1. INTRODUCCIÓN GENERAL Unidad Didáctica III · 2 Asignatura: "Topografía y Geodesia", Plan de Estudios 2010 Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros y Grado en Ingeniería

1

Unidad Didáctica III

MÉTODOS TOPOGRÁFICOS

Profesor Responsable : Julio Manuel de Luis Ruiz

Asignatura: "Topografía y Geodesia", Plan de Estudios 2010Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros y Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos.

UNIVERSIDAD DE CANTABRIAINGENIERÍA CARTOGRÁFICA,

GEODÉSICA Y FOTOGRAMETRÍA.

ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA

1. INTRODUCCIÓN GENERAL

1.1. Necesidad del establecimiento metodológico

1.2. Técnicas elementales de campo y gabinete

1.3. Principales Metodologías Topográficas

2. MÉTODOS BASADOS EN EL EMPLEO DE ESTACIONES TOPOGRÁFICAS

2.1. Conceptos previos y objetivos

2.2. Determinaciones Planimétricas

2.3. Determinaciones Altimétricas

2.4. Cálculo y Ajuste de Poligonales

3. MÉTODOS BASADOS EN EL EMPLEO EXCLUSIVO DEL TEODOLITO

3.1. Método de Intersección Directa

3.2. Método de Intersección Inversa

ESTRUCTURA





4. MÉTODOS BASADOS EN EL EMPLEO EXCLUSIVO DEL DISTANCIÓMETRO

4.1. La Distanciometría

4.2. Intersección de Distancias

4.3. Cálculo de la Tolerancia

ESTRUCTURA









1.- INTRODUCCIÓN GENERAL 1.1.- NECESIDAD DEL ESTABLECIMIENTO METODOLÓGICO

PRECISIÓN.-Error permitido.

TOLERANCIA.-Error esperado.

CIERRE.-Error real.

PLANTEAMIENTO GENERAL.-






RADIACIÓN







POLIGONAL O ITINERARIO


2






INTERSECCIÓN DIRECTA






1º.- Estacionamiento del instrumento en el lugar elegido.2º.- Realizar la corrección atmosférica.3º.- Orientación de la estación total.4º.- Captación de los datos de campo necesarios para definir la

posición de cualquier punto.

- Altura de instrumento - Nombre de la estación- Nombre del punto visado - Distancia geométrica- Angulo horizontal - Angulo vertical- Altura del prisma

OBSERVACIÓN DE LOS DATOS DE CAMPO.-

1.- INTRODUCCIÓN GENERAL 1.2.- TÉCNICAS ELEMENTALES DE CAMPO Y GABINETE





PRECAUCIÓN EN LA CAPTURA DE DATOS.-

CÁLCULO DE PROMEDIOS

DISTANCIA

ANG. HORIZONTAL

ANG. VERTICAL

2CICD DD

D+

=

2

)200( ±+=

CICDH

−−+=

2

400 CICDCDV







OBSERVACIONES SIN DESORIENTACIÓN

y=0g

P1

P5

P4

P3P2

El cero del aparato coincide con el eje (y) de larepresentación cartográfica

PE

PEL θ=







OBSERVACIONES CON DESORIENTACIÓN

El cero del aparato no coincidecon el eje (y) de nuestra representación cartográfica

PEE

PE L+= εθ






• METODOS PLANIMÉTRICOS

- RADIACIÓN

- POLIGONAL O ITINERARIO

- INTERSECCIÓN

• METODOS ALTIMÉTRICOS

- NIVELACIÓN GEOMÉTRICA

- NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA

1.- INTRODUCCIÓN GENERAL 1.3.- PRINCIPALES METODOLOGÍAS TOPOGRÁFICAS

3





BAA

BA

BA

BAg

BA

L

SenVDD

+=

⋅=

εθ

CÁLCULO DE COORDENADAS

R

DmitZZ

CosDYY

SenDXX

BABAAB

BA

BAAB

BA

BAAB

2

42,0+−++=

⋅+=

⋅+=

θ

θ

2.- MÉTODOS BASADOS EN LAS ESTACIONES TOPOGRÁFICAS 2.1.- CONCEPTOS PREVIOS Y OBJETIVOS





CÁLCULO DE TOLERANCIAS

2222lpdv

HT εεεεε +++=

222lpv

CT εεεε ++=

A mm + B ppm 10 mm + 5 ppm

ERRORES DISTANCIOMÉTRICOS.-

ERRORES ANGULARES.-

2.- MÉTODOS BASADOS EN LAS ESTACIONES TOPOGRÁFICAS 2.1.- CONCEPTOS PREVIOS Y OBJETIVOS





MÉTODO DE RADIACIÓN

CONCEPTO Y RESOLUCIÓN- La Radiación es un método topográfico planimétrico que permite

determinar la posición de un punto respecto a otro de coordenadas conocidas

** Es costumbre aprovechar los datos y realizar Nivelación Trigonométrica Simple

111

111

AAA

AAA

CosDYY

SenDXX

θ

θ

⋅+=

⋅+=

2.- MÉTODOS BASADOS EN LAS ESTACIONES TOPOGRÁFICAS 2.2.- DETERMINACIONES PLANIMÉTRICAS






TOLERANCIA PLANIMÉTRICA








Error transversal.-

Error Longitudinal.-

.35)510()20(

)()(

mmmmmme

BppmAEpEee

l

l

=++=

+++=

=+

⇒⋅

=BesselNo

cmEpEeDe H

T

HT

t _

.2

620.636ε

ε

SE CONSIDERA LA TOLERANCIA EN LA RADIACIÓN, EL MAYOR DE LOS DOS ERRORES.






MÉTODO DE POLIGONAL O ITINERARIO.-CONCEPTO Y RESOLUCIÓN

- Un itinerario o poligonal no es más que una sucesión encadenada de radiaciones que tienen como uno de los objetivos más importantes establecer las estaciones necesarias para radiar puntos.

** Es costumbre aprovechar los datos y realizar Nivelación Trigonométrica Compuesta


4





MÉTODO DE POLIGONAL O ITINERARIO.-

TIPOLOGÍA EN FUNCIÓN DE SU OBSERVACIÓN

SI ORIENTADOS

NO ORIENTADOS







TIPOLOGÍA EN FUNCIÓN DE SU NATURALEZA

COLGADOS

CERRADOS

ENCUADRADOS







TOLERANCIAS







TOLERANCIASError transversal.-

Error Longitudinal.-

SE CONSIDERA LA TOLERANCIA EN LA POLIGONAL, EL MAYOR DE LOS DOS ERRORES.

nemmBppmAEpEe

e ll ⋅=⇒≅++

=+++

⇒ 02,0.202

)1010()10(

2

)()(

BesselSicmEpEe

nnnDe

HT

t

_.1

6

)12()1(

620.636

2

⇔=+

+⋅+⋅⋅

⋅⋅=

ε






TOLERANCIA CONJUNTA.-

• Ep= Error Total Planimétrico• e R= Error radiación• e P= Error poligonal

22PRP eeE +=






NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA SIMPLE (Radiación)

CONCEPTO Y RESOLUCIÓN

La Nivelación Trigonométrica Simple permite calcular las cotas de los puntos observados mediante relaciones trigonométricas sencillas, se hace a la vez que la Radiación.

R

Dmi

tgV

DZZ BAB

A

BA

AB

2

42,0 ⋅+−++=

2.- MÉTODOS BASADOS EN LAS ESTACIONES TOPOGRÁFICAS 2.3.- DETERMINACIONES ALTIMÉTRICAS

5





NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA SIMPLE (Radiación)

TOLERANCIA ALTIMÉTRICA

[ ]Dfuncióne

cme

CotgVVCotgDe

CotgVDe

m

i

CT

IIt

It

_

1

])([

=

=

−±=

⋅∆=

ε

=⇒<<

=⇒<<

=⇒<<

=⇒<<

=⇒<<

cmeD

cmeD

cmeD

cmeD

cmeD

m

m

m

m

m

520001000

41000500

3500200

2200100

11000

∆∆∆∆D = 0,035 m.

V = Ángulo cenital que más se aleje de la visual horizontal.

D = Distancia más larga.

Error cenital SIN Bessel.

2222mi

IIt

ItTOTAL eeeee +++=






NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA COMPUESTA (Itinerario)


La Nivelación Trigonométrica Compuesta permite calcular las cotas de los puntos observados mediante relaciones trigonométricas sencillas, se hace a la vez que la Poligonal o Itinerario.

El procedimiento de cálculo no cambia, pero si la tolerancia.

R

Dmi

tgV

DZZ BAB

A

BA

AB

2

42,0 ⋅+−++=






NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA COMPUESTA (Itinerario)


[ ]Dfuncióne

cme

CotgVVCotgDe

CotgVDe

m

i

CT

IIt

It

_

1

])([

=

=

−±=

⋅∆=

ε

=⇒<<

=⇒<<

=⇒<<

=⇒<<

=⇒<<

cmeD

cmeD

cmeD

cmeD

cmeD

m

m

m

m

m

520001000

41000500

3500200

2200100

11000

∆∆∆∆D = 0,020 m.

V = Ángulo cenital que más se aleje de la visual horizontal.

D = Distancia más larga.

Error cenital CON Bessel.

2

nee TRAMOTOTAL

⋅=2222

miIIt

ItTOTAL eeeee +++=






TOLERANCIA CONJUNTA EN NTS y NTC.-

• EA= Error Total Altimétrico.• eNTS= Error Nivelación Trigonométrica Simple.• eNTC= Error Nivelación Trigonométrica Compuesta.

22NTCNTSA eeE +=


EJERCICIO PRÁCTICO Número 17.-





• Dada la siguiente libreta de campo, en la cual se encuentran los datos de una poligonal que para mayor comodidad, ya se han calculado los promedios, dado que la poligonal se ha observado en círculo directo e inverso.






• Obtener las coordenadas de la poligonal así como las del punto uno radiado desde la base D, sabiendo que:

A [423.726,392/4.876.614,714/704,612]

REF.[423.591,476/4.878.035,655/697,621]

• Obtener también los errores planimétrico y altimétrico del punto uno, sabiendo que los datos de campo se han obtenido con una estación total de las siguientes especificaciones técnicas:

[ S = 50cc ; A = 32 ; a = 3cc ; 10mm + 5ppm]

6






CÁLCULO DE ACIMUTES

gREFA Arctg

XY

Arctg 9734,393916,134941,420.1

300300 =+=∆

∆+=θ

gREFA

REFAA L 8015,751719,3189734,393 =−=−=Σ θ

gBAA

BA L 1193,2263178,1508015,75 =+=+Σ=θ

gAB

ABB L 8279,2114002914,2141193,26 =+−=−=Σ θ

gCBB

CB L 7040,2968761,848279,211 =+=+Σ=θ

gBC

BCC L 3564.3054003476,1917040,96 =+−=−=Σ θ

gDCC

DC L 0746,3007182,3943564,305 =+=+Σ=θ

gCD

CDD L 8600,562146,430746,100 =−=−=Σ θ

gDDD L 5741,3177141,2608600,5611 =+=+Σ=θ







gBA

BA mD

1193,226

.000,915.1

=

=

θ

810,667

642,858.874.4

562,962.422

B

COORDENADAS DE B.-

gCB

CB mD

7040,296

.777,025.2

=

=

θ

867,675

807,753.874.4

499,939.420

C

COORDENADAS DE C.-






gDC

DC mD

0746,300

.407,978.1

=

=

θ

582,579

125,756.874.4

093,961.418

D

COORDENADAS DE D.-

gD

D mD

5741,317

.059,9291

1

=

=

θ

692,633

350,009.875.4

209,067.418

1

COORDENADAS DE 1.-








ccHT

ccl

ccp

ccd

ccv

S

70,541,151,132,316,4

41,12

13

3

2

51,12

1

100

3241

32

30

32.3636620915.1

01,0

16,412

50

12

2222 =+++=

=⋅⋅=

=⋅

⋅+⋅=

=⋅=

===

ε

ε

ε

ε

ε

.096,06

743

620.636

27,5777,025.2

6

)12()1(

620.636

2

me

nnnDe

t

HT

t

=⋅⋅

⋅⋅⋅

=

+⋅+⋅⋅

⋅⋅=

ε

TOLERANCIA EN LA POLIGONAL.-

.034,0302,002,0 mnel =⋅==

Tolerancia en la poligonal 9,6 cm.







ccHT

ccl

ccp

ccd

ccv

S

6,140,213,27,1316,4

0,233

2

13,2100

3241

32

30

7,13636620929

02,0

16,412

50

12

2222 =+++=

=⋅=

=

⋅+⋅=

=⋅=

===

ε

ε

ε

ε

ε .021,0620.636

6,14059,929

620.636m

De

HT

t =⋅

=⋅

=ε

TOLERANCIA EN LA RADIACIÓN.-

.035,0 mel =

Tolerancia en la radiación 3,5 cm.


.105,36,9 22 cmeTOTAL ≅+=






.060,0]1141,103)0019,01141,103([777,025.2

])([

mCotgCotge

CotgVVCotgDeIIt

CT

IIt

=−±⋅=

=−±⋅= ε


TOLERANCIA EN LA NTC.-

.0009,01141,10302,0 mCotgCotgVDe It =⋅=⋅∆=

ccl

ccp

ccv

41,12

13

3

2

55,72

1

100

3241

32

150

7,163

50

=⋅⋅=

=⋅

⋅+⋅=

==

ε

ε

ε

ccCT 19=ε

7






TOLERANCIA EN UN TRAMO .7,111016 222 cme =++=

TOLERANCIA ALTIMÉTRICA EN NTC .3,142

37,11

2cm

neeT ≈

⋅=

⋅=

.01,0 mei =

=⇒

=⇒<<

=⇒<<

=⇒<<

=⇒<<

=⇒<<

⇒ me

cmeD

cmeD

cmeD

cmeD

cmeD

e m

m

m

m

m

m

m 10,0

520001000

41000500

3500200

2200100

11000









TOLERANCIA EN LA NTS.-

.002,03194,96035,0 mCotgCotgVDe It =⋅=⋅∆=

.029,0]3194,96)0020,03194,96([059,929

])([

mCotgCotge

CotgVVCotgDeIIt

CT

IIt

=−±⋅=

=−±⋅= ε

ccl

ccp

ccv

0,233

2

7,10100

3241

32

150

7,163

50

=⋅=

=

⋅+⋅=

==

ε

ε

ε

ccCT 0,20=ε






TOLERANCIA EN LA NTS .8,5519,22,0 2222 cme =+++=

TOLERANCIA ALTIMÉTRICA.-

.01,0 mei =

=⇒

=⇒<<

=⇒<<

=⇒<<

=⇒<<

=⇒<<

⇒ me

cmeD

cmeD

cmeD

cmeD

cmeD

e m

m

m

m

m

m

m 50,0

520001000

41000500

3500200

2200100

11000


TOLERANCIA EN LA NTS.-

.4,158,53,14 22 cme =+=





CONCEPTO DE COMPENSACIÓN

DEFINICIÓN:

Ajuste Matemático de los resultados obtenidos de unos datos de campo, con el suficiente rigor topográfico, cuyo objetivo terminal es que el resultado final obtenido sea el deseado de antemano.

El ajuste Matemático se hace a través de pequeñas variaciones en los incrementos de coordenadas, de las bases de la poligonal.

2.- MÉTODOS BASADOS EN LAS ESTACIONES TOPOGRÁFICAS 2.4.- CÁLCULO Y AJUSTE DE POLIGONALES





TIPOS DE POLIGONALES A COMPENSAR

POLIGONALES COLGADAS:

De antemano se conocen las coordenadas del punto inicial, pero no las del punto final, por lo que nunca se conoce el error cometido y por lo tanto no hay nada que compensar.

Como del punto final no se tiene comprobación formal hay que suponer que está bien. NUNCA se deben dejar poligonales colgadas.







POLIGONALES CERRADAS:

De antemano se conocen las coordenadas del punto inicial y final ya que es el mismo y por lo tanto se puede obtener el error y compensarlo, aún así existen otros dos tipos de error no detectables y por lo que hay que evitar este tipo de poligonales.

- Errores angulares.

- Errores distanciométricos.


8







A.- ERRORES EN ÁNGULOS

Errores angulares bien en la orientación inicial o el propio error del instrumento provocan errores no detectables en el cálculo inicial.








B.- ERRORES EN DISTANCIAS

Una poligonal con las distancias mal tomadas por el motivo que sea, produce una poligonal de error final cero, pero totalmente diferente a la buscada.







POLIGONALES ENCUADRADAS:

De antemano se conocen las coordenadas del punto inicial y final y por lo tanto se puede obtener el error final y compensarlo.

Este tipo de poligonales es el ideal para compensar ya que todos sus errores se pueden detectar.






CONDICIÓN DE COMPENSACIÓN

PRECISIÓN:

Es el valor máximo del error que se permite en la ejecución del trabajo, generalmente demandado por el Responsable del Trabajo, el Cliente. En su defecto se suele tomar el limite de percepción visual a la escala correspondiente.

Para que una poligonal se pueda compensar, debe cumplir que:

PRECISIÓN > TOLERANCIA > CIERRE







TOLERANCIA:

Es el valor del error esperado al realizar una poligonal con un determinado instrumento topográfico.

La Tolerancia puede ser planimétrica:

La Tolerancia puede ser altimétrica:

nD

neónnn

De l

HT

t ⋅⋅

=⋅=++

⋅⋅

⋅=100

02,06

)12)(1(

636620

2 *εε

2222 )()()()(2

miIIt

ItALT eeee

ne +++=







CIERRE:

Es el valor del error real que se obtiene entre las coordenadas calculadas con los datos de campo y las que se tienen a priori.

El Cierre puede ser planimétrico:

El Cierre puede ser altimétrico:

22 )()( YX

DATOOBTENIDAYDATOOBTENIDAx

Cierre

YYXX

εε

εε

+=

−=⇔−=

DATOOBTENIDAZ ZZCierre −==ε


9





TIPOS Y FUNDAMENTO DE COMPENSACIÓN

COMPENSACIÓN PLANIMÉTRICA:

En la actualidad existen varios métodos de compensación como por ejemplo, el Ajuste por Mínimos Cuadrados, Métodos de Segundo Orden, Métodos Lineales etc.

Debido a la dificultad existente a la hora de realizar los cálculos de forma manual, sólo se deducen métodos lineales que además de ser los más usuales, matemáticamente son fácilmente resolubles de forma manual.








MAYOR PRECISIÓN EN DISTANCIAS QUE EN ÁNGULOS

Caso de poligonales ejecutadas con ESTACIONES TOPOGRÁFICAS con teodolito y distanciómetro convencional.

Analizando lo que sucede en un único tramo de la poligonal, en el que se desprecia el error en distancias, dado que se ha supuesto que es mucho más pequeño, sucede lo siguiente:

lt

DISTANCIASÁNGULOS

ee

ee

>>

>>









X

Y

Y

X

∆=

∆

εε







Con lo que el cálculo de variaciones en los incrementos y los correspondientes incrementos compensados es la siguiente:

1

1

1

1

1

1

++

++

∆⋅∆Σ

=∆

∆⋅∆Σ

=∆

iin

yii

iin

xii

XX

YV

YY

XV

ε

ε



YVyy

XVxx

∆±∆=∆

∆±∆=∆*

*

**

**

yYY

xXX

E

E

∆+=

∆+=








MAYOR PRECISIÓN EN ÁNGULOS QUE EN DISTANCIAS

Caso de poligonales ejecutadas con TAQUÍMETROS:

Analizando lo que sucede en un único tramo de la poligonal, en el que se desprecia el error en ángulos, dado que se ha supuesto que es mucho más pequeño, sucede lo siguiente:

tl

ÁNGULOSDISTANCIAS

ee

ee

>>

>>









Despreciando el error en ángulos y suponiendo todo el error en la observación de distancias se deduce:

Y

Y

X

X

∆=

∆

εε


10









1

1

1

1

1

1

++

++

∆⋅∆Σ

=∆

∆⋅∆Σ

=∆

iin

yii

iin

xii

yy

yV

xx

xV

ε

ε

yVyy

xVxx

∆±∆=∆

∆±∆=∆*

*

**

**

yYY

xXX

E

E

∆+=

∆+=







tl

ÁNGULOSDISTANCIAS

ee

ee

≅

≅


PRECISIONES EN ÁNGULOS Y DISTANCIAS PARECIDAS

Caso general de medir poligonales con ESTACIÓN TOPOGRÁFICA DE ALTAS PRESTACIONES (E.T.A.P.), teodolito de 0,1 segundos de apreciación.

Analizando lo que sucede en un único tramo de la poligonal, en el que no se puede despreciar ninguno de los errores, sucede lo siguiente:









En este caso no se puede despreciar ninguno de los dos errores por lo que ahora los triángulos no son semejantes, aún así se ve perfectamente que el cierre es mayor a mayor distancia de donde se deduce:

DDYX εε

=










1

1

1

1

1

1

++

++

⋅Σ

=∆

⋅Σ

=∆

iin

yii

iin

xii

DD

yV

DD

xV

ε

ε

yVyy

xVxx

∆±∆=∆

∆±∆=∆*

*

**

**

yYY

xXX

E

E

∆+=

∆+=







COMPENSACIÓN ALTIMÉTRICA:FUNDAMENTO:

La variación de los incrementos de cota se hacen proporcionales a las distancias ya que es el parámetro que más peso tiene dentro del error total altimétrico.

)(

1

])([

Dfe

cme

CotgVVCotgDe

CotgVDe

m

i

CT

IIt

It

=

=

−±⋅=

⋅∆=

ε1

1

1 ++ ⋅=∆

∑

iin

Zii D

DZV

ε







COMPENSACIÓN ALTIMÉTRICA:

ZVZZ ∆±∆=∆ *


1

1

1 ++ ⋅=∆

∑

iin

Zii D

DZV

ε** ZZZ E ∆±=


11





EJERCICIO PRÁCTICO Número 18.-SUPUESTO PRÁCTICO III-1 (Pág. 33)

Dada la libreta de campo encuadrada, que para mayor comodidad, tiene los datos promediados, debido a que la poligonal se observó en campo con lecturas en Círculo Directo e Inverso. Obtener las coordenadas compensadas de la poligonal, si lo errores obtenidos lo permiten, sabiendo que ésta se observó con una Estación Topográfica Total con las siguientes especificaciones técnicas:

Sensibilidad 60CC, Aumentos 30, Apreciación 9CC

Distanciómetro: 10mm.+ 5ppm.

Las coordenadas de los vértices topográficos son las siguientes:

V1[423642,18/4811314,27/152,15]

V2[424021,19/4812732,18/159,38]

V6[428696,62/4812080,01/69,85]











0439,584424,186015,39

6015,391114,3067129,345

7129,1457721,1429408,2

908,21614,2031022,206

1022,63642,547380,651

738,3512116,3759496,326

9496,1263214,1106282,16

6282,1691,1417

01,379

65V5

65

45

45V5

54V4

54

34

34V4

43V3

43

13

13V3

31V1

31

V12

1

=+=+=

=−=−=

=+=+=

=−=−=

=+=+=

=−=−=

=+=+=

===

VV

VV

VV

VV

VV

VV

VV

VV

VV

VV

VV

VV

VV

VV

VV

L

L

L

L

L

L

L

Arctg

εθ

θε

εθ

θε

εθ

θε

εθ

εθ







35,1915

9496,12631

31

=

=VV

VV

D

θ

• Coordenadas de V3

91.142

46,527.810.4

46,388.425

=

=

=

Z

Y

X


63,1737

1022,643

43

=

=

VV

VV

D

θ

26,189

12,257.182.4

76,554.425

=

=

=

Z

Y

X







23,2103

7129,14554

54

=

=

VV

VV

D

θ


10,141

36,873.810.4

67,138.427

=

=

=

Z

Y

X


84,1970

0439,5865

65

=

=

VV

VV

D

θ

88,69

23,080.812.4

77,696.428

=

=

=

Z

Y

X






CIERRE

cmm

cmm

3.03,088,6985,69

2222,023,481208001,4812080

15cm-0,15m428696,77-428696,62

Z

y

X

=−=−=

=−=−=

===

ε

ε

ε


12





CÁLCULO DEL ERROR PLANIMÉTRICO

ccHT

ccl

ccp

ccd

ccV

S

6,72,45,16,35

2,42

19

3

2

5,12

1

100

3041

30

30

6,363662063,1737

01,0

512

60

12

2222 =+++=

=⋅⋅=

=⋅

⋅+⋅=

=⋅=

===

ε

ε

ε

ε

ε






CÁLCULO DEL ERROR PLANIMÉTRICO

mne

me

l

t

04,0402,002,0

20,06

954

636620

26,723,2103

=⋅=⋅=

=⋅⋅

⋅⋅

⋅=






CONDICIÓN PARA PODER COMPENSAR UNA POLIGONAL:

PRECISIÓN >TOLERANCIA > CIERRE

En teoría no se debiera de compensar, como caso límite y por ser un supuesto exclusivamente didáctico, a continuación se desarrolla el

procedimiento de compensación.

cmcm 6,2620 ≈






COMPENSACIÓN PLANIMÉTRICA• FUNDAMENTO:

Poligonal obtenida con estación total suponiendo nulo el error longitudinal y por semejanza de triángulos se obtiene:

1

1

1

1

1

1

++

++

∆⋅∆Σ

=∆

∆⋅∆Σ

=∆

∆=

∆

iin

yii

iin

xii

X

Y

Y

X

xx

yV

yy

xV

ε

ε

εε






• INCREMENTOS DE LA COORDENADA X

10,1558

91,1583

30,166

28,1746

65

54

43

31

=∆

=∆

=∆

=∆

VV

VV

VV

VV

x

x

x

x

59,50541=Σ∆ nx

COMPENSACIÓN PLANIMÉTRICA






87,1206

76,1383

66,1729

81,786

65

54

43

31

=∆

−=∆

=∆

−=∆

VV

VV

VV

VV

y

y

y

y

10,51071=Σ∆ ny

• INCREMENTOS DE LA COORDENADA Y



13





COMPENSACIÓN DE LA COORDENADA “X”

• VARIACIÓN EN LOS INCREMENTOS:

cmxV

cmxV

cmxV

cmxV

VV

VV

VV

VV

454,387,120610,5107

15

406,476,138310,5107

15

508,566,172910,5107

15

231,281,78610,5107

15

65

54

43

31

≈=⋅=∆

≈=⋅=∆

≈=⋅=∆

≈=⋅=∆







• INCREMENTOS COMPENSADOS:

06,155804,010,1558

87,158304,091,1583

25,16605,030,166

26,174602,028,1746

*65

*54

*43

*31

=−=∆

=−=∆

=−=∆

=−=∆

VV

VV

VV

VV

x

x

x

x







• COORDENADA “X” COMPENSADA:

62,696.42806,155856,138.427

56,138.42787,158369,554.425

69,554.42525,16644,388.425

44,388.42526,174618,642.423

18,642.423

*6

*5

*4

*3

*1

=+=

=+=

=+=

=+=

=

V

V

V

V

V

X

X

X

X

X






COMPENSACIÓN DE LA COORDENADA “Y”


cmyV

cmyV

cmyV

cmyV

VV

VV

VV

VV

778,610,155859,5054

22

789,691,158359,5054

22

172,030,16659,5054

22

760,728,174659,5054

22

65

54

43

31

≈=⋅=∆

≈=⋅=∆

≈=⋅=∆

≈=⋅=∆







80,120607,087,1206

83,138307,076,1383

65,172901,066,1729

88,78607,081,786

*65

*54

*43

*31

=−=∆

−=−−=∆

=−=∆

−=−−=∆

VV

VV

VV

VV

y

y

y

y







• COORDENADA “Y” COMPENSADA:

01,080.812.480,120621,873.810.4

21,873.810.483,138304,257.812.4

04,257.812.465,172939,527.810.4

39,527.810.488,78627,314.811.4

27,314.811.4

*6

*5

*4

*3

*1

=+=

=−=

=+=

=−=

=

V

V

V

V

V

y

y

y

y

y



14





CÁLCULO DE LA TOLERANCIA ALTIMÉTRICA

mCotgCotge

mCotgeIIt

It

07,0)]3143,102()0022,03143,102([23,2103

0007,0)3143,102(02,0

=−−⋅=

=⋅=

ccl

ccp

ccv

2,42

19

3

2

8,72)100

3041(

30

150

203

60

=⋅⋅=

=⋅⋅

+⋅=

==

ε

ε

ε

gCT 0022,0=ε






me

me

m

i

10,0

01,0

=

=

cmne

e

cme

z 3,172

42,12

2

2,121017 222

=⋅

=⋅

=

=++=

CÁLCULO DE LA TOLERANCIA ALTIMÉTRICA

mZZ CALCULADADATO 03,088,6985,69 =−=−=Zε

CÁLCULO DEL CIERRE ALTIMÉTRICO






cmcm 317 >


SE PUEDE COMPENSAR

CONDICIÓN PARA PODER COMPENSAR UNA POLIGONAL






COMPENSACIÓN ALTIMÉTRICA :

La variación en los incrementos de cota se hace proporcional a las distancias, ya que este parámetro es el que más peso tiene dentro del error altimétrico:

22,71

16.48

35,46

24,9

65

54

43

31

−=∆

−=∆

=∆

−=∆

z

z

z

z

84,970.1

23,103.2

63,737.1

35,915.1

31

31

43

31

=

=

=

=

D

D

D

D

∑ =n

D1

05,727.7






COMPENSACIÓN DE LA COORDENADA “Z”


cmzV

cmzV

cmzV

cmzV

176,084,197005,7727

3

181,023,210305,7727

3

067,063,173705,7727

3

174,035,191505,7727

3

65

54

43

31

≈=⋅=∆

≈=⋅=∆

≈=⋅=∆

≈=⋅=∆







23,7101,022,71

17,4801,016,48

35,4600,035,46

25,901,024,9

*65

*54

*43

*31

−=−−=∆

−=−−=∆

=−=∆

−=−−=∆

z

z

z

z



15





• COORDENADA “Z” COMPENSADA:

85,6923,7108,141

08,14117,4825,189

25,18935,4690,142

90,14225,915,152

15,152

*6

*4

*3

*2

*1

=−=

=−=

=+=

=−=

=

V

V

V

V

V

z

z

z

z

z







Teniendo los datos de campo de una poligonal realizada con una Estación Topográfica Total de las siguientes especificaciones técnicas

Sensibilidad = 60 CC ; Aumentos = 30 ; Apreciación = 25 CC

Sabiendo además que la poligonal tiene como origen un vértice I, finaliza en otro F, que ambos son intervisibles y se utilizan como referencia y cierre. Compensar la poligonal tanto planimétricamente como altimétricamente si los errores obtenidos los permiten.

I [ 448.277,15 / 4.816.399,66 / 474,56 ]

F [ 454.925,93 / 4.816.924,39 / 475,42 ]











DEPURACIÓN DE LA LIBRETA DE CAMPO

2

)200( ±+=

CICDH

• PROMEDIO HORIZONTAL

• PROMEDIO VERTICAL

)2

400(

CICDCDV

−−+=






DEPURACIÓN DE LA LIBRETA DE CAMPO







9936,2948530,1191406,175

1406,1751015,1032421,278

2421,781005,3031416,175

1416,1755945,1237361,298

7361,985940,3281421,175

1421,1753700,1185121,293

5121,933720,3181401,175

1401,1751070,1302471,305

2471,1051055,3301416,175

1416,1758445,3199861,94

9861,9473,524

78,6648

33

333

23

233

322

32

12

122

211

21

11

11

=+=+=

=−=−=

=+=+=

=−=−=

=+=+=

=−=−=

=+=+=

=−=−=

=+=+=

=−=−=

==∆

∆=

IFF

IF

EF

EFF

FEE

FE

EE

EEE

EEE

EE

EE

EEE

EEE

EE

IEI

IEE

EII

EI

FI

FII

FI

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

arctgy

xarctg

εθ

θε

εθ

θε

εθ

θε

εθ

θε

εθ

θε

θ

• CIERRE ANGULAR:

CALCULADOREAL θθεα −=

0075,09936,949861,94 =−=ε


16





COMPENSACIÓN ANGULAR

CC

estacionesNV 15

5

75

º=== αε

θ

2456,1050015,02471,1050015,011 =−=−= II θθ

5091,930030,05121,930030,021

21 =−=−= θθ

7316,980045,07361,980045,032

32 =−=−= θθ

2361,780060,02421,780060,033 =−=−= FF θθ

9861,2940075,09936,2940075,0 =−=−= IF

IF θθ






CÁLCULO DE COORDENADAS SIN COMPENSAR

SenVDgD ⋅=• Distancias reducidas

• Distancias promediadas2

21 DDD

+=

θSenDx ⋅=∆• Incrementos de X

• Incrementos de Y θCosDy ⋅=∆






CÁLCULO DE COORDENADAS SIN COMPENSAR

ESTACION VISADO ACIMUTESACIMUTES

COMPENSADOS

DISTANCIAS

REDUCIDAS

DISTANCIAS

PROMEDIOS

INCREMENTO

"X"

INCREMENTO

"Y"

I F 94,9861 94,9861

1 105,2471 105,2456 1620,14 1620,19 1614,69 -133,35

1 1 1620,24

2 93,5121 93,5091 1598,34 1598,36 1590,06 162,68

2 1 1598,37

3 98,7361 98,7316 2173,18 2173,16 2172,73 43,30

3 2 2173,14

F 78,2421 78,2361 1349,53 1349,54 1271,44 452,43

F 3 1349,55

I 296,9936 294,9861






CÁLCULO DEL CIERRE

myy

mxx

nFIy

nFIx

33,006,52573,524

14,092,664878,6648

1

1

=−=∆−∆=

=−=∆−∆=

∑

∑

ε

ε

22yxCierre εε += cmCierre 363314 22 =+=






CÁLCULO DE LA TOLERANCIA

mnnn

De

mne

HT

t

l

36,06

954

636620

27,1316,2173

6

)12)(1(

636620

2

04,0402,002,0

=⋅⋅

⋅⋅

⋅=++

⋅⋅

⋅=

=⋅=⋅=

ε

cmTolerancia 36=






cmcm 3636 =

xyee yxlt

∆=

∆⇒>>

εε


SE PUEDE COMPENSAR

CONDICIÓN DE COMPENSACIÓN:


17





CÁLCULO DE LA TOLERANCIA

DETERMINACIÓN DE LAS VARIACIONES:

1

1

1

1

1

1

++

++

∆⋅∆Σ

=∆

∆⋅∆Σ

=∆

iin

yii

iin

xii

XX

YV

YY

XV

ε

ε

YVyy

XVxx

∆±∆=∆

∆±∆=∆*

*

**

**

yYY

xXX

E

E

∆+=

∆+=

Poligonal obtenida con estación total suponiendo nulo el error longitudinal y por semejanza de triángulos se obtiene:







CÁLCULO DE LAS COORDENADAS COMPENSADAS:

ESTACION VISADO AX AY VAX VAY AX* AY* X* Y*

I F 448277,15 4816399,66

1 1614,69 -133,35 0,02 0,08 1614,67 -133,43 449891,82 4816266,23

1 1

2 1590,06 162,68 0,03 0,08 1590,03 162,60 451481,85 4816428,83

2 1

3 2172,73 43,30 0,01 0,11 2172,72 43,19 453654,57 4816472,02

3 2

F 1271,44 452,43 0,08 0,06 1271,36 452,37 454925,93 4816924,39

F 3

I






COTAS Y CIERRE ALTIMÉTRICO

R

Dmi

tgV

Dz

ii

iii

ii

21

11

1

42,0+

+

+

⋅+−+=∆

• CÁLCULO DE COTAS

72,49

77,15

27,16

82,80

3

32

21

1

=∆

=∆

=∆

−=∆

F

I

z

z

z

z

• CIERRE ALTIMÉTRICO

.08,094,086,01

mzzn

FIz −=−=∆−∆= ∑ε

cmCierre 8=






TOLERANCIA ALTIMÉTRICA:

me

me

mCotge

mCotge

m

i

IIt

It

100,0

010,0

082,0...][16,2173

001,0192,10302,0

=

=

==

==

2

41012,8 222 ⋅++=TOLERANCIA

cmTolerancia 3,18=







cmcm 83,18 >


SE PUEDE COMPENSAR






ZVZZ ∆±∆=∆ *


1

1

1 ++ ⋅=∆

∑

iin

Zii D

DZV

ε** ZZZ E ∆±=

COMPENSACIÓN ALTIMÉTRICA

FUNDAMENTO


18





COMPENSACIÓN ALTIMÉTRICA

CÁLCULO DE LA COTA COMPENSADA:

ESTACION VISADO AZ VAZ AZ* Z*

I F 474,56

1 -80,82 0,02 -80,84 393,72

1 1

2 16,27 0,02 16,25 409,97

2 1

3 15,77 0,02 15,75 425,72

3 2

F 49,72 0,02 49,70 475,42

F 3

I






DEFINICIÓN y APLICACIONES

Método Topográfico Planimétrico, que a través de mediciones exclusivamente angulares, determina las coordenadas x,y de un punto P observado desde una Base Topográfica (A, B).

VENTAJAS

- Lugares de observación inaccesibles.

- No es necesario medir distancias.

- Permite comprobar otras metodologías.

- Precisiones relativamente buenas.

3.- MÉTODOS BASADOS EN EL EMPLEO DEL TEODOLITO 3.1.- MÉTODO DE INTERSECCIÓN DIRECTA





FUNDAMENTO Y RESOLUCIÓN

DATOS DE PARTIDA.-

DATOS DE CAMPO.-

),(

),(

BB

AA

YXB

YXA

CAMPO→βα ,

(POR DIFERENCIA DE LECTURAS)α=LA

B - LAP

β=LBP - LB

A







RESOLUCIÓN.-

βαγ

θ

−−=

∆+∆=

∆

∆=

200

22 YXD

Y

XArctg

BA

BA

Cálculo de datos básicos.-







RESOLUCIÓN.-

Determinación de Incógnitas.-

PA

PAD θy

Cálculo desde A.-

Cálculo desde B.-PB

PBD θy







RESOLUCIÓN.-

Determinación de Distancias.-

Determinación de Acimutes.-

γαβ Sen

D

Sen

D

Sen

D BA

PB

PA ==

βθθ

αθθ

±=

±=AB

PB

BA

PA


19






RESOLUCIÓN.-

Cálculo de Coordenadas.-

PB

PBB

PA

PAAP

PB

PBB

PA

PAAP

CosDYCosDYY

SenDXSenDXX

θθ

θθ

⋅+=⋅+=

⋅+=⋅+=






ERROR EN LA INTERSECCIÓN DIRECTA

2620.636

γε

Sen

De

HT

a

⋅

⋅=

EXPRESIÓN DE CÁLCULO.-

Precauciones.-- D = Distancia más larga.- Lecturas en CD y CI.- Ee+Ep = 1 cm.- γγγγ = Ángulo Intersección







JUSTIFICACIÓN.-

γ

ε

γ

ε

γγ

Sen

L

Sen

VVVN

LVV

Sen

VVVN

VN

VVSen

HT

HT

2´´

2´

''

'

'

⋅⋅==

⋅⋅=

=⇒=

2´ ⋅⋅=

⋅=

HTLVV

RadioAnguloArco

ε







JUSTIFICACIÓN.-

TEORÍA DE LOS DIÁMETROS COJUGADOS DE LA ELIPSE:

γSenVNba

VNba

⋅⋅=⋅⋅

⋅=+2

222

'22)2(

'2)1(

La teoría de los diámetros conjugados de la elipse demuestra las siguientes expresiones:







JUSTIFICACIÓN.-


)1(´22)4()21(

)1(´22)3()21(

´22)2(

´2)1(

222

222

2

222

γ

γ

γ

SenVNabba

SenVNabba

SenVNab

VNba

−=−+⇒=−

+=++⇒=+

⋅=

=+







JUSTIFICACIÓN.-

]11[2

2')5(

]11[2´2)5()43(

12´)4(

12´)3(

γγ

γγ

γ

γ

SenSenVN

a

SenSenVNa

SenVNba

SenVNba

−++⋅⋅

=

−++⋅⋅=⇒=+

−⋅⋅=−

+⋅⋅=+



20






JUSTIFICACIÓN.-

]11[2

2')5( γγ SenSen

VNa −++⋅

⋅=

2]11[

2

1 γγγ CosSenSen =−++

22')5(

γCosVNa ⋅⋅=








JUSTIFICACIÓN.-

γ

ε

Sen

LVN

HT 2

´⋅⋅

=

22

2 γ

γ

εCos

Sen

La

HT ⋅⋅

⋅⋅=

22')5(

γCosVNa ⋅⋅=








JUSTIFICACIÓN.-

22

2 γ

γ

εCos

Sen

La

HT ⋅⋅

⋅⋅=

222

γγγ CosSenSen ⋅⋅= 2

γε

Sen

La

HT⋅

=








JUSTIFICACIÓN.-

D= Lado mayor del triángulo

εHT= ee + eP= 1cm / Bessel

γ= ángulo intersección

rcc= 636620 ó 206265

2

γβ

ε

Sen

DERROR

HT

⋅

⋅=







Para determinar las coordenadas de un punto inaccesible, se estaciona en dos puntos de coordenadas conocidas e inter-visibles entre sí, una base topográfica.

A [ 7.645,39 / 8.627,39 ] B [ 6.192,45 / 7.437,28 ]

Desde dichos puntos se visó angularmente al punto cuestión, obteniéndose las siguientes lecturas:

LAB =196,1430g ; LAP =254,1918g ; LBA =396,1430g ; LBP =335,2292g

Obtener las coordenadas del punto P en el mismo sistema referencial así como la Tolerancia planimétrica esperada de la medición sabiendo, que el instrumento utilizado tenía las siguientes especificaciones técnicas:

[S = 50cc; A = 30; a = 10cc ]






COORDENADAS DEL PUNTO P.-

11,190.1

94,452.1

=−=∆

=−=∆

BABA

BABA

YYy

XXx

DATOS DE PARTIDA.-

gBA

BA

Arctg

mD

3100,25611,190.1

94,452.1200

14,878.111,190.194,452.1 22

=+=

=+=

θ

g

gPB

AB

gBA

PA

LL

LL

0374,81200

9138,60

0488,58

=−−=

=−=

=−=

βαγ

β

α


21





85,605.10374,81

9138,6014,878.1=

⋅=

⋅=⇒=

Sen

SenD

Sen

SenDD

Sen

D

Sen

D

PA

BAP

A

BA

PA

γ

β

γβ

⇒

=

=

52,986.8

21,080.6

3588,314

85,605.1P

mDgB

A

BA

θ

CÁLCULO DEL ACIMUT DESDE A.-

3588,3140488,583100,256 =+=+= αθθ BA

PA

COORDENADAS DE P DESDE A.-


CÁLCULO DISTANCIA DESDE A.-






30,553.10374,81

0488,5814,878.1=

⋅=

⋅=⇒=

Sen

SenD

Sen

SenDD

Sen

D

Sen

D

PB

ABP

B

AB

PB

γ

α

γα

⇒

=

=

52,986.8

21,080.6

3962,395

30,553.1P

mDgA

B

AB

θ

CÁLCULO DEL ACIMUT DESDE B.-3962,3954009138,603100,56 =+−=−= βθθ A

BPB

COORDENADAS DE P DESDE B.-


CÁLCULO DISTANCIA DESDE B.-






mError

SenError

Sen

DError

HT

04,02

0374,81620.636

7,714,878.12

620.636

=

⇒⋅

⋅=

⇒⋅

⋅=

γε

ERROR EN LA INTERSECCIÓN.-

TOLERANCIA PLANIMÉTRICA EN P.-

ERROR TOTAL ACIMUTAL.-

ccHT

ccl

ccp

ccd

ccv

S

70,771,455,110,416,4

71,42

110

3

2

55,12

1

100

3041

30

30

10,463662030,553.1

010,0

16,412

50

12

2222 =+++=

=

⋅⋅=

=

⋅

⋅+⋅=

=⋅=

===

ε

ε

ε

ε

ε






Obtener las coordenadas del punto V, con los datos adjuntos de la libreta de campo, así como el error planimétrico y altimétrico en la determinación del mencionado punto, sabiendo:A [ 10.000,00/ 10.000,00/ 100,00 ] B [ 9.614,82/ 10.920,38/ 95,44 ]

La libreta de campo se realizó con una ET de las siguientes especificaciones técnicas: [S = 50cc ; A = 30 ; a = 10cc ; 10 mm + 5 ppm]







gVE

VE

gVD

VD

gED

ED

gDC

DC

gCA

CA

EDCBA

gBA

BAA

gBA

L

L

L

L

L

L

X

YArctg

2732,1158924,2603808,254

8452,454644,1913808,254

1642,3857835,1303808,254

0381,3446574,893808,254

6449,3692642,1153808,254

3808,2543866,1207674,374

7674,374300

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=====

=−=−=

=∆

∆+=

εθ

εθ

εθ

εθ

εθ

εεεεεε

θε

θ







gCA

CA mD

6449,369

.42,324.1

=

=

θ

17,103

69,176.11

15,392.9

C

COORDENADAS DE C.-

gDC

DC mD

0381,344

.61,444.1

=

=

θ

49,97

19,098.12

61,279.8

D

COORDENADAS DE D.- gED

ED mD

1642,385

.96,286.1

=

=

θ

52,129

36,350.13

41,982.7

E

COORDENADAS DE E.-


22





RESOLUCIÓN DE LA INTERSECCIÓN.-

g

gDE

DE

EE

DE

gED

VD

ED

VD

LL

LL

4280,69200

8911,69

6809,60

=−−=

=−=−=

=−=−=

βαγ

θθβ

θθα

CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS.-

.80,291.14280,69

8911,6996,286.1m

SenSen

SenSenD

DEDV

D =⋅

=⋅

=γ

β

CÁLCULO DE LA DISTANCIA DESDE D.-

gVD

VD mD

8451,45

.80,291.1

=

=

θ

26,069.13

53,131.9V

COORDENADAS DE V DESDE D.-






RESOLUCIÓN DE LA INTERSECCIÓN.-

.01,183.14280,69

6809,6096,286.1m

Sen

Sen

Sen

SenDD

EDV

E =⋅

=⋅

=γ

α

CÁLCULO DE LA DISTANCIA DESDE E.-

gVD

VE mD

2731,115

.01,183.1

=

=

θ

26,069.13

53,131.9V

COORDENADAS DE V DESDE E.-

COORDENADA “Z” DE V DESDE E.-

.59,11142,02

mR

Dmi

tagV

DZZ VEV

E

VE

EV =⋅++++=







ccHT

ccl

ccp

ccd

ccv

S

70,55,05,19,45,2

5,02

11

3

2

5,12

1

100

3041

30

30

9,463662096,286.1

01,0

5,212

30

12

2222 =+++=

=⋅⋅=

=⋅

⋅+⋅=

=⋅=

===

ε

ε

ε

ε

ε

.068,06

743

620.636

27,561,444.1

6

)12()1(

620.636

2

me

nnnDe

t

HT

t

=⋅⋅

⋅⋅⋅

=

+⋅+⋅⋅

⋅⋅=

ε

TOLERANCIA EN LA POLIGONAL.-

.034,0302,002,0 mnel =⋅==

Tolerancia en la poligonal 6,8 cm.







ccHT

ccl

ccp

ccd

ccv

S

15,65,05,14,55,2

5,02

11

3

2

5,12

1

100

3041

30

30

4,563662001,183.1

01,0

5,212

30

12

2222 =+++=

=⋅⋅=

=

⋅

⋅+⋅=

=⋅=

===

ε

ε

ε

ε

ε .025,0

2

428,69620.636

15,680,291.1

2620.636

mSenSen

DError

HT =

⋅

⋅=

⋅

⋅=

γε

TOLERANCIA EN LA INTERSECCIÓN.-

Tolerancia en la intersección 2,5 cm.


.25,75,28,6 22 cmeTOTAL ≅+=








.0005,04324,9802,0 mCotgCotgVDe It =⋅=⋅∆=

.030,0]4324,98)0013,04324,98([61,444.1

])([

mCotgCotge

CotgVVCotgDeIIt

CT

IIt

=−±⋅=

=−±⋅= ε

ccl

ccp

ccv

5,02

11

3

2

7,72

1

100

3041

30

150

0,103

30

=⋅⋅=

=⋅

⋅+⋅=

==

ε

ε

ε

ccCT 13=ε






TOLERANCIA EN UN TRAMO .6,8813 222 cme =++=

TOLERANCIA ALTIMÉTRICA EN NTC .122

46,8

2cm

neeT ≈

⋅=

⋅=

.01,0 mei =

=⇒

=⇒<<

=⇒<<

=⇒<<

=⇒<<

=⇒<<

⇒ me

cmeD

cmeD

cmeD

cmeD

cmeD

e m

m

m

m

m

m

m 08,0

520001000

41000500

3500200

2200100

11000




23





Método Topográfico Planimétrico, que a través de mediciones exclusivamente angulares, permite obtener las coordenadas x, y de un punto observando a tres puntos de coordenadas conocidas.

VENTAJAS

- Lugares inaccesibles de orientación.

- No medida de distancias.

- Comprobación de otras metodologías.- Precisiones peores que las directas.

DEFINICIÓN Y APLICACIONES

I. INVERSA SIMPLE

3.- MÉTODOS BASADOS EN EL EMPLEO DEL TEODOLITO 3.2.- MÉTODO DE INTERSECCIÓN INVERSA





DATOS DE PARTIDA.-

DATOS DE CAMPO.-

),(

),(

),(

CC

BB

AA

YXC

YXB

YXA

CAMPO→βα ,


I. INVERSA SIMPLE







RESOLUCIÓN.-

CB

AB

CB

BA

CB

BA

B

YXDYXD

Y

XArctg

Y

XArctg

θθ

θθ

−=

∆+∆=⇔∆+∆=

∆

∆=⇔

∆

∆=

ˆ

2222

Cálculo de datos básicos.-

I. INVERSA SIMPLE







RESOLUCIÓN.-

Determinación de Incógnitas.-

PA

PAD θy Cálculo desde A.-

Cálculo desde B.- PB

PBD θy

PC

PCD θy Cálculo desde C.-

I. INVERSA SIMPLE







RESOLUCIÓN.-

Determinación de Ángulos A y C.-

β

α

β

α

βα

ββ

αα

Sena

Senb

CSen

ASenM

Sena

Senb

CSen

ASen

Sen

CSenb

Sen

ASena

Sen

CSenbPB

Sen

b

CSen

PB

Sen

ASenaPB

Sen

a

ASen

PB

⋅

⋅==

⋅

⋅=⇒

⋅=

⋅

⋅=⇒=

⋅=⇒=

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

I. INVERSA SIMPLE







RESOLUCIÓN.-

Determinación de Ángulos A y C.-

CANCSen

ASenM

incógnitasdosconecuacionesDos

BCAN

CBA g

ˆˆˆ

ˆ

:

ˆ400ˆˆ

400ˆˆˆ

+=⇔=

−−−=+=

=++++

βα

βα

I. INVERSA SIMPLE


24





FUNDAMENTO Y RESOLUCIÓNRESOLUCIÓN.- Determinación de Ángulos A y C.-

( ) ( )( ) ( )

ANCI

JAtag

SenNMJCosNMI

ACosSenNMCosNMASen

ACosSenNMASenCosNMASen

ASenCosNMACosSenNMASen

ASenCosNACosSenNMASen

ANSenMASenANSen

ASenM

ˆˆˆ

1

ˆ1ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

]ˆˆ[ˆ

)ˆ(ˆ)ˆ(

ˆ

−=⇔=

⋅=⇔⋅+=

⋅⋅=⋅+⋅

⋅⋅=⋅⋅+

⋅⋅−⋅⋅=

⋅−⋅=

−⋅=⇒−

=

I. INVERSA SIMPLE







RESOLUCIÓN.-

Determinación de Acimutes.-

CA BC

PC

CB

PB

BA

PA

ˆˆ2 ±=⇔±=⇔±= θθγθθθθ

Determinación de Distancias.-

β

γ

αα

γ

Sen

SenbD

Sen

ASenaD

Sen

SenaD p

CPB

pA

21ˆ ⋅

=⇔⋅

=⇔⋅

=

Determinación de Coordenadas.-

pA

pAAP

pA

pAAP

SenDYY

SenDXX

θ

θ

⋅+=

⋅+=

I. INVERSA SIMPLE







Para dotar de coordenadas planimétricas a un punto P, la metodología desarrollada fue la siguiente, se estacionó un Teodolito en el punto de coordenadas desconocidas, se visó a tres de coordenadas conocidas:

A [ 10.059,36 / 10.891,07 ]

B [ 10.436,11 / 10.909,72 ]

C [ 10.987,31 / 10.649,22 ]

Obteniéndose las siguientes lecturas angulares:

LPA =273,7199 g ; LPB =286,6496 g ; LPC =308,1828 g

Determinar las coordenadas del punto P.






CÁLCULO DE COORDENADAS.-

gBP

CP

gAP

BP

gCB

AB

gCB

CB

gBA

BA

LL

LL

B

Arctg

mDb

Arctg

mDa

5332,216496,2861828,308

9297,127199,2736496,286

7448,1681063,1288511,296ˆ

1063,1285,260

2,551

.657,6095,2602,551

8511,9665,18

75,376

.211,37765,1875,376

22

22

=−=−=

=−=−=

=−=−=

==

=+==

==

=+==

β

α

θθ

θ

θ

DATOS ELEMENTALES.-







g

g

g

ANC

ArctgI

JArctgA

SenSenNMJ

CosCosNMI

BN

Sen

Sen

Sena

SenbM

9204,1198719,767923,196ˆˆ

8719,7601881099,0

04948049,0ˆ

50494804855,07923,19698243584,0

40188109937,07923,19698243584,011

7923,1967448,1685332,219297,12400ˆ400

98243584,05332,21211,377

9297,12657,609

=−=−=

===

=⋅=⋅=

=⋅+=⋅+=

=−−−=−−−=

=⋅

⋅=

⋅

⋅=

βα

β

α

DATOS INTERSECCIÓN.-







COMPROBACIÓN DE RESULTADOS.-

g

g

g

B

C

A

7448,1685464,581984,110ˆ

5464,589204,1195332,21200ˆ200

1984,1108719,769297,12200ˆ200

21

2

1

=+=+=

=−−=−−=

=−−=−−=

γγ

βγ

αγ

25







gBA

PA

PA

PA

PA

A

mSen

SenD

Sen

SenaD

Sen

a

Sen

D

7230,1738719,768511,96ˆ

.16,18469297,12

1984,110211,377

1

1

=+=+=

=⋅

=

⋅=⇒=

θθ

α

γ

αγ

CÁLCULO DE ACIMUT Y DISTANCIA.-

gPA

PA mD

7230,173

.16,1846

=

=

θ


000,200.9

000,800.10P





I. INVERSA MÚLTIPLE

DEFINICIÓN:

Método topográfico planimétrico que a través de mediciones exclusivamente angulares, permite obtener las coordenadas X,Yde varios puntos observando con la secuencia de observaciones descritas en el gráfico adjunto.

VENTAJAS:- Lugares de observación inaccesibles.



- Buenas tolerancias.







),(

),(

),(

yxC

yxB

yxA

BC

CB

BA

AB

yxb

yxa

θθθθ −−−

∆+∆=

∆+∆=

22

22

FUNDAMENTO:

−−

−−⇒

...

...

321

321

βββ

αααCAMPO







RESOLUCIÓN:

1

2

2

1

1

1

)2(

ˆ)1(

βα

α

Sen

BP

Sen

BP

ASen

BP

Sen

a

=

=

3

3

2

3

3

2

ˆ)4(

)3(

β

βα

Sen

b

CSen

BP

Sen

BP

Sen

BP

=

=







RESOLUCIÓN:

21

12

1

22

1

ˆˆ)21(

αα

β

β

α

α SenSen

SenASenaBP

Sen

SenBP

Sen

ASena

⋅

⋅⋅=→

⋅=

⋅⇒=

23

32

33

22ˆˆ

)43(ββ

α

βα

β

SenSen

SenCSenbBP

Sen

CSenb

Sen

SenBP

⋅

⋅⋅=→

⋅=

⋅⇒=

23

3

21

1ˆˆ

ββ

α

αα

β

SenSen

SenCSenb

SenSen

SenASena

⋅

⋅⋅=

⋅

⋅⋅

321

321

ˆ

ˆ

βββ

ααα

SenSenSena

SenSenSenb

CSen

ASenM

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅==







RESOLUCIÓN:

...]ˆ[)2(200ˆˆ

200)2(ˆˆˆ

2211

321321

+++++−−⋅=+=

⋅−=++++++++

βαβα

βββααα

BnCAN

nCBA

CAN

CSen

ASenM

ˆˆ

ˆ

ˆ

+=

=

ACosMSenNCosNMASen


ANSenMASen

ˆ][]1[ˆ

]ˆˆ[ˆ

)ˆ(ˆ

⋅=⋅+⋅

⋅−⋅=

−⋅=


26






RESOLUCIÓN:

SenNMJ

CosNMI

⋅=

⋅+=1

ANC

I

JArctgA

I

JATang

ACosJASenI

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

−=

=→=

⋅=⋅

11

1

11

1

PA

PAAP

PA

PAAP

CosDYY

SenDXX

θ

θ

⋅+=

⋅+=

1

1)ˆ200(

ˆ

1

1

α

α

θθ

Sen

ASenaD

A

PA

BA

PA

−−⋅=

±=






PROCEDIMIENTO DE HANSEN

DEFINICIÓN:

Método topográfico planimétrico que a través de mediciones exclusivamente angulares, permite obtener las coordenadas X,Yde varios puntos observando con la secuencia de observaciones descritas en el gráfico adjunto.

VENTAJAS:

- Lugares de observación inaccesibles.



- Buenas tolerancias.






FUNDAMENTO:

),(

),(

yxB

yxABA

AB

yxa

θθ −

∆+∆= 22

{ }4̂3̂2̂1̂ −−−⇒CAMPO







3̂6̂)2(

1̂ˆ)1(

121

1

Sen

AP

Sen

PPSen

a

BSen

AP

=⇒

=⇒

ASen

BP

Sen

aSen

PP

Sen

BP

ˆ4̂)4(

5̂2̂)3(

2

212

=⇒

=⇒

RESOLUCIÓN:







3̂6̂)2(

1̂ˆ)1(

121

1

Sen

AP

Sen

PPSen

a

BSen

AP

=⇒

=⇒

ASen

BP

Sen

aSen

PP

Sen

BP

ˆ4̂)4(

5̂2̂)3(

2

212

=⇒

=⇒

3̂1̂

6̂ˆ

6̂

3̂

1̂

ˆ)21( 21

21

SenSen

SenBSenaPP

Sen

SenPP

Sen

BSena

⋅

⋅⋅=→

⋅=

⋅⇒=

RESOLUCIÓN:

4̂2̂

5̂ˆ

4̂

ˆ

5̂

2̂)43( 21

21

SenSen

SenASenaPP

Sen

ASena

Sen

SenPP

⋅

⋅⋅=→

⋅=

⋅⇒=







4̂2̂

5̂ˆ

3̂1̂

6̂ˆ21

SenSen

SenASena

SenSen

SenBSenaPP

⋅

⋅⋅=

⋅

⋅⋅=

5̂3̂1̂

6̂4̂2̂ˆ

ˆ

SenSenSen

SenSenSen

BSen

ASenM

⋅⋅

⋅⋅==

RESOLUCIÓN:

6̂5̂4̂3̂2̂1̂400ˆˆ

ˆˆ6̂5̂4̂3̂2̂1̂400

−−−−−−=+=

+++++++=

BAN

BA



27





BAN

BSen

ASenM

ˆˆ

ˆ

ˆ

+=

=

ACosMSenNCosNMASen


ANSenMASen

ˆ][]1[ˆ

]ˆˆ[ˆ

)ˆ(ˆ

⋅=⋅+⋅

⋅−⋅=

−⋅=RESOLUCIÓN:

SenNMJ

CosNMI

⋅=

⋅+=1

ANB

I

JArctgA

I

JATang

ACosJASenI

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

−=

=→=

⋅=⋅







RESOLUCIÓN:

1̂

ˆ

)ˆ6̂(

1

1

Sen

BSenaD

A

PA

BA

PA

⋅=

+±= θθ

11

1

11

1

PA

PAAP

PA

PAAP

CosDYY

SenDXX

θ

θ

⋅+=

⋅+=







Con el objetivo de implantar a lo largo de una explotación minera a cielo abierto una red de vértices topográficos, desde los cuales realizar las diferentes actividades topográficas a desarrollar dentro de cualquier explotación minera, se llevan a cabo las siguientes actividades topográficas:

Sabiendo que las coordenadas de A y B: A [410.256,256 / 4.802.325,444]B [407.491,296 / 4.801.555,318]

OBTENER LAS COORDENADAS DELOS VÉRTICES P1, P2, P3, P4 y P5.






CÁLCULO DE PROMEDIOS






RESOLUCIÓN DE HANSEN

mYXDBA 208,870.222 =∆+∆=

3836,216̂

4692,535̂

7423,534̂

9950,173̂

7935,742̂

8278,851̂

=

=

=

=

=

=






6̂5̂4̂3̂2̂1̂400ˆˆ5̂3̂1̂

6̂4̂2̂ˆ

ˆ

−−−−−−=+=

⋅⋅

⋅⋅==

BAN

SenSenSen

SenSenSen

BSen

ASenM

ANC

I

JArctgA

ˆˆ

ˆ

−=

=

SenNMJ

CosNMI

⋅=

⋅+=1

1244,43ˆ

6641,49ˆ

=

=

B

A

RESOLUCIÓN DE HANSEN

]316,192.804.4/765,906.406[

]280,704.803.4/156,031.409[

2

1

=

=

P

P


28





RESOLUCIÓN POLIGONAL]962,177.804.4/460,557.411[3 =P

RESOLUCIÓN INVERSA MÚLTIPLE

8248,173ˆ

6311,47

5666,73

9144,80

7026,59

2

1

2

1

=

=

=

=

=

B

β

β

α

α






RESOLUCIÓN INVERSA MÚLTIPLE

321

321

ˆ

ˆ

βββ

ααα

SenSenSena

SenSenSenb

CSen

ASenM

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅==

SenNMJ

CosNMI

⋅=

⋅+=1

ANC

I

JArctgA

I

JATang

ACosJASenI

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

−=

=→=

⋅=⋅

8569,76ˆ

5036,87ˆ

=

=

C

A

]203,661.806.4/474,557.408[

]769,359.806.4/866,681.410[

5

4

=

=

P

P






ESQUEMA FINAL

]203,661.806.4/474,557.408[

]769,359.806.4/866,681.410[

5

4

=

=

P

P

]962,177.804.4/460,557.411[3 =P

]316,192.804.4/765,906.406[

]280,704.803.4/156,031.409[

2

1

=

=

P

P






EL ERROR EN LA INTERSECCIÓN INVERSA

PA

PAAP YY

XXTg

−

−=θ

dyD

XXdx

D

YYd

D

YYCos

dyYY

XXdx

YY

YYd

Cos

AP

PAAP

PAAP

AP

PAAP

PA

PA

PA

PAAPA

P

⋅−

−⋅−

=

−=

⋅−

−−⋅

−

−=⋅

22

222

)()(

)()(

1

θ

θ

θθ







dyD

Sendx

D

Cosd

D

XXSen

D

YYCos

dyD

XXdx

D

YYd

AP

AP

AP

APA

P

AP

PAAPA

P

PAAP

AP

PAAP

PAAP

⋅−⋅=

−=

−=

⋅−

−⋅−

=

θθθ

θθ

θ

;

)()( 22

dxD

Cosdy

D

Send

dxD

Cosdy

D

Send

dxD

Cosdy

D

Send

CP

CP

CP

CPC

P

BP

BP

BP

BPB

P

AP

AP

AP

APA

P

⋅−⋅=

⋅−⋅=

⋅−⋅=

θθθ

θθθ

θθθ







BP

CP

BP

CP

BP

AP

BP

AP

ddd

ddd

θθβθθβ

θθαθθα

−=⇒−=

−=⇒−=

CCP

BBP

AAP

BP

BP

CP

CP

BP

BP

CP

CP

AP

AP

BP

BP

AP

AP

BP

BP

rD

rD

rD

dxD

Cos

D

Cosdy

D

Sen

D

Send

dxD

Cos

D

Cosdy

D

Sen

D

Send

===

⋅−−⋅−=

⋅−−⋅−=

1;

1;

1

][][

][][

θθθθβ

θθθθα


29






dxCosrCosrdySenrSenrd

dxCosrCosrdySenrSenrdBPB

CPC

BPB

CPC

APA

BPB

APA

BPB

⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅=

⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅=

][][

][][

θθθθβ

θθθθα

CP

BP

AP

CBA

HT

Drrr

dd

θθθ

εβα

;;

1;; =

≅≅

dydx;







22 dydxerror +=22

2

2mediomayor

HT LL

Serror +⋅

⋅

⋅=

ε

Triángulo Superficie S

Triángulo medio LadoL

Triángulomayor LadoL

menor

mayor

=

=

=

+++=2222lpdv

HT εεεεε






( ) ( )[ ]∑ +⋅−⋅= ++

N

NNNN YYXXS1

112

1

RESUMEN ERROR EN LA INTERSECCIÓN INVERSA

22

2

2MEDIOMAYOR

HT LL

SError +⋅

⋅

⋅=

ε

triánguloSuperficieS

triánguloLadosLyL

BesselSi

cmEpEe

MEDIOMAYOR

HT

⇒

⇒

=+

⇒.1

ε

CP

cP

BP

bP

AP

aP

CP

cPB

P

bPA

P

aP D

DD

DD

D

cbadePosición

θθθθθθ =⇔=⇔=

=⇔=⇔=

'''

''' 111

:'''






INTRODUCCIÓN

ANTES:

Buenas precisiones

angulares

Métodos basados en la

medición de ángulos

AHORA:

Buenas precisiones

distanciométricas

Métodos basados en la

medición de distancias

4.- MÉTODOS BASADOS EN EL EMPLEO DEL DISTANCIÓMETRO 4.1.- LA DISTANCIOMETRÍA





METODOLOGÍAS DISTANCIOMÉTRICAS

Intersección Directa

Angular


Distanciométrica

Intersección Inversa

Angular


Distanciométrica

Triangulación

Trilateración






VENTAJAS DE LA DISTANCIOMETRÍA

- Buenas precisiones.

- Rapidez y comodidad en la observación.

- Independencia del observador.

- Buenos alcances al observar distancias.

- Permite determinaciones altimétricas.


30





CONCEPTO


Distancias


Distancias

INTERSECCIÓN DE DISTANCIAS

4.- MÉTODOS BASADOS EN EL EMPLEO DEL DISTANCIÓMETRO 4.2.- LA INTERSECCIÓN DE DISTANCIAS





DATOS

INCOGNITAS

VV

VV

DD

DD

YX

YX

22

11

22

11

),(2

),(1

=

=

βα y







RESOLUCIÓN

y

xArctg

yxD

∆

∆=

∆+∆=

21

2221

θ

⋅⋅

−−=

⋅⋅⋅−+=

21

1

221

2122

21

1221

2122

2

)()()(cos

2)()()(

DD

DDDAr

CosDDDDD

V

VV

VVV

α

α

αθθ ±= 211

VVV

V

VVV

CosDYY

SenDXX

111

111

θ

θ

⋅+=

⋅+=







TRILATERACIÓN

Método topográfico que a partir de una base topográfica y distancias a una serie de vértices es capaz de determinar las coordenadas de éstos.







TRILATERACIÓN

- Los ángulos intersección deben ser lo mayores posibles para tener poco error.

- La figura de transmisión de distancias es el triángulo ya que al tener menor número de lados tiene mayor redundancia.

- En la trilateración la base no es tan importante como en la triángulación ya que el trabajo se puede orientar desde cualquier vértice.

- La medición de ángulos siempre es necesaria (V).

GENERALIDADES






TOLERANCIAS

ónIntersecci Ángulo

distancias de medida RelativoError

observadas las demayor DistanciaD

=

=

=

γ

ε

22

γ

ε

Sen

DError

⋅

⋅=

4.- MÉTODOS BASADOS EN EL EMPLEO DEL DISTANCIÓMETRO 4.3.- CÁLCULO DE LA TOLERANCIA

31






Considerando que al realizar las dos observaciones distanciométricasnecesarias en toda intersección directa se comete un error en la medida de la distancia εεεεD, se genera una zona de incertidumbre en la que es previsible que se encuentre realmente la posición del punto objeto de determinación, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura:

TOLERANCIAS






Considerando que en el entorno de la intersección de visuales, las desviaciones distanciométricas se pueden considerar perpendiculares, y que la probabilidad de que se produzcan las máximas desviaciones en ambas visuales es mínima, se encaja en el interior del polígono una elipse cuyo semieje mayor se considera la tolerancia de las intersecciones distanciométricas.

TOLERANCIAS






Para el establecimiento del semieje mayor de la elipse de error es necesario apoyarse en la teoría de los diámetros conjugados de una elipse formulada por Apolonio.

TOLERANCIAS

En el triángulo VNN’, VN’ es el diámetro conjugado, cuyo valor es de fácil obtención partiendo de que al valor VN coincide con el valor del error absoluto en la medición de las distancias:

DVN ε=

γγ

sen

VNVN

VN

VNsen =⇒= '

'

γ

ε

senVN D='






Aplicando la teoría de los diámetros conjugados se puede obtener el semieje mayor de la elipse de error mediante las siguientes expresiones:

TOLERANCIAS

222 '2 VNba ⋅=+

γsenVNba ·'22 2⋅=⋅⋅

Sumando las dos expresiones anteriores, resulta:

( )γsenVNbaba +⋅⋅=⋅⋅++ 1'22 222

( ) ( )γsenVNba +⋅⋅=+ 1'2 22

( ) γsenVNba +⋅⋅=+ 1'2






Restando esas mismas expresiones:

TOLERANCIAS

Sumando ahora las dos expresiones deducidas anteriormente, se obtiene:

( )γsenVNbaba −⋅⋅=⋅⋅−+ 1'22 222

( ) ( )γsenVNba −⋅⋅=− 1'2 22

( ) γsenVNba −⋅⋅=− 1'2

[ ]γγ sensenVNa −++⋅=⋅ 11'22

[ ]γγ sensenVN

a −++⋅

= 112

'2






Dada la siguiente igualdad trigonométrica:

TOLERANCIAS

Se puede sustituir, obteniendo una expresión mucho más reducida del semieje mayor de la elipse:

[ ]2

cos112

1 γγγ =−++⋅ sensen

2cos'2

γ⋅⋅= VNa

Sustituyendo el valor de VN’ ya determinando y la igualdad trigonométrica:

⋅⋅=

=

2cos

22

'

γγγ

γ

ε

senSen

senVN D

2cos

22

2cos··2

γγ

γε

⋅⋅

=

sena

D

32






Conformando definitivamente dicho semieje de la elipse de error la tolerancia o error esperado al realizar una intersección directa angular.

TOLERANCIAS

22

γε

sena D

⋅

=

siendo:

εD.- error absoluto en la medida de la distancias.

γ.- ángulo intersección.





Definida una base topográfica en el terreno:

A.- 423.147,915 / 4.800.399,456

B.- 424.007,864 / 4.800.298,735

Obtener las coordenadas de un punto P, sabiendo que para la determinación de estas se ha llevado a cabo una Intersección de Distancias, resultando los siguientes valores:

DPA = 615,743 m. ; DP

B = 938,425 m.

Sabiendo que el distanciómetro con el que se ha realizado la medición tiene un error absoluto de 6 mm + 4 ppm obtener la tolerancia esperada de la medición.

NOTA: Con el objetivo de homogenizar los resultados considerar que estacionado en el punto P el Distanciómetro el punto A se encuentra a la izquierda del punto B.






COORDENADAS DEL PUNTO “P”

mD

Arctg

y

x

BA

gBA

827,865949,859721,100

4225,107949,859

721,100100

721,100

949,859

22 =+=

=+=

=∆

=∆

θ







⋅⋅

−+=

⋅⋅

−+=

⋅⋅⋅−+=

743,615425,9382

827,865425,938743,615cos

2cos

2

222

222

222

Ar

ba

cbaAr

Cosbabac

γ

γ

γ

g8953,70=γ







αSenSen

425,938

8935,70

827,865=

g0465,85=α

g0582,44=β

αSenSen

425,938

8935,70

827,865=






743,615

0465,854225,107

=

+=+=PA

BA

PA

D

αθθ

016,788.799.4

585,220.423

=

=

Y

X



33





ERROR PLANIMÉTRICO DEL PUNTO “P”

.328

2

8953,702

21

212

4620)()(2

22

22

2

cmmmSen

Error

mmn

BppmAmmeeE

Sen

E

Sen

D

ED

Sen

DError

peABS

ABS

ABS

≅=

⋅

=

≈++

=+++

=

⋅

=

⋅

⋅=

⋅

⋅=

γγγ

ε

cm 4 Error =






FIN

Documents

1. INTRODUCCIÓN GENERAL Unidad Didáctica III · 2 Asignatura: "Topografía y Geodesia", Plan de Estudios 2010 Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros y Grado en Ingeniería