GEOMETRI TRANSFORMASIDalam pembahasan ini sebelumnya anda harus memahami geometri pada bidang, oleh karena itu geometri ini disajikan untuk mengingat kembali geometri tersebut. Yang akan kita bahas khususnya adalah Geometri Euclides bidang. Geometri Euclid berasal dari Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Suatu bidang yang padanya diberlakukan Geometri Euclides adalah sebuah himpunan yang unsur unsur tak terdefinisikannya dinamakan titik. Bidang ini dinamakan bidang Euclides, apabila pada himpunan titik titik ini bermacam macam axioma, definisi definisi, dan teorema teorema. Unsur unsur tak terdefinisi adalah titik dan himpunan himpunan bagian bidang yang dinamakan garis.

DEFINISI Transformasi

Misalkan V suatu bidang Euclid, T merupakan dari V ke v, T disebut sebagai transformasi, Jika dan hanya jika T sebuah Fungsi Bijektif.Axioma axioma bidang Euclid V ke v :

1. Sebuah garis dapat dibentuk minimal 2 (dua) titik

2. Dua buah titik yang garisnya diperpanjang akan menghasilkan sinar

Setengah sinar

Satu sinar

3. Pada sebarang titik dan jarak dapat membentuk lingkaran

OA = jarakA = titik

4. Semua sudut siku siku besarnya sama 905. Jika suatu garis lurus memotong 2 (dua) garis lurus, membentuk sudut sudut dalam sepihak kurang dari sudut siku siku, dua buah garis ini jika diperpanjang akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua buah sudut siku siku. FUNGSIContoh fungsi

Contoh bukan fungsi

A = {1, 2, 3}

B = {1, 2}

RF = {(1,1), (2,2), (3,2)}RF merupakan range fungsi

R = {1, 2} ; jangkauan hasilFUNGSI BIJEKTIF

(Dua Sifat)

Fungsi Surjektif/Onto/Pada

Definisi

Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan pada himpunan A. Artinya bahwa pada tiap titik pada prapeta. Jadi kalau T suatu tranformasi maka ada sehingga . B dinamakan peta dari A oleh T dan A dinamakan prapeta dari B.

Contoh:

; anggota di B mempunyai anggota di AB = T(A)

Ket :

B : peta dari A oleh T

T(A) : prapeta dari B oleh T Fungsi Injektif/One one function/Satu satuDefinisi

f memenuhi A ke B, apabila f(a) = a' artinya a = a' dimana CONTOH SOALMisal v bidang euclides dan A sebuah titik tertentu pada V. Ditetapkan relasi T sebagai berikut;

a. T(P) = A, P = A, b. Jika dan ; T(P) = QQ merupakan titik tengah ruas garis . Apakah relasi T merupakan transformasi ?

JAWAB:

1. Fungsi v ke V

Artinya untuk setiap unsur v memiliki peta di V

Ambil sebarang titik pada V yaitu titik P, Titik A diketahui sebagai titik tertentu pada V, Memiliki dua kondisi;

P = A

Titik P pada V, T(P) = A

Titik , , Q titik tengah ; , , dan Q merupakan titik tengah tunggal dan unik.Sehingga fungsi v ke V2. Fungsi bijektif

Surjektif

Ambil sebarang , karena A merupakan titik tertentu pada V dari memunculkan dua kondisi;

R = A

Sudah jelas bahwa R mempunyai prapeta yaitu titik A itu sendiri. Secara geometri pada bidang v terdapat titik M yang merupakan prapeta dari R yaitu T(M) = R, T(M) merupakan titik tengah.

T(M) = R artinya T(M) prapeta dari R dan R peta dari M oleh T.

Karena mempunyai prapeta oleh fungsi T, yaitu T(M)

Sehingga T merupakan fungsi T pada Onto/Surjektif Injektif

Ambil sebarang titik P dan sehingga T(P) = T(Q) sehingga T(P) = T(Q) memunculkan kondisi;

P = A

Maka T(P) = P = A sedangkan T(P) = T(Q), T(Q) = A

Jadi Q = A dan P = A

Q = A

Maka T(Q) = Q = A sedangkan T(Q) = T(P), T(P) = A

Jadi P = A dan Q = A

dan Misal dan dan Karena , maka maka

Sehingga T(P) = T(Q) berarti dan Dengan demikian A, P, dan Q merupakan kolinear dengan titik tengah dan titik tengah sebagai P = Q

Jadi untuk setiap P, , T(P) = T(Q) mendapatkan P = Q. Dengan demikian T merupakan fungsi satu satu/InjektifKarena T merupakan fungsi satu satu dan fungsi pada T merupakan fungsi bijektif dengan demikian relasi T merupakan Transformasi.LATIHAN1) Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang euclides V. A sebuah titik yang terletak ditengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g yang didefinisikan sebagai berikut;

Apakah maka ?a) Apakah dearah nilai T ?

b) Apakah , , , buktikan ; , ?c) Apakah T injektif ?2) Diketahui sebuah titik K dan ruas garis , dan sebuah garis g sehingga dan jarak antara K dan adalah dua kali lebih panjang dari pada jarak antar K dan g. Ada pandanan T dengan daerah asal dan daerah nilai g sehingga apabila maka T(P) = = a) Apakah bentuk himpunan peta peta kalau P bergerak pada ?b) Buktikan bahwa T injektif !c) Apakah E dan F dua titik pada , apakah dapat dikatakan tentang jarak jika dan ?3) Diketahui tiga titik A, R, S yang berlainan dan tidak segaris. Ada padanan T yang didefinisikan sebagai berikut:

T(A) = A, T(P) = P sehingga P titik tengah a) Lukislah !b) Lukislah Z sehingga T(Z) = S !c) Apakah T suatu transformasi ?4) Diketahui P = (0,0), , . T : adalah suatu pandanan yang didefinisikan sebagai berikut; apakah maka T(X) = ?

a) Apabila A = (0,1) tentukan T(A)

b) Tentukan prapeta dari B (4,3)

c) Apabila Z sebarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak , dengan d) Apabila E dan F dua titik pada daerah asal T, apakah dapat dikatakan tentang jarak ?5) Diketahui f : V V. Jika P (x,y) maka f (P) = a) Tentukan f (A) jika A = (-3,6)

b) Tentukan semua prapeta dari titik B (4,2)

c) Apakah bentuk daerah nilai f ?

d) Apakah f suatu transformasi ?6) Diketahui fungsi g : sumbu X V yang didefinisikan sebagai berikut :

Apabila P (x,0) maka g(P) = (x,)

a) Tentukan peta A (3,0) oleh g

b) Apakah R (-14,196) daerah nilai gc) Apakah g surjektif ?d) Gambarlah daerah nilai g7) T : V V, didefinisikan sebagai berikut :

Apabila P (x,y) maka

a) T(P) = (x + 1,y), untuk b) T(P) = (x 1,y), untuk c) Apakah T injektif ?

d) Apakah T suatu transformasi ?8) Diketahui sebuah garis S dan titik titik A, B, C seperti dapat dilihat pada gambar dibawah ini;T : V didefinisikan sebagai berikut :

a) Jika , maka T(P) = Pb) Jika , maka T(P) = , sedemikian hingga garis s adalah sumbu ruas c) Lukislah , d) Lukislah prapeta titik Ce) Apakah T suatu transformasi ?f) Buktikan bahwa 9) Diberikan dua titik A dan B, kontruksikanlah garis s sedemikian sehingga , dan tentukanlah !10) Jika diberikan titik A (1,3) dan B (-2,-1) tulis sebuah persamaan untuk garis s sedemikian sehingga !11) Diberikan S = {(x,y)a) Tentukan jika A (2,5)

b) Tentukan C sedemikian sehingga c) Jika P (x,y) adalah suatu titik, tentukan 12) Diberikan T : {(x,y)}

a) Tentukan dan A b) Tentukan D jika c) Jika P (x,y) adalah suatu titik. Tentukan 13) Diketahui garis S = {(x,y)} dan A (2,k), carilah nilai K jika !14) Diketahui T = {(x,y)} dan B (3,-1). Carilah K jika !15) Jika S suatu yang didefinisikan S(P) = (x 5, y + 3) untuk semua titik P. Periksa apakah S isometri ? Dapatkah anda generalisasikan hasilnya !16) Periksalah apakah T suatu isometri yang didefinisikan untuk titik P (x,y) oleh T(P) = (2x,y + 1) !17) Sebuah lingkaran dengan jari jari r dan pusat A pada bidang euclied ditepatkan relasi T sebagai sehingga AP . AQ = . Apakah relasi T suatu transformasi ?Jawaban :

Fungsi V ke V

Ambil sebagai titik pusat P = A

titik dalam lingkaran P pada lingkaran

P diluar lingkaran

Untuk P = A

T(P) = Q

Artinya tidak ada Q yang memenuhi , untuk P = A ; .

Bukan fungsi V ke V, karena bukan fungsi V ke V.

Sehingga T bukan transformasiJawaban1) Apakah maka ?

a) Apakah dearah nilai T ?

A terletak ditengah antara g dan h

maka Jadi daerah nilai T adalah h (semua titik didaerah h)b) Apakah , , , buktikan ; , ?

Lihat dan (bertolak belakang)

(karena A berada ditengah g dan h)

(karena A berada ditengah g dan h)

Jadi dengan sisi, sudut, sisi

Akibatnya Perbandingan DE dengan sehingga c) Apakah T injektif ?

Ambil dua titik D dan E pada garis g dengan , akan dibuktikan .

Misal; Sehingga T(D) garis dan T(E) garis dan dalam hal ini, maka garis DA dan garis EA memiliki dua titik sekutu yaitu A jadi T(D) = T(E)

Berarti bahwa garis DA dan EA berimpit sehingga berakibat D = E.

Hal ini kontradiksi maka permisalan salah yang benar T injektif

2) Ada pandanan T dengan daerah asal dan daerah nilai g sehingga apabila maka T(P) = = a) Apakah bentuk himpunan peta peta kalau P bergerak pada ?Semua bayangan A, B, dan P berada pada garis g sehingga ada himpunan peta peta pada garis g

b) Buktikan bahwa T injektif !Asumsikan T(E) = Maka ada dua titik D dan E pada AB

Kemungkinan dua;

D = E maka 2(D) = g(E)

2(D)Dengan akan dibuktikan T(D)T(E)

Misal T(D) = T(E) dan sehingga pada sehingga pada Maka dan memiliki dua titik sekutu yaitu T(D) = T(E) jadi dan berimpit, sehingga D = E.

Hal ini kontradiksi, maka permisalan salah dan yang benar T adalah injektifc) Apakah E dan F dua titik pada , apakah dapat dikatakan tentang jarak jika dan ?3) Diberikan 2 titik

4) Titik tengah AB

gradien AB

persamaan garis S;

(dikali 8)

atau

5) Diberikan S = {(x,y)a) Tentukan jika A (2,5)b) Tentukan C sedemikian sehingga c) Jika P (x,y) adalah suatu titik, tentukan P (x,y) sebuah titik maka berada disemua bidang, semua kuadran bisa Jika P (x,y)

6) Diberikan T : {(x,y)}

a) Tentukan dan A b) Tentukan D jika c) Jika P (x,y) adalah suatu titik. Tentukan P (x,y) sebuah titik maka berada disemua bidang, semua kuadran bisa jadi Jika P (x,y)

7) Diketahui garis S = {(x,y)} dan A (2,k), carilah nilai K jika !

A (2,k); maka titik A dilalui garis

A (2,k) K = -18) Diketahui T = {(x,y)} dan B (3,-1). Carilah K jika !B (3,-1) maka Titik B melalui garis tB (3,-1)

9) Jika S suatu yang didefinisikan S(P) = (x 5, y + 3) untuk semua titik P. Periksa apakah S isometri ? Dapatkah anda generalisasikan hasilnya !A (p,a) B (r,s) Isometri

Definisi; Misalkan T suatu transformasi T ini disebut Isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasang titik P dan Q anggota dari bidang Euclide berlaku bahwa dimana .

Sifat-sifat Isometri :

Teorema 1 :

Mengatakan garis menjadi garis

Mengawetkan ukuran sudut

Mengawetkan kesejajaran

Teorema 2 :

Apabila garis g dan h saling tegak lurus dan T satu Isometri maka T(g) dan T(h) juga saling tegak lurus.

Contoh :

Misalkan diketahui garis g pada bidang v. lihat transformasi ditetapkan sebagai berikut :

a. Jika b. Jawab :

Ambil 2 titik sembarang pada bidang v, missal P dan Q, Misalkan :

Dari penilaian ini masalah kondisi hubungan dengan :

P dan Q

Q dan N

G sumbu dari atau G sumbu dari atau Lihat

Lihat

Karena P dan Q merupakan sebarang titik di P maka setiap pasanga titik P dan Q berlaku sehingga Transformasi T yang ditetapkan isometri.A

B

AB

A

B

AB

A

B

AB

O

A

R

S

1

2

4

3

1

2

3

4

1

2

3

1

2

A

B

Domain

Kodomain

B

A

1

2

3

1

2

3

B

A

1

2

1

2

3

A

B

C

D

x

y

z

A

B

-1

0

1

-2

0

2

A

B

P(A)

T(P) = A

A

P

Q

Q = T(P)

A

M

R

T(Q) = A

T(M) = R

A

T(P) = P = A

A

P

Q

C

B

S

P

A

g

h

g

h

D

A

E

g

h

D

A

E

K

g

B

P

A

g

B

A

K

F

E

s

M

N

Q

g

P