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8/16/2019 1-INTEGRALES TRIPLES.pdf
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INTEGR LES TRIPLES
8/16/2019 1-INTEGRALES TRIPLES.pdf
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q z p ,d yc ,b xa / z , y , x B
q , pd ,cb ,a B
Sea f una función continua de tres variablesen una región sólida acotada B
Supongamos primero que B es una caja rectangular(paralelepípedo rectangular)
R RS : f 3
INTEGRALES TRIPLES:
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Primero dividamos el rectángulo B en n subcajas . Para estodividamos los tres lados en n partes iguales.
El intervalo [a,b] quedará dividido en n subintervalos, conuna ancho igual a
[c,d] quedará dividido en n subintervalos con ancho iguala y el intervalo [p,q] en subintervalos con ancho igual a
x i1i x , x
j1 j y , y y
k k z z ,1 z
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Cada subcaja Bijk tiene un volumen . z y xV
ijk ijk ijk ijk
n
1i
n
1 j
n
1k
ijk ijk ijk
Benestá z , y , xmuestra puntoel donde
V z , y , x f
Si formamos la suma triple de Riemann
Definimos la integral triple como el limite de las sumas triples
riemannianas, para cuando la norma de la partición tiende a cero
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Sea f una función continua de tres variables, definida en una región
sólida acotada B, si
existe, decimos que f es integrable en B. Además la
llamada lain tegral triple
de f en B, está dada entonces por
V z , y , x f limn
1i
n
1 j
n
1k
ijk ijk ijk 0
dV ) z , y , x( f B
A z , y , x f limdV z , y , x f n
1i
n
1 j
n
1k
ijk ijk ijk 0
B
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No toda función de tres variables es integrable en una región sólida B.
“ Si f está acotada en la región sólida B y si es continua ahí, excepto en
un número finito de superficies suaves ( es decir sus discontinuidades
están confinadas en gráficas de funciones continuas como x=α( y,z),
y=β( x,z ), z=γ( x,y) ) entonces f es integrable en B. En particular si f es
continua en todo B, entonces f es integrable ahí”
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Sean f y g funciones integrables región sólida B, y sea c una
constante. Entonces f + g y cf son integrables y
B B B
dV ) z , y , x( g dV ) z , y , x( f ) z , y , x( g ) z , y , x( f
B B
dV ) z , y , x( f cdV ) z , y , x( cf
Donde B es la unión de dos regiones sólidas B1 y B2 sin
solapamiento.
B B B 21
dV ) z , y , x( f dV ) z , y , x( f dV ) z , y , x( f
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Teorema de Fubini para las integrales triples”“Si f es continua en una caja rectangular
entonces, si existe cualquier integral iterada es igual a la integral
triple”
q , pd ,cb ,a B
b
a
q
p
d
c
q
p
b
a
d
c
q
p
d
c
b
a B B
dydzdx z y x f
dydxdz z y x f
dxdydz z y x f dxdydz z y x f dV z y x f
),,(
),,(
),,(),,(),,(
Al igual que con las integrales dobles, el método práctico para
evaluar las integrales triples es expresarla como integrales iteradas
Así sucesivamente (en total hay seis ordenaciones)
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Teorema de Fubini para las integrales triples”“Si f es continua en una caja rectangular
entonces, si existe cualquier integral iterada es igual a la integ
triple”
q , pd ,cb ,a B
b
a
q
p
d
c
q
p
b
a
d
c
q
p
d
c
b
a B B
dydzdx z y x f
dydxdz z y x f
dxdydz z y x f dxdydz z y x f dV z y x f
),,(
),,(
),,(),,(),,(
Al igual que con las integrales dobles, el método práctico para
evaluar las integrales triples es expresarla como integrales iteradas
Así sucesivamente (en total hay seis ordenaciones)
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1-Evalúe la integral triple donde B es la caja
rectangular dada por
2-Integrar sobre la caja
Ejercicios
B
2dV xyz
z y xe
3 z 0;2 y1;1 x0 / z , y , x B
1 ,01 ,01 ,0
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Sea S un conjunto cerrado y acotado en el espacio
tridimensional. Sea B cualquier caja que contiene a S
Dada f definida y continua en S, definimos una nueva función F
con dominio B mediante
B y)(x, yS z) y,(x, si0
S enestá ) z , y , x( si ) z , y , x( f ) y , x( F
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Si la integral triple de F existe sobre S, entonces definimos la
integral triple de f sobre S como
Nota: Esta integral existe si f es continua y la frontera de S esrazonablemente suave.
BS
dV ) z , y , x( F dV ) z , y , x( f
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Regiones: “ Tipo 1 o z- simples”
Se dice que una región sólida B es de tipo 1 si se halla entre las
gráficas de dos funciones continuas de x e y , es decir
donde D xy es la proyección de S en el plano XY. La frontera
superior del sólido es la superficie de
ecuación en tanto que
la frontera inferior es la sup. deecuación
) y , x( z ) y , x( , D y , x / z , y , xS 21 xy
) y , x( z 2
) y , x( z 1S
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Entonces si S es una región tipo 1
Además, si la proyec. D xy de S sobre el plano XY es una región tipo1
la ecuación anterior se convierte en
xy
2
1 D
) y , x(
) y , x( S
dAdz ) z , y , x( f dV ) z , y , x( f
) y , x( z ) y , x( ), x( g y ) x( g ,b xa / z , y , xS 2121
b
a
) x( g
) x( g
) y , x(
) y , x( S
2
1
2
1
dydxdz ) z , y , x( f dV ) z , y , x( f
y=g2(x)y=g1(x)
S
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Ejercicio-Evalúe la integral triple
donde S es el tetraedro
sólido acotado por los cuatro planos
x=0 , y=0 , z=0 y x+y+z = 1
Si la proyec. D xy de S sobre el plano XY es una región tipo2
la ecuación anterior se convierte en
) y , x( z ) y , x( ), y( h x ) y( h ,d xc / z , y , xS 2121
d
c
) y( h
) y( h
) y , x(
) y , x( S
2
1
2
1
dxdydz ) z , y , x( f dV ) z , y , x( f
S
S
zdV
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Una región sólida S es de tipo 2 si es de la forma
Donde Dyz es el proyección sobre el plano YZ.
La superficie de atrás es , la superficie de enfrente es
así que tenemos
) z , y( x 1
) z , y( x ) z , y( , D y , x / z , y , xS 21 yz
y( x 2
yz
2
1 D
) z , y(
) z , y( S dAdx ) z , y , x( f dV ) z , y , x( f
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Una región sólida S es de tipo 3 si es de la forma
Donde Dxz es el proyección sobre el plano YZ.
La superficie de la izq. es , la superficie de la derecha es
así que tenemos
) z , x( y 1
) z , x( y ) z , x( , D y , x / z , y , xS 21 xz
) z , x( y 2
xz
2
1 D
) z , x(
) z , x( S dAdy ) z , y , x( f dV ) z , y , x( f
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1-Evalúe la integral Trazar la región deintegración S e interpretar.
2-Calcular
3- Calcular
Ejercicios
1
0
x
0
2
y x 22 dzdydx
2
0
2
x
3
1
2 dzdydx y sen
2
0
x
0
y x
0 x dzdydx ) z 2 y( e
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1- La región del primer octante acotado superiormente por el
cilindro y comprendida entre los planos verticales
x+y=1 e x+y=3.
2- El hemisferio superior dado por
3- La región limitada inferiormente por el paraboloide
y superiormente por la esfera
2 y1 z
22 y x1 z
22 y x z 6 z y x 222
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Para una región sólida simple S se define su volumen como
S S dV dxdydz )S ( V
EJERCICIOS
1-Calcular el volumen de
2- Calcular el volumen del sólido
NOTA:
2 x4 z 0 ,6 y0 ,2 x2 / z , y , xS
0 z ,0 y ,0 x , y x9 z 22
C a
uarcsen
8
a3uau2a5
8
udu )ua(
422222
322
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En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio
tridimensional se representa mediante una tripleta ordenada
donde r y son las coordenadas polares de la proyección de P sobreel plano XY, y z es la distancia desde el plano XY a P.
Las ecuaciones para pasar de coordenadas
cilíndricas a rectangulares son:
Como resultado la función f (x,y,z) se trans-
forma en :
) z , ,r (
z z rsen ycosr x
) z , ,r ( F ) z ,rsen ,cosr ( f ) z , y , x( f
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Para expresar en coordenadas cilíndricas una integral triple, supongamos
que S es una región sólida y f es continua en S.
Dividamos S por medio de una cuadrícula cilíndrica, donde el elemento de
volumen típico tiene la forma de una “cuña cilíndrica” cuyo volumen es
Y la suma que aproxima la integral tiene la forma
entonces, al tomar el límite cuando l:
K K K k
n
1k
k k k z r r ) z , ,r ( F
K K K k K z r r V
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Sea f una función continua de tres variables, definida en una región sólida
acotada S
cuya proyección D XY en el plano XY puede describirse en coordenadas
polares, es decir D XY es una región plana r-simple o θ -simple, entonces
donde la integral doble se calcula en polares.. Si D XY
es r-simple
la integral triple en coordenadas cilíndricas es
NOTA: Esto es uno de los seis posibles ordenes de integración.
:
xy
2
1 D
) y , x(
) y , x( S
dAdz ) z ,rsen ,cosr ( f dV ) z , y , x( f
) y , x( z ) y , x( , D y , x / z , y , xS 21 xy
)( hr )( h , / ,r D 21 XY
)( 2h
)( h
) y , x(
) y , x( S
1
2
1
rdzdrd ) z ,rsen ,cosr ( f dV ) z , y , x( f
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Para visualizar un orden particular de integración conviene interpretar la
integral triple como una secuencia de tres movimientos de barrido, cada
uno de los cuales añade una dimensión al sólido.
Por ejemplo, si el orden de integración es dr dθ dz
*La primera integración tiene lugar en la
dirección de r, como si un punto barriera
un segmento radial conforme r crece
*Seguidamente, al crecer θ, el segmento recto
Barre un sector
*Finalmente al crecer z, ese sector barre una
cuña sólida
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1-Evalúe la integral en coordenadas cilíndricas. Trazar la región de integración S e
interpretar.
2-Calcular en coordenadas cilíndrícas el volumen de una
esfera de radio a
3 Aplicando coordenadas cilíndricas calcular el volúmen de la
región
Ejercicios
2
2
x4
x4
2
y x
222
2 22 dzdydx ) y x(
0 z 0 y0 x y x9 z 22
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En el sistema de coordenadas esféricas, un punto P en el espacio
tridimensional se representa mediante una tripleta ordenada
donde , es el mismo ángulo que en lascoordenadas cilíndricas y es el ángulo entre el eje positivo Z y el
segmento de recta OP. Observe que,
Las ecuaciones para pasar de coordenadas
esféricas a rectangulares son:
Como resultado la función f (x,y,z) se trans-
forma en :
) z , ,(
cos z sen sen ycos sen x
) z , ,( F )cos , sen sen ,cos sen( f ) z , y , x( f
P aorigendel distancialaesOP
00
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Para expresar en coordenadas esféricas una integral triple, supongamos que
S es una región sólida y f es continua en S.
Dividamos S por medio de una cuadrícula esférica, mediante las esferas
los semiplanos y los semiconos El elemento de volúmen
típico tiene la forma de una “cuña esférica” con dimensiones , (el
arco de un círculo con radio y un ángulo ) y (el arco de un
círculo de radio y un ángulo ). De modo que su volúmen será.
Y la suma que aproxima la integral será
i2
i K senV
i
2
i
n
1i
iii sen ) , ,( F
i i i
i ii sen
ii sen
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Entonces, al tomar el límite cuando la norma de la partición tiende a
cero, obtenemos la fórmula para la integración triple en coord.
esféricas
Donde S es una cuña esférica dada por
NOTA: La fórmula anterior dice que convertimos una integral triple, de coordenadas
rectangulares a coordenadas esféricas, al escribir
Utilizando los límites de integración adecuados y sustituyendo
se )cos , sen sen ,cos sen( f dV ) z , y , x( f 2
b
aS
2
1
21 , ,ba / ) , ,( S
cos z sen sen ycos sen x
d d d sen con dV 2
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Al igual que en coordenadas cilíndricas la integrales triples en coordenadas
esféricas se calculan mediante integrales iteradas.
Se puede visualizar un orden particular de integración, interpretando la
integral triple como una secuencia de tres movimientos de barrido, cada
uno de los cuales añade una dimensión al sólido.
Por ejemplo, para la integral iterada
d d d sen22
0
4
0
3
0
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