Embed Size (px)
Citation preview
1
Introduzione Fisica: scienza sperimentale
basata su esperimenti studia la materia, i suoi componenti e le loro interazioni per spiegare i fenomeni che osserviamo
scienza quantitativa i risultati degli esperimenti vengono sistematizzati e correlati secondo il metodo scientifico (o metodo sperimentale) utilizzando gli strumenti forniti dalla statistica
la misura deve essere riproducibile misure fatte nelle stesse condizioni devono dare i medesimi risultati
2
Osservazione osservazione di un fenomeno:
analisi accurata:delle caratteristichedelle circostanze che lo produconodei fattori che lo influenzano
3
Osservazione esempio: osservazione della caduta di un corpo sotto l'azione del suo peso
fattore di disturbo: la resistenza opposta dall'aria ➘si cerca di eliminare questa resistenza
➘il moto così ottenuto è un moto uniformemente accelerato
per facilitare la comprensione del fenomeno sotto osservazione esso viene eseguito in condizioni accuratamente
predisposte riproducibili astrazioneastrazione
4
Metodo Scientifico ricerca di teorie valide capaci di riportare la spiegazione del maggior numero possibile di fatti sperimentali ad un piccolo numero di principi questi principi base devono avere capacità predittive
5
Grandezze Fisiche l'osservazione deve essere quantitativa:
tradursi in un enunciato quantitativo (formula matematica) delle osservazioni effettuateleggi fisiche
è fondamentale per poter tradurre le leggi della Fisica in espressioni matematiche
concetto di grandezza fisica: definiamo una serie di operazioni di laboratorio consentono di associare ad un concetto fisico un valore numerico
grandezze fisiche della stessa specie si dicono omogenee
6
Grandezze Fisiche molte grandezze fisiche sono note in quanto di uso quotidiano: lunghezza tempo volume forza
deve essere chiaro come si misurano la definizione di una grandezza fisica è operativa: descrive una serie di operazioni da compiere per effettuare la misura
7
Misura l'operazione di misura non è altro che il confronto dell'oggetto da misurare con una grandezza campione assunta come unitaria dobbiamo sapere a quale unità di misura si riferisce il valore che stiamo trattando
una grandezza è specificata da: un numero (risultato dell'operazione di misura) una unità di misura (indica il tipo di grandezza fisica)tempo t = 2.3 sspazio l = 12.8 m
il campione deve essere:invariabilefacilmente riproducibileprecisoriconosciuto universalmente
unità di misura
8
Misura si possono distinguere due tipi di misura:
1)misura diretta: confronto diretto con la grandezza campione
2)misura indiretta: si ricava dalla misura di altre grandezze
esempio: la velocità media vm (si misura in “m/s”) è definita come il rapporto tra lo spazio percorso d e il tempo t necessario a percorrerlo
V = d/tla misura di d e t è diretta, quella di vm è indiretta
la misura è sempre affetta da errorila misura è sempre affetta da errori
9
Sistemi di Unità di Misura c'è un numero limitato di grandezze fisiche fondamentali tutte le altre grandezze vengono derivate da queste
le grandezze fondamentali sono tra loro indipendentila scelta della loro unità di misura non influisce sulle altre
la scelta della unità di misura può essere arbitraria
le grandezze derivate sono quelle la cui definizione operativa è fondata sull'uso delle grandezze fondamentali
10
Sistemi di Unità di Misura un sistema di misura è formato da tutte le unità fondamentali e da tutte le unità derivate
nel Sistema Internazionale di misura le grandezze fondamentali sono:
Grandezza Unità di misura
Lunghezza l metro mMassa m chilogrammo-massa kgIntervallo di tempo t secondo sTemperatura assoluta T grado Kelvin KIntensità luminosa I candela cdIntensità di corrente elettrica i A
Simbolo della Grandezza
Simbolo dell'unità
ampère
nella prima parte del corso si utilizzeranno solo lunghezza, massa e tempo e loro derivate
11
Grandezze fondamentali della meccanica
lunghezza: l'unità di misura è il metro
è 1650763.73 volte la lunghezza d'onda della radiazione elettromagnetica emessa dall'isotopo 86 del kripton nella sua transizione tra gli stati 2p10 e 5d5 quando la lampada è alla temperatura del punto triplo dell'azoto
tempo: l'unità di misura è il secondo
è la durata di 9192631770 oscillazioni della radiazione emessa dall'isotopo 133 del cesio nello stato fondamentale 2S½ nella transizione dal livello iperfine F=4, M=0 al livello iperfine F=3, M=0
12
Grandezze fondamentali della meccanica
massa gravitazionale: la massa indica quanta materia c'è in un corpo, la sua quantità si ha misurando il peso del corpo (massa gravitazionale mg) l'unità di misura è il kilogrammo
la massa di un campione custodito a Parigi presso l'Ufficio Internazionale di Pesi e Misure che consiste in un cilindro di platino-iridio di 39 mm di diametro e 39 mm di altezza
con l'ausilio di una bilancia si possono confrontare masse gravitazionali tra loro e con l'unità campione
dalla definizione deriva che è proporzionale alla forza esercitata dalla attrazione terrestre sul corpo
13
Grandezze fondamentali della meccanica
massa inerziale: più avanti troveremo un'altra proprietà della materia, l'inerzia
ogni corpo oppone una resistenza a variare il proprio moto per variare lo stato di quiete o di moto di un corpo occorre applicargli una forza
questa proprietà della materia introdotta attraverso l'inerzia si indica con il nome di massa inerziale e la indicheremo con mi
14
Sistemi di Misura altri sistemi di misura che utilizzano unità diverse CGS MKS
15
Sistema di Misura c'è una notazione per indicare i multipli e sottomultipli di una unità di misura
Potenza Prefisso Abbreviazioney z
atto a f
pico p nano n micro
m c d
deca da chilo k mega M giga G tera T
P E Z Y
10-24 yocto10-21 zepto10-18
10-15 femto10-12
10-9
10-6
10-3 milli10-2 centi10-1 deci101
103
106
109
1012
1015 peta1018 exa1021 zetta1024 yotta
16
Ordini di grandezza
ordine di grandezza di lunghezze (m)
dimensioni dell'universo 1027
distanza della galassia più vicina
1023
raggio della nostra galassia 1019
un anno luce 1016
sistema solare 1014
distanza dal sole 1011
raggio della terra 106
spessore di un foglio di carta 10-4
raggi atomici 10-10
raggi nucleari 10-14
sole
nave
ordine di grandezza di masse (kg)
1030
terra 1024
108
uomo 102
protone 10-27
elettrone 10-30
ordine di grandezza di intervalli di tempo (s)
età della terra 1017
un anno 107
periodo delle onde sonore 10-3
periodo delle onde radio 10-10
periodo delle vibrazioni atomiche
10-15
periodo delle vibrazioni nucleari
10-21
17
Equazioni dimensionali per stabilire il legame tra grandezze derivate e quelle fondamentali si utilizzano le equazioni dimensionali
sono importanti per:definire le unità di misura derivateverificare la correttezza dimensionale delle equazioni
Superficie:
Volume:
Densità:
[S ]=[l ]⋅[l ]=[l2 ]=m2
[V ]=[l ]⋅[l ]⋅[l ]=[l3 ]=m3
[]=[m ]/[V ]=[m ]/[l3]=kg⋅m−3
18
Equazioni dimensionali
per una grandezza meccanica G:
[G]= [mn lk th]
19
Operazioni con grandezze fisiche
i calcoli tra grandezze fisiche si esprimono come uguaglianze tra i simboli dato un parallelepipedo di altezza h = 4 m, larghezza l = 3 m e profondità b = 5 m il volume sarà:
V = l · b · h = 3 m · 5 m · 4 mV = 60 m3
in questo modo otteniamo anche l'unità di misura del volume
20
Operazioni con grandezze fisiche le regole dell'algebra valgono per i valori numerici e per le unità di misurala somma e differenza di grandezze fisiche ha senso solo se esse sono tra loro omogenee
il prodotto o il rapporto di grandezze si ottiene moltiplicando o dividendo anche le unità di misura
per passare da un'unità di misura ad un'altra si può esprimere l'unità di misura iniziale in termini dell'altra:
v = 30 km/h = 30 · 1000 m /(1 · 3600 s)
v = 8.3333 m/skm ora
21
Angoli nel Sistema Internazionale gli angoli vengono misurati in unità di arco angolo in radianti: il rapporto tra l'arco b e il raggio r di un settore circolare
l'unità 1 radiante (rad) è l'angolo al centro per cui il raggio e l'arco siano uguali
questa unità si ottiene come rapporto di due lunghezze
essa è un numero puro, o quantità adimensionale
l'angolo è una grandezza derivata
r b
=br
22
Angoli
angolo giro: circ/r = 2 p rad = 360 gradi
angolo piatto:(circ/2)/r = p rad = 180 gradi
angolo retto: (circ/4)/r = p/2 rad = 90 gradi
1 radiante sono 57,3 gradi = 180 / p
1 grado sono 0,017 radianti
2
23
Cinematica
la cinematica studia il moto di un corpo senza considerarne le cause spostamento: quando un punto materiale si muove la sua posizione varia nel tempo
traiettoria: la successione delle posizioni assunte dal corpo al variare del tempocome definiamo la traiettoria in modo più concreto?
24
esempio una slitta sta scivolando verso l'alto su un pendio nevoso
pos. Iniz x = 18m Vel. Iniz =12 m/sec la slitta si muove sempre più lentamente via via che sale
lungo la china; poi si arresta per un istante, e prende a scivolare all'indietro giù per il pendio. Un'analisi del moto della slitta fornisce la sua coordinata x come funzione del tempo
x(t) = 18 m + (12 m/sec)t – (1,2 m/sec2)t2
ove x(t) viene misurata lungo il percorso della slitta e il semiasse positivo delle x è rivolto lungo la salita:
a)costruire un grafico della coordinata della slitta come funzione del tempo da t=0.0 s a t = 8.0 s riportando i punti a intervalli di 1.0 s
b)determinare lo spostamento della slitta tra ti = 1.0 s e tf = 7.0 s
c)calcolare lo spazio percorso dalla slitta tra ti = 1.0 s e tf = 7.0 s
lo spazio percorso è la lunghezza della traiettoria
X(t) = 18 m +(12 m/s) t – (1,2 m/s2) t2
25
esempio
Fisica 1 Meccanica - Termodinamica 3/edW. Edward Gettys, Frederick J. Keller, Malcolm J. Skove
Copyright © 2007 – The McGraw-Hill Companies srl
26
esempio lo spostamento tra gli istanti dati lo otteniamo come differenza tra le posizioni occupate nei due istanti dati:
lo spazio percorso dalla slitta è il percorso effettivo della slitta, non la distanza tra il punto di arrivo e quello di partenza
la slitta arriva ad un valore di x massimo
che ricaviamo trovando il massimo della funzione x(t)
per t=5 s nella posizione x(5) = 48 m
27
esempio quindi la slitta, nell'intervallo di tempo [1.0 s, 5.0 s] percorre uno spazio pari a
nell'intervallo di tempo [5.0 s, 7.0 s] percorre uno spazio (attenzione al segno)
lo spazio complessivo percorso dalla slitta tra 1 e 7 sec
è
x 1=48 m−28.8 m=19.2 m
x 2=43.2 m−48 m=−4.8 m
s= x 1− x 2=19.2 m−−4.8 m=24 m
Notare la distinzione tra spostamento e spazio percorso
Spostamento = 43 – 29 = 14 m.
28
Fisica 1 Meccanica - Termodinamica 3/edW. Edward Gettys, Frederick J. Keller, Malcolm J. Skove
Copyright © 2007 – The McGraw-Hill Companies srl
29
Sistema di riferimento
⇨non è possibile parlare di quiete, di moto o posizione in senso assoluto
è sempre necessario stabilire un sistema di riferimento rispetto al quale facciamo l'osservazione
P(x,y,z)
Z
X Y
x y
z
O
P e’ individuato da una terna ordinata di numeri (x,y,z), con segno. Individuano il segmento OP .Se cambiate il riferimento i tre numeri cambiano ma O’P individus sempre POP e O’P sono dei vettori (raggio vettore)
o
O’
Sistema levogiro
30
moto rettilineo il caso più semplice : unidimensionale
la traiettoria è un segmento di retta
sistema di riferimento:retta orientataorigine O fissata arbitrariamenteistante t=0 fissato arbitrariamente
O P(x) x
31
la funzione x(t) descrive il motoAB: quieteBC: moto nel verso positivoCD: quieteDE: moto nel verso negativo
32
Moto
Una proprietà caratteristica di un moto è la velocità
modulo della velocità: il rapporto tra spazio percorso e tempo di percorrenza:
v = s/t
la sua unità di misura è:
[v]= [l t-1]= metri/secondi
non dice molto sui particolari del moto
33
Moto rettilineo moto rettilineo uniforme:
un punto si muove lungo una linea retta e percorre spazi uguali in intervalli di tempo uguali
la sua velocità è costante se mettiamo in grafico lo spazio percorso (sull'asse verticale) in funzione del tempo (sull'asse orizzontale) otteniamo:
i punti che rappresentanola posizione stanno su di
una retta la cui pendenza tan a è la velocità v = s/t
l'equazione completa della retta èS(t) = S0 + Vt
34
il moto rettilineo uniforme è un caso limite in genere la velocità non si mantiene costante
⇨ in questo caso il rapporto s/Dt dà solo la velocità media con cui è stato percorso il tratto s
⇨ questo rapporto è la pendenza della retta che passa per i punti (t
1,s
1) (t
2,s
2)
Moto vario
35
la velocità in un punto preciso si chiama velocità istantanea:
per conoscerla dobbiamo considerare in un intorno del punto prescelto intervalli s sempre più piccoli e misurare il tempo t necessario a percorrerli
via via che l'intervallo t diminuisce il valore della velocità media si avvicina a quello della velocità istantanea
Velocità media e istantanea
36
esempio nel caso dell'esempio della slitta:
Fisica 1 Meccanica - Termodinamica 3/edW. Edward Gettys, Frederick J. Keller, Malcolm J. Skove
Copyright © 2007 – The McGraw-Hill Companies srl
37
Velocità istantanea Se s(t) e’ una funzione continua di t il valore della velocità istantanea risulta essere la derivata della funzione s(t) che descrive lo spazio percorso in funzione del tempo
in meccanica parleremo sempre di velocità istantanea
dimentichiamo cos'è la velocità media
v i limt 0
st
dsdt
38
Velocità
lo spostamento avviene in una direzione e con un verso
la velocità (SPOSTAMENTO/TEMPO) è quindi definita da 3 attributi:
valore (modulo) (!spostamento!/tempo) Direzione (quella dello spost.) Verso (quello dello spost.) La Velocita’ e’ anch’essa un vettore.
39
Grandezze vettoriali in fisica possiamo classificare le grandezze in due categorie:
scalari: un numero (indipendente dal sistema di riferimento) una unità di misura
vettoriali:un numerouna unità di misurauna direzioneun verso
un punto di applicazione (talvolta)
un vettore viene indicato in uno dei seguenti modi: V V V
40
Moto lo spostamento non è stato trattato in modo completo
avviene in uno spazio tridimensionale abbiamo trattato il caso nello spazio unidimensionale senza esplicitarlo
nel caso più generale la traiettoria del corpo può essere descritta da:
anche la posizione è un vettore
P(x,y,z)
Z
X Y
x y
z
O
s t x t ,y t ,z t
41
Vettore velocità anche nel caso generale si definisce
v i limt 0
st
d sdt
s = S2 – S1
AB
C BA
CA+B=B+A=C
I vettori si mettono in fila!
A-B=A+(-B)s2
S1s
42
Proprietà della velocitàderivata rispetto al tempo della funzione che rappresenta la posizione del corpo nello spazio
in generale funzione del tempo: v(t)il segno indica il verso del moto
v>0: x cresce moto nel verso positivo
v<0: x decresce moto nel verso negativo
43
Accelerazione la velocità in genere non rimane costante accelerazione: il rapporto tra una variazione di velocità in un certo intervallo di tempo e l'intervallo di tempo in cui avviene questa variazione:
avt
44
Accelerazione come nel caso della velocità possiamo definire: accelerazione media accelerazione istantanea
l'unità di misura della accelerazione è:
ai limt 0
vt
dvdt
a v t 1 lt 2 ms2
45
Accelerazione (caso unidimensionale) la velocità può cambiare:
modulo direzione
queste due variazioni danno luogo a due accelerazioni diverse:
accelerazione tangenziale: è dovuta alla variazione del modulo della velocità
ha modulo pari alla derivata del modulo della velocità rispetto al tempo
ha direzione parallela alla velocità nel punto
at=dvdt
at=d vdt
=d v uv
dt=dvdt
uv
se uv non cambia direzione
46
accelerazione radiale: il vettore velocità può cambiare anche direzione
v1
v2
vv'2
Accelerazione (caso bidimensionale)
ar=v2
r
ar=d vdt
=dv uv
dt=v
d uv
dt
se il modulo non cambia
si dimostra che questa accelerazione ha:direzione parallela al raggio di curvatura locale della traiettoria
modulo pari a
nel caso più generale:
a ar at
dvdt
ut
v 2
rur
47
Accelerazione
a=0:☞la velocità è costante
moto rettilineo uniforme a=cost:
☞la velocità cambia nel tempo uniformemente moto rettilineo uniformemente accelerato
a≠cost:☞moto vario
a=dvdt
=d2xdt2
48
Accelerazione analogamente al caso della velocità:
a>0: la velocità cresce
a<0: la velocità decresce
relativamente alla direzione della retta sistema di riferimento
una volta arrivata a 0 la velocità diventa negativa
in generale l'accelerazione dipende dal tempo (a(t))
☞l'accelerazione è legata alla forza che agisce sul corpo
dinamica
49
vettori modulo di un vettore:
versore u:
vettore di lunghezza unitaria:
moltiplicazione di un vettore per un numero:
somma di due vettori:
V
aV a > 0
bV b < 0
BA
C
V v x,v y,v z
V v x2 v y
2 v z2
u ux2 uy
2 uz2 1
V v x,v y,v z
W aV av x,av y,av z
W a2v x2 a2v y
2 a2v z2 a V
A ax,ay ,az
B bx,b y,bz
C A B ax bx,ay by ,az bz
50
vettori prodotto scalare di due vettori:
ma è anche
prodotto vettoriale:
modulo del prodotto:
A
B
A
BC
A
B
C'
A B A B cos B A
A ax,ay,az
B bx,by ,bz
A B ax bx ay by az bz B A
C A B B AC ' B AC C '
C ay bz byaz,azbx bzax,ax by bxay
C ' b yaz ay bz,bzax az bx,bxay ax by
bl A Bsin
51
Cinematica del punto nota la legge oraria s(t), da essa si possono ricavare la velocità e l'accelerazione in ogni istante:
v td s tdt
a td v tdt
d 2s tdt2
52
Cinematica del punto non sempre conosciamo la legge oraria, a volte conosciamo solo l'accelerazione a(t), possiamo invertire le equazioni precedenti e avremo:
questo richiede la conoscenza della velocità e della posizione ad un dato tempo t
0 (condizioni iniziali)
v t a t dt
s t v t dt a t d2t
53
Moti moto rettilineo uniforme:
quando un punto si muove lungo una linea retta e percorre spazi uguali in intervalli di tempo uguali
la sua velocità è costanteistante per istante il vettore velocità giace sulla stessa retta e punta nella medesima direzione
possiamo trascurare il carattere vettoriale della velocità e considerarla come una grandezza scalare (entro certi limiti)
a=dV/dt =0V(t) =cost = V0
S(t) = V0dt= V0(t-t0)
= V0 t + cost
54
Moto rettilineo uniformemente accelerato
moto rettilineo uniformemente accelerato: l'accelerazione a è costante (non nulla), risulta (analogamente al caso precedente) che v(t) è una retta:
anche in questo caso abbiamo trascurato il carattere vettoriale del moto
Cost1 = V0
s(t) quando s0=0 e v0=0
a(t)=cost= a
v(t)= a dt = a(t-to)=at +cost1
S(t) = at dt + V0dt =
= ½ at2 + cost2 +V0 t + cost3
S(0) =cost2 + cost3= posiz. Iniziale
S(t) = S0 + V0 t + ½ a t2
57
Moto rettilineo uniformemente accelerato
possiamo combinare le equazioni del moto uniformemente accelerato nel caso s0=0, v0=0 per esprimere la velocità in termini della sola accelerazione e dello spazio percorso (in termini di scalari):
dalla s(t):
quindi sostituendo nella v(t):
s=12at2
v=at
t2sa
v a2sa
2sa
58
Moto rettilineo vario moto rettilineo accelerato vario:
quando l'accelerazione non è costante la direzione del moto (spostamento, velocità ed accelerazione) rimane costante
possono variare modulo e verso dai grafici notiamo la correlazione tra spostamento, velocità e accelerazione:
a>0: la velocità cresce lo spostamento è concavo verso l'alto
a=0: la velocità è costante lo spostamento cambia curvatura
59
EsercizioDue treni viaggiano con
velocità costanti uno verso l'altro su due binari paralleli: ad un certo istante passano davanti a due stazioni distanti tra di loro d = 12 km e si incrociano dopo un tempo t = 6 min. Si calcolino le velocità dei due treni esprimendole in km/h e in m/s, se il primo treno ha velocità doppia rispetto al secondo
abbiamo 4 incognite (le velocità e le distanze percorse) e quattro equazioni che le legano (sistema di 4 equazioni in 4 incognite)
v1 = 2·v2
d1 + d2 = d
d1 = v1·t
d2 = v2·t
nella seconda equazione sostituiamo le di con vit
60
Esercizio eliminiamo v1 grazie alla
prima equazione e otteniamo:
2·v2·t + v2·t = d
3·v2·t = d
v2 = d/3t =12 km/(3·6 min) = 12000 m / 1080 s = 11.11 m/s = 12 km/(18/60 h) = 40 km/h
v1 = 22.22 m/s = 80 km/h
61
Esercizio il procedimento che abbiamo
utilizzato non è quello canonico
riscriviamo le equazioni che danno la posizione dei due treni nello stesso sistema di riferimento
abbiamo scelto un sistema di riferimento in cui l'origine coincide con la posizione della stazione di partenza del treno 1
sappiamo che:
dopo 6 minuti i treni occupano la stessa posizione
la velocità del primo è doppia di quella del secondo
quindi
x1 t v1 tx2 t d v2 t
2v2 t d v2 t3v2 t d
v2
d3t
12km18min
12000 m1080s
11.11 m s
62
EsercizioIl moto nel piano x, y di
una particella è definito dalle equazioni:
con = 0.1 m/s2 e = 1 m/s. Si calcolino i moduli della velocità e dell'accelerazione all'istante =10 s
le componenti della velocità si ottengono derivando le equazioni che danno le componenti della posizione in funzione del tempo: e quindi:
per determinare l'accelerazione basta derivare rispetto al tempo le componenti della velocità:
al tempo dato e con i parametri del problema si ottiene:
x t2 ty t2 t
vx t 2 tv y t 2 t
vx 10 3m sv y 10 1m s
v vx2 v y
2 10 3.16 m s
ax t 2ay t 2
ax 10 ay 10 0.2 m s2
a ax2 ay
2 0.28 m s2
63
esercizi data la legge oraria
determinare:1)velocità2)posizione per t=0 s e per
t=2 s3)quando passa per
l'origine è un moto rettilineo
uniforme1)velocità v = dx/dt
0)posizione
0)passaggio per l'origine
x t=3−6t data una velocità v=0.4 m/s
costante e x(0)=-2.5 m1)scrivere la legge oraria2)determinare la posizione
per t=5 s3)determinare quanto spazio
è stato percorso tra t=0 e t=5 s
è un moto rettilineo uniforme, nel verso positivo1)legge oraria:
1)
2)calcoliamo la posizione per t=0 e t=5 s e poi facciamo la differenza
moto lungo il verso negativo
v 6m st 0s x 3 mt 2s x 9 m
x 0m t 0.5s
x t 0.4t 2.5
t 5s x 5 0.5 m
t 0s x 0 2.5 mt 5s x 0 0.5 m
x x 5 x 0 0.5 m 2.5 m 2m
64
Esercizio Un automobile viaggia per
due ore nel modo seguente: nella prima mezzora la velocità è 50 km/h, nella seconda mezzora è 90 km/h; nella seconda ora su metà del percorso coperto la velocità è 60 km/h mentre sulla rimanente metà è 120 km/h. Quanto valgono le velocità scalari medie:
nella prima ora
nella seconda ora
per l'intero viaggio
abbiamo le seguenti velocità:
v1 = 50 km/h
v2 = 90 km/h
v3 = 60 km/h
v4 = 120 km/h
La soluzione del problema è:
s1 = v1 · t1 = 50 km/h .5 h = 25 km
s2 = v2 · t2 = 90 km/h .5 h = 45 km
s3 = v3 · t3 = v4 · t4
t3 + t4 = 1 h
65
Esercizio
60 km/h · t3 h = 120 km/h · (1 – t3) h
180 km/h · t3 h = 120 km/h · 1 h
t3 = 120/180 h = 0.6667 h
t4 = 1 - t3 h = 0.3333 h
s3 = s4 = v3 · t3 = 40 km
vm1 = (s1 + s2)/(t1 + t2) = (25 + 45) km / (0.5 + 0.5) h = 70 km/h
vm2 = (s3 + s4)/(t3 + t4) = (40 + 40) km / 1 h = 80 km/h
vm = (s1 + s2 + s3 + s4)/(t1 + t2 + t3 + t4) = (25 + 45 + 40 + 40) km / (0.5 + 0.5 + 0.6667 + 0.3333) h = 75 km/h
66
Esercizio Durante la fase di
decollo un aviogetto percorre la pista, lunga 2.25 km, in 45 s. Calcolare la velocità posseduta dall'aereo appena si stacca dal suolo (velocità di decollo) e l'accelerazione, supposta costante
siamo in condizioni di moto rettilineo uniformemente accelerato:
nel nostro caso: s0 = 0 m
v0 = 0 m/s
possiamo ricavare subito l'accelerazione:
la velocità risulta
potevamo ottenere direttamente la velocità
s t s0 v0 t12a t2
s t12a t2
a2 s t
t2
2 2.25km45s 45s
4.5 103m
2025s2 2.22m s 2
v t a t 2.22m s 2 45s 100m s 1
360km h 1
v t a t2 s t
t2 t2 s tt
2 2.25 103m45s
100m s 1
67
Esercizio
Un aviogetto decolla da un aeroporto per raggiungere un altro aeroporto distante 1100 km. L'aereo, nella fase di involo, accelera uniformemente per 30 km sino a raggiungere la velocità di crociera di 800 km/h e, nella fase di planata e di atterraggio, decelera uniformemente con accelerazione eguale in modulo a quella corrispondente alla fase di involo.
Qual'è il tempo occorrente al jet per compiere l'intero percorso supponendo che esso segua la rotta più breve?
(t = 1h 27 min)
69
moto circolare uniforme moto circolare uniforme:
il moto di un punto che percorre una circonferenza con velocità costante (in modulo)
la velocità non può essere costante in direzione viste le caratteristiche del moto
poiché la direzione della velocità varia c'è una accelerazione (accelerazione centripeta)
70
accelerazione centripeta : perche’?
a= (V2 – V1)/ Dt= = (V2 + (-V1))/Dt V2
V1
-V1
ar1
r2quando Dt tende a 0r2 tende a r1
La derivata di un vettore di lunghezza costante e’ perpendicolare al vettore
e a e’ diretta verso il centroPerpendicolare alla traiettoria.
71
Periodo si definiscono:
periodico qualunque fenomeno che a intervalli regolari di tempo si riproduca secondo una stessa legge che lo caratterizza
periodo (T) l'intervallo di tempo necessario affinché il fenomeno periodico considerato riprenda gli stessi caratteri
frequenza () il numero di volte che questo avviene nell'unità di tempo
la sua unità di misura è l'Hertz (Hz)
Frequenza = 1 / T
72
Moto circolare uniforme
lo spazio percorso durante un periodo T è pari ad una circonferenza (=2r)il modulo della velocità è:
che può anche essere scritto come:
vsT
2 rT
v 2 r
73
Moto circolare uniforme raggio vettore
il segmento che in un generico istante congiunge il centro della circonferenza con P
velocità angolare il rapporto tra un angolo (in radianti) descritto dal raggio vettore e il tempo impiegato a descriverlo
la velocità angolare si misura in radianti/secondo (rad/s)
nel caso di velocità angolare costante, in un periodo
quindi avremo
t
T 22T
2
74
Moto circolare uniforme confrontando:
con:
otteniamo:
dove (ovviamente) anche le dimensioni tornano nel moto circolare uniforme il modulo della velocità (periferica) è proporzionale al raggio della traiettoria descritta
2v 2 r
v r
75
v r
W
r
V
xy
zxy z
Y = Z x XY = Z x XV = W x r [ l t-1]che da’ v=wr perche’ sono perp.
Osservate che vettorialmente possoanche scrivere Z = X x Y che darebbe
W = r x V [l2 t-1]che e’ ovviamente parallelo a W ma ha dimensioni diversele sue dimensioni sono quelle di un MOMENTO
Tra V , W ed r c’e’ una chiara relazioneVettoriale.
76
Moto circolare anche il moto circolare può essere non uniforme
analogamente al moto vario, varrà la relazione:
analogamente al caso di velocità varia si avrà una accelerazione angolare
che si misura in rad/s2
☞l'accelerazione angolare è legata alla accelerazione tangente:
tddt
tddt
d 2
dt2
aT r aT = dV/dt = d(omega)/dt +Om. dr/dt e dr/dt e’ nullo
77
Moto circolare uniformemente accelerato
moto circolare uniformemente accelerato: è un moto in cui è costante l'accelerazione angolare
per esso valgono tutte le considerazioni fatte nel caso di moto rettilineo uniformemente accelerato (con le ovvie sostituzioni):⇨s ⇨v ⇨a
t 0 t
t 0 0 tt2
2
78
Moto relativo non ci siamo ancora preoccupati di definire come si
passa da un sistema di riferimento ad un altro
questo è un problema serio
supponiamo di essere su di un treno, un corpo appoggiato su di un sedile sarà fermo rispetto a noi, ma sarà in moto rispetto ad un osservatore esterno (per esempio fermo sulla piattaforma di una stazione)
bisogna essere in grado di rendere le due osservazioni compatibili
le osservazioni dello stesso fenomeno fatte da osservatori diversi con riferimenti diversi devono essere confrontabili
79
Moto relativo la posizione di un punto P in un sistema (A) di riferimento può essere data dal vettore r che va dall'origine del sistema al punto stesso
r
z'
x'
y'Br'
r0
x
y
zP
A
in un altro sistema di riferimento (B) sarà data da un altro vettore r´
la posizione dell'origine del secondo sistema di riferimento rispetto al primo è data dal vettore r
O
per l'algebra vettoriale abbiamo quindi:
r= r0 + r’
80
Moto relativo la velocità del punto P rispetto al sistema di
riferimento A è:
per la proprietà delle derivate
vO: è la velocità del sistema di riferimento B rispetto al sistema di riferimento A
v´ : è la velocità del punto P rispetto al sistema di riferimento B
vd rdt
vd rdt
d rO
dtd r 'dt
v O v '
Vel. di Brispetto a A
81
Per l’accelerazione si avra’
ad vdt
d v O
dtd v 'dt
aO a'
Se i due sist. di rif. Si muovono di moto relativo rettilineo e uniforme a0= 0 e a = a’
L’accelerazione (cioe’ la fisica) e’ la stessa in sistemi di rif. in mot rett. Uniforme
Principio di relativita’ Galileiano
Cosa succede se B ruota ?Sia B fermo ma ruoti intorno a B con vel. angolare W. Sia P fermo rispetto a B V’ = 0A osserva la velocita’ V = W r’.Se B in piu’ si muove rigidamente con velocita’ Vo sara’ V = Vo + W r’Se P si muove rispetto a B con velocita’ V’ Sara’ V = Vo + V’ + Wr’
PPr’’
AB
Wr’
82
Moto relativo se il sistema di riferimento B ruota con velocità rispetto al sistema A l'equazione diventa:
si ha perché la derivata di r´ rispetto al tempo ha due contributi:
dalla variazione del modulo r´ dalla variazione relativa di direzione
e si può dimostrare che:
vd r O
dtd r'dt
v O v ' r'
dr'dt
d r'ur '
dtdr'dt
ur ' r'd ur '
dt
d uv
dtuv
83
nel caso più generale, in cui il sistema B ruota,
si può dimostrare che l'equazione che lega le
accelerazioni è la seguente:
a aO a' r ' 2 v '
84
Dinamica la dinamica studia il movimento dei corpi in relazione alle cause che lo producono
dobbiamo conoscere i seguenti elementi:
1)le cause del moto (forze) con le leggi che le determinano in funzione di:⇥posizione⇥velocità⇥altri parametri
2)i parametri del corpo che intervengono in modo essenziale nel moto
3)le equazioni del moto
→ le relazioni che permettono di determinare il moto del corpo
85
Dinamica del punto per punto materiale si intende un corpo di dimensioni piccole rispetto alle altre lunghezze in gioco e del quale non interessa studiare la struttura
un corpo può essere approssimato o meno a un punto materiale a seconda del problema
prima di Galileo e di Newton si pensava che:lo stato naturale di un corpo (cioè un corpo non soggetto ad
interazioni con altri corpi) fosse quello di quiete un corpo in moto con velocità costante richiedesse opportune
interazioni con altri corpi . Questa idea sembra suggerita dall'esperienza quotidiana
una cassa che si muove con velocità costante su di un piano richiede una forza
fornendo una spinta alla cassa sul piano la cassa si mette in moto ma tende a fermarsi
86
Iº principio della dinamica questo punto di vista fu universalmente accettato finché, prima Galileo, poi Newton, eseguendo esperimenti con piani levigati confutarono questa teoria
rendendo le superfici più lisce occorre meno forza per spingere la cassa, la cassa si ferma dopo aver percorso un tratto maggiore
da questo lavoro, estrapolando, deriva il seguente postulato (Io principio della dinamica):
un corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non agisce su di esso una qualche causa esterna
un corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non agisce su di esso una qualche causa esterna
87
Iº principio della dinamica un corpo non soggetto ad interazioni con altri sistemi materiali o sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme
la proprietà che ha un corpo di opporsi a variazioni della propria velocità fu chiamata da Newton inerzia
il postulato precedente è noto anche come principio d'inerzia o anche primo principio di Newton
il primo principio della dinamica si riferisce ad una situazione limite, una idealizzazione che non può venire realizzata in un esperimento
88
Iº principio della dinamica il principio d'inerzia non può avere significato se non si specifica il sistema di riferimento usato
consideriamo due sistemi di riferimento in moto traslatorio rettilineo uniforme uno rispetto all'altro:
un corpo che si muove con velocità costante rispetto al primo sistema si muove con velocità costante anche rispetto al secondo
i sistemi di riferimento inerziali sono sistemi di riferimento in moto traslatorio rettilineo uniforme rispetto ad un sistema di riferimento inerziale
un sistema solidale con la terra è solo approssimativamente inerziale
89
Sistemi Inerziali quando passiamo da un sistema di riferimento inerziale ad un altro:
mentre per le accelerazioni:
dove, per definizione, a0 = 0
la variazione nello stato del corpo che osservo nei due sistemi è la stessa la causa di questa variazione deve essere la stessa
v v O v '
a aO a' a'
90
Iº principio della dinamica il principio d'inerzia può venire formulato nel modo seguente:
in un sistema di riferimento inerziale un corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non agisce su di esso una qualche causa esterna
un altro enunciato è quello di Galileo:
tutte le leggi della meccanica quali quelle relative alla caduta dei gravi, delle oscillazioni etc., sono le medesime per osservatori in moto traslatorio rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro
91
Iº principio della dinamica passando da un sistema di riferimento inerziale ad un altro:
variano le coordinate dei corpivariano le loro velocità non cambiano le leggi che intercorrono tra queste quantità
se, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, un corpo si muove di un moto non rettilineo uniforme, l'accelerazione del corpo deve essere legata a interazioni esterne
92
Forza la causa della variazione di stato di un corpo è una forza
dobbiamo darne una definizione operativa che permetta di misurarla
consideriamo un corpo lasciato libero di cadere:
tutti i corpi che cadono sono soggetti ad una forza che indichiamo come forza peso (o forza di gravità)
Questa e’ la nostra definizione di FORZA:Una forza e’ cio’ che provoca una variazionedello stato di moto di un corpo
93
Forza peso caduta di un corpo libero: supponiamo di far cadere un mattone dall'alto di una torre il mattone cade seguendo una certa legge oraria
facendolo cadere ripetutamente la caduta segue sempre la stessa legge oraria
se lasciamo cadere due mattoni assieme, contemporaneamente, seguono la medesima legge oraria del mattone singolo
i due mattoni ad ogni dato istante si troveranno alla medesima quota seguendo la medesima legge oraria
se i due mattoni sono a contatto seguono nuovamente la medesima legge oraria
i corpi cadono tutti con la stessa accelerazione (g)
94
Forza pesoun'altra osservazione che conferma questa
osservazione è quella di due corpi diversi
che vengono lasciati cadere nello stesso
Momento
come mostrato nella fotografia stroboscopica
i due corpi di massa diversa negli stessi
istanti si trovano alla stessa altezza
fino al Medio Evo si credeva che i corpi
pesanti cadessero verso il suolo più
velocemente dei corpi leggeri
Galileo arrivò alla conclusione che nel vuoto
(in assenza di resistenza dovuta all'aria)
tutti i corpi lasciati liberi di cadere
si muovono con la stessa accelerazione costante
95
Forza se appendiamo un corpo ad una molla fissata ad un estremo esso scende per un tratto d e quindi si ferma (dopo alcune oscillazioni)
nel caso della molla la forza peso
non scompare, continua ad agire
il suo effetto è l'allungamento della molla
abbiamo osservato due effetti legati alla stessa forza:
variazione di velocità (caduta di un corpo):
Dinamico
in un sistema inerziale la presenza di una accelerazione è sempre la manifestazione di una forza
deformazione di un corpo (allungamento della molla): statico
96
Forza peso continuando a studiare il moto di un corpo soggetto alla forza peso osserviamo:
la velocità di un corpo lanciato verticalmente verso l'alto diminuisce in modulo fino ad annullarsi, il corpo è quindi soggetto a un qualche tipo di forza verticale diretta verso il basso
l'accelerazione ha verso opposto rispetto alla velocità
97
Molla una molla è un oggetto che mostra sempre uno stesso allungamento (se questo non supera un certo limite) quando gli appendiamo lo stesso oggetto
due corpi che provocano lo stesso allungamento sono soggetti alla stessa forza peso
se appendiamo i due corpi contemporaneamente otteniamo un allungamento doppio
continuando ad aggiungere corpi “uguali” incrementiamo l'allungamento della molla sempre della stessa quantità
l'allungamento della molla ci può dare una misura della forza peso
98
Misura di una forza definiamo un allungamento corrispondente ad una forza unitaria
prepariamo una scala opportuna possiamo misurare staticamente le forze
questo strumento (dinamometro) è in grado di misurare una forza solo quando il corpo è fermo
il dinamometro può misurare qualsiasi forza, non solo la forza peso
99
Forza sotto l'azione di una forza il dinamometro, se lasciato libero di orientarsi, assume una determinata orientazione nello spazio
la forza quindi non ha solo un valore ma è caratterizzata anche da una direzione (e da un verso)
la direzione è quella dell'asse della mollail verso è quello definito dall'allungamento
la forza è un vettore
100
Forza il procedimento per misurare una forza, descritto in precedenza, è vicino al concetto intuitivo che abbiamo della forza
non si utilizza la forza come grandezza fondamentale per la difficoltà di ottenere un campione di misura
al suo posto è stata scelta la massa, per la facilità nell'ottenere la grandezza campione
l'unità di misura della forza non è arbitraria, ma bisogna esprimerla in termini delle altre grandezze fondamentali
un altro strumento per la misura di una forza è la bilancia di precisione: si cerca di equilibrare l'effetto della forza da misurare con dei pesi calibri
101
Forza e accelerazione una accelerazione è una manifestazione di una forza: dobbiamo stabilire una relazione quantitativa tra le due
possiamo applicare ad un corpo delle forze note F1, F2, F3, ... e misurare l'accelerazione prodotta su di un corpo
direzione e verso di forza e accelerazione sono uguali
le accelerazioni sono in genere tra loro diverse in modulo
il rapporto tra forza applicata e accelerazione misurata è costante
F1
a1=F 2
a2=F3
a3==costante
102
Seconda legge della dinamica questa costante cambia se cambiamo il corpo su cui effettuiamo le misure
l'azione dinamica di una forza su di un corpo è di fornire una accelerazione tale che
la costante k è uno scalare definisce una caratteristica del corpo venne chiamata da Newton massa inerziale
questa legge viene indicata come seconda legge della dinamica (o seconda legge di Newton)
mg e mi vengono fatte coincidere
F = k a
F = mia
103
Seconda legge della dinamica la validità della seconda legge della dinamica è data da:
prove sperimentali
prove indirette (tutte le deduzioni che derivano da questa legge sono verificate)
la validità di questa legge è limitata alla meccanica classica
la seconda legge è valida anche nel caso in cui la forza non sia costante nel tempo
l'equazione F = ma lega la risultante delle forze agenti alla accelerazione del corpo
massa e forza sono legati tra loro attraverso l'accelerazione
104
Unità di misura della forza l'unità di misura della forza viene espressa in funzione della massa:
l'unità di misura della forza nel sistema internazionale è stata chiamata newton (N), quindi:
[F ] = [m⋅a ] = [m⋅l⋅t−2 ] =kg⋅ms2
[F ] = N =kg⋅ms2
105
Forze Principio dell'indipendenza delle azioni simultanee:
si ricava dall'osservazione
se più forze agiscono su di un corpo, ciascuna produce l'accelerazione cui darebbe luogo agendo da sola
se abbiamo 2 corpi che esercitano una forza su di un terzo corpo, l'accelerazione di questo corpo (a1) risulta essere la somma delle singole accelerazioni prodotte dagli altri due corpi sul corpo in esame (a12 e a13 rispettivamente):
se moltiplichiamo per la massa m1:a1 = a12a13
m1a1 = m1a12m1a13
106
Forze quindi avremo:
la forza risultante agente su un corpo è la somma vettoriale delle singole forze esercitate sul corpo dai diversi sistemi materiali che interagiscono con esso questo viene anche indicato come principio di sovrapposizione
F 1 = F12F 13
107
Sistemi non inerziali se passiamo da un sistema di riferimento (inerziale) ad uno in moto accelerato vario (non inerziale) sappiamo che l'accelerazione osservata sul secondo sistema è
quindi misuriamo una forza
dove i termini
hanno le dimensioni di una forza
a' = a−aO−××r ' −2×v '
F ' = ma' = ma−m aO−m××r '−m 2×v ' == F−maO−m××r '−m2×v ' = F−F app
m aOm ××r ' m 2×v '
108
Sistemi non inerziali questi termini si indicano con il nome di forze apparenti in quanto all'osservatore non inerziale appaiono come forze ma non sono riconducibili a nessuna origine fisica compaiono solo grazie al moto del sistema di riferimento
109
l'accelerazione posseduta da un corpo in caduta libera si chiama accelerazione di gravità e viene indicata con il simbolo g
l'accelerazione di gravità vale circa 9.81 m/s2
per il secondo principio di Newton su un corpo di massa m agisce una forza pari a
Forza peso
F = m g
detta forza peso o peso del corpo
110
Forza peso la variazione di g
rispetto alla latitudine è dovuto alla rotazione della terra e al fatto che la misura si riferisce ad un sistema solidale con la terra e quindi non inerziale
la variazione con l'altezza è dovuta alla variazione della distanza del corpo dal centro della terra
111
Misura della massa si può utilizzare la seconda legge della dinamica per stabilire la scala di misura della massa
supponiamo di avere una forza F che applichiamo alla nostra massa campione m0 e al corpo di massa m
questa relazione vale anche per gli scalari
e quindi
questa è una misura dinamica
l'esperienza dimostra che il valore di m non dipende dal tipo di forza utilizzata
F = m0a0 = m a
F = m0a0 = m a
m = m0
a0
a
112
Misura della massa la misura dinamica della massa è fattibile, ma è imprecisa
consideriamo la forza peso P: sappiamo che vale la relazione scalare
poiché l'accelerazione dei corpi è la stessa (g) possiamo allora derivare
un apparecchio in grado di confrontare le forze peso confronta anche le masse dei corpi
lo strumento che si utilizza per questo scopo è la bilancia
m =Pg
m1
m2=
P1
P2
113
Inerzia dalla seconda equazione della dinamica risulta un pò più chiaro il concetto di inerzia: la massa è una proprietà dei corpi
F = ma implica che: maggiore è la massa m minore è la perturbazione a che la forza F apporta al corpo
la massa è una misura della resistenza che un corpo oppone a un tentativo di modifica del suo stato (inerzia)
114
Massa sperimentalmente si verifica che:
se due corpi A e B di masse mA e mB vengono uniti insieme a formare un corpo C, la massa mC di questo corpo è pari alla somma delle masse di A e B:
la massa è una grandezza fisica additiva:
nella fisica classica la materia è una quantità che si mantiene costante e si conserva☞questo non è più vero nella meccanica relativistica e nella meccanica quantistica relativistica
mC = mAmB
