1 KONSOLIDACE ZEMIN 1

1 Konsolidace zemin

• Zemina je vícesložková (vícefázová) porézní látka – tvořena pevnoufází (skeletem) a póry, které mohou být vyplněny vodou (kapalinou) a

plynem (vzduchem).

• Konsolidací rozumíme deformaci zeminy jako vícefázového porézníhomateriálu v čase pod účinky zatížení.

• Plně nasycená zemina – póry jsou zcela vyplněny vodou, není v nichžádný vzduch. Jedná se tedy o dvojfázové prostředí.

• Základní představu o chování zeminy možno vyjádřit pomocí hydro-mechanické analogie (viz např. [2, Kapitola 8]).

2 MAKROSKOPICKÝ POPIS PORÉZNÍHO PROSTŘEDÍ 2

2 Makroskopický popis porézního prostředí

Ω kapalina (k)

zakladni latka (z)

skelet (s)ZOOM Reprezentativni objem Ekvivalentni medium

• V klasickém pojetí chování zemin modelováno pomocí teorie směsí.

• Každý materiálový bod x má svou „vnitřní strukturuÿ.

• Detailní uspořádání jednotlivých složek zanedbáno, důležité je pouzejejich objemové zastoupení.

• Celkové složení reprezentativního objemucelkové︷ ︸︸ ︷V (x) =

skelet︷ ︸︸ ︷Vs(x)+

póry︷ ︸︸ ︷Vp(x)

3 FILLUNGEROVA-TERZAGHIHO KONCEPCE EFEKTIVNÍCH NAPĚTÍ 3

• Pórovitost n je definována poměrem

n(x) =Vp(x)V (x)

,Vs(x)V (x)

=V (x)− Vp(x)

V (x)= 1− n(x)

• Číslo pórovitosti e

e(x) =Vp(x)Vs(x)

=Vp(x)V (x)

V (x)Vs(x)

=n(x)1− n(x)

3 Fillungerova-Terzaghiho koncepce efektiv-

ních napětí

• Nutno vyjádřit vztah mezi napětím v zrnech σs, v kapalině σk a tzv.

efektivním napětím mezi zrny σef .

3 FILLUNGEROVA-TERZAGHIHO KONCEPCE EFEKTIVNÍCH NAPĚTÍ 4

• Z podmínky ekvivalence pro pevnou fázi

Vs(x)σs(x) = Vs(x)σk(x) + V (x)σef(x)

Vs(x)V (x)

σs(x) =Vs(x)V (x)

σk(x) + σef(x)(1− n(x)

)σs(x) =

(1− n(x)

)σk(x) + σef(x) (1)

• V kapalině působí pouze pórový tlak p (záporná hodnota středního

napětí σm)

σk(x) = −m p(x)

H. Darcy P. Fillunger K. von Terzaghi R. Woltman

4 KONSTITUTIVNÍ ROVNICE 5

• Totální napětí je pak dáno objemovým průměrem v napětí jednotlivýchsložkách

V (x)σ(x) = Vs(x)σs(x) + Vp(x)σp(x),

tedy

σ(x) =Vs(x)V (x)

σs(x)−Vp(x)V (x)

m p(x) =(1− n(x)

)σs(x)− n(x)m p(x)

(1)= −

(1− n(x)

)m p(x) + σef(x)− n(x)m p(x)

= σef(x)−m p(x)

4 Konstitutivní rovnice

4.1 Skelet

• Napětí v porézním skeletu je způsobené celkovou deformací ε, „očiště-nouÿ od vlivu počáteční deformace pórů vlivem pórového tlaku p. Platí

4 KONSTITUTIVNÍ ROVNICE 6

tedy

σef(x) = Ds(x)(ε(x)− εp(x)

)• Opět využijeme faktu, že pórový tlak p působí všesměrně, způsobuje

tedy pouze objemovou deformaci εv

(εp)v (x) = (εp)x(x) + (εp)y(x) + (εp)z(x) = −3p(x)λz(x)

,

a tedy

εp(x) = −m3p(x)λz(x)

,

kde λz označuje Lamého modul materiálu, ze kterého se skládá skelet.

• Konstitutivní vztah tedy můžeme přepsat ve tvaru

σef(x) = Ds(x)(ε(x) +m

p(x)λz(x)

).

4 KONSTITUTIVNÍ ROVNICE 7

• Totální napětí σ mají nyní tvar

σ(x) = σef(x)−m p(x) = Ds(x)ε(x) +1

λz(x)Ds(x)m p(x)−m p(x)

= Ds(x)ε(x)−(

I − 1λz(x)

Ds(x)

)m p(x)

= Ds(x)ε(x)− α(x)m p(x). (2)

• V případě, že se skelet chová jako izotropní materiál, matice α má tvar

α = αI, kde

α(x) = 1− λs(x)λz(x)

je nazýváno Biotovým číslem.

4.2 Kapalina

• Prvním cílem je popsat pohyb kapaliny v pórech, která je kvantifiko-vána objemovou změnou pórů Θ. Ta je způsobena čtyřmi základními

4 KONSTITUTIVNÍ ROVNICE 8

vlivy [1, 3]:

– Změnou objemu skeletu pří objemové nestlačitelnosti základní látky,

– změnou objemu (1 − n) základní látky vlivem působení pórovéhotlaku p,

– účinkem přírůstku efektivních napětí,

– účinkem pórového tlaku, čímž dochází ke stlačení kapaliny.

• Celkem

Θ(x) = α(x)mTε(x) +

(3n(x)λk(x)

+3(1− n(x))

λz(x)− 3(1− α(x))

λz(x)

)p(x)

= α(x)mTε(x) + β(x)p(x) (3)

• Nyní přistoupíme k vyjádření relativní rychlost proudění kapaliny vůčiskeletu v. Ta je dána tzv. Darcyho zákonem

n(x)v(x) = −k(x)∇h,

kde k [kg−1m3s] je matice filtrace a h je hydraulická výška definovaná

5 BILANČNÍ ROVNICE A PODMÍNKY ROVNOVÁHY 9

jako

h(x) =p(x)γk+ z;

γk [Nm−3] označuje objemovou tíhu kapaliny a z je prostorová souřad-nice ve směru působení gravitačního zrychlení.

• Výsledný vztah

n(x)v(x) = −k(x)

γk(x)

(∇p(x) + γk(x)ez

)(4)

5 Bilanční rovnice a podmínky rovnováhy

5.1 Podmínky rovnováhy

• Statické podmínky rovnováhy psané pro totální napětí

∂ σ(x) +X(x) = 0 (5)

• Okrajové podmínky

5 BILANČNÍ ROVNICE A PODMÍNKY ROVNOVÁHY 10

– Stabilní (kinematické): x ∈ Γu:

u(x)− u(x) = 0

– Nestabilní (statické): x ∈ Γt:

n σ(x)− t(x) = 0

5.2 Bilanční rovnice (neustálený stav)

• Rovnice kontinuity (bilance hmotnosti) psaná pro kapalnou fázi

n(x)∇Tv(x, t) +∂Θ(x, t)

∂t= 0 (6)

– Stabilní (podstatné) okrajové podmínky: x ∈ Γp(t):

p(x)− p(x) = 0

– Nestabilní (přirozené) okrajové podmínky: x ∈ Γv(t):

n(x)Tv(x)− v(x) = 0

6 SLABÉ ŘEŠENÍ 11

6 Slabé řešení

• Základní proměnné jsou časové a prostorové průběhy posunů u a pó-

rových tlaků p.

• Slabé řešení nyní odvodíme použitím Galerkinovy metody – tj. s časo-vými derivacemi nyní zacházíme formálně jako s nezávislými proměn-

nými.

6.1 Podmínky rovnováhy

• Aby diskretizace vedla na symetrickou soustavu lineárních rovnic, zde-rivujeme navíc podmínky rovnováhy (5) podle proměnné t:

∂∂σ(x, t)

∂t+

∂X(x, t)∂t

= 0

• Po vynásobení předchozí podmínky váhovou funkcí δu = 0 na Γu(t)

6 SLABÉ ŘEŠENÍ 12

pro libovolný čas t∫Ω

δu(x)T(

∂∂σ(x, t)

∂t+

∂X(x, t)∂t

)dx = 0

• Použitím Clapeyronova teorému dostáváme

0 =∫Γt

δu(x)T

∂t/∂t︷ ︸︸ ︷n(x)

∂σ(x, t)∂t

dx−∫Ω

(∂Tδu(x)

)T ∂σ(x, t)∂t

dx

+∫Ω

δu(x)T∂X(x, t)

∂tdx = 0

• Dosazení z konstitutivních rovnic (2) vede na výraz

0(2)=

∫Γt

δu(x)T∂t(x, t)

∂tdx+

∫Ω

δu(x)T∂X(x, t)

∂tdx

−∫Ω

(∂Tδu(x, t)

)T ∂

∂t

(Ds(x)ε(x, t)− α(x)m p(x, t)

)dx

• Při využití identity ∂ m = ∇ a geometrických rovnic dostáváme pro

6 SLABÉ ŘEŠENÍ 13

podmínky rovnováhy vyjádření

0 =∫Γt

δu(x)T∂t(x, t)

∂tdx+

∫Ω

δu(x)T∂X(x, t)

∂tdx

−∫Ω

(∂Tδu(x, t)

)TDs(x)∂

T ∂u(x, t)∂t

dx

+∫Ω

(∇Tδu(x)

)α(x)

∂p(x, t)∂t

dx

6.2 Podmínka kontinuity

• Přenásobením rovnice kontinuity (6) libovolnou váhovou funkcí δp =

0 na Γp za předpokladu n(x) ≈ konst dostáváme∫Ω

δp(x)

(∇T (n(x)v(x, t)) +

∂Θ(x, t)∂t

)dx = 0

6 SLABÉ ŘEŠENÍ 14

• Úprava předchozího výrazu Greenovou větou vede na

0 =∫Γv

δp(x)

nv︷ ︸︸ ︷n(x)n(x)Tv(x, t) dx−

∫Ω(∇δp(x))T n(x)v(x, t) dx

+∫Ω

δp(x)∂Θ(x, t)

∂tdx

• Dosazení za relativní rychlost v z Darcyho zákona (4) a za objemovou

změnu pórů z (3) vede na

0 =∫Γv

δp(x)n(x)v(x, t) dx

−∫Ω(∇δp(x))T

(−

k(x)

γk(x)

(∇p(x, t) + γk(x)ez

))dx

+∫Ω

δp(x)∂

∂t

(α(x)mTε(x, t) + β(x)p(x, t)

)dx

7 DISKRETIZACE PROBLÉMU 15

• S využitím vztahu mT∂T = ∇T dostáváme finální vyjádření

0 =∫Γv

δp(x)n(x)v(x, t) dx−∫Ω(∇δp(x))T k(x)ez dx

+∫Ω(∇δp(x))T

k(x)

γk(x)∇p(x, t) dx

+∫Ω

δp(x)α(x)∇T ∂u(x, t)∂t

dx+∫Ω

δp(x)β(x)∂p(x, t)

∂tdx

7 Diskretizace problému

• Aproximace posunů u (metoda separace proměnných)

u(x, t) ≈ Nu(x)ru(t)

• Aproximace časových derivací ∂u/∂t a jejich prostorových derivací

7 DISKRETIZACE PROBLÉMU 16

∇T(∂u/∂t), ∂T(∂u/∂t)

∂u(x, t)∂t

≈ Nu(x)dru(t)

dt,

∇T ∂u(x, t)∂t

≈(∇TNu(x)

) dru(t)

dt= Lu(x)

dru(t)

dt,

∂T∂u(x, t)

∂t≈

(∂TNu(x)

) dru(t)

dt= Bu(x)

dru(t)

dt.

• Aproximace váhových funkcí δu a jejich derivací ∂Tδu

δu(x) ≈ Nu(x)δru, ∂Tδu(x) ≈ ∂TNu(x)δru = Bu(x)δru.

• Aproximace pórových tlaků p a jejich prostorových derivací ∇p

p(x, t) ≈ Np(x)rp(t), ∇p(x, t) ≈ Bp(x)rp(t),

• Aproximace časové derivace pórových tlaků ∂p/∂t a jejich prostorových

7 DISKRETIZACE PROBLÉMU 17

derivací ∇(∂p/∂t)

∂p(x, t)∂t

≈ Np(x)drp(t)

dt, ∇∂p(x, t)

∂t≈ Bp(x)

drp(t)

dt.

• Aproximace váhových funkcí δp a jejich prostorových derivací ∇δp

δp(x) ≈ Np(x)δrp, ∇δp(x) ≈ Bp(x)δrp.

• Dosazením předchozích aproximací do slabých podmínek rovnováhy akontinuity dostáváme soustavu obyčejných diferenciálních rovnic v čase

Kuu

dru(t)

dt−Kup

drp(t)

dt=

dRt(t)

dt+dRX

dt, (7)

−Kpu

dru(t)

dt−K

pprp(t)− Cpp

drp(t)

dt= Rv(t)−Rg. (8)

7 DISKRETIZACE PROBLÉMU 18

kde

Kuu =∫Ω

Bu(x)TDs(x)Bu(x) dx

Kup =∫Ω

Lu(x)Tα(x)Np(x) dx

Kpu =∫Ω

Np(x)Tα(x)Lu(x) dx

Cpp =∫Ω

Np(x)Tβ(x)Np(x) dx

Kpp =∫Ω

Bp(x)T k(x)

γk(x)Bp(x) dx

7 DISKRETIZACE PROBLÉMU 19

a

Rt(t) =∫Γt(t)

Nu(x)Tt(x) dx

RX(t) =∫Ω

Nu(x)TX(x) dx

Rv(t) =∫Γv(t)

Np(x)Tn(x)v(x) dx)

Rg =∫Ω

Bp(x)Tk(x)ez dx

• Prostorová konečněprvková diskretizace musí splňovat LBB podmínku,aby byla zajištěna konvergence metody.

• Obecně se doporučuje volit řád aproximace u posunů u o jeden řád

vyšší než u p.

7 DISKRETIZACE PROBLÉMU 20

7.1 Časová diskretizace

• Časová diskretizace spočívá v numerické integraci soustavy obyčejnýchdiferenciálních rovnic, doplněné počátečními podmínkami

ru(0) = r0, rp(0) = p0.

• Řešený časový interval 〈0, t〉 opět (ekvidistantně) rozdělíme na n inter-valů délky ∆t

• V i-tém okamžiku ti označíme řešení jako

rui = ru(ti), rp

i = rp(ti), i = 0, . . . , n.

7 DISKRETIZACE PROBLÉMU 21

• V obecném čase t volíme aproximace neznámých ve tvaru

ru(t) ≈ (1− τ)rui + τru

i+1, rp(t) ≈ (1− τ)rpi + τrp

i+1.

• Časové derivace jsou opět aproximovány jako

dru(t)

dt≈

rui+1 − ru

i

∆t,

drp(t)

dt≈

rpi+1 − rp

i

∆t,

• Pro tuto volbu časvé diskretizace vede Galerkinova metoda na identickévýsledky s Rothe-Rektorysovou metodou. Platí i stejná pravidla pro

volbu τ .

Domácí úkol. Proveďte diskretizaci nestacionární úlohy vedení tepla Ga-lerkinovou metodou (metodou separace proměnných). Ukažte, že obě me-

tody vedou na stejný výsledek.

2

REFERENCE 22

Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mítnámět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na zemanj@cml.fsv.cvut.cz.Opravy verze -001: Odstraněná celá řada překlepů, nepřesností a chyb (na chyby upozornil J. Šejnoha)

Verze 000

Reference

[1] T. Krejčí, T. Nový, L. Sehnoutek, and J. Šejnoha, Structure-subsoil

interaction in view of transport processes in porous media, CTU Report

5(1), Czech Technical University in Prague, 2001.

[2] I. Vaníček, Mechanika zemin, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1996.

[3] O. C. Zienkiewicz, Basic formulation of static and dynamic behaviour

of soil and other porous media, Tech. report, Institute for Numerical

Methods in Engineering, University College of Swansea, 1983.