Villanueva Zuloeta Giancarlo 20141413D.

Rojas López José Armando 20141093J.

Carhuay Trujillo Edgar Alexander 20141286B.

  

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

 Integrantes:

FIEE

  

INTRODUCCIÓNEn el siguiente laboratorio veremos unas de las   formas de movimiento principales  que se encuentran en la naturaleza. Su   característica   distintiva   es   un   patrón   repetitivo,   el sistema adopta la misma configuración, en cierto momento, que mostraba antes.

El   comportamiento   periódico   y   repetitivo   es   quizás  más ubicuo que la traslación y la rotación. Son acontecimientos periódicos, las estaciones, la noche y el día, las fases de la luna, las mareas y el respirar. Nos comunicamos por medio de   vibraciones   al   generar   oscilaciones   periódicas     de   la presión  de  aire     con  nuestras     cuerdas     vocales     y  esas oscilaciones     periódicas     las     siente   el   tímpano   ,cuyas vibraciones finalmente excitan respuestas bien definidas del sistema nervioso. 

El   comportamiento   oscilatorio   es   muy   común,   debido principalmente   a   que   es   la   respuesta     natural   de   casi cualquier   sistema   al   cual,   en  un  equilibrio  estable   se   le perturbe, sin embargo   no cualquier sistema en equilibrio esta   necesariamente   en   equilibrio   estable.   Por   tanto nuestra     primera     tarea     al   estudiar     el   movimiento oscilatorio  será  analizar  el equilibrio del mismo.

  

                    MOVIMIENTO PERIODICO EFECTUADO POR LAS BOLAS AL INTERACTUAR

MOVIMIENTO OSCILATORIO DE UN CUERPO CON RESPECTO A UNA POSICION DE EQUILIBRIO

  

OBJETIVOS1. Determinar el periodo y la frecuencia de un sistema que efectúe   un   movimiento   armónico   simple,   teórica   y experimentalmente.

2. Tener los conocimientos básicos de un sistema armónico simple.

3. Aplicar   las  ecuaciones  de  un  sistema armónico  simple, obtener   los   resultados   a   partir   de   los   datos experimentales.

4. Obtener  mejor   rendimiento  por  parte  de  nosotros   los estudiantes observando la experiencia, comprendiendo y comprobando la teoría vista en clase.

5. Determinar la constante de rigidez del resorte.6. Comprobar   la   relación   entre   el   periodo,   la  masa   y   la constante de rigidez de un sistema masa resorte.

7. Verificar las ecuaciones de movimiento masa-resorte.

  

El   movimiento   armónico   simple   (m.a.s.),   también denominado   movimiento   vibratorio   armónico   simple (m.v.a.s.),   es   un   movimiento   periódico,   y   vibratorio   en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora   que   es   directamente   proporcional   a   la posición. Y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s.

Movimiento

Es   un   movimiento unidimensional.

Es periódico Es oscilatorio

Es aquel movimiento donde  existen fuerzas  disipativas o de resistencias que  ejerce  el medio.

Movimiento oscilatorio amortiguado

Movimiento Oscilatorio Armónico simple

Una   partícula   describe   un   Movimiento   Armónico   Simple (M.A.S.)  cuando se mueve a   lo   largo del  eje  X,  estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

Oscilaciones : Variación, perturbación o fluctuación en el tiempo de un medio o sistema

  

Movimiento OscilatorioLos fenómenos oscilatorios o vibratorios se presentan en física con mucha frecuencia. Ejemplos de movimientos oscilatorios son los péndulos de los relojes, que oscilan de izquierda a derecha, o los objetos colgados de un muelle, que oscilan arriba y abajo, o incluso otros como las vibraciones de las moléculas en el interior de los cuerpos.

En todos los casos, la partícula material realiza un movimiento de vaivén, con una cierta amplitud, en torno a un punto que tomamos como origen llamado posición de equilibrio. El movimiento oscilatorio cuyo origen se encuentra en el punto medio de su trayectoria (lo que implica que las amplitudes a ambos lados del origen son iguales) se conoce como movimiento vibratorio.

  

     En la naturaleza se observa también oscilaciones no mecánicas como pueden ser los cambios de temperatura a lo largo del día, que oscilan en torno al valor medio. En este caso no oscila una partícula sino el valor de una cierta magnitud física, como la temperatura. Estas oscilaciones no mecánicas se visualizan con más dificultad que las oscilaciones mecánicas, por lo que utilizaremos en general un modelo mecánico.

 

   Cuando una partícula realiza un movimiento oscilatorio, las magnitudes que lo caracterizan (posición, velocidad, aceleración, etc.) se repiten a intervalos regulares de tiempo. Decimos entonces que el movimiento oscilatorio es periódico y al tiempo de repetición se le llama período (T). Hemos de tener en cuenta que hay movimientos periódicos como el que realiza la Luna alrededor de la Tierra o el de la Tierra alrededor del Sol, que no son oscilatorios porque la partícula no toma valores máximos y mínimos en torno a la posición de equilibrio.

Tres ejemplos de movimiento vibratorio

“Muestra de Movimiento Oscilatorios verticales y de un péndulo simple”

  Se llama oscilación o vibración completa al movimiento realizado durante un período, es decir, una ida y una vuelta, tal y como se indica en la figura:

Una magnitud importante en un movimiento oscilatorio periódico es su frecuencia, que se define como el número de oscilaciones que realiza la partícula en la unidad de tiempo. Se mide en s-1 o hertzios (Hz) en honor al físico alemán Heinrich Hertz (1857-1894).

Entre los movimientos oscilatorios periódicos, el más importante y al mismo tiempo más habitual es el movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.). Un movimiento es armónico cuando la función que lo representa es armónica como es el seno o el coseno. Podemos dar una primera definición de m.a.s. como un movimiento periódico, vibratorio y que puede ser representado por una función armónica

2.- CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

A] ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO

Para deducir la ecuación que rige el m.a.s. empleamos la relación que existe entre él y el movimiento circular uniforme que también es periódico.

El m.a.s. de trayectoria recta se puede considerar como la proyección sobre un diámetro de un movimiento circular uniforme.

Tomamos el punto O’ como origen del sistema de referencia. Supongamos que la partícula que recorre la circunferencia se encuentra en el punto O. Para t = 0 su proyección será el centro de la circunferencia O’. Cuando la partícula sobre la circunferencia va tomando las sucesivas posiciones 1, 2, 3, ... en el diámetro se obtienen las posiciones correspondientes 1’, 2’, 3’,... Si observas la figura comprobarás que

El m.a.s. se obtiene proyectando un movimiento circular uniforme.

  cuando se ha recorrido un cuarto de vuelta, el tiempo transcurrido ha sido un cuarto de período, y el movimiento vibratorio ha recorrido un radio, que es el valor máximo del desplazamiento. Cuando hemos recorrido la circunferencia completa, el tiempo transcurrido es de un período, y el movimiento vibratorio ha realizado una vibración completa. A partir de ese instante, los dos movimientos se repiten.

En la figura anterior vemos que a un desplazamiento angular t, realizado en el movimiento circular en el tiempo t, corresponde un desplazamiento x en el diámetro, tal que: 

                                                xt = A sen (t)

En la figura siguiente está representado el diagrama x-t de este movimiento. En el caso de que empecemos a medir el tiempo a partir de la posición P (se ha recorrido previamente un ángulo), el valor de x será:

x t=A sen (ωt+ϕ ) Ecuación general del M.A.S

Gráfica x-t del 

M.A.SEl M.A.S es una proyección del movimiento circular uniforme

  

El significado físico de las magnitudes que intervienen en la ecuación anterior es el siguiente:

Elongación (x). Es la distancia que en un instante separa al punto vibrante de la posición de equilibrio. Se considera positiva hacia arriba o derecha y negativa hacia abajo o izquierda.

Amplitud (A). Es el valor máximo que puede tomar la elongación. Fase en cualquier instante (t + ).  Nos da el estado de movimiento en ese instante.

Fase inicial (). Su valor determina el estado de vibración para t = 0. En ese caso, x = A sen t.

Pulsación o frecuencia angular ().  Representa   la   velocidad   angular constante del movimiento hipotético que hemos proyectado. 

Período (T).  Es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse o tiempo que tarda la partícula en realizar una vibración completa.

Frecuencia (f). Es el número de vibraciones realizadas en 1 s. Representa la rapidez con que tienen lugar la vibraciones. La pulsación, el período y la frecuencia se encuentran relacionados por las expresiones:

f= 1T

; T=1f

; ω= 2πf

La elección de la función seno en la ecuación del m.a.s. significa suponer que en el instante inicial (t = 0) la partícula se encuentra en el punto de equilibrio, siendo la fase inicial  = 0 y la ecuación: xt = A sen t. En el caso de que en el instante inicial la partícula se encuentre en el punto de elongación máxima 

positiva,  = π2  rad  siendo  

x t=A sen (ωt+ π2

)= A cos ω t

El cuadro siguiente resume todas las situaciones que pueden presentarse.

Origen de tiempos Fase inicial (rad) Ecuación del m.a.s.

  

                  t=0

         = 0 x = A sen t

    t=0

      

                            

 = /2

x = A sen (t + /2)

     x = A cos t

  t=0

        

  

 = 

x = A sen (t + )

x = A sen t

                   t=0

       = 3/2

x = A sen (t + 3/2)

x = A cos t

B] ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD

En un M.A.S. la dirección de la velocidad es la de la recta en la que tiene lugar el movimiento y su sentido es el mismo que el de éste. Su valor se obtiene derivando respecto del tiempo la ecuación  x = A sen (t):

v t=dxdt

=Aωcosωt

La gráfica representa la velocidad en función del tiempo. También podemos expresar la velocidad en función de la posición:

v t=Aω√1−sen2ωt=ω√A2−A2 sen2ωt=ω√A2−x2

Para llegar a esta expresión se ha tenido en cuenta que:  

                                                               sen2t + cos2t = 1

  Consecuencias:

La velocidad del m.a.s. es una función en la que sus valores se repiten periódicamente. El valor de la velocidad depende de la posición de la partícula. Tiene el valor máximo en el centro de la trayectoria y se anula en los extremos, lo cual 

resulta   lógico   ya  que  en  dichos  puntos   se   invierte  el   sentido  del  movimiento  y   la velocidad pasa de ser positiva a negativa, o viceversa.

C] ECUACIÓN DE LA ACELERACIÓN:

La aceleración se obtiene derivando la velocidad respecto del tiempo: v t=Aωcosωt  

La gráfica  representa la aceleración en función del tiempo.

Consecuencias:

La aceleración del m.a.s.  es una función en la que sus valores se repiten periódicamente.

El valor de la aceleración depende de la posición de la partícula, es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario.

Es nula en el centro y máxima en los extremos.

Diagrama v-t del m.a.s.

La velocidad y la aceleración dependen de la  elongación.

  

El M.A.S. es retardado cuando la partícula vibrante se dirige hacia los extremos, y acelerado cuando dicha partícula se mueve hacia el centro. Teniendo en cuenta esto, podemos dar otra definición de movimiento armónico: es un movimiento rectilíneo cuya aceleración es proporcional a la posición o elongación pero de sentido contrario.

En la tabla siguiente se indican los valores más representativos para la posición, la velocidad y la aceleración en un m.a.s. en el que la fase inicial es nula. Así mismo, se representan simultáneamente las variaciones de dichas magnitudes en función del tiempo. 

Elongación Velocidad Aceleración

0 0 A (máxima) 0

T4

A (máxima) 0 -A2 (máxima)

T2

0 -A (máxima) 0

3T4

-A (máxima) 0 A2 (máxima)

T 0 A (máxima) 0

3.- DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. EL OSCILADOR ARMÓNICO.

Al colgar un cuerpo de masa m de un muelle o resorte, de masa despreciable y longitud l0, se estira hasta una longitud l. El alargamiento que experimenta es l = l – l0. 

Diagrama a-t del m.a.s. El movimiento vibratorio la aceleración depende del  desplazamiento.

  Las fuerzas que actúan  sobre el resorte son el peso del cuerpo (fuerza deformadora) y la fuerza recuperadora Fr del muelle que 

equilibra a la anterior, cumpliéndose que:

Fuerza deformadora =  fuerza recuperadora

P = Fr

Según la ley de Hooke, el alargamiento producido (l) es proporcional al peso: P = k l  

pudiéndose obtener a partir de esta expresión la constante recuperadora k=mg

Δl .

     Al aplicar verticalmente hacia abajo una fuerza externa Fext, el muelle se deforma una cantidad adicional x siendo ahora que fuerza deformadora  P + Fext = k l + k x , 

cumpliéndose de nuevo que   P + Fext = Fr 

     Al soltar el cuerpo, como la fuerza recuperadora es mayor que el peso, comienza a desplazarse hacia la posición de equilibrio con una fuerza resultante F que es la que produce el movimiento:

F = Fr - P = P + Fext - P = Fext  = k x   

y teniendo en cuenta que la fuerza provoca siempre una disminución del desplazamiento, F y x tienen sentido contrario:

F = k x

expresión que permite conocer la fuerza máxima al iniciarse el movimiento. En general para que una fuerza produzca un m.a.s. ha de ser, en todo instante, proporcional al desplazamiento del móvil y de sentido contrario.

Al soltar el cuerpo, la fuerza recuperadora tiende a llevarlo a la posición de equilibrio.

  Aplicando las leyes de la dinámica y sabiendo que la aceleración de un movimiento 

armónico simple es a = - x  tenemos:

F=−kxF=ma=m(−ω2 x ) } ⇒ k =mω2

Si sustituimos  por su valor en función del período y despejamos éste, nos queda:

k=m 4 π 2

T 2 ⇒ T=2π √mk

Se observa que el período con el que vibra el resorte no depende de la longitud del muelle en reposo, ni de la amplitud de las oscilaciones.

Conclusiones:

La fuerza elástica que produce el movimiento armónico es  F=−kx .

El valor de la constante resulta ser  k = 

FdeformadoraΔl

El valor de la frecuencia depende de la constante recuperadora:

k =mω2

ω=2πf } de donde f = 12 π √ km

Este   análisis   del   movimiento   permite   dar   la   siguiente   definición:   El  movimiento armónico es producido por una fuerza central de dirección constante y proporcional a la elongación.

A] Energía cinética

  

Si tenemos en cuenta que la energía cinética es  Ec=

12mv2

 , y que la velocidad vale 

v=Aω cos ω t,  se deduce:

Ec=12mv2=1

2mA 2ω2 cos2ωt=1

2kA 2cos2ωt=1

2kA 2(1−sen2ωt )=1

2k (A2−x2)

La energía cinética:

Es proporcional al cuadrado de la amplitud. Depende de la posición. Tiene su valor máximo en el centro de la trayectoria, 

cuando x = 0. Es periódica.

B] Energía  potencialLa energía potencial elástica almacenada en el oscilador, para una elongación determinada x, viene dada por:

La energía potencial:

    Es proporcional al cuadrado de la amplitud.

    Depende de la posición. Tiene su valor máximo en                   los extremos.

    Es periódica.

C] Energía mecánica

Ec=12k ( A2−x2 )

E p=12k x2

  

Es la suma de las energías cinética y potencial:

Em = Ec + Ep = 12k ( A2−x2 )+ 1

2k x2=1

2 k A2

     

    La energía mecánica total de un oscilador armónico simple permanece constante a lo largo de su movimiento y es proporcional al cuadrado de su amplitud. Esta energía coincide con la energía potencial cuando x = A  y con la energía cinética cuando x = 0. En los demás puntos la energía mecánica del oscilador será de los dos tipos, transformándose uno en otro en el transcurso del movimiento.

     Las representaciones gráficas de las energías cinética y potencial en función del desplazamiento ponen de manifiesto que ambas energías son 

siempre positivas y que su suma en todo momento es igual a 12k A2

.

    

            

Transformaciones energéticas en el movimiento del péndulo simple.

Variación de la energía con la elongación

  

Materiales:

RESORTE

4 PESAS DE DIFERENTES TAMAÑOS

  

CRONOMETRO 

PAPEL MILIMETRADO

SOPORTE UNIVERSALCLIP

  

  

  

CONCLUCIONESMOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE: En  el  movimiento   armónico   simple,   la   frecuencia   y   el   periodo   son 

independientes de la amplitud.

El   M.A.S.   es   un   movimiento   acelerado   no   uniformemente.   Su aceleración es proporcional  al  desplazamiento y de signo opuesto a este.   Toma   su   valor   máximo   en   los   extremos   de   la   trayectoria, mientras que es mínimo en el centro.

  

Las deformaciones sufridas por un resorte y el periodo de oscilación del mismo son proporcionales a las masas.

La   masa   efectúa   un   movimiento   armónico   simple   puesto   que   el desplazamiento de la masa desde el punto de equilibrio,  varia en el tiempo, es decir se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio.

Los  errores  presentes   en  este   laboratorio   se  presentaron  debido  a errores   instrumentales,   debido   a   que   la   regla   no   se   encontraba totalmente paralela al resorte, errores ergonómicos ya que la reacción del sentido de la vista no es inmediato ante las oscilaciones del resorte.

El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la "proyección" (sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme (M.C.U.) de radio igual a la amplitud A y velocidad angular ω, para efectos didácticos.

BIBLIOGRAFIA: FISICA I – ALONSO FIN.

FISICA II- GLIC. HUMBERTO LEYVA.

FISICA II– ALONSO FIN.

FISICA UNIVERSITARIA (VOL. I)-ZER SEMASKY.

FISICA UNIVERSITARIA (VOL. II)-ZER SEMASKY.

MANUAL DE LABORATORIO DE FISICA-FIC UNI.

   “Física para Ciencias e Ingeniería, Vol. 1”, R. Serway y R.

Beichner.

“Física Universitaria, Vol. 1”, Francis W. Sears, Mark W.

Zemansky, y Hugh D. Young.

FISICA 2 DE “HUGO MEDINA” TOMO (2).