรวมขอมูล การดําเนินการเก็บรวบรวมขอมูล เพื่อนํามาจัดทําเปนขอมูลสถิติมีวิธีการที่ใชโดยทั่วไปมี 5 วิธี ดังน้ี

[http://service.nso.go.th/nso/knowledge/estat/esta1_6.html]


- 5 -

1. การเก็บรวบรวมขอมูลจากรายงาน (Reporting System) เปนผลพลอย ไดจากระบบการบริหารงาน เปนการเก็บรวบรวมขอมูลจากรายงานที่ทําไวหรือจากเอกสารประกอบการทํางาน ซ่ึงการเก็บรวบรวมขอมูลจากรายงานสวนมากใชเพียงครั้งเดียว จากรายงานดังกลาว อาจมีขอมูลเบ้ืองตน บางประเภทที่สามารถนํามาประมวลเปนยอดรวมขอมูลสถิติได วิธีเก็บรวบรวมขอมูลจากรายงานของหนวยบริหาร นับวาเปนวิธีการรวบรวมขอมูลสถิติโดยไมตองส้ินเปลืองคาใชจายในการดําเนินงานมากนัก คาใชจายที่ใชสวนใหญก็เพื่อการประมวลผล พิมพแบบฟอรมตางๆ ตลอดจนการพิมพ รายงาน วิธีการนี้ใชกันมากทั้งในหนวยงาน รัฐบาลและเอกชน หนวยงานของรัฐที่มีขอมูลสถิติที่รวบรวมจากรายงาน ไดแก กรมศุลกากรมีระบบ การรายงานเกี่ยวกับ การสงสินคาออก และการนําสินคาเขา ใบสําคัญหรือเอกสารที่ใชในการแจงการนําเขาและ สงออกนั้น จะเปนแหลงของขอมูลเบ้ืองตน ซ่ึงสามารถจะประมวลยอดรวมขอมูลสถิติ แสดงปริมาณการคาระหวางประเทศได กรมสรรพากร มีแบบรายงาน ยื่นเสียภาษี ที่เรียกวา ภงด . 9 ซ่ึงสามารถรวบรวมขอมูลสถิติเกี่ยวกับรายไดของประชากร และกระทรวงศึกษาธิการ มีรายงานผลการปฏิบัติงานของโรงเรียนภายในสังกัดของกรมตางๆ ซ่ึงสามารถนํามาใชในการประมวลผลสถิติทางการศึกษาได นอกจากนี้ ก็มีแบบรายงานของหนวยราชการสวนทองถ่ินเกี่ยวกับรายได - รายจาย รายจายเกี่ยวกับการลงทุน งบแสดงฐานะทางการเงิน และแบบรายงานผูไดรับอนุมัติใหกอสราง ซ่ึงทําใหไดขอมูลสถิติตางๆ ที่สามารถนํามาใชในการคํานวณบัญชีตางๆ ในบัญชีประชาชาติได สําหรับหนวยงานเอกชนนั้น ไดแก ขอมูลเกี่ยวกับการผลิต การใชวัตถุดิบ ซ่ึงรวบรวมไดจากรายงานของฝายผลิต สถิติแสดงปริมาณการขายสินคาก็รวบรวมไดจากรายงานของพนักงานขายแตละคน เปนตน

2. การเก็บรวบรวมขอมูลจากทะเบียน (Registration) เปนขอมูลสถิติที่ รวบรวมจากระบบทะเบียน มีลักษณะคลายกับการรวบรวมจากรายงานตรงที่เปนผลพลอยไดเชนเดียวกัน จะตางกันตรงที่ แหลงเบ้ืองตนของขอมูลเปนเอกสารการทะเบียนซ่ึงการเก็บมีลักษณะตอเน่ือง มีการปรับแกหรือเปลี่ยนแปลง ใหถูกตองทันสมัย ทําใหไดสถิติที่ตอเน่ืองเปนอนุกรมเวลา ขอมูลที่เก็บโดยวิธีการทะเบียน มีขอรายการไมมากนัก เน่ืองจากระบบทะเบียนเปนระบบขอมูลที่คอนขางใหญ มีพระราชบัญญัติคุมครอง หรือบังคับ การที่จะเปลี่ยนระบบทะเบียนเพื่อใหไดขอมูลที่ตองการ ยอมไมอยูในวิสัยที่จะทําไดงายนัก คุณภาพของขอมูลสถิติที่ไดข้ึนอยูกับคุณภาพของการทะเบียนซ่ึงขอมูลบางอยางอาจจะไมถูกตองทันสมัย ตามความเปนจริง ตัวอยางขอมูลสถิติที่รวบรวมจากระบบทะเบียน ไดแก สถิติจํานวนประชากรที่กรมการปกครอง ดําเนินการเก็บรวบรวมจากทะเบียนราษฎร ประกอบดวย จํานวนประชากร จําแนกตามเพศเปนรายจังหวัด อําเภอ ตําบล นอกจากทะเบียนราษฎรแลวก็มีทะเบียนยานพาหนะของกรมตํารวจที่จะทําใหไดขอมูลสถิติจํานวน รถยนต จําแนกตามชนิดหรือประเภทของรถยนต ทะเบียนโรงงานอุตสาหกรรม ซ่ึงทําใหทราบจํานวนโรงงานอุตสาหกรรม จําแนกตามประเภทของโรงงาน เปนตน 3. การเก็บรวบรวมขอมูลโดยวิธีสํามะโน (Census) เปนการเก็บรวบรวมขอมูลสถิติของทุกๆ หนวยของประชากรที่สนใจศึกษาภายในพื้นที่ที่กําหนด และภายในระยะเวลาที่กําหนด การเก็บรวบรวม ขอมูลสถิติดวยวิธีน้ี จะทําใหไดขอมูลในระดับพื้นที่ยอย เชน หมูบาน ตําบล อําเภอ และทําใหได ขอมูลที่เปนคาจริงตามพระราชบัญญัติสถิติ พ.ศ .2508 ไดบัญญัติไววา สํานักงานสถิติแหงชาติเปนหนวยงานเดียวที่สามารถจัดทําสํามะโนได และการเก็บรวบรวมขอมูลสถิติดวยวิธีการสํามะโน เปนงานที่ตองใชเงิน งบประมาณ เวลาและกําลังคนเปนจํานวนมาก สํานักงานสถิติแหงชาติจึงไมสามารถจัดทําสํามะโนไดในทุกๆ ป สวนใหญจะจัดทําสํามะโนทุกๆ 10 ป หรือ 5 ป สํามะโนที่สํานักงานสถิติแหงชาติ ไดจัดทํา คือ สํามะโนประชากรและเคหะ ( ปลาสุด พ.ศ. 2543) สํามะโนการเกษตร ( ปลาสุด พ.ศ. 2546) สํามะโน ประมงทะเล ( ปลา สุด พ.ศ. 2538) สํามะโนอุตสาหกรรม ( ปลาสุด พ.ศ. 2540) และสํามะโนธุรกิจทางการคาและธุรกิจทางการบริการ ( ปลา สุด พ.ศ. 2545)

4. การเก็บรวบรวมขอมูลโดยวิธีสํารวจ (Sample Survey) เปนการเก็บรวบ รวมขอมูลสถิติ จากบางหนวยของประชากรดวยวิธีการเลือกตัวอยาง การเก็บรวบ รวมขอมูลสถิติดวยวิธีน้ี จะทําใหได ขอมูลในระดับรวม เชน จังหวัด ภาค เขตการปกครอง และรวมทั่วประเทศ และขอมูลที่ไดจะเปนคาโดยประมาณ การสํารวจเปนวิธีการเก็บรวบรวมขอมูลที่ใชงบประมาณ เวลา และกําลังคนไมมากนักจึงสามารถจัดทําไดเปนประจําทุกป หรือ ทุก 2 ป ปจจุบันการสํารวจเปนวิธีการเก็บรวบรวมขอมูลสถิติที่มีความสําคัญ และใชกันอยางแพรหลายมากที่สุด ทั้งในวงการราชการและเอกชน ไมวาจะเปน การสํารวจ เพื่อหาขอมูลทางดานการเกษตร อุตสาหกรรม สาธารณสุข การคมนาคม การศึกษา และ ขอมูล ทางเศรษฐกิจและสังคมอื่นๆ รวมทั้งการหยั่งเสียงประชามติ การวิจัยตลาด ฯลฯ สําหรับสํานักงานสถิติแหงชาติ ไดจัดทําโครงการสํารวจที่สําคัญๆ หลายโครงการ เชน การสํารวจภาวะการทํางานของประชากร ( การสํารวจแรงงาน ) การสํารวจการยายถิ่นของประชากร การสํารวจภาวะเศรษฐกิจและสังคมของ ครัวเรือน การสํารวจการใชพลังงานของครัวเรือน การสํารวจการเปลี่ยนแปลงของประชากร การสํารวจวิทยุ - โทรทัศนและหนังสือพิมพ การสํารวจอนามัยและสวัสดิการ การสํารวจขอมูลเกี่ยวกับเด็กและเยาวชน การสํารวจภาวะการครองชีพของขาราชการพลเรือนสามัญ การสํารวจขอมูลระดับหมูบาน เปนตน 5. วิธีการทดลอง (Experimental Design) การเก็บรวบรวมขอมูล โดยวิธีน้ีจะตองอาศัยวิชาสถิติในเร่ืองการวางแผนการทดลองมาชวย การวิจัยทางสังคมสวนใหญจะใชวิธีน้ีไมได โดยมากจะใชกับการทดลองทางดานเกษตร วิทยาศาสตร การแพทย เชน ทดสอบผลของการใชปุยชนิดตางๆ ตอ การเจริญเติบโตของพืช เปนตน ในการทดลองจะพยายามควบคุมปจจัยอื่นที่ไมตองการทดสอบใหมากที่สุดเทาที่จะมากได แตใหปจจัยที่จะทดสอบนั้นเปลี่ยนแปลงไดแลวคอยติดตามบันทึกขอมูล ซ่ึงเปนผลของการทดลองจากหนวยทดลองของแตละกลุมตามแผนการทดลองนั้นๆ


- 6 -

1.2.2 การนําเสนอขอมูล หลังจากที่ไดวิเคราะหขอมูลแลว จะตองนํามาเสนอของการวิเคราะห โดยการนําเสนออาจทําไดในรูปแบบตาง ๆ เชน ขอความ ตาราง

แผนภูมิและกราฟ สวนใหญมักจะนํามาเสนอขอมูลในรูปขอความควบคูกับตารางหรือแผนภูมิหรือกราฟ เพื่อใหสะดวกตอความเขาใจและสามารถเปรียบเทียบได 1. การนําเสนอขอมูลในรูปบทความ (Text Presentation) เปนการนําเสนอขอมูลโดยใชตัวเลขประกอบขอความ โดยทั่วไปแลวการนําเสนอในรูปบทความจะใชตอเม่ือขอมูลที่จะนําเสนอมีไมมากนัก เชน

จํานวนนักศึกษามหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลลานนา นาน จําแนกตามคณะเปนดังน้ี

- คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีการเกษตร จํานวน 511 คน - คณะวิศวกรรมศาสตร จํานวน 158 คน - คณะศิลปศาสตรและบริหารธุรกิจ จํานวน 657 คน

รวมทั้งส้ิน จํานวน 1,326 คน

2. การนําเสนอขอมูลในรูปตาราง (Table Presentation) เปนการนําเสนอขอมูลโดยจัดเรียงตามลักษณะตาง ๆที่สนใจ โดยนําลักษณะที่สนใจ และตัวเลขมาจัดเรียงไวในตารางเพื่อใหอานงาย ทําใหผูอานสามารถเปรียบเทียบขอมูลที่มีความสัมพันธกันไดงายข้ึน ตารางทั่วๆ ไปจะมีสวนประกอบตอไปน้ี

1. หมายเลขหรือลําดับที่ของตาง ใชแสดงลําดับที่ของตาราง เน่ืองจากสวนใหญมักจะมีการนําเสนอขอมูลมากกวา 1 ตาราง 2. ชื่อตาราง เปนการอธิบายขอมูลภายในตารางวาเปนตารางที่แสดงเกี่ยวกับอะไร เม่ือไร ที่ไหน เชน ปริมาณการนําเขาหาง

นมผงและไขมันเนย จําแนกตามป เปนตน 3. หัวเร่ือง เปนการอธิบายรายละเอียดตาง ๆ ภายในแตละแถวตั้ง หรือ คอลัมน (Column) 4. หมายเหตุ เปนการอธิบายคุณสมบัติเฉพาะขอความหรือตัวเลขที่ใสหมายเหตุไว โดยทั่ว ๆ ไปหมายเหตุมักจะใช

เคร่ืองหมายดอกจัน ตัวเลขและสัญลักษณ อื่น ๆ ยกไวเหนือขอความที่ตองการอธิบาย 5. ตัวเร่ือง เปนตัวเลขที่อยูภายใตหัวเร่ืองและคอลัมนตาง ๆ สําหรับตารางที่นํามาเสนอขอมูลจะแบงออกเปนชนิดตาง ๆ

โดยจําแนกตามลักษณะตาง ๆที่แบงตามหัวเร่ืองโดยแบงเปน 5 ชนิด คือ ก. ตารางแบบทางเดียว (one - way Table) เปนตารางที่จําแนกขอมูลดานใด

ดานหน่ึงเพียงอยางเดียวเชน คณะ จํานวนนกัศึกษา

วิทยาศาสตรและเทคโนโลยีการเกษตร 511 วิศวกรรมศาสตร 158 ศิลปะศาสตรและบริหารธุรกิจ 657

รวม 1326

ข. ตารางแบบสองทาง (Two - way Table) เปนตารางที่จําแนกยอยตามลักษณะของขอมูล 2 ดาน เชน

จํานวนนกัศึกษา คณะ

ชาย หญิง

วิทยาศาสตรและเทคโนโลยีการเกษตร 296 215 วิศวกรรมศาสตร 147 11 ศิลปะศาสตรและบริหาร 109 548

รวม 552 774

ค. ตารางแบบสองทาง (Multi - way Table) เปนตารางที่จําแนกยอยลงไปตามลักษณะตาง ๆ หลายดาน เชน

สวนสูง น้ําหนัก คณะ

ตํ่ากวา 155 ซ.ม. 155 ซ.ม. ขึ้นไป ตํ่ากวา 45 ก.ก. 45 ก.ก. ขึ้นไป

วิทยาศาสตรและเทคโนโลยีการเกษตร 231 280 259 252 วิศวกรรมศาสตร 21 137 35 123 ศิลปะศาสตรและบริหาร 453 204 395 262

รวม 705 621 689 637


- 7 -

ง. ตารางแจกแจงความถี่ (Frequency Distrbution Table) เปนตารางแสดงความถี่จําแนกตามลักษณะที่เปนไปได ทั้งหมด เชน

เกรดเฉลี่ย จํานวนนกัศึกษา

นอยกวา 2.00 305 2.01 – 2.50 360 2.51 – 3.00 501 3.01 – 3.50 125 3.51 – 4.00 35

1,326

จ. ตารางแจกแจงความถี่สัมพันธ (Relative Frequency Distribution Table) เปนตารางที่แสดงรอยละหรือสัดสวน ของลักษณะตาง ๆ เม่ือเทียบกับจํานวนทั้งหมด เชน

เกรดเฉลี่ย จํานวนนกัศึกษา

นอยกวา 2.00 305/1,321 = 0.23 2.01 – 2.50 360/1,321 = 0.27 2.51 – 3.00 501/1,321 = 0.38 3.01 – 3.50 125/1,321 = 0.09 3.51 – 4.00 35/1,321 = 0.03

1.00

3. การนําเสนอขอมูลในรูปกราฟ (Graph Presentation) การนําเสนอขอมูลมักจะเสนอทั้งในรูปของบทความ ตาราง และกราฟ การนําเสนอดวยกราฟจะทําใหสะดวกตอการสรุปในดานเปรียบเทียบ กราฟจะประกอบดวยลําดับที่ของกราฟ การนําเสนอของขอมูลดวยกราฟแบงเปน 6 ประเภทคือ 1. แผนภูมิแทง (Bar Chart) ประกอบดวยแทงรูปส่ีเหลี่ยมผืนผาที่มีความกวางเทากันทุกแหง สวนความยาวหรือสวนสูงจะข้ึนอยูกับปริมาณหรือขนาดของขอมูล ดังน้ัน แผนภูมิแทงจึงใชในการเปรียบเทียบลักษณะใดลักษณะหน่ึงเพียงลักษณะเดียว โดยอาจเปรียบเทียบโดยการจัดเรียงตามแนวตั้งหรือแนวนอนก็ได สวนใหญแลวมักจะเปรียบเทียบลักษณะของขอมูลตามเวลาที่เปลี่ยนไป แผนภูมิแทงที่ใชกันอยูทั่ว ๆ ไปมี 2 ชนิด คือ 1.1 แผนภูมิแทงเชิงเด่ียว (Simple Bar Chart) เปนแผนภูมิแทงที่แสดงการเปรียบเทียบขอมูลเพียงลักษณะเดียวเทานั้น ตัวอยางเชน จําแนกจํานวนนักศึกษามหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลลานนา นาน จําแนกตามคณะ

แผนภูมิแทงแสดงจํานวนนักศึกษา มทร. ลานา นาน

0

100

200

300

400

500

600

700

จํานว

นนักศ

ึกษา

1.2 แผนภูมิแทงเชิงซอน (Multiple Bar Chart) เปนแผนภาพที่แสดงถึงการเปรียบเทียบลักษณะของขอมูลตั้งแตสองลักษณะข้ึนไป

0

100

200

300

400

500

600

จํานว

นนักศ

ึกษา

นักศึกษาชาย

นักศึกษาหญิง


- 8 -

2. แผนภาพวงกลม (Pie Chart) เปนการแสดงขอมูลในรูปวงกลม โดยที่จะแบงวงกลมเปนสวนยอย ๆ ตามสัดสวนของลักษณะตาง ๆ โดยใหเน้ือที่ในวงกลม (360 องศา) เปน 100 เปอรเซ็นต แลวเปรียบเทียบสัดสวนหรือเปอรเซ็นตเปนองศา

แผนภูมิวงกลมแสดงจํานวนนักศึกษา มทร.ลานนา นาน

จําแนกตามคณะ

3. แผนภาพเชิงเสน (Line Chart) เปนการเสนอขอมูลที่ทําใหเห็นการเปลี่ยนแปลงของขอมูลไดชัดเจนสวนมากมักจะใชกับขอมูลที่มีการเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา ดังน้ันจึงสามารถเห็นไดชัดวาขอมูลน้ันเพิ่มข้ึนลงเม่ือเวลาเปลี่ยนแปลงไป แผนภาพเชิงเสนแบงเปน 2 ชนิด คือ 3.1 แผนภาพเชิงเสนเดียว (Simple Line Chart) เปนกราฟที่แสดงการเปรียบเทียบขอมูลโดยพิจารณาลักษณะขอมูลเพียงลักษณะเดียว

แผนภาพเชงิเสนแสดงจํานวนนักศึกษา มทร.ลานนา นาน

จําแนกตามคณะ

0

100

200

300

400

500

600

700

จํานว

นวนน

ักศึกษ

า

3.2 แผนภาพเชิงซอน (Multiple Line chart)เปนกราฟที่แสดงการเปรียบเทียบขอมูลโดยพิจารณาถึงลักษณะขอมูลตั้งแต 2 ลักษณะข้ึนไป

0

100

200

300

400

500

600

1 2 3

นักศึกษาชาย

นักศึกษาหญิง

4. ฮิสโตแกรม (Histogram) เปนการนําเสนอขอมูลที่ไดแจกแจงความถี่แลวมาเขียนเปนแผนภูมิแทงซ่ึงเปนส่ีเหลี่ยมผืนผา โดยที่แกนนอนแบงเปนชวง ๆ ตามความกวางของอันตรภาคชั้นในสวนการสรางฮิสโตแกรมจะกลาวรายละเอียดในบทตอไป

5. รูปหลายเหลี่ยมความถี่ (Polygon) ดําเนินการโดยการแบงครึ่งในแตละอันตรภาคชั้นแลวลากเสนผานจุดตางตามลําดับอันตรภาคชั้น ดังรูป


- 9 -

6. โคงความถี่ (Curve) พยายามปรับรูปหลายเหลี่ยมความถี่ใหเปนรูปโคงความถี่ ดังรูป

7. แผนภาพลําตนและใบ (Stem and Leal) เปนการนําเสนอขอมูลโดยใชคาของขอมูลจริงทุกคา ทําใหสามารถเห็นลักษณะที่

แทจริงของขอมูล ทําโดย 1. เรียงลําดับขอมูลจากนอยไปมาก ดังน้ี

- ถาขอมูลเปนเลขสองหลักใหเยงลําดับของเลขหลักแรก (หลักสิบ) - ถาขอมูลเปนเลขสามหลักใหเรียงลําดับของเลขสองหลักแรก คือ หลักรอยและหลักสิบ

2. นําขอมูลที่เรียงลําดับในขอ 1 มาใสในแถวตั้ง 3. ในแตละแนวนอน บันทึกตามลําดับของตัวเลขหลักที่สอง (ถาขอมูลเปนเลขสอง

หลัก) หรือในแตละแนวนอน บันทึกตามลําดับของตัวเลขหลักที่สม (ถาเปนขอมูลเปนเลขสามหลัก ) หมายเหตุ แตถาขอมูลเปนเลขสามหลักและสี่หลักปนกัน - สําหรับเลขสามหลักใหเรียงลําดับตามหลักแรก(หลักรอย) ตามแถวตั้ง - สําหรับเลขส่ีหลักใหเรียงลําดับตามหลักแรกและหลักที่สอง( หลักพันและหลักรอย ) ตามแถวแนวตั้ง ตัวอยางท่ี 1.1 จากการสุมตัวอยางยอดขายรายวัน 25 วัน ของรานอาหารแหงหน่ึงไดขอมูลดังน้ี

ยอดขายรายวัน ( หนวย : 100 บาท ) 660 595 1,060 500 630 899 1,295 749 820 843 710 950 720 575 760

1,090 770 682 1,016 650 425 367 1,480 945 1,120

จงแสดงขอมูลขางตนดวยแผนภาพลําตนและใบ วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………


- 10 -

1.3 การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน 1.3.1 การแจกแจงความถี ่

ตารางแจกแจงความถี่ การแจกแจงความถี่ (Frequency Distribution) หรือการแจกแจงเชิงปริมาณ (Quantative Distribution) เปนวิธีการนําเสนอขอมูล

เชิงปริมาณที่เก็บรวบรวมมาไดเปนจํานวนมาก ซ่ึงเรียกวาขอมูลดิบ (Raw Data) โดยนอกจากจะชวยใหเขาใจถึงภาพรวมของขอมูลดังกลาวแลว ยังเปนการจัดเตรียมขอมูลสําหรับการวิเคราะหตอไป ซ่ึงโดยทั่วไปการแจกแจงความถี่สามารถกระทําได 2 วิธี คือ การแจกแจงความถี่ดวยตาราง และการแจกแจงความถี่ดวยกราฟ สามารถกลาวถึงรายละเอียดดังตอไปนี้

การแจกแจงความถี่ดวยตารางดวยวิธีน้ี เปนการนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณที่เก็บรวบรวมขอมูลใหอยูในรูปของตารางที่เรียกวา ตารางแจกแจงความถี่ การแจกแจงความถี่ดวยตารางทําได 3 วิธี คือ การแจกแจงจัดเรียงลําดับ การแจกแจงความถี่ชนิดไมจัดขอมูลเปนอันตรภาคชั้น และการแจกแจงความถี่ชนิดจัดขอมูลเปนอันตรภาคชั้น โดยสามารถพิจารณารายละเอียดไดดังตอไปน้ี

1. การแจกแจงจดัเรียง เปนวิธีการนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณแบบงายที่สุด ในกรณีที่ขอมูลมีคาแตกตางกันไมมากนัก และไมมีขอมูลคาใดมีคาซ้ํากัน

โดยเพียงแตนําขอมูลทุกคาที่มีความถี่เทากับ 1 มาเรียงตามลําดับ ในกรณีทั่วไปเปนการจัดเรียงจากนอยไปหามาก การจัดขอมูลแบบน้ีทําใหทราบคาของขอมูลไดดีข้ึนวาคาใดมีคาสูงสุด คาใดเปนคาต่ําสุด

2. การแจกแจงความถี่ชนิดไมจัดขอมูลเปนอันตรภาคชั้น ในกรณีที่ขอมูลมีคาไมแตกตางกันมากนัก และมีบางคาซ้ํากัน หากนําเสนอขอมูลดังกลาวโดยการแจกแจงจัดเรียงแลว ตารางที่สรางไดก็จะประกอบดวยสดมภที่มีความยาวมาก เน่ืองจากมีขอมูลบางคาปรากฏหลายครั้งตามจํานวนซ้ํา ดังน้ัน เพื่อมิใหสดมภมีความยาวเกินความจําเปนจึงตองเพิ่มสดมภในตารางอีกหน่ึงสดมภ เพื่อแสดงความถี่ของขอมูลแตละคา นอกจากนั้น การคํานวณหาความถี่ที่แสดงรอยขีด (Tally) อีกหน่ึงสดมภ สรุปข้ันตอนการสรางตารางแจกแจงความถี่ชนิดไมจัดขอมูลเปนหมวดหมู กรณีมีขอมูลบางคาซ้ํากันไดดังน้ี

1. จากขอมูล พิจารณาคาต่ําสุดและสูงสุด 2. ในสดมภแรกของตารางซึ่งแสดงคาของขอมูล เขียนเรียงลําดับทุกคาของขอมูลที่เปนไปได ระหวางคาต่ําสุดและสูงสุดของ

ขอมูล 3. ในสดมภที่ 2 ซ่ึงแสดงรอยขีดและจากสดมภแรกที่ไดมาแลว พิจารณาแตละคาของขอมูลวามีคาซ้ําเทาใด โดยเขียนรอยขีด

แทนจํานวนครั้งที่ขอมูลปรากฏและเพื่อแสดงในการคํานวณหาความถี่ตอไป ควรแยกเขียนรอยขีดเปนกลุมๆ แตละกลุมมีรอยขีดไมเกิน 5 ขีด โดยถากลุมใดมีรอยขีด 5 ขีด ใหเขียนรอยขีดที่ 5 ในแนวนอน ////

4. สดมภที่ 3 แสดงความถี่ของขอมูลแตละคา ซ่ึงมักแทนดวย f โดยการนับจํานวนรอยขีดจากสดมภที่ 2 ถาขอมูลคาใด ไมมีรอยขีดเลย แสดงวาความถี่เปนเปน 0 ทั้งน้ีผลรวมของความถี่ของขอมูลทุกคาตองเทากบัจํานวนของขอมูล ตัวอยางท่ี 1.3 จากคะแนนของการประเมินเพื่อปรับเงินเดือนและเงินโบนัสของแผนกการผลิต ของโรงงานผลิตยางรถยนตยี่หอ AAA จํานวน 35 คน เพื่อใหเกิดความโปรงใสจําเปนตองแยกการประเมนิออกเปนหลายดาน เชน ดานจิตพิสัยการทํางานซึ่งยากที่จะประเมินออกมาเปนคะแนน คณะกรรมการประเมินจึงกําหนดคะแนนใหดานดังกลาว 10% ดังน้ี จงสรางตารางแจกแจงความถี่ชนิดไมจัดขอมูลเปนอันตรภาคชั้น

9.00 8.50 9.50 10.00 9.00 8.00 7.00 9.50 8.50 9.50 7.50 9.00 9.00 9.00 8.00 8.00 8.00 8.00 9.50 9.50 8.50 8.50 9.00 8.50 8.00 9.50 8.00 9.00 9.00 9.00 9.00 8.50 9.00 7.50 8.00

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………


- 11 -

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. การแจกแจงความถี่ชนิดจัดขอมูลเปนอันตรภาคชั้น เราไดทราบมาแลววา สามารถแจกแจงความถี่ของขอมูลที่มีคาบางคาซ้ํากนัใหมีขนาดพอควรได โดยการเพิ่มสดมภแสดงความถี่ของขอมูล แตถาขอมูลมีคาแตกตางกันมากแลว สดมภแรกของตารางแจกแจงความถี่แสดงแตละคาของขอมูลดังกลาวไดกะทัดรัดยิ่งข้ึน โดยการจัดหมวดหมูใหแกขอมูล ดังเชน

I.Q. จํานวนนกัเรียน

46–55 3 56-65 4 66-75 8 76-85 9 86-95 4 96-105 2 รวม 30

ตารางเปนตารางแจกแจงความถี่ระดับ I.Q. ของนักเรียน 30 คน ซ่ึงขอมูลถูกบันทึกไวในลักษณะชวงคะแนน 6 ชวงคะแนน คือ 46-55 , 56-65 , 66-75 , 76-85 , 86-95 และ 96-105 ซ่ึงจะเรียกวา ขีดจํากัดชั้น (Class Limit) โดยเรียกจุดต่ําสุดของแตละชวง (46 ,56 ,66 ,76 ,86 และ 96 ) วา ขีดจํากัดชั้นลาง (Lower Class Limit) และจุดสูงสุดของแตละชวง (55 , 65 , 75 , 85 , 95 และ 105) วา ขีดจํากัดชั้นบน (Upper Class Limit) สําหรับการพิจารณาชวงคะแนนแตละชวงคะแนนที่อยูติดกัน พบวา จะมีชวงคะแนนที่อยูระหวาง 2 ชวงคะแนนติดกัน จะไมอยูในทั้งสองชวงคะแนน เชน ชวงคะแนน 46-55 และ 56-65 พบวาจํานวนจริงระหวาง 55-56 ไมอยูในชวงคะแนน 46-55 และ 56-65 ดังน้ันในทางปฏิบัติตองหาขอบเขตที่แทจริงในการแบงแตละชวงคะแนนใหชัดเจน ซ่ึงสามารถกระทําโดยการเฉลี่ยระหวางขีดจํากัดบนของชั้นกอนหนา (55) กับขีดจํากัดลางของชั้นหลัง (56) น่ันคือ คาที่แบงระหวางชวงคะแนน 46-55 และ 56-65 คือ (55+56)/2 = 55.5 และสามารถหาคาที่ใชแบงชวงคะแนนทั้งหมด คือ 45.5-55.5 , 55.5-65.5 , 65.5-75.5 , 75.5-85.5 , 85.5-95.5 และ 95.5-105.5 ซ่ึงจะเรียกวา ขอบเขตชั้น (Class Boundary) โดยเรียกจุดต่ําสุดของแตละชวง วา ขอบเขตชั้นลาง (Lower Class Boundary) และจุดสูงสุดของแตละชวงวา ขอบเขตชั้นบน (Upper Class Boundary) โดยที่ 45.5 , 55.5 , 65.5 , 75.5 , 85.5 และ 95.5 เปนขอบเขตลางของชวงคะแนน 46-55 , 56-65 , 66-75 , 76-85 , 86-95 และ 96-105 ตามลําดับ และ 55.5 , 65.5 , 75.5 , 85.5 , 95.5 และ 105.5 ขอบเขตลางของชวงคะแนน 46-55 , 56-65 , 66-75 , 76-85 , 86-95 และ 96-105 ตามลําดับ ซ่ึงสามารถพิจารณาไดดังรูปที่ 13


- 12 -

รูปท่ี 13 แสดงขีดจํากัดและขอบเขตชั้น

ถาพิจารณาผลตางระหวางขอบเขตบน และขอบเขตลางของแตละชั้น จะเรียกคานี้วา ความกวางอันตรภาคชัน้ (Class Width) มักนิยมแทนดวยสัญลักษณ I เชน ชวงคะแนน 46 – 55 มีความกวางอันตรภาคชั้นเปน I = 55.5 – 45.5 = 10 เปนตน และคาเฉลี่ยระหวางขีดจํากัดลางและขีดจํากัดบนของแตละชั้น (หรือคาเฉลีย่ระหวางขอบเขตลางและขอบเขตบนของแตละชั้น) เรียกวา คากึ่งกลางชั้น (Class Midpoint) เชน ชวงคะแนน 46 – 55 มีคากึ่งกลางชั้นเปน (46+55)/2 = 50.5 เปนตน และสามารถสรุปรายละเอียดคาตางๆดังกลาวไดดังตอไปน้ี

ขีดจํากัด ขอบเขต อันตรภาคชั้น

คากึ่ง กลางชั้น

ความกวาง อันตรภาคชั้น ลาง บน ลาง บน

46 – 55 50.5 10 46 55 45.5 55.5 56-65 60.5 10 56 65 55.5 65.5 66-75 70.5 10 66 75 65.5 75.5 76-85 80.5 10 76 85 75.5 85.5 86-95 90.5 10 86 95 85.5 95.5

96 - 105 100.5 10 96 105 95.5 105.5

นอกจากงายตอการเขาใจขอมูลโดยภาพรวมแลว แตเราอาจจะเสียรายละเอียดบางสวนสําหรับขอมูลไป เชน ชวงคะแนน 76-85 มีความถี่ 9 แตถาขอมูลที่แทจริงทั้ง 9 ตัว คือ 75.9 , 75.8 , 76.1 , 76.2 , 76.0 , 76.0 , 75.6 , 75.9 และ 76.0 ซ่ึงพบวามีคาคอนไปทางขอบเขตลางของชั้น ดังน้ันถาเราพิจารณาที่คากึ่งกลางชั้น คือ 80.5 จะไมสามารถเปนตัวแทนที่ดีของขอมูลกลาวได เปนตน และโดยทั่วไปการสรางตารางแจกแจงความถี่อันตรภาคชั้น จะไมใหมีจํานวนชั้นนอยเกินไป เพราะจะทําใหขอมูลสูญเสียรายละเอียดมาก และจะไมกําหนดจํานวนชั้นมากเกินไป เพราะจะทําใหตารางมีขนาดใหญเกินไป สําหรับกรณีที่มีขอมูลอยูบางคามีคานอยหรือมากผิดปกติ บางชั้นของตารางแจกแจงความถี่จะมีลักษณะเปนชั้นเปด (Open Class) โดยชั้นแรกและชั้นสุดทายจะระบุขีดจํากัดบนและขีดจํากัดลางเพียงคาเดยีวตามลําดับ และมักระบุคําวา “นอยกวา” หรือ “มากกวา” แทน ซ่ึงการดําเนินการดังกลาวเพื่อทําใหชวงคลอบคลุมคาผิดปกติดังกลาว แตจะมีปญหาในการวิเคราะหขอมูล เชน ในชั้นแรกและชั้นสุดทายจะไมสามารถคํานวณคากึ่งกลางชั้นได เปนตน และสามารถยกตัวอยางตาราง แสดงปริมาณจุลวัตถุ(ไมโครกรัม) ของทุกจังหวัดในประเทศไทย ดังน้ี

ปริมาณจุลวัตถุ(ไมโครกรัม) จํานวนจังหวัด

นอยกวา 19.9 7 20-29.9 25 30-39.9 15 40-49.9 12 50-59.9 9 60-69.9 4

มากกวา 70 3

การสรางตารางแจกแจงความถี่ชนิดจัดขอมูลเปนอันตรภาคชั้น สามารถกระทําไดดังน้ี 1. หาพิสัยของขอมูล จาก พิสัย = คาสูงสุด – คาต่ําสุด 2. กําหนดจํานวนชั้น ในที่น้ีกําหนดจาก จํานวนชั้น = 1 + 3.3 logN 3. คํานวณหาความกวางของชั้น

จาก I = พิสัย/จํานวนชั้น 4. หาขีดจํากัด ในที่น้ีกําหนดจาก ขีดจํากัดลางของชั้นแรก = คาต่ําสุด – (I*จํานวนชั้น - พิสัย) / 2 5. หาขอบเขตชั้น


- 13 -

6. นับจํานวนคาของขอมูลในแตละชั้น ดําเนินการเชนเดียวกันกับการสรางตารางแจกแจงความถี่ที่ไมเปนอัตรภาคชั้น สามารถ สรางตารางแจกแจงความถี่ไดดังตัวอยางตอไปน้ี ตัวอยางท่ี 1.4 ขอมูลจํานวนลูกคาที่เขามาใชบริการที่รานคาแหงหน่ึง ระหวางเวลา 17.00-18.00 น. รวม 119 วัน ดังน้ี จงสรางตารางแจกแจงความถี่ชนิดจัดขอมูลเปนอันตรภาคชั้น

50 64 55 51 60 41 71 53 63 64 54 52 56 59 65 60 61

46 59 66 45 61 57 65 62 58 65 62 56 62 57 57 52 63

55 61 50 55 53 57 58 66 53 56 59 43 67 52 58 47 63

64 46 59 49 64 60 58 64 42 47 57 61 65 78 60 66 65

59 62 56 63 61 68 57 51 61 51 61 59 74 62 49 63 63

60 59 67 52 52 58 64 43 60 62 59 63 56 53 54 67 55

48 62 56 63 55 73 60 69 53 66 48 58 64 58 60 55 61

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………


- 14 -

การแจกแจงความถี่สัมพัทธ เปนการนําเสนอในรูปตารางที่ดัดแปลงมาจากตารางแจกแจงความถี่ กลาวคือ ความถี่สัมพัทธของช้ันใดชั้นหน่ึง เทากับความถี่ของชั้นดังกลาวหารดวยผลรวมของความถี่หรือความถี่ทั้งหมด โดยผลรวมของความถี่สัมพัทธของทุกชั้นเทากับ 1 และเรียกตารางที่ไดวา ตารางแจกแจงความถี่สัมพัทธ หรือถาคูณแตละคาของความถี่สัมพัทธดวย100 เพื่อมําใหเปนรอยละ (ผลรวมของคาดังกลาวทั้งหมดจะเทากับ 100% และเรียกวาการแจกแจงรอยละ จากตารางการแจกแจงจํานวนลูกคาที่เขามาใชบริการที่รานคาแหงหน่ึงระหวางเวลา 17.00-18.00 น. รวม 120 วัน สามารถสรางตารางแจกแจงความถี่สัมพัทธและรอยละความถี่สัมพัทธดังตอไปน้ี

ขีดจํากัด ความถี่ ความถี่สัมพัทธ รอยละความถี่สัมพัทธ

41-45 5 0.04 4.17 46-50 10 0.08 8.33 51-55 22 0.18 18.33 56-60 35 0.29 29.17 61-65 35 0.29 29.17 66-70 9 0.08 7.50 71-75 3 0.03 2.50 76-80 1 0.01 0.83

กราฟของขอมูลแจกแจงความถี่

การแจกแจงความถี่ดวยกราฟสามารถกระทําได 3 วิธี คือ ฮิทโทแกรม รูปหลายเหลี่ยมความถี่ และโคงความถี่ ดังรายละเอียด ตอไปน้ี 1. ฮิทโทแกรม

ฮิสโทแกรม (Histogram) หรือฮิสโทแกรมความถี่ (Frequency Histogram) คือกราฟแทงความถี่ โดยในกรณีจัดขอมูลเปนอันตรภาคชั้นมีวิธีเขียนกราฟ ดังน้ี 1. ลากแกน X และแกนY ตัดมุมฉากที่จุด 0 ซ่ึงเปนจุดกําเนิด โดยแกน X แสดงคาของขอมูลและแกน Y แสดงความถี่ของช้ัน ที่ตางระบุคาดวยมาตราสวนที่เหมาะสม เฉพาะแกน X สามารถระบุคาได 2 แบบ แบบแรกใหระบุคาขอบเขตลางและขอบเขตบนของแตละชั้น สวนแบบที่ 2 ใหระบุคากึ่งกลางของแตละชั้น สวนในกรณีที่ขอมูลมีคาเริ่มจากคามากๆ เราสามารถลดความยาวของแกน X โดยการทําเสนหยักที่ชวงเริ่มตนของแกน X 2. บนแกน X เขียนแทงส่ีเหลี่ยมผืนผาใหเรียงชิดกัน โดยใหจุดกึ่งกลางของแตละแทงมีตําแหนงตรงกับคากึ่งกลางของแตละชั้น ดังน้ันจํานวนแทงตองเทากับจํานวนชั้นเสมอ 3. แตละแทงมีความกวางเทากับความกวางของชั้น โดยถาทุกชั้นมีความกวางเทากันหมด ใหใชความถี่ของแตละชั้นเปนสวนสูงของแตละแทงไดเลย สวนในกรณีที่ความกวางของแตละชั้นไมเทากัน สวนสูงของแทงใดๆ = ความถี่ของชั้นดังกลาว/ความกวางของชั้นดังกลาว

2. รูปหลายเหลี่ยมความถี่ รูปหลายเหลีย่มความถี่ คือกราฟเสนที่ไดจากการลากเสนตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางปลายยอดทุกแทงของฮิทโทแกรม ดังตัวอยางที ่3

3. โคงความถี่ โคงความถี่ (Frequency Curve) คือเสนโคงที่ไดจากการปรับรูปหลายเหลี่ยมความถี่ใหเรียบ บางครั้งจึงเรียกวา รูปหลายเหลี่ยมถ่ีที่ปรับเรียบ (Smoothed Frequency Polygon) ดังรูปที่.... โดยพื้นที่ระหวางโคงความถี่และแกน X จะเทากับพื้นที่ระหวางรูปหลายเหลี่ยมความถี่และแกน X และเรียกเสนโคงที่ไดจากการปรับรูปหลายเหลี่ยมสัมพัทธแลววา โคงความถี่สัมพัทธ (Relative Frequency Curve) โดยพื้นที่ระหวางโคงกับแกน X มีคาเทากับ 1 และสามารถพิจารณาการสรางกราฟทั้งสามรูปแบบดังตัวอยาง


- 15 -

ตัวอยางท่ี 1.5 จากตารางแสดงระดับ I.Q. ของนักเรียน 30 คน สามารถสรางฮิทโทแกรม รูปหลายเหลี่ยมความถี่ และโคงความถี่ ไดดังตอไปน้ี 1. หาขอบเขตชั้น (หรือ จุดกึ่งกลางชั้น) ไดดังตารางความสูงของแตละแทง

I.Q. ขอบเขตลาง ขอบเขตบน จํานวนนกัเรียน

46 – 55 ............ ............ 3 56 - 65 ............ ............ 4 66 - 75 ............ ............ 8 76 - 85 ............ ............ 9 86 - 95 ............ ............ 4 96 - 105 ............ ............ 2 รวม 30

2. หาความสูงของแตละแทง ไดดังตาราง

จาก สวนสูงของแทงใดๆ = ความถี่ของช้ันดังกลาว / ความกวางของชั้นดังกลาว

I.Q. ความสูงแทงท่ี i

46 – 55 ............ 56 - 65 ............ 66 - 75 ............ 76 - 85 ............ 86 - 95 ............ 96 - 105 ............

3. นําคาตางๆที่ไดมาเขียนเปนฮิทโทแกรม ดังรูป

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

4. นําฮิทโทแกรมที่ไดมาเขียนรูปหลายเหลี่ยมความถี่ โดยหาจุดกึ่งกลางชั้นและลากเสนเชื่อมจุดดังกลาว ดังรูป

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………


- 16 -

5. นํานําฮิทโทแกรมที่ไดมาเขียนรูปหลายเหลี่ยมความถี่ โดยหาจุดกึ่งกลางชั้นและลากเสนเชื่อมจุดดังกลาว ดังรูป ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

จากโคงความถี่(หรือโคงความถี่สัมพัทธ) ที่บอกใหทราบถึงลักษณะการแจกแจงความถี่ (หรือความถี่สัมพัทธ) ของขอมูล สามารถแบงตามรูปรางไดหลายชนิด ดังน้ี

1. รูปสมมาตรหรือระฆัง (Symmetrical หรือ Bell-shaped) ไดแกโคงที่มียอดซึ่งแสดงความถี่สูงสุดอยูตรงกลางพอดี และหาก พับคร่ึงโคง ณ จุดดังกลาวปลายโคงทั้งสองดานจะทับกันพอดี ซ่ึงหมายความวามีความถี่เทากันน่ันเอง ขอมูลสวนมากมีการแจกแจงดวยโคงรูปน้ี โดยเฉพาะอยางยิง่ที่เรียกวา โคงปกต ิ(Normal Curve)

2. รูปไมสมมาตรหรืเบ (Moderate Asymmetrical หรือ Skewed) ไดแกโคงที่มีปลายดานใดดานหน่ึงลาดยาวกวาอีกดานหน่ึง โดยถาปลายดานหนึ่งลาดยาวไปทางขวาจะกลาววา เบขวา (Skewed to the right) หรือความเบเปนบวก (Positive Skewness) และถาปลายดานหน่ึงลาดยาวไปทางซายจะกลาววา เบซาย (Skewed to the left) หรือความเบเปนลบ (Negative Skewness)

3. รูปตัว J หรือ J กลับ (J shaped หรือ Reverse J shaped) ไดแกโคงที่ความถี่สูงสุดอยูที่ปลายดานใดดานหน่ึง 4. รูปตัว U (U shaped) ไดแกโคงที่ความถี่สูงสุดอยูที่ปลายทั้งสองดาน 5. โคงสองยอด (Binodal) ไดแกโคงที่มีความถี่สูง 2 คา 6. โคงหลายยอด (Mutiinodal) ไดแกโคงที่มีความถี่สูงหลายคา ซ่ึงโคงความถี่สามารถสังเกตไดจากรูปตอไปน้ี

รูปสมมาตรหรือระฆัง

t

f(t)

เบขวา

โคงสองยอด

t

f(t)

เบซาย

รูปตัว J

โคงหลายยอด

รูปตัว J กลับ

รูปตัว U


- 17 -

ตารางแจกแจงความถี่สะสม ในบางกรณีเราไมไดมุงความสนใจจํากัดเพียงความถี่ของแตละชั้นของขอมูล แตสนใจความถี่ทั้งหมดของทุกคาของขอมูลที่มีคานอยกวาหรือนอยกวาคาขอบเขตของชั้นใดชั้นหน่ึงโดยเรียกความถี่ที่ไดน้ีวา ความถี่สะสม และเรียกตารางที่ไดวา ตารางแจกแจงความถี่สะสม ซ่ึงเราสามารถแจกแจงความถี่สะสมได 2 วิธี ดังน้ี

1. การแจกแจงความถี่สะสมชนิดนอยกวา เปนการแจกแจงในรูปตารางที่แสดงถึงความถี่สะสมของขอมูลทุกคาที่มีคานอยกวาขอบ เขตบนของแตละชั้น และจากตารางการแจก

แจงจํานวนลูกคาที่เขามาใชบริการที่รานคาแหงหน่ึงระหวางเวลา 17.00-18.00 น. รวม 120 วัน สามารถสรางตารางแจกแจงความถี่สะสมชนิดนอยกวาดังตอไปน้ี

2. การแจกแจงความถี่สะสมชนิดมากกวา เปนการแจกแจงในรูปตารางที่แสดงถึงความถี่สะสมของขอมูลทุกคาที่มีคามากกวาขอบเขตลางของแตละชั้น และจากตารางการแจก

แจงจํานวนลูกคาที่เขามาใชบริการที่รานคาแหงหน่ึงระหวางเวลา 17.00-18.00 น. รวม 120 วัน สามารถสรางตารางแจกแจงความถี่สะสมชนิดนอยกวาดังตอไปน้ี

1.3.2 การวัดแนวโนมเขาสูสวนกลาง

การวัดแนวโนมเขาสูสวนกลางของขอมูลน้ัน เปนการหาตัวแทนของขอมูล โดยคํานวณบนขอบเขตของขอมูล ซ่ึงตัวแทนของขอมูลดังกลาวมีอยูหลายคาดวยกนัดังน้ี

1. คาเฉลีย่ (Mean) ประกอบดวย

- คาเฉลีย่เลขคณิต (Arithematic Mean) - คาเฉลีย่เรขาคณิต (Geometric Mean) - คาเฉลีย่ฮารโมนิค (Harmonic Mean)

2. มัธยฐาน (Median) 3. ฐานนิยม (Mode)

คาเฉลี่ย

คาเฉลีย่ เปนคากลางของขอมูลชนิดหน่ึงที่นิยมนํามาเปนตัวแทนของขอมูล นิยมแทนดวย X สําหรับคาเฉลี่ยของตัวอยาง และ μ สําหรับคาเฉลี่ยของประชากร ซ่ึงสามารถจําแนกคาเฉลี่ยออกเปน 3 รูปแบบ ดังน้ี

คาเฉลี่ยเลขคณิต (Arithematic Mean) เปนคาเฉลีย่ที่นิยมใชมากที่สุด เพราะมีคุณสมบัติของตัวประมาณที่ดี สามารถคํานวณไดตามลักษณะของขอมูลดังน้ี

- สําหรับขอมูลท่ีไมไดแจกแจงความถี่

ให iX แทนคาของขอมูลตัวที่ i จะไดวาสูตรที่ใชในการคํานวณคาเฉลีย่เลขคณิต คือ

n

XX

n

1ii∑

= = โดยที่ n เปนขนาดของขอมูล


- 18 -

ตัวอยางท่ี 1.6 กําหนดให { }20,17,13,7,5,3,1A = , { }20,5,1B = , { }20,13,7,5C =

และ { }20,17,13,7,1D = เปนเซตของขอมูล 4 ชุด จงหาคาเฉลีย่เลขคณิตสําหรับขอมูลทั้ง 4 ชุดดังกลาว

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

- สําหรับขอมูลท่ีแจกแจงความถี ่และไมจัดเปนอันตรภาคชั้น ลักษณะของขอมูล

ขอมูล ( iX ) ความถี่ ( if )

1X 1f

2X 2f

.

.

.

.

.

.

mX mf

ถาตองการคํานวณคาเฉลี่ยเลขคณติสามารถดําเนินการไดดังน้ี

ให iX แทนคาของขอมูลตัวที่ i จะไดวาสูตรที่ใชในการคํานวณคาเฉลีย่เลขคณิต คือ

∑

∑=

=

=m

1ii

m

1iii

f

XfX

โดยที่ ∑==

m

1iifn เปนขนาดของขอมูล

ตัวอยางท่ี 1.7 จากขอมูลในตารางตอไปน้ี จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต


2 3 5 8 9 10 13 7 18 2


- 19 -

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

- สําหรับขอมูลท่ีแจกแจงความถี่ และจัดเปนอันตรภาคชั้น ลักษณะของขอมูล ดังตาราง

อันตรภาคชั้น ความถี่ ( if ) iX

11 UL − 1f

2

ULX 11

1+

=

22 UL − 2f

2

ULX 22

2+

=

.

.

.

.

.

.

.

.

.

mm UL − mf

2

ULX mm

m+

=

โดยที่ ii U,L เปนขีดจํากัดลาง และขีดจํากัดบน ชั้นที่ i ตามลําดับ

ถาตองการคํานวณคาเฉลี่ยเลขคณติสามารถดําเนินการไดดังน้ี

ข้ันที่ 1 หาตัวแทนของแตละอันตรภาคชั้น แทนดวย 2

ULX ii

i

+=

ข้ันที่ 2 คํานวณคาเฉลี่ยเลขคณิต จากสูตร

∑

∑=

=

=m

1ii

m

1iii

f

XfX

โดยที่ ∑==

m

1iifn เปนขนาดของขอมูล

ตัวอยางท่ี 1.8 ในการศึกษามลภาวะของอากาศ ในเขตชุมชนที่มีรถหนาแนนของจังหวัดตางๆ โดยสุมตัวอยางอากาศจังหวัดละ 1 ลูกบาศกเมตร บันทึกปริมาณจุลวัตถุ ไดดังตาราง

ปริมาณจุลวัตถุ(ไมโครกรัม) 10-19.9 20-29.9 30-39.9 40-49.9 50-59.9 60-69.9 70-79.9

จํานวนจงัหวัด 7 25 15 12 9 4 3

จงหาปริมาณจุลวตัถุเฉลี่ย โดยใชคาเฉลี่ยเลขคณิต วิธีทํา


- 20 -

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… คาเฉลี่ยแบบถวงน้ําหนัก (Weight Arithmatic Mean) ถามีขอมูลที่แตละตัวมีนํ้าหนักที่แตกตางกัน ดังตาราง

ขอมูลชุดท่ี ขอมูล ( iX ) น้ําหนัก

1 1X 1W

2 2X 2W . . .

.

.

.

.

.

.

k kX kW

สามารถคํานวณคาเฉลี่ยถวงนํ้าหนัก ดังน้ี

∑

∑

=

==++++++

= k

1ii

k

1iii

k21

kk2211W

W

XW

W...WW

XW...XWXWX

โดยที่ WX เปน คาเฉลี่ยถวงนํ้าหนัก iX เปนคาเฉลี่ยขอมูลตัวที่ i iW เปนนํ้าหนักขอมูลตัวที่ i k เปนจํานวนขอมูลทั้งหมด

ตัวอยางท่ี 1.9 นักศึกษาหลักสูตรวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร คนหนึ่งไดรับการประเมินเกรดในภาคเรียนที่ 1/2549 ดงัตาราง จงคํานวณเกรดเฉลี่ยของนักศึกษาคนนี้

ลําดับ รายวชิา หนวยกิตรวม เกรด

1 การเขียนรายงานและการใชหองสมุด 3 A

2 ภาษาอังกฤษ 1 3 B

3 ฟสิกส 1 3 D+

4 เรขาคณิตวิเคราะห 3 C

5 เคมีทั่วไป 3 C+

6 วิทยาการคอมพิวเตอรเบื้องตน 3 C+

7 การเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร 1 3 C+

8 พลศึกษา 1 A

วิธีทํา


- 21 -

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… คาเฉลี่ยเลขคณิตรวม (Combination Arithmatic Mean) ถามีขอมูลประเภทเดียวกัน หลายชุด ซ่ึงแตละชุดไดทําการคํานวณคาเฉลีย่ไวแลว ดังตาราง

ขอมูลชุดท่ี ขนาดตัวอยาง ( in ) คาเฉลี่ยแตละชุด ( iX ) in iX

1 1n 1X 1n 1X

2 2n 2X 2n 2X

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. k kn kX kn kX

สามารถคํานวณคาเฉลี่ยเลขคณิตรวม ดังน้ี

∑

∑=

++++++

=

=

=k

1ii

k

1iii

k21

kk2211com

n

Xn

n...nn

Xn...XnXnX

โดยที่ comX เปนคาเฉลี่ยรวม

iX เปนคาเฉลี่ยขอมูลชุดที่ i in เปน ขนาดขอมูลชุดที่ i k เปน จํานวนชุดขอมูลทั้งหมด ตัวอยางท่ี 1.10 โรงงานแหงหน่ึง มีการแบงงานเปน 8 แผนก แตละแผนกมีรายไดเฉลี่ย และจํานวนพนักงานดังตาราง

แผนก จํานวนพนักงาน รายไดเฉล่ีย (พันบาท)

A 500 12.50 B 200 15.05 C 120 17.00 D 80 18.50 E 50 19.00 F 30 21.50 G 20 24.00 H 5 30.50

จงคํานวณรายไดเฉลี่ยของโรงงานแหงน้ี โดยใชคาเฉลีย่เลขคณิต วิธีทํา


- 22 -

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……

คาเฉลี่ยเรขาคณิต (Geometric Mean) เปนคากลางของขอมูลที่คํานวณจากรากที่ n ของผลคูณทุกๆคาของขอมูล สามารถ

คํานวณไดดังน้ี

nn

1ii

nn21G XX...XXX ∏

=== โดยที่ iX คือคาของขอมูลคาที่ i


และ { }20,17,13,7,1D = เปนเซตของขอมูล 4 ชุด จงหาคาเฉลีย่เรขาคณิตสําหรับขอมูลทั้ง 4 ชุดดังกลาว

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ……………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… สําหรับขอมูลอยูในรูปตารางแจกแจงความถี่ สามารถคํานวณคาเฉลีย่เรขาคณิต จากสูตร


- 23 -

n kfk

2f2

1f1G X...XXX = โดยที่ ∑

==

k

1iifn

คาเฉลี่ยฮารโมนิค (Harmonic Mean) เปนคาแนวโนมเขาสูสวนกลางที่สําคัญในงานทางดานฟสิกส และวิศวกรรมศาสตร สามารถคํานวณคาเฉลี่ยฮารโมนิค จากสูตร

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

1i i

H

X

1

nX


และ { }20,17,13,7,1D = เปนเซตของขอมูล 4 ชุด จงหาคาเฉลีย่ฮารโมนิคสําหรับขอมูลทั้ง 4 ชุดดังกลาว

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ……………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

มัธยฐาน มัธยฐาน เปนคากลางของขอมูลอีกชนิดหน่ึงที่ใหความสําคัญกับตําแหนงของขอมูลเปนสําคัญ น่ันคือ คามัธยฐานตองอยูตําแหนงตรงกลางของขอมูลทั้งหมดที่ถูกเรียงลําดบัจากคานอยไปมาก หรือจากคามากไปนอย สําหรับแนวทางการคํานวณสามารถดําเนินการไดดังตอไปน้ี

- สําหรับขอมูลท่ีไมไดแจกแจงความถี่ 1. จํานวนขอมูลเปนจํานวนคี่ สามารถหามัธยฐานตามขั้นตอนตอไปน้ี

ข้ันที่ 1 เรียงขอมูลจากคานอยไปคามาก (หรือตรงกันขาม)

ข้ันที่ 2 คํานวณตําแหนงมัธยฐาน จาก ตําแหนงมัธยฐาน = 2

1n +

เม่ือ n เปนจํานวน ขอมูลทั้งหมด ข้ันที่ 3 หามัธยฐาน โดยนําตําแหนงที่คํานวณไดในข้ันที่ 2 เทียบกับขอมูล ที่เรียงลําดับใน ข้ันที่ 1 น่ันคือ ขอมูลตัวใดที่อยูในตําแหนง

2

1n + คือ มัธยฐาน

เชน ขอมูล 3 , 7 , 5 , 2 , 1 , 6 , 6 สามารถคํานวณมัธยฐาน ดังน้ี


- 24 -

ข้ันที่ 1 เรียงขอมูลจากคานอยไปคามาก 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 6 , 7

ข้ันที่ 2 คํานวณตําแหนงมัธยฐาน

จะไดวา ตําแหนงมัธยฐาน = 42

17=

+

ข้ันที่ 3 หามัธยฐาน เน่ืองจาก ตําแหนงมัธยฐานเทากับ 4 ซ่ึงตรงกับคาขอมูล คือ 5 ดังน้ัน มัธยฐานของขอมูลชุดน้ี คือ 5

2. จํานวนขอมูลเปนจํานวนคู ดําเนินการเชนเดียวกับกรณีจํานวนขอมูลเปนเลขคี่เพียงแตกรณจํีานวนขอมูลเปนจํานวนคู น้ัน คาตําแหนงที่คํานวณไดจะอยูระหวางคาของขอมูลสองคา ดังน้ัน การหามัธยฐานจึงจําเปนตองนําคาของขอมูลทั้งสองมาเฉลีย่ ดังตัวอยาง

เชน ขอมูล 10 , 15 , 5 , 7 , 13 , 15 , 9 , 20 สามารถคํานวณมัธยฐาน ดังน้ี ข้ันที่ 1 เรียงขอมูลจากคานอยไปคามาก

5 , 7 , 9 , 10 , 13 , 15 , 15 , 20 ข้ันที่ 2 คํานวณตําแหนงมัธยฐาน

จะไดวา ตําแหนงมัธยฐาน = 5.42

18=

+

ข้ันที่ 3 หามัธยฐาน เน่ืองจาก ตําแหนงมัธยฐานเทากับ 4.5 ซ่ึงอยูระหวาง คาขอมูล คือ 10 และ 13

ดังน้ัน มัธยฐานของขอมูลชุดน้ี คือ 5.112

1310=

+

- สําหรับขอมูลท่ีแจกแจงความถี ่และไมจัดเปนอันตรภาคชั้น ลักษณะของขอมูล ดังตาราง

ขอมูล ( iX ) ความถี่ ( if ) ความถี่สะสม ( fc )

1X 1f 1f

2X 2f 1f + 2f . . .

.

.

.

.

.

.

mX mf ∑=

m

1iif

สําหรับการคํานวณคามัธยฐานสามารถดําเนินการเชนเดียวกับการคํานวณมัธยฐานกรณีขอมูลไมไดแจกแจงความถี่ เพียงแตในกรณีน้ี ขอมูลถูกเรียงลําดับกอนแลว ดังน้ัน จึงดําเนินการคํานวณตําแหนงมัธยฐาน และหาความถี่สะสม หลังจากนั้นนําตําแหนงที่ไดไปเทียบกับความถี่สะสม ตัวอยางท่ี 1.13 จากขอมูลดังตารางตอไปน้ี จงหามัธยฐาน


5 3 7 7 12 9 14 5 20 2 25 2 28

วิธีทํา


- 25 -

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ……………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

- สําหรับขอมูลท่ีแจกแจงความถี ่และจัดเปนอันตรภาคชั้น ลักษณะของขอมูล ดังตาราง

อันตรภาคชั้น ความถี่ ( if ) ความถี่สะสม ( fc )

11 UL − 1f 1f

22 UL − 2f 1f + 2f

.

.

.

.

.

.

.

.

.

mm UL − mf ∑=

m

1iif

โดยที่ ii U,L เปนขีดจํากัดลาง และขีดจํากัดบน ช้ันที่ i ตามลําดับ

สําหรับการคํานวณมัธยฐาน สามารถดําเนินการดังน้ี ข้ันที่ 1 หาขอบเขตจํากัดชั้น จาก

ขอบเขตจํากัดลางชั้นที่ i = 2

LU i1i +− ขอบเขตจํากัดบนช้ันที่ i = 2

LU 1ii ++

ข้ันที่ 2 หาความถี่สะสม (ในตารางหลักที่3)

ข้ันที่ 3 คํานวณตําแหนงมัธยฐาน จะไดวา ตําแหนงมัธยฐาน = 2

n

ข้ันที่ 4 นําตําแหนงมัธยฐานที่ไดไปเทียบความถี่สะสม เพ่ือหาชั้นที่มัธยฐานอยู ข้ันที่ 5 หามัธยฐาน จากสูตร

If

cf2

n

LMdMd

L ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

+=

โดยที่ Md เปนมัธยฐาน L เปนขอบเขตจํากัดลางของชั้นที่มัธยฐานอยู n เปนจํานวนขอมูล

Mdf เปนความถี่ของช้ันที่มัธยฐานอยู I เปนความกวางของชั้นที่ฐานนิยมอยู ตัวอยาง 1.14 ในการวัดระดับความสามารถทางสติปญญา (I.Q.) ของนักเรียนหองหน่ึงบันทึกคาสังเกต ดังตาราง จงหามัธยฐาน


- 26 -

I.Q. 46-55 56-65 66-75 76-85 86-95 96-105

จํานวนนกัเรียน 3 4 8 9 4 2

วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ……………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ฐานนิยม เปนคากลางของขอมูลอีกชนิดหน่ึง โดยจะใหความสําคัญกับขอมูลที่มีความถี่สูงสุด ซ่ึงการหาฐานนิยมน้ันสามารถดําเนินการไดดังตอไปน้ี

- สําหรับขอมูลท่ีไมไดแจกแจงความถี่ ฐานนิยม คือ คาของขอมูลที่มีซํ้าครั้งมากที่สุด หรือสําหรับขอมูลที่แจก

แจงความถี่ แตไมจัดเปนอันตรภาคชั้น ฐานนิยม คือ คาของขอมูลที่มีความถี่สูงสุด เชน ขอมูล 5 , 3 , 2 , 7 , 4 , 3 , 5 , 3 , 4

ฐานนิยม คือ 3 เน่ืองจากมีคาซํ้ากัน 3 คร้ัง ขอมูล 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 3 , 4 , 5 ฐานนิยม คือ 3 , 4 , 5 เน่ืองจากมีคาซํ้ากันเทากัน 2 คร้ัง

ขอมูล 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ไมมีฐานนิยม เน่ืองจากขอมูลมีคาซํ้ากันเทากันทุกคา และถาขอมูลที่ตองการหาฐานนิยมอยูในรูปตาราง ดังตอไปน้ี


5 3 7 7 12 9 14 5 20 2 25 2

ฐานนิยม คือ 12 เน่ืองจากมีความถี่สูงสุด คือ 9

- สําหรับขอมูลท่ีแจกแจงความถี ่และจัดเปนอันตรภาคชั้น


- 27 -

สามารถคํานวณฐานนิยม จากสูตร

( ) ( )I

ffff

ffLMod

hmaxlmax

lmax⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−

−+=

โดยที่ Mod เปนฐานนิยม L เปนขอบเขตจํากัดลางของชั้นที่ฐานนิยมอยู lf เปนความถี่ของช้ันกอนชั้นที่ฐานนิยมอยู

maxf เปนความถี่ของช้ันที่ฐานนิยมอยู hf เปนความถี่ของชั้นหลังชั้นที่ฐานนิยมอยู และ I เปนความกวางของชั้นที่ฐานนิยมอยู ตัวอยางท่ี 1.15 จากตัวอยาง 1.14 ของนักเรียน จงหาฐานนิยม วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ……………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ความสัมพันธระหวางคากลางทั้ง 3 ชนิด

1. ถาคากลางทัง้สามมีคาเทากัน น่ันคือ ModMdX == จะไดวา เสนโคงการแจกแจงของขอมูลจะมีลักษณะสมมาตร

(Symmetry) สามารถแสดงดังรูป

2. ถาคาเฉลี่ยมากที่สุดและคาฐานนิยมมีคานอยที่สุด น่ันคือ ModMdX >> จะไดวา เสนโคงการแจกแจงของขอมูลจะมี

ลักษณะเบขวา สามารถแสดงดังรูป

3. ถาคาเฉลี่ยนอยที่สุดและคาฐานนิยมมีคามากที่สุด น่ันคือ ModMdX << จะไดวา เสนโคงการแจกแจงของขอมูลจะมี

ลักษณะเบซาย สามารถแสดงดังรูป

นอกจากนี้ ยังสามารถเขียนสมการความสัมพันธของท้ัง 3 คา ไดดังน้ี


- 28 -

( )MdX3ModX −=−

สําหรับขอมูลชุดหน่ึง ถาตองการทราบคากลางของขอมูล เพ่ือใชเปนตัวแทนของขอมูลชุดน้ันๆ ส่ิงที่ตองคํานึงถึงตอไปน้ี คือ 1. ถาขอมูลมีลักษณะสมมาตร ใชคากลางใดก็ไดเปนตัวแทนของขอมูล 2. ถาขอมูลมีลักษณะไมสมมาตร ควรใชมัธยฐานเปนตัวแทนของขอมูลเพราะคามัธยฐานเปนคาที่อยูระหวาง คาเฉลี่ย และฐาน

นิยม 1.3.3 การวัดการกระจายของขอมลู (Measure of Variation) ในการหาขอสรุปใหกับขอมูลโดยใชคากลางของขอมูลเพียงอยางเดียว อาจจะไมเพียงพอที่จะใชเปนขอสรุปที่ดีไดสําหรับบางสถานการณ เชน

ขอมูลชุดที่ 1 5 5 6 7 8 ขอมูลชุดที่ 2 1 2 3 2 23 ขอมูลชุดที่ 3 0.75 0.25 0.25 14.5 15.25

พบวา คาเฉลี่ยของขอมูลทั้งสามชุดมีคาเทากัน คือ 6.83 แตถาสังเกตจะเห็นวา ขอมูลชุดที่ 1 มีคาใกลเคียงกัน สวนขอมูลชุดที่ 2 ขอมูลมีบางคาที่แตกตางจากคาจากคาอื่นๆ และสวนขอมูลชุดที่ 3 ขอมูลบางสวนมีคามาก บางสวนมีคานอย ซ่ึงลักษณะของขอมูลดังกลาวนี้จะเรียกวา การกระจายของขอมูล สามารถพิจารณาไดหลายคาดังตอไปน้ี

1. พิสัย (Range) 2. สวนเบ่ียงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation or Average Deviation : A.D.) 3. ความแปรปรวน (Variance) และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : s or S.D.) 4. สัมประสิทธิ์ความแปรผัน (Coefficient of Variation) 5. พิสัยควอไทล (Inter Quartile Range)

ซ่ึงสามารถพิจารณารายละเอยีดดังน้ี พิสัย

พิสัยเปนการวัดการกระจายของขอมูลที่งาย และใหรายละเอียดนอยที่สุด สามารถคํานวณจากการนําคามากที่สุดลบดวยคานอยที่สุด แทนดวยสัญลักษณ Range ดังน้ี

minmax XXRange −=

โดยที่ Range เปนพิสัย minX เปนคาต่ําสุดของขอมูล และ maxX เปนคาสูงสุดของขอมูล

สําหรับขอมูลที่จัดใหอยูในรูปอันตรภาคชั้น สามารถคํานวณพิสัยไดดังน้ี

minmax LURange −=

โดยที่ Range เปนพิสัย minL เปนขีดจํากัดลางของชั้นต่ําที่สุด และ maxU เปนขีดจํากัดบนของชั้นสูงที่สุด

ซ่ึงการใชพิสัยในการวัดการกระจายของขอมูลสามารถทําไดสําหรับกรณีที่ตองการความรวดเร็วและไมตองการความละเอียดมาก หรือตองการวัดการกระจายคราวๆ เทาน้ัน สําหรับกรณีตองการความละเอียดมากๆไมควรใชพิสัยในการวัดการกระจายของขอมูล ควรเลือกใชการวัดการกระจายดวยคาอื่นๆที่จะกลาวถึงตอไป

สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย สวนเบ่ียงเบนเฉลี่ยเปนการวัดการกระจายที่ใชวัดคาที่เบ่ียงเบนไปจากคาเฉลี่ย น่ันคือ ถาขอมูลเบ่ียงเบนไปจากคาเฉลี่ยมีคามาก แสดงวาสวนเบ่ียงเบนเฉลี่ยมีคามาก และถาขอมูลเบ่ียงเบนไปจากคาเฉลี่ยมีคานอย แสดงวาสวนเบ่ียงเบนเฉลี่ยมีคานอยดวย การไดมาซึ่งสวนเบ่ียงเบนเฉลี่ย ดําเนินการโดยการหาผลรวมของคาสมบูรณของผลตางระหวางคาของขอมูลกับคาเฉลี่ยของขอมูล มักนิยมแทนดวย A.D. และคํานวณตามลักษณะของขอมูลตอไปน้ี

- สําหรับขอมูลท่ีไมไดแจกแจงความถี่ สามารถคํานวณสวนเบ่ียงเบนเฉลี่ย จากสูตรตอไปดังน้ี

n

XX.D.A

n

1ii∑

=−

=

โดยที่ iX เปนคาของขอมูลคาที่ i และ n เปนขนาดของขอมูล

- สําหรับขอมูลท่ีไดแจกแจงความถี่ สามารถคํานวณสวนเบ่ียงเบนเฉลี่ย จากสูตรตอไปดังน้ี


- 29 -

n

XXf.D.A

n

1iii∑

=−

=

โดยที่ iX เปนคาของขอมูลตัวที่ i หรือคากึ่งกลางของชั้นที่ i (2

LUX ii

i+

= ) และn เปนขนาดของขอมูล

ความแปรปรวน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน เปนคาที่ใชในการวัดการกระจายที่นิยมใชมากที่สุดคาหน่ึง สามารถดําเนินการคํานวณโดยการหาผลรวม

กําลังสองของผลตางระหวางระหวางคาของขอมูลกับคาเฉลี่ยของขอมูล มักนิยมแทนดวย 2σ สําหรับความแปรปรวนประชากร และ 2s สําหรับความแปรปรวนตัวอยาง และคํานวณตามลักษณะของขอมูลตอไปน้ี

- สําหรับขอมูลท่ีไมไดแจกแจงความถี่ สามารถคํานวณสวนเบ่ียงเบนเฉลี่ย จากสูตรตอไปดังน้ี

( )n

XXs

n

1i

2i

2∑=

−=

โดยที่ iX เปนคาของขอมูลคาที่ i , X เปนคาเฉลี่ยของขอมูล และ n เปนขนาดของขอมูล

- สําหรับขอมูลท่ีแจกแจงความถี ่และไมจัดเปนอันตรภาคชั้น ลักษณะของขอมูล ดังตาราง


1X 1f

2X 2f

.

.

.

.

.

.

mX mf

ถาตองการคํานวณสามารถสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานดําเนินการไดดังน้ี

( )n

XXfs

m

1i

2ii

2∑=

−=

โดยที่ iX เปนคาของขอมูลคาที่ i , X เปนคาเฉลีย่ของขอมูล ,

if เปนความถี่ของขอมูลตัวที่ i ( m,...,3,2,1i = ) และ n เปนขนาดของขอมูล

- สําหรับขอมูลท่ีแจกแจงความถี่ และจัดเปนอันตรภาคชั้น ลักษณะของขอมูล ดังตาราง

อันตรภาคชั้น ความถี่ ( if ) iX

11 UL − 1f

2

ULX 11

1+

=

22 UL − 2f

2

ULX 22

2+

=

.

.

.

.

.

.

.

.

.

mm UL − mf

2

ULX mm

m+

=

โดยที่ ii U,L เปนขีดจํากัดลาง และขีดจํากัดบน ช้ันที่ i ตามลําดับ

ถาตองการคํานวณสามารถสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานดําเนินการไดดังน้ี


- 30 -

( )n

XXfs

m

1i

2ii

2∑=

−=

โดยที่ iX เปนคากึ่งกลางของชั้นที่ i (2

LUX ii

i+

= ) , X เปนคาเฉลี่ยของขอมูล ,

if เปนความถี่ของขอมูลตัวที่ i ( m,...,3,2,1i = ) และ n เปนขนาดของขอมูล

นอกจากการใชความแปรปรวนเปนคาที่ใชวัดการกระจายของขอมูลแลว ยังสามารถใชรากที่สองของความแปรปรวนวัดความแปรปรวนของขอมูลไดดวย ซ่ึงคาดังกลาจะเรียกชื่อเฉพาะวาสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน แทนดวย s หรือ .D.S ซ่ึงสามารถคํานวณไดดังน้ี

( )n

XXs

n

1i

2i∑

=−

= หรือ ( )

n

XXfs

m

1i

2ii∑

=−

=

สัมประสิทธความแปรผัน

สําหรับการวัดการกระจายของขอมูลน้ัน ถาขอมูลที่ตองการเปรียบเทียบ มีหนวยเหมือนกัน หรืออยูในหนวยการวัดชนิดเดียวกัน เชน ขอมูลชุดที่ 1 เปนรายไดตอเดือนของคนไทยชนบท (บาท) และขอมูลชุดที่ 2 เปนรายไดตอเดือนของคนไทยในเมือง (บาท) ในการเปรียบเทียบการกระจายของขอมูลชุดที่ 1 และ 2 สามารถใชพิสัย สวนเบ่ียงเบนเฉล่ีย และความแปรปรวน (หรือสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน) ได แตถามีขอมูลชุดที่ 3 เปนรายไดของคนอเมริกันชนบท (ดอลลาร) ในการเปรียบเทียบการกระจายของรายไดคนไทยชนบท กับคนอเมริกันชนบท ไมสามารถใชพิสัย สวนเบ่ียงเบนเฉลี่ย และความแปรปรวน (หรือสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน) ได เพราะวาหนวยของเงินของสองประเทศมีคาไมเทากัน หรือถาขอมูลชุดที่ 1 เปนความสูงของนักศึกษาวิศวกรรมเครื่องกล (เซ็นติเมตร) และขอมูลชุดที่ 2 เปนนํ้าหนักของนักศึกษาวิศวกรรมเครื่องกล (กิโลกรัม) ในการเปรียบเทียบการกระจายของขอมูลชุดที่ 1 และ 2 ไมสามารถใชพิสัย สวนเบ่ียงเบนเฉลี่ย และความแปรปรวน (หรือสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน) ไดเชนกัน จําเปนที่เราตองหาคาที่ใชในการเปรียบเทียบคาการกระจายของขอมูลต้ังแตสองชุดข้ึนไป และคาดังกลาวน้ีตองถูกกําจัดหนวยออกไป ซ่ึงจะเรียกวา สัมประสิทธความแปรผัน แทนดวย .V.C สําหรับการเปรียบเทียบทํานองเดียวกับคาการกระจายอื่นๆ น่ันคือ ถาขอมูลชุดใดมี สัมประสิทธความแปรผัน มาก แสดงวาขอมูลมีการกระจายมากกวาขอมูลที่มี สัมประสิทธความแปรผัน นอย สามารถคํานวณไดดังน้ี

X

s.V.C = หรือ 100

X

s.V.C% ×=

ตัวอยางท่ี 1.16 สุมตัวอยางนักเศรษฐศาสตรมา 8 คน เพ่ือใหประมาณอัตราการวางงานปหนา ไดคําตอบดังน้ี 6.2 7.9 7.6 7.3 6.4 5.7 6.8 6.9

จงหา 1. คาเฉลีย่เลขคณิต 2. มัธยฐานของขอมูล 3. สวนเบ่ียงเฉลี่ย 4. ความแปรปรวน และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 5. สัมประสิทธิ์ความแปรผัน

วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 31 -

…………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ……………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ……………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………… ตัวอยางท่ี 1.17 จากตารางแจกแจงความถี่ตอไปน้ี


2 3 5 8 9 10 13 7 18 2

จงหา 1. คาเฉลี่ยเลขคณิต 2. มัธยฐานของขอมูล 3. สวนเบ่ียงเฉลี่ย 4. ความแปรปรวน และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 5. สัมประสิทธิ์ความแปรผัน

วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ……………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 32 -

…………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ……………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………… ตัวอยางท่ี 1.18 จากตารางแจกแจงความถี่ของคาแรงงานรายวันของคนงาน 70 คน ดังน้ี

คาแรงตอวัน(บาท) จํานวนคนงาน

150 - 159.99 7 160 - 169.99 11 170 - 179.99 15 180 - 189.99 15 190 - 199.99 10 200 - 209.99 8 210 - 219.99 4

จงหา 1. คาเฉลี่ยเลขคณิต 2. สวนเบ่ียงเฉลี่ย 3. ความแปรปรวน และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 4. สัมประสิทธิ์ความแปรผัน

วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ……………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ……………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

1.3.4 คะแนนมาตรฐาน (Standard Score) สําหรับขอมูลโดยทั่วไป มักเกิดจากการวัดในรูปแบบตางๆ ข้ึนอยูกับ วัตถุประสงคในการใชงาน เชน คะแนนสอบของนักศึกษาสําหรับ


- 33 -

งานทางการศึกษา เวลากอนที่จะเกิดของเสียสําหรับงานทางวิศวกรรมศาสตร อัตราการเจริญเติบโตของพืชสําหรับงานทางเกษตรศาสตร และยอดขายแตละเดือนสําหรับงานทางบริหารธุรกิจ เหลาน้ีเปนตน ซ่ึงขอมูลที่ไดดังกลาวจะถูกบันทึกในรูปคะแนนดิบ (Raw Score) หรือขอมูลดิบ

แทนดวยสัญลักษณ iX และถาตองการเปรียบเทียบขอมูลต้ังแตสองคาข้ึนไป บนพ้ืนฐานขอมูลชุดเดียวกันน้ัน เชน คะแนนสอบกลางภาควิชา

สถิติของนักศึกษาวิศวกรรมศาสตร มหาวิทยาลัยแหงหน่ึง ในภาคเรียนที่ 2/2549 สามารถเปรียบเทียบขอมูลขางตนได โดยใชขอมูลดิบพิจารณาเทียบคาตามหลักการทางคณิตศาสตร แตสําหรับการเปรียบเทียบขอมูลต้ังแตสองคาข้ึนไป ที่มีพ้ืนฐานที่แตกตางกัน เชน ผลการสอบกลางภาคเรียนที่ 1/2549 ของนายภักดี วิชาภาษาไทยไดคะแนน 74 คะแนน และวชิาภาษาอังกฤษ 59 คะแนน ถาพิจารณาจากคะแนนดิบ อาจสรุปไดวา นายภักดี มีผลการเรียนวิชาภาษาไทยดีกวาวิชาภาษาอังกฤษ ซ่ึงเปนการสรุปผลท่ีอาจเกิดความผิดพลาดขึ้นได เน่ืองจากคะแนนดังกลาวไดมาจากการวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนสองวิชา ซ่ึงถือวาขอมูลมีพ้ืนฐานการไดมาที่แตกตางกัน ดังน้ัน มีความจําเปนอยางยิ่งที่จะตองพิจารณาสวน

การคํานวณอื่นของแตละชุดขอมูลเพ่ือนํามาชวยในการตัดสินใจดังกลาว และสําหรับในที่น้ีจะพิจารณา คาเฉลีย่ ( X ) และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน

( .D.S ) โดยพิจารณาถึงความเบ่ียงเบนของคะแนนดิบกับคาเฉลี่ย XX i − ซ่ึงเรียกวาคะแนนเบี่ยงเบน (Deviation Score) และเม่ือหาร

คะแนนเบ่ียงเบนดวยสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน ทําใหไดคาที่เรียกวา คะแนนมาตรฐาน แทนดวยสัญลักษณ z มักนิยมเรียกวา คะแนนมาตรฐาน z ซ่ึงสามารถคํานวณไดจากสูตร

.D.S

XXz i −=

คา z ที่ไดสามารถมีไดทั้งคาลบ และคาบวก ซ่ึงถาตองการใหเกิดความสะดวกในเรื่องการเปรียบเทียบ สามารถดําเนินการตอโดยใชสูตรคํานวณ 50z10T +=

โดยที่คา T เรียกวาคะแนนมาตรฐานเชนกันแตโดยทั่วไปจะเรียกชื่อเฉพาะวา คะแนนมาตรฐาน T และเพ่ือใหเกิดความเขาใจยิ่งข้ึน สามารถพิจารณาตัวอยางตอไปน้ี ตัวอยางท่ี 1.19 ในการตรวจสอบประสิทธิภาพในการทํางานของคนงาน 12 คน ที่เขาทํางานในกะกลางคืน โดยพิจารณาจากชิ้นงานที่ผานมาตรฐาน ไดผลดังตอไปน้ี

5 8 6 7 10 5 8 6 9 5 7 12

จงคํานวณคะแนนมาตรฐานของขอมูลทุกคา วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ……………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………ตัวอยางท่ี 1.20 ในการคัดเลือกบุคคลเพื่อบรรจุเขาทํางานเจาพนักงานบัญชีของมหาวิทยาลัยแหงหน่ึง 1 ตําแหนง โดยทําการสอบ 3 วิชา คือ ความรูทั่วไป ความรูทางการบัญชี และความรูในงานสารบัญ ผลการสอบปรากฏวามีผูเขาสอบ 25 คน และมีผูเขาสอบ 3 คนที่มีคะแนนรวมเทากัน จงตัดสินเลือกผูเขาสอบมาทํางานในตําแหนงดังกลาว โดยใชขอมูลตอไปน้ีประกอบการตัดสินใจ


- 34 -

คะแนนสอบ วิชาที่สอบ คาเฉลี่ย

สวนเบี่ยงเบน มาตรฐาน

นายสงคราม น.ส.สมหญิง นางสุดใจ

ความรูทั่วไป 80 4 90 87 91

ความรูทางการบัญชี 75 17 70 71 75

ความรูในงานสารบัญ 65 10 62 64 56

222 222 222

วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ……………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกหัดทายหนวยที่ 1


- 35 -

ขอที่ 1

ขอที่ 2

ขอที่ 3

ขอที่ 4

ขอที่ 5

ขอที่ 6

ขอที่ 7


- 36 -

ขอที่ 8

ขอที่ 9

ขอที่ 10

ขอที่ 11

ขอที่ 12


- 37 -

ขอที่ 13

ขอที่ 14

ขอที่ 15

ขอที่ 16

ขอที่ 17

ขอที่ 18


- 38 -

ขอที่ 19

ขอที่ 20

ขอที่ 21

ขอที่ 22

ขอที่ 23

ขอที่ 24

ขอที่ 25

ขอที่ 26


- 39 -

ขอที่ 27

ขอที่ 28

ขอที่ 29

ขอที่ 30

ขอที่ 31


- 40 -

ทฤษฎีความนาจะเปน 2.1 เทคนิคการนับ 2.1.1 หลักการนับเบ้ืองตน 2.1.2 การจัดลําดับ 2.1.3 การจัดหมู 2.2 ความนาจะเปน 2.2.1 ความนาจะเปนของเหตุการณ 2.2.2 กฎของความนาจะเปน 2.3.3 ความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไข 2.3.4 ความนาจะเปนของเหตุการณที่เปนอิสระกัน 2.3.2 กฎของเบย

2.1 เทคนิคการนับ สําหรับการหาแซมเปลสเปซของการทดลองสุมหน่ึง ๆ หรือหาเหตุการณที่สนใจอาจประสบปญหาเกี่ยวกับการนับจํานวนผลลัพธหรือวิธีที่เปนไปไดทั้งหมด ดังน้ันในหัวขอน้ีจะกลาวถึงการนับจํานวนวิธีที่เปนไปไดทั้งหมดของการทดลองสุมใด ๆ และการนับจุดตัวอยางของเหตุการณที่เราสนใจ หลักการนับเบื้องตน แฟคทอเรียล n (n factorial)

นิยามที่ 2.1 แฟคทอเรียล n แทนดวยสัญลักษณ !n ซ่ึงอานวา n แฟคทอเรียล โดยที่

( ) 123...1nn!n ××××−×=

หมายเหตุ : 1!0 =

ตัวอยางท่ี 2.1 จงหาผลลัพธของ 7! , 4!

7! ,

11!

9!

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 41 -

ตัวอยางท่ี 2.2 จงหาผลลัพธของ 5! , 12!

15! ,

35!

33!

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………. กฎการคูณ

ทฤษฎีท่ี 2.1 ถาการดําเนินการอยางหน่ึงมี 2 ข้ันตอน ข้ันตอนที่ 1 ทําได n1 วิธี ข้ันตอนที่สอง ทําได n2 วิธี การดําเนินการนี้จะทําได n1 n2 วิธี จากทฤษฎีพิจารณารูปที่ 1

รูปท่ี 1 แสดงการดําเนินการอยางหนึ่งมี 2 ข้ันตอน

จากรูปที่ 1 การดําเนินการข้ันตอนที่ 1 เร่ิมตนที่จุด A ส้ินสุดที่จุด B สามารถกระทําได n1 วิธี และการดําเนินการข้ันตอนที่ 2 เร่ิมตนที่จุด B ส้ินสุดที่จุด C สามารถกระทําได n2 วิธี ดังน้ัน การดําเนินจากจุดเร่ิมตน จนจบการดําเนินการ สามารถกระทําได n1 n2 วิธี ตัวอยางท่ี 2.3 โรงงานผลิตรถจักรยานยนตแหงหน่ึง มีการตรวจสอบรถทุกคันกอนที่จะสงมอบใหกับลูกคา จึงดําเนินการตรวจสภาพการใชงาน โดยแบงการตรวจสอบไว 2 ระดับ คือการตรวจสอบเบื้องตน และการตรวจสอบข้ันสูง ซ่ึงในข้ันตอนการตรวจสอบเบื้องตนมีชองทางตรวจสอบ 10 ชองทาง และการตรวจสอบขั้นสูง 15 ชองทาง จงหาวาจํานวนวิธีที่เปนไปไดทั้งหมดในการตรวจสภาพรถ 1 คัน มีกี่วิธี วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 42 -

ทฤษฎีท่ี 2.2 ถาการดําเนินการอยางหน่ึงมี k ข้ันตอน ข้ันตอนที่ 1 ทําได n1 วิธี ข้ันตอนที่สอง ทําได n2 วิธี ข้ันตอนที่สามทําได n3 วิธี ... เชนน้ีเร่ือยไปจนถึงข้ันตอนที่ k ซ่ึง ทําได nk วิธี การดําเนินการนี้จะทําได n1 n2 . . . nk วิธี จากทฤษฎีพิจารณารูปที่ 2

รูปท่ี 2 แสดงการดําเนินการอยางหนึ่งมี k ข้ันตอน

จากรูปที่ 2 การดําเนินการอยางหน่ึงมี k ข้ันตอน ข้ันตอนที่ 1 ทําได n1 วิธี ข้ันตอนที่สองทําได n2 วิธี ข้ันตอนที่สามทําได n3 วิธี ... เชนน้ีเร่ือยไปจนถึงข้ันตอนที่ k ซ่ึงทําได nk วิธี การดําเนินการนี้จะทําได n1 n2 . . . nk วิธี ตัวอยางท่ี 2.4 จงหาวิธีทีเ่ปนไปไดทั้งหมดในการแตงกายออกไปทํางานของพนักงานชาย บริษัทแหงหน่ึง ซ่ึงมีแบบฟอรมของบริษัท ดังรายการตอไปน้ี

1. เส้ือทํางาน 5 ตัว 2. กางเกงทํางาน 5 ตัว 3. รองเทา 3 คู 4. ปายชื่อ 2 อัน 5. หมวก 2 ใบ

วิธีทํา สมมติใหพนักงานดังกลาวดําเนินการแตงตัวเพ่ือไปทํางานเปนดังน้ี วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. การจัดลําดับ (Permutation)

จากเรื่องการดําเนินการที่ไดกลาวกอนหนาน้ี ถาเราใหความสําคัญกับลําดับของข้ันตอนการดําเนินการ และจะตองนํามาพิจารณาดวย เชน การจัดคน 20 คนใหน่ังเขาแถวในหน่ึงแถว การจับฉลากรางวัลที่ 1 และรางวัลที่ 2 จากฉลาก 50 ใบ จะใชวิธีที่เรียกวา การจัดลําดับ

นิยามที่ 2.2 การจัดลําดับ (Permutation) คือการจัดของทั้งหมดที่มีอยูหรือจัดของแตละสวนโดยคํานึงถึงลาํดับ

เชน ในการจัดลําดับอักษร A , B และ C ทั้ง 3 ตัว ซ่ึงสามารถจัดลําดับ ไดทั้งหมด 6 วิธี ดังน้ี


- 43 -

ลําดับที่ 1 ลําดับที่ 2 ลําดับที่ 3

วิธีท่ี 1 A B C

วิธีท่ี 2 A C B

วิธีท่ี 3 B A C

วิธีท่ี 4 B C A

วิธีท่ี 5 C A B

วิธีท่ี 6 C B A

แตถานํามาจัดเพียง 2 ตัว ซ่ึงสามารถจัดลําดับไดทั้งหมด 6 วิธี เชนกัน ดังน้ี ทฤษฎีท่ี 2.3 จัดลําดับของ n ส่ิง ซ่ึงแตกตางกันโดยจัดคราวละ n ส่ิงได n(n-1)(n-2)…(2)(1) = n! วิธี

ตัวอยางท่ี 2.5 ในการติดตั้งเคร่ืองจักรชนิดเดียวกันจํานวน 9 เคร่ือง ของโรงงานแหงหน่ึง ซ่ึงกําลังอยูในชวงดําเนินการกอสรางโรงงาน และตามแบบที่เขียนไว ไดระบุตําแหนงของเครื่องจักรไว 9 ตําแหนง จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดที่จะติดตั้งเคร่ืองจักรดังกลาว วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ทฤษฎีท่ี 2.4 ถามีของ n ส่ิงแตกตางกันจะจัดครั้งละ r ส่ิง (r ≤ n) จะทําได ( )!!rn

nPrn

−= วิธี,เม่ือ r < n

ตัวอยางท่ี 2.6 ในการประกวดสิ่งประดิษฐ ของนักศึกษามหาวิทยาลยัแหงหน่ึง มีผูสนใจสงผลงานเขารวมการแขงขันทั้งหมด 25 ช้ิน ซ่ึงการแขงขันดังกลาว ฝายจัดการประกวด ไดเตรียมรางวัลไว 5 รางวัล คือ ชนะเลิศ รองชนะเลิศอันดับที่ 1 , 2 , 3 และ 4 ตามลําดับ จงหาจํานวนวิธีที่จะตัดสินการประกวดดังกลาว วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 44 -

ทฤษฎีท่ี 2.5 ถามีของ n ส่ิงซ่ึงแบงเปน k ชนิด ชนิดที่หน่ึงมี n1 ส่ิง ชนิดที่สองมี n2 ส่ิง ... และชนิดที่ k มี nk ส่ิง โดยที่

∑=

=k

ii nn

1

จํานวนวิธีที่จะจัดของทั้งหมดน้ีจะเทากับ !!!!

!

321 knnnnnK

ตัวอยางท่ี 2.7 จงหาจํานวนวิธีในการจัดลําดับตัวอักษรในคําวา STATISTICS วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ในบางครั้งเราสนใจการจัดโดยไมใหสําคัญกับลําดับ หรือสนใจการเลือกของจากที่มีอยูทั้งหมด โดยไมสนใจวาจะเลือกของส่ิงใดมาเปนลําดับแรก ส่ิงใดเปนลําดับที่สอง การกระทําแบบน้ีเรียกวา การจัดหมู (Combination) การจัดหมู (Combination)

นิยามที่ 2.3 การจัดหมู คือการจัดของทั้งหมดที่มีอยู หรือจัดบางสวน โดยไมคํานึงถึงลําดับ ซ่ึงสามารถเปรียบเทียบการจัดส่ิงของ โดยใหความสําคัญกับลําดับ และไมใหความสําคัญกับลําดับ ไดดังเชน มีอักษร 3 ตัว A , B , C นํามาจัดครั้งละ 2 ตัว ดังน้ี

ทฤษฎีท่ี 2.6 ถามีของ n ส่ิง แตกตางกันเลือกหรือจัดโดยไมคํานึงถึงลําดับคร้ังละ r

ส่ิง (r ≤ n) สามารถกระทําได rn C หรือ

( )!rn!r

!n

!r

Pr

nr

n

−==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ วิธี

ตัวอยางท่ี 2.8 ในการประชุมวิชาการครั้งหน่ึง มีผูเขาประชุม 20 คน โดยเปนผูชาย 12 คน และเปนผูหญิง 8 คน จงหาจํานวนวิธีที่จะได

ก. ตัวแทนเปนผูเขารวมประชุม 5 คน ข. ตัวแทนเปนผูเขารวมประชุม เพศชาย 3 คน และเพศหญิง 2 คน ค. ตัวแทนเปนเพศชายทั้งหมด ง. ตัวแทนเปนเพศหญิงทั้งหมด


- 45 -

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.2 ความนาจะเปน

2.2.1 ความนาจะเปนของเหตุการณ การทดลองสุม (Random experiment)

นิยามที่ 2.4 การทดลองสุม คือ กระบวนการใด ๆ ที่ทําใหเกิดผลสัมลัพธ (Outcome) ซ่ึงไมอาจทํานายลวงหนาไดอยางแนนอน แตผูทดลองสามารถทราบผลลัพธที่อาจเกิดข้ึนไดทั้งหมด ยกตัวอยาง เชน

1. การโยนเหรียญ 1 เหรียญ ผูทดลองไมสามารถกําหนดไดวาเหรียญจะหงายหัว หรือ กอย แตทราบวาผลลัพธที่จะเกิดตองเปน หัว หรือ กอย

2. การโยนลูกเตา 1 ลูก ผูทดลองไมสามารถกําหนดไดวาลูกเตาหงายแตม 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6 แตทราบวาผลลัพธที่จะเกิดตองเปน แตมใดแตมหน่ึงใน 6 แตมน้ี

3. การดึงไพ 1 ใบ จากไพ 1 สํารับ ผูทดลองไมสามารถกําหนดไดวาไพ 1 ใบ จะเปน ไพดอกอะไร และสีใด แตทราบวาผลลัพธที่จะเกิดตองเปนไพใบใดใบหน่ึงใน 1 สํารับน้ี (ไพ 1 สํารับ 52 ใบ)

4. ผลของการขุดเจาะหาน้ํามัน ผลของการขุดเจาะหาน้ํามัน อาจพบ หรือไมพบนํ้ามัน 5. ผลการดําเนินงานของบริษัทแหงหน่ึงในปหนา ก็อาจขาดทุน เทาทุน หรือไดกําไร

แซมเปลสเปซ (sample space)

นิยามที่ 2.5 แซมเปลสเปซของการทดลองสุมหน่ึง ๆ คือ เซตที่สมาชิกเปนผลลัพธที่เปนไปได ทั้งหมดของการทดลองสุมน้ันๆ และแทนดวย S การโยนเหรียญสมดุล 1 เหรียญ 2 คร้ัง ซ่ึงถือวาเปนการทดลองสุมอยางหน่ึง สามารถพิจารณาดังรูป

จากรูปเม่ือความสนในของเราคือการหงายหนาของการโยนเหรียญทั้งสองครั้งสามารถเขียน แซมเปลสเปซ คือ

{ }TT,TH,HT,HHS =

แตถาสนใจจํานวนการเกิดหัว สามารถเขียนแซมเปลสเปซ คือ { }3,2,1,0S =


- 46 -

กําหนดการทดลองสุม คือการโยนเหรียญ 1 เหรียญ และลูกเตา 1 ลกู ถาสนใจการหงายหนาของลูกเตา และเหรียญสามารถเขียน แซมเปลสเปซ คือ

{ }H6,T6,H5,T5,H4,T4,H3,T3,H2,T2,H1,T1S =

ตัวอยางท่ี 2.9 จงเขียนแซมเปลสเปซของการทดลองสุมตอไปน้ี ก. การสุมตรวจสอบเครื่องจักรกลที่ใชในกระบวนการผลิต 3 เคร่ือง โดยผู

ตรวจสอบ จะใหคะแนน 2 ระดับ คือ Y หมายถึง เคร่ืองจักรยังใชผลิตได และ N หมายถึง เคร่ืองจักรตองไดรับการซอมบํารุง ผลการตรวจสอบ เคร่ืองท่ี 1 เคร่ืองท่ี 2 เคร่ืองท่ี 3 จํานวนเครื่องจักรท่ียังใชผลิตได

แบบที่ 1

……………

……………

……………

……………

แบบที่ 2 …………… …………… …………… …………… แบบที่ 3 …………… …………… …………… …………… แบบที่ 4 …………… …………… …………… …………… แบบที่ 5 …………… …………… …………… …………… แบบที่ 6 …………… …………… …………… …………… แบบที่ 7 …………… …………… …………… …………… แบบที่ 8 …………… …………… …………… ……………

ถาสนใจผลการตรวจสอบเครื่องจักรทั้งสามเครื่อง แซมเปลสเปซ คือ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… แตถาสนใจจํานวนเครื่องจักรที่ยังใชผลิตได ที่สุมมา 3 เครือง แซมเปลสเปซ คือ ………………………………………………………..……

ข. ในการตรวจคุณภาพของสินคาที่ผลิตโดยเครื่องจักรของโรงงานแหงหน่ึง สุมสินคามา 4 ช้ิน แลวตรวจสภาพทีละชิ้นวาชํารุดหรือไม ให "ด" แทนสินคาคุณภาพดี และ "ช" แทนชํารุด แซมเปลสเปซ สามารถพิจารณา ดังน้ี

สินคา ผลการตรวจ

ชิ้นท่ี 1 ชิ้นท่ี 2 ชิ้นท่ี 3 ชิ้นท่ี 4 จํานวนสินคาท่ีชํารุด

แบบที่ 1

……………

……………

……………

……………

……………

แบบที่ 2 …………… …………… …………… …………… …………… แบบที่ 3 …………… …………… …………… …………… …………… แบบที่ 4 …………… …………… …………… …………… …………… แบบที่ 5 …………… …………… …………… …………… …………… แบบที่ 6 …………… …………… …………… …………… …………… แบบที่ 7 …………… …………… …………… …………… …………… แบบที่ 8 …………… …………… …………… …………… …………… แบบที่ 9 …………… …………… …………… …………… …………… แบบที่ 10 …………… …………… …………… …………… …………… แบบที่ 11 …………… …………… …………… …………… …………… แบบที่ 12 …………… …………… …………… …………… …………… แบบที่ 13 …………… …………… …………… …………… …………… แบบที่ 14 …………… …………… …………… …………… …………… แบบที่ 15 …………… …………… …………… …………… …………… แบบที่ 16 …………… …………… …………… …………… ……………

ถาสนใจผลการตรวจสอบสินคาทั้ง 4 ช้ิน แซมเปลสเปซ คือ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ถาสนใจจํานวนสินคาที่ชํารุดจากสินคาที่หยิบมา 4 ช้ิน แซมเปลสเปซ คือ ………………………………………………………………


- 47 -

เหตุการณ (event)

นิยามที่ 2.6 เหตุการณ (event) คือ เซตยอย (subset) ของแซมเปลสเปซ โดยเรียกเซตยอยที่ มีสมาชิกเพียงตัวเดียววา เหตุการณเชิงเดี่ยว (simple event) และเรียกเซตยอยที่มี สมาชิกหลายตัววาเหตุการณเชิงประกอบ (compound event) เพ่ือความเขาใจเกี่ยวกับ คําวา “เหตุการณ” ยิ่งข้ึน จะขอยกตัวอยาง การทดลองสุมเกี่ยวกับ การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 2 คร้ัง ถากําหนดให T แทนการหงายกอย และ H แทนการหงายหัว เม่ือความสนใจของเราคือการหงายหนาของทั้ง 2 เหรียญ สามารถเขียนแซมเปลสเปซ คือ

{ }TT,TH,HT,HHS = จากนิยามที่ 3 สามารถเขียนเซตยอยของแซมเปลสเปซ จําแนกเปนเหตุการณเชิงเดี่ยว และเหตุการณเชิงประกอบ ไดดังน้ี

เหตุการณเชิงเดี่ยว ไดแก { }HHE1 = { }HTE2 = { }THE3 = { }TTE4 =

เหตุการณเชิงประกอบไดแก { }HT,HHE5 = { }TH,HHE6 = { }TT,HHE7 = { }TH,HTE8 =

{ }TT,HTE9 = { }TT,THE10 = { }TH,HT,HHE11 = { }TT,HT,HHE12 =

{ }TT,TH,HHE13 = { }TT,TH,HTE14 = และ { }TT,TH,HT,HHE15 =

จากตัวอยาง พบวา เหตุการณทั้งหมดที่ไดลวนแตกตางกันและสมาชิกในแตละเหตุการณ จะถูกเรียกเฉพาะวา จุดตัวอยาง (Sample Point) สําหรับจํานวนสมาชิกของแตละเหตุการณ มักถูกเรียกวา จํานวนจุดตัวอยาง ซ่ึงสามารถพิจารณาไดจากตารางตอไปน้ี

เหตุการณ จุดตัวอยาง จํานวนจุดตัวอยาง

{ }HHE1 = HH 1

{ }HTE2 = HT 1

{ }THE3 = TH 1

{ }TTE4 = TT 1

{ }HT,HHE5 = HT,HH 2

{ }TH,HHE6 = TH,HH 2

{ }TT,HHE7 = TT,HH 2

{ }TH,HTE8 = TH,HT 2

{ }TT,HTE9 = TT,HT 2

{ }TT,THE10 = TT,TH 2

{ }TH,HT,HHE11 = TH,HT,HH 3

{ }TT,HT,HHE12 = TT,HT,HH 3

{ }TT,TH,HHE13 = TT,TH,HH 3

{ }TT,TH,HTE14 = TT,TH,HT 3

{ }TT,TH,HT,HHE15 = TT,TH,HT,HH 4

นิยามความนาจะเปน

นิยามที่ 2.5 ความนาจะเปนแบบคลาสสิค (Classical Probability) ในการทดลองสุมใด ๆ ที่ เราสามารถพิจารณาผลที่อาจจะเกิดข้ึนไดจากการทดลองและผลแตละอยางน้ันมีโอกาสเกิดข้ึนไดเทา ๆ กัน (Equally likely) แลวคาความนาจะ เปนของเหตุการณจะคํานวณหาไดดังน้ี

( )( )( )Sn

AnAP =

โดยที่ A หมายถึงเหตุการณใด ๆ ที่เราสนใจ , n(A) หมายถึงจํานวนสมาชิกของ A , S หมายถึง แซมเปลสเปซ , n(S) หมายถึงจานวนสมาชิกของ S และ p(A ) หมายถึง ความนาจะเปนที่จะเกิดเหตุการณ A ซ่ึงการคํานวณความนาจะเปนดวยวิธีการนี้สามารถพิจารณาตัวอยางตอไปน้ี


- 48 -

ตัวอยางท่ี 2.10 การทดลองสุมโยนเหรียญที่สมดุล 1 เหรียญ 3 คร้ัง จงคํานวณความนาจะเปนที่จะเกิดเหตุการณที่เหรียญหงายหัว 1 คร้ัง และหงายกอย 2 คร้ัง วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอยางท่ี 2.11 การทดลองสุมโยนลูกเตาที่สมดุล 2 ลูก จงหาความนาจะเปนของเหตุการณตอไปน้ี

ก. ลูกเตาหงายแตมคูอยางนอย 1 ลูก ข. ผลรวมแตมเทากับ 7 ค. ผลรวมแตมมากกวา 9 ง. ผลรวมแตมนอยกวา 4 จ. ผลรวมแตมอยูระหวางเลข 4 และ 8 ฉ. ผลรวมแตมไมเกิน 6 ช. ผลรวมแตม ไมตํ่ากวา 10 ซ. ผลรวมแตมอยูระหวางเลข 9 และ 10

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 49 -

ตัวอยางท่ี 2.12 การทดลองสุมดึงไพ 1 ใบ จากไพ 1 สํารับ จงหาความนาจะเปนของเหตุการณตอไปน้ี ก. ไดแตม A ข. ไดโพธิ์แดง ค. ไดแตม 3 ดอกสีดํา ง. ไดแตม 5 โพธิ์ดํา

วิธีทํา การทดลองสุมดึงไพ 1 ใบ จากไพ 1 สํารับ สามารถแจกแจงทุกสมาชิกไดดังตารางตอไปน้ี

ดอกของไพ แตม

โพธิ์ดํา โพธิ์แดง ดอกจิก ขาวหลามตัด

2 2 โพธิ์ดํา 2 โพธิ์แดง 2 ดอกจิก 2 ขาวหลามตัด









J J โพธิ์ดํา J โพธิ์แดง J ดอกจิก J ขาวหลามตัด

Q Q โพธิ์ดํา Q โพธิ์แดง Q ดอกจิก Q ขาวหลามตัด

K K โพธิ์ดํา K โพธิ์แดง K ดอกจิก K ขาวหลามตัด

A A โพธิ์ดํา A โพธิ์แดง A ดอกจิก A ขาวหลามตัด

และสามารถเขียนแซมเปลสเปซ ไดดังน้ี …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จากนิยามความนาจะเปนแบบคลาสสิค จะไดวา ( )( )( )Sn

AnAP =

สามารถคํานวณความนาจะเปนของแตละเหตุการณ ไดดังตอไปน้ี ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 50 -

ตัวอยางท่ี 2.13 จากตัวอยางที่ 2.9 ข. ในการตรวจคุณภาพของสินคาที่ผลิตโดยเครื่องจักรของโรงงานแหงหน่ึง สุมสินคามา 4 ช้ิน แลวตรวจสภาพทีละชิ้นวาชํารุดหรือไม ให "ด" แทนสินคาคุณภาพดี และ "ช" แทนชํารุด จงหาความนาจะเปน

ก. เปนชิ้นดีทั้ง 4 ช้ิน ข. เปนชิ้นดี 3 ช้ิน และชิ้นชํารุด 1 ชิ้น ค. ช้ินชํารุด มากกวา 2 ช้ิน ง. เปนชิ้นดีไมเกิน 3 ช้ิน จ. เปนชิ้นดีเกิน 4 ช้ิน ฉ. เปนชิ้นชํารุดอยางนอย 2 ช้ิน

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 51 -

นิยามที่ 2.6 ความนาจะเปนเชิงความถี่สัมพัทธ (Relative Frequency Probability) ในการทดลองสุมใด ๆ ถาเราทําการทดลอง n คร้ัง ปรากฏวาเกดิกรณีที่ตองการ s คร้ังคาความนาจะเปนของเหตุการณคํานวณหา

ไดดังน้ี ( )n

sAP =

หรือ สามารถกลาวไดวา การคํานวณความนาจะเปนโดยใชความถี่สัมพัทธน้ันเปนการนําขอมูลที่ไดเกิดข้ึนจริงในอดีตมาคํานวณความนาจะเปนที่จะเกิดเหตุการณในอนาคต โดยมีขอตกลงเบ้ืองตนวาสภาพการณตางๆ ในอนาคตไมแตกตางจากอดีต ซ่ึงสามารถพิจารณาตัวอยางตอไปน้ีประกอบ ตัวอยางท่ี 2.14 ในการศึกษาเกี่ยวกบัระดับผูบริหารในโรงงานขนาดใหญแหงหน่ึง ไดขอมูลดังตารางตอไปน้ี

ผูบริหารระดับสูง ผูบริหารระดับกลาง ผูบริหารระดับลาง อายุ (ป)

ชาย หญิง ชาย หญิง ชาย หญิง

นอยกวา 30 ป 30 – 50 มากกวา 50 ป

1 7 9

0 3 2

5 17 12

3 9 10

20 25 22

5 6 4

รวม 17 5 34 22 67 15

ถาสุมผูบริหารจากโรงงานขางตนมา 1 คน จงคํานวณความนาจะเปนที่ ก. เปนผูบริหารระดับสูง เพศหญิง ข. เปนผูบริหารเพศหญิง ค. เปนผูบริหารที่มีอายุนอยกวา 30 ป ง. เปนผูบริหารเพศชายที่มีอายุต้ังแต 30 ปข้ึนไป จ. เปนผูบริหารชายที่มีอายุเกิน 30 ป ฉ. เปนผูบริหารเพศหญิงที่มีอายุตํ่ากวา 50 ป

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 52 -

คุณสมบัติของความนาจะเปน

สําหรับการทดลองสุมใดๆ ที่ใหแซมเปลสเปซ คือ S และผลลัพธภายใตการทดลองสุม มี n ผลลัพธ คือ n21 E,...,E,E จะ

ไดวา

1. ความนาจะเปนที่จะเกิดเหตุการณใดๆ มีคาตั้งแต 0 ถึง 1 หรือ ( ) 1EP0 k ≤≤ โดยที่ n,...,2,1k =

ซ่ึงถา ( ) 0EP k = หมายถึง เหตุการณ kE ไมมีโอกาสเกิดข้ึน และถา ( ) 1EP k = หมายถึง เหตุการณ kE

โอกาสเกิดข้ึนแนนอน ซ่ึงสามารถพิจารณาไดดังรูป

2. ( ) 1EPn

1kk =∑

=

3. ( ) 1SP = และ ( ) 0P =φ โดยที่ φ เปนเซตวาง

4. ถา A และ B เปนเหตุการณณที่ไมเกิดรวมกัน (Mutually Exclusive Event) แลว ความนาจะเปนที่จะเกิดเหตุการณ A หรือ B เปนผลบวกของความนาจะเปนที่จะเกิดเหตุการณ A และความนาจะเปนที่จะเกิดเหตุการณ B แทนดวย

( ) ( ) ( )BPAPBAP +=∪

5. ในทํานองเดียวกัน ถา 1A , 2A ,…, nA เปนเหตุการณที่ไมเกิดรวมกัน (Mutually Exclusive Event) แลว

( ) ( ) ( ) ( )n21n11 AP...APAPA...AAP +++=∪∪∪

2.2.2 กฎของความนาจะเปน

กฎท่ี 1 ถา A และ B เปนเหตุการณใด ๆ ความนาจะเปนที่เหตุการณเหตุการณหน่ึงจะเกิดข้ึน คือ

( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪

และในทํานองเดียวกัน ถา A B และ C เปนเหตุการณใด ๆ ความนาจะ เปนที่เหตุการณเหตุการณหน่ึงจะเกิดข้ึน คือ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )CBAP

CBPCAPBAPCPBPAPCBAP

∩∩+

∩−∩−∩−++=∪∪

และสามารถขยายผลไปสู ถา 1A 2A และ nA เปนเหตุการณใด ๆ ความนาจะเปนที่เหตุการณเหตุการณหน่ึงจะเกิดข้ึน คือ

หรือ ( ) ( ) ( )( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

===∑∑

n

n

1in

j,iallji

n

1ii

n

1ii AP...APAPAPAP IU

กฎท่ี 2 ถา ′E เปนคอมพลีเมนตของเหตุการณ E แลว ( ) ( )EP1EP −=′

กฎท่ี 3 ถา A และ B เปนเหตุการณใด ๆ ภายใตแซมเปลสเปซ S และ BA ⊆ จะไดวา ( ) ( )BPAP ≤

ตัวอยางท่ี 2.15 ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหน่ึงจะสอบคณิตศาสตรผานเทากับ 32 และความนาจะเปนที่เขาสอบภาษาอังกฤษผานเทากับ

94

ถาความนาจะเปนที่เขาสอบผานทั้ง 2 วิชาเทากับ 51 จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนคนหน่ึงจะ

ก. สอบผานอยางนอยหนึ่งวิชา ข. สอบไมผานทั้ง 2 วิชา


- 53 -

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอยางท่ี 2.16 ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน 1 คร้ัง จงหาความนาจะเปนที่ ก. ผลบวกของแตมเปน 7 หรือ 11 ข. ผลบวกของแตมไมนอยกวา 3 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 54 -

2.2.3 ความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไข

ให A และ B เปนเหตุการณ 2 เหตุการณ ความนาจะเปนที่เหตุการณ B จะเกิดข้ึนโดยมีเงื่อนไขวาเหตุการณ A ได

เกิดข้ึนแลว เขียนแทนดวย ( )ABP ซ่ึงคํานวณจาก ( ) ( )( )An

BAnABP

∩=

ตัวอยางท่ี 2.17 ในการตรวจสอบคุณภาพผลิตภัณฑของโรงงานแหงหน่ึง โดยทําการสุมผลิตภัณฑมา 3 ช้ิน และกําหนดวาชิ้นแรกที่สุมไดจะตองเปนผลิตภัณฑที่ดี จงหาความนาจะเปนที่ในการตรวจสอบคุณภาพผลิตภณัฑดังกลาว จะพบผลิตภัณฑดี อยางนอย 2 ช้ิน วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… นิยามที่ 2.7 ความนาจะเปนที่เหตุการณ B จะเกิดข้ึนโดยมีเงื่อนไขวาเหตุการณ A ไดเกิดข้ึนแลว คือ

( ) ( )( )

( ) 0AP,AP

BAPABP ≠

∩=

ตัวอยางท่ี 2.18 จากตัวอยางที่ 2.17 จงใหนิยามที่ 2.7 เพ่ือคํานวณความนาจะเปนที่ในการตรวจสอบคุณภาพผลิตภัณฑดังกลาว จะพบผลิตภัณฑดี อยางนอย 1 ช้ิน โดยกําหนดวา

ก. ช้ินแรกที่สุมไดจะตองเปนผลิตภัณฑที่ดี ข. ช้ินแรกที่สุมไดจะตองเปนผลิตภัณฑที่ชํารุด วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 55 -

2.2.4 ความนาจะเปนของเหตุการณท่ีเปนอิสระตอกัน

นิยามที่ 2.8 เหตุการณอิสระ

เหตุการณ A และ B เรียกวาเปนอิสระตอกันก็ตอเม่ือ P(A|B) = P(A) และ P(B|A) = P(B)

กลาวคือ P(A∩B) = P(A)P(B) ตัวอยางท่ี 2.19 จากตัวอยางที่ 2.17 และ 2.18 ถาโรงงานระบุวากระบวนการผลิตจะมีผลิตภัณฑชํารุด 1% จงหาความนาจะเปนที่

ก. พบสินคาดีทั้ง 3 ช้ิน ข. พบสินคาดี 2 ช้ิน ค. พบสินคาดี 1 ช้ิน ง. พบสินคาชํารุดทั้ง 3 ช้ิน

วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.3.2 กฎของความนาจะเปนรวม

สมมติวาแซมเปลสเปซ S ของการทดลองสุม แบงไดเปน 2 สวน คือ B1 และ B2 ถา A เปนเหตุการณหน่ึงจากการทดลองสุมน้ี และ A เขียนไดเปน

A = (A∩B1)∪(A∩B2) โดยที่ (A∩B1) ∩(A∩B2) = φ

ดังน้ันความนาจะเปนรวมคือ P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) ตัวอยางท่ี 2.20 โรงงานแหงหน่ึงมีเคร่ืองจักร 3 เคร่ือง ซ่ึงสามารถผลิตสินคาได 25% , 35% และ 40% ของสินคาทั้งหมดตามลําดับ เปอรเซ็นตของสินคาที่ผลิตโดยเครื่องจักรเครื่องที่ 1 , 2 และ 3 จะชํารุดมีคาเทากับ 1% , 2% และ 2.5% ตามลําดับ ถาเลือกสินคามาชิ้นหน่ึง จงหาความนาจะเปนที่สินคาชิ้นน้ันเปนสินคาชํารุด วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 56 -

แบบฝกหัดทายบทที่ 2 ขอที่ 1

ขอที่ 2

ขอที่ 3

ขอที่ 4

ขอที่ 5

ขอที่ 6

ขอที่ 7

ขอที่ 8

ขอที่ 9

ขอที่ 10

ขอที่ 11


- 57 -

ขอที่ 12

ขอที่ 13

ขอที่ 14

ขอที่ 15

ขอที่ 16

ขอที่ 17


- 58 -

ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม 3.1 ความหมายและชนิดของตัวแปรสุม 3.1.1 ความหมายของตัวแปรสุม 3.1.2 ชนิดของตัวแปรสุม 3.2 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม 3.2.1 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมแบบไมตอเน่ือง 3.2.2 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมแบบตอเน่ือง 3.3 คาคาดหวังและความแปรปรวนของตัวแปรสุม 3.3.1 คาคาดหวังของตัวแปรสุม 3.3.2 ความแปรปรวนของตัวแปรสุม 3.4 การแจกแจงตัวแปรสุมชนิดไมตอเนื่อง 3.3.1 การแจกแจงแบบทวินาม 3.3.2 การแจกแจงแบบปวสซอง 3.5 การแจกแจงตัวแปรสุมชนิดตอเนื่อง 3.4.1 การแจกแจงแบบปกติ 3.4.2 การแจกแจงแบบอื่น ๆ

3.1 ความหมายและชนิดของตัวแปรสุม การทดลองสุมใดๆ ผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมดสามารถนําไปเขียนในรูปแซมเปลสเปซ ซ่ึงโดยทั่วไป มีทั้งใหคาเปนตัวเลขและไมใชตัวเลข มักข้ึนอยูกับรูปแบบความสนใจของผูทดลอง แตถาจําเปนตองนําผลลัพธที่ไดจากการทดลองสุมดังกลาวไปดําเนินการตอในเร่ืองความนาจะเปน เราควรกําหนดคาที่เปนจํานวนจริงใหกับทุกสมาชิกในแซมเปลสเปซ ซ่ึงคาดังกลาวจะเรียกวา ตัวแปรสุม (Random Variable) และสามารถพิจารณาไดจากการทดลองสุม คือ การโยนเหรียญเที่ยงตรง 2 คร้ัง ถาเปลี่ยนความสนใจเปนจํานวนครั้งในการหงายหัวของเหรียญ สามารถพิจารณาผลการทดลองสุมไดดังน้ี

รูปท่ี 1 แสดงการเกิดตัวแปรสุม จากเซตของแซมเปลสเปซ


- 59 -

จากรูปที่ 1 เม่ือเปลี่ยนผลการทดลองสุม เปนจํานวนครั้งที่เหรียญหงายหัว ซ่ึงจะใหคาเปนตัวเลข 0 , 1 และ 2 ซ่ึงคาทไดน้ีจะมีช่ือเรียกวา ตัวแปรสุม ดังนิยามตอไปน้ี

3.1.1 ความหมายของตัวแปรสุม

นิยาม 3.1 ตัวแปรสุม คือ ฟงกชันที่มีคาเปนจํานวนจริง โดยมีโดเมนคือเซตของสมาชิกในแซมเปลสเปซ

3.1.2 ชนิดของตัวแปรสุม ซ่ึงโดยทั่วไปสามารถจําแนก ตัวแปรสุม เปน 2 ชนิดคือ ตัวแปรสุมชนิดไมตอเนื่อง (Discrete Random Variable) และ ตัว

แปรสุมชนิดตอเนื่อง (Continuous Random Variable) ดังรายละเอียดตอไปน้ี

1. ตัวแปรสุมแบบไมตอเนื่อง หมายถึง ตัวแปรสุมที่ใหคาเปนจํานวนนับ ซ่ึงไดจากการนับ โดยทั่วไปสามารถจําแนกไดเปน จํานวนนับจํากัด และจํานวนนับอนันต เชน จํานวนครั้งในการหงายกอย สําหรับการโยนเหรียญ 4 คร้ัง (จํากัด) , ผลรวมแตมของการโยนลูกเตา 2 คร้ัง (จํากัด) , จํานวนแผน CD ที่ชํารุด ใน 1 กลอง (จํากัด) , จํานวนลูกคาที่เขามาใชบริการรานสะดวกซื้อในชวงเวลา 06.00– 08.00 น.(อนันต) และจํานวนรถที่ว่ิงเขามหาวิทยาลัยแหงหน่ึงใชวงเวลา07.00–08.00 น. (อนันต) เปนตน

2. ตัวแปรสุมแบบตอเนื่อง หมายถึง ตัวแปรสุมที่ใหคาเปนจํานวนจริง ซ่ึงไดจากการวัด การตวง และ การชั่ง เชน แทนอุณหภูมิใน แตละวัน , แทนน้ําหนักของนักศึกษา และแทนปริมาณนมที่รีดไดจากโคของฟารมโคนม เปนตน 3.2 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม

3.2.1 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมชนิดไมตอเนื่อง จากการทดลองสุมทอดลูกเตา 2 คร้ัง และให X เปนตัวแปรสุมแทน ผลรวมแตมของลูกเตา จะไดวา คาของตัวแปรสุม X คือ

12,...,3,2x = ซ่ึงสามารถพิจารณาการเกิดตัวแปรสุม และการแจกแจงตัวแปรสุมดังน้ี

การทดลองสุมทอดลูกเตา 2 คร้ัง ไดผลดังรูป

สามารถพิจารณาการแจกแจงของตัวแปรสุม X ไดดังน้ี

X จํานวนจุดตัวอยาง ( )xXP =

2 1 1/36 = 0.03 3 2 2/36 = 0.06 4 3 3/36 = 0.08 5 4 4/36 = 0.11 6 5 5/36 = 0.14 7 6 6/36 = 0.17 8 5 5/36 = 0.14 9 4 4/36 = 0.11 10 3 3/36 = 0.08 11 2 2/36 = 0.06 12 1 1/36 = 0.03

36 1.00

และเม่ือนํามาเขียนแผนภาพ การแจกแจงของตัวแปรสุม X ไดดังน้ี


- 60 -

โดยทั่วไปมักแทนการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ในรูปแบบฟงกชันของตัวแปร X แทนดวย ( )xf หรือ

( )xXP = สําหรับทุกคาของ x และจะเรียกชื่อเฉพาะวา ฟงกชันความนาจะเปน (Probrability Function) หรือ การแจกแจงความนาจะเปน

ของตัวแปรสุม X (Probrability Distribution) และสามารถกําหนดนิยามของฟงกชันดังกลาวดังตอไปน้ี ฟงกชันความนาจะเปนของตัวแปรสุมชนิดไมตอเนื่อง

นิยาม 3.2 ฟงกชันความนาจะเปน

ถา X เปนตัวแปรสุมชนิดไมตอเน่ือง โดยที่ X มีคา n21 x,...,x,x แลวจะเรียกความนาจะเปนที่ xX = วาฟงกชัน

ความนาจะเปนของ X แทนดวยสัญลักษณ ( )xf หรือ ( )xXP = โดยมีคุณสมบัติดังน้ี

1. ( ) 1xXP0 ≤=≤

2. ( ) 1xXPSx

==∑∈∀

3. ถา SA ⊆ จะไดวา ( ) ( )∑∈

==Ax

xXPAP

ตัวอยางท่ี 3.1 รานขายรถจักรยานแหงหน่ึงไดบันทึกจํานวนรถจักรยานที่ขายไดแตละวัน ในรอบเดือนมกราคม ไดขอมูลดังตาราง

จํานวนรถที่ขายไดแตละวัน 0 1 2 3 4 5 จํานวนวัน 5 6 10 5 3 2

จงสรางตารางแจกแจงความนาจะเปนของจํานวนรถที่ขายไดในแตละวัน และเขียนกราฟแทงแสดงการแจกแจงของตัวแปรสุม วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 61 -

ตัวอยางท่ี 3.2 จากตัวอยางที่ 3.1 จงคํานวณ

ก. ( )5XP < ข. ( )1XP ≥

ค. ( )2XP > ง. ( )3XP ≤

จ. ( )4X1P ≤< ฉ. ( )5XP ≥

วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.2.2 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมชนิดตอเนื่อง ฟงกชันความนาจะเปนของตัวแปรสุมชนิดตอเนื่อง

นิยาม 3.3 ฟงกชันความนาจะเปน ถา X เปนตัวแปรสุมชนิดตอเน่ือง แลวจะเรียกความนาจะเปนที่ xX = วาฟงกชันความนาจะเปนของ X แทนดวย

สัญลักษณ ( )xf หรือ ( )xXP = โดยมีคุณสมบัติดังน้ี

1. ( ) 1xf0 ≤≤

2. ( ) 1dxxfxall

=∫

3. ถา bxa << จะไดวา ( ) ( ) dxxfbXaPb

ax∫=

=<<


- 62 -

3.2.3 คาคาดหวังและความแปรปรวนของตัวแปรสุม คาคาดหวังและความแปรปรวนของตัวแปรสุมชนิดไมตอเนื่อง

สําหรับตัวแปรสุมใดๆ จําเปนตองศึกษาเกี่ยวกับคาเฉลี่ย และความแปรปรวนของตัวแปรสุม เพ่ือประโยชนในการนําการแจกแจงความ นาจะเปนไปประยุกตใชตอไป ดังนิยามตอไปน้ี นิยามที่ 3.4 คาเฉลี่ย และความแปรปรวน

ถา X เปนตัวแปรสุมชนิดไมตอเน่ือง โดยที่ X มีคา n21 x,...,x,x และมีฟงกชันความนาจะเปนคือ

( )xXP = จะไดวา คาเฉลี่ยของตัวแปรสุม X แทนดวย ( )XE หรือ Xμ โดยที่

( ) ( ) ( )∑∑==

===n

1iii

n

1iii xXPxxfxXE

และความแปรปรวน ของตัวแปรสุม X แทนดวย ( )XVar หรือ 2Xσ โดยที่

( ) ( )2X2X XEXVar μσ −== หรือ ( ) ( )( )22

X XEXEXVar −== σ .

ตัวอยางท่ี 3.3 จากตัวอยางที่ 3.1 จงคํานวณคาเฉลี่ยและความแปรปรวนของจํานวนรถจักรยานที่ขายไดแตละวัน วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอยางท่ี 3.4 กําหนดให X เปนตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงความนาจะเปนคือ ( ) 3,2,1,0x,8

CxXP x

3

===

จงคํานวณ

ก. ( )2XP = ข. ( )1XP >

ค. ( )2XP ≤ ง. ( )2X1P ≤<

จ. ( )XE ฉ. ( )XVar


- 63 -

วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… คาคาดหวังและความแปรปรวนของตัวแปรสุมชนิดตอเนื่อง

นิยามที่ 3.5 คาเฉลี่ย และความแปรปรวน

ถา X เปนตัวแปรสุมชนิดตอเน่ือง และมีฟงกชันความนาจะเปนคือ ( )xf จะไดวา คาเฉลี่ยของตัวแปรสุม X แทน

ดวย ( )XE หรือ Xμ โดยที่

( ) ( )∫=xall

dxxxfXE

และความแปรปรวน ของตัวแปรสุม X แทนดวย )X(Var หรือ 2Xσ โดยที่

( ) ( )2X2X XEXVar μ−=σ=

หรือ ( ) ( )( )22X XEXEXVar −=σ= .

ตัวอยางท่ี 3.5 กําหนด X เปนตัวแปรสุมชนิดตอเน่ือง และมีฟงกชันความนาจะเปนคือ

( )⎩⎨⎧ <<

=other,0

1x0,x3xf

2

จงหา ก. ( )5.0X0P << ข. ( )XE ค. ( )XVar


- 64 -

วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.4 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมชนิดไมตอเนื่อง ท่ีสําคัญบางการแจกแจง

สําหรับการพิจารณาความนาจะเปนของตัวแปรสุมชนิดไมตอเน่ืองน้ัน มีลักษณะการเกิดที่หลากหลายขึ้นอยูกับการทดลองสุม และประเด็นความสนใจของผูทดลอง ซ่ึงสําหรับการแจกแจงที่สามารถนําไปใชประโยชนไดจริง และมีการนิยามไวแลวน้ัน เชน การแจกแจงแบบเบอรนูลลี (Bernulli Distribution) การแจกแจงแบบทวินาม (Binomial Distribution) การแจกแจงแบบปวสซอง (Poisson Distribution) ซ่ึงสามารถกลาวถึงรายละเอียดของการแจกแจงดังกลาวตอไปน้ี

การแจกแจงแบบเอกรูปชนิดไมตอเนื่อง

นิยามที่ 3.6 ถา X เปนตัวแปรสุมชนิดไมตอเน่ือง ที่มีคาเปน 1x , 2x , . . . , mx โดยแตละคามีโอกาสเกิดข้ึนเทาๆ กัน แลว X จะ

มีการแจกแจงแบบเอกรูปชนิดไมตอเน่ือง (Distribution Uniform Distribution) โดยมีฟงกชันความนาจะเปน คือ

( ) m21 x,...,x,xx;m

1m;xf ==

โดยที่ m คือ พารามิเตอรของการแจกแจง

คาคาดหวัง และความแปรปรวน ถา X เปนตัวแปรสุมแบบเอกรูปชนิดไมตอเน่ือง แลว คาเฉลี่ย และความแปรปรวนของ X หาไดจาก

( ) ∑=

=m

1iix

m

1XE และ ( ) ( )( )∑

=−=

m

1i

2i XEx

m

1XVar ตามลําดับ


- 65 -

ตัวอยางท่ี 3.6 ให X เปนแตมลูกเตาที่หงาย จากการทอดลูกเตา 1 ลูก 1 คร้ัง จงหา 1. ฟงกชันความนาจะเปนของ X

2. ( )2XP >

3. คาเฉลี่ย และความแปรปรวนของ X วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… การแจกแจงแบบเบอรนูลลี

การทดลองสุมหลายการทดลองที่ใหผลลัพธของการทดลองไดเพียง 2 อยาง เชน การโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ ผลลัพธอาจเปนหัว หรือ กอย การสุมตรวจสินคาจากกระบวนการผลิต ผลลัพธ คือ เปนไปตามมาตรฐาน หรือ ไมเปนไปตามมาตรฐาน เปนตน ซ่ึงการทดลองสุมดังกลาว มีช่ือเฉพาะเรียกวา การทดลองแบบเบอรนูลลี ซ่ึงสามารถนิยามไดดังน้ี นิยามที่ 3.7 การทดลองแบบเบอรนูลล ี คือ การทดลองที่มีลักษณะดังน้ี

1. ผลลัพธในการทดลองสุมในแตละคร้ัง มีได 2 อยาง คือ สําเร็จ และไมสําเร็จ 2. ในแตละคร้ังของการทดลอง ความนาจะเปนที่จะเกิดความสําเร็จ มีคา p และความนาจะเปนที่จะเกิดความไมสําเร็จ มี

คา p1q −= โดยที่ 1qp =+

นิยามที่ 3.8 ฟงกชันความนาจะเปนของการทดลองแบบเบอรนูลลี ถา X เปนตัวแปรสุม ซ่ึงใหคาเปน 0 เม่ือเกิดความสําเร็จ และ 1 เม่ือเกิดความไมสําเร็จ แลวจะเรียก X เปนตัวแปรสุมแบบ

เบอรนูลลี ที่มีฟงกชันความนาจะเปน คือ

( ) 1,0x;qpp;xf x1x == −

โดยที่ p เปนพารามิเตอรของการแจกแจงแบบเบอรนูลลี

คาคาดหวัง และความแปรปรวน

ถา X เปนตัวแปรสุมแบบแบบเบอรนูลลี แลว คาเฉลี่ย และความแปรปรวนของ X หาไดจาก ( ) pXE = และ

( ) pqXVar = ตามลําดับ


- 66 -

ตัวอยางท่ี 3.7 สุมหยิบสินคา 1 ช้ิน จากกลองที่มีสินคา 10 ช้ิน ซ่ึงมีสินคาชํารุดปนอยู 4 ช้ิน จงหาความนาจะเปนที่จะสุมหยิบไดสินคาชํารุด วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… การแจกแจงทวินาม (Binomial distribution) เปนการแจกแจงของตัวแปรสุมแบบไมตอเน่ืองที่เกิดข้ึนในการทดลองทวินามที่มีลักษณะของการทดลองดังน้ี 1). มีการทดลองซ้ําๆ กันหลายครั้ง 2). ในการทดลองแตละคร้ังจะมีผลลัพธที่เปนไปไดคือประสบความสําเร็จหรือลมเหลว 3). ให p แทนความนาจะเปนของการประสบความสําเร็จในแตละคร้ังของการทดลอง โดย p มีคาคงที่เสมอ และ q = 1-p แทนความนาจะเปนของการประสบความลมเหลวในแตละคร้ังของการทดลอง 4). การทดลองซ้ําในแตละคร้ังเปนอิสระกัน เชนในการโยนเหรียญเท่ียง 1 อัน 5 คร้ัง ในการโยนเหรียญแตละคร้ังผลลัพธอาจเกิดหัวหรือกอย ถาเราใหการเกิดหัวเปนการประสบความสําเร็จ เน่ืองจากใชเหรียญอันเดียวกันโยน ดังน้ันความนาจะเปนของการเกิดหัวยอมคงที่ และการเกิดหัวและกอยในการโยนแตละคร้ังไมมีผลตอการเกิดหัวหรือกอยในการโยนครั้งอ่ืน

ให X แทนจํานวนครั้งในการประสบความสําเร็จ เราจะเรียก X วา ตัวแปรสุมทวินาม อาจมีคาเปน 0, 1, 2,…, n โดยการแจกแจง

ความนาจะเปนของ X เรียกวาการแจกแจงทวินาม ฟงกชันความนาจะเปนของ X เขียนแทนดวย ( )P X x=

( ) (1 ) , 0, 1, 2,...,x n xnP X x p p x n

x−⎛ ⎞

= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

ถา X เปนตัวแปรสุมทวินาม จะไดวาคาคาดหวังของ X สามารถคํานวณจาก ( )E X np=

และความแปรปรวนของ X สามารถคํานวณจาก ( ) npqXVar =

ตัวอยางท่ี 3.8 จากการศึกษา พบวา 10% ของแบตเตอร่ีที่ใชกับกลองถายรูปชํารุดในขณะที่ขนสงจากโรงงาน ถาสุมแบตเตอร่ีมา 40 กอน จงหาจํานวนแบตเตอรี่ที่คาดวาจะชํารุดและความแปรปรวน วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 67 -

ตัวอยางท่ี 3.8 (เพ่ิม) กําหนดให X เปนตัวแปรสุมทวินาม จงเปดตารางทวินามเพื่อหาความนาจะเปนตามเงื่อนไขตอไปน้ี ก. ถา X เปนตัวแปรสุมทวินาม หรือ )15,25.0(b~X จงหา ( )7=XP

ข. ถา X เปนตัวแปรสุมทวินาม หรือ )9,15.0(b~X จงหา ( )5>XP

ค. ถา X เปนตัวแปรสุมทวินาม หรือ )12,40.0(b~X จงหา ( )4<XP

ง. ถา X เปนตัวแปรสุมทวินาม หรือ )19,50.0(b~X จงหา ( )41 <≤ XP

จ. ถา X เปนตัวแปรสุมทวินาม หรือ )11,30.0(b~X จงหา ( )7≥XP

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… การแจกแจงปวสซอง (Poisson distribution) เปนการแจกแจงของตัวแปรสุมแบบไมตอเน่ืองที่เกิดข้ึนในการทดลองปวสซองโดยลักษณะของการทดลองคือมีความสําเร็จเกิดข้ึนในชวงเวลาใดเวลาหนึ่งหรือพ้ืนที่ใดพื้นที่หน่ึง เชนจํานวนผูเขามาใชบริการตู ATM ในชวงเวลา 16.00-17.00 น. จํานวนคําที่พิมพผิดในรายงานการประชุม 1 หนา ให X แทนจํานวนครั้งของความสําเร็จในการทดลองปวซอง เราจะเรียก X วา ตัวแปรสุมปวสซอง อาจมีคาเปน 0, 1, 2,… โดยการแจกแจง

ความนาจะเปนของ X เรียกวาการแจกแจงปวสซอง ฟงกชันความนาจะเปนของ X เขียนแทนดวย ( )P X x=

( ) , 0,1,2,...!

xeP X x xx

λλ−

= = =

ถา X เปนตัวแปรสุมปวสซอง จะไดวาคาคาดหวังของ X สามารถคํานวณจาก ( ) λ=XE

และความแปรปรวนของ X สามารถคํานวณจาก ( ) λ=XVar

ตัวอยางท่ี 3.9 ถาจํานวนครั้งที่เสียงโทรศัพทดังข้ึนภายในหนวยงานแหงหน่ึงเฉลี่ยได 4 คร้ังตอนาที จงหาความนาจะเปนที่เสียงโทรศัพทจะดังข้ึน 6 คร้ังใน 2 นาทีขางหนา วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 68 -

ตัวอยางท่ี 3.9 (เพ่ิม) กําหนดใหX เปนตัวแปรสุมทวินาม จงเปดตารางปวสซองเพ่ือหาความนาจะเปนตามเงื่อนไขตอไปน้ี ก. ถา X เปนตัวแปรสุมปวสซองหรือ )5.5=(poi~X λ จงหา )3( =XP

ข. ถา X เปนตัวแปรสุมปวสซองหรือ )0.3=(poi~X λ จงหา )2( >XP

ค. ถา X เปนตัวแปรสุมปวสซองหรือ )2.7=(poi~X λ จงหา )5( <XP

ง. ถา X เปนตัวแปรสุมปวสซองหรือ )3.9=(poi~X λ จงหา )41( <≤ XP

จ. ถา X เปนตัวแปรสุมปวสซองหรือ )7.0=(poi~X λ จงหา )2( <XP

วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.5 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมชนิดตอเนื่อง ท่ีสําคัญบางการแจกแจง

การพิจารณารูปแบบการแจกแจง นอกจากตัวแปรสุมชนิดไมตอเน่ือง แลวยังสามารถพิจารณาการแจกแจงของตัวแปรสุมชนิดตอเน่ือง เชน การแจกแจงปกติ การแจกแจงไคสแควร และการแจกแจงเอฟ ซ่ึงสามารถพิจารณารายละเอียดไดดังตอไปน้ี

3.5.1 การแจกแจงแบบปกติ (The Normal Distribution) 1. ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน

ถา X ตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงแบบปกติ ดวยพารามิเตอร μ และ2σ แทนดวย ),(N~X 2σμ มีฟงกชันความ

หนาแนนนาจะเปน คือ

( ) ∞<<∞−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

σμ−

−πσ

= x;x

2

1exp

2

1xf

2

2

โดยที่ μ คือ พารามิเตอรแสดงคาเฉลี่ย และ σ คือ พารามิเตอรแสดงสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน

2. แผนภาพแสดงเสนโคงของฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของการแจกแจง

จากฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของการแจกแจงแบบปกต ิ เม่ือนํามาเขียนเสนโคงการแจกแจง พบวา เม่ือกําหนดพารามิเตอรแสดงคาเฉลี่ยเปน 0 และพารามิเตอรแสดงสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานเปน 1.5 เสนโคงความหนาแนนนาจะเปน สามารถพิจารณาดังรูป


- 69 -

รูป 1 แสดงฟงชันกความหนาแนนนาจะเปนของการแจกแจงแบบปกติ เม่ือกําหนดพารามิเตอรแสดงคาเฉลี่ยเปน 0 และพารามิเตอรแสดงสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานเปน 1.5 จากรูปที่ 1 พบวา การแจกแจงแบบปกติจะใหเสนโคงการแจกแจงที่สมมาตร มีลักษณะเปนรูประฆังคว่ํา โดยจุดสมมาตร คือ คาเฉลีย่ ซ่ึงแบงพ้ืนที่ใตโคงออกเปนสองสวนเทาๆกัน และเม่ือกําหนดพารามิเตอรแสดงคาเฉลี่ยมีคาคงที ่ และพารามิเตอรแสดงสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานไมคงที่ สามารถเขียนโคงการแจกแจง ไดดังรูป 2

รูป 2 แสดงฟงชันกความหนาแนนนาจะเปนของการแจกแจงแบบปกติ เม่ือกําหนดพารามิเตอรแสดงคาเฉลี่ยมีคาคงที ่ และพารามิเตอรแสดงสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานไมคงที่ จากรูปที่ 2 เม่ือกําหนดพารามิเตอรแสดงคาเฉลี่ยมีคาคงที่ และพารามิเตอรแสดงสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานมีคาลดลง พบวา เสนโคงมีความโดงมากข้ึน และการกระจายของขอมูลจะนอยลงดวย และเม่ือกําหนดพารามิเตอรแสดงคาเฉลี่ยมีคาไมคงที่ และพารามิเตอรแสดงสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานคงที่ สามารถเขียนโคงการแจกแจง ไดดังรูป 3

รูป 3 แสดงฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของการแจกแจงแบบปกติ เม่ือกําหนดพารามิเตอรแสดงคาเฉลี่ยมีคาไมคงที่ และพารามิเตอรแสดงสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานคงที ่

จากรูปที่ 3 เม่ือกําหนดพารามิเตอรแสดงคาเฉลี่ยมีคาไมคงที่ และพารามิเตอรแสดงสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานมีคาคงที่ พบวา เสนโคงมีลักษณะเหมือนกันทุกเสน แตตําแหนงของขอมูลจะมีคามากขึ้น

3. ฟงกชันการแจกแจงสะสม ( The Cumulative Function )

ถา X ตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงแบบปกติ ดวยฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน )x(f แลวฟงกชันการแจกแจงสะสม (Cumulative Distribution Function) ของการแจกแจงแบบปกติ คือ

( ) ∫∞− ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

σμ−

−πσ

=<=x 2

2dx

x

2

1exp

2

1xXP)X(F

หรือ ( ) ∫∞

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

σμ−

−πσ

−=>−=x

2

2dx

x

2

1exp

2

11xXP1)X(F

4. การคํานวณความนาจะเปน สําหรับการแจกแจงแบบปกติ ในการคํานวณความนาจะเปนสําหรับเหตุการณที่ตัวแปรสุม X ที่มีการแจกแจงแบบปกต ิ เชน ตองการคํานวณความนาจะเปนของ

เหตุการณที่ตัวแปรสุม X มีคามากกวาคาคงที่ใดๆ a ( ( )aXP > ) หรือเหตุการณที่ตัวแปรสุม X มีคานอยกวาคาคงที่ใดๆ a

( ( )aXP < ) หรือเหตุการณที่ตัวแปรสุม X มีคาอยูระหวางคาคงทีส่องคาใดๆ a และ b ( ( )bXaP << ) เปนตน ซ่ึงการคํานวณคา

ดังกลาวตามหลักการทางคณิตศาสตรมักใชการอินทิเกรตมาชวยดังน้ี


- 70 -

∫∞

=>af(x)dxa)X(P

∫∞−

=>af(x)dxa)X(P

∫=<<b

af(x)dxb)Xa(P

สําหรับการอินทิเกรตฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของการแจกแจงแบบปกติน้ัน เปนกระบวนการที่คอนขางยุงยาก ซ่ึงในทางปฏิบัติมักจะหาคาดังกลาวโดยการเปดตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน ซ่ึงจะกลาวถึงรายละเอียดดังน้ี

เน่ืองจาก X เปนตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงแบบปกติ ดวยฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน

∞<<∞−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−= x;x

2

1exp

2

1f(x)

2

2 σμ

σπ

ให σμ−

=x

z จะไดวา z เปนตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน (Standard Normal Distribution) ดวยฟงกชันความ

หนาแนนนาจะเปน

∞<<∞−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−= z;

2

zexp

2

1f(z)

2

2σπ

ดังน้ัน การคํานวณความนาจะเปนสําหรับการแจกแจงปกติ สามารถกระทําไดดังน้ี

จาก ∫∞

=>af(x)dxa)X(P จะไดวา ∫

∞

−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −>

σμσ

μa

f(z)dza

zP

จาก ∫∞−

=>af(x)dxa)P(X จะไดวา ∫

−

∞−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −<

σμ

σμ

a

f(z)dza

zP

จาก ∫=<<b

af(x)dxb)Xa(P จะไดวา ∫

−

−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

<<− σ

μ

σμσ

μσμ

b

af(z)dz

bz

aP

และการคํานวณความนาจะเปนของตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน สามารถพิจารณาจากการเปดไดจากตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน (ภาคผนวก) ไดดังน้ี

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596


- 71 -

จากรูปสามารถเปดตารางเพื่อหาความนาจะเปน เร่ิมเปดตั้งแต 0z = น่ันคือ ความนาจะเปนที่ z นอยกวา 0 มีคาเทากับ 0.5000

และถาตองการหาคาความนาจะเปนที่ z นอยกวา a ที่มีคาเปนบวก สามารถเปดตารางการแจกแจงปกติมาตรฐานเพื่อหาคาความนาจะเปนได

เลย เชนความนาจะเปนที่ z นอยกวา 2.08 แทนดวยสัญลักษณ ( )08.2zP < สามารถเปดตารางที่คา z ในแนวตั้งมีคา 2.0 และคา z

ในแนวนอนมีคา 0.08 จะไดคาความนาจะเปนที่ 08.2<z มีคาเทากับ 0.9812 ดังรูป

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

สําหรับการหาคาความนาจะเปนที่ z มากกวา a ที่มีคาเปนบวก สามารถเปดตารางสวนที่เปนความนาจะเปนที่นอยกวา a กอน แลวจึงนําไปลบออกจาก 1 เชนการหาความนาจะเปนที่ z มากกวา 2.08 สามารถดําเนินการโดยเปดตารางหาความนาจะเปนที่ z นอยกวา 2.08 กอน แลวจึงนําไปลบออกจาก 1 จะไดคาความนาจะเปนที่ 08.2>z มีคาเทากับ 1 - 0.9812 = 0.0188 ดังรูป

สําหรับการหาคาความนาจะเปนที ่ z มากกวา a ที่มีคาเปนลบ สามารถเปดตารางความนาจะเปนไดโดยการเปลี่ยนคาลบใหเปนคา

บวกแลวจึงนําไปเปดตารางที ่ z นอยกวา a ที่มีคาเปนบวก เชนถาตองการหาความนาจะเปนที่ z มากกวา -1.59 สามารถเปดตารางความนาจะเปนไดโดยการเปลี่ยน -1.59 ใหเปน 1.59 แลวจึงทําการเปดตารางหาความนาจะเปนที่ z นอยกวา 1.59 ดังน้ี

จาก 0.94411.59)z(P1.59)z(P =<=−<

ดังน้ัน ความนาจะเปนที่ z มากกวา -1.59 เทากับ 0.9441 ดังรูป

สําหรับการหาคาความนาจะเปนที ่ z นอยกวา a ที่มีคาเปนลบ สามารถเปดตารางไดทํานองเดียวกับกรณี z มากกวา a ที่มีคาเปนบวก เชนถาตองการหาความนาจะเปนที่ z นอยกวา -1.59 สามารถเปดตารางความนาจะเปนทํานองเดียวกับความนาจะเปนที่ z มากกวา 1.59 ไดดังน้ี จาก 1.59)z(P11.59)z(P −<−=−>

น่ันคือ 1.59)z(P11.59)z(P −>−=−<

1.59)z(P1 <−=

.944101−= 0.0559=

ดังน้ัน ความนาจะเปนที่ z นอยกวา -1.59 เทากับ 0.0559 ดังรูป

0.9441

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441


- 72 -

สําหรับการหาคาความนาจะเปนที ่ z อยูระหวางจํานวนจริงสองคา a และ b , หรือ bza << เราสามารถเปดตารางเพื่อหาคาความนาจะเปนไดดังตารางตอไปน้ี

a b รูปพ้ืนท่ีความนาจะเปน ความนาจะเปน

+ +

สามารถเปดตารางโดยอาศยัความสัมพันธ a)z(Pb)z(Pb)za(P <−<=<<

- -

สามารถเปดตารางโดยอาศยัความสัมพันธ b)z(Pa)z(Pb)za(P <−<=−<<−

- +

สามารถเปดตารางโดยอาศยัความสัมพันธ )a)z(P1()(Pb)za(P <−−<=<<− bz

ตัวอยางท่ี 3.10 จงหาความนาจะเปนตอไปน้ี

1. ( )51.2zP < 5. ( )29.1z21.0P <<

2. ( )95.0zP −< 6. ( )29.0z21.2P −<<−

3. ( )78.2zP −> 7. ( )59.2z89.2P <<−

4. ( )51.1zP > 8. ( )35.0z67.1P <<−

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441


- 73 -

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอยางท่ี 3.11 กําหนดขอมูลชุดหน่ึงสุมไดจากประชากรมีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย 30 และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 1.5 จงหาความนาจะเปนตอไปน้ี

1. ( )30XP < 5. ( )5.29X27P <<

2. ( )35XP < 6. ( )25.33X75.30P <<

3. ( )5.29XP > 7. ( )75.30X5.28P <<

4. ( )25.31XP > 7. ( )40X30P <<

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 74 -

………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอยางท่ี 3.12 ในการวัดกระแสในขดลวดซึ่งมีการแจกแจงปกติดวยคาเฉลีย่ 10 mA และความแปรปรวน 4 (mA)2 จงหาความนาจะเปนที่คาที่วัดได จะมีคากระแสมากกวา 13 mA วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… การแจกแจงแบบอื่น ๆ

กรแจกแจงตัวแปรสุมชนิดตอเน่ืองมีหลากหลาย เชน การแจกแจงแบบที การแจกแจงแบบไคสแควร การแจกแจงแบบเอฟ การ แจกแบบแกมมา การแจกแจงแบบเบตา การแจกแจงแบบไวบูลล การแจกแจงแบบอินเวอรสเกาสเซียน เหลาน้ีเปนตนน้ัน สามารถศึกษารายละเอียดที่มากข้ึนในวิชาสถิติข้ันสูงตอไป


- 75 -

แบบฝกหัดทายบทที่ 3


- 76 -


- 77 -


- 78 -


- 79 -


- 80 -


- 81 -


- 82 -


- 83 -


- 84 -

การแจกแจงของตัวอยาง ( Sampling distribution ) การอนุมานเชิงสถิติเปนการใชขอมูลจากตัวอยางไปทําการสรุปผลหรือทํานายผลเกี่ยว กับคาวัดลักษณะของประชากรหรือคาพารามิเตอร เน่ืองจากคาสถิติมีคาไดหลายคาในประชากรหนึ่ง ๆ ซ่ึงจะข้ึนอยูกับตัวอยางที่เราสุมได ดังน้ันคาสถิติจึงเปนตัวแปรสุมที่ข้ึนอยูกับตัวอยาง

เม่ือสุมตัวอยางดวยตัวอยางขนาดหนึ่งจากประชากรหรือทําการทดลองสุมซํ้าๆกันหลายครั้งจะไดตัวอยางข้ึนมาหลายชุด เม่ือพิจารณา

คาที่ไดจากตัวอยางแตละชุด เชน คาเฉลี่ย )x( สัดสวน ( )p̂ และ ความแปรปรวน )s( 2จะเห็นวาคาตัวแปรเหลาน้ีเปน random variable

(ตัวแปรสุม) เม่ือศึกษาเกี่ยวกับการแจกแจงของตัวแปรเชิงสุม จะเรียกวา การแจกแจงของตัวอยาง การแจกแจงของตัวอยางจะข้ึนอยูกับขนาดของประชากร ขนาดของตัวอยาง และวิธีการเลือกหนวยตัวอยาง เพื่อจะใหไดตัวอยางที่จะเปนตัวแทนของประชากรไดดี เรามักจะเลือกหนวยตัวอยางจากประชากรตามความเหมาะสมและขอจํากัดที่มีอยู ดังน้ันการเลือกตัวอยางจึงทําไดหลายวิธี โดยทั่วไปแลวเราตองการตัวอยางสุมเพื่อขจัดความลําเอียงของผูสุมตัวอยาง ในการสุมตัวอยางจากประชากรแยกออกไดเปน 2 วิธีใหญ ๆ คือ

1. การสุมตัวอยางที่ทราบความนาจะเปน (Probability Sampling) เปนการสุมตัวอยางที่แตละหนวยตัวอยางที่สุมไดทราบคา ความนาจะเปน การสุมตัวอยางดวยวิธีน้ีในทางสถิตินิยมใชกันมาก เน่ืองจากสามารถวัดความคลาดเคลื่อน และลดความอคติของการสุมตัวอยางได

2. การสุมตัวอยางที่ไมทราบความนาจะเปน (Non-Probability Sampling) เปนการเลือกตัวอยางจากประชากรโดยใช วิจารณญาณของผูเลือกตัวอยางเอง หรือจากความสะดวกของการเลือกเปนหนวยตัวอยาง ถึงแมในทางปฏิบัติจะนิยมใชการสุมตัวอยางโดยวธิีแรก แตในบางกรณีการสุมตัวอยางดวยวิธีที่สองก็ยังมีความจําเปนอยู เชน การเลือกตัวอยางจากประชากรโดยใชโควตา(Quota Sampling) เชน ในการสัมภาษณครัวเรือนเกี่ยวกับเร่ืองตาง ๆ กอนการเก็บตัวอยาง เราอาจมีการกําหนดโควตาของหนวยตัวอยางแยกตามอายุ เพศ รายได และที่ต้ัง เปนตน

ในการสุมตัวอยางที่ทราบคาความนาจะเปนมีเทคนิคการสุมตัวอยางหลายชนิดดวยกัน สําหรับการสุมตัวอยางที่นิยมใชกันมี 4 ประเภท ดังน้ี

1. การเลือกตัวอยางอยางงาย (Simple Random Sampling) เปนการเลือกตวัอยางที่ทุกหนวยในประชากรมีโอกาสถูกเลือกเทา ๆ กัน การเลือกตัวอยางแบบงายเปนวิธีที่สะดวกและงายที่สุดเหมาะสําหรับประชากรที่มีหนวยตัวอยางคลายคลงึกัน ในบางครั้งเราเรียกตัวอยางที่ไดจากวิธีน้ีวา ตัวอยางสุม (Random Sample)

2. การเลือกตัวอยางแบบมีระบบ (Systematic Sampling) เปนการสุมตัวอยางที่มีการเลือกหนวยตัวอยางทุกหนวยที่ k ใน ประชากร โดยหนวยตัวอยางสุมเร่ิมตนเปนการเลือกสุมระหวาง k หนวยแรก การเลือกตัวอยางโดยวธิีน้ีงายและไดหนวยตัวอยางที่กระจายทั่วไปในประชากร อยางไรก็ตามการเลือกตัวอยางแบบนี้ยังมีขอเสีย คือ ถาหนวยตัวอยางในประชากรไมเกิดข้ึนโดยสุม เราจะไดหนวยตัวอยางที่ไมดี

3. การเลือกตัวอยางแบบแบงชั้นภูมิ (Stratified Random Sampling) เปนการเลอืกตัวอยางแบบงายจากประชากรที่มีการแบงชั้นภูมิ (Stratum) โดยอาศัยหลักเกณฑที่แตละชั้นภูมิมีลักษณะของหนวยตัวอยางที่คลายคลึงกัน และถาตางชั้นภูมิลักษณะหนวยตัวอยางมีลักษณะที่แตกตางกัน ในกรณีประชากรมีลักษณะตางกันตามแตละชั้นภูมิ การสุมตัวอยางโดยวิธีน้ีสามารถเพิ่มความแมนยําในการประมาณคาของประชากรไดดีกวาวิธีการเลือกตัวอยางแบบงาย


- 85 -

4. การเลือกตัวอยางแบบแบงกลุม (Cluster Sampling) เปนการเลือกกลุมของหนวย ตัวอยางโดยสุมจากประชากร การเลือกหนวยตัวอยางจากแตละกลุมอาจะเลือกหนวยตัวอยางทัง้หมด หรือ เลือกเพียงบางหนวยก็ได การแจกแจงของกลุมตัวอยาง

การแจกแจงของคาเฉลี่ยจากตัวอยาง )X( ถาสุมตัวอยางขนาด n จากประชากรหนึ่งที่มีการแจกแจงปกติมีคาเฉลีย่ μ และ สวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน σ คาเฉลีย่ของ

ตัวอยาง (n

XX

n

1ii∑

== ) จะมีคาเฉลี่ยเทากับ μ และมีสวนเบ่ียงเบน มาตรฐานเปน n

σ

หรือถา X ~ ),(N 2σμ จะได X ~ )n

,(N2σ

μ

สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคาเฉลี่ยของตัวอยางจะเรียกวา ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของคาเฉลี่ยของตัวอยาง หรือ ความคลาด

เคลื่อนมาตรฐาน ( The standard error of the sample mean : xσ ) จะไดวา

n

XZ

σμ−

= ~ N(0,1)

ตัวอยาง 4.1 ชวงเวลาการโฆษณา ของรายการโทรทศันรายการหนึ่งมีการแจกแจงปกติ มีคาเฉลี่ยเทากับ 3 สวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 2 นาที ถาสุมตัวอยางชวงการโฆษณา 25 ชวง จงหาความนาจะเปนที่คาเฉลีย่ของชวงเวลาโฆษณาจะสูงกวา 4 นาที วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

แรเงาบริเวณความนาจะเปน


- 86 -

ตัวอยาง 4.2 คะแนนการสอบครั้งหน่ึงมีการแจกแจงปกติ คาเฉลี่ย 480 คะแนน สวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 100 คะแนน ทําการสุมคะแนนสอบจํานวน 64 คน จงหาความนาจะเปนที่

1. คะแนนเฉลี่ยของทัง้ 64 คน มากกวา 500 คะแนน

2. คะแนนเฉลี่ยของทัง้ 64 คน มีทั้งคาระหวาง 450 ถึง 500 คะแนน วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………


ตัวอยาง 4.3 อายหุลอดไฟของบริษัทแหงหน่ึงมีการแจกแจงงแบบปกติมีคาเฉลีย่เทากับ 800 ช่ัวโมง และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทากับ 40 ช่ัวโมง ถาสุมตัวอยางขนาด 16 หลอด จงหาความนาจะเปนที่อายุหลอดไฟเฉลีย่จะตํ่ากวา 775 ช่ัวโมง วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………



- 87 -

ทฤษฎีลิมิตสูสวนกลาง (Central limit Theorem)

ถา X เปนคาเฉลีย่ของตัวอยางสุมขนาด n ที่มีขนาดใหญพอ จากประชากรที่มีการแจกแจงใด ๆ มีคาเฉลี่ยเปน μ และความ

แปรปรวน 2σ แลว การแจกแจงคาเฉลีย่ตัวอยาง )X( จะมีการแจกแจงใกลเคียงกับการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ยเปน μ ความแปรแรวนเปน

n

2σ เม่ือ n ใหญพอจะได )

n,(N~X

2σμ โดยที่

n

XZ

σμ−

= ~ N(0, 1)

เม่ือ 30n≤ หรือไมทราบคาความแปรปรวนประชากร จะใชความนาจะเปนของตัวอยางประมาณคา ดังน้ัน ฟงกชันที่ไดจากตัวอยางสุม

จะเปน ns

XT

μ−= เม่ือ df = n – 1

ตัวอยาง 4.4 ถาคาจางแรงงานตอวันของคนงานในโรงงานใหญแหงหน่ึงมีคาเฉลี่ย 180 บาท คาเบ่ียงเบนมาตรฐาน 5 บาท ถาสุมคนงานมา 75 คน จงหาความนาจะเปนที่คนงานจะไดคาจางแรงงานในโรงงานตอวัน โดยเฉลี่ยระหวาง 179 และ 181 บาท วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………


ตัวอยาง 4.5 บริษัทผลิตหลอดวิทยุแหงหน่ึง ไดผลิตหลอดวิทยุซ่ึงม่ีอายุการใชงานโดยเฉลี่ย μ เดือนสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 4 เดือน เพ่ือควบคุมคุณภาพของสินคา ซ่ึงสุมจากตัวอยางหลอดวิทยุมาจํานวน 49 หลอด จงหา

1. ความนาจะเปนที่อายุการใชงานเฉลี่ยของตัวอยางแตกตางไปจาก μ นอยกวา 1 เดือน 2. ถาความนาจะเปนเฉลี่ยจากตัวอยางแตกตางไปจาก μ มากกวา 1.2 เดือน ข้ึนไปมีคาเทากับ 0.0124 จะตองสุมเทาไร โดยใชสวน

เบ่ียงเบนมาตรฐานเทาเดิม วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………



- 88 -

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………



- 89 -

การประมาณคา 5.1 การประมาณคาทางสถิติ 5.1.1 ชนิดของการประมาณคา 5.1.2 ระดับความเชื่อม่ัน 5.2 การประมาณคาเฉลี่ย 5.2.1 การประมาณคาเฉลี่ยของประชากรเดียว 5.2.2 การประยุกตใชการประมาณคาเฉลี่ยของประชากรเดียว

วัตถุประสงคที่สําคัญในการศึกษาวิชาสถิติน้ัน เพื่อจะหาขอสรุปเกี่ยวกับลักษณะตางๆของประชากรที่สนใจศึกษา เชนรายไดเฉลี่ยของคนไทย สัดสวนของคนไทยที่รูหนังสือ เปนตน สําหรับการศึกษาขางตน ถาตองการทราบขอสรุปที่แทจริงของประชากรจําเปนตองรูรายละเอียดของประชากรที่สนใจทุกๆหนวย ซ่ึงในทางปฏิบัติมีเงื่อนไขเร่ืองเวลา และคาใชจายมาเกี่ยวของกอนที่จะไดมาซ่ึงรายละเอียดของทุกหนวยประชากรที่สนใจ ดังน้ัน จําเปนตองใชรายละเอียดบางหนวยของประชากรมาเปนตัวแทนเพื่อนําไปอนุมานประชากรที่สนใจ เชน ถาตองการหารายไดเฉลี่ยของคนไทย ในทางปฏบัิติเราไมสามารถที่สอบถามขอมูลเกี่ยวกับรายได กับทุกๆหนวยของประชากรได ดังน้ัน ผูที่ตองการศึกษาในเร่ืองดังกลาวจําเปนตองหาตัวอยางมาสวนหน่ึง เพ่ือนํามาหาขอสรุปเกี่ยวกับรายไดเฉลี่ยของคนไทย ซ่ึงการใชตัวอยางในการอนุมานดังกลาว สามารถทําได 2 แนวทาง คือ

1. การประมาณคา 2. การทดสอบสมมติฐาน การประมาณคาเปนการอนุมานเชิงสถิติในรูปของการตอบคําถามวา ลักษณะของประชากรเปนเชนไร โดยลักษณะของประชากรที่

เราสนใจมักจะสรุปไดในรูปคาพารามิเตอร เราตองการทราบวาคาพารามิเตอรเปนเทาไรโดยใชตัวอยางมาทําการประมาณ และการประมาณคาโดยทั่วๆไป คือการประมาณคาเฉลีย่ประชากร สัดสวนประชากร และความแปรปรวนประชากร 5.1 วิธีการประมาณคา

การประมาณคา เปน การประมาณพารามิเตอรหรือลักษณะของประชากร โดยใชขอมูลจากตัวอยาง ซ่ึงสามารถแบงการประมาณ คาเปน 2 แบบ คือ การประมาณคาแบบจุด (Point Estimation) และการประมาณคาแบบชวง (Interval Estimation) รายละเอียดดังตอไปน้ี การประมาณคาแบบจุด

เปนการประมาณพารามิเตอรหรือลักษณะของประชากร โดยใชตัวเลขเพียงตัวเดียวจากตวัอยางสุม เชน

ใชคาเฉลี่ยตัวอยาง ( X ) ในการประมาณคาเฉลีย่ประชากร ( μ )

ใชสัดสวนตัวอยาง ( p̂ ) ในการประมาณสัดสวนประชากร ( p )

ใชความแปรปรวนตัวอยาง( 2S ) ในการประมาณความแปรปรวนประชากร (2σ ) ซ่ึงสามารถทําความเขาใจไดดังรูปที่ 1


- 90 -

รูปท่ี 1 แสดงการสุมตัวอยางและการอนุมานทางสถิติ คาประมาณแบบจุด อาจจะมีคาเทากับคาพารามิเตอรหรือไมก็ได และมีโอกาสคลาดเคลือ่นจากคาพารามิเตอรไดมากขึ้นข้ึนอยูกับวาการสุมตัวอยางไดตัวอยางเปนตัวแทนที่ดีของประชากรมากนอยขนาดใหน ถาตัวอยางที่เลอืกมาเปนตัวแทนที่ดีของประชากร คาสถิติที่ไดก็จะมีคาใกลเคียงหรือเทากับคาพารามิเตอรของประชากร เชน ถาตองการทราบรายไดเฉลี่ยของประชากรจังหวัดเชียงใหม จึงใหบุคคล 3 คน คือ นาย ก. นาย ข. และนาย ค. เปนผูดําเนินการดังกลาว พบวา นาย ก. นาย ข. และนาย ค. ทําการเลือกตัวอยางและคํานวณคาเฉลี่ย

( X ) เทากับ 3,000 , 10,500 และ 8,500 บาท ตามลําดับ สมมุติวาจากอดีตมีคนเคยหารายไดเฉลี่ยของประชากรดังกลาวนี้ไว คือ 8,450 บาท สังเกตวา นาย ก. และนาย ข. มีรายไดเฉลี่ยคลาดเคลือ่นจากคาเฉลี่ยประชากรคอนขางมาก สวน นาย ค. มีรายไดเฉลี่ยคลาดเคลื่อนจากคาเฉลี่ยประชากรใกลเคียงกับรายไดเฉลี่ยประชากรมากที่สุด ซ่ึงแสดงวาในขั้นตอนการสุมตัวอยาง นาย ค. สามารถสุมตัวอยางไดตัวอยาที่เปนตวัแทนที่ดีของประชากร เปนตน การประมาณคาแบบชวง

เปนการประมาณคาพารามิเตอรของประชากรวาอยูในชวงใดชวงหน่ึง โดยใชตัวอยางสุมซ่ึงชวงของการประมาณคาจะบอกถึงคา ตํ่าสุดและคาสูงสุดของพารามิเตอร เชน ถาประมาณไดวา UL <μ< หมายถึง คาเฉลี่ยของประชากร (μ ) จะอยูระหวาง L และ U

ยกตัวอยางเชน รายไดเฉลี่ยของคนเชียงใหมอยูในชวง 5,000 ถึง 9,500 บาท หรือ 500,9000,5 <μ< พบวา ถากําหนดรายไดเฉลี่ย

ของคนเชียงใหมทีเ่คยศึกษาไวเทากบั 8,450 บาท ไดวาการประมาณชวงขางตนคลอบคลุมคาพารามิเตอร ซ่ึงเปนตัวบงชี้วาการประมาณแบบชวงมีโอกาสคลาดเคลื่อนจากพารามิเตอรนอยกวาการประมาณแบบจุด และสามารถแสดงใหเห็นชัดเจนไดดังรูปที่ 2

รูปท่ี 2 แสดงการประมาณคาแบบจุด และแบบชวง

จากรูป พบวาการประมาณคาแบบจุด จุด e มีคาใกลเคียงกับพารามิเตอรแสดงคาเฉลี่ยประชากรมากที่สุด แสดงวาในขั้นตอนการสุมตัวอยางที่ไดมาซึ่งคาประมาณแบบจุด e เปนตัวแทนคอนขางดีกวาคาประมาณแบบจุด a , b , c , d และ f และสําหรับการประมาณคาแบบชวง พบวาชวงการประมาณคา A , B , C , D และ E เปนชวงที่คลอบคลุมคาพารามิเตอรแสดงคาเฉลีย่ของประชากร มีเพียงชวงการประมาณคา F เทาน้ันที่ไมคลอบคลุม จากเหตผุลขางตนจะเห็นไดชัดวาการประมาณคาแบบจุดมักมีโอกาสคลาดเคลื่อนมากกวาการประมาณคาแบบชวง สําหรับการประมาณคาแบบชวงน้ัน การไดมาซึ่งคาต่ําสุด ( L ) และคาสูงสุด (U ) จะข้ึนอยูกับระดับความเชื่อม่ันในการประมาณคาหรือสามารถกลาวไดวาความกวางของการประมาณคาแบบชวงจะข้ึนอยูกับระดับความเชื่อม่ัน และการกระจายของสิ่งที่สนใจศึกษา ถาชวงความเชื่อม่ันสูงและการกระจายมีคามาก ชวงการประมาณจะกวาง น่ันคือ L และ U มีความแตกตางกันมาก และในทางตรงกันขามถาชวงความเชื่อม่ันต่ําและการกระจายมีคานอย ชวงการประมาณจะกวาง น่ันคือ L และ U มีความแตกตางกันนอย ระดับความเชื่อม่ัน (Level of Confidence) คือ ความนาจะเปนที่พารามิเตอรของประชากรจะอยูในชวงของคาประมาณได หรือความนาจะเปนที่การประมาณคาแบบชวงจะคลอบคลุมพารามิเตอรของประชากร ยกตัวอยางเชน

( ) 95.0ULP =<μ< หมายถึงความนาจะเปนที่พารามิเตอรแสดงคาเฉลี่ยประชากรμ จะอยูในชวงระหวาง L และ U

เทากับ 95.0 หรือ %95 และพบวาความนาจะเปนที่ พารามิเตอรแสดงคาเฉลี่ยประชากร μ จะไมอยูในชวงระหวาง L และ U

น่ันคือ μ นอยกวา L หรือ μ มากกวา U มีคาเทากับ 05.0 หรือ %5 ซ่ึงเขียนสัญลักษณไดเปน

( ) ( ) 05.0UPLP =>μ+<μ

ประชากร ตัวอยาง

สุมตัวอยาง

อนุมาน


- 91 -

( ) 95.0pppP UL =<< หมายถึงความนาจะเปนที่พารามิเตอรแสดงสัดสวนประชากรp จะอยูในชวงระหวาง Lp

และ Up เทากับ 95.0 หรือ %95 และพบวาความนาจะเปนที่พารามิเตอรแสดงสัดสวนประชากร p จะไมอยูในชวงระหวาง Lp และ Up

น่ันคือ p นอยกวา Lp หรือp มากกวา Up มีคา เทากับ 05.0 หรือ %5 ซ่ึงเขียนสัญลักษณไดเปน

( ) ( ) 05.0ppPppP UL =>+<

หรือกลาวไดวา ( ) 95.0ULP =<μ< คือ สําหรับการสุมตัวอยางขนาด n จากประชากร 100 คร้ังๆละ n หนวย การ

ประมาณคาเฉลีย่ประชากรแบบชวงจะคลอบคลุมพารามิเตอรของประชากร μ จํานวน 95 คร้ัง และไมคลอบคลุมพารามิเตอรของประชากร μ

จํานวน 5 คร้ัง และเปนในทํานองเดียวกันสําหรับพารามิเตอรอ่ืนๆ นอกจากนี้แลวยังสามารถทําเขาใจไดงายข้ึนโดยพิจารณาจากรูปที่ 3 โดยทําการสุมตัวอยางจากประชากร 20 คร้ังๆ ละ n หนวย แลวทําการประมาณคาเฉลี่ยประชากรแบบชวงจะไดชวงทั้งหมด 20 ชวง ถากําหนดชวงความเชื่อม่ัน 95.0 หรือ %95 หมายถึงการประมาณคาเฉลีย่ประชากรแบบชวงจะคลอบคลุมพารามิเตอรของประชากร μ จํานวน 19 คร้ัง และไมคลอบคลุมพารามิเตอรของประชากร μ จํานวน 1

คร้ัง ดังรูปที่ 3

รูปท่ี 3 แสดงการไมคลอบคลุมพารามิเตอรของประชากร μ สําหรับการประมาณคาแบบชวง

สําหรับกรณีทั่วไป กําหนดใหระดับความเชื่อม่ันเปน α−1 หรือ ( ) %1001 α− คือความนาจะเปนที่การประมาณคาผิดพลาด

เปน α หรือ %100α ถากําหนดใหระดับความเชื่อม่ันมีคามาก จะทําใหความนาจะเปนที่การประมาณคาผิดพลาดในการประมาณมีคานอย และความนาจะเปนที่การประมาณคาผิดพลาดดังกลาวสามารถเรียกชื่อเปน ระดับนัยสําคัญ ซ่ึงสามารถเขียนสมการทั่วไปในการประมาณคาแบบชวงเปน

คาเฉลีย่ของประชากร ( ) α−=<μ< 1ULP

สัดสวนของประชากร ( ) α−=<< 1pppP UL

ความแปรปรวนของประชากร ( ) α−=σ<σ<σ 1P 2U

22L

โดยที่ L2

L,p,L σ คือขีดจํากัดความเชื่อม่ันลาง (Lower Confidence Limit)

U2

U,p,U σ คือขีดจํากัดความเชื่อม่ันบน (Upper Confidence Limit)

ระดับความเชื่อม่ันที่นิยมใชในงานวิจัยท่ัวไป คือ 90.0 , 95.0 , 99.0 หรือ %99,%95,%90 ตามลําดับ

5.2 การประมาณคาพารามิเตอร 5.2.1 การประมาณคาเฉลี่ยของประชากรกลุมเดียว

การประมาณคาเฉลี่ยแบบจุด

ในการประมาณพารามิเตอรแสดงคาเฉลี่ยของประชากรแบบจุด μ ดวยคาสถิติ X ซ่ึงสามารถพิจารณาจากสมการตอไปน้ี

N

XN

1ii∑

==μ และ n

XX

n

1ii∑

==

โดยที่ iX เปนคาสังเกตคาที่ i , n เปนขนาดตัวอยา งและ N เปนขนาดประชากร


- 92 -

ตัวอยางท่ี 5.1 ในการประมาณราคาขายปลีกเฉลี่ยของเน้ือหมูแดงในจังหวัดนาน จึงไดทําการสุมตัวอยางผูคาปลีกจากตลาดตางๆ ในจังหวัดนาน จํานวน 30 รานคา สอบถามราคาขายเนื้อหมูแดงตอกิโลกรัมไดขอมูลดังน้ี

90 102 105 95 95 105 95 99 99 96 94 104 92 95 98 93 91 99 90 96 94 92 99 92 95 94 91 90 102 93

จงประมาณราคาขายปลีกเฉลี่ยของเน้ือหมูแดงในจังหวัดนานดังกลาว โดยการใชตัวประมาณแบบจุด วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………การประมาณคาเฉลี่ยแบบชวง

สําหรับการประมาณคาเฉลี่ยประชากรแบบชวงจากสมการความนาจะเปนตอไปน้ี

( ) α−=<μ< 1ULP

สังเกตวา α−1 เปนระดับความเชื่อม่ันที่กําหนดข้ึน และส่ิงที่จําเปนตองหา คอื ขีดจํากัดความเชื่อม่ันลาง ( L ) และขีดจํากัดความเชื่อม่ันบน ( U ) ซ่ึงในการดําเนินการดังกลาวตองพิจารณาถึง

1. การแจกแจงของประชากร 2. ขนาดตัวอยาง 3. ความแปรปรวนของประชากรซึ่งอาจจะทราบหรือไมก็ไดและในการคํานวณ L และUสามารถพิจารณาไดเปน 3 กรณี ดังน้ี

กรณีท่ี1 ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติทราบความแปรปรวนของประชากร(2σ )

เน่ืองจากคาประมาณแบบจุดของคาเฉลี่ยประชากร( μ ) คือ คาเฉลีย่ตัวอยาง ( X ) โดยที่ X เปนตัวแปรสุมท่ีมีคาเฉลี่ยเปน

( ) μ=μ= XXE และมีคาความแปรปรวน ( )n

XV2

2X

σ=σ=

น่ันคือ ถา ( )2,N~X σμ จะไดวา ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σμ

n,N~X

2

การประมาณคาเฉลี่ยประชากรแบบชวงดวยระดับความเชื่อม่ัน α−1 หรือ ( ) %1001 α− น้ัน ในทางปฏิบัติตองแปลงตัวแปร

X ใหเปนตัวแปรมาตรฐาน z ซ่ึงมีการแจกแจงปกติมาตรฐาน

น่ันคือ ( )1,0N~

n

Xz σ

μ−= ซ่ึงเปนสวนอํานวยความสะดวกในการคํานวณเพราะสามารถเปดตารางการแจกแจง

ปกติมาตรฐาน และการประมาณคาเฉลี่ยแบบชวงสามารถพิจารณาไดดังน้ี


- 93 -

รูปท่ี 4 แสดงการคาเฉลี่ยตัวอยางเปนคะแนนมาตรฐาน

จากรูปท่ี 4 จะไดวา

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛<<−=α− α

−α

−2

12

1zzzP1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ σ+<μ<

σ−= α

−α

− nzX

nzXP

21

21

น่ันคือ n

zXL2

1

σ−= α

− และ

nzXU

21

σ+= α

−

ดังน้ัน การประมาณคาเฉลี่ยประชากรแบบชวงดวยระดับความเชื่อม่ัน α−1 หรือ( ) %1001 α− คือ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ σ+

σ− α

−α

− nzX,

nzX

21

21

หรือ n

zXn

zX2

12

1

σ+<μ<

σ− α

−α

−

ตัวอยางท่ี 5.2 จากตัวอยางที่ 5.1 ถาความแปรปรวนของราคาเนื้อหมูแดงของกรุงเทพมหานคร (2σ ) เปน 10.25 บาท จงประมาณราคาเนื้อ

หมูแดงเฉลี่ยของกรุงเทพมหานครแบบชวงที่ระดับ ความเชื่อม่ัน 90% , 95% และ 99% ตามลําดับ วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 94 -

กรณีท่ี 2 ประชากรมีการแจกแจงแบบใดๆ และตัวอยางขนาดใหญ ( 30n ≥ )

ในการประมาณคาแบบชวงสําหรับกรณีจําเปนตองอาศยัทฤษฎีลิมิตสูสวนกลาง กลาวคือ ถาสุมตัวอยางขนาดใหญจากประชากรที่มี

การแจกแจงแบบใดๆ จะไดวาคาเฉลี่ยตัวอยางจะมีการแจกแจงโดยประมาณแบบปกติดวยคาเฉลี่ย μ และความแปรปรวน n

2σ ซ่ึงสามารถ

ประมาณคาเฉลีย่แบบชวงโดยจําแนกเปนการทราบหรือไมทราบความแปรปรวนของประชากร ไดดังน้ี

- ทราบคาความแปรปรวนของประชากร

คาประมาณแบบชวงของ μ ที่ระดับความเชื่อม่ัน α−1 เม่ือตัวอยางขนาดใหญ ( 30n ≥ ) เปน

nzX

nzX

21

21

σ+<μ<

σ− α

−α

−

ตัวอยางท่ี 5.3 สายการบินแหงหน่ึงมักจะมีจํานวนที่น่ังที่วางในการบินแตละเที่ยวและทราบวาคาเบ่ียงเบนมาตรฐานของจํานวนที่น่ังที่วางเปน 4.1 ที่น่ัง จึงสุมตัวอยางเที่ยวบินในปที่แลวมา 225 เทีย่วบิน คํานวณหาจํานวนที่น่ังวางโดยเฉลี่ยเปน 11.6 ที่น่ัง จงประมาณจํานวนที่น่ังวางโดยเฉลี่ยตอ 1 เที่ยวบิน ที่ระดับความเชื่อม่ัน 95%

ตัวอยางท่ี 5.2 จากตัวอยางที่ 5.1 ถาความแปรปรวนของราคาเนื้อหมูแดงของกรุงเทพมหานคร (2σ ) เปน 10.25 บาท จงประมาณราคาเนื้อ

หมูแดงเฉลี่ยของกรุงเทพมหานครแบบชวงที่ระดับ ความเชื่อม่ัน 90% , 95% และ 99% ตามลําดับ วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร

เน่ืองจากไมทราบความแปรปรวนของประชากร ( 2σ ) ดังน้ัน จึงใชตัวประมาณแบบจุดจากตัวอยาง(

2s ) และคาประมาณแบบ

ชวงของ μ ที่ระดับความเชื่อม่ัน α−1 เม่ือตัวอยางขนาดใหญ ( 30n ≥ ) เปน

n

szX

n

szX

21

21

α−

α−

+<μ<−

โดยที่

( )1n

XXs

n

1i

2i

2

−

−=∑=


- 95 -

ตัวอยางท่ี 5.4 ในการประมาณเวลาเฉลี่ย ( ช่ัวโมง ) ที่นักศึกษาระดับปริญญาตรีในประเทศไทย ใชในการสืบคนขอมูลทางอินเตอรเนต จึงทําสุมตัวอยางนักศึกษามา 1,500 คน มาสอบถามถึงเวลาที่ใชในการสืบคนขอมูลทางอินเตอรเนตและคํานวณหาเวลาเฉลีย่เปน 6.8 ช่ัวโมง และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 2.5 ช่ัวโมง จงประมาณเวลาที่นักศึกษาระดับปริญญาตรีในประเทศไทย ใชในการสืบคนขอมูลทางอินเตอรเนต ที่ระดับความเช่ือม่ัน 99% วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… กรณีท่ี 3 ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติหรือใกลเคียงปกติ ไมทราบความแปรปรวนและตัวอยางขนาดเล็ก ( 30n < )

เม่ือประชากรมีการแจกแจงแบบปกติหรือใกลเคียงปกติ ไมทราบความแปรปรวนและตัวอยางขนาดเล็ก จะประมาณความแปรปรวน

ของประชากร ดวยตัวประมาณแบบจุดจากตัวอยาง และจาก

n

sX

tμ−

= มีการแจกแจงแบบ t ดวยองศาอิสระ 1n − และเน่ืองจากการ

แจกแจงแบบ t เปนการแจกแจงที่สมมาตรเหมือนกับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน ( z ) ดังรูปที่ 7

รูปท่ี 7 แสดงผลตางคาเฉลี่ยเปนคะแนนมาตรฐาน

จากรูปที่ 7 จะไดวา

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<<−=−

−=−−=− 1n.f.d,2

11n.f.d,2

1tttP1 ααα

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+<μ<−=

−=α

−−=α

− n

stX

n

stXP

1n.f.d,2

11n.f.d,2

1

น่ันคือ n

stXL

1n.f.d,2

1 −=α

−−= และ

n

stXU

1n.f.d,2

1 −=α

−+=


- 96 -

ดังน้ัน การประมาณคาเฉลี่ยประชากรแบบชวงดวยระดับความเชื่อม่ัน α−1 หรือ( ) %1001 α− คือ

n

stX

n

stX

1n.f.d,2

11n.f.d,2

1 −=α

−−=α

−+<μ<−

ตัวอยางท่ี 5.5 จากการทดสอบอายุ (ช่ัวโมง) การใชงานของหลอดไฟยี่หอ SANWA001 ซ่ึงผูผลิตอางวาจากการศึกษาในอดีตพบวาหลอดไฟดังกลาวมีการแจกแจงแบบปกติโดยทําการสุมตัวอยางหลอดไฟดังกลาวมาทดสอบอายุการใชงานในหองปฏิบัติการจํานวน 12 หลอด และคํานวณอายุการใชงานเฉลีย่ของหลอดไฟดังกลาวเทากับ 1,598 ช่ัวโมง และคาเบ่ียงเบนมาตรฐานเปน 65 ช่ัวโมง จงประมาณอายุการใชงานเฉลี่ยแบบชวงของหลอดไฟยีห่อ SANWA 001 ที่ระดับนัยสําคัญ 5% วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 97 -

การทดสอบสมมติฐาน 6.1 การทดสอบสมมติฐาน 6.1.1 ความหมายของการทดสอบสมมติฐาน 6.1.2 การตั้งสมมติฐาน 6.1.3 ระดับความมีนัยสําคัญและคาวิกฤต 6.1.4 การทดสอบแบบทางเดียวและสองทาง 6.1.5 ข้ันตอนการทดสอบสมมติฐาน 6.2 การทดสอบสมมติฐานของคาเฉลี่ย 6.2.1 การทดสอบสมมติฐานคาเฉลี่ยของประชากรเดียว 6.2.2 การประยุกตใชการทดสอบสมมติฐานคาเฉลี่ยของประชากรเดียว

6.1 การทดสอบสมมติฐาน

ในกระบวนการหาคําตอบใหกับปญหาที่เกิดข้ึนในทุกแขนงวิชาการจําเปนอยางยิง่ที่ตองวิเคราะหปญหาในเชิงวิทยาศาสตร เพ่ือกําหนดแนวทางในการตอบปญหาดังกลาว หลังจากน้ันจึงใชกระบวนความรูในแขนงวิชาน้ันในการตรวจสอบหรือพิสูจนวาแนวทางที่กําหนดข้ึนน้ันเปนจริงหรือไม ซ่ึงอาจอาศัยการเก็บตัวอยาง หรือการทดลอง เพ่ือใหไดขอมูลมาทําการวิเคราะหเกี่ยวกับขอสรุปสําหรับปญหา ซ่ึงการตัดสินใจสรุปเกี่ยวกับปญหามักเกี่ยวกับพารามิเตอรของประชากรที่สนใจ และกระบวนการดังกลาว เรียกวา การทดสอบสมมติฐาน โดยที่ แนวทางที่นําไปสูคําตอบ เรียกวา สมมติฐาน สามารถพิจารณากระบวนการดังกลาว ดังรูปที่ 12

ปญหา

แนวทางตอบปญหาเชิงวิทยาศาสตร

สมมติฐาน

พิสูจนโดยใชความรูในแตละแขนงวิชา

ทดสอบสมมติฐาน

ขอสรุปเกี่ยวกับปญหา

รูปท่ี 12 แสดงกระบวนการทดสอบสมมติฐาน


- 98 -

6.1.1 ความหมายของการทดสอบสมมติฐาน สมมติฐานทางสถิติ คือแนวทางที่เปนไปไดที่เกิดจากกระบวนการวิเคราะหปญหา โดยบุคคล หรือองคกร รวมถึงความเชื่อของ

บุคคลหรือองคกรที่คาดวาจะเกิดข้ึน ซ่ึงเม่ือมีการพิสูจนแลวอาจเปนจริงหรือไมก็ได ยกตัวอยางเชน

- ผูจัดการโรงงานเงาะกระปอง เช่ือวา นํ้าหนักเฉลี่ยของเงาะกระปองหนักอยางนอยเปน 200 กรัม - กลุมงานตรวจสอบคุณภาพผลิตภัณฑของโรงงานอุตสาหกรรม เช่ือวาในกระบวนการผลิตของโรงงานมีสัดสวนของเสียนอยกวา

1เปอรเซ็นต เปนตน 6.1.2 การตั้งสมมติฐาน

1. ชนิดของสมมติฐานทางสถิติ สมมติฐานทางสถิติสามารถจําแนกไดเปน 2 ชนิด ดังตอไปน้ี

- สมมติฐานวาง (Null Hypothesis) คือ สมมติฐานที่กําหนดคาที่แนนอนใหกับพารามิเตอร ซ่ึงสงสัยวาเปนคาน้ีจริงหรือไม แทน

ดวยสัญลักษณ 0H ยกตัวอยางดังตารางตอไปน้ี

ประชากรเดียว สองประชากร

คาเฉลีย่ 500:H0 =μ 25:H 210 =μ−μ

สัดสวน 75.0p:H0 = 20.0pp:H 210 =−

ความแปรปรวน 20:H 20 =σ

22

210 :H σ=σ

- สมมติฐานแยง (Alternative Hypothesis) เปนสมมติฐานที่ขัดแยงกับสมมติฐานวาง ( 0H ) มีวัตถุประสงคเพ่ือเปนทางเลือก

ในการตัดสินใจปฏิเสธสมมติฐานวาง แทนดวยสัญลักษณ 1H ยกตัวอยางดังตารางตอไปน้ี

ประชากรเดียว สองประชากร

คาเฉลีย่ 500:H1 ≠μ

500:H1 >μ

500:H1 <μ

25:H 211 ≠μ−μ

25:H 211 >μ−μ

25:H 211 <μ−μ

สัดสวน 75.0p:H1 ≠

75.0p:H1 >

75.0p:H1 <

20.0pp:H 211 ≠−

20.0pp:H 211 >−

20.0pp:H 211 <−

ความแปรปรวน 20:H 21 ≠σ

20:H 21 >σ

20:H 21 <σ

22

211 :H σ≠σ

22

211 :H σ>σ

22

211 :H σ<σ

โดยหลักการทางคณิตศาสตร เคร่ืองหมายเทากับ (=) จะถูกขัดแยงดวยเคร่ืองหมายไมเทากับ (≠ ) นอยกวา (<) และมากกวา (>)

ดังน้ัน ในสมมติฐานวางจะกําหนดใหพารามิเตอรที่ตองการทดสอบเทากับคาคงที่ใดๆ แตสําหรับสมมติฐานแยงจะกําหนดใหพารามิเตอรไมเทากับนอยกวา หรือมากกวาคาคงที่น้ันๆ 6.1.3 การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ

การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ เปนกรรมวิธีการที่มีกฎเกณฑ และเกณฑ (Criteria) เพ่ือใชในการตัดสินใจสรุปสมมติฐานตางๆ การตัดสินใจลักษณะการยอมรับสมมติฐาน (Accept Hypothesis) คือ เช่ือในสมมติฐานวาง และการไมยอมรับสมมติฐาน (Reject Hypothesis) คือ ไมเช่ือในสมมติฐานวาง หรือเช่ือสมมติฐานแยง ซ่ึงกรรมวิธีดังกลาวจะอาศยัตัวสถิติประกอบเปนเกณฑในการทดสอบ ดังน้ันการตัดสินใจยอมมีความคลาดเคลื่อนไปจากคาพารามิเตอรจริง


- 99 -

ความคลาดเคลื่อนในการทดสอบสมมติฐาน เน่ืองจากการทดสอบสมมติฐานเปนกระบวนการที่ตองอาศัยตัวอยางสุม เพ่ือหาขอสรุปเกี่ยวกับพารามิเตอร ดังน้ัน ยอมเกิด

ความผิดพลาดเกิดข้ึนเสมอ เชนการไมยอมรับสมมติฐาน 0H ทั้งที่ 0H เปนจริง หรือ การยอมรับสมมติฐาน 0H ทั้งที่ 0H ไมจริง ซ่ึง

ความคลาด ดังกลาวสามารถแบงเปน 2 ประเภท ดังน้ี

ความคลาดเคลื่อนประเภทที่ 1 (Type 1 Error) คือ ความคลาดเคลือ่นในการปฏิเสธหรือไมยอมรับ 0H ทั้งที่ 0H เปนจริง หรือ

ความนาจะเปนที่จะปฏิเสธหรือไมยอมรับ 0H ทั้งที่ 0H เปนจริง ซ่ึงมักจะเรียกวา ระดับนัยสําคัญ (Level of Significant) แทนดวย สัญลักษณ

α ความคลาดเคลื่อนประเภทที่ 2 (Type 2 Error) คือ ความคลาดเคลื่อนในการยอมรับ 0H ทั้งที่ 0H ไมจริง หรือความนาจะเปนที่

จะยอมรับ 0H ทั้งที่ 0H ไมจริง ซ่ึงมักจะแทนดวยสัญลักษณ β

ความคลาดเคลื่อนทั้ง 2 ประเภท สามารถที่จะสรุปไดดังตารางตอไปน้ี ความจริง

ผลการทดสอบ 0H จริง 0H ไมจริง

ยอมรับ 0H ผลสรุปถูกตอง Type 2 Error ( β )

ปฏิเสธ 0H Type 1 Error (α ) ผลสรุปถูกตอง

สําหรับ α และ β สามารถนํามาเขียนพ้ืนที่ได ดังรูปที่ 13

รูปท่ี 13 แสดงความคลาดเคลื่อนประเภทที่ 1 และ 2

โดยทฤษฎี การทดสอบสมมติฐานที่ดีตองทําใหเกิดความคลาดเคลื่อนทั้งสองแบบใหนอยที่สุด แตในทางปฏิบัติ คา α และ β ไม

สามารถทําใหเปนศูนยพรอมกันได จากรูป...แสดงใหเห็นวา ถาคา α มีคานอย จะทําให β มีคามาก และในทางตรงกันขาม ถาคา α มีคา

มาก จะทําให β มีคานอย ดังน้ัน ในทางปฏิบัติมักจะกําหนดคา α แลวพยายามควบคุมใหคา β มีคาใหนอยที่สุด ซ่ึงการดําเนินการดังกลาว

กระทําโดยการเพิม่ขนาดตัวอยางใหมากข้ึน การทดสอบแบบทางเดียวและสองทาง

การทดสอบสมมติฐานทางสถิติน้ัน กฎเกณฑ หรือเกณฑที่ใชในการประกอบการตัดสินใจเกี่ยวกับสมมติฐาน คือ อาณาเขตการยอมรับ (Accept Region) ซ่ึงเปนบริเวณที่ยอมรับสมมติฐานวาง อาณาเขตวิกฤต (Critical Region) ซ่ึงเปนบริเวณที่ปฏิเสธ หรือไมยอมรับสมมติฐานวาง โดยมี คาวิกฤต (Critical Value) ซ่ึงเปนขอบเขตที่แบง อาณาเขตการยอมรับ และอาณาเขตวิกฤต ออกจากกัน และสามารถจําแนกอาณาเขตทั้งสองไดเปน 2 ประเภท ดังน้ีคือ

การทดสอบแบบหางเดียว (One-tailed Test) เกิดข้ึนสําหรับกรณีที่สมมติฐานแยงมี

การบงช้ีวาพารามิเตอรมีคานอยกวา หรือมากกวาคาคงที่ใดๆ สําหรับกรณีที่สมมติฐานแยงมีคานอยกวาคาคงที่ ( 500:H1 <μ ) มักถูก

เรียกวา การทดสอบแบบหางเดียวขางนอย และในสวนกรณีที่สมมติฐานแยงมีคามากกวาคาคงที่ ( 500:H1 >μ ) มักถูกเรียกวา การ

ทดสอบแบบหางเดียวขางมาก และสามารถพิจารณาอาณาเขตตางๆ ไดตอไปน้ี การทดสอบแบบหางเดียวขางนอย

สําหรับสมมติฐาน a:H0 =μ a:H1 <μ

สามารถพิจารณาอาณาเขต ดังรูปที่ 14


- 100 -

รูปท่ี 14 แสดงอาณาเขตวิกฤติ และอาณาเขตการยอมรับ สําหรับการทดสอบหางเดียวขางนอย โดยที่ คาวิกฤต คือ Cz =

อาณาเขตวิกฤตคอื Cz < ( ความนาจะปฏิเสธสมมติฐานเปน α )

อาณาเขตการยอมรับคือ Cz > ( ความนาจะเปนที่จะยอมรับสมมติฐานเปน α−1 )

การทดสอบแบบหางเดียวขางมาก

สําหรับสมมติฐาน a:H0 =μ a:H1 >μ

สามารถพิจารณาอาณาเขต ดังรูปที่ 15

รูปท่ี 15 แสดงอาณาเขตวิกฤติ และอาณาเขตการยอมรับ สําหรับการทดสอบหางเดียวขางมาก โดยที่ คาวิกฤต คือ Cz =

อาณาเขตวิกฤตคอื Cz > ( ความนาจะปฏิเสธสมมติฐานเปน α )

อาณาเขตการยอมรับคือ Cz < ( ความนาจะเปนที่จะยอมรับสมมติฐานเปน α−1 ) การทดสอบแบบสองหาง (Two-tailed Test) เกิดข้ึนสําหรับกรณีที่สมมติฐานแยงมี

การบงช้ีวาพารามิเตอรมีคาไมเทากับคาคงที่ใดๆ สามารถพิจารณาอาณาเขตตางๆ ไดตอไปน้ี

สําหรับสมมติฐาน a:H0 =μ a:H1 ≠μ

สามารถพิจารณาอาณาเขต ดังรูป 16

รูปท่ี 16 แสดงอาณาเขตวิกฤติและอาณาเขตการยอมรับ สําหรับการทดสอบสองหางโดยที ่คาวิกฤต คือ 1Cz = และ 2Cz =

อาณาเขตวิกฤตคอื 1Cz < หรือ 2Cz > ( ความนาจะปฏิเสธสมมติฐานเปน α )

อาณาเขตการยอมรับ คือ 21 CzC << ( ความนาจะเปนที่จะยอมรับสมมติฐานเปน α−1 )

6.1.5 ขั้นตอนการทดสอบสมมติฐาน สําหรับการทดสอบสมมติฐาน ซ่ึงอาจเกี่ยวกับ คาเฉลี่ยประชากร สัดสวนประชากร และความแปรปรวนของประชากร สามารถสรุป

ข้ันตอนการทดสอบสมมติฐานดังตอไปน้ี ขั้นตอน 1 ต้ังสมมติฐาน ตองสอดคลองกับแนวทางที่เปนไปไดหรือความเชื่อที่ตองการจะพิสูจน ขั้นตอน 2 กําหนดสถิติทดสอบ (Test Statistics) ที่เหมาะสมกับพารามิเตอรที่ ตองการพิสูจน ขั้นตอน 3 กําหนดระดับนัยสําคัญ และอาณาเขตวิกฤต ขั้นตอน 4 คํานวณสถิติทดสอบ จากตัวอยางสุม ขั้นตอน 5 เปรียบเทียบสถิติทดสอบที่คํานวณไดในข้ันตอน 4 กับจุดวิกฤตในข้ันตอน 3 ถาสถิติทดสอบตกอยูในอาณาเขตการยอมรับ จะยอมรับสมมติฐานวาง แตถาสถิติทดสอบตกอยูในอาณาเขตวิกฤต จะไมยอมรับหรือปฏิเสธสมมติฐานวาง หรือยอมรับสมมติฐานแยง ขั้นตอน 6 สรุปผลวาเปนไปตามสมมติฐานหรือไม


- 101 -

6.2 การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับพารามิเตอรสําหรับประชากรกลุมเดียว 1. การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับคาเฉลี่ยประชากรกลุมเดียว สําหรับกระบวนการทดสอบสมมติฐานน้ัน จําเปนอยางยิ่งที่ตองพิจารณาเกี่ยวกับ การแจกแจงของประชากร ขนาดตัวอยาง และความ

แปรปรวนของประชากร ดังน้ันในข้ันตอนการเลือกสถิติทดสอบตองคํานึงถึงเงื่อนไขดังกลาว ซ่ึงสามารถจําแนกได 3 กรณี ดังน้ี

กรณีท่ี 1 ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติทราบความแปรปรวนของประชากร ( 2σ )

สามารถพิจารณาการทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับคาเฉลี่ย ตามข้ันตอนการทดสอบ ดังน้ี ขั้นตอน 1 ต้ังสมมติฐาน

สมมติฐานวาง สมมติฐานแยง

01 :H μ≠μ

01 :H μ<μ 00 :H μ=μ

01 :H μ>μ

ขั้นตอน 2 สถิติทดสอบ เน่ืองจากคาประมาณแบบจุดของคาเฉลี่ยประชากร ( μ ) คือ คาเฉลี่ยตัวอยาง ( X )โดยที่ X เปนตัวแปรสุมที่มี

คาเฉลีย่เปน ( ) μ=μ= XXE และมีคาความแปรปรวน ( )n

XV2

2X

σ=σ=

น่ันคือ ถา ( )2,N~X σμ จะไดวา ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σμ

n,N~X

2

ดังน้ัน จึงสามารถใชตัวแปรปกติมาตรฐาน z กําหนดอาณาเขตวิกฤติและกําหนดเปนตัวสถิติ ดังน้ี

( )1,0N~

n

Xz σ

μ−=

ขั้นตอน 3 กําหนดระดับนัยสําคัญ และอาณาเขตวิกฤต โดยทั่วไปกําหนดระดับนัยสําคัญ เปน α และสามารถพิจารณาอาณาเขตวิกฤต จําแนกตามสมมติฐานแยง ไดดังรูปสําหรับแตละ

กรณี

สําหรับสมมติฐานแยง a:H1 ≠μ จะได อาณาเขตวิกฤตดังรูป

อาณาเขตการไมปฏิเสธสมมติฐานวาง คือ

21

21

zzz α−

α−

<<− และ อาณาเขตวิกฤต คือ

21

zz α−

−< หรือ

21

zz α−

<

สําหรับสมมติฐานแยง a:H1 <μ จะได อาณาเขตวิกฤตดังรูป

อาณาเขตการไมปฏิเสธสมมติฐานวาง คือ α−−> 1zz และ อาณาเขตวิกฤต คือ α−−< 1zz


- 102 -

สําหรับสมมติฐานแยง a:H1 >μ จะได อาณาเขตวิกฤตดังรูป

อาณาเขตการไมปฏิเสธสมมติฐานวาง คือ α−< 1zz และ อาณาเขตวิกฤต คือ α−> 1zz

ขั้นตอน 4 คํานวณสถิติทดสอบ คือ

n

Xzcal σ

μ−=

ขั้นตอน 5 เปรียบเทียบสถิติทดสอบที่คํานวณไดในข้ันตอน 4 กับจุดวิกฤตใน ข้ันตอน 3 ไดผลดังตาราง

ขั้นตอน 6 สรุปผล ดังตารางขางตน ตัวอยางท่ี 6.1 โรงงานผลิตสายเบ็ดแหงหน่ึง โฆษณาวา สายเบ็ดที่ผลิตจากโรงงานของเขาทนแรงดึงไดเทากับ 15 ปอนด สวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 0.5 ปอนด ทําการทดสอบความเชื่อดังกลาว โดยนําสายเบ็ด 50 สาย มาทําการดึง พบวา สายเบ็ดทนแรงดึงเฉลี่ย 14.8 ปอนด จงทดสอบสมมติฐานวา ที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 สายเบ็ดเปนไปตามที่โรงงานโฆษณาหรือไม วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 103 -

กรณีท่ี 2 ประชากรมีการแจกแจงใดๆ และตัวอยางขนาดใหญ ( 30n ≥ ) สามารถแยกพิจารณาไดเปน 2 กรณียอย คือ

- ทราบคาความแปรปรวนของประชากร เน่ืองจากประชากรมีการแจกแจงใดๆ และตัวอยางมีขนาดใหญ ทําเชนเดียวกับการประมาณคา จะไดสถิติทดสอบ คือ

n

Xz σ

μ−=

- ไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร เน่ืองจากตัวอยางมีขนาดใหญ ทําเชนเดียวกับการประมาณคาโดยประมาณความแปรปรวนประชากรดวยความแปรปรวนตัวอยาง จะ

ไดสถิติทดสอบ คือ

n

sX

zμ−

= โดยที่

( )1n

XXs

n

1i

2i

2

−

−=∑=

สวนข้ันตอนการทดสอบสมมติฐาน กระทําตามข้ันตอนขางตน

ตัวอยางท่ี 6.2 บริษัทขนสงเอกชนแหงหน่ึงซ่ึงดําเนินการ รับ-สง ผูโดยสารจากจังหวัดนานและเชียงใหม พบวามักจะมีจํานวนที่น่ังที่วางในการเดินทางแตละเที่ยว และทราบวาคาเบ่ียงเบนมาตรฐานของจํานวนที่น่ังที่วางเปน 6 ที่น่ัง จึงสุมตัวอยางการเดินรถในปที่แลวมา 365 เที่ยว คํานวณหาจํานวนที่น่ังวางโดยเฉลี่ยเปน 10 ที่น่ัง จงทดสอบวาจํานวนที่น่ังวางในรถโดยสารโดยเฉลี่ยตอ 1 เที่ยวไมตํ่ากวา 12 ที่น่ัง ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 104 -

ตัวอยางท่ี 6.3 ทําการสุมตัวอยางขนาด 42 จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบใดๆ ไดดังตอไปน้ี 18.3 60.6 57.7 17.8 53.7 42.0 47.8 31.8 41.9 19.0 44.2 37.6 39.8 19.3 34.3 38.0 32.4 54.7 56.2 66.2 21.8 42.1 33.0 45.3 33.2 48.8 59.6 49.7 43.2 53.9 33.2 41.7 25.9 43.0 43.5 39.0 24.3 28.2 42.2 45.7 37.0 51.0

ที่ระดับนัยสําคัญ 1% จงทดสอบวาคาเฉลี่ยของประชากรที่ศึกษาไมนอยกวา 41 หรือไม วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 105 -

กรณีท่ี 3 ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติหรือใกลเคียงปกติ ไมทราบความแปรปรวนและตัวอยางขนาดเล็ก ( 30n < )

เน่ืองจากประชากรมีการแจกแจงแบบปกติหรือใกลเคียงปกติ ไมทราบความแปรปรวนและตัวอยางขนาดเล็ก ( 30n < ) ทํา

เชนเดียวกับการประมาณคา และจาก

n

sX

tμ−

= มีการแจกแจงแบบ t ดวยองศาอิสระ 1n − จะไดสถิติทดสอบ คือ

n

sX

tμ−

= โดยที่

( )1n

XXs

n

1i

2i

2

−

−=∑=

สําหรับอาณาเขตวิกฤต สามารถกระทําเชนเดียวกับการทดสอบสําหรับกรณีอ่ืนๆ แตการหาอาณาเขตวิกฤติกระทําโดยใชตาราง t แทนตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน ตัวอยางท่ี 6.4 จากการประเมินความนิยมของผูชมรายการกีฬาทางโทรทัศนจํานวน 16 คน ไดขอมูลตอไปน้ี

1.46 1.32 1.58 1.88 1.32 1.39 1.72 1.66 1.82 1.21 1.36 1.76 1.86 1.63 1.55 1.57

ที่ระดับนัยสําคัญ 5% จงทดสอบวาความนิยมเฉลี่ยของผูชมรายการกีฬาทางโทรทัศนดังกลาวไมเกิน 1.55 หรือไม โดยกําหนดวาความนิยมของผูชมรายการกีฬาทางโทรทัศนมีการแจกแจงแบบปกติ วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 106 -

แบบฝกหัดทายบทที่ 6 ตัวอยาง 6.10 โรงงานอุตสาหกรรมผลิตปากกาลูกลื่นแหงหน่ึงโฆษณาวาปากกาลูกลื่นที่ผลิตโดยบริษัทมีอายุการใชงานมากกวา 400 ช่ัวโมง และมีคาเบ่ียงเบนมาตรฐานของอายุการใชงานเปน 20 ช่ัวโมง ตัวแทนจําหนายปากกาลูกลื่นชนิดน้ีตองการพิสูจนคําโฆษณาดังกลาววาจริงหรือไม จึงเลือกตัวอยางปากกามา 100 ดาม และหาอายุการใชงานปรากฏวามีอายุการใชงานเฉลี่ยเปน 390 ช่ัวโมง คําโฆษณาของบริษัทผูผลิตเปนจริงหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 1. โรงงานผูผลิตเหล็กเสนตองการตรวจสอบคุณภาพการผลิต เพ่ือที่จะพิจารณาวาการผลิตไดมาตรฐานหรือไม ถาความยาวของเหล็กเสนมี

การแจกแจงแบบปกติ โดยกําหนดมาตรฐานความยาวเฉลี่ยของเหล็กเสนเทากับ 8.6 น้ิว และคาเบ่ียงเบนมาตรฐานของความยาวเหล็กเสนเทากับ 0.3 น้ิว สุมตัวอยางเหล็กเสนที่ผลิตโดยโรงงานขึ้นมาจํานวน 36 เสน พบวา คาเฉลี่ยของความยาวเหล็กเสนตัวอยางเทากับ 8.7 น้ิว จะกลาวไดหรือไมวา การผลิตเหล็กเสนของโรงงานนี้ไดมาตรฐานคาเฉลี่ย ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05

2. ผูจัดการโรงงานแหงหน่ึงมีความเชื่อวาจํานวนสินคาที่ผลิตไดเฉลี่ยตอช่ัวโมงจากเครื่องจักรทุกเครื่องของโรงงานมากกวา 94 ช้ิน ซ่ึงจํานวนสินคาที่ผลิตไดแจกแจงแบบปกติ เขาพิสูจนความเชื่อโดยเลือกตัวอยางเครื่องจักรมา 36 เคร่ืองโดยการสุมเพ่ือวัดผลผลิตตอช่ัวโมง ผลปรากฏวาจํานวนสินคาที่ผลิตไดเฉลี่ยตอช่ัวโมงเทากับ 96 ช้ิน และคาเบ่ียงเบนมาตรฐานของ สินคาที่ผลิตไดเทากับ 8 ช้ินตอช่ัวโมง ความเชื่อของเขาถูกตองหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.01

3. ระบบการลงทะเบียนเรียนของมหาวิทยาลัยแหงหน่ึง โดยเฉลี่ยแลวนักศึกษาคนหนึ่งจะใชเวลา 3.1 ช่ัวโมง โดยที่เวลาที่ใชลงทะเบียนมีการแจกแจงแบบปกติ มหาวิทยาลัยแหงน้ีจึงตองจัดระบบการลงทะเบียนใหม เพ่ือลดระยะเวลาในการลงทะเบียนใหนอยลง มหาวิทยาลัยจึงทดลองระบบลงทะเบียนเรียนใหม โดยจากการทดลองกับนักศึกษา 21 คน ไดเวลาเฉลี่ยที่ใชลงทะเบียน 2.9 ช่ัวโมง และมีคาเบ่ียงเบนมาตรฐานของเวลาที่ใชลงทะเบียนเทากับ 0.158 ช่ัวโมง จะสรุปไดหรือไมวา ระบบการลงทะเบียนใหมใชเวลานอยลงกวาเดิม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05

4. โรงงานอุตสาหกรรมผลิตปากกาลูกลื่นแหงหน่ึงโฆษณาวาปากกาลูกลื่นที่ผลิตโดยบริษัทมีอายุการใชงานมากกวา 400 ช่ัวโมง และมีคาเบ่ียงเบนมาตรฐานของอายุการใชงานเปน 20 ช่ัวโมง ตัวแทนจําหนายปากกาลูกลื่นชนิดน้ีตองการพิสูจนคําโฆษณาดังกลาววาจริงหรือไม จึงเลือกตัวอยางปากกามา 100 ดาม และหาอายุการใชงานปรากฏวามีอายุการใชงานเฉลี่ยเปน 390 ช่ัวโมง คําโฆษณาของบริษัทผูผลิตเปนจริงหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05

5. คนงานของโรงงานตุกตาแหงหน่ึงสามารถใชเวลาในการผลิตตุกตาหนึ่งตัวโดยเฉลี่ย 12.5 นาที ถาโรงงานนี้รับคนงานใหมเขามาทํางาน 10 คน แลวนํามาฝกงานในชวงระยะเวลาหนึ่ง หลังจากนั้นจึงใหแตละคนผลิตตุกตา ผลปรากฏวาแตละคนใชเวลาในการผลิตตุกตาเฉลี่ยเทากับ 13.31 นาที และคาเบ่ียงเบนมาตรฐานเทากับ 2.28 นาที จงทดสอบสมมติฐานวาคนงานใหมเหลาน้ีใชเวลาในการผลิตตุกตาหนึ่งตัวโดยเฉลี่ยไมแตกตางไปจากคนงานที่ทําอยูเดิมโดยตรวจสอบที่ระดับนัยสําคัญ 0.10 ถากําหนดใหเวลาที่ใชในการผลิตตุกตามีการแจกแจงแบบปกต ิ(1.12)

6. แผนกวิจัยตลาดไดเสนอแนะวา ควรจะไดมีการทดสอบภาวะตลาดของสินคาใหมในกลุมผูบริโภคที่มีรายไดประมาณ 10,000 บาท แผนกวิจัยจึงไดเลือกทองที่แหงหน่ึงซ่ึงคาดวา ประชาชนในทองถ่ินน้ีนาจะมีรายไดเดือนละ 10,000 บาท เพ่ือความแนใจจึงอยากจะทําการทดสอบสมมติฐาน โดยสุมตัวอยางคนในทองที่น้ีมา 100 คน คํานวณรายไดเฉลี่ยจากกลุม ตัวอยางน้ีได คาเฉลี่ยเทากับ 9,910 บาท และคาเบ่ียงเบนมาตรฐาน 400 บาท จงทดสอบดูวาแผนกวิจัยควรจะทดสอบภาวะการตลาดสินคาใหมในทองที่น้ีหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 5% ถาทราบวารายไดของประชาชนในทองที่แหงน้ีแจกแจงแบบปกติ (-2.25)

7. ผูผลิตไอศครีมรายหน่ึงเช่ือวาไอศครีมของเขาประกอบดวยแคลอรี่เฉลี่ย 500 แคลอร่ีตอ ไอศครีมหนัก 1 กรัม เขาจึงสุมไอศครีมหนักกอนละ 1 กรัมมา 25 กอน คํานวณปริมาณ แคลลอร่ีเฉลี่ยได 510 แคลอร่ีตอกรัม และคาเบ่ียงเบนมาตรฐานเปน 23 แคลอร่ี อยากทราบวาส่ิงที่ผูผลิตเช่ือจริงหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.10 ถาปริมาณแคลอรี่ในไอศครีมหนัก 1 กรัมมีการแจกแจงแบบปกติ (2.17)

8. ผูจัดการโรงงานอุตสาหกรรมแหงหน่ึงคาดวาปริมาณวัตถุดิบเฉลี่ยที่ใชในโรงงานจะไมตํ่ากวา 800 ตันตอวัน จึงเก็บรวบรวมขอมูลปริมาณวัตถุดิบที่ใชตอวันมา 50 วัน คํานวณไดปริมาณเฉลี่ย 871 ตันตอวัน คาเบ่ียงเบนมาตรฐานเทากับ 21 ตัน การคาดคะเนของผูจัดการถูกตองหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 กําหนดใหปริมาณวัตถุดิบที่ใชในโรงงานแจกแจงแบบปกติ (23.91)


- 107 -

การทดสอบไคสแควร 7.1 การทดสอบสมมติฐาน 7.2 การทดสอบหลายสัดสวน 7.3 การทดสอบภาวะรูปสนิทดี 7.4 การทดสอบความเปนอิสระ

7.1 การทดสอบความเปนอิสระ

งานวิจัยที่กําหนดวัตถุประสงค เพ่ือศึกษาความสัมพันธของ 2 ปจจัยใดๆ เชน ศึกษาความสัมพันธของการบริโภคกาแฟกับการเปนโรคหัวใจ ความสัมพันธพฤติกรรมการดื่มสุราและการสูบบุหร่ี ความสัมพันธของประสิทธิภาพของบุคลากรในโรงงานอุตสาหกรรมกับประสบการณในการทํางาน เปนตน ในเบ้ืองตนจําเปนตองใชการทดสอบไคสแควร เพ่ือพิจารณาความสัมพันธดังกลาว ซ่ึงในทางภาษาศาสตรน้ัน คําวา “ความสัมพันธ” ตีความหมายเปนคําอื่น เชน ไมเปนอิสระ หรือ ไมข้ึนอยูกับ และในทางตรงกันขาม คําวา “ความไมสัมพันธ” ตีความหมายเปนคําอื่น เชน ความเปนอิสระ หรือ ข้ึนอยูกับ โดยทั่วไปการเก็บขอมูลหรือตัวอยางสุม จะอยูในรูปความถี่ และเม่ือนํามาอยูในรูปตาราง ที่มีช่ือเฉพาะวา ตารางการจรณ โดยทั่วไปตารางการจรณมีขนาด cr × เซลล ซ่ึง r เปนจํานวนกลุม หรือระดับของปจจัยที่หน่ึง c เปนจํานวนกลุม หรือระดับของปจจัยที่สอง และตัวเลขที่บรรจุในตารางความถี่ของคาสังเกต หรือ ความถี่สังเกต พิจารณาไดดังตาราง

ปจจัยท่ีสอง ปจจัยท่ีหนึ่ง

1 2 ... c ผลรวมตามแถว

1 11O 12O … c1O •1n

2 21O 22O … c2O •2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

r 1rO 2rO … rcO •rn

ผลรวมตามหลัก 1n• 2n• ... cn• n

โดยที่ ijO คือ ความถี่ของคาสังเกตของระดับที่ i สําหรับปจจัยที่หน่ึง และ ระดับที่ j สําหรับปจจัยที่สอง

jn• คือ ผลรวมตามหลักที ่ j

•in คือ ผลรวมตามหลักที่ i

n คือ ขนาดตัวอยางสุม โดย ∑∑=

•=

• ==r

1ii

c

1jj nnn

จากขอมูลหรือตัวอยางสุม ในตารางขางตน วัตถุประสงค คือ ตองการทราบวาปจจัยที่หน่ึงกับปจจัยที่สอง มีความสัมพันธกัน หรือ เปนอิสระกันหรือไม จึงมีข้ันตอนการทดสอบดังกลาวตอไปน้ี


- 108 -

ขั้นท่ี 1 กําหนดสมมติฐาน

:H0 ปจจัยทั้งสองไมมีความสัมพันธกัน / เปนอิสระ / ไมข้ึนตอกัน

:H1 ปจจัยทั้งสองมีความสัมพันธกัน / ไมเปนอิสระ / ข้ึนตอกัน

ขั้นท่ี 2 กําหนดระดับนัยสําคัญ α ขั้นท่ี 3 คํานวณสถิติทดสอบ จาก

( )∑ ∑= =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=χ

r

1i

c

1j ij

2ijij2

cal E

EO r,...,2,1i, = c,...,2,1j, =

โดยที่ n

nnE ij

ij••=

ขั้นท่ี 4 หาอาณาเขตวิกฤติ

โดยการเปดตารางการแจกแจงไคสแควร ณ ระดับนัยสําคัญ α ดวยองศาความเปนอิสระ ( )( )1c1r −−=ν จะไดคา

วิกฤติ คือ 2

,1 να−χ ดังน้ัน อาณาเขตวิกฤติ คือ 2

,12

να−χ>χ หรือ ( )∞χ να− ,2,1

ขั้นท่ี 5 สรุปผล

ถาคา 2calχ ตกอยูในอาณาเขตวิกฤติ จะปฏิเสธสมมติฐานวาง 0H น่ันคือ ที่ระดับนัยสําคัญ α ปจจัยทั้งสองมีความสัมพันธกัน

/ ไมเปนอิสระ / ข้ึนตอกัน ตัวอยางท่ี 7.2 ผูจัดการโรงงานแหงหน่ึงเชื่อวาประสิทธิภาพของคนงานขึ้นอยูกับระยะเวลา (ประสบการณ) ที่คนงานทํางานในโรงงานแหงน้ี จึงทําการทดลองโดยทําการสุมตัวอยางสินคามา 100 ช้ิน แลวตรวจสอบคุณภาพของสินคาพรอมกับตรวจสอบวาคนงานที่ผลิตสินคาน้ันมีประสบการณทํางานในระดับใด โดยแบงสินคาเปน 3 ระดับ คือ คุณภาพดี ชํารุดนอย และชํารุดมาก โดยมีขอมูลดังน้ี

ประสบการณ (ป) คุณภาพของสินคา

1 2 - 5 6 - 10

รวม

ดี 6 9 9 24 ชํารุดนอย 9 19 23 51 ชํารุดมาก 7 8 10 25

รวม 22 36 42 100

จงทดสอบวาความเชื่อของผูจัดการโรงงานแหงน้ี ที่ระดับความเชื่อม่ัน 95% วิธีทํา ขั้นท่ี 1 กําหนดสมมติฐาน

:H0 ………………………………………………………………..

:H1 ………………………………………………………………..

ขั้นท่ี 2 กําหนดระดับนัยสําคัญ ................=α

ขั้นท่ี 3 คํานวณสถิติทดสอบ จาก

( )

∑∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=χ

= =

r

1i

c

1j ij

2ijij2

cal E

EO r,...,2,1i, = c,...,2,1j, =

โดยที่ n

nnE ij

ij••=


- 109 -

สามารถคํานวณคาคาดหวังดังน้ี

...........100

)22)(24(E11 == ...........

100

)36)(24(E12 ==

...........100

)42)(24(E13 == ...........

100

)22)(51(E21 ==

...........100

)36)(51(E22 == ...........

100

)42)(51(E23 ==

...........100

)22)(25(E31 == ...........

100

)36)(25(E32 ==

...........100

)42)(51(E33 ==

สามารถคํานวณไดดังตาราง

ijO ijE ( ) 2ijij EO −

( )ij

2ijij

E

EO −

6 9 9 9 19 23 7 8 10 ขั้นท่ี 4 หาอาณาเขตวิกฤต ิ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขั้นท่ี 5 สรุปผล …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 110 -

ตัวอยางท่ี 7.3 นักจิตวิทยาเชื่อวาลกูชายมักมีอาชีพเดียวกับพอ จึงทําการสุมลูกชายมา 500 คน สอบถามถึงอาชีพของเขา และของพอของเขา ไดขอมูลดังน้ี

อาชีพของลูกชาย อาชีพของพอ

นักธุรกิจ ขาราชการ/รัฐวิสาหกิจ คนงาน เกษตร รวม

นักธุรกิจ 55 38 7 0 100 ขาราชการ/รัฐวิสาหกิจ 79 71 25 0 175

คนงาน 22 75 38 10 145 เกษตร 15 23 10 32 80 รวม 171 207 80 42 500

จงทดสอบความเชื่อดังกลาวของนักจิตวิทยาที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


- 111 -

แบบฝกหัดทายบทที่ 7


- 112 -


- 113 -

เอกสารอางอิง กัลยา วานิชยบัญชา , หลักสถิติ. พิมพคร้ังที่ 5 . กรุงเทพฯ:โรงพิมพจุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ,2540. คณาจารยภาควิชาสถิติ , สถิติเบื้องตน. ภาควิชาสถิติ คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยเชียงใหม , 2545. สุชาดา กีระนันทน, การอนุมานเชิงสถิติ. พิมพคร้ังที่ 3 . กรุงเทพฯ :โรงพิมพจุฬาลงกรณมหาวิทยาลยั , 2545. ประชุม สุวัตถี, ทฤษฎีการอนุมานเชิงสถิติ. พิมพคร้ังที่ 2 . กรุงเทพฯ :โรงพิมพจุฬาลงกรณ มหาวิทยาลัย , 2545. ชัชวาลย เรืองประพันธ , สถิติพ้ืนฐาน. พิมพคร้ังที่ 5 . ภาควิชาสถิติ คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยขอนแกน , 2545. วิสาข เกษประทุม, ความนาจะเปนและสถิติเบื้องตน. วิทยาลัยครู นครสวรรค,.................


- 114 -

ภาคผนวก ตารางคาสถิต ิ


- 115 -


- 116 -

ตารางที่ 1 ความนาจะเปนสําหรับตวัแปรสุมชนิดไมตอเน่ืองแบบทวินาม p

n X 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

1 0 0.9500 0.9000 0.8500 0.8000 0.7500 0.7000 0.6500 0.6000 0.5500 0.5000

1 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500 0.5000

2 0 0.9025 0.8100 0.7225 0.6400 0.5625 0.4900 0.4225 0.3600 0.3025 0.2500

1 0.0950 0.1800 0.2550 0.3200 0.3750 0.4200 0.4550 0.4800 0.4950 0.5000

2 0.0025 0.0100 0.0225 0.0400 0.0625 0.0900 0.1225 0.1600 0.2025 0.2500

3 0 0.8574 0.7290 0.6141 0.5120 0.4219 0.3430 0.2746 0.2160 0.1664 0.1250

1 0.1354 0.2430 0.3251 0.3840 0.4219 0.4410 0.4436 0.4320 0.4084 0.3750

2 0.0071 0.0270 0.0574 0.0960 0.1406 0.1890 0.2389 0.2880 0.3341 0.3750

3 0.0001 0.0010 0.0034 0.0080 0.0156 0.0270 0.0429 0.0640 0.0911 0.1250

4 0 0.8145 0.6561 0.5220 0.4096 0.3164 0.2401 0.1785 0.1296 0.0915 0.0625

1 0.1715 0.2916 0.3685 0.4096 0.4219 0.4116 0.3845 0.3456 0.2995 0.2500

2 0.0135 0.0486 0.0975 0.1536 0.2109 0.2646 0.3105 0.3456 0.3675 0.3750

3 0.0005 0.0036 0.0115 0.0256 0.0469 0.0756 0.1115 0.1536 0.2005 0.2500

4 0.0000 0.0001 0.0005 0.0016 0.0039 0.0081 0.0150 0.0256 0.0410 0.0625

5 0 0.7738 0.5905 0.4437 0.3277 0.2373 0.1681 0.1160 0.0778 0.0503 0.0313

1 0.2036 0.3281 0.3915 0.4096 0.3955 0.3602 0.3124 0.2592 0.2059 0.1563

2 0.0214 0.0729 0.1382 0.2048 0.2637 0.3087 0.3364 0.3456 0.3369 0.3125

3 0.0011 0.0081 0.0244 0.0512 0.0879 0.1323 0.1811 0.2304 0.2757 0.3125

4 0.0000 0.0005 0.0022 0.0064 0.0146 0.0284 0.0488 0.0768 0.1128 0.1563

5 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0010 0.0024 0.0053 0.0102 0.0185 0.0313

6 0 0.7351 0.5314 0.3771 0.2621 0.1780 0.1176 0.0754 0.0467 0.0277 0.0156

1 0.2321 0.3543 0.3993 0.3932 0.3560 0.3025 0.2437 0.1866 0.1359 0.0938

2 0.0305 0.0984 0.1762 0.2458 0.2966 0.3241 0.3280 0.3110 0.2780 0.2344

3 0.0021 0.0146 0.0415 0.0819 0.1318 0.1852 0.2355 0.2765 0.3032 0.3125

4 0.0001 0.0012 0.0055 0.0154 0.0330 0.0595 0.0951 0.1382 0.1861 0.2344

5 0.0000 0.0001 0.0004 0.0015 0.0044 0.0102 0.0205 0.0369 0.0609 0.0938

6 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0007 0.0018 0.0041 0.0083 0.0156


- 117 -

ตารางที่ 1 ความนาจะเปนสําหรับตวัแปรสุมชนิดไมตอเน่ืองแบบทวินาม (ตอ)

P n X

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

7 0 0.6983 0.4783 0.3206 0.2097 0.1335 0.0824 0.0490 0.0280 0.0152 0.0078

1 0.2573 0.3720 0.3960 0.3670 0.3115 0.2471 0.1848 0.1306 0.0872 0.0547

2 0.0406 0.1240 0.2097 0.2753 0.3115 0.3177 0.2985 0.2613 0.2140 0.1641

3 0.0036 0.0230 0.0617 0.1147 0.1730 0.2269 0.2679 0.2903 0.2918 0.2734

4 0.0002 0.0026 0.0109 0.0287 0.0577 0.0972 0.1442 0.1935 0.2388 0.2734

5 0.0000 0.0002 0.0012 0.0043 0.0115 0.0250 0.0466 0.0774 0.1172 0.1641

6 0.0000 0.0000 0.0001 0.0004 0.0013 0.0036 0.0084 0.0172 0.0320 0.0547

7 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0006 0.0016 0.0037 0.0078

8 0 0.6634 0.4305 0.2725 0.1678 0.1001 0.0576 0.0319 0.0168 0.0084 0.0039

1 0.2793 0.3826 0.3847 0.3355 0.2670 0.1977 0.1373 0.0896 0.0548 0.0313

2 0.0515 0.1488 0.2376 0.2936 0.3115 0.2965 0.2587 0.2090 0.1569 0.1094

3 0.0054 0.0331 0.0839 0.1468 0.2076 0.2541 0.2786 0.2787 0.2568 0.2188

4 0.0004 0.0046 0.0185 0.0459 0.0865 0.1361 0.1875 0.2322 0.2627 0.2734

5 0.0000 0.0004 0.0026 0.0092 0.0231 0.0467 0.0808 0.1239 0.1719 0.2188

6 0.0000 0.0000 0.0002 0.0011 0.0038 0.0100 0.0217 0.0413 0.0703 0.1094

7 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0004 0.0012 0.0033 0.0079 0.0164 0.0313

8 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0007 0.0017 0.0039

9 0 0.6302 0.3874 0.2316 0.1342 0.0751 0.0404 0.0207 0.0101 0.0046 0.0020

1 0.2985 0.3874 0.3679 0.3020 0.2253 0.1556 0.1004 0.0605 0.0339 0.0176

2 0.0629 0.1722 0.2597 0.3020 0.3003 0.2668 0.2162 0.1612 0.1110 0.0703

3 0.0077 0.0446 0.1069 0.1762 0.2336 0.2668 0.2716 0.2508 0.2119 0.1641

4 0.0006 0.0074 0.0283 0.0661 0.1168 0.1715 0.2194 0.2508 0.2600 0.2461

5 0.0000 0.0008 0.0050 0.0165 0.0389 0.0735 0.1181 0.1672 0.2128 0.2461

6 0.0000 0.0001 0.0006 0.0028 0.0087 0.0210 0.0424 0.0743 0.1160 0.1641

7 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0012 0.0039 0.0098 0.0212 0.0407 0.0703

8 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0004 0.0013 0.0035 0.0083 0.0176

9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0008 0.0020


- 118 -


P n X

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

10 0 0.5987 0.3487 0.1969 0.1074 0.0563 0.0282 0.0135 0.0060 0.0025 0.0010

1 0.3151 0.3874 0.3474 0.2684 0.1877 0.1211 0.0725 0.0403 0.0207 0.0098

2 0.0746 0.1937 0.2759 0.3020 0.2816 0.2335 0.1757 0.1209 0.0763 0.0439

3 0.0105 0.0574 0.1298 0.2013 0.2503 0.2668 0.2522 0.2150 0.1665 0.1172

4 0.0010 0.0112 0.0401 0.0881 0.1460 0.2001 0.2377 0.2508 0.2384 0.2051

5 0.0001 0.0015 0.0085 0.0264 0.0584 0.1029 0.1536 0.2007 0.2340 0.2461

6 0.0000 0.0001 0.0012 0.0055 0.0162 0.0368 0.0689 0.1115 0.1596 0.2051

7 0.0000 0.0000 0.0001 0.0008 0.0031 0.0090 0.0212 0.0425 0.0746 0.1172

8 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0004 0.0014 0.0043 0.0106 0.0229 0.0439

9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0016 0.0042 0.0098

10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0010

11 0 0.5688 0.3138 0.1673 0.0859 0.0422 0.0198 0.0088 0.0036 0.0014 0.0005

1 0.3293 0.3835 0.3248 0.2362 0.1549 0.0932 0.0518 0.0266 0.0125 0.0054

2 0.0867 0.2131 0.2866 0.2953 0.2581 0.1998 0.1395 0.0887 0.0513 0.0269

3 0.0137 0.0710 0.1517 0.2215 0.2581 0.2568 0.2254 0.1774 0.1259 0.0806

4 0.0014 0.0158 0.0536 0.1107 0.1721 0.2201 0.2428 0.2365 0.2060 0.1611

5 0.0001 0.0025 0.0132 0.0388 0.0803 0.1321 0.1830 0.2207 0.2360 0.2256

6 0.0000 0.0003 0.0023 0.0097 0.0268 0.0566 0.0985 0.1471 0.1931 0.2256

7 0.0000 0.0000 0.0003 0.0017 0.0064 0.0173 0.0379 0.0701 0.1128 0.1611

8 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0011 0.0037 0.0102 0.0234 0.0462 0.0806

9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0018 0.0052 0.0126 0.0269

10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0007 0.0021 0.0054

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0005


- 119 -


P n X

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

12 0 0.5404 0.2824 0.1422 0.0687 0.0317 0.0138 0.0057 0.0022 0.0008 0.0002

1 0.3413 0.3766 0.3012 0.2062 0.1267 0.0712 0.0368 0.0174 0.0075 0.0029

2 0.0988 0.2301 0.2924 0.2835 0.2323 0.1678 0.1088 0.0639 0.0339 0.0161

3 0.0173 0.0852 0.1720 0.2362 0.2581 0.2397 0.1954 0.1419 0.0923 0.0537

4 0.0021 0.0213 0.0683 0.1329 0.1936 0.2311 0.2367 0.2128 0.1700 0.1208

5 0.0002 0.0038 0.0193 0.0532 0.1032 0.1585 0.2039 0.2270 0.2225 0.1934

6 0.0000 0.0005 0.0040 0.0155 0.0401 0.0792 0.1281 0.1766 0.2124 0.2256

7 0.0000 0.0000 0.0006 0.0033 0.0115 0.0291 0.0591 0.1009 0.1489 0.1934

8 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0024 0.0078 0.0199 0.0420 0.0762 0.1208

9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0004 0.0015 0.0048 0.0125 0.0277 0.0537

10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0008 0.0025 0.0068 0.0161

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0010 0.0029

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002

13 0 0.5133 0.2542 0.1209 0.0550 0.0238 0.0097 0.0037 0.0013 0.0004 0.0001

1 0.3512 0.3672 0.2774 0.1787 0.1029 0.0540 0.0259 0.0113 0.0045 0.0016

2 0.1109 0.2448 0.2937 0.2680 0.2059 0.1388 0.0836 0.0453 0.0220 0.0095

3 0.0214 0.0997 0.1900 0.2457 0.2517 0.2181 0.1651 0.1107 0.0660 0.0349

4 0.0028 0.0277 0.0838 0.1535 0.2097 0.2337 0.2222 0.1845 0.1350 0.0873

5 0.0003 0.0055 0.0266 0.0691 0.1258 0.1803 0.2154 0.2214 0.1989 0.1571

6 0.0000 0.0008 0.0063 0.0230 0.0559 0.1030 0.1546 0.1968 0.2169 0.2095

7 0.0000 0.0001 0.0011 0.0058 0.0186 0.0442 0.0833 0.1312 0.1775 0.2095

8 0.0000 0.0000 0.0001 0.0011 0.0047 0.0142 0.0336 0.0656 0.1089 0.1571

9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0009 0.0034 0.0101 0.0243 0.0495 0.0873

10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0006 0.0022 0.0065 0.0162 0.0349

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0012 0.0036 0.0095

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0016

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001


- 120 -


P n X

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

14 0 0.4877 0.2288 0.1028 0.0440 0.0178 0.0068 0.0024 0.0008 0.0002 0.0001

1 0.3593 0.3559 0.2539 0.1539 0.0832 0.0407 0.0181 0.0073 0.0027 0.0009

2 0.1229 0.2570 0.2912 0.2501 0.1802 0.1134 0.0634 0.0317 0.0141 0.0056

3 0.0259 0.1142 0.2056 0.2501 0.2402 0.1943 0.1366 0.0845 0.0462 0.0222

4 0.0037 0.0349 0.0998 0.1720 0.2202 0.2290 0.2022 0.1549 0.1040 0.0611

5 0.0004 0.0078 0.0352 0.0860 0.1468 0.1963 0.2178 0.2066 0.1701 0.1222

6 0.0000 0.0013 0.0093 0.0322 0.0734 0.1262 0.1759 0.2066 0.2088 0.1833

7 0.0000 0.0002 0.0019 0.0092 0.0280 0.0618 0.1082 0.1574 0.1952 0.2095

8 0.0000 0.0000 0.0003 0.0020 0.0082 0.0232 0.0510 0.0918 0.1398 0.1833

9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0018 0.0066 0.0183 0.0408 0.0762 0.1222

10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0014 0.0049 0.0136 0.0312 0.0611

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0010 0.0033 0.0093 0.0222

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0019 0.0056

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0009

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001

15 0 0.4633 0.2059 0.0874 0.0352 0.0134 0.0047 0.0016 0.0005 0.0001 0.0000

1 0.3658 0.3432 0.2312 0.1319 0.0668 0.0305 0.0126 0.0047 0.0016 0.0005

2 0.1348 0.2669 0.2856 0.2309 0.1559 0.0916 0.0476 0.0219 0.0090 0.0032

3 0.0307 0.1285 0.2184 0.2501 0.2252 0.1700 0.1110 0.0634 0.0318 0.0139

4 0.0049 0.0428 0.1156 0.1876 0.2252 0.2186 0.1792 0.1268 0.0780 0.0417

5 0.0006 0.0105 0.0449 0.1032 0.1651 0.2061 0.2123 0.1859 0.1404 0.0916

6 0.0000 0.0019 0.0132 0.0430 0.0917 0.1472 0.1906 0.2066 0.1914 0.1527

7 0.0000 0.0003 0.0030 0.0138 0.0393 0.0811 0.1319 0.1771 0.2013 0.1964

8 0.0000 0.0000 0.0005 0.0035 0.0131 0.0348 0.0710 0.1181 0.1647 0.1964

9 0.0000 0.0000 0.0001 0.0007 0.0034 0.0116 0.0298 0.0612 0.1048 0.1527

10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0007 0.0030 0.0096 0.0245 0.0515 0.0916

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0006 0.0024 0.0074 0.0191 0.0417

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0004 0.0016 0.0052 0.0139

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0010 0.0032

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000


- 121 -

ตารางที่ 2 ความนาจะเปนสําหรับตวัแปรสุมชนิดไมตอเน่ืองแบบทวินาม (ตอ) P

n X 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

16 0 0.4401 0.1853 0.0743 0.0281 0.0100 0.0033 0.0010 0.0003 0.0001 0.0000

1 0.3706 0.3294 0.2097 0.1126 0.0535 0.0228 0.0087 0.0030 0.0009 0.0002

2 0.1463 0.2745 0.2775 0.2111 0.1336 0.0732 0.0353 0.0150 0.0056 0.0018

3 0.0359 0.1423 0.2285 0.2463 0.2079 0.1465 0.0888 0.0468 0.0215 0.0085

4 0.0061 0.0514 0.1311 0.2001 0.2252 0.2040 0.1553 0.1014 0.0572 0.0278

5 0.0008 0.0137 0.0555 0.1201 0.1802 0.2099 0.2008 0.1623 0.1123 0.0667

6 0.0001 0.0028 0.0180 0.0550 0.1101 0.1649 0.1982 0.1983 0.1684 0.1222

7 0.0000 0.0004 0.0045 0.0197 0.0524 0.1010 0.1524 0.1889 0.1969 0.1746

8 0.0000 0.0001 0.0009 0.0055 0.0197 0.0487 0.0923 0.1417 0.1812 0.1964

9 0.0000 0.0000 0.0001 0.0012 0.0058 0.0185 0.0442 0.0840 0.1318 0.1746

10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0014 0.0056 0.0167 0.0392 0.0755 0.1222

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0013 0.0049 0.0142 0.0337 0.0667

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0011 0.0040 0.0115 0.0278

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0008 0.0029 0.0085

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0018

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002

16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

17 0 0.4181 0.1668 0.0631 0.0225 0.0075 0.0023 0.0007 0.0002 0.0000 0.0000

1 0.3741 0.3150 0.1893 0.0957 0.0426 0.0169 0.0060 0.0019 0.0005 0.0001

2 0.1575 0.2800 0.2673 0.1914 0.1136 0.0581 0.0260 0.0102 0.0035 0.0010

3 0.0415 0.1556 0.2359 0.2393 0.1893 0.1245 0.0701 0.0341 0.0144 0.0052

4 0.0076 0.0605 0.1457 0.2093 0.2209 0.1868 0.1320 0.0796 0.0411 0.0182

5 0.0010 0.0175 0.0668 0.1361 0.1914 0.2081 0.1849 0.1379 0.0875 0.0472

6 0.0001 0.0039 0.0236 0.0680 0.1276 0.1784 0.1991 0.1839 0.1432 0.0944

7 0.0000 0.0007 0.0065 0.0267 0.0668 0.1201 0.1685 0.1927 0.1841 0.1484

8 0.0000 0.0001 0.0014 0.0084 0.0279 0.0644 0.1134 0.1606 0.1883 0.1855

9 0.0000 0.0000 0.0003 0.0021 0.0093 0.0276 0.0611 0.1070 0.1540 0.1855

10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0025 0.0095 0.0263 0.0571 0.1008 0.1484

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0026 0.0090 0.0242 0.0525 0.0944

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0006 0.0024 0.0081 0.0215 0.0472

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0021 0.0068 0.0182

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0004 0.0016 0.0052

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0010

16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001

17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000


- 122 -


p n X

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

18 0 0.3972 0.1501 0.0536 0.0180 0.0056 0.0016 0.0004 0.0001 0.0000 0.0000

1 0.3763 0.3002 0.1704 0.0811 0.0338 0.0126 0.0042 0.0012 0.0003 0.0001

2 0.1683 0.2835 0.2556 0.1723 0.0958 0.0458 0.0190 0.0069 0.0022 0.0006

3 0.0473 0.1680 0.2406 0.2297 0.1704 0.1046 0.0547 0.0246 0.0095 0.0031

4 0.0093 0.0700 0.1592 0.2153 0.2130 0.1681 0.1104 0.0614 0.0291 0.0117

5 0.0014 0.0218 0.0787 0.1507 0.1988 0.2017 0.1664 0.1146 0.0666 0.0327

6 0.0002 0.0052 0.0301 0.0816 0.1436 0.1873 0.1941 0.1655 0.1181 0.0708

7 0.0000 0.0010 0.0091 0.0350 0.0820 0.1376 0.1792 0.1892 0.1657 0.1214

8 0.0000 0.0002 0.0022 0.0120 0.0376 0.0811 0.1327 0.1734 0.1864 0.1669

9 0.0000 0.0000 0.0004 0.0033 0.0139 0.0386 0.0794 0.1284 0.1694 0.1855

10 0.0000 0.0000 0.0001 0.0008 0.0042 0.0149 0.0385 0.0771 0.1248 0.1669

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0010 0.0046 0.0151 0.0374 0.0742 0.1214

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0012 0.0047 0.0145 0.0354 0.0708

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0012 0.0045 0.0134 0.0327

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0011 0.0039 0.0117

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0009 0.0031

16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0006

17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001

18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000


- 123 -


P n X

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

19 0 0.3774 0.1351 0.0456 0.0144 0.0042 0.0011 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000

1 0.3774 0.2852 0.1529 0.0685 0.0268 0.0093 0.0029 0.0008 0.0002 0.0000

2 0.1787 0.2852 0.2428 0.1540 0.0803 0.0358 0.0138 0.0046 0.0013 0.0003

3 0.0533 0.1796 0.2428 0.2182 0.1517 0.0869 0.0422 0.0175 0.0062 0.0018

4 0.0112 0.0798 0.1714 0.2182 0.2023 0.1491 0.0909 0.0467 0.0203 0.0074

5 0.0018 0.0266 0.0907 0.1636 0.2023 0.1916 0.1468 0.0933 0.0497 0.0222

6 0.0002 0.0069 0.0374 0.0955 0.1574 0.1916 0.1844 0.1451 0.0949 0.0518

7 0.0000 0.0014 0.0122 0.0443 0.0974 0.1525 0.1844 0.1797 0.1443 0.0961

8 0.0000 0.0002 0.0032 0.0166 0.0487 0.0981 0.1489 0.1797 0.1771 0.1442

9 0.0000 0.0000 0.0007 0.0051 0.0198 0.0514 0.0980 0.1464 0.1771 0.1762

10 0.0000 0.0000 0.0001 0.0013 0.0066 0.0220 0.0528 0.0976 0.1449 0.1762

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0018 0.0077 0.0233 0.0532 0.0970 0.1442

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0022 0.0083 0.0237 0.0529 0.0961

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0024 0.0085 0.0233 0.0518

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0006 0.0024 0.0082 0.0222

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0022 0.0074

16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0018

17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003

18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000



- 124 -

P

n X 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

20 0 0.3585 0.1216 0.0388 0.0115 0.0032 0.0008 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3774 0.2702 0.1368 0.0576 0.0211 0.0068 0.0020 0.0005 0.0001 0.0000

2 0.1887 0.2852 0.2293 0.1369 0.0669 0.0278 0.0100 0.0031 0.0008 0.0002

3 0.0596 0.1901 0.2428 0.2054 0.1339 0.0716 0.0323 0.0123 0.0040 0.0011

4 0.0133 0.0898 0.1821 0.2182 0.1897 0.1304 0.0738 0.0350 0.0139 0.0046

5 0.0022 0.0319 0.1028 0.1746 0.2023 0.1789 0.1272 0.0746 0.0365 0.0148

6 0.0003 0.0089 0.0454 0.1091 0.1686 0.1916 0.1712 0.1244 0.0746 0.0370

7 0.0000 0.0020 0.0160 0.0545 0.1124 0.1643 0.1844 0.1659 0.1221 0.0739

8 0.0000 0.0004 0.0046 0.0222 0.0609 0.1144 0.1614 0.1797 0.1623 0.1201

9 0.0000 0.0001 0.0011 0.0074 0.0271 0.0654 0.1158 0.1597 0.1771 0.1602

10 0.0000 0.0000 0.0002 0.0020 0.0099 0.0308 0.0686 0.1171 0.1593 0.1762

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0030 0.0120 0.0336 0.0710 0.1185 0.1602

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0008 0.0039 0.0136 0.0355 0.0727 0.1201

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0010 0.0045 0.0146 0.0366 0.0739

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0012 0.0049 0.0150 0.0370

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0013 0.0049 0.0148

16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0013 0.0046

17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0011

18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002

19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000


- 125 -

ตารางที่ 3 ความนาจะเปนของตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงแบบปวสซอง

X 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

0 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679 1 0.0905 0.1637 0.2222 0.2681 0.3033 0.3293 0.3476 0.3595 0.3659 0.3679 2 0.0000 0.0045 0.0164 0.0333 0.0536 0.0758 0.0988 0.1217 0.1438 0.1647 3 0.0000 0.0002 0.0011 0.0033 0.0072 0.0126 0.0198 0.0284 0.0383 0.0494 4 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0007 0.0016 0.0030 0.0050 0.0077 0.0111 5 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0004 0.0007 0.0012 0.0020 6 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003

1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 0 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466 0.2231 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496 0.1353 1 0.3662 0.3614 0.3543 0.3452 0.3347 0.3230 0.3106 0.2975 0.2842 0.2707 2 0.1839 0.2014 0.2169 0.2303 0.2417 0.2510 0.2584 0.2640 0.2678 0.2700 3 0.0613 0.0738 0.0867 0.0998 0.1128 0.1255 0.1378 0.1496 0.1607 0.1710 4 0.0153 0.0203 0.0260 0.0324 0.0395 0.0471 0.0551 0.0636 0.0723 0.0812 5 0.0031 0.0045 0.0062 0.0084 0.0111 0.0141 0.0176 0.0216 0.0260 0.0309 6 0.0005 0.0008 0.0012 0.0018 0.0026 0.0035 0.0047 0.0061 0.0078 0.0098 7 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 0.0008 0.0011 0.0015 0.0020 0.0027 8 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 0.0006 9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001

2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00 0 0.1225 0.1108 0.1003 0.0907 0.0821 0.0743 0.0672 0.0608 0.0550 0.0498 1 0.2572 0.2438 0.2306 0.2177 0.2052 0.1931 0.1815 0.1703 0.1596 0.1494 2 0.2707 0.2700 0.2681 0.2652 0.2613 0.2565 0.2510 0.2450 0.2384 0.2314 3 0.1804 0.1890 0.1966 0.2033 0.2090 0.2138 0.2176 0.2205 0.2225 0.2237 4 0.0902 0.0992 0.1082 0.1169 0.1254 0.1336 0.1414 0.1488 0.1557 0.1622 5 0.0361 0.0417 0.0476 0.0538 0.0602 0.0668 0.0735 0.0804 0.0872 0.0940 6 0.0120 0.0146 0.0174 0.0206 0.0241 0.0278 0.0319 0.0362 0.0407 0.0455 7 0.0034 0.0044 0.0055 0.0068 0.0083 0.0099 0.0118 0.0139 0.0163 0.0188 8 0.0009 0.0011 0.0015 0.0019 0.0025 0.0031 0.0038 0.0047 0.0057 0.0068 9 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0007 0.0009 0.0011 0.0014 0.0018 0.0022 10 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002


- 126 -

ตารางที่ 3 ความนาจะเปนของตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงแบบปวสซอง (ตอ)

X 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00

0 0.0450 0.0408 0.0369 0.0334 0.0302 0.0273 0.0247 0.0224 0.0202 0.0183 1 0.1397 0.1304 0.1217 0.1135 0.1057 0.0984 0.0915 0.0850 0.0789 0.0733 2 0.2240 0.2165 0.2087 0.2008 0.1929 0.1850 0.1771 0.1692 0.1615 0.1539 3 0.2240 0.2237 0.2226 0.2209 0.2186 0.2158 0.2125 0.2087 0.2046 0.2001 4 0.1680 0.1733 0.1781 0.1823 0.1858 0.1888 0.1912 0.1931 0.1944 0.1951 5 0.1008 0.1075 0.1140 0.1203 0.1264 0.1322 0.1377 0.1429 0.1477 0.1522 6 0.0504 0.0555 0.0608 0.0662 0.0716 0.0771 0.0826 0.0881 0.0936 0.0989 7 0.0216 0.0246 0.0278 0.0312 0.0348 0.0385 0.0425 0.0466 0.0508 0.0551 8 0.0081 0.0095 0.0111 0.0129 0.0148 0.0169 0.0191 0.0215 0.0241 0.0269 9 0.0027 0.0033 0.0040 0.0047 0.0056 0.0066 0.0076 0.0089 0.0102 0.0116 10 0.0008 0.0010 0.0013 0.0016 0.0019 0.0023 0.0028 0.0033 0.0039 0.0045 11 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0011 0.0013 0.0016 12 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0005 13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002

4.10 4.20 4.30 4.40 4.50 4.60 4.70 4.80 4.90 5.00 0 0.0166 0.0150 0.0136 0.0123 0.0111 0.0101 0.0091 0.0082 0.0074 0.0067 1 0.0679 0.0630 0.0583 0.0540 0.0500 0.0462 0.0427 0.0395 0.0365 0.0337 2 0.1465 0.1393 0.1323 0.1254 0.1188 0.1125 0.1063 0.1005 0.0948 0.0894 3 0.1954 0.1904 0.1852 0.1798 0.1743 0.1687 0.1631 0.1574 0.1517 0.1460 4 0.1954 0.1951 0.1944 0.1933 0.1917 0.1898 0.1875 0.1849 0.1820 0.1789 5 0.1563 0.1600 0.1633 0.1662 0.1687 0.1708 0.1725 0.1738 0.1747 0.1753 6 0.1042 0.1093 0.1143 0.1191 0.1237 0.1281 0.1323 0.1362 0.1398 0.1432 7 0.0595 0.0640 0.0686 0.0732 0.0778 0.0824 0.0869 0.0914 0.0959 0.1002 8 0.0298 0.0328 0.0360 0.0393 0.0428 0.0463 0.0500 0.0537 0.0575 0.0614 9 0.0132 0.0150 0.0168 0.0188 0.0209 0.0232 0.0255 0.0281 0.0307 0.0334 10 0.0053 0.0061 0.0071 0.0081 0.0092 0.0104 0.0118 0.0132 0.0147 0.0164 11 0.0019 0.0023 0.0027 0.0032 0.0037 0.0043 0.0049 0.0056 0.0064 0.0073 12 0.0006 0.0008 0.0009 0.0011 0.0013 0.0016 0.0019 0.0022 0.0026 0.0030 13 0.0002 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.0011 14 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001


- 127 -


X 5.10 5.20 5.30 5.40 5.50 5.60 5.70 5.80 5.90 6.00

0 0.0061 0.0055 0.0050 0.0045 0.0041 0.0037 0.0033 0.0030 0.0027 0.0025 1 0.0311 0.0287 0.0265 0.0244 0.0225 0.0207 0.0191 0.0176 0.0162 0.0149 2 0.0842 0.0793 0.0746 0.0701 0.0659 0.0618 0.0580 0.0544 0.0509 0.0477 3 0.1404 0.1348 0.1293 0.1239 0.1185 0.1133 0.1082 0.1033 0.0985 0.0938 4 0.1755 0.1719 0.1681 0.1641 0.1600 0.1558 0.1515 0.1472 0.1428 0.1383 5 0.1755 0.1753 0.1748 0.1740 0.1728 0.1714 0.1697 0.1678 0.1656 0.1632 6 0.1462 0.1490 0.1515 0.1537 0.1555 0.1571 0.1584 0.1594 0.1601 0.1605 7 0.1044 0.1086 0.1125 0.1163 0.1200 0.1234 0.1267 0.1298 0.1326 0.1353 8 0.0653 0.0692 0.0731 0.0771 0.0810 0.0849 0.0887 0.0925 0.0962 0.0998 9 0.0363 0.0392 0.0423 0.0454 0.0486 0.0519 0.0552 0.0586 0.0620 0.0654 10 0.0181 0.0200 0.0220 0.0241 0.0262 0.0285 0.0309 0.0334 0.0359 0.0386 11 0.0082 0.0093 0.0104 0.0116 0.0129 0.0143 0.0157 0.0173 0.0190 0.0207 12 0.0034 0.0039 0.0045 0.0051 0.0058 0.0065 0.0073 0.0082 0.0092 0.0102 13 0.0013 0.0015 0.0018 0.0021 0.0024 0.0028 0.0032 0.0036 0.0041 0.0046 14 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.0011 0.0013 0.0015 0.0017 0.0019 15 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 16 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001


- 128 -


X 6.10 6.20 6.30 6.40 6.50 6.60 6.70 6.80 6.90 7.00

0 0.0022 0.0020 0.0018 0.0017 0.0015 0.0014 0.0012 0.0011 0.0010 0.0009 1 0.0137 0.0126 0.0116 0.0106 0.0098 0.0090 0.0082 0.0076 0.0070 0.0064 2 0.0446 0.0417 0.0390 0.0364 0.0340 0.0318 0.0296 0.0276 0.0258 0.0240 3 0.0892 0.0848 0.0806 0.0765 0.0726 0.0688 0.0652 0.0617 0.0584 0.0552 4 0.1339 0.1294 0.1249 0.1205 0.1162 0.1118 0.1076 0.1034 0.0992 0.0952 5 0.1606 0.1579 0.1549 0.1519 0.1487 0.1454 0.1420 0.1385 0.1349 0.1314 6 0.1606 0.1605 0.1601 0.1595 0.1586 0.1575 0.1562 0.1546 0.1529 0.1511 7 0.1377 0.1399 0.1418 0.1435 0.1450 0.1462 0.1472 0.1480 0.1486 0.1489 8 0.1033 0.1066 0.1099 0.1130 0.1160 0.1188 0.1215 0.1240 0.1263 0.1284 9 0.0688 0.0723 0.0757 0.0791 0.0825 0.0858 0.0891 0.0923 0.0954 0.0985 10 0.0413 0.0441 0.0469 0.0498 0.0528 0.0558 0.0588 0.0618 0.0649 0.0679 11 0.0225 0.0244 0.0265 0.0285 0.0307 0.0330 0.0353 0.0377 0.0401 0.0426 12 0.0113 0.0124 0.0137 0.0150 0.0164 0.0179 0.0194 0.0210 0.0227 0.0245 13 0.0052 0.0058 0.0065 0.0073 0.0081 0.0089 0.0099 0.0108 0.0119 0.0130 14 0.0022 0.0025 0.0029 0.0033 0.0037 0.0041 0.0046 0.0052 0.0058 0.0064 15 0.0009 0.0010 0.0012 0.0014 0.0016 0.0018 0.0020 0.0023 0.0026 0.0029 16 0.0003 0.0004 0.0005 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0010 0.0011 0.0013 17 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 18 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001


- 129 -


X 7.10 7.20 7.30 7.40 7.50 7.60 7.70 7.80 7.90 8.00

0 0.0008 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0003 1 0.0059 0.0054 0.0049 0.0045 0.0041 0.0038 0.0035 0.0032 0.0029 0.0027 2 0.0223 0.0208 0.0194 0.0180 0.0167 0.0156 0.0145 0.0134 0.0125 0.0116 3 0.0521 0.0492 0.0464 0.0438 0.0413 0.0389 0.0366 0.0345 0.0324 0.0305 4 0.0912 0.0874 0.0836 0.0799 0.0764 0.0729 0.0696 0.0663 0.0632 0.0602 5 0.1277 0.1241 0.1204 0.1167 0.1130 0.1094 0.1057 0.1021 0.0986 0.0951 6 0.1490 0.1468 0.1445 0.1420 0.1394 0.1367 0.1339 0.1311 0.1282 0.1252 7 0.1490 0.1489 0.1486 0.1481 0.1474 0.1465 0.1454 0.1442 0.1428 0.1413 8 0.1304 0.1321 0.1337 0.1351 0.1363 0.1373 0.1381 0.1388 0.1392 0.1395 9 0.1014 0.1042 0.1070 0.1096 0.1121 0.1144 0.1167 0.1187 0.1207 0.1224 10 0.0710 0.0740 0.0770 0.0800 0.0829 0.0858 0.0887 0.0914 0.0941 0.0967 11 0.0452 0.0478 0.0504 0.0531 0.0558 0.0585 0.0613 0.0640 0.0667 0.0695 12 0.0263 0.0283 0.0303 0.0323 0.0344 0.0366 0.0388 0.0411 0.0434 0.0457 13 0.0142 0.0154 0.0168 0.0181 0.0196 0.0211 0.0227 0.0243 0.0260 0.0278 14 0.0071 0.0078 0.0086 0.0095 0.0104 0.0113 0.0123 0.0134 0.0145 0.0157 15 0.0033 0.0037 0.0041 0.0046 0.0051 0.0057 0.0062 0.0069 0.0075 0.0083 16 0.0014 0.0016 0.0019 0.0021 0.0024 0.0026 0.0030 0.0033 0.0037 0.0041 17 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.0010 0.0012 0.0013 0.0015 0.0017 0.0019 18 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0006 0.0006 0.0007 0.0008 19 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0003 20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001


- 130 -


X 8.10 8.20 8.30 8.40 8.50 8.60 8.70 8.80 8.90 9.00

0 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 1 0.0025 0.0023 0.0021 0.0019 0.0017 0.0016 0.0014 0.0013 0.0012 0.0011 2 0.0107 0.0100 0.0092 0.0086 0.0079 0.0074 0.0068 0.0063 0.0058 0.0054 3 0.0286 0.0269 0.0252 0.0237 0.0222 0.0208 0.0195 0.0183 0.0171 0.0160 4 0.0573 0.0544 0.0517 0.0491 0.0466 0.0443 0.0420 0.0398 0.0377 0.0357 5 0.0916 0.0882 0.0849 0.0816 0.0784 0.0752 0.0722 0.0692 0.0663 0.0635 6 0.1221 0.1191 0.1160 0.1128 0.1097 0.1066 0.1034 0.1003 0.0972 0.0941 7 0.1396 0.1378 0.1358 0.1338 0.1317 0.1294 0.1271 0.1247 0.1222 0.1197 8 0.1396 0.1395 0.1392 0.1388 0.1382 0.1375 0.1366 0.1356 0.1344 0.1332 9 0.1241 0.1256 0.1269 0.1280 0.1290 0.1299 0.1306 0.1311 0.1315 0.1317 10 0.0993 0.1017 0.1040 0.1063 0.1084 0.1104 0.1123 0.1140 0.1157 0.1172 11 0.0722 0.0749 0.0776 0.0802 0.0828 0.0853 0.0878 0.0902 0.0925 0.0948 12 0.0481 0.0505 0.0530 0.0555 0.0579 0.0604 0.0629 0.0654 0.0679 0.0703 13 0.0296 0.0315 0.0334 0.0354 0.0374 0.0395 0.0416 0.0438 0.0459 0.0481 14 0.0169 0.0182 0.0196 0.0210 0.0225 0.0240 0.0256 0.0272 0.0289 0.0306 15 0.0090 0.0098 0.0107 0.0116 0.0126 0.0136 0.0147 0.0158 0.0169 0.0182 16 0.0045 0.0050 0.0055 0.0060 0.0066 0.0072 0.0079 0.0086 0.0093 0.0101 17 0.0021 0.0024 0.0026 0.0029 0.0033 0.0036 0.0040 0.0044 0.0048 0.0053 18 0.0009 0.0011 0.0012 0.0014 0.0015 0.0017 0.0019 0.0021 0.0024 0.0026 19 0.0004 0.0005 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.0010 0.0011 0.0012 20 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0005 21 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 22 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001


- 131 -


X 9.10 9.20 9.30 9.40 9.50 9.60 9.70 9.80 9.90 10.00

0 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0008 0.0007 0.0007 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 2 0.0050 0.0046 0.0043 0.0040 0.0037 0.0034 0.0031 0.0029 0.0027 0.0025 3 0.0150 0.0140 0.0131 0.0123 0.0115 0.0107 0.0100 0.0093 0.0087 0.0081 4 0.0337 0.0319 0.0302 0.0285 0.0269 0.0254 0.0240 0.0226 0.0213 0.0201 5 0.0607 0.0581 0.0555 0.0530 0.0506 0.0483 0.0460 0.0439 0.0418 0.0398 6 0.0911 0.0881 0.0851 0.0822 0.0793 0.0764 0.0736 0.0709 0.0682 0.0656 7 0.1171 0.1145 0.1118 0.1091 0.1064 0.1037 0.1010 0.0982 0.0955 0.0928 8 0.1318 0.1302 0.1286 0.1269 0.1251 0.1232 0.1212 0.1191 0.1170 0.1148 9 0.1318 0.1317 0.1315 0.1311 0.1306 0.1300 0.1293 0.1284 0.1274 0.1263 10 0.1186 0.1198 0.1210 0.1219 0.1228 0.1235 0.1241 0.1245 0.1249 0.1250 11 0.0970 0.0991 0.1012 0.1031 0.1049 0.1067 0.1083 0.1098 0.1112 0.1125 12 0.0728 0.0752 0.0776 0.0799 0.0822 0.0844 0.0866 0.0888 0.0908 0.0928 13 0.0504 0.0526 0.0549 0.0572 0.0594 0.0617 0.0640 0.0662 0.0685 0.0707 14 0.0324 0.0342 0.0361 0.0380 0.0399 0.0419 0.0439 0.0459 0.0479 0.0500 15 0.0194 0.0208 0.0221 0.0235 0.0250 0.0265 0.0281 0.0297 0.0313 0.0330 16 0.0109 0.0118 0.0127 0.0137 0.0147 0.0157 0.0168 0.0180 0.0192 0.0204 17 0.0058 0.0063 0.0069 0.0075 0.0081 0.0088 0.0095 0.0103 0.0111 0.0119 18 0.0029 0.0032 0.0035 0.0039 0.0042 0.0046 0.0051 0.0055 0.0060 0.0065 19 0.0014 0.0015 0.0017 0.0019 0.0021 0.0023 0.0026 0.0028 0.0031 0.0034 20 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.0010 0.0011 0.0012 0.0014 0.0015 0.0017 21 0.0003 0.0003 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0006 0.0006 0.0007 0.0008 22 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 23 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 24 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001


- 132 -

ตารางที ่4 ความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999


- 133 -

ตารางที่ ผ2 ความนาจะเปนสะสมการแจกแจงแบบที

Degree of Freedom 0.55t

0.60t 0.65t

0.70t 0.75t

0.80t 0.85t

0.90t 0.95t

0.975t 0.99t

0.995t 0.9995t

1 0.1584 0.3249 0.5095 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 636.6192

2 0.1421 0.2887 0.4447 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 31.5991

3 0.1366 0.2767 0.4242 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 12.9240

4 0.1338 0.2707 0.4142 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 8.6103

5 0.1322 0.2672 0.4082 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6.8688

6 0.1311 0.2648 0.4043 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 5.9588

7 0.1303 0.2632 0.4015 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 5.4079

8 0.1297 0.2619 0.3995 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 5.0413

9 0.1293 0.2610 0.3979 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 4.7809

10 0.1289 0.2602 0.3966 0.5415 0.6998 0.8791 1.0931 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 4.5869

11 0.1286 0.2596 0.3956 0.5399 0.6974 0.8755 1.0877 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 4.4370

12 0.1283 0.2590 0.3947 0.5386 0.6955 0.8726 1.0832 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 4.3178

13 0.1281 0.2586 0.3940 0.5375 0.6938 0.8702 1.0795 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 4.2208

14 0.1280 0.2582 0.3933 0.5366 0.6924 0.8681 1.0763 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768 4.1405

15 0.1278 0.2579 0.3928 0.5357 0.6912 0.8662 1.0735 1.3406 1.7531 2.1314 2.6025 2.9467 4.0728

16 0.1277 0.2576 0.3923 0.5350 0.6901 0.8647 1.0711 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208 4.0150

17 0.1276 0.2573 0.3919 0.5344 0.6892 0.8633 1.0690 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982 3.9651

18 0.1274 0.2571 0.3915 0.5338 0.6884 0.8620 1.0672 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784 3.9216

19 0.1274 0.2569 0.3912 0.5333 0.6876 0.8610 1.0655 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609 3.8834

20 0.1273 0.2567 0.3909 0.5329 0.6870 0.8600 1.0640 1.3253 1.7247 2.0860 2.5280 2.8453 3.8495

21 0.1272 0.2566 0.3906 0.5325 0.6864 0.8591 1.0627 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176 2.8314 3.8193

22 0.1271 0.2564 0.3904 0.5321 0.6858 0.8583 1.0614 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083 2.8188 3.7921

23 0.1271 0.2563 0.3902 0.5317 0.6853 0.8575 1.0603 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 3.7676

24 0.1270 0.2562 0.3900 0.5314 0.6848 0.8569 1.0593 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.7969 3.7454

25 0.1269 0.2561 0.3898 0.5312 0.6844 0.8562 1.0584 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 3.7251

26 0.1269 0.2560 0.3896 0.5309 0.6840 0.8557 1.0575 1.3150 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 3.7066

27 0.1268 0.2559 0.3894 0.5306 0.6837 0.8551 1.0567 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 3.6896

28 0.1268 0.2558 0.3893 0.5304 0.6834 0.8546 1.0560 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 3.6739

29 0.1268 0.2557 0.3892 0.5302 0.6830 0.8542 1.0553 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 3.6594

30 0.1267 0.2556 0.3890 0.5300 0.6828 0.8538 1.0547 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500 3.6460

∞ 0.126 0.253 0.385 0.524 0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.96 2.3263 2.5758 3.29053

Documents

1 · สถิติเชิงอนุมาน (Inferential statistics) หมายถึง วิชาสถิติที่ว าด วยการสร ุปถึงข