1. Introduzione

2. la Notazione Posizionale

3. I SISTEMI‣ Binario (Base 2)

‣ Ottale (Base 8)

‣ Esadecimale (Base 16)

4. Riassunto

5. Esercizi

Panico!!!!

NOOO!!!!

Io sono un Corvo e

riesco a contare fino a 4

L'Osso d'Ishango

1 10

10X603  +  1X602    +   23X601    +    32X600    =     2165012

0123

La notazione posizionale

Sistema di Numerazione

L’insieme degli oggetti e delle regole atte a rappresentare le grandezze numeriche

Sistema Posizionale

Il valore della cifra dipende dal valore dalla posizione che occupa all’interno del numero stesso.

Il Sistema Decimale

È un sistema di Numerazione Posizionale in Base 10

Il Sistema Decimale

È un sistema di Numerazione Posizionale in Base 10

per rappresentare

un numerodecimale

Si usano 10 simboli diversi (Base 10)

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Ogni simbolo assume un valore diverso a seconda della posizione che occupa all’interno del numero. Tali simboli sono chiamati cifre.

Il valore diun numero = Somma

Il valore diuna cifra = cifra

stessa X Potenza della Base (l’Esponente della Base dipende dalla posizione della cifra all’interno del numero)

valori che assumono le singole cifredei

72853 = 7 X 104

+ 2 X 103+ 8 X 102 5 X 101

+ 3 X 100+

43210 posizione della cifra

70000 + 2000 800 50 3

7X10000 + 2 X 1000 + 8 X 100 + 5 X 10 + 3 X 1

+ + +

=

=

100Nota: = 1

Un dubbio atroce

Perché

100 = 1

Spiegazione

100 = 10n - n = 10 n :

10 n =10 n

= 1

10 n =

100 = 1

4 8 5 7 2 6 3 4 1

8 7 6 5 4 3 2 1 0

10 10 10 10 10 10 10 10 10

108

107

106

105

104

103

102

101

100

108

4 * 107

8 * 106

5 * 105

7 * 104

2 * 103

6 * 102

3 * 101

4 * 100

1 *

108

4 * 107

8 * 106

5 * 105

7 * 104

2 * 103

6 * 102

3 * 101

4 * 100

1 *+ + + + + + + +

Cifra

Posizione

Base

Potenza

Prodotto

Somma

485726341 Cifra meno significativa

Cifra Più significativa

Ultimi dubbiNei sistemi di numerazione posizionali se:

• Sposto le cifre che compongono un numero di una posizione verso destra equivale a dividere il numero stesso per la base;

124 Spostato di una posizione verso destra diventa 12,4

• Sposto le cifre che compongono un numero di una posizione verso sinistra equivale a moltiplicare il numero stesso per la base;

1240 Spostato di una posizione verso destra diventa 124

0 1

1100000011111021235010 =5 cifre 14 cifre

Io parlo Italiano

011010101010

uuu oooo uu ah ah ah

1100000011111021235010 =?

Panico !!!!!!

Binario → Decimale

Binario → Decimale

Panico al quadrato !!!!!!!!

MSB (Most Significat Bit)

(Bit Più Significativo)

LSB (Less Significat Bit)(Bit Meno Significativo)

21

24

23

22

25

Se n è il numero dei bit a disposizione, si possono rappresentare

fino a 2n numeri, dove 0 è il più piccolo e 2n-1 è il più grande.

Esercizi

Decimale → Binario Binario → Decimale

(25)10 = (11001)2

(38)10 = (100110)2

(147)10 = (10010011)2

(213)10 = (11010101)2

(100100)2 = (36)10

(110000)2 = (48)10

(1111001)2 = (121)10

(10111001)2 = (185)10

Il Prof.“Caro Homerdopo aver studiato il sistema binario,oggi voglio parlarti del

Sistema Ottale

Base = 8

Cifre = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 { Panico al quadrato !!!

Homer: “Senta Prof. ma non le bastava il sistema binario? Era proprio necessario farmi studiare anche il sistema ottale?”

Il Prof.“ Guarda Homer, io penso di farti un favoreintroducendoti anche il sistema ottale “

Homer“Ah si? E sentiamo un po’, perché mi faresti un favore. Okkio che ho l’indice sensibile.”

Il Prof.“Calma Homer, i numeri binari, anche quelli di valore non molto elevato, sono rappresentati da sequenze di cifre molto lunghe e quindi difficili da leggere. Ad esempio:

32568410 = 100111110000011010026 cifre 19 cifre

Come vedi per la rappresentazione decimale occorrono solo 6 cifre. Per la stessa in binario ne occorrono 19. E non mi dire che leggi meglio il numero in binario rispetto al decimale perché non è vero”

Homer“Ok! E quante cifre risparmio se lo stesso numero lo rappresento in ottale?”

Il Prof.“Il numero in ottale si rappresenta così:

32568410 = 10011111000001101002 = 117406486 cifre 19 cifre 7 cifre

Come vedi, per rappresentare il numero 325684 nel sistema binario occorrono 19 cifre e nel sistema ottale ne occorrono solo 7. Quindi, rispetto alla rappresentazione binaria, risparmi 19 - 7 = 12 cifre. Rispetto alla decimale, invece, ti occorre una sola cifra in più (7 invece che 6).”

Homer“E come faccio ora per passare dalla base 2 alla base 8 ?”

Da BINARIO -----> OTTALE

Il Prof.“Per prima casa devi capire bene come si costruisce questa tabella e poi la devi memorizzare”

BINARIO OTTALE

OOO O

OO1 1

O1O 2

O11 3

1OO 4

1O1 5

11O 6

111 7

Panico !!!!!!

Ricordati che con n cifre puoi rappresentare

2n numeri di cui o è il numero più piccolo e

2n -1 è il numero più grande.

Il Prof.“Fortunatamente il passaggio dalla base 2 alla base 8 è semplicissimo. Dato che 8 è una potenza di due

(8 = 23), si può facilmente passare dalla base binaria (2) alla base ottale (8), raggruppando i bit tre a tre a partire da destra”

10011111000001101002

1 001 111 100 000 110 100

4

BINARIO OTTALE

OOO O

OO1 1

O1O 2

O11 3

1OO 4

1O1 5

11O 6

111 7

604711

Numero Binario

Bit raggruppati 3 a 3 partendo da destra

Numero Ottale

(325.684)10 = (1001111100000110100)2 = (1174064)86 cifre 19 cifre 7 cifre

Il Prof.“Facciamo un altro esempio. Homer vai alla lavagna e vediamo se hai capito. Dimostrami che:

101011110101001012 = 2572458

BIN OTT

OOO O

OO1 1

O1O 2

O11 3

1OO 4

1O1 5

11O 6

111 7

10101111010100101

10 101 111 010 100 101

542752

Mitico

Il Prof.“Ottimo Homer. Hai preso 7.”

Homer“E se volessi passare dalla base 8 alla base 2, come si fa? Faccio il processo inverso?”

Il Prof. (da OTTALE ----> BINARIO)“Esattamente. Vediamo se ti riesce a trasformare in binario il numero ottale

331108

3 3 1 1 0

BIN OTT

OOO O

OO1 1

O1O 2

O11 3

1OO 4

1O1 5

11O 6

111 7

000001001011011

331108 = 110110010010002

Il Prof. (da OTTALE ----> BINARIO)“Caro Hamer, facciamo un altro esempio per meglio fissare il concetto”

BIN OTT

OOO O

OO1 1

O1O 2

O11 3

1OO 4

1O1 5

11O 6

111 7

2765748

2 7 6 5 7 4

100111101110111

2765748 = 101111101011111002

10

Il Prof. (STATO DELL’ARTE)“ Bene. Finora abbiamo visto come si fanno le seguenti conversioni:

Binario

OttaleDecimale

Homer“E se volessi passare dalla base OTTALE alla base DECIMALE (freccia verde) ?

Il Prof.“È facilissimo a patto che ti ricordi quanto detto a proposito del sistema posizionale. E se la memoria fa i capricci, diamogli un aiutino con una piccola rinfrescata.

Accidenti. Mi ricordo tutte le cose importanti ma il sistema posizionale adesso mi sfugge.......

Binario

OttaleDecimale

Il Sistema Decimale

È un sistema di Numerazione Posizionale in Base 10

per rappresentare

un numerodecimale

Si usano 10 simboli diversi (Base 10)

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Ogni simbolo assume un valore diverso a seconda della posizione che occupa all’interno del numero. Tali simboli sono chiamati cifre.

Il valore diun numero = Somma

Il valore diuna cifra = cifra

stessa X Potenza della Base (l’Esponente della Base dipende dalla posizione della cifra all’interno del numero)

valori che assumono le singole cifredei

72853 = 7 X 104

+ 2 X 103+ 8 X 102 5 X 101

+ 3 X 100+

43210posizione della cifra

70000 + 2000 800 50 3

7X10000 + 2 X 1000 + 8 X 100 + 5 X 10 + 3 X 1

+ + +

=

=

100Nota: = 1

Il Prof.“Ora se vuoi passare dalla base 8 alla base 10 devi applicare lo stesso procedimento, ma devi sostituire la base 10 con la base 8.

OTTALE ---> DECIMALE 2424618 = ?

2424618

543210

= 2 * 85+ 4* 8

4+ 2 * 8

3+ 4* 8

2+ 6* 8

1+ 1* 8

0

2 *32768 + 4* 2 *+ + 4 * + 6 * + 1 *4096 512 64 8 1=

65536 + + + + +16384 1024 256 48 1=

8324910= 2424618 = 8324910

POSIZIONE delle cifre

Il Prof.“Homer, vediamo se hai capito. Sapresti convertirmi il numero ottale

23244 in decimale?”

232448

43210

= 2 * 84+ 3* 8

3+ 2 * 8

2+ 4* 8

1+ 4* 8

0

2 * 3 *+ + 2 * + 4* + 4*4096 512 64 8 1=

+ + + +8192 1536 128 32 4=

= 232448 = 989210

POSIZIONE delle cifre

9892

Mitico

Il Prof. (STATO DELL’ARTE)“ Caro Homer, finora abbiamo visto come si fanno le seguenti conversioni:

Binario

OttaleDecimale

Quindi, per togliere l’ultimo punto interrogativo (freccia verde), non ci rimane altro che vedere come si fa l’ultima conversione da Decimale ad Ottale.

Il Prof. (da DECIMALE ----> OTTALE)“Per trasformare un numero decimale in ottale, si fa esattamente come per la trasformazione di un numero decimale in binario, cioè effettuando delle divisioni e tenendo conto dei resti, ricordando però che si deve dividere per 8 e non per 2.”

Decimale ---> Binario

Decimale ---> Ottale

(100)10 = (1100100)2 = (144)8

Il Prof. (da DECIMALE ----> OTTALE)<< Homer, se riesci a risolvere i due esercizi ti metto 8 sul registro. Te la senti? >>

Homer << Ci provo”, a patto di non dover fare delle trasformazioni con molti calcoli. Sono abbastanza stanco >>

4003 = 8 x 500 + 3500 = 8 x 62 + 4

62 = 8 x 7 + 67 = 8 x 0 + 7

(4003)10 = (.....?......)8

(4003)10 = (7643)8

985999 = 8 x 123249 + 7123249 = 8 x 15406 + 1

15406 = 8 x 1925 + 61925 = 8 x 240 + 5240 = 8 x 30 + 0

30 = 8 x 3 + 63 = 8 x 0 + 3

(985999)10 = (.....?......)8

(985999)10 = (3605617)8

Meno male che che ci dovevano essere

pochi calcoli

Il Prof. << Bravissimo Homer. Voglio premiare la tua pazienza ed il tuo impegno con un 9 sul registro.

Mitico

Adesso ti puoi anche rilassare

Il Prof.Riepilogando abbiamo spiegato i seguenti cambiamenti di base:

Binario

OttaleDecimale118

1110110

166

Esercizi per casa

(2345)10 = (100100101001)2 = (4451)8

(5963)10 = (1011101001011)2 = (13513)8

(780)10 = (1100001100)2 = (1414)8

(5963)10 = (1011101001011)2 = (13513)8

(358421)10 = (......?........)8

(42853)10 = (......?........)8

Dimostra che:NOO!!!!!!

BASTA!!!!!!!SCIOPERO!!!!!

OCCUPIAMO

Sistema Esadecimale

Panico al quadrato !!!

Il Prof.“Salve Homeroggi sostituisco il collega di informatica. Mi ha chiesto di spiegarti il

Il Prof.“Non capisco come mai il collega mi ha detto di stare attento.“

Il Prof.“Homer non ti devi preoccupare. Il sistema ESADECIMALE è molto semplice da capire, soprattutto quando hai già assimilato la conversione tra le basi decimale, binaria ed ottale”

Ah SI ?

Per il sistema ESADECIMALE possiamo fare le stesse considerazioni fatte per le altri basi cioè:

Quindi, per le prime 10 cifre si usano le cifre decimali, per i i numeri 10, 11, 12, 13, 14 e 15 rispettivamente le lettere A, C, C, D, E ed F.

SistemaEsadecimale

Base = 16 = 24

Cifre =

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

A, B, C, D, E, F10, 11, 12, 13, 14, 15

+

Ti ricordo che, in generale, quando la base b > 10, si aggiungono ai simboli n u m e r i c i l e l e t t e r e dell’alfabeto. Ecco perchè per il sistema esadecimale, dopo le prime cifre 10, si usano le lettere A,B,C,D,E,F rispettivamente per i valori 10,11,12,13,14,15.

Decimale Binario Ottale Esadecimale0 0 0 01 1 1 12 10 2 23 11 3 34 100 4 45 101 5 56 110 6 67 111 7 78 1000 10 89 1001 11 910 1010 12 A11 1011 13 B12 1100 14 C13 1101 15 D14 1110 16 E15 1111 17 F16 10000 20 10

Panico al quadrato !!!

Il mio collega, nelle precedenti lezioni, ti ha mostrato le seguenti conversioni. Quindi ti rimane da capire le conversioni 4, 5 e 6.

Binario

Ottal

e

Deci

mal

e

EsaDecimale

1 2

3

4

5 6

BINARIO ---> ESADECIMALE

“Poiché 16 è una potenza di due (16 = 24), si può facilmente passare dalla base binaria alla base esadecimale raggruppando i bit 4 a 4 (invece che 3 a 3) sempre partendo da destra”

1011110011111000001101002

1011 1100 1111 1000 0011 0100

438FCB

(101111001111100000110100)2 = (BCF834)1624 cifre 6 cifre

Binario ESADEC0000 00001 10010 20011 30100 40101 50110 60111 71000 81001 91010 A1011 B1100 C1101 D1110 E1111 F10000 10

Il Prof.“Anche per il sistema esadecimale vale lo stesso discorso che il collega ti ha fatto a proposito del sistema Ottale. Anzi qui è molto più evidente”

(101111001111100000110100)2 = (BCF834)16

24 cifre 6 cifre

= (12.384.308)108 cifre

Homer“È vero. Forte! Quindi per rappresentare questo numero nel sistema decimale occorrono 8 cifre, in quello binario 24 mentre in quello esadecimale solo 6. Dunque, risparmio spazio ma consumo troppo la mia preziosa materia grigia, in quanto faccio difficoltà ad associare le lettere ai numeri (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)”

Il Prof.“Io utilizzo il seguente trucchetto: associo alle 5 dita della mia mano destra le coppie (numeri, lettere) e sul palmo la coppia (15, F). A me funziona come tecnica mnemonica.

10A

11B

12C

13D

14

E

15F

“E se volessi passare dalla base 16 alla base 2, applico il processo inverso!”

ESADECIMALE ---> BINARIO Binario ESADEC0000 00001 10010 20011 30100 40101 50110 60111 71000 81001 91010 A1011 B1100 C1101 D1110 E1111 F10000 10

IL PROF: “Si, vedi che hai capito. Comunque facciamo un esempio”

7AB912616

7 A B 9 1 2 6

01100010000110011011

7AB912616 = 01111010101110010001001001102

10100111

“Caro Hamer, facciamo un altro esempio per meglio fissare il concetto”

Binario ESADEC0000 00001 10010 20011 30100 40101 50110 60111 71000 81001 91010 A1011 B1100 C1101 D1110 E1111 F10000 10

ESADECIMALE ---> BINARIO

BA8F916 = 1011101010001111 10012

BA8F916

10011111100010101011

B A 8 F 9

STATO DELL’ARTE“ Bene. Finora abbiamo visto come si fanno le seguenti conversioni:

Binario

Ottal

e

Deci

mal

e

EsaDecimale

1 2

3

4

5 6

ESADECIMALE ---> DECIMALE

2A6F16 = ?

2A6F16 = 1086310

2A6F16

3 2 1 0

= 2 * 163

+ A* 162+ 6* 16

1+ F* 16

0

2 * + A * + 6 * + F*4096 256 16 1=

+ + +8192 48=

POSIZIONE delle cifre

10 * 256

+ + +8192 96 152560= =

15* 1

10863

Per trasformare un numero decimale in Esadecimale, si fa esattamente come per la trasformazione di un numero decimale in binario, cioè effettuando delle divisioni e tenendo conto dei resti, ricordando però che si deve dividere per 16 e non per 2.”

DECIMALE ---> ESADECIMALE

1863 = 16 x 116 + 7116 = 16 x 7 + 4

7 = 16 x 0 + 7

(1863)10 = (.....?......)16

35899 = 16 x 2243 + 112243 = 16 x 140 + 3

140 = 16 x 8 + 128 = 16 x 0 + 8

(35899)10 = (.....?......)16

= B3

= C8

(1863)10 = (747)16 (35899)10 = (8C3B)16

STATO DELL’ARTEBene. E anche la freccia 5 è diventata verde. Rimane la freccia 6. Per esercizio, a casa prova ad effettuale la conversione Edasecimale ad Ottale e viceversa.

Binario

Ottal

e

Deci

mal

e

EsaDecimale

1 2

3

4

65

Esercizi per casa

Dimostra che:

NOO!!!!!!

BASTA!!!!!!!SCIOPERO!!!!!

OCCUPIAMO

Riassunto

“o succo del discorso”

Ottal

e

BinarioDe

cim

ale

EsaDecimale

Prof: ma cosa devo saper fare al compito?

Devi saper effettuare le seguenti conversioni

Nella pagina successiva ti ho fatto un esempio riepilogativo.

Dec186

Ott272

Bin10111010

EsaBA

Bin ESA

0000 0

0001 1

0010 2

0011 3

0100 4

0101 5

0110 6

0111 7

1000 8

1001 9

1010 A

1011 B

1100 C

1101 D

1110 E

1111 F

10000 10

Ott

0

1

2

3

4

5

6

7

10

11

12

13

14

15

16

17

20

Dec

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

BIN OTT

000 0

001 1

010 2

011 3

100 4

101 5

110 6

111 7

:8 - [A]

168 : 8 = 23 + 223 : 8 = 2 + 7

2 : 8 = 0 + 2[A]

272

01011110

2 7 2

[B]

[B]

[B]

[C]

10111010

1011 1010

AB

:16 - [D] 168 : 16 = 11 + 10 = A[D]

11 : 16 = 0 + 11 = B16 - [E]

n

BA = B * 161 0 1

+ A * 160

11* 161

+ 10 * 1=

176 + 10= = 186

posizionenumero

esadecimale [E]

8 - [F]n

272 = 2 * 82 1 0 2

+posizionenumero

Ottale7 * 8

1+ 2 * 8

0

= 2 * 64 + 7 * 8 + 2 * 1

= 128 + + 256 = 186

[F]

168 : 2 = 93 + 0

[G]

93 : 2 = 46 + 146 : 2 = 23 + 123 : 2 = 11 + 1

11 : 2 = 5 + 15 : 2 = 2 + 12 : 2 = 1 + 01 : 2 = 0 + 1

[C]

[C]

:2 - [A]

2 - [H]n

1 0 1 1 1 0 1 07 6 5 4 3 2 1 0

= 1 2*7+ 0 2*

6+ 1 2*

5+ 1 2*

4+ 1 2*

3+ 0 2*

2+ 1 2*

1+ 0 2*

0

1 128* + 0 + 1 32* + 1 16* + 1 8* + 0 + 1 2* + 0 1*=

= 186 [H]

Esercizi

Conversioni tra le basi

Binario

Ottale

Decimale

EsaDecimale

1 2

3

4

5 6

numero base quoziente resto105 2 52 152 2 26 0 N° Binario 1 1 0 1 0 0 126 2 13 0 Posizione 6 5 4 3 2 1 013 2 6 1 Peso 26 25 24 23 22 21 20

6 2 3 0 Val. Decim 64 32 16 8 4 2 13 2 1 1 Prodotti 64 32 0 8 0 0 1 1051 2 0 1

numero base quoziente resto N° Binario 1 0 1 0 1 1 0 1173 2 86 1 Posizione 7 6 5 4 3 2 1 086 2 43 0 Peso 27 26 25 24 23 22 21 20

43 2 21 1 Val. Decim 128 64 32 16 8 4 2 121 2 10 1 Prodotti 128 0 32 0 8 4 0 1 17310 2 5 05 2 2 12 2 1 01 2 0 1

MSB LSB

numero base quoziente resto N° Binario 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 11873 2 936 1 Posizione 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0936 2 468 0 Peso 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

468 2 234 0 Val. Decim 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1234 2 117 0 Prodotti 1024 512 256 0 64 0 16 0 0 0 1117 2 58 1 Somma 187358 2 29 0

29 2 14 1

14 2 7 07 2 3 13 2 1 11 2 0 1

Somma

DECIMALE --> BINARIO CONVERSIONE BINARIO ---> DECIMALE

1*26 + 1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21+1*20 = 64 + 32 + 8 + 1 = 10510

1*210+ 1*29+ 1*28+ 0*27+ 1*26+ 0*25+1*24+ 0*23+ 0*22+ 0*21+ 1*20 = = 1024 + 512 + 256 + +64 + 16 + 1 = 187310

Most Significant Digit (Bit Più

10510=11010012

17310=101011012

187310=111010100012

Less Significant Digit (Bit Meno Significativo)

numero base quoziente resto4868 2 2434 02434 2 1217 01217 2 608 1608 2 304 0304 2 152 0152 2 76 076 2 38 038 2 19 019 2 9 19 2 4 14 2 2 02 2 1 01 2 0 1

numero base quoziente resto1000000 2 500000 0500000 2 250000 0250000 2 125000 0125000 2 62500 062500 2 31250 031250 2 15625 015625 2 7812 17812 2 3906 03906 2 1953 01953 2 976 1976 2 488 0488 2 244 0244 2 122 0122 2 61 061 2 30 130 2 15 015 2 7 17 2 3 13 2 1 11 2 0 1

486810=10000000001002

DECIMALE --> BINARIOESERCIZI

1.000.00010=111101000010010000002

Convertire i seguenti numeri da decimali in binario:

324310 = ( )2 Soluzione: 324310 = 11001010112

142610 = ( )2 Soluzione: 142610 = 1011001002

101000111012 = ( )10 Soluzione: 101000111012 =13910

E' possibile, senza effettuare alcuna conversione, determinare se un numero espresso in binario è pari o dispari?

13910 = ( )2 Soluzione: 13910 = 100010112

Convertire i seguenti numeri da binario a decimale:

1011101110112 = ( )10 Soluzione: 1011101110112 = 300310

1101012 = ( )10 Soluzione: 1101012 =5310

DECIMALE (base 10 - 10 cifre)

BINARIO (base 2 - 2 cifre)

OTTALE (base 8 - 8 cifre)

ESADECIMALE (base 16 - 16 cifre)

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

16 10000 20 10

Sistema di numerazione ESADECIMALE

Aggiunge alla 10 cifre del sistema Decimale (0, 1, 2, ……., 7, 8, 9) le prime 6 lettere dell'alfabeto (A, B, C, D, E, F)

I numeri binari non sono facilmente leggibili:

1.000.00010 = 111101000010010000002

Dall'esempio si capisce che è difficile stabilirne anche l'ordine di grandezza, se non fosse stato espresso in decimale. Per questo motivo si preferisce al sistema binario il sistema OTTALE (base 8) oppure il sistema ESADECIMALE (base 16)

Sistema di numerazione OTTALE: si basa su 8 cifre (da 0 a 7)

1 0 8 3 9 10 = 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 2 = 2 5 1 2 7 8

1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 2

1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 2 = 4 8 2 8 6

1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 2 = 1 3 6 2 3 6

1 0 1 1 1 1 2 = 5 7 8 1 1 0 1 0 1 1 2 = 1 5 3 8

1

6 1 4 0 3 8 = 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 2

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1

3 2 0 7 4 1 5 4 8 = 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 2

0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0

7 6 5 4 8 = 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 2

1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0

CONVERSIONE BINARIO ---> OTTALE

72152

3

Essendo 8 la base del sistema ottale, ed

essendo 8=23, per convertire un munero binario in ottale è sufficiente raggruppare le cifre binarie 3 alla volta partendo dal bit meno significativo e trasformarle nella corrispondente cifra ottale

6 2

CONVERSIONE OTTALE ---> BINARIO

Per convertire un numero in base 8 nel corrispondente numero in base 2 basta trasformare ogni cifra

ottale nella corrispondente terna di cifra binaria (essendo 8 = 23) aggiungendo per ognuna gli zeri piùsignificativi se necessari.

1 4 0 36

1 6

10

5 7 5 3

3

8

3 2 0 7 4

7 6 5 4

1 5 4

5 6 4 5 2 3 8 =

5 4 3 2 1 0

=

=

1 3 2 1 7 6 5 8 =

6 5 4 3 2 1 0

=

=

CONVERSIONE OTTALE ---> DECIMALE

1528 = 1*82 + 5*81 + 3*80 = 1*64 + 5*8 + 3*1 = 64 + 40 + 3 = 10710

767458 = 7*84+6*83+7*82+4*81+5*80 = 7*4096+6*512+7*64+4*8+5*1 = 3222910

1234 8 154 2

154 8 19 2

5*85 + 6*84+ 4*83+ 5*82+ 2*81+ 3*80

5 * 32768 + 6 * 4096 + 4 * 512 + 5 * 64 + 2 * 8 + 3 * 1

163840 + 24576 + 2048 +320 + 16 + 3 = 19080310

1 * 86 + 3 * 85 + 2 * 84 + 1 * 83 + 7 * 82 + 6 * 81 + 5 * 80

1*262144 + 3*32767 + 2*4096 + 3*512 + 2*64 + 6*8 + 5*1

26211 + 98304 + 8192 + 512 + 448 + 48 + 5 = 36936310

posizione

posizione

CONVERSIONE DECIMALE ---> OTTALE

DIVISORE BASE QUOZ R

9879 8 1234 7

987910 = 232278

98211 8 12276 3

12276 8 1534 4

8 0 2

1596 8 199 4

817304 8 102163 0

102163

19 8 2 3

2 8 0 2

2

DIVISORE B QUOZ R

785691 8 98211 3

23 8 2 7

1534 8 191 6

191 8 23 7

5

5 8 0

289810 = 55228

199 8 24 7

24 8 3 0

12770 5

5

QUOZ R

6538439

8 12770 3

3 8 0 3

8 817304 7

8 1596 2

653843910 = 307423078

78569110 = 27764338

DIVISORE B QUOZ R

2898 8 362 2

362 8 45 2

45 8

DIVISORE BASE

DECIMALE (base 10 - 10 cifre)

BINARIO (base 2 - 2 cifre)

OTTALE (base 8 - 8 cifre)

ESADECIMALE (base 16 - 16 cifre)

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

16 10000 20 10

Aggiunge alla 10 cifre del sistema Decimale (0, 1, 2, ……., 7, 8, 9) le prime 6 lettere dell'alfabeto (A, B, C, D, E, F)

Sistema di numerazione ESADECIMALE

Sistema di numerazione OTTALE: si basa su 8 cifre (da 0 a 7)

100000010 = 111101000011010000002

Partendo dalla sinistra del numero binario (quello rosso per intenderci), raggruppiaqmo le sue cifre 4 a 4 e, in base alla tabella di conversione, convertiamo le 4 cifre binarie in esadecimale (vedi pagina successiva). Sicuramente la rappresentazione in base 16 risulta evidentemente più leggibile rispetto alla corrispondente base 2 in quanto è composta solamente da 5 cifre esadecimali a fronte delle 20 bimatie.

Passaggio sistema esadecimale ----> sistema binario e viceversa

Per quanto riguarda il sistema di numerazione in base 16 vale lo stesso discorso che abbiamo fatto per

la base 8 con le dovute modifiche. In questo caso, essendo 16 = 24, i raggruppamenti non devono essere di 3 cifre come per la base ottale bensi di 4 cifre alla volta. Consideriamo nuovamente il numero decimale 1.000.000. Abbiamo visto in precedenza che tale numero, trasformato in binario, risulta essere pari a:

1 0 0 0 0 0 0 10 = 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2

1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1

5 2 2 1

2 2 1 0

Cifra Meno Significativa

LSD

Less Significant Digit

ESEMPIO DI CONVERSIONE

DECIMALE ----> BINARIO -----> ESADECIMALE

723 2 361 1

361 2 180 1

180 2 90 0

2 46316 0

46316 2 23158 0

23158

1447 2 723 1

370530 1

185265 0

741061 2

370530 2

185265 2 92632 1

5 base 16

Passo 2: binario -----> Esadecimale

101101001110110001012 = B4EC516

90 2 45 0

45 2 22 1

22 2 11 0

11 2 5 1

0424F

Dimostrare che:

92632

base 2

B 4 E C

2 11579 0

11579 2 5789 1

DIVISORE

base 2

base 16

100000010 = 111101000010010000002 = F404016

Cifra Più Significativa

MSD

Most Significant Digit

74106110 = 101101001110110001012 = B4EC516

passo 1: decimale ------> binario

74106110 = 101101001110110001012

BASE

5789 2 2894 1

2894 2 1447 0

1 2 0 1

QUOZ R

3 2 1 1

1 2

12987910 = 111111011010101112

11 111 101 101 010 111

111111011010101112 = 3755278

3 7 5 5 2 7

1 1111 1011 0101 0111

1 F B 5 7

111111011010101112 = 1FB5716

0 1

31 2 15 1

15 2 7 1

7 2 3 1

253 2 126 1

126 2 63 0

63 2 31 1

2029 2 1014 1

1014 2 507 0

507 2 253 1

2 8117 0

8117 2 4058 1

4058 2 2029 0

DIVISORE BASE QUOZ R

9856753 16 616047 1

616047 16 38502 15

38502 16 2406 6

2406 16 150 6

150 16 9

DIVISORE

6

9 16 0 9

9.856.75310 = 966F116

Convertire il numero decimale 187.726.946 in esadecimale direttamente senza convertirlo prima in binario.

BASE QUOZ R Esadec.

187726946 16 11732934 2 2

11732934 16 733308 6 6

16 45831 12 C

45831 16 2864 7 7

8117 16 507 5 5

11 16 0 11 B

187.726.94610 = B307C6216

Convertire direttamente in esadecimale il numero decimale 129879.

DIVISORE BASE QUOZ R Esadec.

Convertire il numero decimale 9.856.753 in esadecimale direttamente senza convertirlo prima in binario.

Esadec.

1

F

6

6

6

9

129879 16 8117 7 7

2864 16 179 0 0

179 16 11 3 3

733308

1 16 0 1 1

507 16 31 11 B

12987910 = 1FB5716

Convertire il numero 129879 prima in binario, poi in ottale ed infine in esadecimale.

DIVISORE BASE QUOZ R

129879 2 64939 1

64939 2 32469 1

32469 2 16234 1

16234

31 16 1 15 F

1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

=

B 2 2 1 4 F F =

6 5 4 3 2 1 0

=

=

=

=

A 2 5 16 = A * 16 2 + 2 * 16 1 + 5 * 16 0

2 1 0

=

=

A 2 5 16 = 2 5 9 7 10

186.782.97510

Secondo metodo: Esadecimale ----> Decimale

posizione

B*166 + 2*165 + 2*164 + 1*163 + 4*162 + F*161 + F*160

11*166 + 2*165 + 2*164 + 1*163 + 4*162 + 15*161 + 15*160

11 * 16777216 + 2*1048576 + 2*65536 + 1*4096 + 4*256 + 15*16 + 15*1

184549376 + 2097152 + 131072 + 4096 + 1024 + 240 + 15

ESERCIZIO: trasforma il numero esadecimale A25 nel corrispondente numero decimale.

10 * 162 + 2*16

1 + 5*16

0

10 *256 + 2*16 + 5*1 = 2560 +32 + 5 = 2597

B 2 2 1 4 F F

Esercizio: convertire il numero esadecimale B2214FF nel corrispondente numero decimale.

227 + 225 +224 + 221 + 217 + 212+ 210 + 27+ 26 +25 +24 +23 +22 +21

Primo metodo: Esadecimale ----> Binario ----> Decimale

posizione

186.782.97510