1. Kompleksne funkcije (1. predavanje)

U kompleksnoj analizi radimo s poljem kompleksnih brojeva C. Svakikompleksan broj mozemo zapisati u obliku

z = x + iy, x, y ∈ R,

gdje je i imaginarna jedinica, i2 = −1. Imamox = realni dio od z = Re(z)y = imaginarni dio od z = Im(z).

Mi cemo identificirati C s R2 na uobicajen nacin

z = x + iy ∈ C identificiramo s tockom (x, y) ∈ R2.

Modul kompleksnog broja z definiramo s

|z| =√

x2 + y2,

a ako je z 6= 0 onda definiramo i argument kompleksnog broja z kao realanbroj arg z ∈ (−π, π] kao kut od pozitivnog dijela osi x do zrake iz ishodistakoja prolazi kroz z s time da uzimamo negativnu vrijednost ako je z ispodosi x tj. Im(z) < 0.

Postoje i drugi nacini definiranja argumenta, ali ovaj ce nam biti koristankod rada s (glavnom vrijednoscu) logaritma. Ako je z 6= 0, onda mozemopisati (vidi sliku nize)

x = Re(z) = |z| cos (arg z)y = Im(z) = |z| sin (arg z).

Kratko mozemo pisatiz = |z|ei arg z.

1

2

U analizi su vazne nejednakosti. Sljedece se vide s gornje slike (dokaziteih strogo!)

x ≤ |x| ≤ |z|y ≤ |y| ≤ |z|.

Nadalje, udaljenost tocaka z1, z2 ∈ C dana je s

|z1 − z2| =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)

2.

Iz te cinjenice odmah izlazi nejednakost trokuta koju cemo dosta koristiti

|z + w| ≤ |z|+ |w|.

Trebati ce nam i neki jednostavniji pojmovi iz topologije (koji su obradeniu kolegiju Diferencijalni racun vise varijabli).

Otvoren krug s centrom u z0 ∈ C radijusa r > 0 je skup

K(z0, r)def= z ∈ C; |z − z0| < r .

Dakle, radi se o skupu svih kompleksnih brojeva z koji su udaljeni od z0 za< r.

Zatvoren krug s centrom u z0 ∈ C radijusa r > 0 je skup

K(z0, r)def= z ∈ C; |z − z0| ≤ r .

Niz kompleksnih brojeva z1, z2, . . . konvergira prema kompleksnom brojuz0, pisemo limm zn = z0, ako za svaki ε > 0 postoji prirodan broj nε (ovisano ε) tako da

n ≥ nε =⇒ |zn − z0| < ε.

3

Gornje mozemo reformulirati kao

n ≥ nε =⇒ zn ∈ K(z0, ε).

Zadatak 1.1. Dokazite da limn zn = z0 ako i samo ako limn Re(zn) =R(z0) i limn Im(zn) = Im(z0). (Uputa: Za =⇒ koristite nejednakosti|Re(zn)−Re(z0)| ≤ |zn − z0| i |Im(zn)− Im(z0)| ≤ |zn − z0|.)

U kompleksnoj analizi najvazniji skupovi u C su otvoreni skupovi kojedefiniramo na sljedeci nacin. Otvoren skup Ω ⊆ C je skup koji je ili prazanili za svaku tocku z0 ∈ Ω postoji r > 0 tako da je K(z0, r) sadrzan u Ω.

Svaki otvoren krug je otvoren skup. U ovim predavanjima Ω uvijekoznacava otvoren skup. Zatvoren skup je komplement u C otvorenogskupa. Uvjerite se da su zatvoreni krugovi zatvoreni skupovi. Iako suotvoreni skupovi unije otvorenih krugova, zatvoreni skupovi nisu unije zatvorenihkrugova. Npr. segment [0, 1] je zatvoren skup u C, jer je komplementotvoren, ali ne sadrzi nikakve zatvorene krugove.

Zadatak 1.2. Skup F ⊆ C je zatvoren ako i samo ako za svaki konvergentanniz (zn)n≥1 elemenata skupa F vrijedi limn zn ∈ F .

Skup S ⊆ C je ogranicen ako postoji M > 0 tako da

S ⊆ K(0,M)

tj.

∀z ∈ S =⇒ |z| ≤ M.

4

Skup K ⊆ C je kompaktan ako je zatvoren i ogranicen. Zatvoren krugje primjer kompaktnog skupa. Takoder, kruznica z ∈ C; |z − z0| = r jekompaktan skup.

Iz diferencijalnog racuna funkcija vise varijabli znamo sljedece vazno svo-jstvo kompaktnih skupova koje iskazujemo u obliku najpogodnijem za nas:

Neka je dana neka kolekcija otvorenih kurgova K(zj , rj), j ∈ I, pri cemu jeK ⊆ ∪j∈IK(zj , rj). Tada postoji konacan podskup j1, . . . , jn ⊆ I takoda K ⊆ ∪n

k=1K(zjk, rjk

).

Neka je D ⊆ R, npr. D moze biti otvoreni interval (a, b) (gdje su mogucislucajevi a = −∞ i b = ∞) ili segment [a, b]. Tada preslikavanje

γ : D → Cmozemo rastaviti na realni i imaginarni dio: α(t) = Re(γ(t) i β(t) =Im(γ(t). Kompleksno preslikavanje realne varijable γ je neprekidno akoi samo ako su realne funkcije realne varijable α i β neprekidne. Slicno je spojmovima diferencijabilnosti i integrabilnosti koje ostavljamo da formuli-rate sami. Imamo

(1.3) γ′(t) =dγ(t)

dt

def= α′(t) + iβ′(t)

(1.4)∫ d

cγ(t)dt

def=

∫ d

cα(t) + i

∫ d

cβ(t).

Za sada necemo davati primjere ali kasnije cemo puno racunati s ovakvimfunkcijama.

Otvoren skup Ω je povezan ako za svake dvije tocke z, w ∈ Ω postojineprekidno preslikavanje γ : [a, b] → Ω (koje nazivamo put) tako da γ(a) = z

5

i γ(b) = w. Otvoren skup Ω naziva se podrucje ako je povezan. Uko-liko Ω nije povezan, moze se napisati na jedinstven nacin kao prebrojiva(moguce konacna) unija disjunktinih podrucja (koje nazivamo komponentepovezanosti od Ω.

Svaki otvoren krug je podrucje. Ali unija dva disjunktna otvorena kruganije podrucje, vec samo otvoren skup kojemu su ta dva kruga komponentepovezanosti:

Sada prelazimo na funkcije koje cemo proucavati u ovom kolegiju. Tipicnafunkcija biti ce f : Ω → C kojoj je domena otvoren skup Ω, a kodomena C.Mozemo pisati

w = f(z), z ∈ Ω.

Funkciju f nazivamo kompleksna funkcija kompleksne varijable, jer je kodom-ena C, a domena Ω ⊆ C, respektivno.

Iz takve funkcije mozemo definirati novu funkciju |f | : Ω → [0,∞) formu-lom:

|f |(z) = |f(z)|, z ∈ Ω,

koja se naziva modul funkcije f .Funkcija f je ogranicena ako postoji M ≥ 0 tako da

|f(z)| ≤ M, ∀z ∈ Ω.

Uocimo da je svojstvo ogranicenosti definirano preko funkcije |f |.

Kao u matematickoj analizi funkcija jedne varijable, definiramo pojamneprekindosti funkcije f :f : Ω → C je neprekidna u z0 ∈ Ω ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako daK(z0, δ) ⊆ Ω i

|z − z0| < δ =⇒ |f(z)− f(z0)| < ε.

6

Drugim rijecima

z ∈ K(z0, δ) =⇒ f(z) ∈ K(f(z0), ε).

Nadalje, f je neprekidna na Ω ako je neprekidna u svakoj tocki skupa Ω.

Takoder, definiramo pojam diferencijabilnosti analogno kao u matematickojanalizi funkcija jedne varijable:f : Ω → C je diferencijabilna (ili derivabilna) u tocki z0 ∈ Ω ako postojikompleksan broj f ′(z0) takav da

(1.5) f ′(z0) = limz→z0

f(z)− f(z0)z − z0

.

(Ovaj limes se definira analogno odgovarajucem u matematickoj analizifunkcija jedne varijable.) Broj f ′(z0) naziva se derivacija funkcije f u tockiz0. Funkcija f je diferencijabilna ili holomorfna na otvorenom skupuΩ ako posjeduje derivaciju u svakoj tocki skupa Ω. Kratko kazemo da jef : Ω → C diferencijabilna.

Recimo nekoliko rijeci o terminologiji koju koristimo. Ako je f : Ω → Cdiferencijabilna, onda imamo definiranu funkciju f ′ : Ω → C koju nazivamoderivacija funkcije f . Ukoliko je ta funkcija diferencijabilna na Ω mozemodefinirati drugu derivaciju f ′′ : Ω → C itd. Notacija koju koristimo jednakaje odgovarajucoj iz matematicke analize funkcija jedne varijable. Medutim,uskoro cemo dokazati sljedeci vazan rezultat: Ako je f : Ω → C diferencija-bilna, onda posjeduje derivaciju svakog reda na cijelom Ω. Kada dokazemotaj rezultat, diferencijabilnu funkciju zvati cemo holomorfna funkcija.

Sljedeci zadatak se rjesava koristeci metode analogne onima iz matematickeanalize funkcija jedne varijable.

Zadatak 1.6. Neka su f, g : Ω → C funkcije. Tada vrijedi:(i) Ako je f diferencijabilna u tocki z0, onda je neprekidna u toj tocki.

Posebno, ako je f diferencijabilna na Ω onda je neprekidna na Ω.(ii) Ako su f, g diferencijabilne u tocki z0 i ako su λ, µ ∈ C, onda imamo

(1) (λf + µg) je diferencijabilna u z0 i (λf + µg)′ (z0) = λf ′(z0) +µg′(z0).

(2) fg je diferencijabilna u z0 i (fg)′(z0) = f ′(z0)g(z0)+f(z0)g′(z0).(3) Ako g(z0) 6= 0, onda je f/g je diferencijabilna u z0 i vrijedi

(f/g)′(z0) =f ′(z0)g(z0)− f(z0)g′(z0)

g2(z0).

(iii) Neka je h : Ω′ → C, gdje je Ω′ otvoren skup koji sadrzi f(Ω). Ako jef diferencijabilna u tocki z0 i h diferencijabilna u w0 = f(z0), tadaje h f diferencijabilna u z0 i vrijedi

(h f)′(z0) = h′(w0)f ′(z0).

7

Polinomi su primjeri funkcija koje su diferencijabilne na cijelom C. Poli-nom je funkcija f : C → C oblika

f(z) = anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0,

gdje su a0, a1, . . . , an zadane konstantne (koeficijenti polinoma f). Ako jean 6= 0, onda govorimo o polinomu stupnja n ≥ 0. Medutim, ako su svikoeficijenti jednaki nuli govorimo o nul–polinomu: f(z) = 0. Stupanj nul–polinoma ne definiramo.

Zadatak 1.7. Neka je f polinom. Tada je f diferencijabilna funkcija na C(te posebno i neprekidna funkcija tamo prema Zadatak 1.6 (i)!). Nadalje,ako je f zapisan kao gore, onda

f ′(z) = nanzn−1 + (n− 1)an−1zn−2 + · · ·+ a1.

(U racunima s polinomima stavljamo 00 = 1.) (Uputa: koristeci Zadatak1.6 i indukciju svedite se na dva osnovna slucaja f(z) = 1 i f(z) = z kadaje tvrdnja ocita.)

Zadatak 1.8. Racionalna funkcija je kvocijent dva polinoma fig, pri cemug nije nul–polinom: h(z) = f(z)/g(z), domena funkcije h je skup Ω =z ∈ C; g(z) 6= 0 koji je otvoren jer g posjeduje samo konacno nultocaka.Pokazite da je h diferencijabilna na h i da je derivacija opet racionalnafunkcija

h′(z) =f ′(z)g(z)− f(z)g′(z)

g2(z).

Sada cemo proucavati vezu diferencijabilnosti definiranu sa (1.5) i difer-encijabilnosti realnih funkcija dviju realne varijable. U tu svrhu koristiticemo, pomalo neprecizno ali korisno jer pojednostvaljuje notaciju, identi-fikacije z = x + iy = (x, y) i z0 = x0 + iy0 = (x0, y0). Funkciju f : Ω → Cmozemo rastaviti na realni i imaginarni dio:

f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y),

gdje su u, v : Ω → R zadane kao realan i imaginaran dio od f :u = u(x, y) = Re(f(z))v = v(x, y) = Im(f(z)).

Ako shvatimo C kao R2, f postaje funkcija Ω → R2 zadana sa

(1.9) (x, y) → (u(x, y), v(x, y)).

8

U tocki z0 = x0 + iy0 = (x0, y0) ∈ Ω, parcijalne derivacije definiramo nasljedeci nacin:

ux(x0, y0) =∂u

∂x(x0, y0) = lim

x→x0

u(x, y0)− u(x0, y0)x− x0

uy(x0, y0) =∂u

∂y(x0, y0) = lim

y→y0

u(x0, y)− u(x0, y0)y − y0

vx(x0, y0) =∂v

∂x(x0, y0) = lim

x→x0

v(x, y0)− v(x0, y0)x− x0

vy(x0, y0) =∂v

∂y(x0, y0) = lim

y→y0

v(x0, y)− v(x0, y0)y − y0

.

Funkcija u : Ω → R je diferencijabilna u tocki (x0, y0) ∈ Ω ako postojerealni brojevi A i B te ako vrijedi

lim(x,y)→(x0,y0)

|u(x, y)− u(x0, y0)−A(x− x0)−B(y − y0)|√(x− x0)

2 + (y − y0)2

= 0.

Ako je u diferencijabilna u (x0, y0), onda postoje parcijalne derivacije i vri-jedi A = ux(x0, y0) i B = uy(x0, y0). Tako da imamo:

lim(x,y)→(x0,y0)

|u(x, y)− u(x0, y0)− ux(x0, y0)(x− x0)− uy(x0, y0)(y − y0)|√(x− x0)

2 + (y − y0)2

= 0.

Koristan praktican test za ispitivanje diferencijabilnosti od u u(x0, y0): pretpostavimo da parcijalne derivacije postoje na nekoj okolinitocke (x0, y0) te da su neprekidne u tocki (x0, y0), tada je u diferencijabilnau tocki (x0, y0).

Slicno vrijedi i za v. Konacno, funkcija zadana sa (1.9) je diferencijabilnau (x0, y0) ∈ Ω ako su u i v diferencijabilne u (x0, y0) ∈ Ω . Diferencijalfunkcije (1.9) je matrica:

(1.10)(

ux(x0, y0) uy(x0, y0)vx(x0, y0) vy(x0, y0)

)

Sada dokazujemo sljedeci teorem:

Teorem 1.11. (Cauchy–Riemannovi uvjeti) Neka je f : Ω → C funkcijai z0 ∈ Ω. Tada je f diferencijabilna u tocki z0 (tj. postoji limes (1.5)) ako isamo ako je funkcija Ω → R2 zadana sa (1.9) diferencijabilna u tocki (x0, y0)i vrijede Cauchy–Riemannovi uvjeti:

ux(x0, y0) = vy(x0, y0)

uy(x0, y0) = −vx(x0, y0).

9

Dokaz. Dokaz ovog teorema vrlo jednostavno sljedi iz gornjih razmatranja idefinicija, ali zahtjeva dosta pisanja.

Dokazimo =⇒ . Najprije, definicija (1.5) zapravo znaci

(1.12)0 = lim

z→z0

∣∣∣∣f(z)− f(z0)z − z0

− f ′(z0)∣∣∣∣

= limz→z0

|f(z)− f(z0)− f ′(z0)(z − z0)||z − z0|

Uocimo da (x, y) → (x0, y0) zapravo znaci z → z0 te da vrijedi

|z − z0| =√

(x− x0)2 + (y − y0)

2.

Nadalje, direktnim racunom nalazimo:∣∣f(z)− f(z0)− f ′(z0)(z − z0)∣∣2 =

=(u(x, y)− u(x0, y0)−Re(f ′(z0))(x− x0) + Im(f ′(z0))(y − y0)

)2 +

+(v(x, y)− v(x0, y0)− Im(f ′(z0))(x− x0)−Re(f ′(z0))(y − y0)

)2.

Uocimo da je u tom izrazu lijeva strana veca ili jednaka od svakog sumandana desnoj strani. Kako su ti sumandi nenegativni, (1.12) povlaci

lim(x,y)→(x0,y0)

|u(x, y)− u(x0, y0)−Re(f ′(z0))(x− x0) + Im(f ′(z0))(y − y0)|√(x− x0)

2 + (y − y0)2

= 0,

lim(x,y)→(x0,y0)

|v(x, y)− v(x0, y0)− Im(f ′(z0))(x− x0)−Re(f ′(z0))(y − y0)|√(x− x0)

2 + (y − y0)2

= 0.

Dakle, u i v su diferencijabilne i vrijediux(x0, y0) = Re(f ′(z0))uy(x0, y0) = −Im(f ′(z0))vx(x0, y0) = Im(f ′(z0))vy(x0, y0) = Re(f ′(z0)).

Ovim je dokaz od =⇒ gotov.Dokazimo sada ⇐=. Najprije, pretpostavljeni Cauchy–Riemannovi uvjeti

pokazuju da mozemo definirati kompleksan broj

a + ib,

(1.13)a = ux(x0, y0) = vy(x0, y0)

−b = uy(x0, y0) = −vx(x0, y0).

10

Pokazati cemo da je f ′(z0) = a + ib. Pretpostavka da je u diferencijabilna u(x0, y0) moze se u ovim oznaka napisati kao:

lim(x,y)→(x0,y0)

|u(x, y)− u(x0, y0)− a(x− x0) + b(y − y0)|√(x− x0)

2 + (y − y0)2

= 0.

Slicno je i s v

lim(x,y)→(x0,y0)

|v(x, y)− v(x0, y0)− b(x− x0)− a(y − y0)|√(x− x0)

2 + (y − y0)2

= 0.

Jos jednom istaknimo da je ovo moguce zahvaljujuci relaciji (1.13). Sada,kao u prvom dijelu dokaza raspisemo izraz kod limesa, te dobivamo

limz→z0

∣∣∣∣f(z)− f(z0)z − z0

− (a + ib)∣∣∣∣ = 0.

Odakle, f ′(z0) = a + ib.

U sljedecem korolaru dajemo formulu za racunanje derivacije f ′(z0). Dokazkorolara sljedi iz dokaza Teorema 1.11.

Korolar 1.14. Neka je f : Ω → C funkcija i z0 ∈ Ω. Ako je f diferencija-bilna u tocki z0, onda vrijedi

f ′(z0) = ux(x0, y0) + ivx(x0, y0) = vy(x0, y0)− iuy(x0, y0).

Prakticno, imamo sljedeca dva kriterija:

Korolar 1.15. Neka je f : Ω → C funkcija i z0 ∈ Ω. Pretpostavimo daparcijalne derivacije funkcija u i v postoje na nekoj okolini tocke (x0, y0),neprekidne su u (x0, y0), i zadovoljavaju Cauchy–Riemannove uvjete:

ux(x0, y0) = vy(x0, y0)

uy(x0, y0) = −vx(x0, y0).

Tada je f diferencijabilna u tocki z0 i vrijedi

f ′(z0) = ux(x0, y0) + ivx(x0, y0).

Korolar 1.16. Neka je f : Ω → C funkcija. Pretpostavimo da su parcijalnederivacije funkcija u i v postoje in neprekidne su na Ω te zadovoljavajuCauchy–Riemannove uvjete:

ux = vy

uy = −vx

na cijelom Ω. Tada je f diferencijabilna na Ω i vrijedi

f ′(z) = ux(x, y) + ivx(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω.

11

Kao primjer proucimo eksponencijalnu funkciju z 7→ ez definiranu nasljedeci nacin

ez = ex+iy def= ex (cos y + i sin y) .

Odmah vidimo da je (prirodno podrucje defincije) domena C. Kako je

|ez| = ex > 0, ∀x ∈ C,

iz trigonometrijskog zapisa kompleksnog broja i gornje definicije zakljucjujemoda je eksponencijalna funkcija surjekcija na C − 0. Takoder, restrikcijaeksponencijalne funkcije na R je uobicajena eksponencijalna funkcija.

Na kraju uocimo sljedece svojstvo: eksponencijalna funkcija je periodicnas periodom s periodom 2πi:

ez+2πi = ex+i(y+2π) = ex (cos (y + 2π) + i sin (y + 2π)) =

= ex (cos y + i sin y) = ez, ∀z ∈ C.

Dakle, njezina restrikcija na skup R× < −π, π] je bijekcija na C− 0:

w = ez, z ∈ R× < −π, π].

Inverzna funkcija te restrikcije naziva se (glavna grana) prirodnog logaritmai oznacava na uobicajen nacin

z = ln w.

Iz trigonometrijskog zapisa kompleksnog broja odmah nalazimo formulu zainverznu funkciju:

z = ln w = ln |w|+ iarg w.

Iz korolara1.16, odmah nalazimo da je eksponencijalna funkcija diferen-cijabilna na cijelom C te da je derivacija dana s

(ez)′ = ez.

Zaista, imamo u = ex cos y i v = ex sin y. Zato

ux = ex cos y

uy = −ex sin y

vx = ex sin y

vy = ex cos y.

Ocito su ove parcijalne derivacije neprekidne na cijelom C i vrijede

ux = vy

uy = −vx

na cijelom C. Dakle ez je diferencijabilna na cijelom C i derivacija je dana s

f ′(z) = ux(x, y) + ivx(x, y) = ex cos y + iex sin y = ez.

12

Vratimo se sada na logaritamsku funkciju koja je definirana s

ln z = ln |z|+ iarg z,

cija je domena C − 0 a kodomena skup R× < −π, π]. Lako ustanovimoda preslikava skup < −∞, 0 > (preciznije < −∞, 0 > ×0) na R× π:

ln (−x) = ln | − x|+ iarg −x = lnx + iπ, ∀x > 0.

Medutim prirodni logaritam nije neprekidan u tockama < −∞, 0 > kao stoslika pokazuje:

Na slici vidimo da ako tocka z2 iz donje poluravnine tezi u −x, onda imagi-narni dio od ln z2 ne tezi prema imaginarnom dijelu od −x koji je π.

Dakle, kako prirodni logaritam nije definiran u 0, onda je razumno gledatirestrikciju na skup C− < −∞, 0]. Geometrijski, taj skup je ravnina iz kojeje izbacena jedna zraka:

Na tom skupu bi smo mogli izracunati u i v za z 7→ ln z te ustanovitikoristeci korolara1.16 da je ta funkcija diferencijabilna na C− < −∞, 0] i da

13

vrijedi uobicajena formula:

(ln z)′ =1z.

Medutim, nesto kasnije cemo pokazati elegantan nacin da se izvede ta for-mula koristeci integraciju.

Zavrsimo s iducim vaznim teoremom:

Teorem 1.17 (Lokalna konstantnost). Neka je f : Ω → C diferencijabilnafunkcija takva da f ′(z) = 0 za sve z ∈ Ω. Tada je f konstantna u okolinisvake tocke z ∈ Ω (tj. na nekom krugu oko z koji je sadrzan u Ω). Nadalje,ako je Ω podrucje, onda je f konstantna na cijelom Ω.

Dokaz. Kako korolar 1.14 daje

0 = f ′(z) = ux(x, y) + ivx(x, y), ∀z ∈ Ω,

to nalazimo ux = vx = 0 na Ω. Sada, Cauchy–Riemmanovi uvjeti pokazujuda vrijedi uy = vy = 0 na Ω. Ovim smo reducirali tvrdnju na odgovarajucuiz diferencijalnog racna funkcija vise varijabli: u diferencijailna, te ako jeux = uy = 0 na Ω, onda je u lokalno konstantna na Ω i posebno ako je Ωpodrucje (tj. jos i povezan) onda je u konstantna na Ω. Slicno vrijedi i za vi tvrdnja teorema sljedi iz relacije

f(z) = u(x, y) + iv(x, y), ∀z ∈ Ω.

Gornji teorem pokazuje da ako f ′ = 0 na Ω, onda je f konstantna nasvakoj komponenti povezanosti od Ω, ali ako imamo vise od jedne kompo-nente povezanosti funkcija nije nuzno konstantna kao sto iduca slika pokazuje.